Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk
For the Hardy space $H_1$ of holomorphic functions in the polydisk, we obtain the exact inequalities of mixed derivatives
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/161 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552682591354880 |
|---|---|
| author | Meremelya, I. Yu. Savchuk, M. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, М. В. |
| author_facet | Meremelya, I. Yu. Savchuk, M. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Ю. Меремеля",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "М. В. Савчук",
"institution": "Інститут підготовки кадрів"
}
] |
| author_sort | Meremelya, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | For the Hardy space $H_1$ of holomorphic functions in the polydisk, we obtain the exact inequalities of mixed derivatives |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 161�168
ÓÄÊ 517.5
I. Þ. Ìåðåìåëÿ (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
Ì. Â. Ñàâ÷óê (Ií�ò ïiäãîòîâêè êàäðiâ äåðæàâíî¨ ñëóæáè çàéíÿòîñòi
Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÎÖIÍÊÀ ÇÌIØÀÍÎ� ÏÎÕIÄÍÎ� ÃÎËÎÌÎÐÔÍÎ�
ÔÓÍÊÖI� Â ÏÎËIÊÐÓÇI
For the Hardy space H1 of holomorphic functions in the polydisk, we obtain
the exact inequalities of mixed derivatives.
Äîâåäåíî òî÷íi íåðiâíîñòi äëÿ çìiøàíèõ ïîõiäíèõ ãîëîìîðôíèõ ôóíêöié
ç ïðîñòîðó Ãàðäi H1 â ïîëiêðóçi.
Îöiíêè ïîõiäíèõ ãîëîìîðôíèõ ôóíêöié óòâîðþþòü îêðåìó ãðóïó
åêñòðåìàëüíèõ çàäà÷ ñó÷àñíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ òåîði¨ ôóíêöié îäíi¹¨
çìiííî¨.  ìîíîãðàôiÿõ [1, 2] íàâåäåíî áàãàòî ôàêòiâ i âåëèêó áiá-
ëiîãðàôiþ ç öüîãî ïèòàííÿ.
Îñòàííiì ÷àñîì ñïîñòåðiãà¹òüñÿ çíà÷íèé iíòåðåñ äî àíàëîãi÷íèõ
äîñëiäæåíü ó âèïàäêó ãîëîìîðôíèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ, ÿêi
ïåðåâàæíî ñòîñóþòüñÿ îöiíîê òèïó Øâàðöà�Ïiêà [3�5]. Íàãàäà¹ìî,
ùî â îäíîâèìiðíîìó âèïàäêó òàê íàçèâà¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ∣∣∣f (n)(z)
∣∣∣ ≤ n!
1− |f(z)|2
(1− |z|2)n
(1 + |z|)n−1 ∀ z ∈ D, n ∈ N,
ÿêå ñïðàâäæó¹òüñÿ (äèâ. [6, 7]) äëÿ áóäü-ÿêî¨ ãîëîìîðôíî¨ â êðóçi
D := {z ∈ C : |z| < 1} ôóíêöi¨ f òàêî¨, ùî supz∈D |f(z)| ≤ 1.
Ó äàíié ðîáîòi ìè äîâåäåìî òî÷íó îöiíêó çìiøàíî¨ ïîõiäíî¨ ãîëî-
ìîðôíî¨ ôóíêöi¨ ç ïðîñòîðó Ãàðäi H1 â ïîëiêðóçi.
Âèõiäíèì ïóíêòîì íàøèõ äîñëiäæåíü ñòàâ ðåçóëüòàò À. Ìàêií-
òàéðà i Â. Ðîãîçèíñüêîãî [8] (äèâ. òàêîæ [9, ñ. 306], [10, ñ. 518]), ÿêi
äîâåëè, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ãîëîìîðôíî¨ ôóíêöi¨ f ç ïðîñòîðó Ãàðäi
H1 (äèâ. îçíà÷åííÿ íèæ÷å) â îäèíè÷íîìó êðóçi D ñïðàâäæó¹òüñÿ
òî÷íà íåðiâíiñòü
c© I.Þ. Ìåðåìåëÿ, Ì.Â. Ñàâ÷óê, 2013
162 I.Þ. Ìåðåìåëÿ, Ì.Â. Ñàâ÷óê
|f ′(z)| ≤ ‖f‖1
|z|+
√
1 + |z|2
(1− |z|2)2
, ∀ z ∈ D. (1)
Ðiâíiñòü â (1) ïðè ôiêñîâàíîìó z ∈ D äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ ôóíêöi¨
f(w) =
(1− yw)2
(1− zw)4
,
äå y := z − ei arg z(1− |z|2)/
√
1 + |z|2.
Îêðiì ñàìî¨ îöiíêè (1) ðîáîòà [8] ¹ öiêàâîþ ùå é ç ìåòîäè÷íî¨
òî÷êè çîðó. Çàïðîïîíîâàíèé â íié ìåòîä äîâåäåííÿ (1) âèðiçíÿ¹òüñÿ
îñîáëèâîþ ïðîñòîòîþ i åëåãàíòíiñòþ (äîñèòü ïîðiâíÿòè éîãî ç ìå-
òîäàìè äîâåäåííÿ ñïiââiäíîøåííÿ (1), íàâåäåíèìè â [9] i [10], ÿêi
ðóíòóþòüñÿ âiäïîâiäíî íà çàãàëüíèõ ñïiââiäíîøåííÿõ äâî¨ñòîñòi i
òåîði¨ ãàíêåëåâèõ îïåðàòîðiâ).
Íàì âèäà¹òüñÿ âàæëèâèì ïîøèðåííÿ öüîãî ìåòîäó íà áàãàòîâè-
ìiðíèé âèïàäîê.
Ïåðåä ïîñòàíîâêîþ çàäà÷i i ôîðìóëþâàííÿì îñíîâíîãî ðåçóëüòà-
òó äîñëiäæåííÿ íàâåäåìî íåîáõiäíi îçíà÷åííÿ.
Íåõàé d � íàòóðàëüíå ÷èñëî, Cd � ìíîæèíà âñiõ âïîðÿäêîâàíèõ
íàáîðiâ z := (z1, . . . , zd) ç d êîìïëåêñíèõ ÷èñåë, Dd := {z ∈ Cd :
max
1≤j≤m
|zj | < 1} � îäèíè÷íèé ïîëiêðóã i Td := {z ∈ Cd : |zj | = 1,
j = 1, d} � êiñòÿê ïîëiêðóãà Dd. Íîðìîâàíó ìiðó Ëåáåãà íà Td, òîáòî
äîáóòîê íîðìîâàíèõ ìið Ëåáåãà îäèíè÷íèõ êië, ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ
Td áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç σ.
Ïðîñòið Ãàðäi H1 := H1(Dd) ñêëàäà¹òüñÿ ç óñiõ ãîëîìîðôíèõ
ôóíêöié f : Dd → C, äëÿ ÿêèõ
‖f‖1 := sup
0<%<1
∫
Td
|f%|dσ < ∞,
äå f%(w) := f(%w), %w := (%w1, . . . , %wd).
Äîáðå âiäîìî (äèâ., íàïðèêëàä, [11]), ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ôóíêöi¨
f ∈ H1 íà òîði Td iñíóþòü ðàäiàëüíi ãðàíè÷íi çíà÷åííÿ f∗, ÿêi óòâî-
ðþþòü ôóíêöiþ ç L1(Td), ïðè÷îìó ‖f‖1 =
∫
Td |f∗|dσ. Ç îãëÿäó íà öå
äàëi áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ ¹äèíèì ñèìâîëîì f äëÿ ïîçíà÷åííÿ ñàìî¨
ôóíêöi¨ f òà ¨¨ ðàäiàëüíèõ ãðàíè÷íèõ çíà÷åíü f∗.
Îöiíêà çìiøàíî¨ ïîõiäíî¨ ãîëîìîðôíî¨ ôóíêöi¨ . . . 163
ÍåõàéM := {1, 2, . . . , d}, 2M � ìíîæèíà óñiõ ïiäìíîæèí ìíîæè-
íè M, m � åëåìåíò (âïîðÿäêîâàíà ïiäìíîæèíà) 2M, |m| � ïîòóæ-
íiñòü ìíîæèíè m i m � äîïîâíåííÿ ìíîæèíè m äî ìíîæèíè M.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç
Dj(f) :=
∂
∂zj
f
÷àñòèííó ïîõiäíó çà çìiííîþ zj i âiäïîâiäíî Dj � îïåðàòîð âçÿòòÿ
÷àñòèííî¨ ïîõiäíî¨, à ÷åðåç
Dm(f) :=
∏
j∈m
Dj(f)
çìiøàíó ïîõiäíó çà ãðóïîþ çìiííèõ m i Dm � îïåðàòîð âçÿòòÿ çìiøà-
íî¨ ïîõiäíî¨ çà ãðóïîþ çìiííèõ zj , j ∈ m, äå ïiä äîáóòêîì ðîçóìi¹òüñÿ
îïåðàòîðíèé äîáóòîê.
Ïîêëàäåìî D(f) := DM(f) := ∂df/(∂z1 · · · ∂zd).
Òåîðåìà. Íåõàé ôóíêöiÿ f ∈ H1(Dd), d ∈ N. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ
z ∈ Dd
|D(f)(z)| ≤ ‖f‖1
d∏
j=1
|zj |+
√
1 + |zj |2
(1− |zj |2)2
. (2)
Ðiâíiñòü â (2) äîñÿãà¹òüñÿ äëÿ ôóíêöi¨
f(w) =
d∏
j=1
(1− yjwj)2
(1− zjwj)4
, (3)
äå yj := zj − ei arg zj (1− |zj |2)/
√
1 + |zj |2.
 äîâåäåííi òåîðåìè ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ íàñòóïíîþ ôîð-
ìóëîþ äëÿ çìiøàíî¨ ïîõiäíî¨ äîáóòêó äâîõ ôóíêöié.
Òâåðäæåííÿ. Íåõàé f i g � ôóíêöi¨, ãîëîìîðôíi â Dd, d ∈ N.
Òîäi
D(fg) =
∑
m∈2M
Dm(f)Dm(g). (4)
Äîâåäåííÿ. Íåõàé H � ìíîæèíà ôóíêöié, ãîëîìîðôíèõ â
Dd, I � òîòîæíèé îïåðàòîð, DjI i IDj � îïåðàòîðè, çàäàíi íà
164 I.Þ. Ìåðåìåëÿ, Ì.Â. Ñàâ÷óê
ïðÿìîìó äîáóòêó H × H , ÿêi äiþòü âiäïîâiäíî çà ïðàâèëàìè
DjI(fg) = Dj(f)g i IDj(fg) = fDj(g).
Òîäi çíà÷åííÿ îïåðàòîðà Dj , âèçíà÷åíîãî íà H ×H çà ïðàâèëîì
Dj(fg) = Dj(fg), ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿäi
Dj = DjI + IDj .
Îòæå,
d∏
j=1
Dj =
d∏
j=1
(DjI + IDj) . (5)
Ñêîðèñòàâøèñü òåïåð ôîðìàëüíèì ïðàâèëîì ìíîæåííÿ ñóìè i
ðiâíîñòÿìè
DjI(DkI) = (Dj(Dk))I,
IDj(IDk) = I(Dj(Dk)),
DjI(IDk) = DjDk,
IDj(DkI) = DkDj ,
äå ïiä ñèìâîëîì DjDk ðîçóìi¹ìî îïåðàòîð, âèçíà÷åíèé íà H ×H ,
ÿêèé äi¹ çà ïðàâèëîì DjDk(fg) = Dj(f)Dk(g), ç ðiâíîñòi (5) îòðè-
ìà¹ìî âèðàç äëÿ îáðàçó îïåðàòîðà
∏d
j=1Dj :
d∏
j=1
Dj(fg) =
∑
m∈2M
∏
j∈m
Dj(f)
∏
k∈m
Dk(g) =
∑
m∈2M
Dm(f)Dm(g).
Íà çàâåðøåííÿ äîâåäåííÿ çàëèøà¹òüñÿ âðàõóâàòè, ùî∏d
j=1Dj(fg) = D(fg).
Äîâåäåííÿ òåîðåìè. Íåõàé m ∈ Z \ {0}. Ïîçíà÷èìî
(1− tz)m :=
d∏
j=1
(1− tjzj)m.
Äîáðå âiäîìî [11], [12 ñ. 43], ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ôóíêöi¨ f ∈ H1
ñïðàâäæó¹òüñÿ ôîðìóëà Êîøi
f(z) =
∫
Td
f(t)
1− tz
dσ(t), ∀ z ∈ D.
Îöiíêà çìiøàíî¨ ïîõiäíî¨ ãîëîìîðôíî¨ ôóíêöi¨ . . . 165
Îñêiëüêè ïðè ôiêñîâàíîìó t ∈ Td
D
(
1
1− tz
)
=
d∏
j=1
tj
(1− tjzj)2
=:
1
(1− tz)2
t,
òî
Df(z) =
∫
Td
f(t)
(1− tz)2
tdσ(t), ∀ z ∈ D. (6)
Íåõàé h � äîâiëüíà ôóíêöiÿ âèãëÿäó h(z) =
∏d
j=1 hj(zj), äå hj :
D → C � ôóíêöi¨ îäíi¹¨ çìiííî¨ ç ïðîñòîðó Ãàðäi H1(D) â êðóçi D.
Çàôiêñó¹ìî z ∈ Dd i çàñòîñó¹ìî ôîðìóëó (6) äî ôóíêöi¨ F (w) :=
f(w)h(w)(1−wz)2, ÿêà, î÷åâèäíî, íàëåæèòü ïðîñòîðó H1.
Ìà¹ìî
D(F )(z) =
∫
Td
f(t)h(t)
(1− tz)2
(1− tz)2
tdσ(t). (7)
Çîáðàçèâøè ôóíêöiþ F ó âèãëÿäi F = fg, äå g(w) = h(w)(1 −
wz)2, îá÷èñëèìî âåëè÷èíó â ëiâié ÷àñòèíi öi¹¨ ðiâíîñòi çà ôîðìóëîþ
(4):
D(F )(w) =
∑
m∈2M
Dmf(w)Dm(g)(w) =
=
∑
m∈2M
Dmf(w)
∏
k∈m
∂
∂wk
(h(w)(1−wz)2) =
=
∑
m∈2M
Dmf(w)
∏
j∈m
(
hj(wj)(1− wjzj)2
)∏
k∈m
∂
∂wk
(hk(wk)(1− wkzk)2)=
=
∑
m∈2M
Dmf(w)
∏
j∈m
(hj(wj)(1− wjzj))×
×
∏
k∈m
(
h′k(wk)(1− wkzk)2 − 2zkhk(wk)(1− wkzk)
))
. (8)
Âèáåðåìî òåïåð ôóíêöi¨ hk òàê, ùîá
|hk(w)| = 1, ∀ w ∈ T (9)
166 I.Þ. Ìåðåìåëÿ, Ì.Â. Ñàâ÷óê
i
h′k(zk)(1− |zk|2)2 − 2zkhk(zk)(1− |zk|2) = 0, k = 1, d. (10)
Òîäi çà óìîâè (10) ç ðiâíîñòi (8) îòðèìà¹ìî ôîðìóëó
D(F )(z) = Df(z)
∏
j∈M
hj(zj)(1− |zj |2)2. (11)
Ïiäñòàâèâøè îòðèìàíèé âèðàç D(F ) â (7) i îöiíèâøè iíòåãðàë â
ïðàâié ÷àñòèíi (7) ç óðàõóâàííÿì óìîâè (9), îòðèìà¹ìî ñïiââiäíî-
øåííÿ
|Df(z)|
∏
j∈M
|hj(zj)| (1− |zj |2)2 ≤
∫
Td
|f(t)||h(t)|
d∏
j=1
|1− tjzj |2
|1− tjzj |2
dσ(t) =
=
∫
Td
|f(t)|dσ(t) = ‖f‖1.
Çâiäñè âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
|Df(z)| ≤ ‖f‖1
d∏
j=1
1
|hj(zj)| (1− |zj |2)2
. (12)
Ïîêàæåìî òåïåð, ùî óìîâè (9) i (10) çàâæäè ìîæíà çàäîâîëüíè-
òè.
Ñïðàâäi, íåõàé
hk(w) = e−i arg zk
w − yk
1− ykw
, (13)
äå yk = %kei arg zk , −1 < %k < 1.
Çðîçóìiëî, ùî hk çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (9). Äàëi
h′k(w)
hk(w)
=
∂
∂w
lnhk(w) =
1
w − yk
+
yk
1− ykw
=
1− |yk|2
(w − yk)(1− ykw)
.
Îòæå,
h′k(zk)
hk(zk)
=
1− %k
ei arg zk(|zk| − %k)(1− %k|zk|)
.
Îöiíêà çìiøàíî¨ ïîõiäíî¨ ãîëîìîðôíî¨ ôóíêöi¨ . . . 167
Àëå çãiäíî ç (10) ì๠âèêîíóâàòèñÿ ðiâíiñòü
h′k(zk)
hk(zk)
=
2zk
1− |zk|2
.
Ïðèðiâíÿâøè ïðàâi ÷àñòèíè öèõ äâîõ ðiâíîñòåé, ïiñëÿ åëåìåíòàð-
íèõ ïåðåòâîðåíü îòðèìà¹ìî êâàäðàòíå ðiâíÿííÿ âiäíîñíî %k
(1 + |zk|2)%2
k − 2|zk|(1 + |zk|2)%k + 3|zk|2 − 1 = 0.
Éîãî êîðåíÿìè ¹ ÷èñëà |zk| ± (1− |zk|2)/
√
1 + |zk|2.
Çðîçóìiëî, ùî êîðiíü %k = |zk|− (1−|zk|2)/
√
1 + |zk|2 çàâæäè áó-
äå íàëåæàòè ïðîìiæêó (−1, 1), ÿêùî |zk| < 1. Òîìó, ïîêëàâøè â (13)
yk = zk − ei arg zk(1− |zk|2)/
√
1 + |zk|2, îòðèìà¹ìî ôóíêöi¨, ÿêi çàäî-
âîëüíÿþòü óìîâè (9) i (10). Íàðåøòi, ïiäñòàâèâøè â (12) çíà÷åííÿ
hj(zj) = e−i arg zk
zj − yj
1− yjzi
=
(1− |zj |2)/
√
1 + |zj |2
1− |zj |(|zj | − (1− |zj |2)/
√
1 + |zj |2)
=
=
1
|zj |+
√
1 + |zj |2
, (14)
îòðèìà¹ìî íåðiâíiñòü (2).
Ïîêàæåìî òåïåð, ùî ôóíêöiÿ f , âèçíà÷åíà çà ïðàâèëîì (3), ¹
åêñòðåìàëüíîþ, òîáòî äëÿ íå¨ ñïiââiäíîøåííÿ (2) ïðè äàíîìó ôiêñî-
âàíîìó z ∈ Dd ¹ ðiâíiñòþ.
Ïåðø çà âñå çàóâàæèìî, ùî ôóíêöiÿ f ¹ ãîëîìîðôíîþ â Dd i
‖f‖1 =
∫
Td
∣∣∣∣ 1− yt
(1− zt)2
∣∣∣∣2 dσ(t) ≤
d∏
j=1
(
1 + |yj |
(1− |zj |)2
)2
< ∞.
Îòæå, f ∈ H1.
Çãiäíî ç ôîðìóëîþ (7) ç óðàõóâàííÿì (8), óìîâè (10) i ðiâíîñòåé
(11), (14), îäåðæèìî
Df(z)
d∏
j=1
(1− |zj |2)2
|zj |+
√
1 + |zj |2
=
∫
Td
(1− yt)2
(1− zt)4
t− y
1− yt
(1− tz)2
(1− tz)2
tdσ(t) =
168 I.Þ. Ìåðåìåëÿ, Ì.Â. Ñàâ÷óê
=
∫
Td
∣∣∣∣ 1− yt
(1− zt)2
∣∣∣∣2 dσ(t) = ‖f‖1.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
1. Kresin G., Maz'ya V. Sharp Real-Part Theorems: A Uni�ed Approach. �
Berlin: Springer�Verlag, 2007. � 144 p.
2. Avkhadiev F. G., Wirths K.�J. Schwarz�Pick Type Inequalities. � Basel:
Birkhauser Verlag, 2008. � 156 p.
3. Knese G. A Schwarz Lemma on the Polydisk // Proc. Amer. Math. Soc. �
2007. � 135, � 9. � P. 2759 � 2768.
4. Anderson J. M., Dritschel M. A., Rovnyak J. Schwarz�Pick Inequalities for
the Schur-Agler Class on the Polydisk and Unit Ball // Comp. Meth. Funct.
T. � 2008. � 8, � 2. � P. 339 � 361.
5. Chen Zh., Liu Y. Schwarz�Pick estimates for holomorphic mappings from the
polydisk to the unit ball // J. Math. Anal. Appl. � 2011. � 376. � P. 123 �
128.
6. Anderson J. M., Rovnyak J. On generalized Schwarz�Pick estimates //
Mathematika. � 2006. � 53. � P. 161 � 168.
7. Dai S., Pan Y. Note on Schwarz�Pick estimates for bounded and positive real
part analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc. � 2008. � 136, � 2. �
P. 635 � 640.
8. Macintyre A. J., Rogosinski W. W. Some elementary inequalities in function
theory // Edinburgh Math. Notes. � 1945. � 35. � P. 1 � 3.
9. Macintyre A. J., Rogosinski W. W. Extremum problems in the theory of
analytic functions // Acta Math. � 1950. � 82. � P. 275 � 325.
10. Garsia S. R., Ross W. T. A Non-Linear Extremal Problem on the Hardy
Space // Comp. Meth. Funct. T. � 2009. � 9, � 2. � P. 485 � 524.
11. Ðóäèí Ó. Òåîðèÿ ôóíêöèé â ïîëèêðóãå. � Ì.: Ìèð, 1974. � 160 c.
12. Ôóêñ Á. À. Ââåäåíèå â òåîðèþ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ êîìïëåêñ-
íûõ ïåðåìåííûõ. � Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962. � 420 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-161 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:19Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/28/6a67bb44ec45759fdb1b56dcf957d828.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1612018-01-29T14:44:27Z Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk Оцінка змішаної похідної голоморфної функції в полікрузі Meremelya, I. Yu. Savchuk, M. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, М. В. For the Hardy space $H_1$ of holomorphic functions in the polydisk, we obtain the exact inequalities of mixed derivatives Доведено точні нерівності для змішаних похідних голоморфних функцій з простору Гарді $H_1$ в полікрузі Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/161 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 161-168 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 161-168 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 161-168 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/161/132 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Meremelya, I. Yu. Savchuk, M. V. Меремеля, І. Ю. Савчук, М. В. Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title | Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title_alt | Оцінка змішаної похідної голоморфної функції в полікрузі |
| title_full | Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title_fullStr | Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title_full_unstemmed | Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title_short | Estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| title_sort | estimate of the mixed derivative of holomorphic functions in polydisk |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/161 |
| work_keys_str_mv | AT meremelyaiyu estimateofthemixedderivativeofholomorphicfunctionsinpolydisk AT savchukmv estimateofthemixedderivativeofholomorphicfunctionsinpolydisk AT meremelâíû estimateofthemixedderivativeofholomorphicfunctionsinpolydisk AT savčukmv estimateofthemixedderivativeofholomorphicfunctionsinpolydisk AT meremelyaiyu ocínkazmíšanoípohídnoígolomorfnoífunkcíívpolíkruzí AT savchukmv ocínkazmíšanoípohídnoígolomorfnoífunkcíívpolíkruzí AT meremelâíû ocínkazmíšanoípohídnoígolomorfnoífunkcíívpolíkruzí AT savčukmv ocínkazmíšanoípohídnoígolomorfnoífunkcíívpolíkruzí |