On multivalued zero-dimensional mappings
Multivalued isolated mappings are investigated. We describe a behaviour of such mappings on the exclusive set and conditions of their extention.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/179 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552697779978240 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Vygovskaya, I. Yu. Safonova, O. V. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Сафонова, О. В. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Vygovskaya, I. Yu. Safonova, O. V. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Сафонова, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Multivalued isolated mappings are investigated. We describe a behaviour of such mappings on the exclusive set and conditions of their extention. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 147–154
УДК 517.5 + 513.83
Ю.Б. Зелинский1, И.Ю. Выговская2,
О. В. Сафонова3
1 , 2(Институт математики НАН Украины, Киев)
3(Национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев)
1 zel@imath.kiev.ua, 2 vkirinata@gmail.com,
3 olechkadiadin@gmail.com
О многозначных нульмерных
отображениях
Multivalued isolated mappings are investigated. We describe a behaviour
of such mappings on the exclusive set and conditions of their extention.
Дослiджуються многозначнi нульвимiрнi вiдображення. Встановлена
поведiнка таких вiдображень на особливих множинах та умови сти-
рання особливостей.
В работе рассмотрим многозначные отображения областей на много-
образиях.
Пусть X и Y — два топологических пространства. Отображение
F : X −→ Y называется многозначным, если образом точки x ∈ X
есть множество F (x) ⊂ Y . Отображение F называется полунепрерыв-
ным сверху в точке x ∈ X, если для любого открытого множества
V ⊂ Y , такого, что F (x) ⊂ V , существует окрестность U(x) точки x
такая, что F (U(x)) ⊂ V . Отображение F называется полунепрерыв-
ным сверху, если оно полунепрерывно сверху в каждой точке x ∈ X
(см., напр., [1]). В дальнейшем все отображения предполагаем много-
значными и полунепрерывными сверху. Под прообразом F−1(y) точки
y ∈ Y понимаем множество {x ∈ X | y ∈ F (x)}. Далее предположим,
что Mn и Nn — n-мерные многообразия, а D ⊂ Mn — область на
многообразии, ∂D — граница области D, ρ(A,B) — евклидово рассто-
яние между множествами A и B. Пересечение открытых множеств
называется множеством типа Gδ [1].
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
148 Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, О.В. Сафонова
Определение 1. Отображение F : D −→ Nn назовем нульмерным
(изолированным), если размерность [2] полного прообраза F−1(F (x))
каждой точки x ∈ D равна нулю (если каждая точка полного прооб-
раза имеет окрестность, не содержащую других точек этого же прооб-
раза).
Определение 2. Пусть F : D −→ Nn — многозначное отображение.
Точка x0 называется точкой взаимной однозначности отображения F ,
если F−1(F (x0)) = x0.
Лемма 1. Множество D1 точек взаимной однозначности много-
значного полунепрерывного сверху отображения F : D −→ Nn есть
множество типа Gδ.
Д оказательство. Обозначим через Am множество точек x ∈ D,
для которых F−1(F (x)) содержит пару точек x1, x2 таких, что
ρ(x1, x2) ≥ 1/m и ρ(x1 ∪ x2, ∂D ≥ 1/m, m = 1, 2, . . . . Легко убедиться,
что каждое Am — замкнутое множество. Тогда очевидное равенство
D1 = D\ ∪
m
Am = ∩
m
(D\Am) завершает доказательство.
Определение 3. Отображение F : D −→ Nn назовем ацикличным,
если для каждой точки x ∈ D все приведенные группы когомологий
множества F (x) тривиальны [3].
Определение 4. Отображение F : D −→ Nn называется монотон-
ным, если множество F−1(y) связно для каждой точки y ∈ Nn.
Теорема 1. Нульмерное многозначное отображение не понижает
размерности.
Д оказательство. Утверждение носит локальный характер. Поэто-
му можем предположить, что рассматривается отображение замкну-
того n-мерного шара F : D −→ Nn. Выберем ε0 > 0 такое, чтобы
при произвольном ε, 0 < ε ≤ ε0, шар D не имел открытых по-
крытий множествами диаметра меньше ε и кратности ≤ n. Отметим,
что в силу полунепрерывности сверху и нульмерности отображения
F для любого ε, 0 < ε ≤ ε0, найдется δ0 такое, что прообраз про-
извольного множества диаметра меньшего δ0 состоит из компонент
диаметра, не превышающего ε. Образ FD — компакт, следовательно,
из произвольного покрытия этого компакта можно выделить конеч-
ное подпокрытие. Пусть задано конечное покрытие компакта F (D)
О многозначных нульмерных отображениях 149
открытыми множествами диаметра δ0 и пусть δ1 его лебегово число
δ1 < δ0. Теперь покроем F (D) конечным открытым покрытием мно-
жествами {A1, . . . , Ak} диаметра < δ, 0 < δ ≤ δ1. Тогда для каждо-
го из множеств Ai прообраз F−1(Ai) состоит из открытых компонент
Bj
i (i = 1, . . . , k; j = 1, 2, . . . ) диаметра меньшего ε. Совокупность мно-
жеств Bj
i (i = 1, . . . , k; j = 1, 2, . . .) задает открытое покрытие шара
D. Выберем из этой совокупности {Bj1
1 , . . . , Bjs
s } конечное подпокры-
тие D. В силу выбора диаметров компонент, кратность этого покрытия
не меньше n+1. Поскольку различные компоненты прообраза F−1(Ai)
не пересекаются, то найдется система из n+ 1 индексов i1, i2, . . . , in+1
таких, что пересечение множеств с этими индексами непусто. Если мы
обозначим через {B(1), B(2), . . . , B(n+1)} и {A(1), A(2), . . . , A(n+1)}
множества B
jim
im
и Aim
m , соответственно, тогда получим
A(1) ∩A(2) ∩ . . . ∩A(n+ 1) ⊃ F (B(1)) ∩ F (B(2)) ∩ . . . ∩ F (B(n+ 1)) ⊃
⊃ F (B(1) ∩B(2) ∩ . . . ∩B(n+ 1)) ̸= ∅.
Следовательно, кратность покрытия A(i) не меньше n+1. Поэтому
размерность компакта F (D) не меньше n. Отсюда следует утвержде-
ние леммы.
Определение 5. Многозначное отображение F : D −→ Nn назовем
отображением типа (η), если для произвольной точки y ∈ Nn най-
дется такое δ(y), что прообраз окрестности точки y диаметра меньше
δ(y) состоит из открытых компонент, диаметр каждой из которых не
превышает η.
Анализ доказательства предыдущей теоремы позволяет заключить,
что ее утверждение, как и в случае однозначных отображений [4,5],
останется справедливым и при более слабых ограничениях.
Следствие 1. Нульмерное многозначное отображение типа (η) не
понижает размерности.
Докажем теперь одно утверждение о точках взаимной однозначно-
сти.
Теорема 2. Пусть F : (a, b) −→ R1 — нульмерное ацикличное много-
значное отображение одномерного интервала. Если множество то-
чек взаимной однозначности D1 плотно в (a, b), то обратное отоб-
ражение F−1 — однозначное монотонное отображение.
150 Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, О.В. Сафонова
Д оказательство. В одномерном случае ацикличность обозначает
связность образа точки. Пусть c, d ∈ (a, b) — две точки взаимной одно-
значности и пусть не нарушая общности F (c) < F (d) (под F (c) < F (d)
понимаем, что все точки множества F (c) меньше каждой точки мно-
жества F (d)). В силу полунепрерывности сверху и связности образов
точки для произвольной пары точек f ∈ F (c), g ∈ F (d) образ отрез-
ка [c, d] содержит отрезок [f, g]. Предположим, что существует точка
y ∈ [f, g], для которой F−1(y) содержит не менее двух точек. Пусть это
точки x1, x2 ∈ F−1(y), c ≤ x1 < x2 ≤ d. В силу нульмерности отобра-
жения существует точка x0, x1 < x0 < x2, такая, что x0 ̸∈ F−1(y). Не
нарушая общности предположим, что в точке x0 F достигает своего
максимального значения. Выберем точку y0 = minF (x0), y0 > y. В
силу плотности точек взаимной однозначности в D1 существует по-
следовательность точек {zn} сходящаяся к точке x0. Из-за полунепре-
рывности сверху отображения F и принадлежности множеству D1 об-
разы этих точек начиная с некоторого номера должны принадлежать
интервалу (y, y0). Мы можем считать, что это верно для всех элемен-
тов последовательности. С другой стороны, в силу полунепрерывности
сверху отображения F образ отрезка [x0, x2] должен покрывать отре-
зок [y, y0] и, следовательно, для каждой точки выбранной последова-
тельности множество F−1(F (zn)) состоит не менее чем из двух точек.
Это противоречит плотности точек множества D1. Теорема доказана.
Пусть F : D −→ Nn — нульмерное ацикличное многозначное
отображение и точка y ∈ F (D), y ̸∈ F (∂D). Это отображе-
ние индуцирует отображение соответствующих групп когомологий
F ∗ : Hn(F (D), F (∂D)) −→ Hn(D, ∂D) с коэффициентами в группе
целых чисел Z [3]. Выберем некоторую открытую связную окрест-
ность U(y) точки y такую, что F (∂D) ∩ U(y) = ∅. Существу-
ет такое целое число k, что jF ∗(η(U)) = kη(D), где η(U) и η(D)
соответствующие образующие групп Hn(U, ∂U) и Hn(D, ∂D), а —
j : Hn(F−1(U), F−1(∂U)) −→ Hn(D, ∂D) — канонический гомомор-
физм вложения. Известно, что k не зависит от выбора U(y). В дальней-
шем это число будем обозначать через γ(D,F, y) и называть степенью
отображения F относительно точки y. Пусть для точки x ∈ F−1(y)
существует фильтр из областей {Dm}, Dm ⊂ D, ∩Dm = x [1]. Если,
начиная с некоторого элемента фильтра для всех в него вложенных
областей, степень стабилизируется, то скажем, что в точке существует
локальная степень отображения γ(x) = γ(Dm, F, y) [6].
О многозначных нульмерных отображениях 151
Легко показать, что так введенная локальная степень обладает
свойствами классической локальной степени для однозначных нуль-
мерных отображений [5]. Аналоги следующего результата для одно-
значных отображений получены в [5,7].
Теорема 3. Пусть в Mn задан произвольный компакт E и пусть
нульмерное ацикличное многозначное отображение F : Mn −→ Nn
такое, что в каждой точке множества Mn\E существует ло-
кальная степень γ(x) > 0. Тогда либо F (Mn) = Nn, либо
F (T ) ⊃ F (Mn\E), т.е. в последнем случае все значения, которые
отображение принимает вне E, оно принимает и на E.
Д оказательство. Если F (Mn) = Nn, то теорема доказана. Ес-
ли же F (Mn) ̸= F (Nn), то Hn(F (Mn)) = 0, так как в этом слу-
чае F (Mn) компактное подмножество Nn. Тогда степень отображе-
ния γ(Mn, F, y) = 0 для всех точек y ∈ Nn. Так как для каждой
точки из Mn\E существует локальная степень γ(x) > 0, то най-
дется окрестность U(y) точки y = F (x) такая, что V (x) ⊂ Mn\E,
V (x) — компонента F−1(U) и γ(V, F, y) > 0. Тогда найдется компонента
V1 ⊂ F−1(U), для которой γ(V1F, y) < 0, F (V1) ⊃ y, поскольку суммар-
ная степень γ(F−1(U), F, y) = γ(Mn, F, y) = 0. А так как для всех
точек из Mn\E локальная степень больше нуля, то V1 ∩E = ∅, и зна-
чит, существует точка x1 ∈ F−1(F (x)), x1 ∈ E. Произвольность выбора
точки x завершает доказательство теоремы.
Определение 6. Отображение F : Dn −→ Nn назовем слабо нуль-
мерным (слабо изолированным), если размерность прообраза F−1(y)
каждой точки y ∈ F (D) равна нулю (если каждая точка полного про-
образа имеет окрестность, не содержащую других точек этого же про-
образа).
Замечание 1. Теорема, аналогичная теореме 3, справедлива и для
слабо нульмерных отображений.
Замечание 2. В отличие от однозначных отображений особое мно-
жество E в теореме 3 для слабо изолированных отображений может
состоять из одной точки. Например, пусть отображение окружности
(отрезка [0,1] c отождествленными крайними точками) на прямую за-
дается формулой
F (x) =
{
9(x) + x, x ∈ (0, 1),
[0, 2], x = 0, 1,
152 Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, О.В. Сафонова
где 9(x) — канторова лестница.
Кстати, это пример слабо изолированного, но не нульмерного отоб-
ражения.
Определение 7. Отображение F : D −→ Nn называется собствен-
ным, если прообраз F−1(K) произвольного компакта K ⊂ Nn компак-
тен.
Определение 8. Отображение F : D −→ Nn назовем открытым в
точке x, если для произвольного открытого множества V , содержаще-
го x, образ F (x) принадлежит int F(V) по отношению к Nn.
Лемма 2. Пусть F : D −→ Nn ацикличное отображение и для филь-
тра открытых областей {Ui} таких, что Ui+1 ⊂ Ui и ∩
i
Ui = x,
имеем γ(Ui, F, y) ̸= 0, y ∈ F (x). Тогда F открыто в точке x.
Д оказательство. Предположим противное. Тогда для некоторой от-
крытой окрестности V (x) точки x точка y ∈ F (x) будет граничной для
W = F (V (x)). Очевидно, что int W ̸= W , поэтому Hn(W,∂W ) = 0.
Тривиальный гомоморфизм F ∗ : Hn(W,∂W ) −→ Hn(U, ∂U) индуци-
рован отображением F : U −→ W , следовательно, γ(U,F, y) = 0. Равен-
ство нулю выполняется и для всех Ui ⊂ U . Полученное противоречие
доказывает лемму.
Теорема 4. Пусть F : D −→ D1 ⊂ Nn — собственное отображение,
D — область в Mn и E ⊂ D — замкнутое подмножество такое,
что для каждой точки x ∈ E найдется последовательность точек
{xn}, которая сходится к x, xn ∈ D\E. В каждой точке откры-
того множества D\E существует локальная степень отображения
γ(x), причем γ(x) > 0 и F (E) = F (D) = D1. Тогда в D1 существует
множество D′
1 всюду второй категории (на D1), для каждой точки
y0 которого найдется бесконечная последовательность {xn} точек
xn ∈ D\E таких, что F (xn) = y0.
Д оказательство. Определим в D1 множества Fp (p = 0, 1, 2, . . .) всех
точек y, каждой из которых соответствует не более чем p точек из
D\E. Так как F открыто в D\E, то легко видеть, что дополнение к Fp
открыто, т.е. Fp (p = 0, 1, 2, . . . ) замкнуто в D1, при этом для p > 1
множество F даже компактно в D1.
Очевидно, что имеют место включения F0 ⊂ F1 ⊂ . . . Fp ⊂ . . . .
О многозначных нульмерных отображениях 153
Покажем теперь, что в наших условиях каждое из множеств Ep
(p = 0, 1, 2, . . .) нигде не плотно в D1 = F (D). Допустим, что Fp со-
держит некоторый открытый шар V и пусть y0 ∈ V — одна из точек
допустимой “кратности” среди всех точек V ; ей соответствует не более
чем p точек (k = 1, 2, . . . , k0; k0 ≤ p).
Далее, возьмем такие попарно непересекающиеся окрестности
U(xk), замыкания которых принадлежат D\E: образы этих замыка-
ний суть замкнутые области Vk, содержащие точку y0 строго внутри.
Пересечение всех Vk содержит некоторую окрестность V ′ точки y0 в
силу конечности k.
Очевидно, удаляя замкнутые области U(xk) из D, получим некото-
рую область D′, содержащую компакт E и такую, что ни одна точка
из D′\E не имеет образа внутри V ′.
По теореме 3 для некоторой точки x0 ∈ E будем иметь:
F (xk) ⊃ y0. Так как E нигде не плотно в D′ = D\
k0∪
k=1
U(xk), то су-
ществует последовательность {xm} точек xm ∈ D′\E, сходящихся к
точке x0 при m −→ ∞.
Начиная с некоторого m, все значения в силу полунепрерывности
попадут внутрь окрестности V ′ точки F (x0) ⊃ y0, но это противоречит
построению окрестности V ′.
Значит, множество K = ∪p Fp есть множество первой категории в
D1 и следовательно, D′
1 = D1\K =
∞
∩
p=0
(K\Fp) будет второй категории,
которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством.
Теорема 5. (О продолжении). Пусть F : D −→ D1 ⊂ Nn — соб-
ственное нульмерное отображение причем γ(x) > 0(γ(x) < 0) всюду
в D, кроме, возможно, множества E ⊂ D такого, что F (D)\F (E)
всюду плотно в F (D). Тогда отображение F является изолирован-
ным и открытым в D, причем γ(x) > 0(γ(x) < 0) для всех x ∈ D.
Доказательство. Пусть точка x ∈ D, выберем окрестность
U(y) точки y ∈ F (x). Для каждой U(y) в связной компоненте
V (x) ⊂ F−1(U(y)) содержится точка x1 из D\E. Для всех точек
x ∈ F−1(y1), где y1 ∈ F (D)\F (E), существует локальная степень отоб-
ражения. Не нарушая общности, предположим, что во всех точках
множества x ∈ F−1(y1) локальная степень положительна. Поэтому
γ(V (x), F, y) = γ(V (x1), F, y1) > 0. Отсюда следует, что существует
γ(x) > 0.
154 Ю.Б. Зелинский, И.Ю. Выговская, О.В. Сафонова
Теорема доказана.
Открытый вопрос. Пусть F : D −→ Nn — нульмерное ациклич-
ное многозначное отображение. Верно ли, что если множество точек
взаимной однозначности D1 плотно в D при n ≥ 2, то обратное отоб-
ражение F−1 — однозначное монотонное отображение?
Список литературы
[1] Куратовский К. Топология. В 2-х т. –– Москва: Мир, 1966. –– Т. 1. —
596 с.; Т. 2. –– 624 с.
[2] Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. —
М.: Наука, 1973. — 576 с.
[3] Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.
[4] Трохимчук Ю.Ю., Бондарь А.В. О локальной степени нульмерного
отображения // Метрические вопросы теории функций и отображе-
ний. — К.: Наукова думка, 1969. — С. 221 – 241.
[5] Трохимчук Ю.Ю. Дифференцирование, внутренние отображения и
критерии аналитичности // Працi Iнституту математики НАН Украї-
ни. — 2008. — 70. — К.: Ин-т математики НАН Украины. — 539 с.
[6] Зелинский Ю.Б. О локальной степени для многозначных отображе-
ний // Доклады АН УССР. Сер. А. — 1975. — №10. — С. 872 – 876.
[7] Зелинский Ю.Б. О непрерывных отображениях областей обобщенных
многообразий // Метрические вопросы теории функций и отображе-
ний. — Вып. 4. — К.: Наукова думка, 1973. — С. 79 – 91.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-179 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:33Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/7d/9d7562eda39d1281d9695fd71b926d7d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1792018-01-23T12:10:05Z On multivalued zero-dimensional mappings О многозначных нульмерных отображениях Zelinskii, Yu. B. Vygovskaya, I. Yu. Safonova, O. V. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Сафонова, О. В. Multivalued isolated&nbsp;mappings are investigated. We describe a behaviour of such mappings on the exclusive set and conditions of their extention. Досліджуються многозначні нульвимірні відображення. Встановлена поведінка таких відображень на особливих множинах та умови стирання особливостей. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/179 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 147–154 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 147–154 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 147–154 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/179/146 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Vygovskaya, I. Yu. Safonova, O. V. Зелинский, Ю. Б. Выговская, И. Ю. Сафонова, О. В. On multivalued zero-dimensional mappings |
| title | On multivalued zero-dimensional mappings |
| title_alt | О многозначных нульмерных отображениях |
| title_full | On multivalued zero-dimensional mappings |
| title_fullStr | On multivalued zero-dimensional mappings |
| title_full_unstemmed | On multivalued zero-dimensional mappings |
| title_short | On multivalued zero-dimensional mappings |
| title_sort | on multivalued zero-dimensional mappings |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/179 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub onmultivaluedzerodimensionalmappings AT vygovskayaiyu onmultivaluedzerodimensionalmappings AT safonovaov onmultivaluedzerodimensionalmappings AT zelinskijûb onmultivaluedzerodimensionalmappings AT vygovskaâiû onmultivaluedzerodimensionalmappings AT safonovaov onmultivaluedzerodimensionalmappings AT zelinskiiyub omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh AT vygovskayaiyu omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh AT safonovaov omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh AT zelinskijûb omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh AT vygovskaâiû omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh AT safonovaov omnogoznačnyhnulʹmernyhotobraženiâh |