On a number of subsemigroups of semigroups of small order
We describe subsemigroups of the semigroups of order $n=3$, indicate (up to isomorphism and duality) the %and as a consequencenumber of such semigroups with given number of theirsubsemigroups.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/175 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552698249740288 |
|---|---|
| author | Zatsikha, Ya. V. Заціха, Я. В. |
| author_facet | Zatsikha, Ya. V. Заціха, Я. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. В. Заціха",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zatsikha, Ya. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We describe subsemigroups of the semigroups of order $n=3$, indicate (up to isomorphism and duality) the %and as a consequencenumber of such semigroups with given number of theirsubsemigroups. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 142–146
УДК 512.53
Я. В. Зацiха
(Iнститут математики НАН України, Київ, Україна)
zaciha@mail.ru
Про число пiднапiвгруп напiвгруп
малого порядку
We describe subsemigroups of the semigroups of order n = 3, indicate (up
to isomorphism and duality) the number of such semigroups with given
number of their subsemigroups.
Описано пiднапiвгрупи напiвгруп порядку n = 3 i як наслiдок вказа-
но, з точнiстю до iзоморфiзму та дуальностi, число таких напiвгруп iз
заданим числом їх власних пiднапiвгруп.
1. Вступ. Групам малих порядкiв присвячено багато робiт. На-
пiвгрупи малих порядкiв вивченi не в такiй мiрi, i це пов’язано з тим,
що число напiвгруп конкретного порядку набагато бiльше, нiж груп
(наприклад, число напiвгрупп порядкiв 5, 6, 7 дорiвнює вiдповiдно
1160, 15973, 836021). Зауважимо, що пiд описом ми маємо на увазi
опис з точнiстю до iзоморфiзму та дуальностi. Напiвгрупи, що розгля-
даються з такою точнiстю, називаються рiзними.
Напiвгрупи порядку n < 4 описанi ще в 1955 роцi (див. [1]). Напiв-
групи iз 2-х елементiв a i b вичерпуються чотирма наступними напiв-
групами:
1) a2 = b2 = ab = ba = a; 2) a2 = ab = ba = a, b2 = b;
3) a2 = ab = a, b2 = ba = b; 4) a2 = b2 = a, ab = ba = b.
Кожна iз них має власну пiднапiвгрупу, що породжується елементом a,
а для напiвгруп 2) i 3) ще й елемент b породжує власну пiднапiвгрупу.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Про число пiднапiвгруп напiвгруп малого порядку 143
У цiй статтi ми розглядаємо подiбну задачу для напiвгруп третього
порядку.
2. Попереднi вiдомостi. У цьому параграфi ми у виглядi
таблиць Келi випишемо повний список попарно рiзних напiвгруп 3-го
порядку в такому виглядi (i в такiй же послiдовностi), як в [2]:
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩ ⟨1⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨1⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨0⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨2⟩
⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨0⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨1⟩
⟨1⟩ ⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨1⟩ ⟨0⟩ ⟨0⟩
⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨0⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩
⟨1⟩ ⟨1⟩ ⟨2⟩ ⟨0⟩
⟨2⟩ ⟨2⟩ ⟨0⟩ ⟨1⟩
3. Формулювання теореми. Нагадаємо, що дуальною до
напiвгрупи S називається напiвгрупа з множенням x ◦ y = yx. Ми роз-
144 Я. В. Зацiха
глядаємо напiвгрупи з точнiстю до iзоморфiзму та дуальностi, а пiд-
напiвгрупи фiксованої напiвгрупи з точнiстю до збiгу. Пiднапiвгрупу
будемо називати власною, якщо вона не збiгається iз самою напiвгру-
пою.
У цiй статтi доведена наступна теорема.
Теорема 1. Загальне число напiвгруп третього порядку, що мають
задане число власних пiднапiвгруп, визначається наступною табли-
цею:
Число пiднапiвгруп 1 2 3 4 5 6
Число напiвгруп 1 1 3 7 2 4
При доведеннi теореми, зокрема, вказуються всi власнi пiднапiв-
групи напiвгруп третього порядку.
4. Доведення теореми. Випишемо для кожної iз напiвгруп,
що вказанi в параграфi 2, всi пiднапiвгрупи, що породжуються одним
чи двома елементами. При цьому всi випадки нумеруються природним
чином.
1)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
2)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
3)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
4)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
Про число пiднапiвгруп напiвгруп малого порядку 145
5)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
6)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
7)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
8)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
9)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
10)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
11)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
12)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
13)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
14)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨1⟩, ⟨2⟩)
146 Я. В. Зацiха
15)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
16)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
17)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
18)
{⟨0⟩} = (⟨0⟩)
{⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨1⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨0⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
{⟨1⟩, ⟨2⟩} = (⟨0⟩, ⟨1⟩, ⟨2⟩)
Отже, власнi пiднапiвгрупи порядку 1 має напiвгрупа 18, порядку
2 — напiвгрупа 2, порядку 3 — напiвгрупи 1, 15, 17, порядку 4 — на-
пiвгрупи 3 – 6, 9, 12, 16, порядку 5 — напiвгрупи 7, 8, порядку 6 —
напiвгрупи 10, 11, 13, 14. Напiвгруп з бiльшим числом власних пiдна-
пiвгруп немає.
Легко бачити, що звiдси випливає твердження теореми.
Автор висловлює щиру подяку професору В. М. Бондаренку за ко-
риснi поради.
Лiтература
[1] Forsythe G. E. SWAC computes 126 distinct semigroups of order 4 // Proc.
Amer. Math. Soc. — 1955. — 6. — P. 443 – 447.
[2] Бондаренко В. М., Зацiха Я. В. Про визначальнi спiввiдношення для
мiнiмальних систем твiрних напiвгруп третього порядку // Науковий
часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова / Серiя 1. Фiзико-математичнi
науки /. — 2013. — №14. — С. 62 – 67.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-175 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:34Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d5/8f80dc1dddf84819bde30902cd0e0fd5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1752018-01-23T12:10:05Z On a number of subsemigroups of semigroups of small order Про число піднапівгруп напівгруп малого порядку Zatsikha, Ya. V. Заціха, Я. В. We describe subsemigroups of the semigroups of order $n=3$, indicate (up to isomorphism and duality) the %and as a consequencenumber of such semigroups with given number of theirsubsemigroups. Описано піднапівгрупи напівгруп порядку $n=3$ і як наслідок вказано,з точністю до ізоморфізму та дуальності, число таких напівгруп із заданим числом їх власних піднапівгруп. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/175 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 142–146 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 142–146 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 142–146 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/175/143 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zatsikha, Ya. V. Заціха, Я. В. On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title | On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title_alt | Про число піднапівгруп напівгруп малого порядку |
| title_full | On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title_fullStr | On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title_full_unstemmed | On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title_short | On a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| title_sort | on a number of subsemigroups of semigroups of small order |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/175 |
| work_keys_str_mv | AT zatsikhayav onanumberofsubsemigroupsofsemigroupsofsmallorder AT zacíhaâv onanumberofsubsemigroupsofsemigroupsofsmallorder AT zatsikhayav pročislopídnapívgrupnapívgrupmalogoporâdku AT zacíhaâv pročislopídnapívgrupnapívgrupmalogoporâdku |