Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions
We obtained order estimations for the best uniform approximation by trigonometric polynomials and approximation by Fourier sums of classes of $2\pi$-periodic continuous functions, whose $(\psi,\beta)$--derivatives $f_{\beta}^{\psi}$ belong to unit balls of spaces $L_{p}, \ 1\leq p&a...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/180 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552701033709568 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Т. А. Степанюк",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We obtained order estimations for the best uniform approximation by trigonometric polynomials and approximation by Fourier sums of classes of $2\pi$-periodic continuous functions, whose $(\psi,\beta)$--derivatives $f_{\beta}^{\psi}$ belong to unit balls of spaces $L_{p}, \ 1\leq p<\infty$ in case at consequences $\psi(k)$ decrease to nought faster than any power function. We also established the analogical estimations in $L_{s}$-metric, $1< s\leq \infty$, for classes of the summable$(\psi,\beta)$-differentiable functions, such that $\parallel f_{\beta}^{\psi}\parallel_{1}\leq1$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 255�282
ÓÄÊ 517.5
À.Ñ. Ñåðäþê (Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
Ò.À. Ñòåïàíþê (Ñõiäíî¹âðîïåéñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi
Ëåñi Óêðà¨íêè, Ëóöüê)
ÏÎÐßÄÊÎÂI ÎÖIÍÊÈ ÍÀÉÊÐÀÙÈÕ ÍÀÁËÈÆÅÍÜ I
ÍÀÁËÈÆÅÍÜ ÑÓÌÀÌÈ ÔÓÐ'� ÊËÀÑI ÍÅÑÊIÍ×ÅÍ-
ÍÎ ÄÈÔÅÐÅÍÖIÉÎÂÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ
We obtained order estimations for the best uniform approximation by
trigonometric polynomials and approximation by Fourier sums of classes of
2π�periodic continuous functions, whose (ψ, β)�derivatives fψβ belong to unit
balls of spaces Lp, 1 ≤ p <∞ in case at consequences ψ(k) decrease to nought
faster than any power function. We also established the analogical estimations
in Ls�metric, 1 < s ≤ ∞, for classes of the summable (ψ, β)�di�erentiable
functions, such that ‖ fψβ ‖1≤ 1.
Îòðèìàíî ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ íàéêðàùèõ ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü òðè-
ãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè òà íàáëèæåíü ñóìàìè Ôóð'¹ êëàñiâ 2π�
ïåðiîäè÷íèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié, òàêèõ, ùî ¨õ (ψ, β)�ïîõiäíi fψβ íà-
ëåæàòü îäèíè÷íèì êóëÿì ïðîñòîðiâ Lp, 1 ≤ p < ∞, ó âèïàäêó êî-
ëè ïîñëiäîâíîñòi ψ(k) ñïàäàþòü äî íóëÿ øâèäøå çà áóäü�ÿêó ñòåïåíå-
âó ôóíêöiþ. Àíàëîãi÷íi îöiíêè îäåðæàíî äëÿ íàáëèæåíü â Ls�ìåòðèöi,
1 < s ≤ ∞, äëÿ êëàñiâ ñóìîâíèõ (ψ, β)�äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié, òàêèõ,
ùî ‖ fψβ ‖1≤ 1.
Íåõàé C � ïðîñòið 2π�ïåðiîäè÷íèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié, ó ÿêî-
ìó íîðìà çàäàíà çà äîïîìîãîþ ðiâíîñòi ‖f‖C = max
t
|f(t)|; L∞ �
ïðîñòið 2π�ïåðiîäè÷íèõ âèìiðíèõ i ñóòò¹âî îáìåæåíèõ ôóíêöié f(t)
ç íîðìîþ ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; Lp, 1 ≤ p < ∞, � ïðîñòið 2π�
ïåðiîäè÷íèõ ñóìîâíèõ â p�ìó ñòåïåíi íà [0, 2π) ôóíêöié f(t), â ÿêîìó
íîðìà çàäàíà ôîðìóëîþ ‖f‖p =
( 2π∫
0
|f(t)|pdt
) 1
p
.
Íåõàé äàëi ôóíêöiÿ f(x) ∈ L1, i ¨¨ ðÿä Ôóð'¹ ì๠âèãëÿä
c© À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê, 2013
256 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
f(x) ∼ a0(f)
2
+
∞∑
k=1
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx.
ßêùî ψ(k) � ôiêñîâàíà ïîñëiäîâíiñòü äiéñíèõ ÷èñåë, β � äåÿêå
äiéñíå ÷èñëî, à ðÿä
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk(f) sin
(
kx+
βπ
2
))
¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ ñóìîâíî¨ ôóíêöi¨ ϕ, òî ôóíêöiþ ϕ íàçèâàþòü
(äèâ., íàïðèêëàä, [1, ñ. 132]) (ψ, β)-ïîõiäíîþ ôóíêöi¨ f(x) i ïîçíà÷à-
þòü fψβ (x).
Ìíîæèíó ôóíêöié f(x), ó ÿêèõ iñíó¹ (ψ, β)-ïîõiäíà ïîçíà÷àþòü
÷åðåç Lψβ , à ïiäìíîæèíó íåïåðåðâíèõ ôóíêöié iç Lψβ � ÷åðåç Cψβ .
ßêùî f ∈ Lψβ , i âîäíî÷àñ f
ψ
β ∈ N ⊆ L1, òî êàæóòü, ùî ôóíêöiÿ
f íàëåæèòü êëàñó LψβN. ßêùî N = B0
p = {ϕ : ||ϕ||p ≤ 1, ϕ ⊥ 1}, òî
ïîçíà÷àþòü LψβB
0
p = Lψβ,p.
ßê ïîêàçàíî â [1, ñ. 136], ÿêùî ïîñëiäîâíiñòü ψ(k) ìîíîòîííî ïðÿ-
ìó¹ äî íóëÿ ïðè k →∞ i
∞∑
k=1
ψ(k)
k <∞, òî åëåìåíòè f ìíîæèíè LψβN
ïðè áóäü�ÿêîìó β ∈ R i ìàéæå äëÿ âñiõ x ∈ R ïðåäñòàâëÿþòüñÿ
çãîðòêàìè
f(x) =
a0(f)
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, (1)
ç ñóìîâíèì ÿäðîì Ψβ(t), ðÿä Ôóð'¹ ÿêîãî ì๠âèãëÿä
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
.
Ïðè öüîìó ôóíêöiÿ ϕ ìàéæå ñêðiçü ñïiâïàä๠ç fψβ . ßêùî æ
f ∈ Cψβ N, β ∈ R, òî ðiâíiñòü (1) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ âñiõ x ∈ R.
ßêùî ψ(k) = k−r, r > 0, òî êëàñè Lψβ,p ¹ âiäîìèìè êëàñàìè Âåéëÿ-
Íàäÿ W r
β,p.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 257
Áóäåìî ââàæàòè, ùî ïîñëiäîâíîñòi ψ(k) ¹ ñëiäàìè íà ìíîæèíi
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë N äåÿêèõ äîäàòíèõ, íåïåðåðâíèõ, îïóêëèõ äîíèçó
ôóíêöié ψ(t), t ≥ 1, òàêèõ, ùî lim
t→∞
ψ(t) = 0. Ìíîæèíó âñiõ òàêèõ
ôóíêöié ψ(t) ïîçíà÷àòèìåìî ÷åðåç M.
Çãiäíî ç [1, ñ. 159 � 160], êîæíié ôóíêöi¨ ψ ∈ M ïîñòàâèìî ó
âiäïîâiäíiñòü õàðàêòåðèñòèêè
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1 (ψ(t)/2) , µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
,
äå ψ−1 � îáåðíåíà äî ψ ôóíêöiÿ i ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó
M+
∞ = {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞, t→∞} .
×åðåç M
′
∞ ïîçíà÷èìî ïiäìíîæèíó ôóíêöié ψ ∈ M+
∞, äëÿ êîæ-
íî¨ ç ÿêèõ âåëè÷èíà η(ψ; t) − t îáìåæåíà çâåðõó, òîáòî iñíó¹ ñòàëà
K1 > 0, òàêà, ùî η(ψ; t)− t ≤ K1, t ≥ 1, à ÷åðåç M
′′
∞ � ïiäìíîæèíó
ôóíêöié ψ ∈ M+
∞, äëÿ êîæíî¨ ç ÿêèõ âåëè÷èíà η(ψ; t) − t îáìåæåíà
çíèçó äåÿêèì äîäàòíèì ÷èñëîì, òîáòî iñíó¹ ñòàëà K2 > 0, òàêà, ùî
η(ψ; t)− t ≥ K2, t ≥ 1.
Òèïîâèìè ïðåäñòàâíèêàìè ìíîæèíè M+
∞ ¹ ôóíêöi¨
ψ(t) = ψr,α(t) = exp(−αtr), α > 0, r > 0. Êëàñè Lψβ òà Cψβ ó
öüîìó âèïàäêó áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç Lα,rβ i Cα,rβ âiäïîâiäíî.
Ïðè÷îìó, ÿêùî r ≥ 1, òî ψr,α ∈ M
′
∞, à ÿêùî r ∈ (0, 1], òî ψr,α ∈ M
′′
∞.
×åðåç F ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè ìíîæèíó ôóíêöié ψ ∈ M, òàêèõ, ùî
η′(ψ, t) := η′(ψ, t + 0) ≤ K. Âiäìiòèìî (äèâ., íàïðèêëàä, [1, ñ. 165]),
ùî M+
∞ ⊂ F .
ßêùî ψ ∈ M+
∞, òî (äèâ., íàïðèêëàä, [2, ñ. 97]) ìíîæèíè C
ψ
β ñêëà-
äàþòüñÿ ç íåñêií÷åííî äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié. Ç iíøîãî áîêó, ÿê
ïîêàçàíî â [3, ñ. 1692], äëÿ êîæíî¨ íåñêií÷åííî äèôåðåíöiéîâíî¨ 2π�
ïåðiîäè÷íî¨ ôóíêöi¨ f ìîæíà âêàçàòè ôóíêöiþ ψ ç ìíîæèíè M+
∞,
òàêó, ùî f ∈ Cψβ äëÿ äîâiëüíèõ β ∈ R.
Ìåòîþ äàíî¨ ðîáîòè ¹ çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ ïîðÿäêîâèõ îöiíîê
äëÿ âåëè÷èí âèãëÿäó
En(N)X = sup
f∈N
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖X ,
258 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
äå Sn−1(f ; ·) � ÷àñòèííi ñóìè Ôóð'¹ ïîðÿäêó n−1, N ⊂ X ⊂ L1, à òà-
êîæ çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ ïîðÿäêîâèõ îöiíîê íàéêðàùèõ íàáëèæåíü,
òîáòî âåëè÷èí âèãëÿäó
En(N)X = sup
f∈N
inf
tn−1∈T2n−1
‖f(·)− tn−1(·)‖X ,
äå T2n−1 � ïiäïðîñòið óñiõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ ïîëiíîìiâ tn−1 ïîðÿäêó
íå âèùîãî çà n− 1, ó íàñòóïíèõ âèïàäêàõ:
1) N = Cψβ,p, 1 ≤ p <∞, X = C;
2) N = Lψβ,1, X = Ls, 1 < s ≤ ∞
ïðè ψ ∈ M
′′
∞ i β ∈ R.
Ïðè X = Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, âåëè÷èíó En(N)Ls áóäåìî ïîçíà÷àòè
÷åðåç En(N)s, à âåëè÷èíó En(N)Ls
� ÷åðåç En(N)s âiäïîâiäíî.
Çðîáèìî êîðîòêèé iñòîðè÷íèé îãëÿä äîñëiäæåííÿ îöiíîê âåëè÷èí
En(Lψβ,p)s i En(L
ψ
β,p)s.
Äëÿ êëàñiâ Âåéëÿ�Íàäÿ W r
β,p, ïðè äîâiëüíèõ r > 0, β ∈ R,
1 ≤ p, s ≤ ∞ òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En(W r
β,p)s òà En(W
r
β,p)s
âiäîìi (äèâ., íàïðèêëàä, [4, ñ. 47 � 49]).
Ó âèïàäêó p = s = 1 i p = s = ∞ âiäîìi òàêîæ àñèìïòîòè÷íi
ðiâíîñòi ïðè n → ∞ äëÿ âåëè÷èí En(W r
β,p)s, r > 0, β ∈ R (äèâ.,
íàïðèêëàä, ðîáîòè [5 � 7]).
Ó âèïàäêàõ p = s = 1 i p = s = ∞ âñòàíîâëåíî òî÷íi çíà÷åííÿ
íàéêðàùèõ íàáëèæåíü En(W r
β,p)s ïðè óñiõ n ∈ N, r > 0 i β ∈ R (äèâ.
ðîáîòè [8 � 13]). Ïðè r ∈ N i β = r â ðîáîòi [14] âñòàíîâëåíî òî÷íi
çíà÷åííÿ âåëè÷èí En(W r
β,2)∞.
Íà êëàñàõ Lψβ,p òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En(Lψβ,p)s òà
En(L
ψ
β,p)s ó âèïàäêó, êîëè ψ(k)k
1
p−
1
s íåçðîñòàþòü i ψ ∈ B, äå B �
ìíîæèíà íåçðîñòàþ÷èõ ïðè t ≥ 1 äîäàòíèõ ôóíêöié ψ(t), äëÿ êîæíî¨
ç ÿêèõ ìîæíà âêàçàòè äîäàòíó ñòàëó K òàêó, ùî ψ(t)
ψ(2t) ≤ K, t ≥ 1,
áóëî çíàéäåíî ó ðîáîòi [15] ïðè äîâiëüíèõ 1 < p, s <∞.
Ïðè p = s = 2 â [15] òàêîæ ðîçâ'ÿçàíî çàäà÷ó ïðî òî÷íi çíà÷åííÿ
âåëè÷èí En(Lψβ,p)s òà En(L
ψ
β,p)s çà óìîâè sup
k≥n
ψ(k) <∞.
Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî ïðè p = 2 i s = ∞ àáî p = 1 i s = 2 òî÷íi
çíà÷åííÿ âåëè÷èí En(Cψβ,p)s äëÿ âñiõ n ∈ N, çà óìîâè çáiæíîñòi ðÿäó
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 259
∞∑
k=1
ψ2(k), çíàéäåíî ó ðîáîòàõ [16] i [17].
 [18] âñòàíîâëåíî òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En(Lψβ,p)s òà
En(L
ψ
β,p)s ïðè 1 ≤ p < ∞, s = ∞, à òàêîæ ïðè p = 1 i 1 < s ≤ ∞,
ó âèïàäêó, êîëè ψ ∈ B ∩ Θp, äå Θp, 1 ≤ p < ∞, � ìíîæèíà íåçðîñ-
òàþ÷èõ ôóíêöié ψ(t), äëÿ ÿêèõ iñíó¹ ñòàëà α > 1
p òàêà, ùî ôóíêöiÿ
tαψ(t) ìàéæå ñïàäà¹.
Ïðè ψ ∈ M
′
∞, 1 ≤ p, s ≤ ∞ i β ∈ R òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè
âåëè÷èí En(Lψβ,p)s òà En(L
ψ
β,p)s âñòàíîâëåíî ó ðîáîòi [2, ñ. 225] (äèâ.
òàêîæ [19, ñ. 48]) i âîíè ìàþòü âèãëÿä
C(1)
p,sψ(n) ≤ En(L
ψ
β,p)s ≤ En(Lψβ,p)s ≤ C(2)
p,sψ(n), (2)
äå C
(1)
p,s , C
(2)
p,s � äîäàòíi ñòàëi, ùî çàëåæàòü òiëüêè âiä p i s.
 [2, ñ. 219] (äèâ. òàêîæ [19, ñ. 60]) çíàéäåíî òàêîæ òî÷íi ïîðÿäêîâi
îöiíêè âåëè÷èí En(Lψβ,p)s òà En(L
ψ
β,p)s ïðè ψ ∈ M
′′
∞, 1 < p, s < ∞ i
β ∈ R, ÿêi ìàþòü âèãëÿä
C(3)
p,sψ(n)(η(n)−n)α≤En(Lψβ,p)s≤En(L
ψ
β,p)s≤C
(4)
p,sψ(n)(η(n)−n)α, (3)
äå C
(3)
p,s , C
(4)
p,s � äîäàòíi ñòàëi, ùî çàëåæàòü òiëüêè âiä p i s, a
α = p−1 − s−1, ÿêùî p < s, i α = 0, ÿêùî p ≥ s.
Îöiíêà çâåðõó â ñïiââiäíîøåííi (3) ¹ ñïðàâåäëèâîþ i ó âèïàäêó
p = 1, çà óìîâè p < s <∞ (äèâ. [2, ñ. 224]).
Ó âèïàäêàõ p = s = 1, p = s = ∞, ψ ∈ M+
∞
i β ∈ R â [20] âñòàíîâëåíî àñèìïòîòè÷íi ðiâíîñòi äëÿ âå-
ëè÷èí En(C
ψ
β,p)s i En(L
ψ
β,p)s. Êðiì òîãî, â [21] ïðè p = s = ∞
òà p = s = 1 îòðèìàíî òî÷íi çíà÷åííÿ âåëè÷èí En(C
ψ
β,p)s i
En(L
ψ
β,p)s, β ∈ R, çà óìîâè, ùî ôóíêöiÿ ψ(k), k ∈ N ì๠íà-
ñòóïíi âëàñòèâîñòi: 1) ∆2ψ(k) := ψ(k)− 2ψ(k + 1) + ψ(k + 2) ≥ 0,
ψ(k+1)
ψ(k) ≤ ρ, 0 < ρ < 1, k = n, n+ 1, ...; 2) ∆2ψ(n)
ψ(n) > (1+3ρ)ρ2n
(1−ρ)
√
1−2ρ2n
.
 [22] äëÿ ψ ∈ M+
∞, çà óìîâè, ùî ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî t0 ≥ 1
η(t)− t > 1, âñòàíîâëåíî òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí En(Cψβ,p)s,
β ∈ R, ïðè 1 < p <∞, s = ∞, ÿêi ìàþòü âèãëÿä:
C
(1)
ψ,pψ(n)(η(n)− n)
1
p ≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤ C
(2)
ψ,pψ(n)(η(n)− n)
1
p , n ∈ N,
260 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
äå C
(1)
ψ,p, C
(2)
ψ,p � äîäàòíi ñòàëi, ùî çàëåæàòü âiä ψ i p.
 äàíié ðîáîòi âñòàíîâëåíî òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè âå-
ëè÷èí En
(
Cψβ,p
)
C
, En
(
Lψβ,1
)
s
i En
(
Lψβ,1
)
s
äëÿ äîâiëüíèõ
1 ≤ p <∞, 1 < s ≤ ∞ i β ∈ R, ó âèïàäêó, êîëè ψ ∈ M+
∞,
η(t)− t ≥ a > 2, µ(t) ≥ b > 2. Ïðè öüîìó êîíñòàíòè â ïîðÿäêî-
âèõ îöiíêàõ çàïèñóþòüñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðè çàäà÷i â ÿâíîìó âèãëÿäi.
Ç âðàõóâàííÿì öi¹¨ îáñòàâèíè, îòðèìàíi îöiíêè äîïîâíþþòü çãàäàíi
âèùå ðåçóëüòàòè ðîáiò [2, ñ. 219] (äèâ. òàêîæ [19, ñ. 60]), à ç iíøîãî
äîïîâíþþòü òà óòî÷íþþòü ðåçóëüòàòè ðîáîòè [22].
Ïåðåéäåìî äî âèêëàäó îñíîâíèõ ðåçóëüòàòiâ.
Òåîðåìà 1. Íåõàé ψ ∈ M+
∞, β ∈ R, 1 ≤ p <∞. Òîäi äëÿ n ∈ N,
òàêèõ, ùî η(n)− n ≥ a > 2, µ(n) ≥ b > 2 ñïðàâåäëèâi îöiíêè
Caψ(n)(η(n)− n)
1
p ≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤
≤ Ca,b (2p)1−
1
pψ(n)(η(n)−n)
1
p , (4)
äå
Ca =
π
96 (1 + π2)2
(a− 1)2(a− 2)2
a3(3a− 4)
, (5)
Ca,b =
1
π
max
{
2b
b− 2
+
1
a
, 2π
}
. (6)
Äîâåäåííÿ òåîðåìè ñïèðàòèìåòüñÿ íà äâà äîïîìiæíi òâåðäæåííÿ.
Ëåìà 1. Íåõàé γ ∈ R, à λ(k), k = 1, 2, ... � äåÿêà ïîñëiäîâíiñòü
äiéñíèõ ÷èñåë. Òîäi ïðè áóäü�ÿêèõ N,M ∈ N (N < M) äëÿ âåëè÷èí
WN,M (λ; γ; t), îçíà÷åíèõ ôîðìóëîþ
WN,M (λ; γ; t) =
1
M −N
M−1∑
k=N
k∑
j=1
λ(j) cos (jt+ γ) , (7)
ì๠ìiñöå ðiâíiñòü
WN,M (λ; γ; t) =
N∑
k=1
λ(k) cos (kt+ γ) +
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 261
+
1
M −N
M−1∑
k=N+1
(M − k)λ(k) cos (kt+ γ) . (8)
Äîâåäåííÿ ëåìè 1. Ðiâíiñòü (8) âèïëèâ๠iç íàñòóïíîãî ëàíöþæêà
ïåðåòâîðåíü:
1
M −N
M−1∑
k=N
k∑
j=1
λ(j) cos (jt+ γ) =
=
1
M −N
N∑
j=1
λ(j) cos (jt+ γ) + ...+
M−1∑
j=1
λ(j) cos (jt+ γ)
=
=
N∑
k=1
λ(k) cos (kt+ γ) +
+
1
M −N
[(M −N − 1)λ(N + 1) cos ((N + 1)t+ γ) + ...+
+λ(M − 1) cos ((M − 1)t+ γ)] =
N∑
k=1
λ(k) cos (kt+ γ) +
+
1
M −N
M−1∑
k=N+1
(M − k)λ(k) cos (kt+ γ) .
Ëåìó äîâåäåíî.
Ëåìà 2. Íåõàé ψ ∈ M+
∞, η(n)− n ≥ a > 0, µ(n) ≥ b > 0. Òîäi
1) ÿêùî a > 1, òî(
1− 1
a
)
(η(n)− n) < [η(n)]− n ≤ η(n)− n; (9)
2) ÿêùî a > 2, òî(
1
2
− 1
a
)
(η(n)−n) < [η(η(n))]−[η(n)] <
(
1+
1
a
+
1
b
)
(η(n)−n) , (10)
äå [α] � öiëà ÷àñòèíà äiéñíîãî ÷èñëà α.
262 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
Äîâåäåííÿ ëåìè 2. Äðóãà íåðiâíiñòü â (9) ¹ î÷åâèäíîþ. Ïîçíà-
÷èâøè {α} = α− [α], ïðè η(n)− n ≥ a > 1 îäåðæó¹ìî
[η(n)]− n = η(n)− n− {η(n)} = (η(n)− n)
(
1− {η(n)}
η(n)− n
)
>
>
(
1− 1
a
)
(η(n)− n) .
Ùîá ïåðåêîíàòèñü â ñïðàâåäëèâîñòi íåðiâíîñòåé (10), ñïî÷àòêó
ïîêàæåìî, ùî ïðè η(n)− n ≥ a > 0 i µ(n) ≥ b > 0 ì๠ìiñöå ñïiââiä-
íîøåííÿ
1
2
(η(n)− n) ≤ η(η(n))− η(n) <
(
1 +
1
b
)
(η(n)− n) . (11)
Äiéñíî, áåðó÷è äî óâàãè îçíà÷åííÿ ôóíêöi¨ µ(t), äëÿ äîâiëüíî¨
ψ ∈ M ñïðàâåäëèâà ðiâíiñòü
η(t) = t
(
1 +
η(t)− t
t
)
= t
(
1 +
1
µ(t)
)
. (12)
Îñêiëüêè ψ ∈ M+
∞, òî ôóíêöiÿ 1
µ(t) ìîíîòîííî ïðÿìó¹ äî íóëÿ
ïðè t→∞. Íåõàé µ(t) ≥ b > 0. Òîäi â ñèëó (12), ìà¹ìî
η′(t) = 1 +
1
µ(t)
+ t
(
1
µ(t)
)′
≤ 1 +
1
µ(t)
≤ 1 +
1
b
. (13)
Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψ ∈ M (äèâ., íàïðè-
êëàä, [1, ñ. 162 � 163]
η′(t) =
ψ′(t)
2ψ′(η(t))
≥ 1
2
, t ≥ 1, η′(t) := η′(t+ 0). (14)
Ç (13) i (14), à òàêîæ ç ðiâíîñòi
η(η(t))− η(t) =
η(t)∫
t
η′(u)du
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 263
âèïëèâ๠(11).
Âèêîðèñòîâóþ÷è (11) ïðè a > 0, b > 0, ìîæåìî çàïèñàòè:
[η(η(n))]− [η(n)] ≤ η(η(n))−η(n)+{η(n)} <
(
1 +
1
b
)
(η(n)− n)+1 =
= (η(n)− n)
(
1 +
1
b
+
1
η(n)− n
)
≤
(
1 +
1
a
+
1
b
)
(η(n)− n) ,
à ïðè a > 2, b > 0
[η(η(n))]− [η(n)] ≥ η(η(n))− η(n)− {η(η(n))} > 1
2
(η(n)− n)− 1 =
= (η(n)− n)
(
1
2
− 1
η(n)− n
)
≥
(
1
2
− 1
a
)
(η(n)− n) .
Ëåìó äîâåäåíî.
Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1. Ñïî÷àòêó îöiíèìî çâåðõó âåëè÷èíó
En
(
Cψβ,p
)
C
. Çãiäíî ç iíòåãðàëüíèì çîáðàæåííÿì (1), äëÿ äîâiëüíî¨
ôóíêöi¨ f ∈ Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈ M+
∞, ìàéæå â êîæíié òî÷öi x ∈ R
ñïðàâåäëèâà ðiâíiñòü
f(x)− Sn−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
Ψβ,n(x− t)ϕ(t)dt, (15)
äå
‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1, (16)
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (17)
Ïðè öüîìó, ÿêùî f ∈ Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, òî ðiâíiñòü (15) ñïðàâåä-
ëèâà â êîæíié òî÷öi.
Äàëi íàì áóäå ïîòðiáíå òàêå òâåðäæåííÿ (äèâ., íàïðèêëàä, [1,
ñ. 137 � 138]).
264 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
Òâåðäæåííÿ 1. ßêùî h ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, g ∈ Lp′ , 1
p + 1
p′ = 1,
òî çãîðòêà
f(x) =
1
π
π∫
π
h(x− t)g(t)dt
íåïåðåðâíà íà âñié îñi, ïðè÷îìó
‖f‖C ≤
1
π
‖h‖p ‖g‖p′ . (18)
 ñèëó òâåðäæåííÿ 1, òà ôîðìóë (15) i (16)
En
(
Cψβ,p
)
C
≤ 1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
‖ϕ(·)‖p ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
, (19)
äå p′ = p
p−1 . Ïðîäîâæèìî îöiíêó ïðàâî¨ ÷àñòèíè (19).
Çàñòîñóâàâøè äî ôóíêöi¨ Ψβ,n(t) ïåðåòâîðåííÿ Àáåëÿ, ïðè äî-
âiëüíîìó n ∈ N îäåðæèìî
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
(ψ(k)− ψ(k + 1))Dk,β(t)− ψ(n)Dn−1,β(t), (20)
äå
Dk,β(t) =
1
2
cos
βπ
2
+
k∑
j=1
cos
(
jt− βπ
2
)
i âðàõóâàâøè âiäîìi ôîðìóëè (äèâ., íàïðèêëàä, [2, ñ. 40, 42])
Dk,0(t) =
1
2
+
k∑
j=1
cos kt =
sin
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
, 0 < |t| ≤ π, (21)
òà
Dk,1(t) =
k∑
j=1
sin kt =
cos t2 − cos
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
, 0 < |t| ≤ π, (22)
äå Dk,0 � ÿäðî Äiðiõëå ïîðÿäêó k, à Dk,1 � ñïðÿæåíå ÿäðî Äiðiõëå
ïîðÿäêó k, ìîæåìî çàïèñàòè
Dk,β(t) = cos
βπ
2
Dk,0(t) + sin
βπ
2
Dk,1(t) =
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 265
= cos
βπ
2
sin
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
+ sin
βπ
2
cos t2 − cos
(
k + 1
2
)
t
2 sin t
2
=
=
sin
((
k + 1
2
)
t− βπ
2
)
+ sin βπ
2 cos t2
2 sin t
2
, 0 < |t| ≤ π. (23)
Îñêiëüêè
sin
t
2
≥ t
π
, 0 ≤ t ≤ π, (24)
òî ç (23) îäåðæèìî
|Dk,β(t)| ≤
π
|t|
, 0 < |t| ≤ π. (25)
Ç ôîðìóëè (20), ç âðàõóâàííÿì (25), âèïëèâà¹, ùî ïðè 0 < |t| ≤ π
|Ψβ,n(t)| ≤ 2πψ(n)
1
|t|
. (26)
Ç iíøîãî áîêó, çãiäíî ç (17), äëÿ äîâiëüíèõ t ∈ R
|Ψβ,n(t)| ≤
∞∑
k=n
ψ(k) ≤ ψ(n) +
∞∫
n
ψ(u)du. (27)
Äëÿ îöiíêè iíòåãðàëà â ïðàâié ÷àñòèíi ôîðìóëè (27) ñêîðèñòà¹-
ìîñü íàñòóïíèì òâåðäæåííÿì ðîáîòè [23, ñ. 500].
Òâåðäæåííÿ 2. ßêùî ôóíêöiÿ ψ ∈ M+
∞, òî äëÿ äîâiëüíîãî
m ∈ N, òàêîãî, ùî µ(ψ,m) > 2 âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
∞∫
m
ψ(u)du ≤ 2
1− 2
µ(m)
ψ(m)(η(m)−m). (28)
ßêùî µ(ψ, n) ≥ b > 2, òî ç íåðiâíîñòi (28), ìà¹ìî
∞∫
n
ψ(u)du ≤ 2b
b− 2
ψ(n)(η(n)− n). (29)
266 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
Îòæå, iç (27), âðàõîâóþ÷è (29), äëÿ n ∈ N òàêèõ, ùî η(n)−n ≥ a > 0,
îòðèìó¹ìî
|Ψβ,n(t)| ≤
(
2b
b− 2
+
1
a
)
ψ(n)(η(n)− n), a > 0, b > 2, (30)
äëÿ äîâiëüíèõ t ∈ R.
Ïîêëàâøè Ca,b = 1
π max{ 2b
b−2 + 1
a , 2π} i âèêîðèñòàâøè íåðiâíîñòi
(26), (30), îòðèìó¹ìî ïðè 1 < p <∞
1
π
‖Ψβ,n(t)‖p′ ≤
≤ Ca,bψ(n)
∫
|t|≤ 1
η(n)−n
(η(n)− n)p
′
dt+
∫
1
η(n)−n
≤|t|≤π
dt
|t|p′
1
p′
≤
≤ Ca,bψ(n) (η(n)− n)
1
p 2
1
p′
(
1+
1
p′ − 1
(
1− π1−p′
(η(n)− n)p′−1
)) 1
p′
<
< Ca,b2
1
p′
(
1 +
1
p′ − 1
) 1
p′
ψ(n) (η(n)− n)
1
p =
= Ca,b2
1
p′ p
1
p′ ψ(n) (η(n)− n)
1
p , a > 0, b > 2, (31)
à ïðè p = 1 (òîäi p′ = ∞)
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
≤ 1
π
(
2b
b− 2
+
1
a
)
ψ(n)(η(n)− n) ≤
≤ Ca,bψ(n)(η(n)− n), a > 0, b > 2. (32)
Ñïiâñòàâèâøè (31) i (32) ç (19), ïðèõîäèìî äî íåðiâíîñòi
En
(
Cψβ,p
)
C
≤ Ca,b(2p)1−
1
pψ(n)(η(n)− n)
1
p
ïðè 1 ≤ p <∞, a > 0, b > 2.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 267
Äëÿ çàâåðøåííÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè 1, âðàõîâóþ÷è î÷åâèäíó
íåðiâíiñòü
En
(
Cψβ,p
)
C
≤ En
(
Cψβ,p
)
C
,
äîñòàòíüî ïîêàçàòè, ùî çà óìîâ ψ ∈ M+
∞ i η(n) − n ≥
≥ a > 2, µ(n) ≥ b > 2, çíàéäåòüñÿ ôóíêöiÿ f∗ ∈ Cψβ,p, òàêà, ùî
En(f∗)C = inf
tn−1∈T2n−1
‖f∗(·)− tn−1(·)‖C ≥
≥ Caψ(n)(η(n)− n)
1
p , 1 ≤ p ≤ ∞, (33)
äå ñòàëà Ca âèçíà÷åíà ôîðìóëîþ (5).
Ðîçãëÿíåìî ïðè çàäàíîìó n ∈ N ôóíêöiþ
fp(t) = fp(ψ;n; t) =
(a− 1)(a− 2)
2 (1 + π2) a(3a− 4)
1
(η(n)− n)1−
1
p
×
×
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)
, a > 2, (34)
äå ôóíêöi¨ WN,M (λ; γ; t) îçíà÷åíi ôîðìóëîþ (7).
Ïîêàæåìî, ùî ôóíêöiÿ fp(·) íàëåæèòü êëàñó Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Äëÿ öüîãî äîñèòü ïåðåêîíàòèñü ó âèêîíàííi íåðiâíîñòi∥∥∥(fp(·))ψβ∥∥∥p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞. (35)
Ç öi¹þ ìåòîþ ñïî÷àòêó âèêîíà¹ìî ïåâíi ïåðåòâîðåííÿ ïðàâî¨ ÷àñòèíè
ðiâíîñòi (34). Äâi÷i âèêîðèñòàâøè ðiâíiñòü (8), ìîæåìî çàïèñàòè
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t) =
[η(n)]∑
k=1
ψ(k) cos kt+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k)ψ(k) cos kt−
−
n∑
k=1
ψ(k) cos kt− 1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n+1
([η(n)]− k)ψ(k) cos kt =
268 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
=
[η(n)]∑
k=n+1
ψ(k) cos kt− 1
[η(n)]−n
[η(n)]−1∑
k=n+1
([η(n)]− k)ψ(k) cos kt+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k)ψ(k) cos kt =
=
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n+1
(k − n)ψ(k) cos kt+ ψ([η(n)]) cos([η(n)]t)+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k)ψ(k) cos kt. (36)
Çàóâàæèìî, ùî îñêiëüêè WN,M (λ; γ; t) ¹ òðèãîíîìåòðè÷íèì ïîëi-
íîìîì ïîðÿäêó M , òî çãiäíî ç îçíà÷åííÿì (ψ, β)�ïîõiäíî¨, ìîæíà
ââàæàòè, ùî (WN,M (λ; γ; t))ψβ òàêîæ ¹ òðèãîíîìåòðè÷íèì ïîëiíîìîì
ïîðÿäêó M . Âðàõîâóþ÷è öå çàóâàæåííÿ, iç ñïiââiäíîøåííÿ (36) äëÿ
äîâiëüíèõ ψ ∈ M, β ∈ R, çíàõîäèìî(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
=
=
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n+1
(k − n) cos
(
kt+
βπ
2
)
+ cos
(
[η(n)]t+
βπ
2
)
+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k) cos
(
kt+
βπ
2
)
. (37)
Ëåìà 3. Íåõàé ψ ∈ M+
∞, η(n) − n ≥ a, µ(n) ≥ b, β � äîâiëüíå
äiéñíå ÷èñëî. Òîäi
1) ÿêùî a > 0, b > 0, òî∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣ ≤
≤
(
1 +
1
2a
+
1
2b
)
(η(n)− n), t ∈ R; (38)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 269
2) ÿêùî a > 2, b > 0, òî∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣ ≤
≤
(
a
a− 1
+
2a
a− 2
)
π2
t2
1
η(n)− n
, 0 < |t| ≤ π. (39)
Äîâåäåííÿ ëåìè 3. Ñïî÷àòêó äîâåäåìî (38). Ç ðiâíîñòi (37),
âèïëèâà¹, ùî
∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣≤ 1
[η(n)]−n
[η(n)]−1∑
k=n+1
(k − n)+
+1 +
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k) =
[η(n)]− n− 1
2
+ 1+
+
[η(η(n))]− [η(n)]− 1
2
=
1
2
(([η(η(n))]− [η(n)]) + ([η(n)]− n)) . (40)
Çàñòîñóâàâøè äî îöiíêè ïðàâî¨ ÷àñòèíè (40) ëåìó 2, ïðèõîäèìî
äî íåðiâíîñòi (38).
Ïåðåéäåìî äî äîâåäåííÿ íåðiâíîñòi (39).  ñèëó îçíà÷åííÿ (ψ, β)�
ïîõiäíî¨ äëÿ äîâiëüíî¨ ψ ∈ M îäåðæó¹ìî(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
=
=
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]
k∑
j=1
ψ(j) cos jt
ψ
β
−
−
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
k∑
j=1
ψ(j) cos jt
ψ
β
=
=
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]
k∑
j=1
cos
(
jt+
βπ
2
)
−
270 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
− 1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
k∑
j=1
cos
(
jt+
βπ
2
)
. (41)
Iç (41), âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíiñòü (23) òà ôîðìóëó
N−1∑
k=0
sin (x+ ky) = sin
(
x+
N − 1
2
y
)
sin
Ny
2
cosec
y
2
,
(äèâ., íàïðèêëàä, [24, ñ. 43]), îòðèìó¹ìî(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
=
=
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]
Dk,−β(t)−
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
Dk,−β(t) =
=
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]
sin
((
k + 1
2
)
t+ βπ
2
)
− sin βπ
2 cos t2
2 sin t
2
−
− 1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
sin
((
k + 1
2
)
t+ βπ
2
)
− sin βπ
2 cos t2
2 sin t
2
=
=
1
2 sin t
2
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]
sin
((
k +
1
2
)
t+
βπ
2
)
−
− 1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
sin
((
k +
1
2
)
t+
βπ
2
) =
=
1
2
(
sin t
2
)2( 1
[η(η(n))]−[η(n)]
(
sin
(
[η(η(n))]
2
t+
βπ
2
)
sin
[η(η(n))]
2
t−
− sin
(
[η(n)]
2
t+
βπ
2
)
sin
[η(n)]
2
t
)
−
− 1
[η(n)]− n
(
sin
(
[η(n)]
2
t+
βπ
2
)
sin
[η(n)]
2
t−
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 271
− sin
(
n
2
t+
βπ
2
)
sin
n
2
t
))
. (42)
Iç (42), áåðó÷è äî óâàãè íåðiâíiñòü (24), çíàõîäèìî∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣ ≤
≤ π2
t2
(
1
[η(η(n))]− [η(n)]
+
1
[η(n)]− n
)
, 0 < |t| ≤ π. (43)
Çâiäñè íåðiâíiñòü (39) ¹ íàñëiäêîì (43) òà îöiíîê (9) i (10) ëåìè 2.
Ëåìó äîâåäåíî.
Ïîâåðòàþ÷èñü äî äîâåäåííÿ íåðiâíîñòi (35), íàãàäà¹ìî, ùî äëÿ
ôóíêöi¨ (ψ, β)�ïîõiäíî¨ ôóíêöi¨ fp(t), âèçíà÷åíî¨ çà ôîðìóëîþ (34),
ì๠ìiñöå ðiâíiñòü
(fp(t))
ψ
β =
(a− 1)(a− 2)
2 (1 + π2) a(3a− 4)
1
(η(n)− n)1−
1
p
×
×
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
. (44)
Îöiíèìî
∥∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∥∥∥
p
,
1 ≤ p ≤ ∞.
Ïðè 1 ≤ p <∞ ç (38) âèïëèâ๠îöiíêà∫
|t|≤ 1
η(n)−n
∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣p dt ≤
≤
∫
|t|≤ 1
η(n)−n
(
1 +
1
2a
+
1
2b
)p
(η(n)− n)pdt =
= 2
(
1 +
1
2a
+
1
2b
)p
(η(n)− n)p−1, (45)
à ç íåðiâíîñòi (39) � îöiíêà∫
1
η(n)−n
≤|t|≤π
∣∣∣(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∣∣∣p dt ≤
272 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
≤
(
a
a− 1
+
2a
a− 2
)p
π2p 1
(η(n)− n)p
∫
1
η(n)−n
≤|t|≤π
1
t2p
dt =
=
(
a
a−1
+
2a
a−2
)p
π2p(η(n)− n)p−1 2
2p− 1
(
1− π1−2p
(η(n)− n)2p−1
)
<
< 2π2p
(
a
a− 1
+
2a
a− 2
)p
(η(n)− n)p−1. (46)
Îá'¹äíóþ÷è (45) � (46), òà âðàõîâóþ÷è î÷åâèäíó íåðiâíiñòü
a
a− 1
+
2a
a− 2
> 1 +
1
2a
+
1
2b
, a > 2, b > 2, (47)
ìà¹ìî ïðè 1 ≤ p <∞∥∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∥∥∥
p
≤
≤
(
a
a− 1
+
2a
a− 2
)
2
1
p
(
1 + π2p
) 1
p (η(n)− n)1−
1
p ≤
≤ 2
(
a
a− 1
+
2a
a− 2
)(
1 + π2
)
(η(n)− n)1−
1
p =
=
2
(
1 + π2
)
a(3a− 4)
(a− 1)(a− 2)
(η(n)− n)1−
1
p . (48)
Ïðè p = ∞ ç (38), âðàõîâóþ÷è (47), ìà¹ìî∥∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
β
∥∥∥
∞
≤
≤
(
1 +
1
2a
+
1
2b
)
(η(n)− n) <
a(3a− 4)
(a− 1)(a− 2)
(η(n)− n). (49)
Ç (44), áåðó÷è äî óâàãè (48) òà (49), ïðèõîäèìî äî íåðiâíîñòi (35).
Îòæå, fp ∈ Cψβ,p, ïðè âñiõ 1 ≤ p ≤ ∞ i β ∈ R.
Òåïåð ïîêëàäåìî f∗(·) = fp(·) i äîâåäåìî (33). Îñêiëüêè äëÿ áóäü�
ÿêîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî ïîëiíîìà tn−1 ∈ T2n−1
π∫
−π
(
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
tn−1(t)dt = 0, (50)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 273
òî
π∫
−π
(
fp(t)− tn−1(t)
) (
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt =
=
π∫
−π
fp(t)
(
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt =
=
(a− 1)(a− 2)
2 (1 + π2) a(3a− 4)
1
(η(n)− n)1−
1
p
×
×
π∫
−π
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)
×
×
(
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt. (51)
Ïðîâåäåìî ïåðåòâîðåííÿ iíòåãðàëà â ïðàâié ÷àñòèíi (51). Çàñòî-
ñîâóþ÷è ðiâíiñòü (8) äî ôóíêöié WN,M (λ; γ; t) ïðè λ(k) = 1, γ = 0,
N = n, M = [η(n)], à òàêîæ ïðè λ(k) = 1, γ = 0, N = [η(n)],
M = [η(η(n))], i äiþ÷è òàê ñàìî, ÿê i ïðè äîâåäåííi ñïiââiäíîøåííÿ
(36), ëåãêî ïîêàçàòè, ùî
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t) =
=
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n+1
(k − n) cos kt+ cos([η(n)]t)+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k) cos kt. (52)
Âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíîñòi (36) i (52), îòðèìó¹ìî
π∫
−π
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)
×
274 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
×
(
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt =
=
π
([η(n)]− n)2
[η(n)]−1∑
k=n+1
ψ(k)(k − n)2+ πψ([η(n)])+
+
π
([η(η(n))]− [η(n)])2
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
ψ(k) ([η(η(n))]− k)2 =: Σ1. (53)
Îñêiëüêè ψ(t) ñïàäà¹, òî, ç óðàõóâàííÿ îçíà÷åííÿ õàðàêòåðèñòèêè
η(t)
Σ1 > πψ(η(η(n)))
1
([η(n)]− n)2
[η(n)]−1∑
k=n+1
(k − n)2 + 1+
+
1
([η(η(n))]− [η(n)])2
[η(η(n))]−1∑
k=[η(n)]+1
([η(η(n))]− k)2
=
=
π
4
ψ(n)
1
([η(n)]− n)2
[η(n)]−n−1∑
k=1
k2 + 1+
+
1
([η(η(n))]−[η(n)])2
[η(η(n))]−[η(n)]−1∑
k=1
k2
=:
π
4
ψ(n)Σ2. (54)
Âèêîðèñòîâóþ÷è ôîðìóëó (äèâ., íàïðèêëàä, [24, ñ. 15])
M∑
k=1
k2 =
M(M + 1)(2M + 1)
6
, M ∈ N,
ïðè M = [η(n)]− n− 1 òà M = [η(η(n))]− [η(n)]− 1, îäåðæó¹ìî
Σ2 =
([η(n)]− n− 1)([η(n)]− n)(2[η(n)]− 2n− 1)
6([η(n)]− n)2
+ 1+
+
([η(η(n))]−[η(n)]− 1)([η(η(n))]−[η(n)])(2[η(η(n))]−2[η(n)]−1)
6([η(η(n))]− [η(n)])2
=
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 275
=
([η(n)]− n− 1)(2[η(n)]− 2n− 1)
6([η(n)]− n)
+ 1+
+
([η(η(n))]− [η(n)]− 1)(2[η(η(n))]− 2[η(n)]− 1)
6([η(η(n))]− [η(n)])
=
=
1
6
(
2([η(n)]− n) + 2([η(η(n))]− [η(n)]) +
1
[η(n)]− n
+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
)
. (55)
Àëå, çãiäíî ç íåðiâíîñòÿìè (9) i (10), ïðè a > 2, ìà¹ìî
1
6
(
2([η(n)]− n) + 2([η(η(n))]− [η(n)]) +
1
[η(n)]− n
+
+
1
[η(η(n))]− [η(n)]
)
>
3a− 4
6a
(η(n)− n),
i òîìó
Σ2 >
3a− 4
6a
(η(n)− n). (56)
Iç (51), îá'¹äíóþ÷è ôîðìóëè (52) � (56), îòðèìó¹ìî
π∫
−π
(
fp(t)− tn−1(t)
) (
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt ≥
≥ π(a− 1)(a− 2)
48 (1 + π2) a2
ψ(n)(η(n)− n)
1
p . (57)
Ç iíøîãî áîêó, çàóâàæèâøè, ùî âèõîäÿ÷è ç (7), i çãiäíî ç îçíà-
÷åííÿì (ψ, β)�ïîõiäíî¨ ïðè β = 0
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t) =
=
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
0
, (58)
276 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
òà âèêîðèñòîâóþ÷è (48) i íåðiâíiñòü Ãåëüäåðà (18), îòðèìó¹ìî
π∫
−π
(
fp(t)− tn−1(t)
) (
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt ≤
≤ ‖fp(t)− tn−1(t)‖∞
∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)∥∥
1
≤
≤
2
(
1 + π2
)
a(3a− 4)
(a− 1)(a− 2)
‖fp(t)− tn−1(t)‖∞. (59)
Ç (57) i (59) âèïëèâà¹, ùî äëÿ äîâiëüíîãî tn−1 ∈ T2n−1
‖fp(t)− tn−1(t)‖∞ ≥ π(a− 1)2(a− 2)2
96 (1 + π2)2 a3(3a− 4)
ψ(n)(η(n)− n)
1
p =
= Caψ(n)(η(n)− n)
1
p .
Òåîðåìó 1 äîâåäåíî.
ßêùî ôóíêöi¨ ψ ç ìíîæèíè M+
∞ çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
lim
t→∞
(η(ψ, t)− t) = ∞, (60)
òî óìîâè òåîðåìè 1 âèêîíóþòüñÿ äëÿ âñiõ íîìåðiâ n, ïî÷èíàþ÷è ç
äåÿêîãî íîìåðà n0.
Âàæëèâèì ïðèêëàäîì ôóíêöié ψ(t) ç ìíîæèíè M+
∞, ÿêi çàäî-
âîëüíÿþòü óìîâó (60) ¹ ôóíêöi¨
ψr,α(t) = exp(−αtr), α > 0, r ∈ (0, 1). (61)
Äëÿ íèõ η(ψr,α;n) =
(
α−1 ln 2 + nr
) 1
r . Òîäi, âèêîðèñòàâøè óçà-
ãàëüíåíó íåðiâíiñòü Áåðíóëëi
(1 + x)ρ ≥ 1 + ρx, x > −1, ρ ∈ (−∞, 0] ∪ [1,∞),
îòðèìó¹ìî
η(ψr,α;n)− n = n
((
1 +
ln 2
αnr
) 1
r
− 1
)
≥ ln 2
αr
n1−r, n ∈ N. (62)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 277
Ç ôîðìóëè (62) âèïëèâà¹, ùî äëÿ âñiõ íîìåðiâ n ≥ 1 +
(
2rα
ln 2
) 1
1−r
âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
η(ψr,α;n)− n ≥ a > 2
ïðè
a = a(α, r) =
ln 2
αr
(
1 +
(
2rα
ln 2
) 1
1−r
)1−r
. (63)
 ñèëó (63)
µ(ψr,α;n) =
n
η(ψr,α;n)− n
=
1(
ln 2
αnr + 1
) 1
r − 1
i, ÿê íåâàæêî ïåðåêîíàòèñü, äëÿ âñiõ n ≥ 1 + 2
(
ln 2
α(3r−2r)
) 1
r
âèêî-
íó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
µ(ψr,α;n) ≥ b > 2,
äå
b = b(r, α) =
ln 2
α
(
1 + 2
(
ln 2
α (3r − 2r)
) 1
r
)−r
+ 1
1
r
− 1
−1
.
(64)
Ç íàâåäåíèõ âèùå ìiðêóâàíü âèïëèâà¹, ùî äî êëàñiâ Cψβ,p, ïî-
ðîäæåíèõ ïîñëiäîâíîñòÿìè ψr,α(t) âèãëÿäó (61) ìîæíà çàñòîñóâàòè
òåîðåìó 1, â óìîâi ÿêî¨ ïàðàìåòðè a i b âèçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè
(63) i (64) âiäïîâiäíî. Â ðåçóëüòàòi îäåðæèìî íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Íàñëiäîê 1. Íåõàé ψr,α(t) = exp (−αtr) , r ∈ (0, 1), α > 0,
1 ≤ p <∞, β ∈ R. Òîäi äëÿ âñiõ n ∈ N, òàêèõ, ùî
n ≥ 1 + max
{(
2rα
ln 2
) 1
1−r
, 2
(
ln 2
α (3r − 2r)
) 1
r
}
,
ñïðàâåäëèâi îöiíêè
Ca exp (−αnr)n
1
p
((
ln 2
αnr
+ 1
) 1
r
− 1
) 1
p
≤
278 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
≤ En
(
Cα,rβ,p
)
C
≤ En
(
Cα,rβ,p )C ≤
≤ Ca,b (2p)1−
1
p exp (−αnr)n
1
p
((
ln 2
αnr
+ 1
) 1
r
− 1
) 1
p
, (65)
äå âåëè÷èíè Ca i Ca,b îçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè (5) i (6) ïðè
a = a(α, r), b = b(α, r), ùî çàäàíi çà äîïîìîãîþ ðiâíîñòåé (63) i (64)
âiäïîâiäíî.
Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî îñêiëüêè
η(ψr,α;n)− n = n
((
ln 2
αnr
+ 1
) 1
r
− 1
)
� n1−r, r ∈ (0, 1], α > 0,
òî ç (65) âèïëèâàþòü ïîðÿäêîâi ðiâíîñòi
En
(
Cα,rβ,p
)
C
� En
(
Cα,rβ,p
)
C
� exp (−αnr)n
1−r
p , 1 ≤ p <∞, (66)
äå äëÿ äîäàòíèõ ïîñëiäîâíîñòåé A(n) i B(n) çàïèñ A(n) � B(n)
îçíà÷à¹, ùî iñíóþòü äîäàòíi ñòàëi K1 i K2 òàêi, ùî
K1B(n) ≤ A(n) ≤ K2B(n), n ∈ N.
Çàçíà÷èìî, ùî äëÿ âåëè÷èíè En
(
Cα,rβ,p
)
C
ïîðÿäêîâi îöiíêè (66)
çíàéäåíi â [22].
 íàñòóïíié òåîðåìi âñòàíîâèìî ïîðÿäêîâi îöiíêè âåëè÷èí
En
(
Lψβ,p
)
s
i En
(
Lψβ,p)s ó âèïàäêó p = 1, 1 < s ≤ ∞.
Òåîðåìà 2. Íåõàé ψ ∈ M+
∞, lim
t→∞
(η(ψ, t) − t) = ∞, 1 < s ≤ ∞,
1
s + 1
s′ = 1, β ∈ R. Òîäi äëÿ äîâiëüíèõ n ∈ N, òàêèõ, ùî
η(n)− n ≥ a > 2, µ(n) ≥ b > 2 ñïðàâåäëèâi îöiíêè
Caψ(n)(η(n)−n)
1
s′ ≤ En
(
Lψβ,1
)
s
≤ En
(
Lψβ,1)s ≤
≤ Ca,b (2s′)
1
s ψ(n) (η(n)− n)
1
s′ , (67)
äå âåëè÷èíè Ca i Ca,b îçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè (5) i (6) âiäïîâiäíî.
Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è iíòåãðàëüíå çîáðàæåííÿ (15) òà
íåðiâíiñòü Þíãà (äèâ., íàïðèêëàä, [1, ñ. 293]), ïðè 1 ≤ s ≤ ∞ ìî-
æåìî çàïèñàòè
En
(
Lψβ,1
)
s
≤ 1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
s
‖ϕ(·)‖1 ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
s
. (68)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 279
Àëå, iç ñïiââiäíîøåíü (31) i (32) çà óìîâ òåîðåìè 2 âèïëèâ๠íåðiâ-
íiñòü
1
π
‖Ψβ,n(t)‖s ≤ Ca,b(2s′)
1
sψ(n) (η(n)− n)
1
s, 1 < s ≤ ∞,
1
s
+
1
s′
= 1. (69)
Îòæå, îá'¹äíóþ÷è (68) i (69), îäåðæó¹ìî îöiíêó çâåðõó äëÿ âåëè÷èíè
En
(
Lψβ,1)s â ñïiââiäíîøåííi (67).
Ùîá îäåðæàòè â òåîðåìi 2 îöiíêó çíèçó äëÿ âåëè÷èíè En
(
Lψβ,1
)
s
,
1 < s ≤ ∞, ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ fp(t), âèçíà÷åíó ôîðìóëîþ (34) ïðè
p = 1, òîáòî ôóíêöiþ
f1(t) = f1(n, ψ, t) =
(a− 1)(a− 2)
2 (1 + π2) a(3a− 4)
×
×
(
W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)
.
Çàóâàæèâøè, ùî çãiäíî ç (48) f1 ∈ Lψβ,1, ïîêàæåìî, ùî
En(f1)s ≥ Caψ(n)(η(n)− n)
1
s′ , 1 ≤ s ≤ ∞. (70)
Ç íåðiâíîñòåé (18), (48), (49) òà ðiâíîñòi (58), äëÿ áóäü-ÿêîãî
tn−1 ∈ T2n−1, ìà¹ìî
π∫
−π
(
f1(t)− tn−1(t)
) (
W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)
dt ≤
≤ ‖f1(t)− tn−1(t)‖s
∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](1; 0; t)−Wn,[η(n)](1; 0; t)
)∥∥
s′
=
= ‖f1(t)− tn−1(t)‖s
∥∥∥(W[η(n)],[η(η(n))](ψ; 0; t)−Wn,[η(n)](ψ; 0; t)
)ψ
0
∥∥∥
s′
≤
≤
2
(
1 + π2
)
a(3a− 4)
(a− 1)(a− 2)
(η(n)− n)1−
1
s′ ‖f1(t)− tn−1(t)‖s. (71)
Çi ñïiââiäíîøåíü (57) i (71) âèïëèâà¹, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî
tn−1 ∈ T2n−1
‖f1(t)− tn−1(t)‖s ≥
π
96 (1 + π2)2
(a− 1)2(a− 2)2
a3(3a− 4)
ψ(n)(η(n)− n)
1
s′ =
280 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
= Ca,bψ(n)(η(n)− n)
1
s′ ,
çâiäêè ñëiäó¹ (70). Òåîðåìó 2 äîâåäåíî.
Íàñëiäîê 2. Íåõàé ψr,α(t) = exp (−αtr) , r ∈ (0, 1), α > 0,
1 < s ≤ ∞, 1
s + 1
s′ = 1, β ∈ R. Òîäi äëÿ âñiõ n ∈ N, òàêèõ, ùî
n ≥ 1 + max
{(
2rα
ln 2
) 1
1−r
, 2
(
ln 2
α (3r − 2r)
) 1
r
}
,
ñïðàâåäëèâi îöiíêè
Ca exp (−αnr)n 1
s′
((
ln 2
αnr
+ 1
) 1
r
− 1
) 1
s′
≤
≤ En
(
Lα,rβ,1
)
s
≤ En
(
Lα,rβ,1)s ≤
≤ Ca,b (2s′)
1
s exp (−αnr)n 1
s′
((
ln 2
αnr
+ 1
) 1
r
− 1
) 1
s′
,
äå âåëè÷èíè Ca i Ca,b îçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè (5) i (6) ïðè
a = a(α, r), b = b(α, r) iç (63) i (64) âiäïîâiäíî.
Äëÿ En
(
Lα,rβ,1
)
s
, En
(
Lα,rβ,1
)
s
, r ∈ (0, 1], α > 0, 1 < s ≤ ∞, àíàëîãi÷íî
äî (66) ìîæíà çàïèñàòè
En
(
Lα,rβ,1
)
s
� En
(
Lα,rβ,1
)
s
� exp (−αnr)n
1−r
s′ , n ∈ N.
1. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû, 2002. � 40. � ×. I. � 427 ñ.
2. Ñòåïàíåö À.È. Êëàññèôèêàöèÿ è ïðèáëèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé.
� Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. � 268 c.
3. Ñòåïàíåö À.È., Ñåðäþê À.Ñ., Øèäëè÷ À.Ë. Êëàññèôèêàöèÿ áåñêîíå÷íî
äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé // Óêð. ìàò. æóðí. � 2008. � 60, �12. �
Ñ. 1686 � 1708.
4. Temlyakov V.N. Approximation of Periodic Function. � Nova Science Publi�
chers, Inc., 1993. � 419 p.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü . . . 281
5. Kolmogoro� A. Zur Gr�ossennordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen
di�erenzierbarer Funktionen // Ann. Math. � 1935. � 36, �2. � P. 521 �
526.
6. Ïèíêåâè÷ Â.Ò. Î ïîðÿäêå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèé, äèô-
ôåðåíöèðóåìûõ â ñìûñëå Âåéëÿ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàò. � 1940. � 4,
�6. � Ñ. 521 � 528.
7. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíî-
ìàìè â ñðåäíåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Cåð. ìàò. � 1946. � 10, �3. � Ñ.
207 � 256.
8. Favard J. Sur l'approximation des fonctions p�eriodiques par des polynomes
trigonom�etriques // C.R. Acad. Sci. � 1936. � 203. � P. 1122 � 1124.
9. Favard J. Sur les meilleurs proc�edes d'approximations de certains classes de
fontions par des polynomes trigonom�etriques // Bull. de Sci. Math. � 1937.
� 61. � P. 209 � 224, 243 � 256.
10. Äçÿäûê Â.Ê. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà êëàññå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, èìåþùèõ îãðàíè÷åííóþ s�þ ïðîèçâîäíóþ (0 < s < 1) // Èçâ. ÀÍ
ÑÑÑÐ, Ñåð. ìàò. � 1953. � 17. � Ñ. 135 � 162.
11. Äçÿäûê Â.Ê. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà êëàññàõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, îïðåäåëÿåìûõ èíòåãðàëàìè îò ëèíåéíîé êîìáèíàöèè àáñîëþòíî ìî-
íîòîííûõ ÿäåð // Ìàò. çàìåòêè. � 1974. � 16, �5. � Ñ. 691 � 701.
12. Ñòå÷êèí Ñ.Á. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íåêîòîðûõ êëàññîâ ïåðèîäè÷å-
ñêèõ ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Cåð.
ìàò. � 1956. � 20. � Ñ. 643 � 648.
13. Ñóíü Þí�øåí. Î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ äèôôåðåíöè-
ðóåìûõ ôóíêöèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ.
Cåð. ìàò. � 1959. � 23, �1. � Ñ. 67 � 92.
14. Áàáåíêî Â.Ô., Ïè÷óãîâ Ñ.À. Î íàèëó÷øåì ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè íåêî-
òîðûõ êëàññîâ äèôôåðåíöèðóåìûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé // Ìàò. çà-
ìåòêè. � 1980. � 27, �5. � Ñ. 683 � 689.
15. Ñòåïàíåö À.È., Êóøïåëü À.Ê. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðÿäîâ Ôóðüå è íàè-
ëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Lp // Óêð. ìàò. æóðí. � 1987. � 39,
�4. � Ñ. 483 � 492.
16. Ñåðäþê À.Ñ., Ñîêîëåíêî I.Â. Ðiâíîìiðíi íàáëèæåííÿ êëàñiâ (ψ, β)�
äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié ëiíiéíèìè ìåòîäàìè // Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåì.
ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2011. � 8, �1. � Ñ. 181 � 189.
17. Ñåðäþê À.Ñ., Ñîêîëåíêî I.Â. Íàáëèæåííÿ ëiíiéíèìè ìåòîäàìè êëàñiâ
(ψ, β)�äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié // Òåîðiÿ íàáëèæåííÿ ôóíêöié òà ñóìiæ-
íi ïèòàííÿ: Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåì. ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2013. � 10, �1. �
Ñ. 245 � 254.
18. Ñåðäþê À.Ñ., Ãðàáîâà Ó.Ç. Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ íàáëèæåíü i íà-
áëèæåíü ñóìàìè Ôóð'¹ êëàñiâ (ψ, β) � äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié // Arxiv
preprint, arXiv:1301.7620, 2013. � 14 c.
282 À.Ñ. Ñåðäþê, Ò.À. Ñòåïàíþê
19. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé. � Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðàèíû, 2002. � 40. � ×. II. � 468 ñ.
20. Ñåðäþê À.Ñ. Ïðî îäèí ëiíiéíèé ìåòîä íàáëèæåííÿ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
// Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåì. ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2004. � 1, �1. � Ñ. 294 � 336.
21. Ñåðäþê À.Ñ. Ïðî íàéêðàùå íàáëèæåííÿ íà êëàñàõ çãîðòîê ïåðiîäè÷íèõ
ôóíêöié // Òåîðiÿ íàáëèæåííÿ òà ¨¨ çàñòîñóâàííÿ: Ïð. Ií-òó ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2002. � 41. � Ñ. 168 � 189.
22. Ðîìàíþê Â.Ñ. Äîïîëíåíèÿ ê îöåíêàì ïðèáëèæåíèÿ ñóììàìè Ôóðüå êëàñ-
ñîâ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé // Åêñòðåìàëüíi çàäà÷i òåî-
ði¨ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ: Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. �
2003. � 46. � Ñ. 131 � 135.
23. Ñåðäþê À.Ñ. Íàáëèæåííÿ íåñêií÷åííî äèôåðåíöiéîâíèõ ïåðiîäè÷íèõ
ôóíêöié iíòåðïîëÿöiéíèìè òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè // Óêð. ìàò.
æóðí. �� 2004. �� 56, �4. �� C. 495 � 505.
24. Ãðàäøòåéí È.Ñ., Ðûæèê È.Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðî-
èçâåäåíèé. � Ì.: Ôèçìàòèç, 1962. � 1100 ñ.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-180 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:37Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/eb/30c8278c8aa2423941a557bc08ac43eb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1802018-01-29T14:44:27Z Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions Порядкові оцінки найкращих наближень і наближень сумами Фур'є класів нескінченно диференційовних функцій Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. We obtained order estimations for the best&nbsp;uniform approximation by trigonometric polynomials and approximation by Fourier sums of classes of $2\pi$-periodic continuous functions, whose $(\psi,\beta)$--derivatives $f_{\beta}^{\psi}$ belong to unit balls of spaces $L_{p}, \ 1\leq p&lt;\infty$ in case at consequences $\psi(k)$ decrease to nought faster than any power function. We also established the analogical estimations in $L_{s}$-metric, $1&lt; s\leq \infty$, for classes of the summable$(\psi,\beta)$-differentiable functions, such that $\parallel f_{\beta}^{\psi}\parallel_{1}\leq1$ Отримано порядкові оцінки для найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами та наближень сумами Фур'є класів $2\pi$--періодичних неперервних функцій, таких, що їх $(\psi,\beta)$-похідні $f_{\beta}^{\psi}$ належать одиничним кулям просторів $L_{p}, \ 1\leq p&lt;\infty$, у випадку коли послідовності $\psi(k)$ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію. Аналогічні оцінки одержано для наближень в $L_{s}$-метриці, $1&lt;s\leq \infty$, для класів сумовних $(\psi,\beta)$-диференційовних функцій, таких, що $\parallel f_{\beta}^{\psi}\parallel_{1}\leq1$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/180 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 255-282 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 255-282 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 255-282 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/180/147 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title | Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title_alt | Порядкові оцінки найкращих наближень і наближень сумами Фур'є класів нескінченно диференційовних функцій |
| title_full | Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title_fullStr | Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title_full_unstemmed | Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title_short | Order estimates for the best approximation and approximation by Fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| title_sort | order estimates for the best approximation and approximation by fourier sums of classes of infinitely differentiable functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/180 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas orderestimatesforthebestapproximationandapproximationbyfouriersumsofclassesofinfinitelydifferentiablefunctions AT stepanyukta orderestimatesforthebestapproximationandapproximationbyfouriersumsofclassesofinfinitelydifferentiablefunctions AT serdûkas orderestimatesforthebestapproximationandapproximationbyfouriersumsofclassesofinfinitelydifferentiablefunctions AT stepanûkta orderestimatesforthebestapproximationandapproximationbyfouriersumsofclassesofinfinitelydifferentiablefunctions AT serdyukas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifur039êklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT stepanyukta porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifur039êklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT serdûkas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifur039êklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT stepanûkta porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifur039êklasívneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj |