Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions
We obtain order-exact estimates for uniform approximations by using Zygmund sums $Z^{s}_{n}$ of classes $C^{\psi}_{\beta,p}$ of $2\pi$-periodic continuous functions $f$ representable by convolutions of functions from unit balls of thespace $L_{p}$, $1< p<\infty$, with a fixed k...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/174 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552693880324096 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Grabova, U. Z. Сердюк, А. С. Грабова, У. З. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Grabova, U. Z. Сердюк, А. С. Грабова, У. З. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "У. З. Грабова",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We obtain order-exact estimates for uniform approximations by using Zygmund sums $Z^{s}_{n}$ of classes $C^{\psi}_{\beta,p}$ of $2\pi$-periodic continuous functions $f$ representable by convolutions of functions from unit balls of thespace $L_{p}$, $1< p<\infty$, with a fixed kernels $\Psi_{\beta}\in L_{p'}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. In addition, we find a set of allowed values of parameters (that define the class $C^{\psi}_{\beta,p}$ and the linear method $Z^{s}_{n}$) for which Zygmund sums and Fejer sums realize the order of the best uniform approximations by trigonometric polynomials of those classes |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 222�244
ÓÄÊ 517.5
À.Ñ. Ñåðäþê (Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
Ó.Ç. Ãðàáîâà (Ñõiäíî¹âðîïåéñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Ëåñi
Óêðà¨íêè, Ëóöüê)
ÎÖIÍÊÈ ÐIÂÍÎÌIÐÍÈÕ ÍÀÁËÈÆÅÍÜ ÑÓÌÀÌÈ ÇÈÃ-
ÌÓÍÄÀ ÍÀ ÊËÀÑÀÕ ÇÃÎÐÒÎÊ ÏÅÐIÎÄÈ×ÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ
We obtain order-exact estimates for uniform approximations by using Zygmund
sums Zs
n of classes Cψ
β,p of 2π-periodic continuous functions f representable
by convolutions of functions from unit balls of the space Lp, 1 < p < ∞, with
a �xed kernels Ψβ ∈ Lp′ ,
1
p
+ 1
p′ = 1. In addition, we �nd a set of allowed
values of parameters (that de�ne the class Cψ
β,p and the linear method Zs
n)
for which Zygmund sums and Fejer sums realize the order of the best uniform
approximations by trigonometric polynomials of those classes.
Îäåðæàíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèã-
ìóíäà Zs
n íà êëàñàõ Cψ
β,p 2π-ïåðiîäè÷íèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié f , ÿêi çîá-
ðàæóþòüñÿ ó âèãëÿäi çãîðòêè ôóíêöié, ùî íàëåæàòü îäèíè÷íèì êóëÿì
ïðîñòîðiâ Lp, 1 < p < ∞, ç ôiêñîâàíèìè òâiðíèìè ÿäðàìè Ψβ ∈ Lp′ ,
1
p
+ 1
p′ = 1. Âêàçàíî ìíîæèíó äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ (ùî âèçíà-
÷àþòü êëàñè Cψ
β,p òà ëiíiéíèé ìåòîä Zs
n) ïðè ÿêèõ ñóìè Çèãìóíäà, à
òàêîæ ñóìè Ôåé¹ðà, çàáåçïå÷óþòü ïîðÿäîê íàéêðàùèõ ðiâíîìiðíèõ íàá-
ëèæåíü òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè íà âêàçàíèõ êëàñàõ.
Íåõàé Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ ñóìîâíèõ ôóíê-
öié f çi ñêií÷åííîþ íîðìîþ ‖f‖p, äå ïðè p ∈ [1,∞)
‖f‖p =
( 2π∫
0
|f(t)|pdt
) 1
p
,
à ïðè p = ∞
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|;
C � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié, ó ÿêîìó íîðìà
çàäà¹òüñÿ ðiâíiñòþ ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Íåõàé, äàëi, Lψβ,p, 1 ≤ p < ∞, � êëàñ 2π-ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
f(x), ùî ìàéæå äëÿ âñiõ x ∈ R ïðåäñòàâëÿþòüñÿ çãîðòêàìè
c© À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç.Ãðàáîâà, 2013
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 223
f(x) :=
a0
2
+ (Ψβ ∗ ϕ)(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ⊥ 1,
(1)
äå ‖ϕ‖p ≤ 1, à Ψβ(t) � ñóìîâíà íà [0, 2π) ôóíêöiÿ, ðÿä Ôóð'¹ ÿêî¨
ì๠âèãëÿä
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R. (2)
Ôóíêöiþ ϕ â çîáðàæåííi (1), çãiäíî ç Î.I. Ñòåïàíöåì [1, ñ. 132], íà-
çèâàþòü (ψ, β)-ïîõiäíîþ ôóíêöi¨ f i ïîçíà÷àþòü ÷åðåç fψβ .
ßêùî ψ(k) = k−r, r > 0, β ∈ R, òî êëàñè Lψβ,p ¹ êëàñàìè Âåéëÿ-
Íàäÿ i ïîçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç W r
β,p. Ïðè β = r, r ∈ N, îñòàííi êëàñè ¹
âiäîìèìè êëàñàìè W r
p .
ßêùî òâiðíå ÿäðî Ψβ êëàñó Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, çàäîâîëüíÿ¹ âêëþ-
÷åííþ Ψβ ∈ Lp′ ,
1
p + 1
p′ = 1, òî Lψβ,p ⊂ L∞, à çãîðòêè âèäó (1) ¹
íåïåðåðâíèìè ôóíêöiÿìè (äèâ. òâåðäæåííÿ 3.8.1 òà 3.8.2 ðîáîòè [1,
ñ. 137, 138]). Òîìó êëàñ óñiõ ôóíêöié f âèäó (1), äëÿ ÿêèõ ‖ϕ‖p ≤ 1,
Ψβ ∈ Lp′ áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç Cψβ,p. Çðîçóìiëî, ùî ó âèïàäêó
f ∈ Cψβ,p ðiâíiñòü (1) âèêîíó¹òüñÿ ïðè âñiõ x ∈ R.
Ââàæàþ÷è, ùî ïîñëiäîâíiñòü ψ(k), ùî âèçíà÷๠êëàñ Cψβ,p, ¹ ñëi-
äîì íà ìíîæèíi N äåÿêî¨ íåïåðåðâíî¨ ôóíêöi¨ ψ(t) íåïåðåðâíîãî àð-
ãóìåíòó t ≥ 1, ïîçíà÷èìî ÷åðåç Θp, 1 ≤ p < ∞, ìíîæèíó ìîíîòîí-
íî íåçðîñòàþ÷èõ ôóíêöié ψ(t), äëÿ ÿêèõ iñíó¹ ñòàëà α > 1
p òàêà,
ùî ôóíêöiÿ tαψ(t) ìàéæå ñïàäà¹, òîáòî çíàéäåòüñÿ äîäàòíà ñòàëà
K òàêà, ùî tα1ψ(t1) ≤ Ktα2ψ(t2) äëÿ áóäü-ÿêèõ t1 > t2 ≥ 1. Óìîâà
ψ ∈ Θp, ÿê íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ãàðàíòó¹ ñïðàâåäëèâiñòü âêëþ-
÷åííÿ Ψβ ∈ Lp′ , 1
p + 1
p′ = 1 (äèâ., íàïðèêëàä [2, ñ. 657]).
Ïðèêëàäàìè ôóíêöié ψ, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó ψ ∈ Θp ¹, çî-
êðåìà, ôóíêöi¨ âèäó ψ1(t) = 1
tr , r > 1
p ; ψ2(t) = lnα(t+c)
tr , r > 1
p ,
α > 0, c > e
2α
r− 1
p − 1; ψ3(t) = 1
tr lnα(t+c) , r > 1
p , α > 0, c > 0;
ψ4(t) = ln lnα(t+c)
tr , r > 1
p , α > 0, c > e
2α
r− 1
p − 1.
224 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Ñóìàìè Çèãìóíäà ôóíêöi¨ f ∈ L1 íàçèâàþòü òðèãîíîìåòðè÷íi
ïîëiíîìè âèäó
Zsn(f ; t) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
(
1−
(
k
n
)s)
(ak(f) cos kt+bk(f) sin kt), s > 0, (3)
äå ak(f) i bk(f) � êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f . Ñóìè Çèãìóíäà ïðè
äîâiëüíîìó s > 0 áóëè ââåäåíi À. Çèãìóíäîì [3].
Ïðè s = 1 ñóìè Zsn ïåðåòâîðþþòüñÿ ó âiäîìi ñóìè Ôåé¹ðà
σn(f ; t) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
(
1− k
n
)
(ak(f) cos kt+ bk(f) sin kt), (4)
äå ak(f) i bk(f) � êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f .
Ïðè âñiõ 1 ≤ p, q ≤ ∞ i β ∈ R òàêèõ, ùî Lψβ,p ⊂ Lq ðîçãëÿíåìî
âåëè÷èíè âèãëÿäó
En
(
Lψβ,p;Z
s
n
)
q
= sup
f∈Lψβ,p
‖f(·)− Zsn(f ; ·)‖q. (5)
 ðîáîòi äîñëiäæóþòüñÿ ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí (5) ïðè β ∈ R,
ψ ∈ Θp, 1 < p < ∞ i q = ∞. Çðîçóìiëî, ùî ïðè ψ ∈ Θp, 1 < p < ∞,
q = ∞
En
(
Lψβ,p;Z
s
n
)
∞
= En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
= sup
f∈Cψβ,p
‖f(·)− Zsn(f ; ·)‖C . (6)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En (W r
∞;Zsn)C äëÿ r ∈ N çíàéäåíî â ðî-
áîòi À. Çèãìóíäà [3]. Á. Íàäü [4] äîñëiäèâ âåëè÷èíó En
(
W r
β,∞;Zsn
)
C
ïðè r > 0, β ∈ Z, ïðè÷îìó äëÿ s ≤ r íèì çíàéäåíî äëÿ öèõ âåëè-
÷èí àñèìïòîòè÷íi ðiâíîñòi, à äëÿ s > r � ïîðÿäêîâi îöiíêè. Çãîäîì
Ñ.À. Òåëÿêîâñüêèé [5] äëÿ r > 0 îäåðæàâ àñèìïòîòè÷íî òî÷íi ðiâ-
íîñòi äëÿ âåëè÷èí En
(
W r
β,∞;Zsn
)
C
ïðè β ∈ R, n→∞.
Äëÿ ñóì Ôåé¹ðà σn(f ; t) ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En
(
W r
β,p;σn
)
q
ïðè β ∈ Z i p = q = ∞ áóëè çíàéäåíi Ñ.Ì. Íiêîëüñüêèì [6]; äëÿ âåëè-
÷èí En
(
W r
p ;σn
)
q
ó âèïàäêàõ à)1 < p, q <∞; á)1 ≤ p <∞, q = ∞;
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 225
â)p = 1, 1 < q <∞ � ó ðîáîòàõ Â.Ì. Òèõîìèðîâà [7] òà À.I. Êàìçî-
ëîâà [8]. Çãîäîì ðåçóëüòàòè [7 � 8] áóëè äîïîâíåíi ó ðîáîòàõ Ì.Â. Êî-
ñòè÷à [9], [10], äå çíàéäåíî ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En
(
W r
β,p;Z
s
n
)
q
,
β ∈ R ïðè 1 ≤ p < ∞, q = ∞, r > 1
p , à òàêîæ ïðè p = 1, 1 < q < ∞,
r > 1− 1
p .
Íà êëàñàõ Cψβ,p òà Lψβ,p îöiíêè íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà â
ðiâíîìiðíié òà iíòåãðàëüíèõ ìåòðèêàõ âèâ÷àëèñü ó ðîáîòàõ Ä.Ì. Áó-
øåâà [11], I.Á. Êîâàëüñüêî¨ [12] òà iíøèõ.  ðîáîòi [12] ó âèïàäêó
1 < q ≤ p < ∞ îäåðæàíî, çîêðåìà, òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí
En
(
Lψβ,p;Z
s
n
)
q
çà óìîâè ìîíîòîííîãî ñïàäàííÿ äî íóëÿ ïîñëiäîâíîñòi
ψ(k), à ó âèïàäêó 1 < p < q < ∞ � çà óìîâè ψ(k)
ψ(ck) ≤ K < ∞, c > 1,
K > 0 i ìîíîòîííîãî ñïàäàííÿ äî íóëÿ ïîñëiäîâíîñòi ψ(k)k
1
p−
1
q . ßê-
ùî p = q = 2 â [12] çíàéäåíî òî÷íi ðiâíîñòi âåëè÷èí âèãëÿäó (5).
Òî÷íi ðiâíîñòi äëÿ âêàçàíèõ âåëè÷èí ïðè p = 2 i q = ∞, à òàêîæ
ïðè p = 1 i q = 2 çà óìîâè çáiæíîñòi ðÿäó
∞∑
k=1
ψ2(k) âñòàíîâëåíî ó
ðîáîòàõ À.Ñ. Ñåðäþêà òà I.Â. Ñîêîëåíêà [13], [14].
Àñèìïòîòè÷íî òî÷íi îöiíêè âåëè÷èí En
(
Lψβ,p;Z
s
n
)
q
ïðè äåÿêèõ
äîñèòü ïðèðîäíèõ îáìåæåííÿõ íà ôóíêöi¨ ψ çíàéäåíî ó ðîáîòàõ
Ä.Ì. Áóøåâà [11] ïðè p = q = ∞ òà I.Á. Êîâàëüñüêî¨ [12] ïðè
p = q = 1.
Ïîðÿä ç âåëè÷èíàìè (6) â ðîáîòi ðîçãëÿäàþòüñÿ òàêîæ íàéêðàùi
ðiâíîìiðíi íàáëèæåííÿ êëàñiâ Cψβ,p òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè
tn−1 ïîðÿäêó n− 1, òîáòî âåëè÷èíè âèãëÿäó
En(C
ψ
β,p)C = sup
f∈Cψβ,p
inf
tn−1
‖f(·)− tn−1(·)‖C , 1 < p <∞. (7)
Äîñëiäæåííþ ïîðÿäêîâèõ ðiâíîñòåé äëÿ âåëè÷èí (7) ïðèñâÿ÷åíî ðî-
áîòó [16] (òàì æå ìîæíà áiëüø äåòàëüíî îçíàéîìèòèñü iç íàÿâíîþ
áiáëiîãðàôi¹þ ùîäî îöiíîê âêàçàíèõ âåëè÷èí).
 äàíié ðîáîòi çíàéäåíî ïîðÿäêîâi ðiâíîñòi äëÿ âåëè÷èí (6) ïðè
äîâiëüíèõ 1 < p < ∞, q = ∞ i ψ ∈ Θp i òèì ñàìèì äîïîâíåíî
âñòàíîâëåíi â [12] îöiíêè âåëè÷èí (5) íà âèïàäêè 1 < p <∞, q = ∞,
226 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
à òàêîæ óçàãàëüíåíî ðåçóëüòàòè ðîáîòè [9] íà êëàñè Cψβ,p, ψ ∈ Θp,
β ∈ R. Êðiì òîãî, â ðîáîòi âñòàíîâëåíî ìíîæèíó äîïóñòèìèõ çíà÷åíü
ïàðàìåòðiâ (ùî âèçíà÷àþòü êëàñè Cψβ,p, òà ëiíiéíèé ìåòîä Zsn) ïðè
ÿêèõ ñóìè Çèãìóíäà, à òàêîæ ñóìè Ôåé¹ðà, çàáåçïå÷óþòü ïîðÿäîê
íàéêðàùèõ ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè
íà âêàçàíèõ êëàñàõ, òîáòî
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
� En(C
ψ
β,p)C .
Ïåðåéäåìî äî òî÷íèõ ôîðìóëþâàíü.
Áóäåìî êàçàòè, ùî äîäàòíà ôóíêöiÿ g(t), çàäàíà íà [1,∞), íàëå-
æèòü äî ìíîæèíè A+ ( i çàïèñóâàòè g ∈ A+), ÿêùî iñíó¹ ε > 0 òàêå,
ùî g(t)t−ε çðîñò๠íà [1,∞). Àíàëîãi÷íî, ÿêùî iñíó¹ ε > 0 òàêå, ùî
g(t)tε ñïàä๠íà [1,∞), òî áóäåìî êàçàòè, ùî g íàëåæèòü äî ìíîæèíè
A− i çàïèñóâàòè g ∈ A−.
×åðåç Z ïîçíà÷èìî ìíîæèíó íåïåðåðâíèõ ñëàáî êîëèâíèõ (â ñåí-
ñi Çèãìóíäà) ôóíêöié, òîáòî äîäàòíèõ ôóíêöié g(t), âèçíà÷åíèõ íà
[1,∞), òàêèõ, ùî ïðè äîâiëüíîìó δ > 0 ôóíêöiÿ g(t)tδ çðîñòà¹, à
g(t)t−δ ñïàäà¹, äëÿ äîñòàòíüî âåëèêèõ t. Ïðè ôiêñîâàíîìó ρ > 1 ÷åðåç
Z+
ρ ïîçíà÷èìî ïiäìíîæèíó ìîíîòîííî çðîñòàþ÷èõ ôóíêöié g ∈ Z,
ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
gρ(n) lnn = O
( n∫
1
gρ(t)
t
dt
)
, n ∈ N,
à ÷åðåç Z−ρ � ïiäìíîæèíó ìîíîòîííî ñïàäíèõ ôóíêöié g ∈ Z, ùî
çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
n∫
1
gρ(t)
t
dt = O
(
gρ(n) lnn
)
, n ∈ N.
Ïiä çàïèñîì A(n) = O(B(n)) ðîçóìi¹ìî, ùî iñíó¹ ñòàëà
K > 0, òàêà, ùî âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü A(n) ≤ K(B(n)), äå
n ∈ N. Çàïèñ A(n) � B(n) îçíà÷à¹, ùî A(n) = O(B(n)) i îäíî÷àñíî
B(n) = O(A(n)).
Òåîðåìà 1. Íåõàé 1 < p <∞, s > 0 i gs,p(t) := ψ(t)ts+
1
p . Òîäi
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 227
1. ßêùî ψ ∈ Θp i gs,p ∈ A+, òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
= O
(
ψ(n)n
1
p
)
. (8)
2. ßêùî gs,p ∈ Z, òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
= O
(
1
ns
( n∫
1
(
ψ(t)ts+
1
p
)p′
t
dt
) 1
p′
)
,
1
p
+
1
p′
= 1. (9)
3. ßêùî gs,p ∈ A−, òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
= O
( 1
ns
)
. (10)
Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè îïåðàòîð
Zsn : f(t) → Zsn(f, t)
¹ ëiíiéíèì ïîëiíîìiàëüíèì îïåðàòîðîì, iíâàðiàíòíèì âiäíîñíî çñóâiâ
Zsn(fh, t) = Zsn(f, t+ h), fh(t) = f(t+ h), h ∈ R,
i íîðìà â C, òà êëàñè Cψβ,p òàêîæ iíâàðiàíòíi âiäíîñíî çñóâiâ, òîáòî
‖fh(t)‖C = ‖f(t)‖C ; f(t) ∈ Cψβ,p ⇒ fh(t) ∈ Cψβ,p,
òî
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
= sup
f∈Cψβ,p
|f(0)− Zsn(f ; 0)|.
 ñèëó ôîðìóë (1) i (3) äëÿ äîâiëüíî¨ f ∈ Cψβ,p, 1 ≤ p < ∞, β ∈ R,
s > 0
f(0)−Zsn(f ; 0)=
1
π
π∫
−π
(
1
ns
n−1∑
k=1
ψ(k)kscos
(
kt+
βπ
2
)
+Ψ−β,n(t)
)
ϕ(t)dt, (11)
äå Ψ−β,n(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt+ βπ
2
)
, ‖ϕ‖p ≤ 1, n ∈ N.
228 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Ç íåðiâíîñòi Ãåëüäåðà òà íåðiâíîñòi òðèêóòíèêà âèïëèâà¹, ùî ïðè
1 ≤ p <∞
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≤ 1
π
∥∥∥∥∥ 1
ns
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)
+ Ψ−β,n(t)
∥∥∥∥∥
p′
≤
≤ 1
πns
∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
ψ(k)kscos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p′
+
1
π
∥∥Ψ−β,n(t)
∥∥
p′
,
1
p
+
1
p′
= 1. (12)
Çíàéäåìî îöiíêó çâåðõó âåëè÷èíè ‖Ψ−β,n(·)‖p′ . Äëÿ öüîãî, çàñòî-
ñóâàâøè äî ôóíêöi¨ Ψ−β,n(t) ïåðåòâîðåííÿ Àáåëÿ, îäåðæèìî
Ψ−β,n(t) =
∞∑
k=n
(
ψ(k)− ψ(k + 1)
)
Dk,β(t)− ψ(n)Dn−1,β(t), (13)
äå
Dk,β(t) =
1
2
cos
βπ
2
+
k∑
ν=1
cos
(
νt+
βπ
2
)
=
= cos
βπ
2
(
sin 2k+1
2 t
2 sin t
2
)
− sin
βπ
2
(
cos t2 − cos 2k+1
2 t
2 sin t
2
)
.
Âiäîìî (äèâ., íàïðèêëàä, [15, ñ. 89]), ùî
|Dk,β(t)| = O(k), |Dk,β(t)| = O
( 1
|t|
)
, 0 < |t| ≤ π. (14)
Òîìó
∥∥Dk,β(t)
∥∥p′
p′
=
π∫
−π
|Dk,β(t)|p
′
dt= O
( ∫
0≤|t|≤ 1
k
kp
′
dt+
∫
1
k≤|t|≤π
dt
|t|p′
)
=O(kp
′−1).
Ç îñòàííüî¨ ðiâíîñòi ìà¹ìî ïðè 1 ≤ p <∞, k ∈ N i β ∈ R
‖Dk,β(t)‖p′ = O(k1− 1
p′ ) = O(k
1
p ). (15)
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 229
Ç (13) òà (15) îäåðæó¹ìî
‖Ψ−β,n(·)‖p′ =O
( ∞∑
k=n
(
ψ(k)−ψ(k+1)
)
k
1
p
)
+ψ(n)n
1
p
)
, 1 ≤ p <∞. (16)
Äàëi, äëÿ îöiíêè ñóìè
∞∑
k=n
(
ψ(k)−ψ(k+1)
)
k
1
p áóäå êîðèñíèì íàñòóïíå
òâåðäæåííÿ ðîáîòè [16].
Ëåìà 1. Íåõàé r ∈ (0, 1], à ψ(k) > 0, ìîíîòîííî íåçðîñò๠i äëÿ
íå¨ çíàéäåòüñÿ ε > 0 òàêå, ùî ïîñëiäîâíiñòü kr+εψ(k) ìàéæå ñïà-
äà¹. Òîäi iñíó¹ ñòàëà K, çàëåæíà âiä ψ i r òàêà, ùî äëÿ äîâiëüíèõ
n ∈ N
ψ(n)nr ≤
∞∑
k=n
(
ψ(k)− ψ(k + 1)
)
kr ≤ Kψ(n)nr. (17)
Îñêiëüêè ψ ∈ Θp, òî, çàñòîñîâóþ÷è ëåìó 1 ïðè r = 1
p , iç (16)
îòðèìó¹ìî îöiíêó
‖Ψ−β,n(·)‖p′ = O(ψ(n)n
1
p ), 1 ≤ p <∞. (18)
Ïåðåéäåìî äî îöiíêè âåëè÷èíè∥∥∥ n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥
p′
. (19)
Çàñòîñóâàâøè äî ôóíêöi¨
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+ βπ
2
)
ïåðåòâîðåííÿ Àáå-
ëÿ, îäåðæó¹ìî
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)
=
n−2∑
k=1
(
ψ(k)ks − ψ(k + 1)(k + 1)s
)
Dk,β(t)+
+ψ(n− 1)(n− 1)sDn−1,β(t)−
1
2
cos
βπ
2
.
Òîäi, âðàõîâóþ÷è (15), ìà¹ìî∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p′
= O(1)+
230 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
+O
(
n−2∑
k=1
∣∣ψ(k)ks−ψ(k+1)(k+1)s
∣∣k 1
p
)
+O
(
ψ(n−1)(n−1)s+
1
p
)
. (20)
Ïîêàæåìî, ùî ÿêùî gs,p ∈ A+, òî∥∥∥ n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥
p′
= O
(
ψ(n)ns+
1
p
)
, 1 ≤ p <∞. (21)
Ç íåðiâíîñòi òðèêóòíèêà âèïëèâà¹
n−2∑
k=1
∣∣ψ(k)ks−ψ(k+1)(k+1)s
∣∣k 1
p ≤
n−2∑
k=1
∣∣ψ(k)ks+
1
p −ψ(k+1)(k+1)s+
1
p
∣∣+
+
n−2∑
k=1
∣∣ψ(k + 1)(k + 1)s+
1
p − ψ(k + 1)(k + 1)sk
1
p
∣∣. (22)
Äàëi, âèêîðèñòîâóþ÷è ìîíîòîííå çðîñòàííÿ ôóíêöi¨ gs,p ç ìíîæèíè
A+, îòðèìó¹ìî
n−2∑
k=1
∣∣ψ(k)ks−ψ(k+1)(k+1)s
∣∣k 1
p <
n−2∑
k=1
(
ψ(k+1)(k+1)s+
1
p−ψ(k)ks+
1
p
)
+
+
n−2∑
k=1
ψ(k + 1)(k + 1)s
(
(k + 1)
1
p − k
1
p
)
< ψ(n− 1)(n− 1)s+
1
p+
+
1
p
n−2∑
k=1
ψ(k + 1)(k + 1)sk
1
p−1 =
= O
(
ψ(n)ns+
1
p +
n−2∑
k=1
ψ(k + 1)(k + 1)s+
1
p−1
(
1 +
1
k
) 1
p′
)
=
= O
(
ψ(n)ns+
1
p +
n−1∑
k=2
ψ(k)ks+
1
p
k
)
=
= O
(
ψ(n)ns+
1
p +
n−1∫
1
ψ(t)ts+
1
p
t
dt
)
= O
(
ψ(n)ns+
1
p
)
. (23)
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 231
Îá'¹äíàâøè (20) i (23), îäåðæó¹ìî (21). Iç (12), (18) i (21) ïðè ψ ∈ Θp
i gs,p ∈ A+ âèïëèâ๠(8).
Äàëi ïîêàæåìî, ùî ïðè âèêîíàííi óìîâè gs,p ∈ A− äëÿ âåëè÷èíè
(19) âèêîíó¹òüñÿ îöiíêà∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p′
= O(1), 1 ≤ p <∞. (24)
 ñèëó (22) i ìîíîòîíîãî ñïàäàííÿ ôóíêöi¨ gs,p ∈ A− îòðèìó¹ìî
n−2∑
k=1
∣∣∣ψ(k)ks−ψ(k+1)(k+1)s
∣∣∣k 1
p < ψ(1)+
1
p
n−2∑
k=1
ψ(k+1)(k+1)sk
1
p−1 =
= O
(
1 +
n−2∑
k=1
ψ(k + 1)(k + 1)s+
1
p−1
(
1 +
1
k
) 1
p′
)
=
= O
(
1 +
n−1∑
k=2
ψ(k)ks+
1
p
k
)
= O
(
1 +
n−1∫
1
ψ(t)ts+
1
p
t
dt
)
= O(1). (25)
Ç (20) òà (25) îäåðæó¹ìî (24). Î÷åâèäíî, ùî óìîâà gs,p ∈ A− çà-
áåçïå÷ó¹ âêëþ÷åííÿ ψ ∈ Θp. Îá'¹äíàâøè (12), (18) i (24) çà óìîâè
gs,p ∈ A−, îòðèìó¹ìî îöiíêó (10).
Äëÿ îöiíêè âåëè÷èíè (19) ó âèïàäêó, êîëè gs,p ∈ Z, íàì áóäå
êîðèñíèì íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Ëåìà 2. Íåõàé 0 < r < 1 i gs,p ∈ Z. Òîäi äëÿ äîâiëüíèõ x ∈ (0, π]
i N ∈ N ìàþòü ìiñöå íåðiâíîñòi∣∣∣∣ N∑
k=1
g(k)
kr
sin kx
∣∣∣∣ ≤ Cg,rg
( 1
x
)
xr−1, (26)
∣∣∣∣ N∑
k=1
g(k)
kr
cos kx
∣∣∣∣ ≤ C̃g,rg
( 1
x
)
xr−1, (27)
â ÿêèõ Cg,r, C̃g,r � äîäàòíi âåëè÷èíè, ùî çàëåæàòü ëèøå âiä g òà
r.
232 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Äîâåäåííÿ. Ïîêàæåìî ñïðàâåäëèâiñòü ëèøå íåðiâíîñòi (26),
îñêiëüêè (27) äîâîäèòüñÿ àíàëîãi÷íî.
Ïðåäñòàâèìî ôóíêöiþ S
(N)
g,r (x) =
N∑
k=1
g(k)
kr sin kx ó âèãëÿäi
S(N)
g,r (x) = Sg,r(x)−
∞∑
k=N+1
g(k)
kr
sin kx, (28)
äå Sg,r(x) � ñóìà ðÿäó
Sg,r(x) =
∞∑
k=1
g(k)
kr
sin kx. (29)
Ôóíêöiÿ Sg,r ¹ íåïåðåðâíîþ íà (0, π], à ¨¨ ÷àñòèííi ñóìè S
(N)
g,r ðiâíî-
ìiðíî çáiãàþòüñÿ äî Sg,r íà áóäü-ÿêîìó ñåãìåíòi [ε, π], äå 0 < ε < π
(äèâ., íàïðèêëàä, [15, ñ. 6]). Êðiì òîãî, çãiäíî ç òåîðåìîþ (5.2.6) ðî-
áîòè [15, ñ. 300], ïðè x→ +0 ì๠ìiñöå àñèìïòîòè÷íà ðiâíiñòü
Sg,r(x) = g
( 1
x
)
xr−1
(
Γ(1− r) cos
πr
2
+ o(1)
)
, 0 < r < 1, (30)
â ÿêié Γ(·) � ãàììà-ôóíêöiÿ Åéëåðà. Ç (30) âèïëèâà¹, ùî
|Sg,r(x)| ≤ C(1)
g,rg
( 1
x
)
xr−1, 0 < x ≤ π, (31)
C
(1)
g,r � çàëåæèòü ëèøå âiä g òà r.
×åðåç Θ(1)
g,r, r ∈ (0, 1), ïîçíà÷èìî çíà÷åííÿ àðãóìåíòó ôóíêöi¨
g(t)t−
r
2 òàêå, ùî ïðè t ∈ [Θ(1)
g,r,∞) ôóíêöiÿ g(t)t−
r
2 ìîíîòîííî ñïà-
äà¹, à ÷åðåç Θ(2)
g,r � çíà÷åííÿ àðãóìåíòó ôóíêöi¨ g(t)t
1−r
2 òàêå, ùî
äëÿ äîâiëüíîãî τ ≥ Θ(2)
g,r
max
t∈[1,τ ]
g(t)t
1−r
2 = g(τ)τ
1−r
2 ,
(îñêiëüêè g ∈ Z, òî Θ(i)
g,r, i = 1, 2, iñíóþòü äëÿ äîâiëüíîãî r ∈ (0, 1)).
ÏîêëàäåìîM = M(g, r) = max
{
1, πΘ(1)
g,r, πΘ(2)
g,r
}
. Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî
x ∈ (0, π]
max
t∈[Mx ,∞]
g(t)t−
r
2 = g
(M
x
)( x
M
) r
2
, (32)
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 233
max
t∈[1,Mx ]
g(t)t
1−r
2 = g
(M
x
)(M
x
) 1−r
2
. (33)
Äîâåäåìî ñïðàâåäëèâiñòü íåðiâíîñòi (26) ïðè N > M
x . Çàñòîñî-
âóþ÷è ïåðåòâîðåííÿ Àáåëÿ i âðàõîâóþ÷è (32), à òàêîæ íåðiâíiñòü
(5.2.27) ðîáîòè [15, ñ. 306], çãiäíî ç ÿêîþ
N∑
ν=1
ν−γ sin νx ≤ Crx
γ−1, N ∈ N, γ ∈ (0, 1),
Cr � çàëåæèòü ëèøå âiä r, îäåðæèìî∣∣∣∣ ∞∑
k=N+1
g(k) sin kx
kr
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣ ∞∑
k=N+1
(
g(k)
k
r
2
− g(k + 1)
(k + 1)
r
2
) k∑
ν=1
sin νx
ν
r
2
− g(N + 1)
(N + 1)
r
2
N∑
ν=1
sin νx
ν
r
2
∣∣∣∣ ≤
≤ 2
g(N + 1)
(N + 1)
r
2
sup
k∈N
∣∣∣ k∑
ν=1
sin νx
ν
r
2
∣∣∣ ≤ 2Cr max
N∈N
g(N + 1)
(N + 1)
r
2
x
r
2−1 ≤
≤ 2Crg
(M
x
)( x
M
) r
2
x
r
2−1 = C(2)
g,rg
(M
x
)
xr−1, r ∈ (0, 1]. (34)
Îñêiëüêè g ∈ Z, òî (äèâ., íàïðèêëàä, [15, ñ. 299])
g(Mt) = g(t) + o
(
g(t)
)
, t ≥ 1, M > 0,
à, îòæå,
C̃M,g ≤ g(Mt) ≤ CM,gg(t), t ≥ 1, M > 0, (35)
äå C̃M,g, CM,g � çàëåæàòü ëèøå âiä g òà M .
 ñèëó (34) òà (35) îäåðæó¹ìî∣∣∣∣ ∞∑
k=N+1
g(k) sin kx
kr
∣∣∣∣ ≤ C(3)
g,rg
( 1
x
)
xr−1. (36)
234 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Iç (28), (31) òà (36) âèïëèâà¹, ùî ïðè N > M
x∣∣∣S(N)
g,r (x)
∣∣∣ ≤ ∣∣Sg,r(x)∣∣+ ∣∣∣∣ ∞∑
k=N+1
g(k)
kr
sin kx
∣∣∣∣ ≤
≤ C(1)
g,rg
( 1
x
)
xr−1 + C(3)
g,rg
( 1
x
)
xr−1 = C(4)
g,rg
( 1
x
)
xr−1. (37)
Ïåðåêîíà¹ìîñü ó ñïðàâåäëèâîñòi íåðiâíîñòi (26) ïðè N ≤ M
x . Î÷å-
âèäíî, ùî ∣∣∣S(N)
g,r (x)
∣∣∣ ≤ N∑
k=1
g(k)
kr
=
N∑
k=1
g(k)k
1−r
2
k
1+r
2
. (38)
Îñêiëüêè ïðè N ≤ M
x äëÿ k = 1, N âèêîíó¹òüñÿ (33), òî ç óðàõóâàí-
íÿì (35) i (38)
∣∣∣S(N)
g,r (x)
∣∣∣ ≤ g
(M
x
)(M
x
) 1−r
2
N∑
k=1
1
k
1+r
2
<
< C(1)
r g
(M
x
)(M
x
)1−r
= C(5)
g,rg
( 1
x
)
xr−1. (39)
Ïî¹äíóþ÷è (37) òà (39), îäåðæèìî íåðiâíiñòü (26). Ëåìó 2 äîâå-
äåíî.
Çà âèêîíàííÿ óìîâè gs,p ∈ Z, ì๠ìiñöå îöiíêà
N∑
k=1
gs,p(k)
kr
= O
(
N1−rgs,p(N)
)
, r ∈ [0, 1), x ∈ R, (40)
ÿêà âèïëèâ๠ç àñèìïòîòè÷íî¨ ðiâíîñòi (äèâ., 15, ñ. 299])
N∑
k=1
gs,p(k)kα ∼
N1+α
1 + α
gs,p(N), α > −1, (41)
ïðè α = −r (çàïèñ A(n) ∼ B(n) îçíà÷๠âèêîíàííÿ ãðàíè÷íîãî
ñïiââiäíîøåííÿ lim
n→∞
A(n)
B(n) = 1).
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 235
Ïîêàæåìî, ùî ïðè 1 < p <∞ i gs,p ∈ Z, ì๠ìiñöå îöiíêà∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p′
= O
( n∫
1
(ψ(τ)τ s+
1
p )p
′
τ
dτ
) 1
p′
. (42)
Âðàõîâóþ÷è íåðiâíîñòi (26), (27) òà (40), ïðè 1 < p <∞ îäåðæèìî∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
ψ(k)ks cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p′
=
= O
( ∫
0≤τ≤ 1
n
(
n−1∑
k=1
ψ(k)ks+
1
p
k
1
p
)p′
dτ +
∫
1
n≤τ≤π
(
ψ
(
1
τ
)
τ
1
p−1
τ s+
1
p
)p′
dτ
) 1
p′
=
= O
((ψ(n)ns+
1
p
)p′(
n1− 1
p
)p′
n−1 +
∫
1
π≤τ≤n
(ψ(τ)τ s+
1
p
τ
1
p−1
)p′ dτ
τ2
) 1
p′
=
= O
((
ψ(n)ns+
1
p
)p′
+
∫
1
π≤τ≤n
(ψ(τ)τ s+
1
p
τ
− 1
p′
· 1
τ
2
p′
)p′
dτ
) 1
p′
=
= O
((
ψ(n)ns+
1
p
)p′
+
n∫
1
(ψ(τ)τ s+
1
p )p
′
τ
dτ
) 1
p′
=
= O
(
gp
′
s,p(n) +
n∫
1
gp
′
s,p(τ)
τ
dτ
) 1
p′
. (43)
Çàóâàæèìî, ùî ÿêùî gs,p ∈ Z, òî gp
′
s,p ∈ Z. Îñêiëüêè gp
′
s,p ∈ Z, òî
ì๠ìiñöå îöiíêà (äèâ., íàïðèêëàä, [15, ñ. 302])
gp
′
s,p(n) = O
( n∫
1
gp
′
s,p(t)
t
dt
)
, n ∈ N. (44)
236 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Iç (43) i (44) âèïëèâ๠(42).
Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, ùî óìîâà gs,p ∈ Z ïðè s > 0 i 1 < p <∞
çàáåçïå÷ó¹ âêëþ÷åííÿ ψ ∈ Θp. Òîìó ç (12), (18) òà (42) ïðè 1 < p <∞
i gs,p ∈ Z îòðèìó¹ìî (9). Òåîðåìó 1 äîâåäåíî.
Òåîðåìà 2. Íåõàé 1 < p <∞, s > 0, gs,p(t) := ψ(t)ts+
1
p . Òîäi
1. ßêùî ψ ∈ Θp i gs,p ∈ A+, òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
� En(C
ψ
β,p)C � ψ(n)n
1
p . (45)
2. ßêùî gs,p ∈ Z+
p′ àáî gs,p ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
s,p(t)
t dt 6= O(1), òî äëÿ
äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
� 1
ns
( n∫
1
(
ψ(t)ts+
1
p
)p′
t
dt
) 1
p′
,
1
p
+
1
p′
= 1. (46)
3. ßêùî gs,p ∈ A− àáî gs,p ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
s,p(t)
t dt = O(1), 1
p + 1
p′ = 1,
òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
� 1
ns
. (47)
Äîâåäåííÿ. Îöiíêè çâåðõó ó (45) � (47) âèïëèâàþòü iç ñïiââiä-
íîøåíü (8) � (10) òåîðåìè 1. Âñòàíîâèìî íåîáõiäíi îöiíêè çíèçó âå-
ëè÷èí En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç B ìíîæèíó ìîíîòîííî íåçðîñòàþ÷èõ äîäàòíèõ
ôóíêöié ψ(t), çàäàíèõ íà [1,∞), äëÿ êîæíî¨ ç ÿêèõ iñíó¹ ñòàëàK > 0,
òàêà, ùî
ψ(t)
ψ(2t)
≤ K, t ≥ 1. (48)
Ó ðîáîòi [16, ñ. 4] ïðè 1 < p < ∞ i ψ ∈ B ∩ Θp âñòàíîâëåíî îöiíêó
çíèçó äëÿ En(C
ψ
β,p)C :
En(C
ψ
β,p)C ≥ Kψ,pψ(n)n
1
p , n ∈ N, β ∈ R, (49)
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 237
äå Kψ,p � äîäàòíi âåëè÷èíè, ùî ìîæóòü çàëåæàòè ëèøå âiä ψ òà p.
Îñêiëüêè
En(C
ψ
β,p)C ≤ En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
, n ∈ N, (50)
òî ç íåðiâíîñòåé (49), (50) òà îöiíêè (8) âèïëèâ๠ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü
(45), ÿêùî áóäå äîâåäåíà iìïëiêàöiÿ
gs,p ∈ A+ ⇒ ψ ∈ B, s > 0, 1 < p <∞. (51)
ßêøî gs,p ∈ A+, òî iñíó¹ ε > 0 i ìîíîòîííî íåñïàäíà íà [1,∞)
ôóíêöiÿ ϕ òàêà, ùî ψ(t) = ϕ(t)
t
s+ 1
p
−ε , çâiäêè
ψ(t)
ψ(2t)
=
ϕ(t)
ϕ(2t)
2s+
1
p−ε ≤ 2s+
1
p−ε = K,
i, îòæå, ψ ∈ B.
Âòiì, îöiíêó çíèçó âåëè÷èíè En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
ïðè 1 < p < ∞,
ψ ∈ Θp òà gs,p ∈ A+ ìîæíà îäåðæàòè òàêîæ, ÿêùî ðîçãëÿíóòè ôóíê-
öiþ f1(t) = (Ψβ ∗ ϕ1)(t), äå
ϕ1(t) =
a1
n
1
p′
n−1∑
k=1
cos
(
kt+
βπ
2
)
,
1
p
+
1
p′
= 1,
a1 � äîäàòíèé ïàðàìåòð, çíà÷åííÿ ÿêîãî áóäå âêàçàíî ïiçíiøå. Â
ñèëó (15) ìà¹ìî
‖ϕ1‖p=
a1
n
1
p′
∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
cos
(
kt+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p
≤ a1K1n
1
p′
n
1
p′
=a1K1, 1 < p <∞. (52)
Ïðè a1 = (K1)−1 ç (52) îäåðæèìî íåðiâíiñòü ‖ϕ1‖p ≤ 1, à, îòæå,
âêëþ÷åííÿ f1 ∈ Cψβ,p.
ßê âèïëèâ๠ç ôîðìóëè (1.9) ç ìîíîãðàôi¨ [15, ñ. 65], äëÿ f1 ìà¹
ìiñöå ðiâíiñòü
f1(t) =
a1
n
1
p′
n−1∑
k=1
ψ(k) cos kt.
238 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
Òîäi äëÿ ôóíêöi¨ f1(t) ñïðàâåäëèâà îöiíêà
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≥
∣∣f1(0)− Zsn(f1, 0)
∣∣ = a1
n
s+ 1
p′
n−1∑
k=1
ψ(k)ks ≥
≥ a2ψ(n)
n
s+ 1
p′
n−1∑
k=1
ks ≥ K2ψ(n)n
1
p . (53)
Äîâåäåìî îöiíêó çíèçó âåëè÷èíè En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
ïðè 1 < p <∞ i
gs,p ∈ Z+
p′ . Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
ϕ2(τ)=
a2(
n−1∑
k=1
(
ψ(k)k
s+1
p
)p′
k
)1
p
n−1∑
k=1
(
ψ(k)ks+
1
p
)p′−1
k
1
p′
cos
(
kτ+
βπ
2
)
, a2>0. (54)
Ïîêëàäåìî
f2(τ) = (Ψβ ∗ ϕ2)(τ) =
=
a2(
n−1∑
k=1
(
ψ(k)k
s+ 1
p
)p′
k
) 1
p
(
n−1∑
k=1
ψp
′
(k)(ks+
1
p )p
′−1
k
1
p′
cos kτ
)
,
i ïîêàæåìî, ùî ïðè âiäïîâiäíîìó ïiäáîði ïàðàìåòðà a2 âèêîíóâàòè-
ìåòüñÿ âêëþ÷åííÿ f2 ∈ Cψβ,p.
Çàñòîñóâàâøè ïåðåòâîðåííÿ Àáåëÿ äî ñóìè
n−1∑
k=1
(
ψ(k)ks+
1
p
)p′−1
k
1
p′
cos
(
kτ +
βπ
2
)
,
îäåðæèìî ∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
(
ψ(k)ks+
1
p
)p′−1
k
1
p′
cos
(
kτ +
βπ
2
)∥∥∥∥∥
p
=
=
∥∥∥∥∥
n−2∑
k=1
((
ψ(k)ks+
1
p
)p′−1−
(
ψ(k+1)(k+1)s+
1
p
)p′−1
) k∑
ν=1
cos
(
ντ + βπ
2
)
ν
1
p′
+
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 239
+
(
ψ(n− 1)(n− 1)s+
1
p
)p′−1
n−1∑
ν=1
cos
(
ντ + βπ
2
)
ν
1
p′
∥∥∥∥∥
p
≤
≤
n−2∑
k=1
∣∣(ψ(k)ks+
1
p
)p′−1−
(
ψ(k+1)(k+1)s+
1
p
)p′−1∣∣∥∥∥ k∑
ν=1
cos
(
ντ + βπ
2
)
ν
1
p′
∥∥∥
p
+
+
(
ψ(n− 1)(n− 1)s+
1
p
)p′−1
∥∥∥ n−1∑
ν=1
cos
(
ντ + βπ
2
)
ν
1
p′
∥∥∥
p
. (55)
Îñêiëüêè (äèâ., íàïðèêëàä, [15, ñ. 306])∣∣∣∣∣
n∑
k=1
cos kτ
k
1
p
∣∣∣∣∣ =
{
O
(
n1− 1
p
)
, p > 1, τ ∈ R,
O
(
|τ |
1
p−1
)
, 0 < |τ | ≤ π, p > 1,∣∣∣∣∣
n∑
k=1
sin kτ
k
1
p
∣∣∣∣∣ =
{
O
(
n1− 1
p
)
, p > 1, τ ∈ R,
O
(
|τ |
1
p−1
)
, 0 < |τ | ≤ π, p > 1,
òî ïðè 1 < p <∞, n ∈ N i β ∈ R∥∥∥∥∥
n∑
k=1
cos
(
kt+ βπ
2
)
k
1
p′
∥∥∥∥∥
p
≤ K̃(1)
p ln
1
p n, (56)
äå K̃
(1)
p � ñòàëà, ùî çàëåæàòü ëèøå âiä p. Ç óðàõóâàííÿì îöiíîê
(54) � (56) áóäåìî ìàòè
‖ϕ2(τ)‖p ≤
a2K̃
(1)
p(
n−1∑
k=1
(
ψ(k)k
s+ 1
p
)p′
k
) 1
p
×
×
( n−2∑
k=1
|(ψ(k)ks+
1
p )p
′−1 − (ψ(k + 1)(k + 1)s+
1
p )p
′−1| ln
1
p k+
+(ψ(n− 1)(n− 1)s+
1
p )p
′−1 ln
1
p (n− 1)
)
. (57)
240 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
 ñèëó ìîíîòîííîãî íåñïàäàííÿ ôóíêöi¨ gs,p iç ìíîæèíè Z+
p′ , îäåð-
æèìî
n−2∑
k=1
∣∣(ψ(k)ks+
1
p
)p′−1−
(
ψ(k + 1)(k + 1)s+
1
p
)p′−1∣∣ ln 1
p k ≤
≤
(
ψ(n)ns+
1
p
)p′−1 ln
1
p n. (58)
Iç (57) i (58) âèïëèâà¹, ùî çà óìîâè gs,p ∈ Z+
p′
‖ϕ2(τ)‖p ≤
a2K̃
(1)
p gp
′−1
s,p (n) ln
1
p n(
n−1∑
k=1
gp′ (k)
k
) 1
p
≤
≤
(
ap2K̃
(2)
p gp
′
(n) lnn
n∫
1
gp′ (t)
t dt
) 1
p
≤
(
ap2K̃
(3)
p
) 1
p . (59)
Âèáðàâøè ïàðàìåòð a2 = (K̃(3)
p )−
1
p , îäåðæèìî íåðiâíiñòü ‖ϕ2‖p ≤ 1,
à ðàçîì iç íåþ âêëþ÷åííÿ f2 ∈ Cψβ,p. Äëÿ ôóíêöi¨ f2 ì๠ìiñöå îöiíêà
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≥ |f2(0)− Zsn(f2; 0)| =
=
a2
ns
(
n−1∑
k=1
(
ψ(k)k
s+ 1
p
)p′
k
) 1
p
n−1∑
k=1
(
ψ(k)ks+
1
p
)p′
k
=
=
a2
ns
(
n−1∑
k=1
(
ψ(k)ks+
1
p
)p′
k
) 1
p′
≥ K̃
(4)
p
ns
( n∫
1
(
ψ(τ)τ s+
1
p
)p′
τ
dτ
) 1
p′
. (60)
 ñèëó (9) i (60) ïîðÿäêîâà îöiíêà (46) äîâåäåíà çà óìîâè gs,p ∈ Z+
p′ .
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 241
Ïîêàæåìî, ùî öÿ æ îöiíêà ì๠ìiñöå i ó âèïàäêó gs,p ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
s,p(t)
t dt 6= O(1). Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
ϕ3(t) =
a3
ln
1
p n
n−1∑
k=1
cos
(
kt+ βπ
2
)
k
1
p′
, a3 > 0,
i ïîêëàäåìî
f3(t) = (ϕ3 ∗Ψβ)(t) =
a3
ln
1
p n
n−1∑
k=1
ψ(k)
k
1
p′
cos kt.
Ïîêàæåìî, ùî ïàðàìåòð a3 ìîæíà ïiäiáðàòè òàê, ùîá f3 ∈ Cψβ,p.
Äiéñíî, â ñèëó (56) ïðè 1 < p <∞
‖ϕ3‖p =
a3
ln
1
p n
∥∥∥∥∥
n−1∑
k=1
cos
(
kt+ βπ
2
)
k
1
p′
∥∥∥∥∥
p
≤ a3K̃
(1)
p ln
1
p n
ln
1
p n
= a3K̃
(1)
p ,
i òîìó ïðè a3 = (K̃(1)
p )−1, îäåðæèìî íåðiâíiñòü ‖ϕ3‖p ≤ 1, à ðàçîì ç
íåþ i âêëþ÷åííÿ f3 ∈ Cψβ,p.
Äëÿ f3 çà óìîâè gs,p ∈ Z−p′ ì๠ìiñöå îöiíêà
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≥ |f3(0)− Zsn(f3; 0)| = a3
ns ln
1
p n
n−1∑
k=1
ψ(k)ks+
1
p
k
=
=
a3
ns ln
1
p n
n−1∑
k=1
gs,p(k)
k
≥ a3gs,p(n)
ns ln
1
p n
n−1∑
k=1
1
k
≥ K̃
(5)
p gs,p(n) ln
1
p′ n
ns
=
=
K̃
(5)
p
(
gp
′
s,p(n) lnn
) 1
p′
ns
≥ K̃
(6)
p
ns
n∫
1
(gp′s,p(t)
t
dt
) 1
p′
. (61)
Iç (9) òà (61) îäåðæó¹ìî ïîðÿäêîâó ðiâíiñòü (46) ïðè 1 < p < ∞ òà
gs,p ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
s,p(t)
t dt 6= O(1).
242 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
ßê âèïëèâ๠ç òåîðåìè (2.2.1) ðîáîòè [1, ñ. 92], ìåòîä Zsn íà-
ñè÷åíèé ç ïîðÿäêîì íàñè÷åííÿ n−s, à öå îçíà÷à¹, ùî âåëè÷èíà
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
íå ìîæå ñïàäàòè äî íóëÿ øâèäøå, íiæ n−s, òîáòî
ì๠ìiñöå îöiíêà
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≥ K3
ns
. (62)
Óòiì, â ñïðàâåäëèâîñòi íåðiâíîñòi (62) ìîæíà ïðåêîíàòèñü áåçïî-
ñåðåäíüî, ðîçãëÿíóâøè ôóíêöiþ
f4(t) =
ψ(1)
(2π)
1
p
cos t.
Ëåãêî áà÷èòè, ùî äëÿ äîâiëüíîãî β ∈ R i 1 ≤ p <∞, f4 ∈ Cψβ,p i
Zsn(f4, t) =
(
1− 1
ns
)( ψ(1)
(2π)
1
p
cos t
)
.
Òîìó
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
≥
∣∣f4(0)− Zsn(f4, 0)
∣∣ = ψ(1)
(2π)
1
pns
=
K3
ns
. (63)
Ç íåðiâíîñòi (62) òà îöiíîê (9), (10) âèïëèâà¹, ùî äëÿ äîâiëüíîãî
β ∈ R, 1 < p <∞ çà óìîâè gs,p ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
s,p(t)
t dt = O(1) àáî gs,p ∈ A−
âèêîíó¹òüñÿ ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü (47).
Òåîðåìó 2 äîâåäåíî.
Çàóâàæèìî, ùî ïðè 1 < p < ∞, s > 0 ó âèïàäêó, êîëè gs,p �
ðiâíîìiðíî îáìåæåíà çâåðõó i çíèçó ìîíîòîííà ôóíêöiÿ, ÿê âèïëèâà¹
ç (46), äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N âèêîíó¹òüñÿ ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü
En
(
Cψβ,p;Z
s
n
)
C
� ln1− 1
p n
ns
. (64)
ßê çàçíà÷àëîñü âèùå, ïðè s = 1 ñóìè Çèãìóíäà Zsn ñïiâïàäàþòü iç
ñóìàìè Ôåé¹ðà σn. Òîìó iç òåîðåìè 2 âèïëèâ๠íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 1. Íåõàé 1 < p <∞, gp(t) := ψ(t)t1+
1
p . Òîäi
Îöiíêè ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü ñóìàìè Çèãìóíäà . . . 243
1. ßêùî ψ ∈ Θp i gp ∈ A+, òî äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;σn
)
C
� En(C
ψ
β,p)C � ψ(n)n
1
p . (65)
2. ßêùî gp ∈ Z+
p′ àáî gp ∈ Z
−
p′ i
n∫
1
gp
′
p (t)
t dt 6= O(1), òî äëÿ äîâiëüíèõ
β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;σn
)
C
� 1
n
( n∫
1
(
ψ(t)t1+
1
p
)p′
t
dt
) 1
p′
,
1
p
+
1
p′
= 1. (66)
3. ßêùî gp ∈ A− àáî gp ∈ Z−p′ i
n∫
1
gp
′
p (t)
t dt = O(1), 1
p + 1
p′ = 1, òî
äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R i n ∈ N
En
(
Cψβ,p;σn
)
C
� 1
n
. (67)
Ïðè ψ(k) = k−r, β ∈ R i r > 1
p ç ðiâíîñòåé (45), (47) òà (64) îäåðæó¹ìî
òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 2. Íåõàé 1 < p <∞, β ∈ R, s > 0 i n ∈ N. Òîäi
En
(
W r
β,p;Z
s
n
)
C
�
n−r+
1
p , 1
p < r < s+ 1
p ;
ln
1− 1
p n
ns , r = s+ 1
p ;
n−s, r > s+ 1
p .
(68)
Îöiíêè (68) áóëî îòðèìàíî â ðîáîòi [9].
1. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû, 2002. � 40. � ×. I. � 427 c.
2. Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû. � Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. � I. � 936 ñ.
3. Zygmund A. Smooth Functions // Duke Math. J. � 1945. � 12. � P. 47 � 76.
4. Nagy B. Sur une classe g�en�erale de proc�ed�es de sommation pour les s�eries de
Fourier // Hung. Acta Math. � 1948. � 1, �3. � P. 14 � 62.
5. Òåëÿêîâñêèé Ñ.À. Î íîðìàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ è ïðèáëèæå-
íèè äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ëèíåéíûìè ñðåäíèìè èõ ðÿäîâ Ôóðüå.
I // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1961. � 62. � Ñ. 61 � 97.
244 À.Ñ. Ñåðäþê, Ó. Ç. Ãðàáîâà
6. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðèáëèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷å-
ñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè // Òðóäû ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. � 1945. � 15. � Ñ. 1 � 76.
7. Òèõîìèðîâ Â.Ì. Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Ì.: Èçä-âî
Ìîñê. óí-òà, 1976. � 307 ñ.
8. Êàìçîëîâ À.È. Î ðàâíîìåðíîì ïðèáëèæåíèè êëàññîâ ôóíêöèé W̃α
p (M)
ëèíåéíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè îïåðàòîðàìè // Âåñí.
ÌÃÓ. � 1976. � �5. � Ñ. 13 � 25.
9. Êîñòè÷ Ì.Â. Íàáëèæåííÿ ôóíêöié ç êëàñiâ Âåéëÿ-Íàäÿ ñåðåäíiìè Çèã-
ìóíäà // Óêð. ìàò. æóðí. � 1998. � 50, �5. � C. 735 � 739.
10. Êîñòè÷ Ì.Â. Ïðî íàáëèæåííÿ â ìåòðèöi Lq ôóíêöié ç êëàñiâ Âåéëÿ-Íàäÿ
ñóìàìè Çèãìóíäà // Óêð. ìàò. æóðí. � 1999. � 51, �2. � C. 268 � 270.
11. Áóøåâ Ä.Í. Ïðèáëèæåíèå êëàññîâ íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷å-
ñêèõ ôóíêöèé ñóììàìè Çèãìóíäà. � Êèåâ, 1984. � 64 ñ. �
(Ïðåïð./ ÀÍ ÓÑÑÐ. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 84.56).
12. Êîâàëüñêàÿ È.Á. Îöåíêè âåðõíèõ ãðàíåé óêëîíåíèé â ìåòðèêå Lp // Óêð.
ìàò. æóðí. � 1987. � 39, �5. � C. 668 � 670.
13. Ñåðäþê À.Ñ., Ñîêîëåíêî I.Â. Ðiâíîìiðíi íàáëèæåííÿ êëàñiâ (ψ, β)-
äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié ëiíiéíèìè ìåòîäàìè // Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåì.
ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2011. � 8, �1. � Ñ. 181 � 189.
14. Serdyuk A.S., Sokolenko I.V. Approximation by linear methods of classes of
(ψ, β)-di�erentiable functions // Arxiv preprint, arXiv: 1303.1300, 2013 � 8p.
15. Çèãìóíä À. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû.  2 ò. � Ì.: Ìèð, 1965. � I. �
616 ñ.
16. Serdyuk A.S., Grabova U.Z. Order estimation of the best approximations
and of the approximations by Fourier sums of classes of (ψ, β)-di�erentiable
functions // Arxiv preprint, arXiv: 1301.7620, 2013 � 14 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-174 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:30Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/d9e36691d7f7602e3d5077c24701cdf8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1742018-01-29T14:44:27Z Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions Оцінки рівномірних наближень сумами Зигмунда на класах згорток періодичних функцій Serdyuk, A. S. Grabova, U. Z. Сердюк, А. С. Грабова, У. З. We obtain order-exact estimates for uniform approximations by using Zygmund sums $Z^{s}_{n}$ of classes $C^{\psi}_{\beta,p}$ of $2\pi$-periodic continuous functions $f$ representable by convolutions of functions from unit balls of thespace $L_{p}$, $1&lt; p&lt;\infty$, with a fixed kernels $\Psi_{\beta}\in L_{p'}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. In addition, we find a set of allowed values of parameters (that define the class $C^{\psi}_{\beta,p}$ and the linear method $Z^{s}_{n}$) for which&nbsp;Zygmund sums and Fejer sums realize the order of the best uniform approximations by trigonometric polynomials of those classes Одержано точні за порядком оцінки рівномірних наближень сумами Зигмунда $Z^{s}_{n}$ на класах $C^{\psi}_{\beta,p}$ $2\pi$-періодичних неперервних функцій $f$, які зображуються у вигляді згортки функцій, що належать одиничним кулям просторів $L_{p}$, $1&lt; p&lt;\infty$, з фіксованими твірними ядрами $\Psi_{\beta}\in L_{p'}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. Вказано множину допустимих значень параметрів (що визначають класи $C^{\psi}_{\beta,p}$ та лінійний метод $Z^{s}_{n}$) при яких суми Зигмунда, а також суми Фейєра, забезпечують порядок найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами на вказанихкласах Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/174 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 222-244 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 222-244 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 222-244 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/174/144 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Grabova, U. Z. Сердюк, А. С. Грабова, У. З. Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title | Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title_alt | Оцінки рівномірних наближень сумами Зигмунда на класах згорток періодичних функцій |
| title_full | Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title_fullStr | Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title_full_unstemmed | Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title_short | Estimates of uniform approximations by Zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| title_sort | estimates of uniform approximations by zygmund sums on classes of convolutions of periodic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/174 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas estimatesofuniformapproximationsbyzygmundsumsonclassesofconvolutionsofperiodicfunctions AT grabovauz estimatesofuniformapproximationsbyzygmundsumsonclassesofconvolutionsofperiodicfunctions AT serdûkas estimatesofuniformapproximationsbyzygmundsumsonclassesofconvolutionsofperiodicfunctions AT grabovauz estimatesofuniformapproximationsbyzygmundsumsonclassesofconvolutionsofperiodicfunctions AT serdyukas ocínkirívnomírnihnabliženʹsumamizigmundanaklasahzgortokperíodičnihfunkcíj AT grabovauz ocínkirívnomírnihnabliženʹsumamizigmundanaklasahzgortokperíodičnihfunkcíj AT serdûkas ocínkirívnomírnihnabliženʹsumamizigmundanaklasahzgortokperíodičnihfunkcíj AT grabovauz ocínkirívnomírnihnabliženʹsumamizigmundanaklasahzgortokperíodičnihfunkcíj |