The shadow problem for the ellipsoid of revolution
It is proposed a new proof of the problem about shadow for the center of a sphere in the three-dimensional space which is generated by the minimal number of closed (open) non-overlapping balls with radiuses being less then radius of the sphere and with centers on it. It is considered generalization...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/181 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552699383250944 |
|---|---|
| author | Tkachuk, M. V. Osipchuk, T. M. Ткачук, М. В. Осипчук, Т. М. |
| author_facet | Tkachuk, M. V. Osipchuk, T. M. Ткачук, М. В. Осипчук, Т. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Tkachuk, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | It is proposed a new proof of the problem about shadow for the center of a sphere in the three-dimensional space which is generated by the minimal number of closed (open) non-overlapping balls with radiuses being less then radius of the sphere and with centers on it. It is considered generalization of the problem to spheroids also. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 243–250
УДК 513.83; 517.5
М.В. Ткачук 1, Т.М. Осипчук 2
(Институт математики НАН Украины, Киев)
1mvtkachuk@mail.ru, 2 otm82@mail.ru
Задача о тени для эллипсоида
вращения
It is proposed a new proof of the problem about shadow for the center of
a sphere in the three-dimensional space which is generated by the minimal
number of closed (open) non-overlapping balls with radiuses being less then
radius of the sphere and with centers on it. It is considered generalization
of the problem to spheroids also.
В роботi запропоновано нове доведення задачi про тiнь для центру сфе-
ри в тривимiрному просторi, яка створюється мiнiмальною кiлькiстю
замкнених (вiдкритих) куль, що попарно не перетинаються, з радiуса-
ми меншими за радiус сфери та з центрами на нiй. А також розглянуто
узагальнення цiєї задачi на елiпсоїди обертання.
В работе предложено новое доказательство задачи о тени для центра
сферы в трехмерном пространстве, создаваемую минимальным коли-
чеством попарно непересекающихся замкнутых (открытых) шаров с
радиусами меньше радиуса сферы и с центрами на ней. А также рас-
смотрено обобщение этой задачи на эллипсоиды вращения.
В 1982 г. Г. Худайбергановым была поставлена задача о тени [4]:
найти минимальное число попарно непересекающихся замкнутых
(открытых) шаров в пространстве Rn c центрами на сфере Sn−1,
радиуса меньшего радиуса сферы и таких, что любая прямая, прохо-
дящая через центр сферы, пересекала хотя бы один из этих шаров.
Кратко эту задачу (и аналогичные ей задачи) будем формулировать
таким образом: какое минимальное количество таких шаров создает
тень для центра сферы?
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
244 М.В. Ткачук, Т.М. Осипчук
Эта задача была решена Г. Худайбергановым для случая n = 2: бы-
ло показано, что для окружности на плоскости достаточно двух шаров.
Там же было сделано предположение о том, что и для случая n > 2
минимальное число таких шаров в точности равно n. Значимость этой
задачи и гипотезы ее решения приведены в работах Ю. Зелинского
[1, 2]. Она интересна также с точки зрения выпуклого анализа тем, что
является частным случаем задачи о принадлежности точки 1-оболочке
объединения некоторого набора шаров. В [3] Ю. Зелинский с учени-
ками доказал, что для n = 3 трех шаров не достаточно, а уже четыре
шара создают тень для центра сферы. Там же легко доказывается, что
для общего случая минимальным количеством является n+1 шар. Та-
ким образом, предположение Г. Худайберганова оказалось не верным.
В [3], также, предложено оригинальное аналитически-геометрическое
решение задачи для n = 2.
В данной работе мы приводим свое аналитически-геометрическое
решение задачи для трехмерного случая.
Итак, пусть три шара создают тень для центра сферы. Обозначим
их B1, B2, B3, а двуполостные конусы, касательные к шарам и с об-
щей вершиной в центре сферы — K1, K2, K3, соответственно. Очевид-
но, что шары создают тень для прямых, которые лежат внутри этих
конусов. Далее, не уменьшая общности, разместим центр единичной
сферы в начале координат O, центр первого шара B1(A, r1) с радиу-
сом r1 в точке A = (0, 0, 1), a =
−→
OA, и центр второго шара B2(B, r2) с
радиусом r2 в точке B = (0, b1, b2), b =
−−→
OB.
Поверхности конусов K1 и K2 будут пересекаться по двум прямым,
которые являются общими касательными к шарам B1, B2 и которые
обозначим x′, x′′ (рис. 1). Случаи, когда конусы не пересекаются ли-
бо касаются, не рассматриваем, поскольку они соответствуют такому
размещению шаров, при котором невозможно создать тень в центре
сферы. Действительно, если бы конусы не пересекались, нашлась бы
плоскость, проходящая через центр сферы и не пересекающая ни один
из этих конусов. Тогда третий шар не сможет перекрыть эту плос-
кость. Если бы конусы касались, то, в случае открытых шаров, снова
нашлась бы плоскость, проходящая через касательную прямую и не
пересекающая конусы (а в случае замкнутых шаров, это была бы та
же плоскость, но без касательной прямой, и которую очевидно третий
шар также не смог бы перекрыть).
Задача о тени для эллипсоида вращения 245
Рис. 1
Нас интересует угол φ между проекциями x̃′, x̃′′ прямых x′, x′′ на
плоскость xOy. Покажем, что ∠φ < π/2.
Рассмотрим точку X = (x1, x2, x3) пересечения прямой x′ со сфе-
рой. Тогда, |x| = 1, x =
−−→
OX, и ∠φ = 2arctg
x1
x2
. Выразим x1, x2 через
r1, r2.
Учитывая то, что |a| = |b| = 1 и |a−b| = r1+r2, получим скалярное
произведение
ab = b3 = 1− 1
2
(r1 + r2)
2. (1)
Пусть прямая x′ касается шаров B1, B2 соответственно в точках A′,
B′ (рис. 2). Тогда, учитывая то, что из прямоугольных треугольников
OA′A, OB′B имеем cos âx =
√
1− r21 и cos b̂x =
√
1− r22, получим
ax = x3 =
√
1− r21, (2)
bx = b2x2 + b3x3 =
√
1− r22. (3)
246 М.В. Ткачук, Т.М. Осипчук
Из (1) – (3) и b2 =
√
1− b23, получаем
x2 =
√
1− r22 − b3
√
1− r21√
1− b23
=
=
√
1− r22 −
(
1− 1
2
(r1 + r2)
2
)√
1− r21√
(r1 + r2)2 −
1
4
(r1 + r2)4
. (4)
А из (2) и равенства |x| = 1, получаем
x1 =
√
1− x2
2 − x2
3 =
√
r21 − x2
2. (5)
Рис. 2
Таким образом, выражение x1/x2 является функцией двух пере-
менных r1, r2, для которой нужно найти максимум в открытом квад-
рате (0, 1) × (0, 1). С помощью несложных, но объемных вычислений
получим, что x1/x2 < 1 и φ < π/2.
Очевидно, что те же рассуждения верны и для шара B3.
Теперь рассмотрим конус, содержащий шар B1 и равноудаленный
от касательного конуса K1 на некоторый достаточно малый угол. Весь
Задача о тени для эллипсоида вращения 247
этот конус должен содержаться внутри конусов K2, K3, но это невоз-
можно, поскольку проекция части, содержащейся в половине конуса
(K2 или K3), на плоскость xOy находится в секторе величины φ < π/2,
а значит весь построенный конус не может содержаться в тени шаров
B2, B3.
Таким образом, трех шаров не достаточно, чтобы создать тень для
центра сферы. Как показано в [3], четыре шара будут создавать тень.
Рассмотрим интересный факт, сопутствующий этой задаче. Пусть
шары открыты и один из них имеет радиус, равный радиусу сферы.
Тогда очевидно, что такой шар создает тень всюду, кроме экватори-
альной плоскости, касательной к шару. Следовательно, для оставших-
ся шаров было бы достаточно создать тень только на экваторе. Пусть
второй шар касается первого, тогда методами школьного курса гео-
метрии несложно показать, что максимальный угол, под которым из
центра сферы видно пересечение второго шара с экваториальной плос-
костью, получается в пределе, когда его центр стремится к точке, диа-
метрально противоположной к центру первого, и составляет π/2. Это
сразу доказывает, что двумя шарами невозможно закрыть экватор.
Теперь вместо сферы рассмотрим эллипсоид вращения вокруг боль-
шой оси, а на открытые шары наложим условие, что они не пересекают
центра эллипсоида. Если у основания малой оси разместить первый
шар с радиусом, равным этой оси, то, как и в случае со сферой, от-
крытой останется экваториальная плоскость. Если же большую ось
выбрать достаточно длинной и второй шар разместить также у ее ос-
нования, то он закроет как угодно большой угол < π, что даст воз-
можность третьему шару, находящемуся на линии вращения малой
оси, закрыть остаток угла. Таким образом, существует вытянутый эл-
липсоид вращения и такие три открытых шара, попарно не пересе-
кающихся и не пересекающие центр эллипсоида и с центрами на нем,
которые создают тень в центре эллипсоида. Очевидно, что двух шаров
для создания тени недостаточно.
Естественно возникает следующая
Задача 1. Пусть задан вытянутый эллипсоид вращения. Найти ми-
нимальное соотношение длин большой и малой полуосей, так, чтобы
три замкнутых (открытых) попарно не пересекающихся шара с цен-
трами на эллипсоиде и не пересекающие центр эллипсоида, создавали
тень для центра эллипсоида.
Определение 1. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло относи-
248 М.В. Ткачук, Т.М. Осипчук
тельно точки x ∈ Rn \E, если найдется m-мерная плоскость L, такая
что x ∈ L и L ∩ E = ∅.
Определение 2. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло, если
оно m-выпукло относительно каждой точки x ∈ Rn \ E.
Для произвольного множества E ⊂ Rn минимальное m-выпуклое
множество, содержащее E, называется его m-оболочкой множества E.
Тогда нашу задачу можно переформулировать таким образом:
найти минимальное отношение длин большой и малой полуосей вы-
тянутого эллипсоида вращения, чтобы три замкнутых (открытых)
попарно не пересекающихся шара, не пересекающие центр эллипсоида
и с центрами на нем, обеспечили принадлежность центра эллипсои-
да 1-оболочке семейства шаров.
Для определенности будем рассматривать замкнутые шары. Обо-
значим a1, a2, a3 — радиус-векторы центров шаров; r1, r2, r3 — ради-
усы шаров. Не уменьшая общности, будем рассматривать эллипсоид
с малой полуосью, равной единице, большой полуосью, равной d, и с
центром в начале координат.
Пусть M =
1
d 0 0
0 1 0
0 0 1
. Тогда уравнение |Mx| = 1, где x — пе-
ременный вектор, описывающий заданный эллипсоид. По условию
|Mai| = 1 и |ai − aj | ≥ ri + rj , i, j = 1, 2, 3.
Далее, над каждым шаром построим касательный конус с центром
в начале координат, образующими которого являются лучи. Уравнение
границы конуса можно получить из формул для косинуса угла между
осью и образующей:
(ai, x)
|ai||x|
=
√
|ai|2 − r2i
|ai|
= cosφ, i = 1, 2, 3.
Для каждого i ∈ {1, 2, 3} неравенство
(ai, x)
|x|
≥
√
|ai|2 − r2i задает за-
мкнутый конус.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(ai, x) =
√
|ai|2 − r2i , i = 1, 2, 3. Пусть вектор x — решение этой си-
стемы. Если |x| = 1, то x лежит на общей касательной конусов над
шарами. Если |x| ≤ 1, то конусы с центрами в начале координат над
шарами имеют общий луч Ox. Если же |x| > 1, то x не содержится ни
Задача о тени для эллипсоида вращения 249
в каком конусе, но x лежит на общей образующей конусов с меньшими
косинусами углов между осью и образующей
(ai, x)
|ai||x|
=
√
|ai|2 − r2i
|ai||x|
≤
√
|ai|2 − r2i
|ai|
.
Данные конусы содержат конусы над шарами в своей внутренности,
следовательно, пересечение конусов над шарами содержит только точ-
ку O.
Добавим к трем конусам еще три симметричных им относительно
начала координат. Для того, чтобы 1-выпуклая оболочка трех шаров
содержала начало координат необходимо и достаточно, чтобы объеди-
нение шести конусов содержало все пространство. Очевидно, что для
этого достаточно, чтобы каждая тройка конусов, не содержащая пару
симметричных конусов, имела нетривиальное пересечение.
Обозначим si = (±1,±1,±1) — набор из восьми векторов. Тогда все
условия пересечения соответствующих троек конусов можно записать
в виде: (ai, xk) = sk
√
|ai|2 − r2i , |xk| ≤ 1, k = 1, . . . , 8.
Таким образом, получаем задачу условной минимизации функции:
(ai, xk) = sk
√
|ai|2 − r2i , |xk| ≤ 1,
sk = (±1,±1,±1), k = 1, ..., 8, i = 1, 2, 3,
|Mai| = 1, |ai − aj | ≥ ri + rj , ri ≥ 0, 1 ≤ i < j ≤ 3,
M =
1
d 0 0
0 1 0
0 0 1
,
d → min .
Для ее решения применим численные методы.
Поскольку все ограничения являются алгебраическими, то для на-
хождения минимума можно использовать Sequential Least SQuares
Programming из пакета SciPy для Python. Вычисления дают значение
минимума, приближенно равное 2
√
2.
Минимум dmin = 2
√
2 не достигается и является предельным значе-
нием для следующего трехпараметрического семейства конфигураций:
r1 = x, r2 = y, a1 = (0, 0, 1), a2 = (0, u, v),
u = −1 + 1
2 (4− (x+ y)2), v = 1
2 (x+ y)
√
4− (x+ y)2,
a3(z, 0, 0), r3 =
√
z2 + 1− 1,
при x → 1, y → 1, z → 2
√
2, где r1, r2, r3 — радиусы шаров, а
x, y, z — параметры.
250 М.В. Ткачук, Т.М. Осипчук
Следовательно, искомое минимальное отношение длин большой и
малой полуосей эллипсоида равно 2
√
2.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 1. Пусть задан вытянутый эллипсоид вращения с отно-
шением большой к малой полуоси, которое строго меньше 2
√
2. Для
того, чтобы центр заданного эллипсоида принадлежал 1-оболочке се-
мейства попарно непересекающихся замкнутых (открытых) шаров,
не пересекающих центр эллипсоида и с центрами на нем, необходимо
и достаточно трех таких шаров.
Пусть три шара создают тень в центре эллипсоида вращения. Из-
меним масштаб вдоль большой оси эллипсоида, вследствие такого ли-
нейного преобразования эллипсоид перейдет в сферу а шары – в эл-
липсоиды вращения с параллельными осями. Воспользуемся теперь
инвариантностью 1-выпуклости относительно афинных преобразова-
ний [2], из чего следует, что полученные эллипсоиды создадут тень в
центре сферы.
Теорема 2. Для создания тени в центре сферы достаточно трех по-
парно не пересекающихся эллипсоидов с центрами на сфере, каждый
из которых не содержит центр сферы. При этом эллипсоиды могут
быть попарно гомотетичными.
Список литературы
[1] Зелинский Ю.Б. Многозначные отображения в анализе. — K.: Наукова
думка, 1993. — 264 с.
[2] Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы /Працi Iнституту ма-
тематики НАН України. Т. 92/. — K.: Iнститут математики НАН Украї-
ни. — 2012, 280 с.
[3] Yu. Zelinskii, Vyhovska I., Stefanchuk M. Generalized convex sets and
shadows problem // arXiv preprint /arXiv:1501.06747 [math.MG]/. —
2015 (in Russian).
[4] Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке
объединения шаров // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г. № 1772 —
85 Деп.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-181 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:35Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c1/0cd66dd220a147e15da62fe8f17f37c1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1812018-01-23T12:10:05Z The shadow problem for the ellipsoid of revolution Задача о тени для эллипсоида вращения Tkachuk, M. V. Osipchuk, T. M. Ткачук, М. В. Осипчук, Т. М. It is proposed a new proof of the problem about shadow for the center of a sphere in the three-dimensional space which is generated by the minimal number of closed (open) non-overlapping balls with radiuses being less then radius of the sphere and with centers on it. It is considered generalization of the problem to spheroids also. В работе предложено новое доказательство задачи о тени дляцентра сферы в трехмерном пространстве, создаваемую минимальнымколичеством попарно непересекающихся замкнутых (открытых) шаров срадиусами меньше радиуса сферы и с центрами на ней. А также,рассмотрено обобщение этой задачи на эллипсоиды вращения. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/181 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 243-250 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 243-250 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 243-250 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/181/148 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Tkachuk, M. V. Osipchuk, T. M. Ткачук, М. В. Осипчук, Т. М. The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title | The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title_alt | Задача о тени для эллипсоида вращения |
| title_full | The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title_fullStr | The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title_full_unstemmed | The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title_short | The shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| title_sort | shadow problem for the ellipsoid of revolution |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/181 |
| work_keys_str_mv | AT tkachukmv theshadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT osipchuktm theshadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT tkačukmv theshadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT osipčuktm theshadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT tkachukmv zadačaotenidlâéllipsoidavraŝeniâ AT osipchuktm zadačaotenidlâéllipsoidavraŝeniâ AT tkačukmv zadačaotenidlâéllipsoidavraŝeniâ AT osipčuktm zadačaotenidlâéllipsoidavraŝeniâ AT tkachukmv shadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT osipchuktm shadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT tkačukmv shadowproblemfortheellipsoidofrevolution AT osipčuktm shadowproblemfortheellipsoidofrevolution |