Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral
We expand the ranges of permissible values of $n$ ($n\in\mathbb{N}$) for which Poisson kernels $P_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, $\beta\in\mathbb{R}$, satisfy Kushpel's condition $C_{y,2n}$. As a consequence, we obtain exac...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/170 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552692106133504 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Bodenchuk, V. V. Сердюк, А. С. Боденчук, В. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Bodenchuk, V. V. Сердюк, А. С. Боденчук, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. В. Боденчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We expand the ranges of permissible values of $n$ ($n\in\mathbb{N}$) for which Poisson kernels $P_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, $\beta\in\mathbb{R}$, satisfy Kushpel's condition $C_{y,2n}$. As a consequence, we obtain exact values for Kolmogorov widths in the space $C$~($L$) of classes $C_{\beta,\infty}^q$~($C_{\beta,1}^q$) of Poisson integrals generated by kernels $P_{q,\beta}(t)$ in new situations. It is shown that obtained here results we can't obtain by using methods of finding of exact lower bounds for widths suggested by A. Pinkus |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 204�221
ÓÄÊ 517.51
À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè,
Êè¨â)
ÎÖIÍÊÈ ÇÍÈÇÓ ÊÎËÌÎÃÎÐÎÂÑÜÊÈÕ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÈ-
ÊIÂ ÊËÀÑIÂ IÍÒÅÃÐÀËIÂ ÏÓÀÑÑÎÍÀ
We expand the ranges of permissible values of n (n ∈ N) for which Poisson
kernels Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, satisfy Kushpel's
condition Cy,2n. As a consequence, we obtain exact values for Kolmogorov
widths in the space C (L) of classes Cq
β,∞ (Cq
β,1) of Poisson integrals generated
by kernels Pq,β(t) in new situations. It is shown that obtained here results
we can't obtain by using methods of �nding of exact lower bounds for widths
suggested by A. Pinkus.
Ðîçøèðåíî îáëàñòi äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà n (n ∈ N), ïðè ÿêèõ
ÿäðà Ïóàññîíà Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, çàäîâîëüíÿ-
þòü óìîâó Êóøïåëÿ Cy,2n. ßê íàñëiäîê, â íîâèõ ñèòóàöiÿõ âñòàíîâëåíî
òî÷íi çíà÷åííÿ êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ â ïðîñòîði C (L) êëàñiâ
iíòåãðàëiâ Ïóàññîíà Cq
β,∞ (Cq
β,1), ïîðîäæåíèõ ÿäðàìè Pq,β(t). Ïîêàçàíî,
ùî çíàéäåíi â ðîáîòi ðåçóëüòàòè íåìîæëèâî îäåðæàòè, âèêîðèñòîâó-
þ÷è ìåòîäè çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ îöiíîê çíèçó ïîïåðå÷íèêiâ, ÿêi áóëè
ðîçâèíóòi À. Ïiíêóñîì.
Íåõàé L = L1 ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ ñóìîâíèõ ôóíêöié f ç íîð-
ìîþ ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt, L∞ � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ âèìiðíèõ i ñóò-
ò¹âî îáìåæåíèõ ôóíêöié ç íîðìîþ ‖f‖∞ = ess sup
t∈R
|f(t)|, C � ïðîñòið
2π-ïåðiîäè÷íèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié f , ó ÿêîìó íîðìà çàäà¹òüñÿ
ðiâíiñòþ ‖f‖C = max
t∈R
|f(t)|.
c© À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê, 2013
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 205
Iíòåãðàëîì Ïóàññîíà ôóíêöi¨ ϕ ∈ L0 = {ϕ ∈ L :
π∫
−π
ϕ(t)dt = 0}
íàçèâàþòü ôóíêöiþ f , ùî çîáðàæó¹òüñÿ ó âèãëÿäi çãîðòêè
f(x) = A +
1
π
π∫
−π
Pq,β(x− t)ϕ(t)dt = A + (Pq,β ∗ ϕ) (x), A ∈ R, (1)
äå
Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R (2)
� ÿäðî Ïóàññîíà Pq,β(t) ç ïàðàìåòðàìè q i β. Ôóíêöiþ ϕ ∈ L0, ïî-
â'ÿçàíó iç f çà äîïîìîãîþ ðiâíîñòi (1), íàçèâàþòü (q, β)-ïîõiäíîþ
ôóíêöi¨ f i ïîçíà÷àþòü ÷åðåç fq
β (äèâ., íàïðèêëàä, [1, ñ. 302]).
Ìíîæèíó óñiõ iíòåãðàëiâ Ïóàññîíà âèãëÿäó (1) ó âèïàäêó, êîëè
‖ϕ‖p 6 1, p = 1,∞,
áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç Cq
β,p.
Íåõàé dm(M, X) � m-âèìiðíèé ïîïåðå÷íèê çà Êîëìîãîðîâèì
öåíòðàëüíîñèìåòðè÷íî¨ ìíîæèíè M áàíàõîâîãî ïðîñòîðó X, òîáòî
âåëè÷èíà, ùî îçíà÷à¹òüñÿ ðiâíiñòþ
dm(M, X) = inf
Fm⊂X
sup
f∈M
inf
u∈Fm
‖f − u‖X , (3)
äå çîâíiøíié inf ðîçãëÿäà¹òüñÿ ïî âñiõ m-âèìiðíèõ ëiíiéíèõ ïiäïðî-
ñòîðàõ Fm iç X.
Çàäà÷à ïðî çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ çíà÷åíü àáî ïîðÿäêîâèõ îöiíîê
êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ äëÿ ðiçíîìàíiòíèõ ôóíêöiîíàëüíèõ
êîìïàêòiâ â ðiçíîìàíiòíèõ ôóíêöiîíàëüíèõ ïðîñòîðàõ ì๠áàãàòó
iñòîðiþ, îçíàéîìèòèñü ç ÿêîþ ìîæíà ïî ðîáîòàõ [2 � 12].
Çàäà÷à ïðî îá÷èñëåííÿ ïîïåðå÷íèêiâ dm(M, X), ÿê ïðàâèëî, ðîç-
ïàäà¹òüñÿ íà äâi ÷àñòèíè. Ñïî÷àòêó ôiêñó¹òüñÿ äåÿêèé ïiäïðîñòið
Fm ⊂ X, dim Fm = m, i îá÷èñëþ¹òüñÿ âåëè÷èíà
E(Fm,M, X) = sup
f∈M
inf
u∈Fm
‖f − u‖X , (4)
206 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
Çðîçóìiëî, ùî çãiäíî ç (3) i (4)
E(Fm,M, X) > dm(M, X). (5)
Ïîòiì äëÿ ïîïåðå÷íèêà dm(M, X) îòðèìóþòü îöiíêè çíèçó. Ïî-
çíà÷èìî ÷åðåç T2n−1 ïiäïðîñòið òðèãîíîìåòðè÷íèõ ïîëiíîìiâ tn−1,
ïîðÿäîê ÿêèõ íå ïåðåâèùó¹ n − 1 i ðîçãëÿíåìî âåëè÷èíè íàéê-
ðàùèõ íàáëèæåíü En(Cq
β,∞)C = E(T2n−1, C
q
β,∞, C) i En(Cq
β,1)L =
= E(T2n−1, C
q
β,1, L).
ßê âèïëèâ๠ç [8, 13 � 15], äëÿ äîâiëüíèõ q ∈ (0, 1), β ∈ R i n ∈ N
ìàþòü ìiñöå ðiâíîñòi
En(Cq
β,∞)C = En(Cq
β,1)L = ‖Pq,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (6)
äå
ϕn(t) = sign sinnt,
à θn = θn(q, β) � ¹äèíèé íà [0, 1) êîðiíü ðiâíÿííÿ
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n cos
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)
= 0. (7)
Òîìó, ç óðàõóâàííÿì (5), äëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷i ïðî òî÷íi çíà÷åííÿ
âêàçàíèõ ïîïåðå÷íèêiâ çàëèøà¹òüñÿ âñòàíîâèòè îöiíêè çíèçó
d2n(Cq
β,∞, C) > ‖Pq,β ∗ ϕn‖C , (8)
d2n−1(C
q
β,1, L) > ‖Pq,β ∗ ϕn‖C . (9)
Ìåòà äàíî¨ ðîáîòè ïîëÿã๠ó äîâåäåííi îöiíîê (8) i (9) ó íîâèõ,
íå äîñëiäæåíèõ ðàíiøå, âèïàäêàõ.
Âïåðøå íåðiâíîñòi (8) i (9) ïðè q ∈ (0,
1
7
], β ∈ Z i n ∈ N âñòàíî-
âèâ Î.Ê. Êóøïåëü ó [6] i [7]. Çãîäîì Â.Ò. Øåâàëäií [8] ïîêàçàâ, ùî
çàçíà÷åíi íåðiâíîñòi âèêîíóþòüñÿ ïðè q ∈ (0, q(β)], β ∈ R i n ∈ N,
äå q(β) = 0,2 ïðè β ∈ Z i q(β) = 0,196881 ïðè β ∈ R \ Z. Ç ðîáîòè
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 207
Íãóåí Òõè Òõ'¹ó Õîà [9, ñ. 211] âèïëèâ๠ñïðàâåäëèâiñòü (8) i (9) äëÿ
áóäü-ÿêèõ q ∈ (0, 1), β = 2kl, l ∈ Z, ïðè íàòóðàëüíèõ n, áiëüøèõ
äåÿêîãî, çàëåæíîãî âiä q, íîìåðà n∗ (ïðè öüîìó áóëî äîâåäåíî iñíó-
âàííÿ íîìåðà n∗, à êîíñòðóêòèâíîãî ñïîñîáó çíàõîäæåííÿ n∗ ïî q íå
âêàçàíî). Àâòîðàìè [16] äîâåäåíî íåðiâíîñòi (8) i (9) äëÿ äîâiëüíèõ
q ∈ (0, 1), β ∈ R i n ∈ N, n > nq, äå nq � íàéìåíøèé ç íîìåðiâ n > 9
ïðè ôiêñîâàíîìó q ∈ (0, 1), äëÿ ÿêèõ âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
43
10(1− q)
q
√
n +
160
57(n−
√
n)
q
(1− q)2
6
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
. (10)
Ó äàíié ðîáîòi îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà n, äëÿ
ÿêèõ ñïðàâäæóþòüñÿ îöiíêè (8) i (9) âäàëîñü äåùî ðîçøèðèòè. Ïåðø
íiæ ñôîðìóëþâàòè îñíîâíèé ðåçóëüòàò ðîáîòè, ðîçãëÿíåìî ïðè êîæ-
íîìó ôiêñîâàíîìó q ∈ (0, 1) íàéìåíøèé ç íîìåðiâ n > 9, äëÿ ÿêèõ
âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
43
10(1− q)
q
√
n +
q
(1− q)2
min
{
160
57(n−
√
n)
,
8
3n− 7
√
n
}
6
6
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
. (11)
Áóäåìî ïîçíà÷àòè öåé íîìåð ÷åðåç n∗q .
Òåîðåìà 1. Íåõàé q ∈ (0, 1). Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî β ∈ R òà âñiõ
íîìåðiâ n > n∗q ìàþòü ìiñöå îöiíêè (8) òà (9).
Çàóâàæèìî, ùî çãiäíî ç (10) i (11) n∗q 6 nq, òîìó ç òåîðåìè 1
âèïëèâ๠òåîðåìà 2 ðîáîòè [16]. Îòæå, ñôîðìóëüîâàíà òåîðåìà ó
ïîðiâíÿííi ç òåîðåìîþ 2 ðîáîòè [16] äîçâîëÿ¹ ðîçøèðèòè îáëàñòü
äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà n, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ îöiíêè (8)
i (9), ïðè òèõ çíà÷åííÿõ q, äëÿ ÿêèõ nq > n∗q . Îá÷èñëåííÿ ïîêàçóþòü,
ùî íåðiâíiñòü nq > n∗q âèêîíó¹òüñÿ çîêðåìà ïðè óñiõ q ∈ [0,4925, 1).
Íàïðèêëàä, ïðè q = 0,5 nq = 969, à n∗q = 963.
Äîâåäåííÿ. Áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè çàïðîïîíîâàíèé
Î.Ê. Êóøïåëåì ìåòîä çíàõîäæåííÿ îöiíîê çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ
208 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ çãîðòîê iç òâiðíèìè ÿäðàìè, ùî çàäîâîëüíÿ-
þòü òàê çâàíó óìîâó Cy,2n. Íàâåäåìî íåîáõiäíi îçíà÷åííÿ. Íåõàé
∆2n = {0 = x0 < x1 < · · · < x2n = 2π}, xk = kπ/n � ðîçáèòòÿ
ïðîìiæêó [0, 2π] i
Pq,β,1(t) = (Pq,β ∗B1)(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− (β + 1)π
2
)
, (12)
q ∈ (0, 1), β ∈ R,
äå B1(t) =
∞∑
k=1
k−1 sin kt � ÿäðî Áåðíóëëi. Ôóíäàìåíòàëüíèì SK-
ñïëàéíîì íàçèâàþòü ôóíêöiþ SP q,β,1(·) = SP q,β,1(y, ·) âèäó
SP q,β,1(·) = α0 +
2n∑
k=1
αkPq,β,1(· − xk),
2n∑
k=1
αk = 0, (13)
αk ∈ R, k = 0, 1, . . . , 2n,
ùî çàäîâîëüíÿ¹ ñïiââiäíîøåííÿ
SP q,β,1(y, yk) = δ0,k =
{
0, k = 1, 2n− 1,
1, k = 0,
äå yk = xk + y, xk = kπ/n, y ∈ [0,
π
n
).
 ñèëó (12) i çãiäíî ç îçíà÷åííÿì ïîíÿòòÿ (q, β)-ïîõiäíî¨
(Pq,β,1(·))q
β = B1(·), (14)
òîìó ç (13) ìà¹ìî
(SP q,β,1(·))q
β =
2n∑
k=1
αkB1(· − xk),
2n∑
k=1
αk = 0. (15)
Ðiâíîñòi â (14) i (15) ñëiä ðîçóìiòè ÿê ðiâíîñòi ôóíêöié ç L1, òîáòî
ìàéæå ñêðiçü. Â ñèëó ëåìè 2.3.4 ðîáîòè [4, ñ. 76] ôóíêöiÿ, ùî çíà-
õîäèòüñÿ â ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíîñòi (15) ¹ êîíñòàíòîþ íà êîæíîìó
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 209
iíòåðâàëi (xk, xk+1). Òîìó, ñåðåä (q, β)-ïîõiäíèõ áóäü-ÿêîãî ñïëàéíà
âèãëÿäó (13), à çíà÷èòü, i äëÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ñïëàéíà SP q,β,1(·),
iñíó¹ ôóíêöiÿ, ÿêà ¹ ñòàëîþ íà êîæíîìó iíòåðâàëi (xk, xk+1). Íàäàëi
ñàìå òàêó ôóíêöiþ áóäåìî ðîçóìiòè ïiä çàïèñîì (SP q,β,1(·))q
β .
Îçíà÷åííÿ 1. Áóäåìî êàçàòè, ùî äëÿ äåÿêîãî äiéñíîãî ÷èñëà y
i ðîçáèòòÿ ∆2n ÿäðî Pq,β(·) âèãëÿäó (2) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó Cy,2n (i
çàïèñóâàòè Pq,β ∈ Cy,2n), ÿêùî äëÿ öüîãî ÿäðà iñíó¹ ¹äèíèé ôóíäà-
ìåíòàëüíèé ñïëàéí SP q,β,1(y, ·) i äëÿ íüîãî âèêîíóþòüñÿ ðiâíîñòi
sign(SP q,β,1(y, tk))q
β = (−1)kεek, k = 0, 2n− 1,
äå tk = (xk +xk+1)/2, ek äîðiâíþ¹ àáî 0, àáî 1, à ε ïðèéì๠çíà÷åííÿ
±1 i íå çàëåæèòü âiä k.
Iç ðîáiò Î.Ê. Êóøïåëÿ [6, 7] âèïëèâà¹, ùî ÿêùî ÿäðî Ïóàññî-
íà Pq,β çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó Cy0,2n, äå y0 � òî÷êà, â ÿêié ôóíêöiÿ
|Pq,β ∗ ϕn|, äîñÿã๠íàéáiëüøîãî çíà÷åííÿ, òîáòî |(Pq,β ∗ ϕn)(y0)| =
= ‖Pq,β ∗ ϕn‖C , òî äëÿ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ çãîðòîê ç òàêèì
ÿäðîì ìàþòü ìiñöå îöiíêè (8) òà (9). Ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî
y0 = y0(n, q, β) =
θnπ
n
, äå θn � êîðiíü ðiâíÿííÿ (7), θn ∈ [0, 1), òî äëÿ
äîâåäåííÿ òåîðåìè 1 äîñòàòíüî âñòàíîâèòè âêëþ÷åííÿ Pq,β ∈ Cy0,2n.
Âiäïîâiäíî äî ëåìè 1 ðîáîòè [16] äëÿ äîâiëüíîãî
t ∈ (
(k − 1)π
n
,
kπ
n
), k = 1, 2n, ì๠ìiñöå ïðåäñòàâëåííÿ
(SP q,β,1(y0, t))
q
β = (−1)k+s+1 π
4nqn
(Pq(tk − y0) +
5∑
m=1
γm(y0)), (16)
â ÿêié Pq(t) � ÿäðî Ïóàññîíà ðiâíÿííÿ òåïëîïðîâiäíîñòi
Pq(t) =
1
2
+ 2
∞∑
j=1
cos jt
qj + q−j
,
à
γ1(y0) = γ1(k, y0) = 2
n−1∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y0)
n
qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
, (17)
210 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
γ2(y0) = γ2(k, y0) =
= (−1)s qn
n
z0(y0)
|λn(y0)|2
+ 2
n−1∑
j=1
zj(y0)
|λn−j(y0)|2 cos
jπ
2n
, (18)
γ3(y0) = −
R0(y0)
n
qn
2(2 + R0(y0)
n
qn
)
, (19)
γ4(y0) = γ4(k, y0) = −2
[
√
n]∑
j=1
δj(y0) cos j(tk − y0)
n
qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
, (20)
γ5(y0) = γ5(k, y0) = −2
∞∑
j=[
√
n]+1
cos j(tk − y0)
qj + q−j
, (21)
δj(y0) =
n|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
(q−j + qj)qn
− 1, j = 0, [
√
n], (22)
zj(y0) = |rj(y0)| cos(j(tk − y0) + arg(rj(y0)))+
+ (−1)s+1Rj(y0) cos(j(tk − y0)), j = 0, n− 1,
Rj(y0) = |λn−j(y0)| −
qn−j
n− j
− qn+j
n + j
, j = 0, n− 1,
λn−j(y0) = e−ijy0
(
(−1)s
(
qn−j
n− j
+
qn+j
n + j
)
+ rj(y0)
)
, j = 0, n− 1,
rj(y0) =
3∑
ν=1
r
(ν)
j (y0),
r
(1)
j (y0) =
q3n−jei(3ny0− (β+1)π
2 )
3n− j
+
+
∞∑
m=2
(
q(2m+1)n−jei((2m+1)ny0− (β+1)π
2 )
(2m + 1)n− j
+
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 211
+
q(2m−1)n+je−i((2m−1)ny0− (β+1)π
2 )
(2m− 1)n + j
)
,
r
(2)
j (y0) = i
(
qn+j
n + j
− qn−j
n− j
)
cos(ny0 −
βπ
2
),
r
(3)
j (y0) = (−1)s
(
qn−j
n− j
+
qn+j
n + j
)
(| sin(ny0 −
βπ
2
)| − 1)
tk =
kπ
n
− π
2n
, à âåëè÷èíà s = s(n, q, β) îçíà÷åíà ðiâíiñòþ
(−1)s = sign sin(ny0 −
βπ
2
).
Çãiäíî ç ëåìîþ 2 ðîáîòè [16] äëÿ äîâiëüíîãî x ∈ R i äîâiëüíîãî
q ∈ (0, 1)
Pq(x) >
(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
. (23)
 ñèëó ôîðìóë (16) i (23) âêëþ÷åííÿ Pq,β ∈ Cy0,2n áóäå äîâåäåíå
äëÿ âñiõ β ∈ R, ÿêùî âäàñòüñÿ âñòàíîâèòè ñïðàâåäëèâiñòü íàñòóïíî¨
íåðiâíîñòi:(
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
)(
1− q
1 + q
) 4
1−q2
+
5∑
k=1
γk(y0) > 0, (24)
äå âåëè÷èíè γk(y0), k = 1, 5, çàäàíi ðiâíîñòÿìè (17) � (21). Îöií-
êó çâåðõó ñóìè
5∑
k=1
|γk(y0)| ä๠íàñòóïíà ëåìà, ùî ¹ óçàãàëüíåííÿì
ëåìè 3 ðîáîòè [16].
Ëåìà 1. Íåõàé q ∈ (0, 1), β ∈ R, y0 = y0(n, q, β) =
θnπ
n
, äå θn �
êîðiíü ðiâíÿííÿ (7) i θn ∈ [0, 1), à âåëè÷èíè γk(y0), k = 1, 5 çàäà-
þòüñÿ ðiâíîñòÿìè (17) � (21). Òîäi ïðè n > 9 òà ïðè âèêîíàííi
óìîâè
qn
1− q2n
6
7q
√
n
37n2
(25)
212 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
ñïðàâåäëèâà îöiíêà
5∑
k=1
|γk(y0)|6
43
10(1−q)
q
√
n+
q
(1−q)2
min
{
160
57(n−
√
n)
,
8
3n−7
√
n
}
. (26)
Äîâåäåííÿ. Â õîäi äîâåäåííÿ ëåìè 3 ðîáîòè [16] äëÿ n > 9 áóëî
âñòàíîâëåíî, ùî
|γ1(y0)|+ |γ2(y0)|+ |γ3(y0)|+ |γ5(y0)| 6
43
10(1− q)
q
√
n, (27)
à òàêîæ, ùî
|γ4(y0)| <
160
57(n−
√
n)
q
(1− q)2
. (28)
Îòæå, ùîá îäåðæàòè (26), äîñèòü ïîêàçàòè, ùî ïðè n > 9 äëÿ
âåëè÷èíè γ4(y0) âèêîíó¹òüñÿ òàêîæ íåðiâíiñòü
|γ4(y0)| <
8
3n− 7
√
n
q
(1− q)2
. (29)
Çãiäíî ç ôîðìóëîþ (83) ðîáîòè [16]
|δj(y0)| 6
4j
3(n− j)
. (30)
Çàïèñàâøè ðiâíiñòü (22) ó âèãëÿäi
n
qn
|λn−j(y0)| cos
jπ
2n
= (qj + q−j)(1 + δj(y0)),
ç (20) òà (30) îäåðæó¹ìî, ùî ïðè n > 9
|γ4(y0)| 6 2
[
√
n]∑
j=1
4j
3(n− j)
|1− 4j
3(n− j)
|
qj = 2
[
√
n]∑
j=1
4j
3n− 7j
qj 6
6
8
3n− 7
√
n
[
√
n]∑
j=1
jqj <
8
3n− 7
√
n
∞∑
j=1
jqj <
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 213
<
8
3n− 7
√
n
q
(1− q)2
.
Òèì ñàìèì (29) äîâåäåíî. Ç (27), (28) òà (29) îäåðæó¹ìî (26). Ëåìó
äîâåäåíî.
Ç ëåìè 1 âèïëèâà¹, ùî ïðè n > 9 çà óìîâ (11) òà (25) ñïðàâåäëèâà
íåðiâíiñòü (24), à îòæå, ÿê íàñëiäîê, i îöiíêè (8) òà (9). Òîìó äëÿ
îñòàòî÷íîãî äîâåäåííÿ òåîðåìè çàëèøèëîñü ïîêàçàòè, ùî ïðè n > 9
íåðiâíiñòü (11) çàáåçïå÷ó¹ âèêîíàííÿ óìîâè (25).
Çàçíà÷èìî, ùî ïðè q ∈
(
0,
91
250
]
óìîâà (25) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ
äîâiëüíèõ n > 9. Äëÿ òîãî, ùîá ó öüîìó ïåðåêîíàòèñü äîñèòü
ïîìiòèòè, ùî ïîñëiäîâíiñòü ξ(n) = (n −
√
n) ln
91
250
+ 2 ln n −
− ln
(
7
37
(
1−
(
91
250
)18
))
ìîíîòîííî ñïàäíà ïðè n > 9 i ξ(9) < 0.
Òîìó ïðè n > 9
(n−
√
n) ln
91
250
+ 2 ln n− ln
(
7
37
(
1−
(
91
250
)18
))
< 0. (31)
Íåðiâíiñòü (31) åêâiâàëåíòíà íåðiâíîñòi
(
91
250
)n−
√
n
1−
(
91
250
)18 <
7
37n2
,
à, òîìó ïðè q ∈
(
0,
91
250
]
qn−
√
n
1− q2n
<
(
91
250
)n−
√
n
1−
(
91
250
)18 <
7
37n2
.
214 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
Îòæå, äëÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè 1 äîñòàòíüî ïîêàçàòè, ùî ïðè n > 9
i q ∈
(
91
250
, 1
)
ì๠ìiñöå iìïëiêàöiÿ
(11)⇒ (25). (32)
Äëÿ íîìåðiâ n òàêèõ, ùî
min
{
8
3n− 7
√
n
,
160
57(n−
√
n)
}
=
160
57(n−
√
n)
iìïëiêàöiÿ (32) äîâåäåíà ó [16]. Òîìó çàëèøà¹òüñÿ äîâåñòè ¨¨ ïðè òèõ
n ∈ N, äëÿ ÿêèõ
min
{
8
3n− 7
√
n
,
160
57(n−
√
n)
}
=
8
3n− 7
√
n
. (33)
Îñêiëüêè
1
2
+
2q
(1 + q2)(1− q)
<
1 + q
1− q
, q ∈ (0, 1),
òî ç (11) òà (33) âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
8
3n− 7
√
n
q
(1− q)2
<
(
1− q
1 + q
) 4
1−q2−1
,
à, îòæå, é åêâiâàëåíòíà ¨é íåðiâíiñòü
3n− 7
√
n− 8q
(1− q)2
(
1 + q
1− q
) 4
1−q2−1
> 0. (34)
Ç (34) âèïëèâà¹
n >
8q
3(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
. (35)
Îòæå, ïðè n > 9 i q ∈ (0, 1)
(11)⇒ (35). (36)
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 215
Äàëi ïîêàæåìî, ùî ïðè n > 9 i q ∈ (0, 1) íåðiâíiñòü (25) âèïëèâà¹
ç íåðiâíîñòi
n >
(
9(1 + q)
4(1− q)
)2
. (37)
Îñêiëüêè (äèâ., íàïðèêëàä, [17, ñ. 58]) äëÿ äîâiëüíîãî q ∈ (0, 1)
ln
1
q
= 2
∞∑
k=1
1
2k − 1
(
1− q
1 + q
)2k−1
> 2
1− q
1 + q
,
òî (
9(1 + q)
4(1− q)
)2
>
(
9
4 1−q
1+q
) 125
79
>
(
9
2 ln 1/q
) 125
79
. (38)
Iç (37) i (38) âèïëèâ๠íåðiâíiñòü
n >
(
9
2 ln 1/q
) 125
79
,
ÿêà åêâiâàëåíòíà íåðiâíîñòi
2
3
n ln
1
q
> 3n
46
125 . (39)
Îñêiëüêè ïðè n ∈ N lnn < n
46
125 i ïðè n > 9 1 − 1√
n
>
2
3
, òî ç
(39) âèïëèâà¹
n
(
1− 1√
n
)
ln
1
q
> 3 ln n. (40)
Ïðè n > 9 iç (40) îäåðæó¹ìî
1
qn
>
n3
q
√
n
>
9n2
q
√
n
>
38n2
7q
√
n
=
37n2
7q
√
n
+
n2
7q
√
n
>
37n2
7q
√
n
+ qn.
Îòæå, ïðè n > 9 i q ∈ (0, 1)
(37)⇒ (25). (41)
216 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
Çàëèøèëîñü äîâåñòè, ùî ïðè q ∈
(
91
250
, 1
)
i n > 9
(35)⇒ (37). (42)
Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî ðiçíèöþ v(q) ïðàâèõ ÷àñòèí â íåðiâíîñòÿõ (35)
òà (37)
v(q) =
8q
3(1− q)2
(
1 + q
1− q
)3
−
(
9(1 + q)
4(1− q)
)2
=
=
(
1 + q
1− q
)2
(
8q(1 + q)
3(1− q)3
−
(
9
4
)2
)
. (43)
Îñêiëüêè q ∈
(
91
250
, 1
)
, òî
8q(1 + q)
3(1− q)3
−
(
9
4
)2
> 0. (44)
Ç (43) òà (44) îòðèìó¹ìî íåðiâíiñòü v(q) > 0, à ðàçîì ç íåþ i
(42). Îá'¹äíóþ÷è ôîðìóëè (36), (41) òà (42) îäåðæó¹ìî (32) ïðè
q ∈
(
91
250
, 1
)
. Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çðîçóìiëî, ùî ïðè q ∈ (q(β), 1) çíàéäåíi ó òåîðåìi 1 îöiíêè çíèçó
äëÿ êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ íå âèïëèâàþòü ç âiäîìèõ ðàíiøå
ðåçóëüòàòiâ, îòðèìàíèõ â [6, 8, 9]. Ïîêàæåìî íà ïðèêëàäi ÿäåð Ïóàñ-
ñîíà Pq,0(t) òà Pq,1(t) ïðè q = 0,21, ùî ¨õ òàêîæ íåìîæëèâî îòðèìàòè,
êîðèñòóþ÷èñü ìåòîäàìè i ïiäõîäàìè, ÿêi ðîçâèíóòî À. Ïiíêóñîì [2]
äëÿ êëàñiâ çãîðòîê iç ÿäðàìè, ÿêi íå çáiëüøóþòü îñöèëëÿöi¨. Ç öi¹þ
ìåòîþ íàâåäåìî äåÿêi îçíà÷åííÿ òà òâåðäæåííÿ. Çàäàìî íå íóëüîâèé
âåêòîð x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç S(x) ÷èñëî çìií
çíàêó â ïîñëiäîâíîñòi x1, . . . , xn áåç óðàõóâàííÿ íóëüîâèõ ÷ëåíiâ, à
÷åðåç Sc(x) � ÷èñëî öèêëi÷íèõ çìií çíàêó â x, òîáòî
Sc(x) = max
i
S(xi, xi+1, . . . , xn, x1, . . . , xi) =
= S(xk, xk+1, . . . , xn, x1, . . . , xk),
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 217
äå k � äîâiëüíå öiëå ÷èñëî äëÿ ÿêîãî xk 6= 0. Äëÿ êóñêîâî-
íåïåðåðâíî¨ äiéñíîçíà÷íî¨ 2π-ïåðiîäè÷íî¨ ôóíêöi¨ f(x) ïîçíà÷èìî
Sc(f) = supSc(f(x1), . . . , f(xm)), äå m ∈ N, à ñóïðåìóì ðîçãëÿäà¹òü-
ñÿ ïî âñiõ x1 < · · · < xm < x1 + 2π.
Îçíà÷åííÿ 2. Íåïåðåðâíó äiéñíîçíà÷íó 2π-ïåðiîäè÷íó ôóíêöiþ
K(·) íàçèâàþòü CVD2n-ÿäðîì (ÿäðîì, ùî íå çáiëüøó¹ îñöèëÿöi¨) i
ïîçíà÷àþòü K ∈ CVD2n, ÿêùî âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
Sc(K ∗ f) 6 Sc(f),
äëÿ âñiõ f òàêèõ, ùî Sc(f) 6 2n.
Êàæóòü, ùî ÿäðî φ(x) ¹ öèêëi÷íèì ÿäðîì ÷àñòîò Ïîëià ïîðÿäêó
2n + 1 i ïîçíà÷àþòü φ ∈ CPF2n+1, ÿêùî
D2l+1(x,y) = det(φ(xi − yj))2l+1
i,j=1 > 0,
äå 0 6 x1 < · · · < x2l+1 < 2π, 0 6 y1 < · · · < y2l+1 < 2π, l = 0, 1, . . . , n.
Ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ CPF2n+1 òà CVD2n ÿäðàìè ìiñòÿòüñÿ ó íà-
ñòóïíîìó òâåðäæåííi, ùî íàëåæèòü Ìåðõþáåðó, Øîíáåðãó òà Âi-
ëüÿìñîíó [18] (äèâ. òàêîæ [2, ñ. 67]).
Ëåìà 2. Íåõàé φ(x) ∈ C òà φ(x) ì๠ðàíã íå ìåíøèé çà 2n + 2,
òîáòî iñíó¹ ðîçáèòòÿ yi, i = 1, 2n + 2, ïðîìiæêà [0, 2π) òàêå, ùî
0 6 y1 < · · · < y2n+2 < 2π i äëÿ ÿêîãî dim(span{φ(x − yi)}2n+2
i=1 ) =
= 2n + 2. Òîäi φ(x) ∈ CVD2n òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
εφ(x) ∈ CPF2n+1 äëÿ äåÿêîãî ôiêñîâàíîãî ε = ±1.
ßê âèïëèâ๠iç ëåìè 1.3 ðîáîòè [19], ñèñòåìà
ôóíêöié {Pq,β(x− yi)}2n+2
i=1 ëiíiéíî íåçàëåæíà i, îòæå,
dim(span{Pq,β(x− yi)}2n+2
i=1 ) = 2n + 2. Òîìó çãiäíî ç ëåìîþ 2,
ùîá äîâåñòè, ùî ÿäðà Ïóàññîíà Pq0,βk
(t) ïðè q0 = 0,21 i β1 = 0 òà
β2 = 1 íå ¹ CVD2n-ÿäðàìè íi ïðè ÿêèõ n ∈ N, äîñòàòíüî ïîêàçàòè,
ùî çíàéäóòüñÿ âåêòîðè x = (x1, x2, x3), 0 6 x1 < x2 < x3 < 2π,
òà y = (y1, y2, y3), 0 6 y1 < y2 < y3 < 2π, äëÿ ÿêèõ äåòåðìiíàíò
D3(x,y) çìiíþ¹ çíàê. Âèáåðåìî âåêòîðè x(k) = (x(k)
1 , x
(k)
2 , x
(k)
3 ) òà
y(k) = (y(k)
1 , y
(k)
2 , y
(k)
3 ), k = 1, 2, íàñòóïíèì ÷èíîì:
x
(1)
1 =
π
18
, x
(1)
2 =
π
9
, x
(1)
3 =
π
6
, y
(1)
1 =
13π
36
, y
(1)
2 =
11π
30
, y
(1)
3 =
67π
180
,
218 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
x
(2)
1 =
π
18
, x
(2)
2 =
π
9
, x
(2)
3 =
π
6
, y
(2)
1 =
13π
30
, y
(2)
2 =
10π
9
, y
(2)
3 =
7π
6
.
Îá÷èñëåííÿ ïîêàçóþòü, ùî äëÿ ÿäðà Pq0,0
D3(x(1),y(1)) < −9,98 · 10−10, D3(x(2),y(2)) > 1,97 · 10−6,
à äëÿ ÿäðà Pq0,1
D3(x(1),y(1)) < −1,3 · 10−8, D3(x(2),y(2)) > 1,17 · 10−6.
Îòæå, â ñèëó ëåìè 2 äëÿ áóäü-ÿêèõ n ∈ N Pq0,βk
(t) 6∈ CVD2n, β1 = 0,
β2 = 1.
Òåîðåìà 1, ôîðìóëè (5) i (6), à òàêîæ òåîðåìà 2 ðîáîòè Â.Ò. Øå-
âàëäiíà [8] äàþòü çìîãó çàïèñàòè íàñòóïíå òâåðäæåííÿ ïðî òî÷íi
çíà÷åííÿ ïîïåðå÷íèêiâ dm(Cq
β,∞, C) òà d2m−1(C
q
β,1, L), ÿêå îõîïëþ¹
âiäîìi íà äàíèé ÷àñ ðåçóëüòàòè [6, 8, 9, 16, 20]. Äëÿ éîãî ôîðìóëþ-
âàííÿ ïîçíà÷èìî
nq,β =
{
1, ÿêùî q ∈ (0, 0,2] i β ∈ Z àáî q ∈ (0, 0,196881] i β ∈ R \ Z,
n∗q , ÿêùî q ∈ (0,2, 1) i β ∈ Z àáî q ∈ (0,196881, 1) i β ∈ R \ Z.
Òåîðåìà 2. Íåõàé q ∈ (0, 1). Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî β ∈ R òà óñiõ
íîìåðiâ n > nq,β ìàþòü ìiñöå ðiâíîñòi
d2n(Cq
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) =
= En(Cq
β,∞)C = En(Cq
β,1)L = ‖Pq,β ∗ ϕn‖C =
=
4
π
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ , (45)
äå θn = θn(q, β) � ¹äèíèé íà [0, 1) êîðiíü ðiâíÿííÿ (7).
Òåîðåìà 2 äîçâîëÿ¹ îöiíèòè àñèìïòîòè÷íó ïðè n →∞ ïîâåäiíêó
ïîïåðå÷íèêiâ d2n(Cq
β,∞, C), d2n−1(C
q
β,∞, C) òà d2n−1(C
q
β,1, L).
Òåîðåìà 3. Íåõàé q ∈ (0, 1) òà β ∈ R. Òîäi ïðè n > nq,β
d2n(Cq
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,∞, C) = d2n−1(C
q
β,1, L) = En(Cq
β,∞)C =
= En(Cq
β,1)L = qn
(
4
π
+ γn
q2n
1− q2n
)
, (46)
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 219
äå |γn| 6
16
3π
.
Äîâåäåííÿ. Çíàéäåìî äâîñòîðîííi îöiíêè ïðàâî¨ ÷àñòèíè ôîð-
ìóëè (45). Îñêiëüêè,∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6
∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
2ν + 1
6
1
3
q3n
1− q2n
, n ∈ N,
i â ñèëó ôîðìóëè (64) ðîáîòè [16]
1− | sin(θnπ − βπ
2
)| 6 q2n
1− q2n
, n ∈ N,
òî îäåðæó¹ìî äëÿ äîâiëüíèõ n ∈ N, q ∈ (0, 1) i β ∈ R∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ > 1−
(
1− | sin(θnπ − βπ
2
)|
)
−
−
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ >
> qn
(
1− 4
3
q2n
1− q2n
)
, (47)∣∣∣∣∣
∞∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6 1 +
(
1− | sin(θnπ − βπ
2
)|
)
+
+
∣∣∣∣∣
∞∑
ν=1
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ − βπ
2
)∣∣∣∣∣ 6
6 qn
(
1 +
4
3
q2n
1− q2n
)
. (48)
Ç òåîðåìè 2 òà îöiíîê (47) i (48) âèïëèâà¹, ùî ïðè n > nq,β âèêî-
íó¹òüñÿ (46). Òåîðåìó äîâåäåíî.
220 À.Ñ. Ñåðäþê, Â.Â. Áîäåí÷óê
1. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé: Â 2 ÷. // Ïðàöi Iíñòèòóòó
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2002. � 40. � ×. I. � 427 c.
2. Pinkus A. n-widths in approximation theory. � Springer-Verlag, 1985. � 291 p.
3. Òèõîìèðîâ Â.Ì. Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Ì.: Èçä-âî
ÌÃÓ, 1976. � 304 c.
4. Êîðíåé÷óê Í.Ï. Òî÷íûå êîíñòàíòû â òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà,
Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1987. � 424 ñ.
5. Temlyakov V.N. Approximation of periodic functions. � New York: Nova
Science Publishers, 1993. � 272 ð.
6. Êóøïåëü À.Ê. Òî÷íûå îöåíêè ïîïåðå÷íèêîâ êëàññîâ ñâåðòîê // Èçâ. ÀÍ
ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàò. � 1988. � 52, � 6. � Ñ. 1305 � 1322.
7. Êóøïåëü À.Ê. Îöåíêè ïîïåðå÷íèêîâ êëàññîâ ñâåðòîê â ïðîñòðàíñòâàõ C
è L // Óêð. ìàò. æóðí. � 1989. � 41, � 8. � Ñ. 1070 � 1076.
8. Øåâàëäèí Â.Ò. Ïîïåðå÷íèêè êëàññîâ ñâåðòîê ñ ÿäðîì Ïóàññîíà // Ìàò.
çàìåòêè. � 1992. � 51, � 6. � Ñ. 126 � 136.
9. Íãóåí Òõè Òõüåó Õîà. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è íà íåêîòîðûõ êëàññàõ ãëàä-
êèõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé : Äèñ. ... äîêòîðà ôèç.-ìàò. íàóê. � Ì.: ÌÈ-
ÀÍ èì. Ñòåêëîâà, 1994. � 219 ñ.
10. Ñòåïàíåö À.È., Ñåðäþê À.Ñ. Îöåíêè ñíèçó ïîïåðå÷íèêîâ êëàññîâ ñâåðòîê
ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé â ìåòðèêàõ C è L // Óêð. ìàò. æóðí. � 1995. �
47, � 8. � Ñ. 1112 � 1121.
11. Ñåðäþê À.Ñ. Ïîïåðå÷íèêè òà íàéêðàùi íàáëèæåííÿ êëàñiâ çãîðòîê ïåðiî-
äè÷íèõ ôóíêöié // Óêð. ìàò. æóðí. � 1999. � 51, � 5. � Ñ. 674 � 687.
12. Ñåðäþê À.Ñ. Íàéêðàùi íàáëèæåííÿ i ïîïåðå÷íèêè êëàñiâ çãîðòîê ïåðiî-
äè÷íèõ ôóíêöié âèñîêî¨ ãëàäêîñòi // Óêð. ìàò. æóðí. � 2005. � 57, � 7.
� Ñ. 946 � 971.
13. Êðåéí Ì.Ã. Ê òåîðèè íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé
// Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1938. � 18, � 4 � 5. � Ñ. 245 � 249.
14. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíî-
ìàìè â ñðåäíåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ìàòåì. � 1946. � 10. � Ñ. 207 � 256.
15. Áóøàíñêèé À.Â. Î íàèëó÷øåì â ñðåäíåì ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè
íåêîòîðûõ ôóíêöèé // Èññëåäîâàíèÿ ïî òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé è
èõ ïðèëîæåíèÿ. � Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1978. � Ñ. 29 � 37.
16. Serdyuk A.S., Bodenchuk V.V. Exact values of Kolmogorov widths of classes
of Poisson integrals // Journal of Approximation Theory. � 2013. � 173. �
P. 89�109.
17. Ãðàäøòåéí È.Ñ., Ðûæèê È.Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðî-
èçâåäåíèé (4-å èçäàíèå). � Ì.: Íàóêà, 1963. � 1100 ñ.
Îöiíêè çíèçó êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ . . . 221
18. Mairhuber J.C., Shoenberg I.J., Williamson R.E. On variation diminising
transformations on the circle // Rend. Circ. Mathem. Palermo. � 1959. �
8. � 2. � P. 241 � 270.
19. Êóøïåëü À.Ê. SK-ñïëàéíû è òî÷íûå îöåíêè ïîïåðå÷íèêîâ ôóíêöèîíàëü-
íûõ êëàññîâ â ïðîñòðàíñòâå C2π . � Ê.: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985.
� 47 ñ. � (Ïðåïðèíò / ÀÍ ÓÑÑÐ, Èí-ò ìàòåìàòèêè ; 85.51).
20. Ñåðäþê À.Ñ., Áîäåí÷óê Â.Â. Îöiíêè êîëìîãîðîâñüêèõ ïîïåðå÷íèêiâ êëàñiâ
iíòåãðàëiâ Ïóàññîíà // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2013. � � 5. � Ñ. 31 � 36.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-170 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:28Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/38/4c369383af5fd3af168309c5d147e738.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1702018-01-29T14:44:27Z Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral Оцінки знизу колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона Serdyuk, A. S. Bodenchuk, V. V. Сердюк, А. С. Боденчук, В. В. We expand the ranges of permissible values of $n$ ($n\in\mathbb{N}$) for which Poisson kernels $P_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, $\beta\in\mathbb{R}$, satisfy Kushpel's condition $C_{y,2n}$. As a consequence, we obtain exact values for Kolmogorov widths in the space $C$~($L$) of classes $C_{\beta,\infty}^q$~($C_{\beta,1}^q$) of Poisson integrals generated by kernels $P_{q,\beta}(t)$ in new situations. It is shown that obtained here results we can't obtain by using methods of finding of exact lower bounds for widths suggested by A. Pinkus Розширено області допустимих значень параметра $n$ ($n\in\mathbb{N}$), при яких ядра Пуассона $P_{q,\beta}(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k \cos\left(kt-\dfrac{\beta\pi}{2}\right)$, ${q\in(0,1)}$, $\beta\in\mathbb{R}$, задовольняють умову Кушпеля $C_{y,2n}$. Як наслідок, в нових ситуаціях встановлено точні значення колмогоровських поперечників в просторі $C$~($L$) класів інтегралів Пуассона $C_{\beta,\infty}^q$~($C_{\beta,1}^q$), породжених ядрами $P_{q,\beta}(t)$. Показано, що знайдені в роботі результати неможливо одержати, використовуючи методи знаходження точних оцінок знизу поперечників, які були розвинуті А.Пінкусом. Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/170 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 204-221 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 204-221 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 204-221 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/170/141 |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Bodenchuk, V. V. Сердюк, А. С. Боденчук, В. В. Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title | Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title_alt | Оцінки знизу колмогоровських поперечників класів інтегралів Пуассона |
| title_full | Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title_fullStr | Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title_full_unstemmed | Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title_short | Estimates from below for Kolmogorov widths in classes of Poisson integral |
| title_sort | estimates from below for kolmogorov widths in classes of poisson integral |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/170 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas estimatesfrombelowforkolmogorovwidthsinclassesofpoissonintegral AT bodenchukvv estimatesfrombelowforkolmogorovwidthsinclassesofpoissonintegral AT serdûkas estimatesfrombelowforkolmogorovwidthsinclassesofpoissonintegral AT bodenčukvv estimatesfrombelowforkolmogorovwidthsinclassesofpoissonintegral AT serdyukas ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona AT bodenchukvv ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona AT serdûkas ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona AT bodenčukvv ocínkiznizukolmogorovsʹkihpoperečnikívklasívíntegralívpuassona |