Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations
We solve exhaustively the group classification problem for $(1+1)$-dimensional equations of hyperbolic type with right-hand side that depends on $u_x$ linearly.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/166 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552686263468032 |
|---|---|
| author | Magda, O. V. Магда, Е. В. Магда, O. В. |
| author_facet | Magda, O. V. Магда, Е. В. Магда, O. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O. В. Магда",
"institution": "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана"
}
] |
| author_sort | Magda, O. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We solve exhaustively the group classification problem for $(1+1)$-dimensional equations of hyperbolic type with right-hand side that depends on $u_x$ linearly. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 184–191
УДК 517.5
О.В. МАГДА
(Київський нацiональний економiчний унiверситет iменi Вадима
Гетьмана, Київ)
olena.magda@yahoo.com
Симетрiйнi властивостi одного класу
рiвнянь гiперболiчного типу
We solve exhaustively the group classification problem for (1+1)-dimen-
sional equations of hyperbolic type with right-hand side that depends on ux
linearly.
Повнiстю розв’язано задачу групової класифiкацiї (1+1)-вимiрних рiв-
нянь гiперболiчного типу, права частина яких лiнiйно залежить вiд ux.
Задача групової класифiкацiї є однiєю iз центральних проблем су-
часного симетрiйного аналiзу диференцiальних рiвнянь (див., напри-
клад, [1–4]). Важливим класом рiвнянь з частинними похiдними є рiв-
няння гiперболiчного типу, якi займають чiльне мiсце серед рiвнянь
математичної фiзики. До них, зокрема, приводять задачi (наближено-
го) опису процесiв нелiнiйних коливань рiзноманiтної природи. Про-
блема групової класифiкацiї деяких (1 + 1)-вимiрних нелiнiйних хви-
льових рiвнянь розглядалась багатьма авторами [5–10]. У данiй статтi
розв’язується задача групової класифiкацiї рiвнянь вигляду
utx = g(t, x)ux + f(t, x, u), g ̸= 0, fuu ̸= 0. (1)
Тут i нижче ut =
∂u
∂t , ux = ∂u
∂x , utt =
∂2u
∂t2 , . . . , f та g – довiльнi гладкi
функцiї своїх аргументiв. Для групової класифiкацiї рiвнянь виду (1)
використовується пiдхiд, який базується на синтезi iнфiнiтезимально-
гo методу Лi, перетворень еквiвалентностi та класифiкацiї абстрактних
скiнченновимiрних дiйсних алгебр Лi. Стосовно класу рiвнянь (1) ал-
горитм методу групової класифiкацiї передбачає виконання наступних
крокiв.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Симетрiйнi властивостi одного класу рiвнянь гiперболiчного типу 185
I. Iз використанням методу Лi знаходимо систему визначальних
рiвнянь для коефiцiєнтiв iнфiнiтезимального оператора, що вiд-
повiдає групi симетрiї рiвняння (1). Iнтегруючи тi з визначаль-
них рiвнянь, якi не включають довiльнi функцiї f та g, одержу-
ємо найбiльш загальний вигляд iнфiнiтезимального оператора,
що допускається рiвняннями вигляду (1). Окрiм цього, прямими
обчисленнями будуємо групу еквiвалентностi E дослiджуваного
рiвняння.
II. Другий крок передбачає побудову реалiзацiй алгебр Лi An роз-
мiрностi n ≤ 3 в класi, отриманих на першому кроцi iнфiнiте-
зимальних операторiв, з точнiстю до еквiвалентностi, яка визна-
чається перетвореннями iз групи E . При цьому, перш нiж здiй-
снювати перехiд вiд реалiзацiй алгебр Лi нижчої розмiрностi до
реалiзацiй алгебр Лi вищої розмiрностi, потрiбно перевiрити ко-
жну отриману реалiзацiю на предмет того, чи може вона бути
алгеброю iнварiантностi дослiджуваного рiвняння. Отриманим
реалiзацiям алгебр Лi iз зростанням їх розмiрностi вiдповiдати-
ме все бiльш визначений вигляд функцiй f та g.
III. Третiй крок передбачає завершення групової класифiкацiї. Тут
знаходимо всi нееквiвалентнi рiвняння дослiджуваного вигляду
та вiдповiднi їм максимальнi алгебри iнварiантностi. Для цього
використовуємо як традицiйнi методи (якщо довiльнi елементи в
дослiджуваному рiвняннi є функцiями одного аргументу), так i
подальшe розширення вже вiдомих реалiзацiй алгебр Лi до реа-
лiзацiй алгебр Лi рiвняння (1) наступної розмiрностi.
Розглянемо деякi попереднi результати.
Твердження. Група лiївської iнварiантностi рiвняння ( 1) гене-
рується iнфiнiтезимальним оператором
Q = τ(t)∂t + ξ(x)∂x + [h(t)u+ r(t, x)]∂u. (2)
Функцiї τ, ξ, h, r, f, g задовольняють такi рiвностi:
rtx + f [h− τt − ξx] = grx + τft + ξfx + [hu+ r]fu, (3)
ht = τtg + τgt + ξgx,
де τ , ξ, h та r — деякi гладкi функцiї, визначенi у вiдкритiй областi Ω
простору V = R2 незалежних змiнних t та x.
186 О.В. Магда
Твердження. Групу еквiвалентностi E рiвняння ( 1) складають
такi перетворення простору R2 × R1:
t̄ = T (t), x̄ = X(x), v = U(t)u+ Y (t, x), TtXxU ̸= 0; (4)
t̄ = T (x), x̄ = X(t), v = Ψ(x)Φ(t, x)u+ Y (t, x), TxXtΨ ̸= 0,
Φ(t, x) = exp
(
−
∫
g(t, x)dt
)
, gx ̸= 0,
де функцiї T , X, U , Y , Ψ є довiльними гладкими функцiями своїх
аргументiв.
Безпосередньою перевiркою неважко переконатися, що у випадку
довiльних значень функцiй g та f iз (3) випливає, що τ = h = ξ = r = 0,
тобто, в загальному випадку оператор (2) є нульовим оператором, а то-
му основна група iнварiантностi рiвняння (1) є тривiальною. Розгляд
розпочинаємо з опису рiвнянь вигляду (1), якi мають найнижчi симе-
трiйнi властивостi.
Лема. З точнiстю до перетворень ( 4) iснують лише п’ять не
еквiвалентних операторiв ( 2), якi можуть бути вибраними у ви-
глядi:
Q = t∂t + x∂x; Q = ∂t; Q = ∂x + tu∂u;
Q = ∂x + ϵu∂u, ϵ = 0, 1; Q = tu∂u, (5)
Q = u∂u, Q = r(t, x)∂u, r ̸= 0.
Доведення. Перша група перетворень (4) зводить оператор Q (2) до
Q̃ = τT ′∂t̄ + ξX ′∂x̄ + [(τU ′ + Uh)u+ τYt + ξYx + Ur]∂v. (6)
Якщо σ · ξ ̸= 0, то, поклавши в (4) функцiї T, X та U рiвними нену-
льовим розв’язкам рiвнянь
τT ′ = T, ξX ′ = X, τU ′ + hU = 0,
а функцiю Y рiвною розв’язковi рiвняння
τYt + ξYx + Ur = 0,
бачимо, що у цьому випадку оператор Q̃ (6) набуває такого вигляду:
Q̃ = t̄∂t̄ + x̄∂x̄.
Симетрiйнi властивостi одного класу рiвнянь гiперболiчного типу 187
Якщо τ ̸= 0, a ξ = 0, то, взявши в якостi функцiй T, U, Y розв’язки
рiвнянь
τT ′ = 1, τU ′ + hU = 0 (U ̸= 0), τYt + Ur = 0,
зводимо оператор (2) до оператора Q̃ = ∂t̄. Якщо τ = 0, ξ ̸= 0, то
у випадку h′ ̸= 0 аналогiчно приходимо до оператора Q̃ = ∂x̄ + t̄v∂v,
якщо ж h′ = 0, — то до оператора Q̃ = ∂x̄ + ϵv∂v, де ϵ = 0 або ϵ = 1.
Нарештi, якщо τ = ξ = 0, то, як неважко переконатися, мають
мiсце такi випадки: Q̃ = t̄v∂v, Q̃ = v∂v, Q̃ = r(t̄, x̄)∂v. Повернув-
шись до початкових позначень змiнних, отримуємо перелiк операторiв
iз формулювання леми.
Лему доведено.
Теорема 1. З точнiстю до перетворень з групи еквiвалентностi
iснують три нелiнiйнi рiвняння вигляду ( 1), якi допускають одно-
параметричнi групи iнварiантностi. Вiдповiднi одновимiрнi алгебри
Лi iнфiнiтезимальних операторiв, якi генерують цi групи, а також
функцiї f та g у вiдповiдних рiвняннях, наведенi нижче:
A1
1 = ⟨t∂t + x∂x⟩ : g = t−1g̃(ω), f = t−2f(u, ω), ω = tx−1,
g̃ω ̸= 0, fuu ̸= 0;
A2
1 = ⟨∂t⟩ : g = g̃(x), f = f̃(x, u), g̃′ ̸= 0, f̃uu ̸= 0;
A3
1 = ⟨∂x + tu∂u⟩ : g = x+ g̃(t), f = etxf̃(t, ω), ω = e−txu, f̃ωω ̸= 0.
Доведення. Якщо рiвняння (1) допускає однопараметричну групу
перетворень, то ця група генерується iнфiнiтезимальним оператoрoм
вигляду (2). Згiдно з результатами леми iснують перетворення (4) з
групи E рiвняння (1), якi зводять цей оператор до одного з семи опе-
раторiв (5). Залишається для кожного з цих операторiв розв’язати ви-
значальну систему (3). Для перших трьох операторiв (5) приходимо до
значень функцiй, якi наведенi у формулюваннi теореми. Для операто-
ра ∂x + ϵu∂u, ϵ = 0, 1, друге з рiвнянь (3) набуває вигляду gx = 0, що
суперечить умовам, якi накладенi на функцiю g. Для оператора tu∂u
друге рiвняння (3) набуває вигляду хибної рiвностi 1 = 0.
Нарештi, для двох останнiх операторiв (5) вiдповiднi функцiї f є
лiнiйними функцiями вiдносно змiнної u.
Безпосереднє використання стандартного алгоритму Лi–
Овсяннiкова показало, що для отриманих рiвнянь, у випадку
довiльних значень функцiй f̃ та g̃, вiдповiднi одновимiрнi алгебри
операторiв симетрiї є максимальними алгебрами iнварiантностi.
188 О.В. Магда
Теорему доведено.
Добре вiдомо (див. [11]), що з точнiстю до iзоморфiзму iснують двi
дiйснi розв’язнi двовимiрнi алгебри Лi A2.i = ⟨e1, e2⟩, i = 1, 2:
A2.1 : [e1, e2] = 0;
A2.2 : [e1, e2] = e2.
Класифiкацiя рiвнянь (1), iнварiантних вiдносно двовимiрних ал-
гебр Лi.
Теорема 2. З точнiстю до перетворень з групи еквiвалентностi,
iснують три нелiнiйнi рiвняння вигляду ( 1), iнварiантних вiдносно
двовимiрних алгебр Лi, якi включають алгебру A2.2 як пiдалгебру. Вiд-
повiднi реалiзацiї iнфiнiтезимальних операторiв та функцiй f i g в
рiвняннях ( 1) мають вигляд:
A1
2.2 = ⟨t∂t + x∂x, t
2∂t + x2∂x +mut∂u⟩ (m ∈ R) :
g = [mt+ (k −m)x]t−1(t− x)−1, k ̸= 0,
f = |t− x|m−2|x|−mf̃(ω),
ω = u|t− x|−m|x|m, f̃ωω ̸= 0;
A2
2.2 = ⟨t∂t + x∂x, t
2∂t +mtu∂u⟩ (m ∈ R) :
g = t−2[kx+mt], k ̸= 0, f = |t|m−2|x|−mf̃(ω),
ω = |t|−m|x|mu, f̃ωω ̸= 0;
A3
2.2 = ⟨t∂t + x∂x, x
2∂x + tu∂u⟩ :
g = (tx)−1(mx− t) (m ∈ R), f = x−2e−tx−1
f̃(ω),
ω = uetx
−1
, f̃ωω ̸= 0.
Для доведення теореми достатньо провести розширення реалiза-
цiй Ai
3 (i = 1, 2, 3) до реалiзацiй алгебр A2.1, A2.2, доповнивши їх ще
одним операторoм вигляду (2). Вiдзначимо, що наведенi у формулю-
ваннi теореми 2 реалiзацiї алгебри A2.2 є максимальними алгебрами
iнварiантностi вiдповiдних рiвнянь.
Оскiльки усi рiвняння, якi отриманi в теоремi 2, мiстять довiль-
нi функцiї одного аргументy, для їх подальшої групової класифiкацiї
можна скористатися методом Овсяннiкова.
Зупинимося детально на випадку A1
2.2–iнварiантного рiвняння.
Симетрiйнi властивостi одного класу рiвнянь гiперболiчного типу 189
Друге визначальне рiвняння (3) набуває вигляду
(t− x)2ht = t−1τt[m(t− x)2 + kx(t− x)] + (7)
τ [−t−2m(t− x)2 − 2kt−1x+ kt−2x2] + kξ.
Продиференцiювавши обидвi частини рiвностi (7) двiчi за змiнною x,
приходимо до рiвностi
ht = (m− k)(t−1τt − t−2τ) + kξ′′,
звiдки випливає, що ξ′′′ = 0, а тому
ξ = λ1x
2 + λ2x+ λ3, λ1, λ2, λ3 ∈ R,
h = (m− k)t−1τ + λ1kt+ λ4, λ4 ∈ R.
Врахувавши отриманi значення ξ i h, з (7) маємо, що τ = λ1t
2+λ2t+λ3.
Отже, з рiвняння (7) випливає, що в iнфiнiтезимальному операторi (2),
який генерує групу симетрiї A1
2.2–iнварiантного рiвняння
τ = λ1t
2 + λ2t+ λ3,
ξ = λ1x
2 + λ2x+ λ3,
h = mλ1t+ (m− k)λ3t
−1 + (m− k)λ2 + λ4, λ1, λ2, λ3, λ4 ∈ R.
Внаслiдок цього, перше визначальне рiвняння (3) для A1
2.2–
iнварiантного рiвняння набуває вигляду
{x−1(t− x)−1[((m− k)λ2 + λ4)(tx− x2)− (m− k)λ3t
−1x2 −
−kλ3x+mλ3t]ω + r|t− x|−m|x|m}f̃ω −
−x−1(t− x)−1[((m− k)λ2 + λ4)(tx− x2)− (8)
−(m− k)λ3t
−1x2 − kλ3x+mλ3t]f̃ =
= |t− x|−m+2|x|m[rtx − t−1(m+ kx(t− x)−1rx].
Враховуючи рiвнiсть (8), отримуємо, що у випадку довiльних значень
функцiй f̃ максимальна алгебра iнварiантностi дослiджуваного рiвня-
ння збiгається з реалiзацiєю A1
2.2. Також, з (8) випливає, що розшире-
ння основної групи iнварiантностi можливе, коли функцiя f̃ задоволь-
няє рiвняння вигляду
(aω + b)f̃ω − af̃ = c, (9)
190 О.В. Магда
де a, b, c ∈ R, |a|+ |b| ̸= 0. Але, як неважко переконатися, iз (9) випли-
ває, що
(aω + b)f̃ωω = 0,
тобто fωω = 0, а це суперечить накладеним на функцiю f в рiвняннi (1)
умовам. Отже, в рамках сформульованої задачi A1
2.2–iнварiантне рiв-
няння не допускає розширення основної групи iнварiантностi. До ана-
логiчного результату приводить розгляд i A2
2.2– та A2
2.3–iнварiантних
рiвнянь. Звiдси, зокрема, випливає, що не iснують рiвняння вигля-
ду (1), максимальнi алгебри iнварiантностi яких були б розв’язними
алгебрами Лi розмiрностi вищої за 2. Також, враховуючи, що алге-
бра sl(2,R) має двовимiрну пiдалгебру, яка iзоморфна алгебрi A2.2,
можемо стверджувати, що не iснують нелiнiйнi рiвняння вигляду (1),
алгебри iнварiантностi яких iзоморфнi алгебрi sl(2,R) або мiстять її як
пiдалгебру. Нарештi, неважко переконатися, що в класi операторiв (2)
не iснують i реалiзацiї алгебри so(3).
Враховуючи сказане вище, можна сформулювати твердження.
Теорема 3. З точнiстю до еквiвалентностi нелiнiйнi рiвняння ви-
гляду (1), якi мають нетривiальну симетрiю, вичерпуються рiвня-
ннями, якi наведено в теоремах 1 та 2.
На цьому групову класифiкацiю рiвняння (1) завершено.
Висновки. У данiй роботi повнiстю розв’язано задачу групової класи-
фiкацiї квазiлiнiйних хвильових рiвнянь, права частина яких лiнiйно
залежить вiд ux.
Лiтература
[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. —
М.: Наука, 1978 (English transl.: Academic Press, NY, 1982).
[2] Olver P. J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. — New-
York: Springer–Verlag, 1986.
[3] Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и
точные решения нелинейных уравнений математической физики. —
К.: Наукова думка, 1989 (English transl.: Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 1993).
[4] Fushchych W. I., Zhdanov R. Z. Symmetries and exact solutions of nonlinear
Dirac equations. — Kyiv: Mathematical Ukraina Publishers, 1997.
Симетрiйнi властивостi одного класу рiвнянь гiперболiчного типу 191
[5] Bihlo A., Dos Santos Cardoso-Bihlo E., Popovych R.O. Complete group
classification of a class of nonlinear wave equations // J. Math. Phys. —
2012. — 53. — P. 123515.
[6] Ames W.F., Adams E., Lohner R.J. Group properties of
utt = [f(u)ux]x // Int. J. Non. Mech. — 1981. — 16, No. 5–6. —
P. 439–447.
[7] Oron A., Rosenau Ph. Some symmetries of the nonlinear heat and wave
equations // Phys. Lett. A. — 1986. — 118, № 4. — P. 172 – 176.
[8] Suhubi E.S., Bakkaloǧlu A. Group poperties and similarity solutions for a
quasi-linear wave equation in the plane // Int. J. Non. Mech. — 1991. —
26, No. 5 — P. 567 – 584.
[9] Torrisi M., Valenti A. Group properties and invariant solutions for infini-
tesimal transformations of a nonlinear wave equation // Int. J. Non. Mech.
— 1985. — 20, № 3 — P. 135 – 144.
[10] Torrisi M., Valenti A. Group analysis and some solutions of a nonlinear
wave equation // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1990. — 38, № 2 —
P. 445 – 458; applications. — Warszawa: PWN-Polish Scientific, 1977.
[11] Barut A., Raczka R. Theory of group representations and applications. —
Warszawa: PWN-Polish Scientific, 1977.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-166 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:22Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/91eebb300b298fca186de18602d1d945.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1662018-01-23T12:10:05Z Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations Симетрійні властивості одного класу рівнянь гіперболічного типу Magda, O. V. Магда, Е. В. Магда, O. В. We solve exhaustively the group classification problem for $(1+1)$-dimensional equations of hyperbolic type with right-hand side that depends on $u_x$ linearly. Повністю розв'язано задачу групової класифікації $(1+1)$-вимірних рівнянь гіперболічного типу, права частина яких лінійно залежить від $u_x$. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/166 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 184–191 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 184–191 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 184–191 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/166/160 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Magda, O. V. Магда, Е. В. Магда, O. В. Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title | Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title_alt | Симетрійні властивості одного класу рівнянь гіперболічного типу |
| title_full | Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title_fullStr | Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title_full_unstemmed | Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title_short | Symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| title_sort | symmetric properties of one class of hyperbolic type equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/166 |
| work_keys_str_mv | AT magdaov symmetricpropertiesofoneclassofhyperbolictypeequations AT magdaev symmetricpropertiesofoneclassofhyperbolictypeequations AT magdaov symmetricpropertiesofoneclassofhyperbolictypeequations AT magdaov simetríjnívlastivostíodnogoklasurívnânʹgíperbolíčnogotipu AT magdaev simetríjnívlastivostíodnogoklasurívnânʹgíperbolíčnogotipu AT magdaov simetríjnívlastivostíodnogoklasurívnânʹgíperbolíčnogotipu |