About Baire property of space of separately continuous functions
We propose three methods for proving that locally convexspace $S = CC [0,1] ^ 2$ of separately continuous functions $f:[0,1] ^2 \rightarrow \mathbb {R}$ on the square $[ 0,1] ^ 2$ withtopology of layer-wise uniform convergence is the set of the firstcategory, therefore, is not Baire space. The metho...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/167 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552685953089536 |
|---|---|
| author | Voloshyn, G. A. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, A. V. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. А. В. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. |
| author_facet | Voloshyn, G. A. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, A. V. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. А. В. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. А. Волошин",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "В. К. Маслюченко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "О. В. Маслюченко",
"institution": "Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Slupsku, Slupsk, Polska"
}
] |
| author_sort | Voloshyn, G. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We propose three methods for proving that locally convexspace $S = CC [0,1] ^ 2$ of separately continuous functions $f:[0,1] ^2 \rightarrow \mathbb {R}$ on the square $[ 0,1] ^ 2$ withtopology of layer-wise uniform convergence is the set of the firstcategory, therefore, is not Baire space. The methods of$\varepsilon$-nets, function of calculation or topological gameswere used in this research. These approaches were generalized onspaces $CC (X \times Y)$ of separately continuous functions $f: X\times Y \rightarrow \mathbb {R} $, which were topologizedrespectively. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 78–96
УДК 517.5
Волошин Г.А.1,2, Маслюченко В.К.1,
Маслюченко О.В.1,3
1 (Чернiвецький нацiональний унiверситет iм.Ю.Федьковича,
Чернiвцi)
2 (Буковинський державний фiнансово-економiчний унiверситет,
Чернiвцi)
3 (Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Slupsku, Slupsk, Polska)
Про беровiсть простору нарiзно
неперервних функцiй
We propose three methods for proving that locally convex space S =
CC[0, 1]2 of separately continuous functions f : [0, 1]2 → R on the square
[0, 1]2 with topology of layer-wise uniform convergence is the set of the
first category, therefore, is not Baire space. The methods of ε-nets, functi-
on of calculation or topological games were used in this research. These
approaches were generalized on spaces CC(X × Y ) of separately conti-
nuous functions f : X × Y → R, which were topologized respectively.
Запропоновано три методи доведення того, що локально опуклий про-
стiр S = CC[0, 1]2 нарiзно неперервних функцiй f : [0, 1]2 → R на ква-
дратi [0, 1]2 з топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi є множиною
першої категорiї, отже, не є берiвським. Вони використовують ε-сiтки,
функцiю обчислення чи топологiчнi iгри. Цi пiдходи узагальнено на
простори CC(X × Y ) нарiзно неперервних функцiй f : X × Y → R, якi
вiдповiдним чином топологiзовано.
1. Вступнi зауваження. Для топологiчних просторiв X,
Y i Z символом CC(X × Y, Z) ми позначаємо сукупнiсть усiх нарi-
зно неперервних вiдображень f : X × Y −→ Z. При Z = R сукупнiсть
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 79
CC(X×Y ) = CC(X×Y,R) утворює дiйсний векторний простiр. Якщо
X i Y — це компактнi простори, то ми можемо ввести переднорми на
векторному просторi CC(X × Y ), покладаючи для довiльних x ∈ X
i y ∈ Y : ∥f∥x = ∥fx∥∞, ∥f∥y = ∥fy∥∞, де ∥g∥∞ = max
t∈T
|g(t)| — рiв-
номiрна норма неперервної функцiї g : T −→ R, заданої на компа-
ктному просторi T , i fx(y) = fy(x) = f(x, y). Сукупнiсть переднорм
N (X,Y ) = {∥ · ∥x : x ∈ X} ∪ {∥ · ∥y : y ∈ Y } породжує на просторi
CC(X × Y ) деяку локально опуклу топологiю, яку ми позначатиме-
мо символом T = T (X,Y ). Вона називається топологiєю пошарово
рiвномiрної збiжностi. Для кожної точки p = (x, y) ∈ X × Y введемо
переднорму Np на CC(X×Y ), покладаючи Np(f) = max{∥f∥x, ∥f∥y} =
= max
q∈cr(p)
|f(q)|, де cr(p) = ({x} × Y ) ∪ (X × {y}). Легко перевiрити, що
локально опукла топологiя, що породжується сукупнiстю переднорм
N (X × Y ) = {Np : p ∈ X × Y } збiгається з топологiєю T .
Топологiя T (X,Y ) у випадку X = Y = [0, 1] була введена в тезах [1],
а її властивостi вивчалися в працi [2], де, зокрема, було встановлено,
що локально опуклий простiр S = (CC[0, 1]2, T ) — це повний сепа-
рабельний неметризовний локально опуклий простiр. Там також була
окреслена програма дослiдження подальших властивостей локально
опуклого простору S.
Тут ми починаємо реалiзовувати цю програму з дослiдження пи-
тання про беровiсть простору S. Ми доводимо трьома iстотно рiзними
способами, що простiр S не берiвський. Перший використовує ε-сiтки
i дає явне зображення S у виглядi об’єднання послiдовностi нiде не
щiльних множин, вiн узагальнюється на випадок метризовних компа-
ктiв без iзольованих точок. Другий базується на тому, що для компа-
ктiв X i Y без iзольованих точок i простору Z = CC(X × Y ), надiле-
ному топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi, функцiя обчислення
Φ: X × Y × Z −→ R, Φ(x, y, z) = z(x, y), нарiзно неперервна i скрiзь
розривна. Цей спосiб застосовний до таких компактiв X i Y без iзо-
льованих точок, для яких для берiвського простору Z кожна нарiзно
неперервна функцiя f : X × Y × Z −→ R має хоча б одну точку непе-
рервностi, наприклад, для компактiв з першою аксiомою злiченностi.
Третiй спосiб використовує гру Банаха-Мазура та iдеї праць [4, 5] i
застосовний для довiльних компактiв без iзольованих точок чи навiть
у загальнiшому випадку (теорема 9). Таким чином, в цiй статтi вста-
новлено, що для довiльних компактiв X i Y без iзольованих точок
простiр CC(X × Y ) з топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi не
80 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
берiвський, а є множиною першої категорiї в собi. Цей результат анон-
совано в тезах [3].
2. Побудова ε-сiток у просторах без iзольованих
точок. Нагадаємо, що пiдмножина A метричного простору (T, d) на-
зивається ε-сiткою множини E ⊆ T , якщо для кожного t ∈ E iснує
такий елемент a ∈ A, що d(t, a) < ε. Якщо множина E для кожного
ε > 0 має скiнченну ε-сiтку A ⊆ T , то вона називається цiлком обме-
женою. Легко перевiрити [6, с.143, теорема 2], що цiлком обмежена
множина E для кожного ε > 0 має скiнченну ε-сiтку B, що мiститься
в E.
Точка t множини E в топологiчному просторi T називається iзо-
льованою в E, якщо iснує такий її окiл U в T , що U ∩ E = {t}.
Нам будуть потрiбнi деякi допомiжнi твердження, в яких викори-
стовується поняття ε-сiтки, для доведення неберовостi простору S пер-
шим способом.
Лема 1. Нехай (T, d) — метричний простiр i E – цiлком обмежена
множина в T без iзольованих точок. Тодi для кожного ε > 0 iсну-
ють такi двi скiнченнi ε-сiтки A i B множини E, що A ∩ B = ∅ i
A ∪B ⊆ E.
Доведення. Нехай ε > 0. Оскiльки множина E цiлком обмежена,
то в нiй iснує деяка скiнченна ε-сiтка A. Множина E\A теж цiлком
обмежена, бо E\A ⊆ E. Тому iснує така ε
2 -сiтка B множини E\A, що
B ⊆ E\A. Покажемо, що B — це ε-сiтка множини E. Нехай t ∈ E.
Якщо t ̸∈ A, то iснує такий елемент b ∈ B, що d(t, b) < ε
2 < ε.
Припустимо, що t ∈ A. Число δ0 = min{d(t, a) : a ∈ A, a ̸= t} обо-
в’язково iснує, адже множина A скiнченна, i бiльше нуля. Покладемо
ε0 = min{δ0, ε
2} i розглянемо окiл U0 = {u ∈ T : d(u, t) < ε0} то-
чки t в T . Оскiльки точка t не iзольована, то iснує такий елемент
u0 ∈ U0 ∩ E, що u0 ̸= t. Ясно, що u0 ̸∈ A, бо u0 ̸= t i d(a, t) ≥ δ0 ≥ ε0
для кожного a ∈ A\{t}, a d(u0, t) < ε0. Таким чином, u0 ∈ E\A,
отже, для нього iснує такий елемент b0 ∈ B, що d(u0, b0) < ε
2 . Тодi
d(t, b0) ≤ d(t, u0) + d(u0, b0) < ε0 + ε
2 ≤ ε
2 + ε
2 = ε. Ми з’ясували, що
B — це ε-сiтка множини E, крiм того, A ∩B = ∅, бо B ⊆ E\A. Отже,
шуканi скiнченнi ε-сiтки A i B множини E побудованi.
Лема 2. Нехай E i F — пiдмножини метричного простору (T, d),
такi, що E ⊆ F ⊆ E, 0 < ε0 < ε i A — ε0-сiтка множини E, що
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 81
мiститься в E. Тодi A буде ε-сiткою множини F , що мiститься в
F .
Доведення. Нехай u ∈ F i δ = ε − ε0. Оскiльки F ⊆ E i δ > 0,
то iснує така точка t ∈ E, що d(u, t) < δ. Для точки t знайдемо таке
a ∈ A, що d(t, a) < ε0. Тодi d(u, a) ≤ d(u, t)+ d(t, a) < δ+ ε0 = ε. Таким
чином, A — це ε-сiтка множини F , причому A ⊆ E ⊆ F .
3. Леми про пiдмножини простору CC(X × Y ), що
породженi ε-сiтками. Нехай X i Y — метричнi простори. Вiд-
станi мiж елементами x′ i x′′ чи y′ i y′′ у просторах X i Y вiдповiдно
позначимо символами |x′ − x′′|X i |y′ − y′′|Y . Для точок p′ = (x′, y′) i
p′′ = (x′′, y′′) з добутку P = X × Y покладемо
d(p′, p′′) = |p′ − p′′|P = max{|x′ − x′′|X , |y′ − y′′|Y }.
Легко перевiрити, що d – це метрика на P , яка породжує топологiю
добутку на P . При цьому ε-окiл Wε(p0) = {p ∈ P : d(p, p0) < ε}
точки p0 в добутку P є добутком Uε(x0) × Vε(y0) ε-околiв Uε(x0) =
= {x ∈ X : |x − x0|X < ε} i Vε(y0) = {y ∈ Y : |y − y0|Y < ε} у
просторах X i Y , вiдповiдно.
Нехай X i Y — це метричнi компакти. Тодi їх добуток P = X × Y
з вище введеною метрикою d теж буде метричним компактом. Тi ε-
сiтки, що ми далi будемо розглядати в добутку P стосуються саме цiєї
метрики d.
Лема 3. Нехай X i Y — метричнi компакти, P = X × Y , ε > 0,
c ∈ R i
G = {f ∈ CC(X × Y ) : ∃ скiнченна ε-сiткаA вP, така, що
(∀p ∈ A)(f(p) < c)}.
Тодi G — це вiдкрита множина у просторi CC(X × Y ).
Доведення. Нехай f0 ∈ G. Тодi iснує така скiнченна ε-сiтка
A = {p1, . . . , pn} в P , що f0(pk) < c для кожного k = 1, . . . , n. Вве-
демо числа εk = c− f0(pk) для k = 1, . . . , n i ε = min{εk : k = 1, . . . , n}.
Ясно, що ε > 0. Розглянемо окiл
O = {f ∈ CC(X × Y ) : max
k=1,...,n
Npk
(f − f0) < ε}
82 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
точки f0 у просторi CC(X × Y ) i покажемо, що O ⊆ G.
Нехай f ∈ O. Тодi
f(pk) = f0(pk) + f(pk)− f0(pk) ≤ f0(pk) + |f(pk)− f0(pk)| ≤
≤ f0(pk) +Npk
(f − f0) < f0(pk) + ε ≤ f0(pk) + εk = c
для кожного k = 1, . . . , n, отже, f ∈ G. Це i доводить вiдкритiсть
множини G в CC(X × Y ).
Зауважимо, що насправдi множина G з леми 3 вiдкрита у просторi
CC(X×Y ) з топологiєю поточкової збiжностi, яка слабша вiд топологiї
T .
Аналогiчно доводиться i вiдкритiсть множини
H = {f ∈ CC(X × Y ) : ∃ скiнченна ε-сiткаB вP, така, що
(∀p ∈ B)(f(p) > c)}.
Лема 4. Нехай X i Y — метричнi компакти без iзольованих точок,
P = X × Y , c1 < c2, ε > 0 i G — це множина всiх тих функцiй
f ∈ CC(X × Y ), для яких iснують такi скiнченнi ε-сiтки A i B в P ,
що f(p) < c1 на A i f(p) > c2 на B. Тодi множина G вiдкрита i всюди
щiльна в CC(X × Y ).
Доведення. Розглянемо множини
G1 = {f ∈ CC(X × Y ) : ∃ скiнченна ε-сiткаA вP |f(p) < c1 наA},
G2 = {f ∈ CC(X × Y ) : ∃ скiнченна ε-сiткаB вP |f(p) > c2 наB}.
Ясно, що G = G1 ∩G2. За доведеним вище множини G1 i G2 вiдкритi,
тому i множина G вiдкрита в CC(X × Y ).
Доведемо, що G — всюди щiльна множина в CC(X × Y ). Нехай
f0 ∈ CC(X × Y ), p1, . . . , pn ∈ P , pk = (xk, yk), δ > 0 i
O = {f ∈ CC(X × Y ) : max
k=1,...,n
Npk
(f − f0) < δ}
— базисний окiл точки f0 у просторi CC(X×Y ). Покажемо, що O∩G ̸=
∅. Розглянемо замкнену в P множину F =
n∪
k=1
cr(pk) i її доповнення
E = P\F . Спочатку з’ясуємо, що E = P .
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 83
Нехай X0 = X\{x1, . . . , xn} i Y0 = Y \{y1, . . . , yn}. Оскiльки
p = (x, y) ∈ F тодi i тiльки тодi, коли x = xk або y = yk для де-
якого k = 1, . . . , n, то p = (x, y) ∈ E = P\F тодi i тiльки тодi, коли
x ̸= xk i y ̸= yk для кожного k = 1, . . . , n, тобто x ∈ X0 i y ∈ Y0. Таким
чином, E = X0 × Y0. З того, що простори X i Y не мають iзольованих
точок, легко вивести, що X0 = X i Y0 = Y . Тодi
E = X0 × Y0 = X0 × Y0 = X × Y = P.
Оскiльки P — це метричний компакт, то кожна його пiдмножина,
зокрема, множина E, буде цiлком обмеженою. Нехай 0 < ε0 < ε. За
лемою 1 iснують такi скiнченнi ε0-сiтки A i B у множинi E, що A∩B =
∅ i A∪B ⊆ E. За лемою 2 цi множини A i B будуть ε-сiтками в P , адже
P = E. Множини F , A i B замкненi в P i попарно не перетинаються.
Розглянемо функцiю
g0(p) =
c1 − 1, p ∈ A,
c2 + 1, p ∈ B,
f0(p), p ∈ F.
Оскiльки f0 — нарiзно неперервна функцiя, то звуження f0|cr(pk) буде
неперервним для кожного k = 1, . . . , n, а тодi i звуження f0|F = g0|F
теж будуть неперервними. Звуження g0|A i g0|B сталi, а тому i вони
неперервнi. В такому разi i функцiя g0, що задана на замкненiй пiд-
множинi F0 = A⊔B ⊔F добутку P = X × Y буде неперервною. За те-
оремою Тiтце-Урисона [10, c.116] iснує неперервна функцiя f : P → R,
для якої g|F0 = g0. Для цiєї функцiї g|F = g0|F = f0|F , отже, g ∈ O, бо
g ∈ CC(X × Y ) i Npk
(g − f0) = 0 для кожного k = 1, . . . , n. Крiм того,
g(p) = g0(p) = c1−1 < c1 для кожного p ∈ A i g(p) = g0(p) = c2+1 > c2
для кожного p ∈ B, а множини A i B – це скiнченнi ε-сiтки в P , отже,
g ∈ G. Таким чином, g ∈ O ∩G, отже, O ∩G ̸= ∅, а значить, множина
G всюди щiльна в CC(X × Y ).
4. Перший спосiб доведення неберовостi простору
CC(X ×Y ). Нагадаємо, що топологiчний простiр X називається бе-
рiвським [8, c. 68], якщо в ньому кожна вiдкрита непорожня множина
G є множиною другої категорiї. Легко перевiрити [8, c. 68], що топо-
логiчний векторний простiр X буде берiвськм тодi i тiльки тодi, коли
X буде множиною другої категорiї в собi, отже, неберовiсть такого
простору означає, що вiн є множиною першої категорiї в собi.
84 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
Теорема 1. Нехай X i Y — метричнi компакти без iзольованих то-
чок i для кожного номера n множина Gn складається з усiх нарiзно
неперервних функцiй f : X×Y −→ R, для яких iснують такi скiнчен-
нi 1
n -сiтки An i Bn в P = X × Y , що f(p) < 0 на An i f(p) > 1 на Bn.
Тодi множини Gn вiдкритi i всюди щiльнi у просторi CC(X × Y ), їх
перетин
∞∩
n=1
Gn = ∅, а їх доповнення Fn = CC(X × Y )\Gn замкненi i
нiде не щiльнi в CC(X×Y ) i CC(X×Y ) =
∞∪
n=1
Fn є множиною першої
категорiї.
Доведення. Те, що множини Gn вiдкритi i всюди щiльнi в
CC(X × Y ), доведено в лемi 4. Залишається довести, що
∞∩
n=1
Gn = ∅. Нехай це не так, тобто iснує така нарiзно неперервна
функцiя f : X × Y −→ R, що f ∈ Gn для кожного n. Тодi для кожного
n iснують такi скiнченнi 1
n -сiтки An i Bn в P , що f(p) < 0 на An i
f(p) > 1 на Bn. Покладемо A =
∞∪
n=1
An i B =
∞∪
n=1
Bn. Нескладно
перевiрити, що A i B — це всюди щiльнi пiдмножини добутку P , при-
чому f(p) < 0 на A i f(p) > 1 на B. Звiдси легко вивести, що функцiя
f скрiзь розривна. Справдi, нехай p — довiльна точка з P i U — до-
вiльний її окiл. Оскiльки A = P = B, то iснують такi точки a ∈ A
i b ∈ B, що {a, b} ⊆ U . Тодi f(a) < 0 i f(b) > 1, отже, коливання
ωf (U) = sup{|f(p′) − f(p′′)| : p′, p′′ ∈ U} ≥ |f(b) − f(a)| = 1. Звiдси
випливає, що коливання в точцi p
ωf (p) = inf{ωf (U) : U − довiльний окiл точки p в P} ≥ 1,
а в точцi неперервностi ωf (p) = 0, отже, f розривна в точцi p.
Але, як добре вiдомо (див. [9, c.391] i багато загальнiших ре-
зультатiв з [10]), для метричних компактiв X i Y кожна функцiя
g ∈ CC(X×Y ) неперервна за сукупнiстю змiнних хоча б в однiй точцi
з X × Y , що приводить до суперечностi.
Таким чином,
∞∩
n=1
Gn = ∅ i теорема доведена.
5. Другий спосiб доведення неберовостi простору
CC(X × Y ). Тепер ми подамо другий спосiб доведення неберовостi
простору CC(X × Y ), який застосовний до ширшого класу компактiв
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 85
X i Y , але не дає явного зображення простору CC(X×Y ) у виглядi об’-
єднання послiдовностi нiде не щiльних множин. Цей другий спосiб ба-
зується на однiй властивостi так званої функцiї обчислення на просторi
Z = CC(X × Y ) з топологiєю пошарово рiвномiрної збiжностi, тобто
вiдображення Φ: X × Y × Z −→ R, для якого Φ(x, y, z) = z(x, y)
для довiльних x ∈ X, y ∈ Y i z ∈ Z.
Теорема 2. Нехай X i Y — компакти без iзольованих точок,
Z = CC(X × Y ) i Φ: X × Y × Z −→ R — функцiя обчислення. То-
дi Φ — це нарiзно неперервна i скрiзь розривна функцiя.
Доведення. Неперервнiсть Φ вiдносно змiнних x i y для фiксовано-
го z ∈ Z випливає з нарiзної неперервностi функцiї z : X × Y −→ R, а
неперервнiсть вiдносно змiнної z при фiксованих x i y випливає з того,
що топологiя пошарово рiвномiрної збiжностi на Z мажорує тополо-
гiю поточкової збiжностi на Z, адже |z(p)| ≤ Np(z) для кожної точки
p = (x, y) ∈ X × Y .
Нехай T = X × Y × Z — топологiчний добуток просторiв X, Y
i Z. Покажемо, що функцiя Φ: T −→ R розривна у кожнiй точцi
t0 = (x0, y0, z0) ∈ T . Розглянемо довiльнi околи U i V точок x0 i y0
у просторах X i Y вiдповiдно i базисний окiл
W = {z ∈ Z : max
k=1,...,n
Npk
(z − z0) < δ}
точки z0 у просторi Z, де pk = (xk, yk) ∈ X×Y при k = 1, . . . , n i δ > 0.
Ми покажемо, що iснує така точка t = (u, v, w) ∈ U × V ×W , що
|Φ(t)− Φ(t0)| = 1.
Розглянемо замкнену множину F =
n∪
k=1
cr{pk} у добутку X × Y .
Оскiльки компакти X i Y не мають iзольованих точок, то iснують
такi точки u ∈ U i v ∈ V , що u ̸= xk i v ̸= yk для кожного k = 1, . . . , n.
Тодi точка q = (u, v) ∈ U × V i q ̸∈ F . Множина E = F ∪ {q} теж
буде замкненою в добутку X × Y , який є компактом [7, с. 217, теоре-
ма 3.2.4], а значить, нормальним простором [7, с. 199, теорема 3.1.9].
Розглянемо функцiю w0 : E −→ R, покладаючи
w0(p) =
{
z0(p), p ∈ F,
z0(p0) + 1, p = q,
86 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
де p0 = (x0, y0). Оскiльки w0|F = z0|F i функцiя z0 нарiзно неперерв-
на, то звуження z0|F , а з ним i звуження w0|F , будуть неперервними
функцiями. Крiм того, i звуження w0|{q} неперервне. Але E = F ∪{q},
отже, i w0 — це неперервна функцiя, бо множини F i {q} замкненi. За
теоремою Тiтце-Урисона iснує неперервна функцiя w : X × Y −→ R,
така, що w|E = w0. Тодi w|F = w0|F = z0|F i w ∈ Z, отже, w ∈ W .
Таким чином, точка t = (u, v, w) ∈ U × V × W . Але Φ(t) = w(u, v) =
= w(q) = w0(q) = z0(p0)+1, отже, |Φ(t)−Φ(t0)| = |z0(p0)+1−z0(p0)| =
= 1. Це показує, що функцiя Φ розривна в точцi t0 як функцiя вiд
трьох змiнних.
Нам буде потрiбний результат про сукупну неперервнiсть нарiзно
неперервних функцiй, який легко вивести з однiєї загальної теореми
[11, c. 43, теорема 6].
Теорема 3. Нехай X i Y — компактнi простори, що задо-
вольняють першу аксiому злiченностi, Z — берiвський простiр i
f : X × Y × Z −→ R — нарiзно неперервна функцiя. Тодi C(f) ̸= ∅,
якщо простори X,Y, Z непорожнi.
Теорема 4. Нехай X i Y — компакти без iзольованих точок, якi за-
довольняють першу аксiому злiченностi. Тодi простiр Z = CC(X×Y )
з топологiєю пошарової рiвномiрної збiжностi є множиною першої
категорiї в собi.
Доведення. Нехай, це не так, тобто Z — це множина другої категорiї
в собi. Оскiльки Z — це топологiчний векторний простiр, то в цьому
разi вiн буде берiвським [8, с.68, твердження 3]. За теоремою 2 функцiя
обчислення Φ: X × Y × Z −→ R, Φ(x, y, z) = z(x, y), буде нарiзно
неперервною i скрiзь розривною. Але за теоремою 3 вона повинна бути
десь неперервною, адже нашi простори в цьому випадку непорожнi i
задовольняють умови теореми 3. Отримана суперечнiсть i показує, що
простiр Z є множиною першої категорiї в собi.
Вiдомий простiр Геллi H [7, c.229], [12, c.220], що складається зi
зростаючих функцiй h : [0, 1] −→ [0, 1] i надiляється топологiєю пото-
чкової збiжностi — це сепарабельний неметризовний компакт з першою
аксiомою злiченностi. Таким чином, теорема 1 для встановлення небе-
ровостi простору CC(X × Y ) має вужче поле застосовностi, але в нiй
явно вказуються нiде не щiльнi множини, якi в об’єднаннi дають весь
простiр CC(X × Y ).
6. Застосування W -компактiв. У працi [13, c. 266] були
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 87
розглянутi так званi W -простори i було показано, що вони ефективно
можуть бути використанi при дослiдження сукупної неперервностi на-
рiзно неперервних функцiй та їх аналогiв. Якщо X — це W -простiр,
який є компактом, то ми його будемо називати W -компактом. Вихо-
дячи з цих результатiв, можна встановити i такий.
Теорема 5. Нехай X i Y — це W -компакти, Z — берiвський простiр
i f : X × Y × Z −→ R — нарiзно неперервна функцiя. Тодi C(f) ̸= ∅,
якщо простори X,Y, Z непорожнi.
З теореми 5 i теореми 2 негайно випливає
Теорема 6. Нехай X i Y — це W -компакти без iзольованих точок.
Тодi простiр CC(X × Y ) з топологiєю пошарово рiвномiрної збiжно-
стi множиною першої категорiї в собi.
Зауважимо, що компакти Еберлейна i компакти Корсона – це W -
компакти i теореми 5 i 6 справджуються i для них.
7. Наявнiсть пiдпросторiв компактiв, якi мають
злiченнну псевдобазу. Перейдемо до викладу третього пiдходу
до доведення неберовостi простору S, який використовує топологiчнi
iгри. З допомогою нього вдалося отримати найзагальнiший результат.
Елемент a топологiчного простору X ми називатимемо його ℵ0-
точкою, якщо iснує така послiдовнiсть рiзних точок ak, яка збiгається
до a в X.
Система U вiдкритих множин в X називається псевдобазою просто-
ру X, якщо для довiльної вiдкритої непорожньої множини G в X iснує
така непорожня множина U ∈ U , що U ⊆ G.
Кажуть, що топологiчний простiр X має злiченну псевдобазу , якщо
iснує не бiльш, нiж злiченна псевдобаза U простору X.
Зараз ми вивчимо компакти, якi не мають ℵ0-точок. Через |M | ми
позначатимемо потужнiсть множини M .
Лема 5. Нехай X — компакт, який не має ℵ0-точок, i A — нескiн-
ченна пiдмножина X. Тодi iснують такi нескiнченнi пiдмножини A′
i A′′ множини A, що A′ ∩A′′ = ∅.
Доведення. Оскiльки множина A нескiнченна, то iснує така послi-
довнiсть точок an ∈ A, що an ̸= am при n ̸= m. Послiдовнiсть точок
an розбiжна в X, бо X не має ℵ0-точок. Позначимо через L множи-
ну граничних точок послiдовностi (an)∞n=1. Оскiльки X — компактний
88 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
простiр, то L ̸= ∅ [7, c. 203]. Але послiдовнiсть (an)
∞
n=1 розбiжна, то-
му |L| ≥ 2. Справдi, iснує точка a ∈ L. Оскiльки an 9 a, то iснує
такий вiдкритий окiл U точки a в X, що множина I = {n : an /∈ U}
нескiнченна. Тодi I = {nk : k ∈ N}, де nk < nk+1 для кожного k. По-
слiдовнiсть (ank
)∞k=1 має граничну точку b у компактному просторi X.
Оскiльки множина F = X\U замкнена i ank
∈ F для кожного k, то i
b ∈ F . Тому a ̸= b, адже a ∈ U , а b /∈ U . Точка b, будучи граничною
точкою пiдпослiдовностi (ank
)∞k=1, є разом з тим i граничною точкою
самої послiдовностi (an)∞n=1, отже, b ∈ L. Таким чином, ми знайшли
двi рiзнi граничнi точки a i b послiдовностi (an)
∞
n=1. З регулярностi
компакту X [7, c. 199] випливає, що iснує такий окiл U точки в X, що
U ⊆ X\{b}, i такий окiл V точки в X, що V ⊆ X\U , тобто U ∩ V = ∅.
Оскiльки a i b – це граничнi точки послiдовностi (an)∞n=1 точок an ∈ A,
то множини A′ = A ∩ U i A′′ = A ∩ V нескiнченнi. При цьому A′ ⊆ U i
A′′ ⊆ V , отже, A′ ∩A′′ = ∅. Таким чином, A′ i A′′ — шуканi множини.
Покладемо D =
∞∪
n=0
{0, 1}n, Dn =
n∪
k=0
{0, 1}k i ∆ = {0, 1}N.
Для довiльного d = (d1, . . . , dn) ∈ D та i ∈ {0, 1} позначимо
d,i = (d1, . . . , dn, i). Якщо δ = (dn)
∞
n=1 ∈ ∆ i n ∈ N, то δ|n = (d1, . . . , dn),
до того ж d|0 = ∅ i {0, 1}0 = {∅}.
Лема 6. Нехай X — нескiнченний компакт без ℵ0-точок. Тодi iснує
така сiм’я (Ad)d∈D нескiнченних множин Ad, що Ad,0 ∪ Ad,1 ⊆ Ad i
Ad,0 ∩Ad,1 = ∅ для кожного d ∈ D.
Доведення. Така сiм’я визначається iндуктивно з допомогою леми
5. Виберемо спочатку довiльну нескiнченну пiдмножину A∅ компакту
X. Припустимо, що для деякого номера n ∈ N0 = N∪{0} множини Ad
вже визначенi при d ∈ Dn. Тодi для фiксованого d ∈ {0, 1}n застосує-
мо лему 5 до множини Ad. Ми отримаємо двi нескiнченнi пiдмножини
Ad,0 i Ad,1 множини Ad, такi, що Ad,0 ∩ Ad,1 = ∅, i тим самим визна-
чимо множини Ad для всiх d ∈ {0, 1}n+1. Таким чином, сiм’я (Ad)d∈D
визначена.
Нагадаємо, що частково впорядкована множина K називається iн-
дуктивно впорядкованою, якщо кожна її лiнiйно впорядкована пiдмно-
жина L обмежена зверху, тобто iснує такий елемент k ∈ K, що l ≤ k
для довiльного l ∈ L.
Лема 7. Нехай X i сiм’я (Ad)d∈D – такi ж як у лемi 6, Fδ =
∞∩
n=0
Aδ|n
для довiльного δ ∈ ∆ i K = {K : K замкнена пiдмножинаX i (∀δ ∈
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 89
∆)(K ∩ Fδ ̸= ∅)}. Тодi Fδ ̸= ∅ для кожного δ ∈ ∆ i (K,⊇) – це
непорожня iндуктивно впорядкована множина.
Доведення. З компактностi простору X негайно випливає [7, c. 196],
що Fδ ̸= ∅ для кожного δ ∈ ∆, адже (Aδ|n)
∞
n=0 – це спадна послiдов-
нiсть непорожнiх замкнених пiдмножин X. Тому X ∈ K, отже, K ≠ ∅.
Нехай L – лiнiйно впорядкована частина K. Розглянемо її перетин
K = ∩L. Зрозумiло, що L ⊇ K для кожного L ∈ L. Покажемо, що
K ∈ K. Множина K замкнена як перетин замкнених множин. Вiзьме-
мо δ ∈ ∆ i розглянемо систему F = {L ∩ Fδ : L ∈ L}. Зрозумiло, що
L ∩ Fδ ̸= ∅ для кожного L ∈ L, адже L ⊆ K. Оскiльки система L
лiнiйно впорядкована, то для довiльних множин L1, . . . , Ln з L iснує
така множина Lj , що Lj ⊆ Lk для кожного k = 1, . . . , n. Тому
n∩
k=1
(Lk ∩ Fδ) ⊇ Lj ∩ Fδ ̸= ∅,
отже, F — центрована система замкнених множин в X. З компактностi
X отримуємо, що ∩F ̸= ∅. Але∩
F =
∩
L∈L
L ∩ Fδ = (
∩
L∈L
L) ∩ Fδ = K ∩ Fδ.
Таким чином, K ∩ Fδ ̸= ∅, отже, K ∈ K. Це i доводить, що (K,⊇) —
iндуктивно впорядкована множина.
Теорема 7. Нехай X — нескiнченний компакт без ℵ0-точок. Тодi
iснує його нескiнченний замкнений пiдпростiр Y без iзольованих то-
чок, який має злiченну псевдобазу.
Доведення. Нехай (Ad)d∈D — побудовна в лемi 6 дiадична схема, а
(Fδ)δ∈∆ i K — такi ж як в лемi 7. Покладемо для кожного n ∈ N0
Yn =
∪
d∈{0,1}n
Ad i Y∞ =
∞∩
n=0
Yn.
Тодi Fδ =
∞∩
n=0
Aδ|n ⊆
∞∩
n=0
Yn = Y∞ для довiльного δ ∈ ∆. Отже,
Y∞ ∩ Fδ = Fδ ̸= ∅ для кожного δ ∈ ∆, а значить Y∞ ∈ K, адже
множина Y∞ замкнена як перетин замкнених множин Yn. Оскiльки
90 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
частково впорядкована множина (K,⊇) є iндуктивно впорядкованою
за лемою 7, то за лемою Куратовського-Цорна [14, c. 129], [15, c. 63]
iснує максимальний елемент Y в (K,⊇), для якого Y∞ ⊇ Y . Заува-
жимо, що Y , як i довiльний елемент з K, є нескiнченною множиною.
Максимальнiсть Y в (K,⊇) означає, що для кожного K ∈ K з умови
Y ⊇ K випливає, що Y = K.
Нехай Vd = Ad ∩ Y для кожного d ∈ D. Оскiльки
Y ⊆ Y∞ ⊆ Yn =
⊔
d∈{0,1}n
Ad
для кожного n ∈ N0, то множини Vd вiдкрито-замкненi в пiдпросторi
Y . Крiм того, для довiльного d = (d1, . . . , dn) ∈ D i послiдовностi δ =
(d1, . . . , dn, 0, . . . , 0) ∈ ∆ будемо мати, що δ|n = d, i тому
Vd = Ad ∩ Y = Aδ|n ∩ Y ⊇ Fδ ∩ Y ̸= ∅,
бо Y ∈ K.
Покажемо, що система V = {Vd : d ∈ D} — це псевдобази в Y . Нехай
V — непорожня вiдкрита множина у просторi Y . Тодi її доповнення
K = Y \V — це замкнена в Y , а значить, i в просторi X. Оскiльки Y —
це мiнiмальний елемент в (K,⊇), то K /∈ K. Тому iснує таке δ ∈ ∆, що
K ∩ Fδ = ∅. Тодi
(Y \V ) ∩ (Fδ ∩ Y ) = K ∩ (Fδ ∩ Y ) = (K ∩ Fδ) ∩ Y = ∅,
тому Fδ ∩ Y ⊆ V . Але
Fδ ∩ Y =
∞∩
n=0
Aδ|n ∩ Y =
∞∩
n=0
Vδ|n,
отже,
∞∩
n=0
Vδ|n ⊆ V . З компактностi простору Y , замкненостi множин
Vδ|n i вiдкритостi V в Y негайно випливає, що Vδ|n ⊆ V для деякого
n ∈ N0. Таким чином, Vd ⊆ V для d = δ|n, що i треба було довести.
Зрозумiло, що псевдобаза V простору Y злiченна, адже такою є
множина D =
∞∪
n=0
{0, 1}n.
Залишилося довести, що Y не має iзольованих точок. Нехай це
не так i y0 – деяка iзольована точка в Y . Тодi одноточкова множина
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 91
V = {y0} буде вiдкритою в Y . Оскiльки V — це псевдобаза Y , то iснує
таке d ∈ D, що Vd ⊆ V . Тодi
Vd,0 ⊔ Vd,1 = (Ad,0 ⊔Ad,1) ∩ Y ⊆ Ad ∩ Y = Vd ⊆ {y0}.
Але Vd,0 ̸= ∅ i Vd,1 ̸= ∅, отже, таке включення неможливе.
8. Побудова псевдозбiжних послiдовностей. Нехай
(An)
∞
n=1 — послiдовнiсть пiдмножин An топологiчного простору X i
a ∈ X. Будемо говорити, що послiдовнiсть (An)
∞
n=1 псевдозбiгається до
точки a (позначається: An a), якщо для кожного околу U точки a в
X iснує такий номер N , що An∩U ̸= ∅, як тiльки n ≥ N . Послiдовнiсть
(An)
∞
n=1 називається псевдозбiжною в X, якщо iснує така точка a ∈ X,
що An a.
Теорема 8. Нехай X — нескiнченний компакт. Тодi в X iснує ди-
з’юнктна псевдозбiжна послiдовнiсть непорожнiх скiнченних мно-
жин An.
Доведення. Спочатку припустимо, що X має ℵ0-точку a. Тодi iснує
послiдовнiсть (an)
∞
n=1, що складається з рiзних точок з X, яка збiгає-
ться до a в X. Зрозумiло, що тодi послiдовнiсть одноточкових множин
An = {an} i буде шуканою.
Нехай тепер X не має ℵ0-точок. Тодi за теоремою 7 iснує нескiнчен-
ний замкнений пiдпростiр Y простору X без iзольованих точок, який
має злiченну псевдобазу V = {Vn : n ∈ N}, що складається з непоро-
жнiх множин. Оскiльки Y не має iзольованих точок i є T1-простором,
адже X – компакт, то скiнченнi непорожнi множини E в Y не мо-
жуть бути вiдкритими, отже, всi множини Vn нескiнченнi, адже вони
вiдкритi в Y .
Перейдемо до побудови множин An. Виберемо деяку точку a1,1 ∈ V1
i покладемо A1 = {a1,1}. Далi виберемо двi рiзнi точки a2,1 i a2,2, такi,
що a2,1 ∈ V1\A1 i a2,2 ∈ V2\A1, i покладемо A2 = {a2,1, a2,2}. Припусти-
мо, що для деякого номера n уже побудованi множини Am = {am,k :
k = 1, . . . ,m} при m < n, такi, що точки am,k рiзнi i am,n ∈ Vk\
∪
j<m
Aj
при m < n i k = 1, . . . ,m. Оскiльки множина
∪
j<n
Aj скiнченна, то з
нескiнченностi множин V1, . . . , Vn випливає, що iснують такi рiзнi то-
чки an,1 . . . , an,n, що an,k ∈ Vk\
∪
j<n
Aj при k = 1, . . . , n. Покладаючи
An = {an,1 . . . , an,n}, ми продовжимо нашу побудову ще на один крок.
92 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
Таким чином, ми побудували таку диз’юнктну послiдовнiсть скiн-
ченних множин An у просторi Y , що Vk ∩ An ̸= ∅ при k ≤ n, адже
an,k ∈ Vk ∩An.
Вiзьмемо довiльну точку a ∈ Y i покажемо, що An a в Y . Нехай
U – окiл точки a в Y . Оскiльки V – це псевдобаза в Y , то iснує такий
номер N , що VN ⊆ U . Але An ∩ VN ̸= ∅ при n ≥ N , тому An ∩ U ̸= ∅,
як тiльки n ≥ N . Отже, An a i послiдовнiсть (An)
∞
n=1 є шуканою.
9. Гра Шоке. Нагадаємо, що гра Шоке Ch(X) на топологiчному
просторi X — це гра двох гравцiв α i β, якi вибирають по черзi вiдкритi
непорожнi множини вiдповiдно Un i Vn, так, що Vn+1 ⊆ Un ⊆ Vn для
кожного n, причому першим починає гравець β. Якщо
∞∩
n=1
Un ̸= ∅, то
виграє гравець α, якщо ж це не так, то виграє β.
Позначимо символом UX систему всiх вiдкритих непорожнiх пiд-
множин простору X. Вiдображення σ :
∞∪
n=1
Un
X −→ UX називається
виграшною стратегiєю для гравця α у грi Шоке, якщо для довiль-
ної партiї ((Un, Vn) : n ∈ N) у грi Шоке, такої, що Un = σ(V1, . . . , Vn)
для кожного n, перетини
∞∩
n=1
Un =
∞∩
n=1
Vn ̸= ∅, тобто, коли α грає згi-
дно з стратегiєю σ, то вiн обов’язково виграє. Простiр X називається
α-сприятливим, якщо гравець α має виграшну стратегiю у грi Шоке
Ch(X).
Вiдображення τ :
∞∪
n=1
Un
X −→ UX називається виграшною стратегi-
єю для гравця β у грi Шоке, якщо для довiльної партiї ((Un, Vn) : n ∈
N) у грi Шоке: V1 = τ(∅), Vn = τ(U1, . . . , Un−1) при n > 1, вико-
нуються рiвнiсть
∞∩
n=1
Un =
∞∩
n=1
Vn = ∅, тобто гравець β виграє, коли
вiн грає згiдно з стратегiєю τ . Простiр X називається β-сприятливим,
якщо гравець β має виграшну стратегiю у грi Шоке. Ж. Сан-Ремо [16]
встановив, що простiр X буде берiвським тодi i тiльки тодi, коли вiн β-
несприятливий, тобто гравець β не має виграшної стратегiї у грi Шоке.
Iншими словами β-сприятливiсть простору X рiвносильна його небе-
ровостi, точнiше: в [16] було доведено, що коли τ :
∞∪
n=0
Un
X −→ UX —
це виграшна стратегiя для гравця β у грi Шоке на просторi X, то
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 93
вiдкрита непорожня множина V1 = τ(∅) є першої категорiї в X.
10. Неберовiсть простору нарiзно неперервних
функцiй на добутку компаку i α-сприятливого про-
стору. Нехай X i Y — довiльнi топологiчнi простори. Введемо на
просторi CC(X×Y ) топологiчну структуру пошарової рiвномiрної збi-
жностi, в якiй базу околiв точки f0 ∈ CC(X×Y ) утворюють множини
OS,T,ε(f0) = {f ∈ CC(X × Y ) : (∀p ∈ cr(S × T ))(|f(p)− f0(p)| < ε)}, де
cr(S × T ) = (S × Y )∪ (X × T ), S i T — довiльнi скiнченнi пiдмножини
просторiв X i Y вiдповiдно i ε > 0. Простiр CC(X × Y ) з топологiєю
пошарово рiвномiрної збiжностi позначимо через SC(X × Y ). Якщо
простори X i Y псевдокомпактнi, то SC(X × Y ) – це локально опу-
клий простiр, топологiчна структура якого породжується сукупнiстю
переднорм
pS,T (f) = sup
p∈cr(S×T )
|f(p)|,
де S ⊆ X i T ⊆ Y — скiнченнi множини. В загальному випадку опера-
цiя множення на скаляр може виявитися розривною i SC(X × Y ) не
буде топологiчним векторним простором.
Теорема 9. Нехай X — нескiнченний компакт, Y — α-сприятливий
цiлком регулярний простiр без iзольованих точок. Тодi топологiчний
простiр Z = SC(X × Y ) є множиною першої категорiї в собi.
Доведення. На основi теореми Сан-Ремо [16] досить побудувати ви-
грашну для гравця β стратегiю τ :
∞∪
n=0
Un
Z −→ UZ у грi Шоке Ch(Z),
таку, що τ(∅) = Z. Ми будемо вважати, що Y ̸= ∅, оскiльки при
Y = ∅ твердження теореми тривiальне.
Спочатку, використавши теорему 8, побудуємо таку диз’юнктну по-
слiдовнiсть непорожнiх скiнченних множин An в X, що An a для
деякої точки a ∈ X. Далi на основi α-сприятливостi простору Y вибе-
ремо деяку виграшну для гравця α стратегiю σ :
∞∪
n=0
Un
Y −→ UY у грi
Ch(Y ).
Приступимо до побудови стратегiї τ . В процесi цiєї побудови вини-
катимуть двi партiї (Vn,Wn) у грi Ch(Y ) i (Gn,Hn) у грi Ch(Z), при-
чому у першiй партiї α грає за стратегiєю σ, тобто Vn = σ(W1, . . . ,Wn)
для кожного n, а ходи другої партiї визначатимуть стратегiю τ гравця
94 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
β, тобто τ(∅) = H1 i τ(G1, . . . , Gn−1) = Hn для кожного n > 1. При
цьому ходи W1, . . . ,Wn залежатимуть вiд ходiв G1, . . . , Gn.
Отож нехай τ(∅) = Z = H1. Для того, щоб визначити H2, розгля-
немо вiдповiдь G1 гравця α на хiд H1 гравця β. Оскiльки G1 ̸= ∅,
то можна вибрати f1 ∈ G1. Але множина G1 вiдкрита в SC(X × Y ),
тому iснують такi скiнченнi множини S1 в X i T1 в Y i число ε1 > 0,
що O1 = OS1,T1,ε1(f1) ⊆ G1. Оскiльки множина S1 скiнченна, а по-
слiдовнiсть множин An диз’юнктна, то iснує такий номер k1 > 1, що
An ∩ S1 = ∅ при n ≥ k1. Покладемо m1 = k1 + 1. Розглянемо хрест
F1 = cr(S1 × T1) у добутку X × Y , який є його замкненою пiдмножи-
ною, i деяку точку y1 ∈ Y \T1. Така точка iснує, бо Y — це непорожнiй
гаусдорфовий простiр без iзольованих точок. Оскiльки добуток X ×Y
гаусдорфовий, то кожну точку p з множини P1 = (Ak1 ∪ Am1) × {y1}
можна оточити таким околом Up, що сiм’я (Up)p∈P1
диз’юнктна i
Up ∩ F1 = ∅ для довiльного p ∈ P1. Це можна зробити на основi того,
що (Ak1 ∪ Am1) ∩ S1 = ∅ i y1 /∈ T1, отже, P1 ∩ F1 = ∅. Далi, оскiльки
X × Y – це цiлком регулярний простiр як добуток таких просторiв, то
для кожної точки p ∈ P1 iснує неперервна функцiя φp : X ×Y → [0, 1],
така, що φp(p) = 1 i φp(q) = 0, якщо q /∈ Up. Покладемо λp = −f1(p),
якщо p ∈ An1 × {y1}, i λp = 1 − f1(p), якщо p ∈ Am1 × {y1}, i ви-
значимо функцiю g1 = f1 +
∑
p∈P1
λpφp. Оскiльки g1|F1 = f1|F1 , адже
(
∪
p∈P1
Up) ∩ F1 = ∅ за побудовою, а тому φp(q) = 0 на F1, то g1 ∈ O1.
Крiм того, якщо p ∈ An1∪{y1}, то φp(p) = 1 i φp(q) = 0 при q ∈ P1\{p},
тому g1(p) = f1(p)+λpφp(p) = f1(p)− f1(p) = 0, а коли p ∈ Am1 ∪{y1},
то g1(p) = f1(p) + λpφp(p) = f1(p) + 1 − f1(p) = 1. На основi нарiзної
неперервностi функцiї g1 знайдемо такий вiдкритий окiл W1 точки y1
у просторi Y , що g1(x, y) <
1
8 на Ak1×W1 i g1(x, y) >
7
8 на Am1×W1.
Далi покладемо
V1 = σ(W1) iH2 = OAk1
∪Am1 ,∅, 18
(g1) ∩O1.
Тодi для довiльних f ∈ H2 та y ∈ V1 будемо ма-
ти: f(x, y) = f(x, y) − g1(x, y) + g1(x, y) < 1
8 + 1
8 = 1
4
при x ∈ Ak1 i f(x, y) = f(x, y) − g1(x, y) + g1(x, y) >
> −1
8 + 7
8 = 3
4 при x ∈ Am1 . Тепер припустимо, що вже зробленi ходи
H1, G1, . . . , Hn, Gn у грi Ch(Z) i вiдповiднi ходи W1, V1, . . . ,Wn−1, Vn−1
у грi Ch(Y ). Так само як для множини G1 ми можемо для множини
Gn визначити такi номери kn,mn > n, вiдкритi непорожнi множини
Про беровiсть простору нарiзно неперервних функцiй 95
Wn ⊆ Vn−1, Hn+1 ⊆ Gn i Vn = σ(W1, . . . ,Wn), що для довiльних
f ∈ Hn+1 i y ∈ Vn виконуються нерiвностi:
f(x, y) <
1
4
при x ∈ Akn
(⋆)
f(x, y) >
3
4
при x ∈ Amn .
Таким чином, стратегiя τ визначена.
Доведемо, що τ — це виграшна стратегiя для гравця β у грi Ch(Z).
Нехай це не так i
∞∩
n=1
Gn =
∞∩
n=1
Hn ̸= ∅. Виберемо тодi деяку функцiю
f ∈
∞∩
n=1
Hn. Оскiльки у вiдповiднiй партiї (Vn,Wn) у грi Ch(Y ) гравець
α грав за своєю виграшною стратегiєю σ, то
∞∩
n=1
Vn ̸= ∅, отже, iснує
точка b ∈
∞∩
n=1
Vn. Тодi на основi (⋆) для кожного n, маємо fb(x) < 1
4
на Akn i fb(x)) > 3
4 на Amn . Але f — нарiзно неперервна функцiя,
тому функцiя fb неперервна, зокрема, вона буде неперервною в то-
чцi a, до якої псевдозбiгається послiдовнiсть An. Вiзьмемо такий окiл
U точки a в X, що |fb(x) − fb(a)| < 1
4 , як тiльки x ∈ U . Оскiльки
An a i kn,mn → ∞, то iснує такий номер n, для якого Akn
∩ U ̸= ∅
i Amn ∩ U ̸= ∅. Вiзьмемо x′ ∈ Akn ∩ U i x′′ ∈ Amn ∩ U . Тодi
fb(x
′) < 1
4 , fb(x
′′) > 3
4 , |fb(x′)− fb(a)| < 1
4 i |fb(x′′)− fb(a)| < 1
4 . Тому
1
2 = 3
4 −
1
4 < fb(x
′′)−fb(x
′) = fb(x
′′)−fb(a)+ fb(a)− fb(x
′) < 1
4 +
1
4 = 1
2 ,
що дає нам абсурдну нерiвнiсть 1
2 < 1
2 .
Отже, стратегiя τ виграшна для β, а тому за теоремою Сан-Ремо
простiр Z = H1 = τ(∅) є множиною першої категорiї в собi.
Лiтература
[1] Maslyuchenko V., Voloshyn H. Closure of the set of polynomials in the
space of separately continuous functions // Int. conf. ded. to the 120th
anniversary of S.Banach. Abstracts of Reports. — Lviv, 17 – 21 September,
2012. — P. 97.
[2] Волошин Г.А., Маслюченко В.К. Топологiзацiя простору нарiзно непе-
рервних функцiй // Карп. матем. публ. — 2013. — 5, №2. — С. 199 – 207.
96 Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В.
[3] Волошин Г.А., Маслюченко В.К., Маслюченко О.В. Про берiвську ка-
тегорiю простору нарiзно неперервних функцiй // Всеукр. наук. конф.
“Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”. —
Тези доповiдей. Ворохта, 24 лютого — 2 березня 2014 року. — Iвано-
Франкiвськ: Прикарп. нац. ун-т iм. В.Стефаника, 2014. — С. 46 – 48.
[4] van Douwen E. The integers and topology // in: Handbook of Set-Therutic
Topology (K.Kunen, J.E.Vaughan, eds). — North-Holland, Amsterdam,
1984, pp. 111 – 167.
[5] Banakh T., Mykhaylyk V., Zdomskyy L. On meager fuction spaces, network
character and meager convergence in topological spaces // Comment. Math.
Univ. Carolin. — 2011. — 52, №2. — pp. 273 – 281.
[6] Маслюченко В.К. Лекцiї з функцiонального аналiзу. Ч.1. Метричнi i
нормованi простори. — Чернiвцi: ЧНУ Рута, 2010. — 184 с.
[7] Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
[8] Маслюченко В.К. Першi типи топологiчних векторних просторiв. —
Чернiвцi: Рута, 2002. — 72 с.
[9] Hahn H. Theorie der reellen Funktionen.1.Band. — Berlin: Verlag von Julius
Springer, 1921. – VIII+600S.
[10] Маслюченко В.К. Нарiзно неперервнi вiдображення i простори Кете:
дис. ... докт. фiз.-мат. наук: 01.01.01. — Чернiвцi, 1999. – 345 с.
[11] Маслюченко В.К. Простори Гана i задача Дiнi // Мат. методи та фiз.-
мех. поля. — 1998. — 41, №4. — С. 39 – 41.
[12] Келлi Дж. Общая топология. — М.: Наука, 1981. — 432с.
[13] Маслюченко О. В. Побудова w-первiсних та рiзнi аналоги компактних
операторiв: дис. ... докт. фiз. - мат. наук: 01.01.01. — Чернiвцi, 2012. —
300 с.
[14] Маслюченко В.К. Елементи теорiї множин. — Чернiвцi: Рута, 2002. —
132 с.
[15] Маслюченко В.К. Лекцiї з функцiонального аналiзу. Ч.2. Лiнiйнi опе-
ратори i функцiонали. — Чернiвцi: ЧНУ Рута, 2010. — 192 с.
[16] Saint-Raymond J. Jeux topologiques et espaces de Namioka // Proc. Amer.
Math. Soc. — 1983. — 87, No 3. — pp. 409 – 504.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-167 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:22Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/27/cdc05cea5228569cdb8fc05e39549327.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1672018-01-23T12:10:05Z About Baire property of space of separately continuous functions Про беровість простору нарізно неперервних функцій Voloshyn, G. A. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, A. V. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. А. В. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. We propose three methods for proving that locally convexspace $S = CC [0,1] ^ 2$ of separately continuous functions $f:[0,1] ^2 \rightarrow \mathbb {R}$ on the square $[ 0,1] ^ 2$ withtopology of layer-wise uniform convergence is the set of the firstcategory, therefore, is not Baire space. The methods of$\varepsilon$-nets, function of calculation or topological gameswere used in this research. These approaches were generalized onspaces $CC (X \times Y)$ of separately continuous functions $f: X\times Y \rightarrow \mathbb {R} $, which were topologizedrespectively. Запропоновано три методи доведення того, що локальноопуклий простір $S=CC[0,1]^2$ нарізно неперервних функцій$f:[0,1]^2\rightarrow \mathbb{R}$ на квадраті $[0,1]^2$ зтопологією пошарово рівномірної збіжності є множиною першоїкатегорії, отже, не є берівським. Вони використовують$\varepsilon$-сітки, функцію обчислення чи топологічні ігри. Ціпідходи узагальнено на простори $CC(X\times Y)$ нарізнонеперервних функцій $f: X\times Y\rightarrow \mathbb{R}$, яківідповідним чином топологізовано. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/167 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 78–96 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 78–96 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 78–96 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/167/135 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Voloshyn, G. A. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, A. V. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. А. В. Волошин, Г. А. Маслюченко, В. К. Маслюченко, О. В. About Baire property of space of separately continuous functions |
| title | About Baire property of space of separately continuous functions |
| title_alt | Про беровість простору нарізно неперервних функцій |
| title_full | About Baire property of space of separately continuous functions |
| title_fullStr | About Baire property of space of separately continuous functions |
| title_full_unstemmed | About Baire property of space of separately continuous functions |
| title_short | About Baire property of space of separately continuous functions |
| title_sort | about baire property of space of separately continuous functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/167 |
| work_keys_str_mv | AT voloshynga aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslyuchenkovk aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslyuchenkoav aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT vološinga aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslûčenkovk aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT av aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT vološinga aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslûčenkovk aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT maslûčenkoov aboutbairepropertyofspaceofseparatelycontinuousfunctions AT voloshynga proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT maslyuchenkovk proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT maslyuchenkoav proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT vološinga proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT maslûčenkovk proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT av proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT vološinga proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT maslûčenkovk proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj AT maslûčenkoov proberovístʹprostorunaríznoneperervnihfunkcíj |