Group classification of Schrodinger equations with variable mass
Group classification of planar Schr\"odinger equations with position dependent mass is carried out. These equations are defined upto two arbitrary functions which represent a mass and potential. Twenty one class of such equations with different symmetries have been classified.These classes...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/173 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552694549315584 |
|---|---|
| author | Zasadko, T. Засадко, Т. |
| author_facet | Zasadko, T. Засадко, Т. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. Засадко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zasadko, T. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Group classification of planar Schr\"odinger equations with position dependent mass is carried out. These equations are defined upto two arbitrary functions which represent a mass and potential. Twenty one class of such equations with different symmetries have been classified.These classes are defined up to the equivalence group which is the conformal group in two dimension Euclidean space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 133–141
УДК 517.5
Т. Засадко
(Нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка)
Групова класифiкацiя рiвнянь
Шрьодiнгера зi змiнною масою
Group classification of planar Schrödinger equations with position
dependent mass is carried out. These equations are defined up to two arbi-
trary functions which represent a mass and potential. Twenty one class of
such equations with different symmetries have been classified. These classes
are defined up to the equivalence group which is the conformal group in
two dimension Euclidean space.
Проведено групову класифiкацiю рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною ма-
сою, якi мають одну часову та двi просторовi змiннi. Цi рiвняння вклю-
чають двi довiльнi функцiї, що задають масу та потенцiал. Показано,
що iснує двадцять один клас рiвнянь такого типу з рiзними симетрiя-
ми. Цi класи визначенi з точнiстю до групи еквiвалентностi дослiджу-
ваних рiвнянь, яка є конформною групою у двовимiрному Евклiдовому
просторi.
1. Вступ. Дослiдження симетрiї та iнтегралiв руху рiвняння
Шрьодiнгера знаходиться в центрi уваги багатьох дослiдникiв. Iнва-
рiантнiсть цього рiвняння вiдносно групи Галiлея фактично була вiд-
крита ще Софусом Лi. Симетрiї рiвняння Шрьодiнгера з потенцiалом
було прокласифiковано в роботах [1] та [2], про вищi симетрiї та супер-
симетрiї (див. огляди [3] та [4], вiдповiдно).
В той же час симетрiї рiвняння Шрьодiнгера зi змiнною масою, яке
широко використовується у фiзицi твердого тiла, дослiдженi вiдносно
мало. Систематичне вивчення цих симетрiй розпочато у роботах [5] i
[6], де були знайденi усi iнтеграли руху першого порядку для триви-
мiрних рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою. В роботi [7] проведено
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
134 Т. Засадко
групову класифiкацiю стацiонарних рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною
масою для двовимiрного випадку.
В данiй роботi продовжено дослiдження iнтегровних i суперiнте-
гровних систем зi змiнною масою для двовимiрного випадку. А саме,
проведено групову класифiкацiю нестацiонарних рiвнянь Шрьодiнге-
ра зi змiнною масою, якi допускають iнтеграли руху першого порядку.
При цьому розглянуто тiльки спецiальнi групи симетрiї, якi допуска-
ють узагальнення на випадок рiвнянь довiльної розмiрностi. Повний
список рiвнянь з нееквiвалентними групами симетрiї наведено нижче
у таблицi 2.
2. Визначальнi рiвняння для операторiв симетрiї.
Розглянемо рiвняння Шрьодiнгера зi змiнною масою
Ĥψ = i
∂
∂t
ψ, (1)
де
Ĥ = paf(x)pa − V (x) = −∂af(x)∂a − V (x),
x = (x1, x2), ∂a =
∂
∂xa
, a = 1, 2,
f та V є диференцiйованими функцiями вiд x, якi поки що вважаються
невiдомими.
Наша задача — дослiдити симетрiї рiвняння (1) вiдносно неперерв-
них груп перетворень залежних i незалежних змiнних. Очевидно, такi
симетрiї будуть залежати вiд функцiй f та V . Iншими словами, ста-
виться задача групової класифiкацiї рiвнянь (1), якi включають два
довiльних елементи, якими є функцiї f та V .
Оскiльки розглядуване рiвняння є лiнiйним, генератори його груп
симетрiї можна представити в наступному виглядi:
Q = ξ0∂t + ξa∂a + η, (2)
де ξ0, ξa та η — невiдомi функцiї вiд x, t i a = 1, 2.
За визначенням, генератори групи симетрiї повиннi задовольняти
наступне спiввiдношення [9][
Q, Ĥ − i
∂
∂t
]
= α
(
Ĥ − i
∂
∂t
)
, (3)
Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою 135
де α — деяка функцiя вiд x. Обраховуючи комутатор [., .] i прирiв-
нявши коефiцiєнти при однакових диференцiалах, дiстаємо наступну
систему визначальних рiвнянь:
ξba + ξab − δabξ
i
i = 0, (4)
ξifi + αf = fξii , (5)
ξ0t = −α, ξ0a = 0, (6)
−iξat − ξifai + fiξ
a
i + fξacc + 2fηa = αfa, (7)
faηa + fηaa − ξiVi − iηt = −αV, (8)
де δab — символ Кронекера, i нижнi iндекси позначають похiднi за
вiдповiдними змiнними. Наприклад, ξac = ∂ξa
∂xc
, ξ0t = ∂ξ0
∂t , i т.п.
3. Нееквiвалентнi варiанти визначальних рiвнянь.
Вираз (4) є визначальним рiвнянням для конформного вектора Кiл-
лiнга. Його загальний розв’язок має вигляд (див., наприклад, [10])
ξ1 = ϕ+ ϕ∗, ξ2 = i(ϕ− ϕ∗) (9)
де ϕ — довiльна аналiтична функцiя. Ми обмежимось наступним час-
тковим випадком спiввiдношень (9):
ξa = λaxnxn − 2xaλnxn + κεabxb + ωxa + νa, a, b = 1, 2, (10)
де λa, ω, κ та νa є функцiями вiд t i εab є одиничним антисиметричним
тензором. Тодi, згiдно з (2), (10), загальний вигляд iнтеграла руху пер-
шого порядку для гамiльтонiана () задається наступною формулою:
Q = λaKa + κJ + ωD + νaP a + η, (11)
де
P a = pa =
∂
∂xa
, J = x1p2 − x2p1,
D = xapa − 1, Ka = 2xaD − xnxnpa
(12)
а η — невiдома функцiя вiд x, t, i по iндексах, що повторюються, ро-
зумiється сумування за значеннями 1, 2.
З (6) слiдує, що
ξ0 = ξ0(t) = −
∫
αdt. (13)
136 Т. Засадко
Продиференцiювавши (5) по xa, виразивши ξifai з (5) i використав-
ши (4), отримуємо
iξat = 2f(ηa + 2λ) (14)
Рiвняння (7), (8) можуть бути зведенi до дiйсної форми. Це дося-
гається наступною замiною:
η = ξnn + iη̃ = −2λ⃗x⃗+ iη̃, (15)
в результатi якої рiвняння (7), (8) набувають вигляду:
η̃t = ξiVi − αV + 2λfa, (16)
ξat = 2fη̃a. (17)
Функцiя f не залежить вiд t, тому з (17) випливає що
ξat = φ̇1(t)ξ̃a(x), η̃ = φ2(t)µ̃(x) + φ3(t) (18)
i
c1φ̇1 = c2φ2, (19)
де c1 i c2 — константи.
Пiдставивши (18) у (5), дiстанемо наступний вираз для функцiї α
α = c3φ1(t), (20)
а саме рiвняння (5) набуває вигляду
ξ̃ifi + c3f = f ξ̃ii . (21)
Далi, пiдставивши (18) в (4), отримаємо рiвняння:
ξ̃ba + ξ̃ab − δabξ̃
i
i = 0, (22)
яке формально спiвпадає з (4), але включає функцiї, якi не залежать
вiд t. Його розв’язок має вигляд
ξ̃a = λ̃axnxn − 2xaλ̃nxn + κ̃εabxb + ω̃xa + ṽa, a, b = 1, 2, (23)
де λ̃a, ω̃, κ̃, ṽa — константи.
Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою 137
Пiдставивши (18) i (23) у (16), отримаємо
φ̇2µ̃+ φ̇3 = φ1(ξ̃
aVa − c3V + 2λ̃afa) (24)
З рiвняння (24) випливають наступнi спiввiдношення
φ̇2 = c4φ1, φ̇3 = c5φ1, (25)
Нееквiвалентнi розв’язки системи (19), (25) наведено у наступнiй та-
блицi,
Таблиця 1. Розв’язки рiвнянь (19), (25)
№ φ1 φ2 φ3
1 t 1 c5t
2
2 1 t c5t
3 cos t sin t c5 sin t
4 e±t ±e±t ±c5e±t
де ми використали можливiсть змiни масштабу часової змiнної.
Для розв’язкiв, наведених у першому, другому, третьому та четвер-
тому рядках таблицi, рiвняння (17) i (24) перетворюються на
ξ̃a = 2fµ̃a, ξ̃aVa + 2λ̃afa − c3V = 2c5, (26)
ξ̃a = 0, ξ̃aVa + 2λ̃afa − c3V = c5 + µ̃, (27)
−ξ̃a = 2fµ̃a, ξ̃aVa + 2λ̃afa − c3V = c5 + µ̃, (28)
ξ̃a = 2fµ̃a, ξ̃aVa + 2λ̃afa − c3V = c5 + µ̃, (29)
вiдповiдно.
Отже, для кожного вiдомого набору функцiй ξ̃a, a = 1, 2, наша зада-
ча зводиться до розв’язання чотирьох систем рiвнянь, що включають
рiвняння (21) i одне з рiвнянь (27–29).
Загальний вираз для функцiй ξ̃a задається формулою (23) i вклю-
чає шiсть довiльних параметрiв. Використовуючи групу еквiвалентно-
стi дослiджуваного рiвняння (1) (а це конформна група С(2) у двови-
мiрному Евклiдовому просторi [7]), можна визначити нееквiвалентнi
вирази цих функцiй, якi включають значно меншу кiлькiсть параме-
трiв. Це зводиться до перебору нееквiвалентних пiдалгебр алгебри с(2),
який вдається зробити з використанням наступного твердження.
138 Т. Засадко
Твердження 1. Алгебра c(2) iзоморфна алгебрi Лi псевдоортогональ-
ної групи SO(1, 2).
Сформульований вище автоморфiзм може бути заданий явно за допо-
могою наступних спiввiдношень:
J = J12, Ka = J0a − J3a, P a = J0a + J3a, D = J30 (30)
де P a, Ja,Ka та D — оператори (12). Цi спiввiдношення визначають
базис алгебри so(1, 2), який утворюють оператори Jµν .
Згiдно з наведеним твердженням, оптимальна система пiдалгебр
алгебри (2) спiвпадає з оптимальною системою пiдалгебр алгебри
so(1, 2). Остання була знайдена у роботi [11], результатами якої ми
i скористаємося. Цi результати можуть бути представленi у виглядi
наступного твердження.
Твердження 2. Нееквiвалентнi пiдалгебри алгебри so(1, 2) визнача-
ються наступними наборами базисних елементiв.
Одновимiрнi пiдалгебри:
< J12 >, < J01 + J31 >, < J03 >, < J12 + αJ03 >, α > 0;
двовимiрнi пiдалгебри:
< J01 + J31, J02 + J32 >, < J01 + J31, J03 >, < J12, J03 > ;
тривимiрнi пiдалгебри:
< J01 + J31, J02 + J32, J03 >, < J01 + J31, J02 + J32, J12 >,
< J01 + J31, J02 + J32, J12 + αJ03 >,
< J12, J13, J23 >, < J01, J02, J12 > ;
чотиривимiрнa пiдалгебрa: < J01 + J31, J02 + J32, J12, J03 >;
шестивимiрна пiдалгебра: < J01, J02, J03, J12, J13, J23 >.
Кожнiй пiдалгебрi, наведенiй у твердженнi 2, можна спiвставити
нееквiвалентний набiр функцiй ξa. Цi функцiї ξa легко знайти, порiв-
нявши вирази (11), (23) та (30). Наприклад, для двовимiрної пiдалге-
бри < J01 + J31, J02 + J32 > отримуємо двi такi функцiї: ξ1 = ν1 та
ξ2 = ν2, якi в даному випадку є константами.
Таким чином, задача групової класифiкацiї рiвнянь (1) зводиться
до пошуку загальних розв’язкiв систем (21),(26); (21),(27); (21),(28) i
(21),(29), де функцiї ξa визначаються за вище описаним способом. Ми
не будемо наводити вiдповiднi громiздкi обчислення, результатом яких
є набiр розв’язкiв для функцiй f та V , який наведено у таблицi 2 разом
з базисними елементами вiдповiдної алгебри симетрiї рiвняння (1).
Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою 139
Таблиця 2. Нееквiвалентнi функцiї f та V i вiдповiднi симетрiї
f V Q
cr2ec1φ F̃ (r)e−c1φ − c2 2cc1
(
ξ0∂t + tJ
)
+
+i
(
cc21c2t
2 + e−c1φ
)
F (r)ec1φ F̃ (r)e−c1φ − c2 ξ0∂t + J + ic1c2t
1
2cc1
r2ec1φ F̃ (r)e−c1φ+ ξ0∂t + cos tJ+
+ce−c1φφ− c2 +sin t(c1c2 − ce−c1φ)i
1
2cc1
r2ec1φ F̃ (r)e−c1φ− ξ0∂t + e±tJ
−ce−c1φφ− c2 ±e±t(c1c2 + ce−c1φ)i
ce−c1x1 F̃ (x2)e
c1x1 − c2 2cc1
(
ξ0∂t + t∂1
)
+i(cc21c2t
2 + ec1x1)
F (x2)e
−c1x1 F̃ (x2)e
c1x1 − c2 ξ0∂t + ∂1 + ic1c2t
ce−c1x1 ec1x1
(
F̃ (x2)− x1
2c1c
)
− c2
2cc1
(
ξ0∂t + cos t∂1
)
+i sin(t)
(
−ec1x1 + cc21c2
)
ce−c1x1 F̃ (x2)e
c1x1+ ξ0∂t + e±t∂1+
+ ec1x1x1
2c1c
− c2 ±ie±t( e
c1x1
2c1c
+ c1c2)
crc1+2 F̃ (φ)r−c1 − c2
2cc1
(
ξ0∂t − tD
)
+i(r−c1 + cc21c2t
2)
F (φ)rc1+2 F̃ (φ)r−c1 − c2 ξ0∂t −D + ic1c2t
crc1+2 F̃ (φ)r−c1+ ξ0∂t − cos tD+
+ r−c1 ln r
2c1c
− c2 +i sin t(− r−c1
2c1c
+ c1c2)
crc1+2 F̃ (φ)r−c1− ξ0∂t − e±tD
− r−c1 ln r
2c1c
− c2 ±ie±t( rc1
2c1c
+ c1c2)
cr2 F̃ (r−c1eφ)− c1c2 ln r
∂t, ctR+ ic1(cc2t
2
− ln(rc1eφ))
cr2 F̃ (r−c1eφ) + g− ∂t, cos tR
+ic1 sin t(ln(r
−c1eφ) + cc1)
cr2 F̃ (r−c1eφ) + g+ ∂t, e±tR∓
±c1e
±t(− ln(r−c1eφ) + cc1)i
F (r−c1eφ)rcc1+2 F̃ (r−c1eφ)r−cc1 − c2 c1ξ
0∂t +R+ ic1c2t
ce−c1(x1+x2) c3e
c1(x1+x2) − c2
ξ0∂t + t∂1 + ic1c2t,
ξ0∂t + t∂2 + ic1c2t
cec1φrc1+2 c3e
−c1φr−c1 − c2
ξ0∂t + tJ + ic1c2t,
ξ0∂t − tD + ic1c2t
cx2
2 c ∂t, ∂1, D
c(r2 + 1)2 4cr2 + ν
∂t, J, K1 − P1,
K2 − P2
c(r2 − 1)2 4cr2 + ν
∂t, J, K1 + P1,
K2 + P2
140 Т. Засадко
де
g± =
1
4c
(
−c1xc2 ln(r)γ ± (ln(r)2(1− 1
c21
) + 2 ln(r)φc1)
)
,
R = c1J −D, φ = arctan
x2
x1
,
F (·) та F̃ (·) — довiльнi функцiї, а c, c1, c2 — довiльнi константи.
4. Висновки. Ми провели групову класифiкацiю класу рiвнянь
Шрьодiнгера (1), якi включають двi довiльнi функцiї f та V . Iншими
словами, ми знайшли усi такi функцiї, що вiдповiдають нееквiвален-
тним симетрiям цих рiвнянь, i знайшли вiдповiднi алгебри iнварiан-
тностi. При цьому ми обмежились спецiальним класом операторiв си-
метрiї, визначеним спiввiдношеннями (2) та (9), а вiдношення еквiва-
лентностi визначаються конформною групою C(2), яка дiє у просторi
двох незалежних змiнних. Саме цей клас допускає пряме узагальнен-
ня на випадок рiвнянь вигляду (1) з довiльною кiлькiстю незалежних
змiнних.
Згiдно з результатами, наведеними у таблицi 2, iснує 21 пiдклас
рiвнянь (1) з рiзною симетрiєю. Найбiльш широку симетрiю, а саме
симетрiю вiдносно чотирипараметричної групи Лi, мають рiвняння,
що вiдповiдають функцiям f та V , наведеним у двох останнiх рядках
таблицi.
Отриманi результати можуть мати цiкавi застосування в теорiї
твердого тiла. По-перше, їх можна використовувати при побудовi мо-
делей з бажаною симетрiєю. По-друге, знайденi симетрiї можна вико-
ристовувати для iнтегрування рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою,
як це було зроблено у роботi [6] для деяких тривимiрних моделей.
Лiтература
[1] Hagen C.R. Scale and conformal transformations in Galilean-invariant
conformal field theory // Phys. Rev. — 1972. — D 5. — P. 377 – 388.
[2] Niederer U. The maximal kinematical invariance group of the free SchrЁodi-
nger equations // Helv. Phys. Acta. — 1972. — 45. — P. 802 – 810.
[3] Miller W., Jr, Post S. and Winternitz P. Classical and Quantum Superi-
ntegrability with Applications // J. Phys. A: Math. Theor. — 2013. — 46. —
P. 423001.
Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною масою 141
[4] Nikitin A. G. Superintegrable systems with arbitrary spin // Ukr. J.
Phys. — 2013. — 58. — P. 1046 – 1054.
[5] Нiкiтiн А. Г., Засадко T.M. Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера
зi змiнною масою // Зб. Iн-ту математики НАН України. — 2014. — 11,
№ 1. — C. 228 – 240.
[6] Nikitin A. G., Zasadko T. N. Superintegrable systems with position
dependent mass // J. Math. Phys. — 2015. — 56. — P. 042101.
[7] Засадко T.M. Групова класифiкацiя рiвнянь Шрьодiнгера зi змiнною
масою для двовимiрного випадку // Доп. НАН України. — 2015. — №
5. — С. 7 – 14.
[8] Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. — Москва:
Наука, 1983.
[9] Miller W., Jr. Symmetry and separation of variables // Addison-Wesley
Publishing Co., Inc., Reading, MA, 1977.
[10] Нiкiтiн А. Г. Узагальненi тензори Кiлiнга довiльного рангу та поряд-
ку // Укр. мат. журн. — 1991. — 43. — С. 786 – 795; Nikitin A. G.
Generalized Killing tensors of arbitrary valence and order // Ukr. Mat.
J. — 1991. — 43. — P. 734 – 743.
[11] Фущич В. И., Баранник Л. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ
групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. — К.: На-
ук. думка, 1991. — 304 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-173 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:30Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/6b/6dd3dcf606ec3988ee4cecc773c00a6b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1732018-01-23T12:10:05Z Group classification of Schrodinger equations with variable mass Групова класифікація рівнянь Шрьодінгера зі змінною масою Zasadko, T. Засадко, Т. Group classification of planar Schr\"odinger equations with position dependent mass is carried out. These equations are defined upto two arbitrary functions which represent a mass and potential. Twenty one class of such equations with different symmetries have been classified.These classes are defined up to the equivalence group which is the conformal group in two dimension Euclidean space. Проведено групову класифікацію рівнянь Шрьодінгера зі змінною масою, які мають одну часову та дві просторові змінні. Ці рівняння включають дві довільні функції, що задають масу та потенціал. Показано, що існує двадцять один клас рівнянь такого типу з різними симетріями. Ці класи визначені з точністю до групи еквівалентності досліджуваних рівнянь, яка є конформною групою у двовимірному Евклідовому просторі. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/173 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 133–141 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 133–141 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 133–141 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/173/142 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zasadko, T. Засадко, Т. Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title | Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title_alt | Групова класифікація рівнянь Шрьодінгера зі змінною масою |
| title_full | Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title_fullStr | Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title_full_unstemmed | Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title_short | Group classification of Schrodinger equations with variable mass |
| title_sort | group classification of schrodinger equations with variable mass |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/173 |
| work_keys_str_mv | AT zasadkot groupclassificationofschrodingerequationswithvariablemass AT zasadkot groupclassificationofschrodingerequationswithvariablemass AT zasadkot grupovaklasifíkacíârívnânʹšrʹodíngerazízmínnoûmasoû AT zasadkot grupovaklasifíkacíârívnânʹšrʹodíngerazízmínnoûmasoû |