Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions
Necessary and sufficient conditions for positive numbers $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}$, $0 = k_1 <k_2<k_3\leq r-2$, $k_4=r$, to guarantee the existence of an $r-1$-monotone function defined on the negative half-line and such that $\|x^{(k_i)}\| = M_{k_i}$, $i=1,2,3,4$ we...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/160 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552679657439232 |
|---|---|
| author | Kovalenko, O. V. Коваленко, О. В. |
| author_facet | Kovalenko, O. V. Коваленко, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днипровский национальный университетимени Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Kovalenko, O. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | Necessary and sufficient conditions for positive numbers $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}$, $0 = k_1 <k_2<k_3\leq r-2$, $k_4=r$, to guarantee the existence of an $r-1$-monotone function defined on the negative half-line and such that $\|x^{(k_i)}\| = M_{k_i}$, $i=1,2,3,4$ were found |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 140�147
ÓÄÊ 517.5
Î.Â. Êîâàëåíêî (ÄÍÓ èì. Î.Ãîí÷àðà, Äíåïðîïåòðîâñê)
ÇÀÄÀ×À ÊÎËÌÎÃÎÐÎÂÀ ÍÀ ÊËÀÑÑÅ ÊÐÀÒÍÎ ÌÎ-
ÍÎÒÎÍÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Necessary and su�cient conditions for positive numbers Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 ,
0 = k1 < k2 < k3 ≤ r − 2, k4 = r, to guarantee the existence of an r − 1-
monotone function de�ned on the negative half-line and such that ‖x(ki)‖ =
Mki , i = 1, 2, 3, 4 were found.
Íàéäåíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íà ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà
Mk1 , Mk2 , Mk3 , Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 ≤ r − 2, k4 = r, äëÿ òîãî, ÷òî-
áû ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå r − 1�êðàòíî ìîíîòîííîé ôóíêöèè,
îïðåäåëåííîé íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè è òàêîé, ÷òî ‖x(ki)‖ = Mki ,
i = 1, 2, 3, 4.
1. Îáîçíà÷åíèÿ. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èçâåñòíûå ðåçóëüòà-
òû. Ïóñòü îáëàñòü G îáîçíà÷àåò äåéñòâèòåëüíóþ îñü R = (−∞,∞)
èëè íåîòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü R− = (−∞, 0]. Ïóñòü L∞(G) îáîçíà-
÷àåò ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé
x : G→ R ñ îáû÷íîé íîðìîé ‖ · ‖ = ‖ · ‖L∞(G). Äëÿ r ∈ N îáîçíà÷èì
÷åðåç Lr
∞(G) ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé x : G → R, êîòîðûå èìåþò ëî-
êàëüíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà r−1, x(0) = x,
è òàêèõ, ÷òî x(r) ∈ L∞(G). Ïîëîæèì Lr
∞,∞(G) = Lr
∞(G) ∩ L∞(G).
Äëÿ äåéñòâèòåëüíîãî t ∈ R ïîëîæèì t+ := max{t, 0}.
À.Í. Êîëìîãîðîâ (ñì. [1]) ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
Çàäà÷à Êîëìîãîðîâà
Ïóñòü çàäàí íåêîòîðûé êëàññ ôóíêöèé X ⊂ Lr
∞,∞(G) è ïðîèç-
âîëüíàÿ ñèñòåìà d öåëûõ ÷èñåë 0 = k1 < k2 < ... < kd = r. Íàéòè
íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íà ñèñòåìó ïîëîæèòåëüíûõ
÷èñåë
Mk1 ,Mk2 , ...,Mkd
äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè x ∈ X
òàêîé, ÷òî
‖x(ki)‖ = Mki
, i = 1, ..., d.
c© Î.Â. Êîâàëåíêî, 2013
Çàäà÷à Êîëìîãîðîâà íà êëàññå êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé . . . 141
 [1] À.Í. Êîëìîãîðîâ ðåøèë ýòó çàäà÷ó â ñëó÷àå d = 3,
X = Lr
∞,∞(R) (÷àñòíûå ñëó÷àè ñëåäóþò èç ðàáîò Àäàìàðà [2] è
Øèëîâà [3]). Îí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ òðåõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë
M0,Mk,Mr, 0 < k < r, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ x ∈ Lr
∞,∞(R), äëÿ êîòî-
ðîé ýòè ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ íîðìàìè ôóíêöèè, åå k-é è åå r-é ïðîèçâîä-
íûõ ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Mk ≤
‖ϕr−k‖
‖ϕr‖1−k/r
M
1−k/r
0 Mk/r
r ,
ãäå ϕr � r-ÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì
íîëü íà ïåðèîäå ôóíêöèè ϕ0 (t) = sgn sin t.
Äðóãèå ðåçóëüòàòû â ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíê-
öèé ÿâëÿåòñÿ âñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ îñü, ñîäåðæàòñÿ â ñòàòüÿõ Ðîäî-
âà [4, 5], Äçÿäûêà è Äóáîâèêà [6, 7], Áàáåíêî è Êîâàëåíêî [8].
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ ïîëóîñü R−. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîëìîãîðîâà èçâåñòíî â ñëå-
äóþùèõ ñëó÷àÿõ
1. X = Lr
∞,∞(R−), k1 = 0 < k2 < k3 = r (÷àñòíûå ñëó÷àè ñëåäó-
þò èç ðåçóëüòàòîâ Ëàíäàó 1913 [9], Ìàòîðèíà 1955 [10]; îáùèé
ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç ðàáîòû Øåíáåðãà è Êàâàðåòòà 1970 [11]).
2. X = Lr
∞,∞(R−), k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r (Áàáåíêî è
Áðèòâèí 2002 [12] ).
Ïóñòü çàäàíû r,m ∈ Z+, m ≤ r. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lr,m
∞,∞(R−)
êëàññ ôóíêöèé x ∈ Lr
∞,∞(R−), êîòîðûå íåîòðèöàòåëüíû âìåñòå ñî
âñåìè ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêàm âêëþ÷èòåëüíî (ïðîèçâîä-
íàÿ ïîðÿäêà m äîëæíà áûòü íåîòðèöàòåëüíîé ïî÷òè âñþäó â ñëó÷àå
m = r). Ìû áóäåì íàçûâàòü ýòîò êëàññ êëàññîì m-êðàòíî ìîíîòîí-
íûõ ôóíêöèé.
 1951 ãîäó Îëîâÿíèøíèêîâ [13] ïîëó÷èë ðåøåíèå çàäà÷è Êîë-
ìîãîðîâà â ñëó÷àå d = 3 è X = Lr,r−1
∞,∞ (R−). Îí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ
ïðîèçâîëüíûõ k, r ∈ N, k < r, è ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë M0,Mk,Mr
ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) òàêàÿ, ÷òî
‖x‖ = M0, ‖x(k)‖ = Mk, ‖x(r)‖ = Mr,
142 Î.Â. Êîâàëåíêî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè òðè ÷èñëà óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåí-
ñòâó êîëìîãîðîâñêîãî òèïà
M0 ≥
(r − k)!r/(r−k)
r!
M
r
r−k
k M
− k
r−k
r . (1)
 [14] è íåçàâèñèìî â [15] áûëî ïîëó÷åíî îáîáùåíèå ýòîãî ðåçóëü-
òàòà íà ñëó÷àé (r − 2)-êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé (áîëåå òîãî, â
ïîñëåäíåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàëñÿ ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ íîðì).
Äðóãèå ðåçóëüòàòû íà êëàññàõ êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé èç-
âåñòíû â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:
1. X = Lr,r−2
∞,∞ (R−) è k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r (ßòöåëåâ
1999 [16]).
2. X = Lr,r
∞,∞(R−) è k1 = 0 < k2 < k3 < k4 = r (Â. Áàáåíêî,
Þ. Áàáåíêî 2007 [17]).
Öåëü äàííîé ñòàòüè � ðåøåíèå çàäà÷è Êîëìîãîðîâà äëÿ ñèñòåìû
ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ,Mk4 , 0 = k1 < k2 < k3 < k4 = r
è êëàññà X = Lr,r−1
∞,∞ (R−). Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àé, êîãäà k3 = r − 1, ïî
ñóòè ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå ßòöåëåâà [16]. Ïîýòîìó èíòåðåñ ïðåäñòàâ-
ëÿåò ðàññìîòðåíèå ñëó÷àÿ 0 = k1 < k2 < k3 ≤ r − 2, k4 = r.
2. Ýêñòðåìàëüíûå ôóíöèè è íåêîòîðûå èõ ñâîéñòâà.
Äëÿ ÷èñåë l > 0 è a > b ≥ 0 ïîëîæèì
ϕ1(a, b, l; t) := l ((t+ a)+ − 2(t+ b)+)+ , t ∈ R−.
Äëÿ r ∈ N, r ≥ 2 ïîëîæèì ϕr(a, b, l; t) :=
t∫
−∞
ϕr−1(a, b, l; s)ds. Îòìå-
òèì, ÷òî ϕr(a, b, l; t) ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) è ϕr(a, b, l; t) = 0, t ≤ −a.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 1. Ïóñòü çàäàíû ôóíêöèÿ x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) è öåëûå ÷èñëà
0 = k1 < k2 < k3 ≤ r − 2, k4 = r. Ïóñòü ÷èñëà l > 0 è a > b ≥ 0
òàêîâû, ÷òî
‖x(ki)‖ = ‖ϕ(ki)
r (a, b, l)‖, i = 2, 3, 4. (2)
Òîãäà ‖x‖ ≥ ‖ϕr(a, b, l)‖.
Çàäà÷à Êîëìîãîðîâà íà êëàññå êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé . . . 143
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî ‖x‖ < ‖ϕr(a, b, l)‖. Ïîëîæèì δ(t) := x(t)−ϕr(a, b, l; t). Â
ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ è ïðèíàäëåæíîñòè x, ϕr(a, b, l; t) ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−)
ìû ïîëó÷àåì, ÷òî δ(0) = x(0) − ϕr(a, b, l; 0) = ‖x‖ − ‖ϕr(a, b, l)‖ < 0.
Êðîìå òîãî, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóêíöèé ϕr(a, b, l; t) δ(−a) ≥ 0. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà −a < t11 < 0 òàêàÿ, ÷òî δ′(t11) < 0. Êðî-
ìå òîãî, δ′(−a) ≥ 0. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà −a < t12 < 0
òàêàÿ, ÷òî δ′′(t12) < 0. Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó-
÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà −a < t1k2
< 0 òàêàÿ, ÷òî δ(k2)(t1k2
) < 0.
Êðîìå òîãî, δ(k2)(−a) ≥ 0 è â ñèëó (2) δ(k2)(0) = 0. Ýòî çíà-
÷èò, ÷òî ñóùåñòâóþò òî÷êè −a < t1k2+1 < t2k2+1 < 0 òàêèå, ÷òî
δ(k2+1)(t1k2+1) < 0 è δ(k2+1)(t2k2+1) > 0. Êðîìå òîãî, δ(k2+1)(−a) ≥ 0.
Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóþò
òî÷êè −a < t1k3
< t2k3
< 0 òàêèå, ÷òî δ(k3)(t1k3
) < 0 è δ(k3)(t2k3
) > 0.
Êðîìå òîãî, δ(k3)(−a) ≥ 0 è â ñèëó (2) δ(k3)(0) = 0. Ýòî çíà÷èò,
÷òî ñóùåñòâóþò òî÷êè −a < t1k3+1 < t2k3+1 < t3k3+1 < 0 òàêèå, ÷òî
δ(k3+1)(t1k3+1) < 0, δ(k3+1)(t2k3+1) > 0 è δ(k3+1)(t3k3+1) < 0. È òàê äà-
ëåå, ñóùåñòâóþò òî÷êè −a < t1r−1 < t2r−1 < t3r−1 < 0 òàêèå, ÷òî
δ(r−1)(t1r−1) < 0, δ(r−1)(t2r−1) > 0 è δ(r−1)(t3r−1) < 0. Îäíàêî â ñè-
ëó (2) (ïðè i = 4) è îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé ϕr(a, b, l; t) ýòî íåâîçìîæ-
íî, ïîñêîëüêó íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (−a,−b) è (−b, 0) ôóíêöèÿ
δ(r−1) ìîæåò èìåòü íå áîëåå îäíîé ïåðåìåíû çíàêà, ïðè÷åì ñ �ïëþñ�
íà �ìèíóñ� íà ïåðâîì è ñ �ìèíóñ� íà �ïëþñ� íà âòîðîì. Ïðèøëè ê
ïðîòèâîðå÷èþ. Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäóùàÿ ëåììà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ëåììå 1.
Ëåììà 2. Ïóñòü çàäàíû ôóíêöèÿ x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) è öåëûå ÷èñëà
0 ≤ k1 < k2 < k3 = r. Ïóñòü ÷èñëà l > 0 è a > 0 òàêîâû, ÷òî
‖x(ki)‖ = ‖ϕ(ki)
r (a, 0, l)‖, i = 2, 3. (3)
Òîãäà ‖x(k1)‖ ≥ ‖ϕ(k1)
r (a, 0, l)‖.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) è öåëûõ
÷èñåë 0 ≤ k1 < k2 < k3 = r ìîæíî âûáðàòü ïàðàìåòðû
a, l > 0 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà (3). Êðîìå òîãî, òàê êàê
144 Î.Â. Êîâàëåíêî
ϕr(a, 0, l) = l
r! (t+ a)r
+, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî∥∥∥ϕ(k1)
r (a, 0, l)
∥∥∥=
(r − k2)!
r−k1
r−k2
(r − k1)!
∥∥∥ϕ(k2)
r (a, 0, l)
∥∥∥ r−k1
r−k2
∥∥∥ϕ(r)
r (a, 0, l)
∥∥∥ k1−k2
r−k2
. (4)
Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 3. Ïóñòü çàäàíû ôóíêöèÿ x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) è öåëûå ÷èñëà
0 ≤ k1 < k2 < k3 = r. Òîãäà
∥∥∥x(k1)
∥∥∥ ≥ (r − k2)!
r−k1
r−k2
(r − k1)!
∥∥∥x(k2)
∥∥∥ r−k1
r−k2
∥∥∥x(r)
∥∥∥ k1−k2
r−k2
.
Ëåììà 3 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì íåðàâåíñòâà Îëîâÿíèøíèêîâà (1)
è, ïî ñóòè, ñîäåðæèòñÿ â [15].
Ëåììà 4. Ïóñòü çàäàíû öåëûå ÷èñëà 0 ≤ k1 < k2 ≤ r−2, k3 = r è
ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà Mk1 ,Mk2 ,Mr òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðà-
âåíñòâî
Mk1 ≥
(r − k2)!
r−k1
r−k2
(r − k1)!
M
r−k1
r−k2
k2
M
k1−k2
r−k2
r .
Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà l > 0, a > b ≥ 0, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ
ðàâåíñòâà
‖ϕ(ki)
r (a, b, l)‖ = Mki , i = 1, 2, 3. (5)
Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé
ϕr(a, b, l) èìååì ‖ϕ(r)
r (a, b, l)‖ = l. Ïîýòîìó äàëåå ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî
Mr = l = 1 è âìåñòî ϕr(a, b, 1) áóäåì ïèñàòü ϕr(a, b).
Äëÿ êàæäîãî b ≥ 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî a = a(b) òàêîå, ÷òî
‖ϕ(k2)
r (a(b), b)‖ = Mk2 . (6)
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ôèêñèðîâàííîì b ψ(a) := ‖ϕ(k2)
r (a, b)‖ åñòü
íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîãî a. Êðîìå òîãî, ψ(b) = 0 è
ψ(a) →∞ ïðè a → ∞. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî a = a(b)
òàêîå, ÷òî ψ(a(b)) = Mk2 . Òàêèì îáðàçîì íà ïðîìåæóòêå [0,∞) ìû
îïðåäåëèëè ôóíêöèþ a(b) òàêóþ, ÷òî äëÿ âñåõ b ≥ 0 âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî (6). Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ a(b) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé.
Çàäà÷à Êîëìîãîðîâà íà êëàññå êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé . . . 145
Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò b ≥ 0, òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
‖ϕ(k1)
r (a(b), b)‖ = Mk1 . (7)
Ïîëîæèì η(b) := ‖ϕ(k1)
r (a(b), b)‖. Ïî óñëîâèþ ëåììû η(0) ≤ Mk1 .
Ïîêàæåì, ÷òî
η(b) →∞, b→∞. (8)
Ïîñêîëüêó âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (6), òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíê-
öèé ϕ(a, b, l; t) âåëè÷èíà a(b)− b îãðàíè÷åíà. Ïîýòîìó
2b− a(b) →∞, b→∞. (9)
Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé ϕ(a, b, l; t) ñëåäóåò, ÷òî ñóæåíèå p(b; t)
ôóíêöèè ϕ(a(b), b; t) íà îòðåçîê [a(b) − 2b, 0] åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè
r − 2. Êðîìå òîãî,
max
t∈[a(b)−2b,0]
|p(k2)(b; t)| = p(k2)(b; 0) = Mk2 > 0. (10)
Òåïåðü ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ïîëè-
íîìîâ (ñì. [18], [19], ñì. òàêæå ãë. 4 â ìîíîãðàôèè [20]) è ó÷èòûâàÿ (9)
è (10), ïîëó÷àåì, ÷òî
max
t∈[a(b)−2b,0]
|p(k1)(b; t)| → ∞, b→∞.
Îòñþäà ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü (8). Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò
÷èñëà l > 0, a > b ≥ 0 òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (5). Ëåììà
äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ëåììû 4 ïîëîæèì
Φ(Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ; t) = ϕ(a, b, l; t),
ãäå ÷èñëà a, b, l âûáðàíû òàê, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (5).
3. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîëìîãîðîâà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü çàäàíû öåëûå ÷èñëà 0 = k1 ≤ k2 < k3 ≤ r− 2,
k4 = r è ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà Mk1 ,Mk2 ,Mk3 ,Mk4 . Ñóùåñòâóåò
ôóíêöèÿ x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−) òàêàÿ, ÷òî
‖x(ki)‖ = Mki
, i = 1, 2, 3, 4,
146 Î.Â. Êîâàëåíêî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà
Mk2 ≥
(r − k3)!(r−k2)/(r−k3)
(r − k2)!
M
r−k2
r−k3
k3
M
k2−k3
r−k3
r
è
Mk1 ≥ ‖Φ(Mk2 ,Mk3 ,Mr)‖.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óêàçàííûõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò
èç ëåìì 3 è 1.  ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óêàçàííûõ íåðàâåíñòâ ôóíê-
öèÿ x(t) := Φ(Mk2 ,Mk3 ,Mr; t) + Mk1 − ‖Φ(Mk2 ,Mk3 ,Mr)‖ ÿâëÿåòñÿ
èñêîìîé. Òåîðåìà äîêàçàíà.
1. Êîëìîãîðîâ À.Í. Î íåðàâåíñòâàõ ìåæäó âåðõíèìè ãðàíÿìè ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå.
// Â êí. À.Í. Êîëìîãîðîâ, Èçáðàííûå òðóäû, Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. �
Ì.: Íàóêà, 1985. � Ñ. 252 � 263.
2. Hadamard J. Sur le maximum d'une fonction et de ses derivees // C. R. Soc.
Math. France. � 1914. � 41. � P. 68 � 72.
3. Øèëîâ Ã. Å. Î íåðàâåíñòâàõ ìåæäó ïðîèçâîäíûìè // Ñáîðíèê ðàáîò ñòóä.
íàó÷. êðóæêîâ ÌÃÓ. � 1937. � 1. � C. 17 � 27.
4. Ðîäîâ À.Ì. Çàâèñèìîñòü ìåæäó âåðõíèìè ãðàíÿìè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé
äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. Ìàò. � 1946. � 10.
� C. 257 � 270.
5. Ðîäîâ À.Ì. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíî-
ãî ïåðåìåííîãî ñ çàäàííûìè âåðõíèìè ãðàíÿìè ìîäóëåé ñàìîé ôóíêöèè
è å¼ ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîèçâîäíûõ // Ó÷åíûå çàïèñêè ÁÃÓ èìåíè
Â.È. Ëåíèíà. Ñåðèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ. � 1954. � 19. � C. 65 � 72.
6. Äçÿäûê Â.Ê., Äóáîâèê Â.À. Ê ïðîáëåìå À.Í. Êîëìîãîðîâà î çàâèñèìîñòÿõ
ìåæäó âåðõíèìè ãðàíÿìè ïðîèçâîäíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ
íà âñåé îñè // Óêð. ìàò. æóðí. � 1974. � 26, �3. � C. 300 � 317.
7. Äçÿäûê Â.Ê., Äóáîâèê Â.À. Ê íåðàâåíñòâàì À.Í. Êîëìîãîðîâà î çàâè-
ñèìîñòÿõ ìåæäó âåðõíèìè ãðàíÿìè ïðîèçâîäíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé,
çàäàííûõ íà âñåé îñè // Óêð. ìàò. æóðí. � 1975. � 27, �3. � C. 291 � 299.
8. Áàáåíêî Â.Ô., Êîâàëåíêî Î.Â. Î çàâèñèìîñòè ìåæäó íîðìîé ôóíêöèè è
íîðìàìè åå ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà k, r − 2 è r, 0 < k < r − 2 // Óêð. ìàò.
æóðí. � 2012. � 64, �5. � Ñ. 597 � 603.
9. Landau E. Einige Ungleichungen fur zweimal di�erenzierbare Funktion //
Proc. London Math. Soc. � 1913. � 13. � P. 43 � 49.
10. Ìàòîðèí À.Ï. Î íåðàâåíñòâàõ ìåæäó ìàêñèìóìàìè àáñîëþòíûõ çíà÷å-
íèé ôóíêöèé è åå ïðîèçâîäíûõ íà ïîëóîñè // Óêð. ìàò. æóðí. � 1955. �
7. � Ñ. 262 � 266.
Çàäà÷à Êîëìîãîðîâà íà êëàññå êðàòíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé . . . 147
11. Schoenberg I.J., Cavaretta A. Solution of Landau's problem, concerning higher
derivatives on half line // Proc. of Conference on Approximation theory. Varna.
� 1970. � P. 297 � 308.
12. Babenko, V.F., Britvin, Y.E. On Kolmogorov's problem about existence of a
function with given norms of its derivatives // East J. Approx. � 2002. � 8,
�1. � P. 95 � 100.
13. Îëîâÿíèøíèêîâ Â.Ì. Ê âîïðîñó î íåðàâåíñòâàõ ìåæäó âåðõíèìè ãðàíÿìè
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîèçâîäíûõ íà ïîëóïðÿìîé // Óñïåõè Ìàò. Íàóê. �
1951. � 6, �2/42. � Ñ. 167 � 170.
14. Ñóááîòèí Þ.Í., ×åðíûõ Í.È. Íåðàâåíñòâà äëÿ ïðîèçâîäíûõ ìîíîòîííûõ
ôóíêöèé // Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé. Òåîðåò. è ïðèêë. àñïåêòû: Ñá. ñò.,
ïîñâÿù. ïàìÿòè ïðîô. À.Â. Åôèìîâà. � ÌÈÝÒ.� 2003. � C. 199 � 211.
15. Babenko V., Babenko Yu. The Kolmogorov Inequalities for Multiply Monotone
Functions De�ned on a Half-line // East J. Approx. � 2005. �11, �2. �
P. 169 � 186.
16. ßòöåëåâ Ì.Ë. Íåðàâåíñòâî ìåæäó ÷åòûðüìÿ âåðõíèìè ãðàíÿìè ïîñëå-
äîâàòåëüíûõ ïðîèçâîäíûõ íà ïîëóïðÿìîé // Âiñíèê Äíiïðîïåòðîâñüêîãî
óíiâåðñèòåòó. Ìàòåìàòèêà. � 1998. � 4. � Ñ. 106 � 111.
17. Babenko V., Babenko Yu. On the Kolmogorov's problem for the upper bounds
of four consecutive derivatives of a multiply monotone function // Constr.
Approx. � 2007. � 26, �1. � P. 83 � 92.
18. Ìàðêîâ Â.À. Î ôóíêöèÿõ, íàèìåíåå óêëîíÿþùèõñÿ îò íóëÿ â äàííîì ïðî-
ìåæóòêå // ÑÏá. � 1892.
19. Ìàðêîâ À.À. Îá îäíîì âîïðîñå Ä.È. Ìåíäåëååâà // Èçâ. ÀÍ. � ÑÏá. �
1989. � 62. � C. 1 � 24.
20. Êîðíåé÷óê Í.Ï., Áàáåíêî Â.Ô., Ëèãóí À.À. Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ïî-
ëèíîìîâ è ñïëàéíîâ. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. � 304 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-160 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/34/cb16d22b774712f485fab22b6e506934.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1602018-01-29T14:44:27Z Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций Kovalenko, O. V. Коваленко, О. В. Necessary and sufficient conditions for positive numbers $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}$, $0 = k_1 &lt;k_2&lt;k_3\leq r-2$, $k_4=r$, to guarantee the existence of an $r-1$-monotone function defined on the negative half-line and such that $\|x^{(k_i)}\| = M_{k_i}$, $i=1,2,3,4$ were found Найдены необходимые и достаточные условия на положительные числа $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}$, $0 = k_1 &lt; k_2&lt;k_3\leq r-2$, $k_4=r$, для того, чтобы гарантировать существование $r-1$--кратно монотонной функции, определенной на отрицательной полуоси и такой, что $\|x^{(k_i)}\| = M_{k_i}$, $i=1,2,3,4$ Найдены необходимые и достаточные условия на положительные числа $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}$, $0 = k_1 &lt; k_2&lt;k_3\leq r-2$, $k_4=r$, для того, чтобы гарантировать существование $r-1$--кратно монотонной функции, определенной на отрицательной полуоси и такой, что $\|x^{(k_i)}\| = M_{k_i}$, $i=1,2,3,4$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/160 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 140-147 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 140-147 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 140-147 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/160/131 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Kovalenko, O. V. Коваленко, О. В. Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title | Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title_alt | Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_full | Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title_fullStr | Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title_short | Kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| title_sort | kolmogorov problem on a class of multiple monotone functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/160 |
| work_keys_str_mv | AT kovalenkoov kolmogorovproblemonaclassofmultiplemonotonefunctions AT kovalenkoov kolmogorovproblemonaclassofmultiplemonotonefunctions AT kovalenkoov zadačakolmogorovanaklassekratnomonotonnyhfunkcij AT kovalenkoov zadačakolmogorovanaklassekratnomonotonnyhfunkcij |