On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel
We consider the estimates for singular numbers of a Hilbert–Schmidt integral operator in terms of the modules of continuity of its kernel
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/168 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552688081698816 |
|---|---|
| author | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. |
| author_facet | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Национальный университет пищевых технологий"
}
] |
| author_sort | Radzievskaya, E. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We consider the estimates for singular numbers of a Hilbert–Schmidt integral operator in terms of the modules of continuity of its kernel |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 199�203
ÓÄÊ 517.98+517.5
Å.È. Ðàäçèåâñêàÿ (Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ïèùåâûõ òåõíîëîãèé,
Êèåâ)
ÎÁ ÎÖÅÍÊÀÕ ÑÈÍÃÓËßÐÍÛÕ ×ÈÑÅË ÈÍÒÅÃÐÀËÜ-
ÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ÃÈËÜÁÅÐÒÀ�ØÌÈÄÒÀ ×ÅÐÅÇ
ÂÒÎÐÎÉ ÌÎÄÓËÜ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎÑÒÈ ÅÃÎ ßÄÐÀ
We consider the estimates for singular numbers of a Hilbert�Schmidt integral
operator in terms of the modules of continuity of its kernel.
Ðàáîòà ïîñâÿùåíà îöåíêàì ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà
÷åðåç ìîäóëè íåïðåðûâíîñòè åãî ÿäðà.
Ðàññìîòðèì â L2[0; 1] èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð
(Af)(t) :=
1∫
0
a(t, s)f(s) ds, f ∈ L2[0; 1], (1)
ñ ÿäðîì Ãèëüáåðòà-Øìèäòà, ò.å. a(t, s) èçìåðèìàÿ íà [0; 1] × [0; 1]
ôóíêöèÿ ñ ñóììèðóåìûì êâàäðàòîì,
1∫
0
1∫
0
|a(t, s)|2 dt ds < ∞.
×åðåç λk(A), êàê îáû÷íî, îáîçíà÷àþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïå-
ðàòîðà A, çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ èõ ìîäóëåé;
sk(A) =
√
λk(AA∗) � ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà (s-÷èñëà) îïåðàòîðà A, ãäå
A∗ � îïåðàòîð ñîïðÿæåííûé ê A.
 ðàáîòå [1] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðà-
òîðà A ëåæèò â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, òî äëÿ ñèíãó-
ëÿðíûõ ÷èñåë (s-÷èñåë) îïåðàòîðà A ñïðàâåäëèâà îöåíêà
∞∑
k=r
s2
k(A) ≤ 25ω2
m
(
2
r
, a
)
, r = m + 1,m + 2, ... , (2)
c© Å.È. Ðàäçèåâñêàÿ, 2013
200 Å.È. Ðàäçèåâñêàÿ
ãäå ωm(δ, a) � ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ïîðÿäêà m (m = 2, 3, ...) ÿäðà
a(t, s), îïðåäåëÿåìûé ñëåäóþùèì îáðàçîì
ωm(δ, a) := sup
f∈L2,‖f‖2=1
sup
0≤ h≤δ
sup
0≤ t≤1−hm
|∆m
h (Af)(t)|. (3)
Çäåñü ∆m
h (Af)(t) � m-ÿ ðàçíîñòü çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A íà ôóíê-
öèè f ñ øàãîì h à 0 ≤ δ ≤ m−1, åñëè δ > m−1 ñ÷èòàåì, ÷òî
ωm(δ, a) = ωm(m−1, a).
 äàííîé ðàáîòå ïîêàæåì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàòü âòîðîé ìîäóëü
íåïðåðûâíîñòè, òî â íåðàâåíñòâå (2) ïîñòîÿííûå, íàõîäÿùèåñÿ ïåðåä
ìîäóëåì íåïðåðûâíîñòè, ìîæíî çíà÷èòåëüíî óìåíüøèòü, à èìåííî,
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Äëÿ s-÷èñåë îïåðàòîðà A âèäà (1), îáëàñòü çíà÷å-
íèé êîòîðîãî ëåæèò â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, èìååò
ìåñòî îöåíêà
∞∑
k=r
s2
k(A) ≤ ω2
2
(
1
2(r − 1)
, a
)
, r = 3, 4, ... . (4)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèé ôàêò.
Ëåììà 1. Ïóñòü ôóíêöèè a(s) è f(s) ïðèíàäëåæàò L2[0; 1]. Òî-
ãäà
sup
f∈L2,‖f‖2=1
1∫
0
a(s)f(s) ds = ‖a‖2, (5)
ãäå ‖a‖2 � íîðìà â L2[0; 1].
Óòâåðæäåíèå ëåììû ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ëèíåé-
íîãî ôóíêöèîíàëà â Lp.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè
(Af)(t) äëÿ êàæäîé f èç L2[0; 1], îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ a(t, s), ðàñ-
ñìàòðèâàåìàÿ êàê âåêòîð-ôóíêöèÿ îò t ∈ [0; 1] ñî çíà÷åíèÿìè (ïî
s) â ïðîñòðàíñòâå L2[0; 1], ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ñëàáîì ñìûñëå.
Ïîýòîìó ïðè êàæäîì t0 ∈ [0; 1] îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ a(t0, s), êîòîðàÿ
ïðèíàäëåæèò L2. Òåì ñàìûì äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n îïðåäåëå-
íî ÿäðî
an(t, s) := a
(
l
n
, s
)
(l + 1− nt) + a
(
l + 1
n
, s
)
(nt− l), (6)
Îá îöåíêàõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë . . . 201
l
n
≤ t <
l + 1
n
, l = 0, ..., n− 1, 0 ≤ s ≤ 1.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
g(t) =
1∫
0
(a(t, s)f(s)− an(t, s))f(s) ds.
Èç îïðåäåëåíèÿ an(t, s) èìååì g( l
n ) = g( l+1
n ) = 0. Îòñþäà è èç íåðà-
âåíñòâà Áàðêèëëà [3, ñò. 38] çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîé f ∈ L2 ñïðà-
âåäëèâî íåðàâåíñòâî∣∣∣∣∣∣
1∫
0
a(t, s)f(s) ds−
1∫
0
an(t, s)f(s) ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ ωl,2
1
2n
,
1∫
0
an(t, s)f(s) ds
äëÿ l
n ≤ t < l+1
n ñ ìîäóëåì íåïðåðûâíîñòè
ωl,2(δ, b) := sup
0≤ h≤δ
sup
l
n≤ t≤ l+h
n −2h
∣∣∆2
hb(t)
∣∣ ,
0 ≤ δ ≤ (2n)−1. Çäåñü b � ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå
[ l
n ; l+1
n ] ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ. Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà, ó÷èòûâàÿ îïðåäå-
ëåíèå ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè ω2(δ, a), à òàêæå óòâåðæäåíèå ëåììû,
èìååì
1∫
0
1∫
0
|a(t, s)− an(t, s)|2 dt ds ≤ ω2
2
(
1
2n
, a
)
. (7)
Oáîçíà÷èì ÷åðåç An èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì an(t, s) çà-
äàííûì ðàâåíñòâàìè (6). Îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðàòîðà A∗n ëåæèò â
ëèíåéíîé îáîëî÷êå a
(
l
n + j
n , t
)
, l = 0, ..., n − 1, a j = 0, 1, ïîýòî-
ìó ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà An íå ïðåâûøàåò n + 1, à çíà÷èò, (ñì.,
íàïðèìåð, [2, ñ. 49]), sk+n+1(A) ≤ sk(A−An).
Ó÷èòûâàÿ ýòó îöåíêó è çàìå÷àÿ, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (7)
îïðåäåëÿåò êâàäðàò íîðìû Ãèëüáåðòà�Øìèäòà îïåðàòîðà A − An,
202 Å.È. Ðàäçèåâñêàÿ
ïîëó÷àåì
∞∑
k=n+2
s2
k(A) ≤
∞∑
k=1
s2
k(A−An) ≤ ω2
2
(
1
2n
, a
)
.
è
∞∑
k=r
s2
r(A) ≤ ω2
2
(
1
2(r − 2)
, a
)
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë îïåðàòîðà A âèäà (1),
îáëàñòü çíà÷åíèé êîòîðîãî ëåæèò â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé, ñïðàâåäëèâà îöåíêà
sr(A) ≤
(
2
r − 2
) 1
2
ω2
(
1
r − 1
, a
)
, r = 3, 4, . . . .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
r ≥ 2 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
s2
r(A) ≤ 1
r − [ r
2 ]
r∑
k=[ r
2 ]+1
s2
k(A).
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà (4) ïîëó÷àåì îöåíêè
s2
r(A) ≤ 1
r − [ r
2 ]
∞∑
k=[ r
2 ]+1
s2
k(A) ≤ 1
r − [ r
2 ]
ω2
2
(
1
2([ r
2 ]− 1)
, a
)
è
s2
r(A) ≤ 2
r − 2
ω2
2
(
1
r − 1
, a
)
,
äîêàçûâàþùèå ñëåäñòâèå 1.
Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 1 è ñëåäñòâèÿ 1, â îáùåì
ñëó÷àå, íåñïðàâåäëèâû äëÿ r = 1, 2. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ÿäðî îïå-
ðàòîðà b(t, s) = 1 + ts. Äëÿ íåãî ω2(δ, b) ≡ 0, à ñîîòâåòñòâóþùèé
ýòîìó ÿäðó èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì â L2
è èìåò ðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ 2. Ïîýòîìó åãî ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà s1(A)
è s2(A) îòëè÷íû îò íóëÿ, à âñå îñòàëüíûå ðàâíû 0.
Îá îöåíêàõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë . . . 203
1. Ðàäçèåâñêàÿ Å.È.Îá îöåíêàõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà
Ãèëüáåðòà�Øìèäòà // Óêðà¨íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé âiñíèê. � 2012. � 9,
�1. � Ñ. 114 � 124.
2. Ãîõáåðã È.Ö., Êðåéí Ì.Ã. Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåí-
íûõ îïåðàòîðîâ. � Ì.: Íàóêà, 1965.
3. Øåâ÷óê È.À. Ïðèáëèæåíèå ìíîãî÷ëåíàìè è ñëåäû íåïðåðûâíûõ íà îò-
ðåçêå ôóíêöèé. � Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1992.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-168 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:24Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/bc/3b6ff1eb2c5bdfd21993585fb7aad5bc.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1682018-01-29T14:44:27Z On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel Об оценках сингулярных чисел интегрального оператора Гильберта-Шмидта через второй модуль непрерывности его ядра Об оценках сингулярных чисел интегрального оператора Гильберта-Шмидта через второй модуль непрерывности его ядра Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. We consider the estimates for singular numbers&nbsp;of a Hilbert–Schmidt integral operator in terms of the modules of continuity of its kernel Работа посвящена оценкам сингулярных чисел интегрального оператора через модули непрерывности его ядра Работа посвящена оценкам сингулярных чисел интегрального оператора через модули непрерывности его ядра Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/168 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 199-203 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 199-203 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 199-203 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/168/137 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Radzievskaya, E. I. Радзиевская, Е. И. On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title | On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title_alt | Об оценках сингулярных чисел интегрального оператора Гильберта-Шмидта через второй модуль непрерывности его ядра Об оценках сингулярных чисел интегрального оператора Гильберта-Шмидта через второй модуль непрерывности его ядра |
| title_full | On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title_fullStr | On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title_full_unstemmed | On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title_short | On estimates of singular numbers of Hilbert-Schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| title_sort | on estimates of singular numbers of hilbert-schmidt integral operator in terms of modules of continuity of its kernel |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/168 |
| work_keys_str_mv | AT radzievskayaei onestimatesofsingularnumbersofhilbertschmidtintegraloperatorintermsofmodulesofcontinuityofitskernel AT radzievskaâei onestimatesofsingularnumbersofhilbertschmidtintegraloperatorintermsofmodulesofcontinuityofitskernel AT radzievskayaei obocenkahsingulârnyhčiselintegralʹnogooperatoragilʹbertašmidtačerezvtorojmodulʹnepreryvnostiegoâdra AT radzievskaâei obocenkahsingulârnyhčiselintegralʹnogooperatoragilʹbertašmidtačerezvtorojmodulʹnepreryvnostiegoâdra |