Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions
We study the classes $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)$, $\mathscr L_\lambda^k$ and $\mathscr B_\lambda^k,$ $k\in\mathbb N,$ consisting of analytic functions $f$ for which respectively $|f(z_1)-f(z_2)|=O(|z_1-z_2|)$, $|f^{(k)} z)|=O(|\lambda^{(k)}(1-|z|)|)$ and $|f^{(k)}(z)|=O(\lambda(1-|z|)/(1-|...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/163 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552685083820032 |
|---|---|
| author | Piddubnyĭ, O. M. Savchuk, V. V. Піддубний, О. М. Савчук, В. В. |
| author_facet | Piddubnyĭ, O. M. Savchuk, V. V. Піддубний, О. М. Савчук, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. М. Піддубний",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "В. В. Савчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Piddubnyĭ, O. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We study the classes $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)$, $\mathscr L_\lambda^k$ and $\mathscr B_\lambda^k,$ $k\in\mathbb N,$ consisting of analytic functions $f$ for which respectively $|f(z_1)-f(z_2)|=O(|z_1-z_2|)$, $|f^{(k)} z)|=O(|\lambda^{(k)}(1-|z|)|)$ and $|f^{(k)}(z)|=O(\lambda(1-|z|)/(1-|z|)^k)$, $z\in\mathbb D$. We investigate a question of embedding such classes and give conditions for equalities $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)=\mathscr L_\lambda^k=\mathscr B_\lambda^k$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 184�198
ÓÄÊ 517.5
Î. Ì. Ïiääóáíèé (Ñõiäíî¹âðîïåéñüêèé íàöiîíàëüíèé óí�ò, Ëóöüê)
Â. Â. Ñàâ÷óê (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÌÀÆÎÐÀÍÒÈ Â ÒÅÎÐÅÌI ÒÈÏÓ ÃÀÐÄI�ËIÒÒËÂÓÄÀ
ÄËß ÏÎÕIÄÍÈÕ ÂÈÙÈÕ ÏÎÐßÄÊI ÀÍÀËIÒÈ×ÍÈÕ
ÔÓÍÊÖIÉ
We study the classes Lipλ(D), L k
λ and Bk
λ, k ∈ N, consisting of analytic
functions f for which respectively |f(z1) − f(z2)| = O(|z1 − z2|), |f (k)(z)| =
O(|λ(k)(1 − |z|)|) and |f (k)(z)| = O(λ(1 − |z|)/(1 − |z|)k), z ∈ D. We
investigate a question of embedding such classes and give conditions for
equalities Lipλ(D) = L k
λ = Bk
λ.
Âèâ÷àþòüñÿ êëàñè Lipλ(D), L k
λ i Bk
λ, k ∈ N, àíàëiòè÷íèõ ôóíêöié f , äëÿ
ÿêèõ âiäïîâiäíî |f(z1)− f(z2)| = O(|z1 − z2|), |f (k)(z)| = O(|λ(k)(1− |z|)|) i
|f (k)(z)| = O(λ(1−|z|)/(1−|z|)k), z ∈ D. Äîñëiäæåíî âêëàäåííÿ öèõ êëàñiâ
òà âêàçàíî óìîâè íà ìàæîðàíòó λ, çà ÿêèõ Lipλ(D) = L k
λ = Bk
λ.
 äàíié ñòàòòi íàâîäÿòüñÿ ðåçóëüòàòè äîñëiäæåíü ïîâåäiíêè ïî-
õiäíèõ âèùèõ ïîðÿäêiâ àíàëiòè÷íèõ ôóíêöié â êîíòåêñòi òàêî¨ òåî-
ðåìè.
Òåîðåìà Ãàðäi�Ëiòòëâóäà [1, òåîðåìà 43]. Íåõàé f � ôóíêöiÿ,
àíàëiòè÷íà â êðóçi D := {z ∈ C : |z| < 1}, 0 < α < 1 i β > α. Äëÿ
òîãî, ùîá f áóëà íåïåðåðâíîþ â D i
|f(z1)− f(z2)| ≤ C|z1 − z2|α, z1, z2 ∈ D, C = const > 0,
íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá
|f (β)(z)| ≤ KC
(1− |z|)β−α
∀ z ∈ D,
äå
f (β)(z) :=
∞∑
k=[β]
Γ(k + 1)
Γ(k + 1− β)
f̂kzk−[β], f̂k :=
f (k)(0)
k!
, z ∈ D,
c© Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê, 2013
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 185
� äðîáîâà ïîõiäíà ïîðÿäêó β â ðîçóìiííi Ðiìàíà�Ëióâiëëÿ (äèâ., íà-
ïðèêëàä, [2], �22), K = K(α, β) = const .
Ïåðåä ïîñòàíîâêîþ çàäà÷i íàøîãî äîñëiäæåííÿ íàâåäåìî íåîáõiä-
íi îçíà÷åííÿ i íàãàäà¹ìî äåÿêi âiäîìi ôàêòè.
Îçíà÷åííÿ 1. Äèôåðåíöiéîâíó çðîñòàþ÷ó ôóíêöiþ λ : R+ →
R+, λ(0) = 0, áóäåìî íàçèâàòè ìàæîðàíòîþ, ÿêùî λ′ ¹ ñïàäíîþ
ôóíêöi¹þ.
Îçíà÷åííÿ 2. ([3, ñ. 350]). Äiéñíîçíà÷íà ôóíêöiÿ λ : [a, b) → R
íàçèâà¹òüñÿ ðåãóëÿðíî ìîíîòîííîþ íà ïðîìiæêó [a, b) ⊂ R (ñêií-
÷åííîìó àáî íåñêií÷åííîìó), ÿêùî âîíà íåñêií÷åííî äèôåðåíöiéîâíà
íà [a, b), i λ, λ′, . . . , λ(k), . . . ¹ çíàêîñòàëèìè ôóíêöiÿìè íà [a, b).
Îçíà÷åííÿ 3. Ðåãóëÿðíî ìîíîòîííó ôóíêöiþ λ : R+ → R+,
λ(0) = 0, áóäåìî íàçèâàòè ðåãóëÿðíî ìîíîòîííîþ ìàæîðàíòîþ,
ÿêùî |λ(k)| ¹ ñïàäíîþ ôóíêöi¹þ äëÿ âñiõ k = 1, 2, . . ..
Îçíà÷åííÿ 4. Íåõàé λ : R+ → R+ � íåïåðåðâíà çðîñòàþ÷à
ôóíêöiÿ, λ(0) = 0. Áóäåìî êàçàòè, ùî ôóíêöiÿ f : D → C íàëåæèòü
êëàñîâi Lipλ(D), ÿêùî
|f |Lipλ
:= sup
z1,z2∈D
|f (z1)− f (z2)|
λ (|z1 − z2|)
< ∞.
ßêùî ïðè öüîìó ôóíêöiÿ f ¹ àíàëiòè÷íîþ â D, òî ïèñàòèìåìî
f ∈ A Lipλ(D), à ÿêùî äî òîãî æ f ¹ íåïåðåðâíîþ â D, òî ïèñàòè-
ìåìî f ∈ A Lipλ(D).
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç A(D) ïðîñòið ôóíêöié, àíàëiòè÷íèõ â D i íåïå-
ðåðâíèõ â D ç íîðìîþ ‖f‖ := maxz∈D |f(z)|.
Çàóâàæåííÿ 1. ßêùî f ∈ A Lipλ(D), òî
|f |Lipλ
= sup
z1,z2:
|z1|=|z2|=1
|f (z1)− f (z2)|
λ (|z1 − z2|)
< ∞.
Ó öüîìó ëåãêî ïåðåêîíàòèñÿ, ðîçãëÿíóâøè ôóíêöi¨, ÿêi ¹ àëãåáðà¨÷-
íèìè ìíîãî÷ëåíàìè, à ïîòiì ñêîðèñòàòèñÿ òåîðåìîþ ïðî ùiëüíiñòü
àëãåáðà¨÷íèõ ìíîãî÷ëåíiâ â ïðîñòîði A(D).
Öiëêîì çðîçóìiëî òàêîæ, ùî
A Lipλ(D) ⊂ A Lipλ(D) ⊂ H∞,
186 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
äå H∞ � ïðîñòið îáìåæåíèõ àíàëiòè÷íèõ ôóíêöié.
Îçíà÷åííÿ 5. Íåõàé λ : R+ → R+ � ôóíêöiÿ, k ðàçiâ äèôåðåí-
öiéîâíà, k ∈ N, i |λ(j)(t)| > 0, t > 0, j = 1, k. Áóäåìî êàçàòè, ùî
àíàëiòè÷íà ôóíêöiÿ f : D → C íàëåæèòü êëàñîâi L k
λ , ÿêùî
|f |L k
λ
:= sup
z∈D
∣∣f (k)(z)
∣∣
|λ(k)(1− |z|)|
< ∞.
Îçíà÷åííÿ 6. Íåõàé λ : R+ → R+ � íåïåðåðâíà çðîñòàþ÷à
ôóíêöiÿ, λ(t) > 0, t > 0, λ(0) = 0 i k ∈ N. Áóäåìî êàçàòè, ùî
àíàëiòè÷íà ôóíêöiÿ f : D → C íàëåæèòü êëàñîâi Bk
λ, ÿêùî
|f |Bk
λ
:= sup
z∈D
(1− |z|)k
λ(1− |z|)
∣∣∣f (k)(z)
∣∣∣ < ∞.
Çàóâàæåííÿ 2. Äëÿ òîãî, ùîá êëàñè L k
λ i Bk
λ, k ∈ N, áóëè
íåòðèâiàëüíèìè, òîáòî ñêëàäàëèñÿ íå òiëüêè ç àëãåáðà¨÷íèõ ìíîãî-
÷ëåíiâ ñòåïåíÿ íå âèùå k − 1, íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá âiäïîâiäíî
lim inf
t→0+
|λ(k)(t)| > 0
i
lim inf
t→0+
λ(t)
tk
> 0.
Ñïðàâäi, äîñòàòíiñòü öüîãî òâåðäæåííÿ ¹ î÷åâèäíîþ, à íåîáõiä-
íiñòü ìîæíà âñòàíîâèòè çà äîïîìîãîþ òàêèõ ìiðêóâàíü.
Íåõàé ôóíêöiÿ f íå ¹ àëãåáðà¨÷íèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíÿ íå âèùå
k − 1, òîáòî f (k) 6≡ 0. Òîäi çíàéäåòüñÿ m ∈ Z+ òàêå, ùî
0 <
1
2m
(m + k)!
m!
∣∣∣f̂m+k
∣∣∣ ≤ %m (m + k)!
m!
∣∣∣f̂m+k
∣∣∣ =
=
1
2π
∣∣∣∣∫ 2π
0
f (k)(%eit)e−imtdt
∣∣∣∣ ≤
≤
|λ(k)(1− %)|, f ∈ L k
λ ,
λ(1− %)
(1− %)k
, f ∈ Bk
λ,
∀ % ∈ [1/2, 1) .
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 187
Öi ñïiââiäíîøåííÿ é äîâîäÿòü íåîáõiäíiñòü.
Çâ'ÿçîê ìiæ êëàñàìè ALipλ(D) i L k
λ îïèñó¹òüñÿ òàêèì òâåðäæåí-
íÿì.
Òåîðåìà 1. Íåõàé λ � ìàæîðàíòà i
∫ 1
0
|λ′(t)|dt < ∞. Òîäi
L 1
λ ⊂ ALipλ(D). (1)
ßêùî äî òîãî æ λ ¹ ðåãóëÿðíî ìîíîòîííîþ ìàæîðàíòîþ, òî
· · · ⊂ L k
λ ⊂ · · · ⊂ L 2
λ ⊂ L 1
λ ⊂ ALipλ(D). (2)
Äîâåäåííÿ. Âêëþ÷åííÿ (1) äîâåäåíå â [4, òåîðåìà 4]. Òîìó çà-
ëèøà¹òüñÿ ïîêàçàòè (i öüîãî äîñèòü), ùî L 2
λ ⊂ L 1
λ . Äëÿ öüîãî ðîçã-
ëÿíåìî ðiâíiñòü
f ′(%eit) =
∫ %
0
f ′′(reit)eitdr + f ′(0), ∀ % ∈ [0, 1), t ∈ [0, 2π].
Çâiäñè âíàñëiäîê ìîíîòîííîñòi ôóíêöié |λ′| i |λ′′| îäåðæèìî íåðiâ-
íiñòü
|f ′(%eit)| ≤ |f |L 2
λ
∫ %
0
|λ′′(1− r)|dr + |f ′(0)| =
= |f |L 2
λ
∫ 1
1−%
|λ′′(r)|dr + |f ′(0)| <
<
(
|f |L 2
λ
+
|f ′(0)|
|λ′(1)|
)
|λ′(1− %)|, ∀ % ∈ [0, 1),
ç ÿêî¨ i âèïëèâ๠ïîòðiáíå âêëþ÷åííÿ.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çâ'ÿçîê ìiæ êëàñàìè ALipλ(D) i Bk
λ îïèñó¹òüñÿ òàêèì òâåðäæåí-
íÿì.
Òåîðåìà 2. Íåõàé λ : R+ → R+ � íåïåðåðâíà íåñïàäíà ôóíêöiÿ,
λ(t) > 0, t > 0 i λ(0) = 0. Òîäi
ALipλ(D) ⊂ B1
λ ⊂ B2
λ ⊂ · · · ⊂ Bk
λ ⊂ · · · . (3)
188 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
Äîâåäåííÿ. Ïåðøå âêëþ÷åííÿ â (3) ìîæíà ââàæàòè âiäîìèì
ôàêòîì (äèâ. [5]), àëå íå çàéâèì áóäå íàâåñòè éîãî äîâåäåííÿ, ÿêå
ðóíòó¹òüñÿ íà òåõíiöi K� ôóíêöiîíàëó.
Íàãàäà¹ìî, ùî K� ôóíêöiîíàë äðîáîâîãî ïîðÿäêó â ïðîñòîði
A(D) îçíà÷à¹òüñÿ òàê
Kr(δ, f) := inf
g: g(r)∈Hp
(
‖f − g‖+ δ
∥∥∥g(r)
∥∥∥) , 0 < p ≤ ∞.
Íåõàé f ∈ ALipλ(D). Çà ôîðìóëîþ Êîøi äëÿ áóäü-ÿêî¨ àíàëiòè÷-
íî¨ ôóíêöi¨ g òàêî¨, ùî g′ ∈ A(D)
f ′(z) =
1
2π
∫ 2π
0
f(Reit)− g(eit)
(Reit − z)2
Reitdt + g′
( z
R
)
, |z| < R < 1.
Çâiäñè âèïëèâ๠îöiíêà
|f ′(z)| ≤ ‖f(R·)− g‖ 1
2π
∫ 2π
0
R
|Reit − z|2
dt + ‖g′‖ ≤
≤ ‖f(R·)− g‖ 1
R− |z|
+ ‖g′‖.
Îòæå,
(R− |z|)|f ′(z)| ≤ ‖f(R·)− g‖+ (1− |z|)‖g′‖.
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ g ¹ äîâiëüíîþ, òî îñòàííÿ íåðiâíiñòü îçíà÷à¹, ùî
(R− |z|)|f ′(z)| ≤ K (1− |z|, fR) , (4)
äå fR(z) := f(Rz).
Âiäîìî (äèâ., íàïðèêëàä, [6, ñ. 177]), ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ôóíêöi¨
F ∈ A(D)
K(δ, F ) ≤ Cω(δ, F ), δ > 0,
äå C � àáñîëþòíà ñòàëà i ω(δ, F ) := sup|t|≤δ ‖F (·eit)−F (·)‖ � ìîäóëü
íåïåðåðâíîñòi ôóíêöi¨ F .
Òîìó, ïî¹äíóþ÷è öåé ôàêò ç (4), à òàêîæ âðàõîâóþ÷è îçíà÷åííÿ
âåëè÷èíè |f |Lipλ
i ìîíîòîííiñòü ôóíêöi¨ λ, îòðèìà¹ìî
(R− |z|)|f ′(z)| ≤ Cω (1− |z|, fR) = C sup
|t|≤1−|z|
‖f(Reit·)− f(R·)‖C(T) ≤
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 189
≤ C|f |Lipλ
sup
|t|≤1−|z|
λ
(
R|eit − 1|
)
= C|f |Lipλ
sup
|t|≤1−|z|
λ
(
2R
∣∣∣∣sin t
2
∣∣∣∣) ≤
≤ C|f |Lipλ
λ (R(1− |z|)) .
Ñïðÿìóâàâøè òåïåð R → 1−, îòðèìà¹ìî ñïiââiäíîøåííÿ
1− |z|
λ(1− |z|)
|f ′(z)| ≤ C|f |Lipλ
< ∞ ∀ z ∈ D,
à öå îçíà÷à¹, ùî f ∈ B1
λ.
Äëÿ äîâåäåííÿ ðåøòè âêëþ÷åíü â (3) äîñèòü ïîêàçàòè, ùî
B1
λ ⊂ B2
λ. Äëÿ öüîãî ñêîðèñòà¹ìîñÿ ôîðìóëîþ
f ′′(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=R
f ′(ζ)
(ζ − z)2
dζ, |z| < R < 1.
Îòæå,
|f ′′(z)| ≤ R
2π
∫ 2π
0
|f ′(Reiθ)|
|Reiθ − z|2
dθ ≤
≤ |f |B1
λ
λ(1−R)
1−R
R
2π
∫ 2π
0
dθ
R2 − 2R|z| cos θ − |z|2
=
= |f |B1
λ
λ(1−R)
1−R
R
R2 − |z|2
≤ |f |B1
λ
λ(1−R)
1−R
1
R− |z|
.
Ïîêëàäåìî òåïåð R = (1+ |z|)/2. Òîäi ç ïîïåðåäíüî¨ îöiíêè âèïëèâà¹
ñïiââiäíîøåííÿ
|f |B2
λ
= sup
z∈D
(1− |z|)2
λ(1− |z|)
|f ′′(z)| ≤ 4|f |B1
λ
sup
z∈D
λ
(
1−|z|
2
)
λ(1− |z|)
≤ 4|f |B1
λ
,
ÿêå é ïîòðiáíî áóëî äîâåñòè.
Âêëþ÷åííÿ Bk
λ ⊂ Bk+1
λ , k ≥ 2, âèïëèâàþòü ç äîâåäåíîãî çà äîïî-
ìîãîþ ïiäñòàíîâêè f ′ := fk.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Ïîâåðíåìîñÿ ùå ðàç äî òåîðåìè Ãàðäi�Ëiòòëâóäà.
190 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
Íåõàé λ(t) = tα, 0 < α < 1, i β = k, k ∈ N. Òîäi òåîðåìó
Ãàðäi�Ëiòòëâóäà â ïðèéíÿòèõ ïîçíà÷åííÿõ ìîæíà ïåðåïèñàòè ó òà-
êîìó âèãëÿäi: äëÿ àíàëiòè÷íî¨ â D ôóíêöi¨ f
|f |L k
λ
< ∞⇐⇒ |f |Lipλ
< ∞⇐⇒ |f |Bk
λ
< ∞,
àáî â ðiâíîñèëüíié ôîðìi:
L k
λ = ALipλ(D) = Bk
λ, ∀ k ∈ N.
 çàãàëüíîìó æ âèïàäêó äëÿ ðåãóëÿðíî¨ ìàæîðàíòè λ, ÿêà çà-
äîâîëüíÿ¹ óìîâè òåîðåì 1 i 2, çãiäíî ç öèìè æ òàêè òâåðäæåííÿìè
äîñòîâiðíî çíà¹ìî ëèøå ïðî òàêi âêëàäåííÿ
· · · ⊂ L 2
λ ⊂ L 1
λ ⊂ ALipλ(D) ⊂ B1
λ ⊂ B2
λ ⊂ · · · .
Ç îãëÿäó íà öå ïðèðîäíî âèíèêàþòü òàêi çàäà÷i.
Çàäà÷à 1. Íåõàé k ∈ N. Îïèñàòè ìíîæèíó âñiõ ðåãóëÿðíèõ
ìàæîðàíò λ, äëÿ ÿêèõ
ALipλ(D) ⊂ L k
λ . (5)
Çàäà÷à 2. Íåõàé k ∈ N. Îïèñàòè ìíîæèíó âñiõ íåñïàäíèõ
ôóíêöié λ : R+ → R+, λ(t) > 0, t > 0, äëÿ ÿêèõ
ALipλ(D) ⊃ Bk
λ. (6)
×àñòèííèé ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i 1 ïðè k = 1 äà¹òüñÿ íàñòóïíèì òâåð-
äæåííÿì.
Òåîðåìà Íüîëüäåðà�Îáåðëiíà [7]. Íåõàé λ � ìàæîðàíòà.
Äëÿ òîãî, ùîá ìàëî ìiñöå âêëàäåííÿ (5) ïðè k = 1 íåîáõiäíî i äî-
ñòàòíüî, ùîá
lim sup
t→0+
λ (t)
tλ′(t)
< ∞. (7)
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 191
ßê íàñëiäîê ç òåîðåìè 1 òà òåîðåìè Íüîëüäåðà�Îáåðëiíà, ìà¹ìî
òàêå òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 1.Íåõàé λ � ìàæîðàíòà i
∫ 1
0
|λ′(t)|dt < ∞. Äëÿ òîãî,
ùîá ìàëà ìiñöå ðiâíiñòü ìíîæèí
ALipλ(D) = L 1
λ
íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá âèêîíóâàëàñÿ óìîâà (7).
Çàäà÷à 2 ¹ çíà÷íî ñêëàäíiøîþ i äîòåïåð çàëèøà¹òüñÿ íå ðîçâ'ÿ-
çàíîþ. Àëå ó öüîìó íàïðÿìêó âäàëîñÿ äîñÿãòè òàêîãî ïðîãðåñó.
Òåîðåìà 3. Íåõàé λ : R+ → R+ � íåïåðåðâíà íåñïàäíà ôóíêöiÿ,
λ(t) > 0, t > 0 i λ(0) = 0. Òîäi:
1) ∫ x
0
λ(t)
t
dt = O(1)λ(x), x > 0 =⇒ ALipλ(D) ⊃ B1
λ; (8)
2) ÿêùî k ∈ N, òî∫ 1
x
λ(t)
tk+1
dt = O(1)
λ(x)
xk
, 0 < x < 1 =⇒ Bk
λ ⊃ Bk+1
λ ;
3)∫ 1
x
λ(t)
t2
dt = O(1)
λ(x)
x
, 0 < x < 1 =⇒ B1
λ ⊃ B2
λ ⊃ · · · ⊃ Bk
λ ⊃ · · · .
Ç òåîðåì 2 i 3 âèïëèâà¹
Íàñëiäîê 2. Íåõàé λ : R+ → R+ � íåïåðåðâíà íåñïàäíà ôóíê-
öiÿ, λ(t) > 0, t > 0 i λ(0) = 0. ßêùî âèêîíó¹òüñÿ óìîâà∫ x
0
λ(t)
t
dt + x
∫ 1
x
λ(t)
t2
dt = O (λ(x)) , 0 < x < 1,
òî
ALipλ(D) = ALipλ(D) = B1
λ = B2
λ = · · · = Bk
λ = · · · .
192 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
Äîâåäåííÿ. Òâåðäæåííÿ ïóíêòó 1) ¹ áåçïîñåðåäíiì íàñëiäêîì
òåîðåìè ß.Ë. Ãåðîíiìóñà [4, òåîðåìà 4] .
Äîâåäåìî òåïåð ïóíêò 2). Ïåðø çà âñå çàóâàæèìî, ùî çà óìîâè∫ 1
x
λ(t)
tk+1
dt = O(1)
λ(x)
xk
, 0 < x < 1, (9)
äëÿ ôóíêöi¨ λ âèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
lim inf
δ→0+
(δ−kλ(δ)) > 0. (10)
Íåõàé òåïåð f ∈ Bk+1
λ . Âèõîäÿ÷è ç ðiâíîñòi
f (k)(z) =
∫ z
0
f (k+1)(ζ)dζ + f (k)(0), z ∈ D,
äå iíòåãðóâàííÿ âåäåòüñÿ âçäîâæ âiäðiçêà, ùî ç'¹äíó¹ òî÷êè 0 i z, íà
ïiäñòàâi óìîâè (9) îòðèìà¹ìî îöiíêó
|f (k)(z)| ≤
∫ |z|
0
|f (k)(ζ)|dζ + |f (k)(0)| ≤
≤ |f |Bk+1
λ
(∫ |z|
0
λ(1− ζ)
(1− ζ)k+1
dζ + |f (k)(0)|
)
=
= O(1)|f |Bk+1
λ
λ(1− |z|)k
1− |z|
+ |f (k)(0)|.
Çâiäñè, âðàõîâóþ÷è (10), îòðèìà¹ìî ñïiââiäíîøåííÿ
(1− |z|)k
λ(1− |z|)
|f (k)(z)| < O(1)|f |Bk+1
λ
+ |f (k)(0)| (1− |z|)
k
λ(1− |z|)
< ∞,
ÿêå é äîâîäèòü âêëþ÷åííÿ f ∈ Bk
λ.
Äëÿ äîâåäåííÿ ïóíêòó 3) çàóâàæèìî, ùî óìîâà (9), ÿê öå ïîêà-
çàíî â [8], ¹ ðiâíîñèëüíîþ òàêié
∃ C > 1 : lim sup
δ→0
λ(Cδ)
λ(δ)
< Ck.
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 193
Îòæå, ÿêùî âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (9) ïðè k = 1, òî iñíó¹ ñòàëà C > 1
òàêà, ùî
lim sup
δ→0
λ(Cδ)
λ(δ)
< C < C2 < C3 < . . . < Ck < . . . ,
òîáòî óìîâà (9) âèêîíó¹òüñÿ i ïðè êîæíîìó íàòóðàëüíîìó k. Öåé
ôàêò íà ïiäñòàâi âæå äîâåäåíîãî ïóíêòó 2) äîâîäèòü ïóíêò 3).
Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî.
Çàäà÷ó 1 ïîâíiñòþ ðîçâ'ÿçó¹ òàêå òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 4. Íåõàé k ∈ N i λ � ðåãóëÿðíî ìîíîòîííà ìàæîðàí-
òà. Äëÿ òîãî, ùîá âèêîíóâàëîñÿ âêëàäåííÿ (5) íåîáõiäíî i äîñòàò-
íüî, ùîá
C(λ, m) := lim sup
t→0+
λ (t)
tm
∣∣λ (m) (t)
∣∣ < ∞, m = 1, k. (11)
Öå òâåðäæåííÿ ¹ ïî ñóòi ïðåðåôîðìóëþâàííÿì îñíîâíîãî ðåçóëü-
òàòó ç [9].
Íàñëiäîê 3. Íåõàé λ � ðåãóëÿðíî ìîíîòîííà ìàæîðàíòà,
λ′ ∈ L1(0, 1). Äëÿ òîãî, ùîá äëÿ äàíîãî k ∈ N ìàëà ìiñöå ðiâíiñòü
ìíîæèí
ALipλ(D) = L k
λ
íåîáõiäíî i äîñòàòíüî, ùîá âèêîíóâàëàñÿ óìîâà (11).
Çàóâàæåííÿ 3. Ïðèêëàäîì ðåãóëÿðíî ìîíîòîííî¨ ìàæîðàíòè,
ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (7), àëå íå çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (11) ïðè k ≥ 2
¹ ôóíêöiÿ λ(t) = ln(t + 1).
Äîâåäåííÿ. Äîâåäåìî ñïî÷àòêó äîñòàòíiñòü. Äëÿ öüîãî çàôiê-
ñó¹ìî äîâiëüíå z ∈ D i âiçüìåìî ïàðàìåòð R òàêèé, ùî 0 < R < 1−|z|.
Îñêiëüêè f ∈ A Lipλ(D), òî, âèêîðèñòîâóþ÷è iíòåãðàëüíó ôîðìóëó
Êîøi, îòðèìà¹ìî
∣∣∣f (m) (z)
∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
m!
2πi
∫
|z−ζ|=R
f (ζ)− f(z)
(ζ − z)m+1 dζ
∣∣∣∣∣∣∣ =
194 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
=
∣∣∣∣∣∣ m!
2πi
2π∫
0
f
(
z + Reiθ
)
− f (z)
Rm+1e(m+1) iθ
Reiθidθ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ m!
2π
2π∫
0
∣∣f (z + Reiθ
)
− f (z)
∣∣
Rm
dθ ≤ m!|f |Lipλ
λ(R)
Rm
.
Îñêiëüêè ëiâà ÷àñòèíà öi¹¨ íåðiâíîñòi íå çàëåæèòü âiä R, òî â íié
ìîæíà ïåðåéòè äî ãðàíèöi ïðè R → 1−|z|, âíàñëiäîê ÷îãî îòðèìà¹ìî
ñïiââiäíîøåííÿ
|f (m)(z)| ≤ m!|f |Lipλ
λ(1− |z|)
(1− |z|)m
, ∀ z ∈ D, m = 1, k.
Çâiäñè âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
|f |L m
λ
= sup
z∈D
∣∣f (k)(z)
∣∣
λ(m)(1− |z|)
≤ m!|f |Lipλ
sup
t∈(0,1]
λ(t)
tm|λ(m)(t)|
, m = 1, k.
Çàëèøà¹òüñÿ çàóâàæèòè, ùî âíàñëiäîê (11) ñóïðåìóì â ïðàâié ÷à-
ñòèíi ¹ ñêií÷åííèì.
Ñïðàâäi, äëÿ ôóíêöi¨
Fm(δ) := sup
t∈[δ,1]
λ(t)
tm|λ(m)(t)|
, δ ∈ (0, 1],
ÿêà ¹ íåïåðåðâíîþ íà (0, 1], çãiäíî ç (11) lim
δ→0+
Fm(δ) = C(λ, m) < ∞.
Òîìó Fm ìîæíî äîîçíà÷èòè äî íåïåðåðâíî¨ íà [0, 1] ôóíêöi¨, ïîêëàâ-
øè Fm(0) = C(λ, m). Òàêèì ÷èíîì çà òåîðåìîþ Âåé¹ðøòðàñà
sup
t∈(0,1]
λ(t)
tm|λ(m)(t)|
= max
δ∈[0,1]
Fm(δ) < ∞.
Äîâåäåìî òåïåð íåîáõiäíiñòü. Ïîêàæåìî, ùî ïðèïóñòèâøè ñó-
ïðîòèâíå, òîáòî, ùî (11) íå ñïðàâäæó¹òüñÿ, ìîæíà ïîáóäóâàòè
àíàëiòè÷íó ôóíêöiþ f ∈ Lipλ(D), äëÿ ÿêî¨ |f |L k
λ
= ∞. Òîäi ðàçîì ç
(2) öå îçíà÷àòèìå:
L k
λ ⊂ ALipλ(D) $ L k
λ ,
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 195
ùî, î÷åâèäíî, ¹ àáñóðäîì.
Ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó âèïàäîê, êîëè k = 2 i ïðèïóñòèìî, ùî
lim sup
t→0+
λ (t)
t2|λ′′ (t)|
= ∞.
Òîäi iñíó¹ òàêà ìîíîòîííî ñïàäíà ïîñëiäîâíiñòü çíà÷åíü {tj}∞j=1 àð-
ãóìåíòó t ∈ (0, 1], äëÿ ÿêî¨
λ (tj)
t2j |λ′′ (tj)|
≥ 23j , j = 1, 2, .... (12)
Îçíà÷èìî àíàëiòè÷íó â D ôóíêöiþ f çà ïðàâèëîì
f (z) =
∞∑
j=1
ajz
nj , aj =
λ(tj)
2j
, nj =
[
1
tj
]
, (13)
äå [·] îçíà÷๠öiëó ÷àñòèíó äîäàòíîãî ÷èñëà.
Ëåãêî áà÷èòè, ùî äëÿ ðàäióñà çáiæíîñòi Rf ðÿäó (13) âèêîíó¹òüñÿ
ñïiââiäíîøåííÿ
1
Rf
= lim sup
j→∞
|aj |1/nj ≤ lim
j→∞
(
λ(1)
2j
)1/nj
≤ 1.
Òîìó ôóíêöiÿ f ¹ àíàëiòè÷íîþ â êðóçi D.
Ïîêàæåìî òåïåð, ùî f ∈ Lipλ(D). Äëÿ öüîãî íàì áóäå ïîòðiáíà
òàêà
Ëåìà. Íåõàé λ � ìàæîðàíòà. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêîãî l ∈ N
sup
z1,z2∈D
∣∣zl
1 − zl
2
∣∣
λ(|z1 − z2|)
≤ 2
λ(1/l)
. (14)
Äîâåäåííÿ. Ïåðø çà âñå çàóâàæèìî, ùî ðàçîì ç ôóíêöi¹þ λ íà
iíòåðâàëi (0, 1) çðîñò๠i ôóíêöiÿ t 7→ t/λ(t).
Ñïðàâäi, âíàñëiäîê ìîíîòîííîñòi λ′ çà òåîðåìîþ Ëàãðàíæà äëÿ
áóäü-ÿêèõ 0 < t1 ≤ t2 ≤ 1 iñíóþòü c1, c2 ∈ (0, 1), c1 ≤ c2, òàêi, ùî
λ(t1)
t1
=
λ(t1)− λ(0)
t1 − 0
= λ′(c1) ≥ λ′(c2) =
λ(t2)− λ(0)
t2 − 0
=
λ(t2)
t2
.
196 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
Îñêiëüêè äëÿ áóäü-ÿêèõ z1, z2 ∈ D∣∣zl
1 − zl
2
∣∣ = |z1 − z2| ·
∣∣zl−1
1 + zl−2
1 z2 + ... + zl−1
2
∣∣ ≤ l |z1 − z2|, l ∈ N,
òî ∣∣zl
1 − zl
2
∣∣ ≤ min {2, l |z1 − z2|}. (15)
Ïîêëàäåìî t = |z1 − z2|. Òîäi çãiäíî ç (15) ìà¹ìî
sup
z1,z2∈D
∣∣zl
1 − zl
2
∣∣
λ (|z1 − z2|)
≤ max
{
sup
0<t<2/l
l t
λ (t)
, sup
2/l<t≤2
2
λ (t)
}
. (16)
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ t 7→ t
λ (t) çðîñòà¹, òî
sup
0<t< 2
l
l t
λ (t)
≤ 2
λ
(
2
l
) ≤ 2
λ
(
1
l
) ,
sup
2
l <t≤2
2
λ (t)
≤ 2
λ
(
2
l
) ≤ 2
λ
(
1
l
) .
Ïiäñòàâëÿþ÷è îòðèìàíi îöiíêè â (16), îäåðæèìî (14).
Ëåìó äîâåäåíî.
Ïîâåðíåìîñÿ äî äîâåäåííÿ òåîðåìè.
Çãiäíî ç (16) îäåðæèìî
|f |Lipλ(D) = sup
z1, z2∈D
|f (z1)− f (z2)|
λ (|z1 − z2|)
≤
∞∑
j=1
aj sup
z1,z2∈D
∣∣znj
1 − z
nj
2
∣∣
λ (|z1 − z2|)
≤
≤
∞∑
j=1
λ (tj)
2j
· 2
λ
(
n−1
j
) =
∞∑
j=1
21−j λ (tj)
λ
(
n−1
j
) ≤ 2.
Îòæå, f ∈ Lipλ(D).
Ïîêàæåìî òåïåð, ùî äëÿ ôóíêöi¨ f , îçíà÷åíî¨ çà ïðàâèëîì (13),
|f |L 2
λ
= ∞.
Íå âòðà÷àþ÷è çàãàëüíîñòi, áóäåìî ââàæàòè, ùî n1 ≥ 2. Òîäi
f ′′ (z) =
∞∑
j=1
ajnj (nj − 1) znj−2.
Ìàæîðàíòè â òåîðåìi òèïó Ãàðäi�Ëiòòëâóäà . . . 197
Ìà¹ìî
|f |L 2
λ
= sup
z∈D
|f ′′ (z)|
|λ′′ (1− |z|)|
≥ sup
0<r<1
∞∑
j=1
ajnj (nj − 1) rnj−2
|λ′′ (1− r)|
≥
≥ sup
j∈N
sup
0<r<1
ajnj (nj − 1) rnj−2
|λ′′ (1− r)|
.
Ïîêëàäåìî r = 1− tj . Òîäi 1− r = tj i r = 1− tj ≥ 1− n−1
j . Ïðîäîâ-
æóþ÷è äàëi ïîïåðåäíþ îöiíêó, îäåðæèìî
|f |L 2
λ
≥ sup
j∈N
ajnj (nj − 1)
(
1− n−1
j
)nj−2∣∣λ′′ (n−1
j
) ∣∣ =
= sup
j∈N
λ (tj) n3
j
(
1− n−1
j
)nj
2j
∣∣λ′′ (n−1
j
) ∣∣ (nj − 1)
≥ 1
e
sup
j∈N
λ (tj) n2
j
2j
∣∣λ′′ (n−1
j
)∣∣ .
Îñêiëüêè 2nj ≥ t−1
j ≥ nj , òî âíàñëiäîê ìîíîòîííîñòi |λ′′| i ñïiââiä-
íîøåííÿ (12), îñòàòî÷íî îäåðæèìî
|f |L 2
λ
≥ 1
e
sup
j
λ (tj)
2j+2t2j |λ′′ (tj)|
≥ 1
e
sup
j∈N
23j
2j+2
= ∞.
Îòæå, ìè ïîêàçàëè, ùî ÿêùî ì๠ìiñöå âêëàäåííÿ ìíîæèí
A Lipλ(D) ⊂ L 2
λ , òî C(λ, 2) < ∞, à ç äðóãîãî áîêó çãiäíî ç òâåð-
äæåííÿì ì๠ìiñöå i âêëàäåííÿ A Lipλ(D) ⊂ L 1
λ . Öå, â ñâîþ ÷åðãó,
çãiäíî ç òåîðåìîþ Íîëüäåðà�Îáåðëiíà, òÿãíå çà ñîáîþ âèêîíàííÿ
óìîâè C(λ, 1) < ∞.
Òàêèì ÷èíîì, ïîâíiñòþ äîâåäåíî òåîðåìó ïðè k = 2.
Äàëi äîâåäåííÿ íåîáõiäíîñòi óìîâ (11) ïðîâîäèòüñÿ ïîñëiäîâíî
äëÿ êîæíîãî íàòóðàëüíîãî k ≥ 3 ç âèêîðèñòàííÿì àíàëîãi÷íèõ ìið-
êóâàíü. �äèíà âiäìiííiñòü ïîëÿã๠ëèøå â òîìó, ùî çàìiñòü (12) âè-
êîðèñòîâó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
λ (tj)
tkj
∣∣λ(k) (tj)
∣∣ ≥ 2(k+1)j , j = 1, 2, . . . .
Òåîðåìó äîâåäåíî.
198 Î.Ì. Ïiääóáíèé, Â.Â. Ñàâ÷óê
1. Hardy G., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math.
Z. � 1931. � 34. � P. 403 � 439.
2. Ñàìêî Ñ. Ã., Êèëáàñ À. À, Ìàðè÷åâ Î. È. Èíòåãðàëû è ïðîèçâîäíûå äðîá-
íîãî ïîðÿäêà è íåêîòîðûå èõ ïðèëîæåíèÿ. � Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà,
1987. � 688 ñ.
3. Áåðíøòåéí Ñ. Í.Î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ ðåãóëÿðíî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé
// Ñîáðàíèå ñî÷èíåíèé. Ò.1. � Ì: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1952. � C. 350 � 360.
4. Ãåðîíèìóñ ß. Ë. Î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé, íåïðå-
ðûâíûõ â çàìêíóòîì êðóãå èëè êðóãîâîì ñåêòîðå // Ìàòåì. ñá. � 1956. �
38, � 3. � Ñ. 319 � 330.
5. Áðóäíûé Þ. À., Ãîïåíãàóç È. Å. Îáîáùåíèå îäíîé òåîðåìû Õàðäè è
Ëèòòëüâóäà // Ìàòåì. ñá. � 1960. � 52, � 3. � Ñ. 891 � 894.
6. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. � Berlin
Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. � 462 p.
7. Nolder C. A., Oberlin D. M. Moduli of continuity and a Hardy�Littlewood
theorem // Lecture Notes in Math. � 1987. � � 1351. � P. 265 � 272.
8. Áàðè Í. Ê., Ñòå÷êèí Ñ. Á. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ è äèôôåðåíöèàëü-
íûå ñâîéñòâà äâóõ ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé // Òðóäû Ìîñê. ìàòåì. î-âà. �
1956. � 5. � Ñ. 483 � 522.
9. Ãîðáàé÷óê Â. É., Ïiääóáíèé Î. Ì. Ïðî ìàæîðàíòè â òåîðåìi Õàðäi�
Ëiòòëâóäà äëÿ ïîõiäíèõ âèùèõ ïîðÿäêiâ // Óêð. ìàò. æóðí. � 1995. �
47, � 11. � Ñ. 1574 � 1576.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-163 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c7/3eea4e49b4be8ffb214231defbd759c7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1632018-01-29T14:44:27Z Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions Мажоранти в теоремі типу Гарді-Літтлвуда для похідних вищих порядків аналітичних функцій Piddubnyĭ, O. M. Savchuk, V. V. Піддубний, О. М. Савчук, В. В. We study the classes $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)$, $\mathscr L_\lambda^k$ and $\mathscr B_\lambda^k,$ $k\in\mathbb N,$ consisting of analytic functions $f$ for which respectively $|f(z_1)-f(z_2)|=O(|z_1-z_2|)$, $|f^{(k)} z)|=O(|\lambda^{(k)}(1-|z|)|)$ and $|f^{(k)}(z)|=O(\lambda(1-|z|)/(1-|z|)^k)$, $z\in\mathbb D$. We investigate a question of embedding such classes and give conditions for equalities $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)=\mathscr L_\lambda^k=\mathscr B_\lambda^k$ Вивчаються класи $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)$, $\mathscr L_\lambda^k$ і $\mathscr B_\lambda^k,$ $k\in\mathbb N,$ аналітичних функцій $f$, для яких відповідно $|f(z_1)-f(z_2)|=O(|z_1-z_2|)$, $|f^{(k)}(z)|=O(|\lambda^{(k)} 1-|z|)|)$ і $|f^{(k)}(z)|=O(\lambda(1-|z|)/(1-|z|)^k)$, $z\in\mathbb D$. Досліджено вкладення цих класів та вказано умови на мажоранту $\lambda$, за яких $\mathop{\rm Lip}_\lambda(\mathbb D)=\mathscr L_\lambda^k=\mathscrB_\lambda^k$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/163 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 184-198 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 184-198 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 184-198 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/163/134 |
| spellingShingle | Piddubnyĭ, O. M. Savchuk, V. V. Піддубний, О. М. Савчук, В. В. Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title | Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title_alt | Мажоранти в теоремі типу Гарді-Літтлвуда для похідних вищих порядків аналітичних функцій |
| title_full | Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title_fullStr | Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title_full_unstemmed | Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title_short | Majorants in Hardy-Littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| title_sort | majorants in hardy-littlewood type theorem for higher order derivatives of analytic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/163 |
| work_keys_str_mv | AT piddubnyiom majorantsinhardylittlewoodtypetheoremforhigherorderderivativesofanalyticfunctions AT savchukvv majorantsinhardylittlewoodtypetheoremforhigherorderderivativesofanalyticfunctions AT píddubnijom majorantsinhardylittlewoodtypetheoremforhigherorderderivativesofanalyticfunctions AT savčukvv majorantsinhardylittlewoodtypetheoremforhigherorderderivativesofanalyticfunctions AT piddubnyiom mažorantivteoremítipugardílíttlvudadlâpohídnihviŝihporâdkívanalítičnihfunkcíj AT savchukvv mažorantivteoremítipugardílíttlvudadlâpohídnihviŝihporâdkívanalítičnihfunkcíj AT píddubnijom mažorantivteoremítipugardílíttlvudadlâpohídnihviŝihporâdkívanalítičnihfunkcíj AT savčukvv mažorantivteoremítipugardílíttlvudadlâpohídnihviŝihporâdkívanalítičnihfunkcíj |