Base functions for projective methods in the hydrodynamics
The paper constructs a family of harmonic functions which are furthermoreadopted as a functional basis of a projective method in the hydrodyna-mics of a limited liquid volume. To get these functions, the Whitteckerrepresentation is utilised. Exact and recurrence formulas are derived tocompute the ha...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/18 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552538997260288 |
|---|---|
| author | Барняк, М. Я. Барняк, М. Я. |
| author_facet | Барняк, М. Я. Барняк, М. Я. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. Я. Барняк",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Барняк, М. Я. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | The paper constructs a family of harmonic functions which are furthermoreadopted as a functional basis of a projective method in the hydrodyna-mics of a limited liquid volume. To get these functions, the Whitteckerrepresentation is utilised. Exact and recurrence formulas are derived tocompute the harmonic functions and their derivatives. The harmonicfunctions are analytical in the closed domain of definition but their analyti-cal continuation has a jump along a ray going from the domain corner poi-nts. Employing the functional set improves the precision of the projectivemethod and makes it possible to get extra 2-3 significant figures of theapproximate solution. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 24–31
УДК 532:595
Координатнi функцiї для реалiзацiї
проекцiйних методiв у задачах
гiдродинамiки
М.Я. Барняк
Iнститут математики НАН України, Київ; barnyak@imath.kiev.ua
The paper constructs a family of harmonic functions which are furthermore
adopted as a functional basis of a projective method in the hydrodyna-
mics of a limited liquid volume. To get these functions, the Whittecker
representation is utilised. Exact and recurrence formulas are derived to
compute the harmonic functions and their derivatives. The harmonic
functions are analytical in the closed domain of definition but their analyti-
cal continuation has a jump along a ray going from the domain corner poi-
nts. Employing the functional set improves the precision of the projective
method and makes it possible to get extra 2-3 significant figures of the
approximate solution.
В работе построена система решений уравнения Лапласа, которые
используются в качестве координатных функций для чисельной ре-
ализации проекционных методов решения задач гидродинамики огра-
ниченного объема жидкости. Для построения этих функций использу-
ется представление Уиттекера для гармонических функций. Получены
явные формулы для вычисления этих функций, а также рекуррентные
формулы для вычисления последовательности этих функций и их ча-
стных производных. Эти функции аналитичны в замкнутой области,
а за пределами области в окрестности угловой точки на некотором
луче терпят разрыв сами функции или их частные производные. На-
личие именно таких особенностей в искомых решениях краевых задач
в областях с угловыми точками повышает на 2-3 порядка точность
приближенных решений.
∗ Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0112U001015.
c© М.Я. Барняк, 2015
Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв ... 25
Як вiдомо iз робiт [1,2,4], коефiцiєнти рiвнянь руху твердого тiла
iз порожнинами, якi частково заповненi рiдиною i мають форму тiла
обертання вiдносно вертикальної осi, визначаються на основi розв’яз-
кiв наступних крайових задач:
L1ψ ≡ 1
r
∂
∂r
(
r
∂ψ
∂r
)
+
∂2ψ
∂z2
− 1
r2
ψ = 0 в G, (1)
∂ψ
∂n
= r cosnz − z cosnr на L+ Γ;
Lmϕ ≡ 1
r
∂
∂r
(
r
∂ϕm
∂r
)
+
∂2ϕm
∂z2
− m2
r2
ϕm = 0 в G, (2)
∂m
∂z
= κϕm на Γ,
∂m
∂n
= 0 на L, (m = 0, 1, 2, . . .).
Тут: G — меридiальний перерiз областi Ω, яка заповнена рiдиною в
станi спокою; L i Γ — меридiальнi перерiзи, вiдповiдно, твердої стiнки
порожнини i вiльної поверхнi рiдини в станi спокою; n — зовнiшня по
вiдношенню до G, нормаль до L i Γ; (z, r, η) — цилiндрична систе-
ма координат, в якiй вiсь z спiвпадає з вiссю симетрiї порожнини i
направлена вертикально вгору, а η —кругова координата.
Задача Неймана (1) визначає потенцiал Стокса–Жуковського
ψ(r, z), а розв’язки задачi (2) описують власнi коливання iдеальної рi-
дини у нерухомiй посудинi. Точнi розв’язки обох задач вiдомi тiльки
у випадку найпростiших областей, таких, наприклад, як цилiндричнi.
Для областей бiльш складної геометричної форми розробленi варiа-
цiйнi методи, що грунтуються на побудовi функцiй, якi мiнiмiзують
функцiонал [3]
K(ψ) =
∫
G
[
r
(
∂ψ
∂r
)2
+ r
(
∂ψ
∂z
)2
+
m2
r
ψ2
]
dG−
−2
∫
L+Γ
r(r cos nz − z cos nr) dr (3)
для задачi (1), а також, як вiдомо iз робiт [1, 2, 4], функцiонали
Fm(ϕm) =
∫
G
[
r
(
∂ϕm
∂r
)2
+ r
(
∂ϕm
∂z
)2
+ m2
r (ϕm)2
]
dG
∫
Γ
r(ϕm)2 dr
, (m = 0, 1, . . . )
(4)
26 М. Я. Барняк
для задач (2) на класi функцiй ψ ∈ W 1
2,r(G) i ϕm ∈ W 1
2,r(G). Тут
W 1
2,r(G) — простiр Соболева функцiй, якi iнтегрованi з квадратом,
разом з першими частинними похiдними по областi G з вагою r.
На класi функцiй ψ(r, z) i ϕm(r, z), якi задовольняють рiвняння
L1ψ = 0 в G i Lmϕm = 0 в G, (5)
функцiонали (3) i (4) приймають такий вигляд:
K(ψ) =
∫
L+Γ
rψ
∂ψ
∂n
dl − 2
∫
L+Γ
r(r cosnz − z cosnr)ψ dl, (6)
Fm(ϕm) =
∫
L+Γ
rϕm
∂ϕm
∂n
dl
∫
Γ
r(ϕm)2 dr
. (7)
Мiнiмiзацiю виписаних вище функцiоналiв традицiйно проводять
за допомогою методу Рiтца, згiдно з яким наближенi розв’язки задач
(1) i (2) апроксимуються скiнченими сумами
ϕ =
N∑
k=1
ak w
m
k , ψ =
N∑
k=1
bk w
1
k,
де {wmk }∞k=1 — система координатних функцiй, якi задовольняють
рiвняння (5).
Успiшна реалiзацiя методу Рiтца залежить вiд вибору системи ко-
ординатних функцiй.
Загальнi питання вiдносно вибору координатних функцiй i побудо-
ви розв’язкiв крайових задач методом Рiтца розглянутi, наприклад,
у роботi [3]. Система координатних функцiй повинна задовольняти
умови повноти в енергетичних просторах, на яких визначенi функцiо-
нали (3) i (4), або (5) i (6). Бажано також, щоб координатнi функцiї
мали деякi характернi властивостi шуканих розв’язкiв задачi.
Досвiд використання енергетичних методiв для побудови розв’яз-
кiв крайових задач теорiї руху твердого тiла з порожнинами, час-
тково заповненими рiдиною, показує, що найбiльш унiверсальними i
одночасно простими системами координатних функцiй є тi, що одер-
жанi з допомогою сферичних функцiй. Широке застосування цi си-
стеми знайшли при розв’язуванi задач для класу однозв’язних поро-
жнин, якi мають форму тiла обертання.
Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв ... 27
Цi функцiї задаються наступними спiввiдношеннями i рекурен-
тними формулами:
wmm(r, z) = rm, wmm+1(r, z) = z rm,
(k +m+ 1)wmk+1(r, z) = (2k + 1)zwmk (r, z)− (k −m)(r2 + z2)wmk−1.
(8)
Для частинних похiдних цих функцiй по змiнних r i z справедливi
такi формули
r
∂wmk
∂r
= kwmk − (k −m)zwmk−1,
∂wmk
∂z
= (k −m)wmk−1. (9)
Функцiї wmk (r, z) виявилися ефективними при чисельнiй реалiзацiї
методу Рiтца для визначення розв’язкiв задачi (1) та при визначеннi
перших двох або трьох власних значень i власних функцiй задачi (2)
при невеликих вiдносних глибинах рiдини. Застосовуючи перетворе-
ння Лапласа, одержуємо такi розв’язки рiвняння (2)
w̄mk (r, z) =
1
R
wmk
( r
R2
,
z
R2
)
, де R =
√
r2 + z2. (10)
Функцiї wmk (r, z) та w̄mk (r, z) визначенi при k ≥ m. Цi системи фун-
кцiй, як вiдомо iз [2, 4], можна подати наступним чином:
wmk (r, z) = bkmR
kPmk (cos θ), w̄mk (r, z) = R−k−1Pmk (cos θ), (11)
де bkm = 2mm!(k−m)!
k! , tan θ = r
z , z = R cos θ, r = R sin θ, Pmk (cos θ)−
приєднанi полiноми Лежандра, k = m,m + 1, ... . Iз наведених вище
формул випливає, що iз серед множин розв’язкiв (11) нема функцiй
степенiв однорiдностi −m ≤ k ≤ m − 1. Цю прогалину можна запов-
нити у такий спосiб. Легко перевiрити, що функцiя
wm0 (r, z) =
(2(R+ z)
r
)m
задовольняє рiвняння (2). Це ж рiвняння задовольняє i функцiя
wm−1(r, z) =
1
R
(2(R+ z)
r
)m
= − 1
R
wm0 (
r
R2
,
z
R2
) = − 1
R
wm0 (r, z),
як функцiя, що одержана iз wm0 (r, z) шляхом застосування перетво-
рення iнверсiї.
28 М. Я. Барняк
Якщо пiдставити функцiї wm−1(r, z) та wm0 (r, z) в рекурентну фор-
мулу (8), починаючи з k = 0, тодi одержимо решту функцiй wmk (r, z).
Цю ж формулу можна використати для того, щоб визначити функцiї
wmk (r, z) для вiд’ємних значень iндекса k. Iз (8), пiсля замiни k на
(−k − 1), маємо:
(k+m+1)(r2+z2)wm−k−2(r, z) = (2k+1)zwm−k−1(r, z)−(k−m)wm−k. (12)
Наведена рекурентна формула є наслiдком спiввiдношення
wm−k−1(r, z) = − 1
R
wmk (
r
R2
,
z
R2
). (13)
Функцiї wmk (r, z) при вiд’ємних значеннях iндекса k мають степеневу
особливiсть при R = 0, а тому, при використанi їх в якостi коор-
динатних функцiй, потрiбно вибирати початок координат за межею
областi G. При побудовi розв’язкiв задачi (8) у випадку глибоких
порожнин, коли вертикальний розмiр порожнини значно перевищує
радiус вiльної поверхнi рiдини, доцiльно вибирати саме такi коорди-
натнi функцiї.
Рiзноманiтнi розв’язки рiвнянь (5) можна побудувати на основi
представлення Уiтекера для гармонiчних функцiй [6], яке зводиться
в роботi [7] до наступного твердження: розв’язки рiвнянь (5) визна-
чаються, як дiйсна та уявна частини функцiї
ϕ(r, z) =
π∫
0
f(iz + r0 + r cos t) cosmtdt, (14)
де f(u) — двiчi неперервно диференцiйована функцiя комплексної
змiнної u, r0 > 0 — вiддаль вiд кутової точки областiG до осi симетрiї
порожнини.
Для зручностi введемо позначення u = iz+r0. Тодi сформульоване
вище твердження звучатиме так. Функцiя
ψm(r, u) =
π∫
0
f(u+ r cos t) cosmtdt, (15)
задовольняє рiвняння
Lmψ
m ≡ 1
r
∂
∂r
(
r
∂ψm
∂r
)
− ∂2ψm
∂u2
− m2
r2
ψm = 0 в G. (16)
Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв ... 29
Вважаючи, що в формулi (15) функцiя f(u+ r cos t) рiвна
ln(u+ r cos t)(u + r cos t)k, позначимо такi функцiї:
vmk (r, u) =
2m
π
π∫
0
ln(u+ r cos t)(u+ r cos t)k cosmtdt, (17)
smk (r, u) =
2m
π
π∫
0
(u+ r cos t)k cosmtdt. (18)
Як випливає iз iнтегральних зображень цих функцiй, для частин-
них похiдних вiд цих функцiй по змiнних u та r мають мiсце наступнi
рекурентнi формули:
∂smk
∂u
= ksmk−1, r
∂smk
∂r
= ksmk − uksmk−1, (19)
∂vmk
∂u
= kvmk−1 + smk−1, r
∂vmk
∂r
= kvmk − kuvmk−1 + smk − usmk−1. (20)
Диференцiюючи одержанi спiввiдношення по r i u, на основi тих
самих спiввiдношень, одержуємо рекурентнi спiввiдношення для дру-
гих похiдних вiд цих функцiй, а пiсля пiдстановки їх в рiвняння (16),
яке задовольняють+ функцiї vmk (r, u) i smk (r, u), одержуємо наступнi
рекурентнi формули:
(k2 −m2)smk − uk(2k − 1)smk−1 + (u2 − r2)k(k − 1)smk−2 = 0, (21)
(k2 −m2)vmk − uk(2k − 1)vmk−1 + (u2 − r2)k(k − 1)vmk−2 + 2ksmk −
−u(4k − 1)smk−1 + (u2 + r2)(2k − 1)s2k−2 = 0. (22)
Використовуючи формулу (21), рекурентну формулу (22) можна
спростити i записати в такому виглядi
[(k+2)2 −m2]vmk+2 − u(k+2)(2k+3)vmk+1 + (u2 − r2)(k+2)(k+1)vmk +
+
m2(2k + 3)− (k + 2)2
(k + 1)(k + 2)
smk+2 +
k + 2
k + 1
smk+1 = 0. (23)
Визначимо декiлька перших функцiй smk (r, u) i vmk (r, u).
v00(r, u) =
1
π
∫ π
0
ln(u+ r cos t)dt = ln
(√u2 − r2 + u
2
)
, (24)
30 М. Я. Барняк
vm0 (r, u) = − 1
m
(
2
√
u2 − r2 − u
r
)m
для m ≥ 1, (25)
sm−1(r, u) =
1√
u2 − r2
(
2
√
u2 − r2 − u
r
)m
для m ≥ 0. (26)
Як було зауважено вище, пiсля замiни змiнної u = iz + r0 дiйсна
та уявна частини функцiї vmk (iz + r0, r) задовольняють рiвняння (5).
Вибираючи систему координат таким чином, щоб точка з коорди-
натами (r0, 0) спiвпадала з кутовою точкою областi, ми надiляємо
цi функцiї потрiбними властивостями. Зауважимо при цьому, що всi
функцiї smk (r, u) при 0 ≤ k ≤ m − 1 рiвнi тотожньому нулю. Згiдно
з рекурентними формулами (21) i (22) визначаємо значення функцiй
smk (r, u) i vmk (r, u) та їх похiдних, починаючи з k = 1, i до k = m − 1.
Визначити значення функцiї vmm(r, u) по цих формулах не вдається,
оскiльки коефiцiєнт при vmm(r, u) рiвний нулю.
Функцiю vmm(r, u) визначимо в такий спосiб:
vmk (r, u) =
2m
π
∫ π
0
ln(u+ r cos(t))(u + r cos(t))k cos(mt)dt =
=
2mu
π
∫ π
0
ln(u+ r cos(t))(u + r cos(t))k−1 cos(mt)dt+ (27)
+
2mr
π
∫ π
0
ln(u+ r cos(t))(u + r cos(t))k−1 cos(t) cos(mt)dt =
=
2m−1r
π
∫ π
0
ln(u+ r cos(t))(u + r cos(t))k−1(cos((m− 1)t) +
+
2m−1r
4π
∫ π
0
ln(u+ r cos(t))(u + r cos(t))k−1) cos((m+ 1)t) +
= uvmk−1(r, u) = uvmk−1(r, u) + rvm−1
k−1 (r, u) +
r
4
vm+1
k−1 (r, u).
Вважаємо, що k = m, тодi
vmm(r, u) = uvmm−1(r, u) + rvm−1
m−1(r, u) +
r
4
vm+1
m−1(r, u). (28)
За допомогою одержаної рекурентної формули визначимо функцiю
v11(r, u). Для цiєї мети випишемо згiдно з (25) такi функцiї:
v10(r, u) = −2
√
u2 − r2 − u
r
, v20(r, u) = −2
(√
u2 − r2 − u
r
)2
. (29)
Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв ... 31
Далi, у вiдповiдностi до формули (28), отримуємо
v11(r, u) = uv10(r, u) + rv00(r, u) +
r
4
v20(r, u) =
= rln
(√
u2 − r2 + u
2
)
+
r
2
− u
√
u2 − r2 − u
r
. (30)
Тепер на основi функцiй v10(r, u) i v11(r, u) та рекурентної форму-
ли (23) можна побудувати довiльну функцiю v1k(r, u), а за допомогою
формул (19) i (20) визначити частиннi похiднi вiд цих функцiй. Ана-
логiчно можна обчислювати значення функцiй vmk (r, u) для довiльних
значень m i k, використовуючи виведенi вище рекурентнi спiввiдно-
шення (23), (27) i (28). Як показують обчислення функцiї vmk (r, u), а
точнiше їх дiйсна та уявна частини або їх похiднi, терплять розрив
в околi точки з координатами (r = r0, z = 0). Завдяки тому, що саме
такий характер поведiнки мають розв’язки задач ((1) i 2), включення
в число координатних функцiй vmk (r, u) дозволяє збiльшити точнiсть
наближених розв’язкiв на 2-3 порядки.
[1] Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных
частот колебаний ограниченного объема жидкости. — М.: ВЦ АН
СССР, 1966. — 269 с.
[2] Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Ме-
тоды расчета присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.
— К.: Наук. думка, 1969. — 250 с.
[3] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.:
Наука, 1970. — 512 с.
[4] Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные ме-
тоды решения задач динамики ограниченного объема жидкости. — К.:
Наук. думка, 1984. — 232 с.
[5] Барняк М.Я. Побудова розв’язкiв крайових задач для рiвняння Ла-
пласа в областях з кутовими точками // Проблеми динамiки та стiй-
костi багатовимiрних систем: Зб. праць Iн-ту математики НАН Укра-
їни. — 2007. — 4, 1. — C. 71–92.
[6] Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. —
832 с.
[7] Барняк М.Я. Побудова розв’язкiв крайових задач для рiвняння Ла-
пласа в областях обертання з ребристою межею // Укр. мат. журн. —
2009. — 61, 5. — С. 579–595.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-18 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:02Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e3/d0650ddfe929cc97f48e360d7ca605e3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-182018-01-23T12:01:13Z Base functions for projective methods in the hydrodynamics Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв у задачах гiдродинамiки Барняк, М. Я. Барняк, М. Я. The paper constructs a family of harmonic functions which are furthermoreadopted as a functional basis of a projective method in the hydrodyna-mics of a limited liquid volume. To get these functions, the Whitteckerrepresentation is utilised. Exact and recurrence formulas are derived tocompute the harmonic functions and their derivatives. The harmonicfunctions are analytical in the closed domain of definition but their analyti-cal continuation has a jump along a ray going from the domain corner poi-nts. Employing the functional set improves the precision of the projectivemethod and makes it possible to get extra 2-3 significant figures of theapproximate solution. В работе построена система решений уравнения Лапласа, которыеиспользуются в качестве координатных функций для чисельной ре-ализации проекционных методов решения задач гидродинамики огра-ниченного объема жидкости. Для построения этих функций использу-ется представление Уиттекера для гармонических функций. Полученыявные формулы для вычисления этих функций, а также рекуррентныеформулы для вычисления последовательности этих функций и их ча-стных производных. Эти функции аналитичны в замкнутой области,а за пределами области в окрестности угловой точки на некоторомлуче терпят разрыв сами функции или их частные производные. На-личие именно таких особенностей в искомых решениях краевых задачв областях с угловыми точками повышает на 2-3 порядка точностьприближенных решений. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/18 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 24-31 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 24-31 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 24-31 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/18/33 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Барняк, М. Я. Барняк, М. Я. Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title | Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title_alt | Координатнi функцiї для реалiзацiї проекцiйних методiв у задачах гiдродинамiки |
| title_full | Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title_fullStr | Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title_full_unstemmed | Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title_short | Base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| title_sort | base functions for projective methods in the hydrodynamics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/18 |
| work_keys_str_mv | AT barnâkmâ basefunctionsforprojectivemethodsinthehydrodynamics AT barnâkmâ basefunctionsforprojectivemethodsinthehydrodynamics AT barnâkmâ koordinatnifunkciídlârealizaciíproekcijnihmetodivuzadačahgidrodinamiki AT barnâkmâ koordinatnifunkciídlârealizaciíproekcijnihmetodivuzadačahgidrodinamiki |