Involutions and twofold mappings
We investigate possibility of the building on manifold continuous involution and connected with her continuous mapping for which each point of the image has not more than two preimages.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/184 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552704091357184 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Dolya, D. S. Зелинский, Ю. Б. Доля, Д. С. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Dolya, D. S. Зелинский, Ю. Б. Доля, Д. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We investigate possibility of the building on manifold continuous involution and connected with her continuous mapping for which each point of the image has not more than two preimages. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 155–159
УДК 517.5 + 513.83
Ю.Б. Зелинский1, Д.С. Доля2
1 , 2(Институт математики НАН Украины, Киев)
1 zel@imath.kiev.ua, 2 dasha.dolja@mail.ru
Инволюции и двукратные
отображения
Дослiджена можливiсть побудови на многовидi неперервної iнволюцiї
та зв’язного з нею неперервного вiдображення, для якого кожна точка
образу має не бiльше двох прообразiв.
В работе рассмотрим связь между инволюциями на замкнутом много-
образии и отображениями таких многообразий, каждая точка образа
которых содержит не более двух прообразов.
We investigate possibility of the building on manifold continuous involution
and connected with her continuous mapping for which each point of the
image has not more than two preimages.
Определение 1. Функция f называется инволюцией, если f(f(x)) =
= x для всякого x из области определения функции f .
Естественно, что на произвольном топологическом пространстве,
содержащем не менее двух точек, можно задать инволюцию, отлич-
ную от тождественной, которая переставляет только выбранную пару
точек. Такая инволюция, как правило, не будет непрерывной. В даль-
нейшем нас интересует непрерывные инволюции.
Пример 1. Зададим отображение окружности f : S1 −→ S1 фор-
мулой f(z) = z2, где z = x + ιy. Это отображение отождествляет
антиподальные точки окружности f(x, y) = f(−x,−y). Ему соот-
ветствует инволюция ι(x, y) = (−x,−y), ι(−x,−y) = (x, y) без непо-
движных точек.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
156 Ю.Б. Зелинский, Д.С. Доля
Пример 2. Зададим отображение окружности f : S1 −→ R1 фор-
мулой f(x, y) = (x, 0). Это отображение отождествляет точ-
ки окружности f(x, y) = f(x,−y). Ему соответствует инволюция
ι(x, y) = (x,−y) с двумя неподвижными точками (1, 0) и (−1, 0).
Каждая непрерывная инволюция порождает отношение эквива-
лентности [1] в пространстве x ∼ ι(x) (случай x = ι(x) не исключен
для некоторых точек, такое множество будет множеством неподвиж-
ных точек этой инволюции), для которого каждая точка факторпро-
странства содержит не более двух прообразов. Факторное отображе-
ние задает непрерывное отображение, каждая точка образа которого
содержит не более двух прообразов. Верно и обратное, непрерывное
отображение, каждая точка образа которого содержит не более двух
прообразов, порождает непрерывную инволюцию. Однако, как видим
из примера (1), образ многообразия может быть не вкладываемым в
евклидово пространство той же размерности.
Как показано в [2],[3] для каждого замкнутого (ориентированного и
неориентируемого) двумерного многообразия существует непрерывное
отображение в двумерную плоскость, каждая точка образа которого
содержит не более двух прообразов. Из этого и отмеченного выше сле-
дует утверждение.
Теорема 1. На каждом замкнутом двумерном многообразии суще-
ствует непрерывная инволюция.
В работах [4], [5] установлено, что для трехмерного вещественно-
го проективного пространства существует отображение в трехмерное
евклидово пространство, каждая точка образа которого содержит не
более двух прообразов. Как и выше отсюда следует утверждение.
Теорема 2. На каждом замкнутом трехмерном вещественном про-
ективном пространстве существует непрерывная инволюция.
Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно
разбить на два подмногообразия с общим краем, каждое из которых
гомеоморфно стандартному полному кренделю некоторого фиксиро-
ванного рода [6]. Такое разбиение называется разбиением Хегора. Если
есть такое разбиение Хегора, то на таком многообразии можно задать
непрерывную инволюцию. Отсюда следует утверждение.
Теорема 3. На каждом замкнутом ориентируемом трехмерном
многообразии существует непрерывная инволюция.
Инволюции и двукратные отображения . . . 157
Используя теоремы 1 – 3 и действие инволюции на одном из сомно-
жителей, получим следующий результат.
Теорема 4. Если многообразие M можно представить как декарто-
во произведение двух многообразий M ≈ L × N , где один из сомно-
жителей сфера, замкнутое двумерное многообразие, замкнутое ори-
ентируемое трехмерное многообразие или трехмерное вещественное
проективное пространство, то на нем существует непрерывная ин-
волюция.
Следствие 1. Если многообразие M можно представить как ло-
кально тривиальное расслоение [7], для которого слой или база пред-
ставляет собой сферу, замкнутое двумерное многообразие, замкну-
тое ориентируемое трехмерное многообразие или трехмерное веще-
ственное проективное пространство, то на нем существует непре-
рывная инволюция.
Изучим, когда на замкнутом многообразии, которое можно пред-
ставить как объединение двух одинаковых многообразий с общей гра-
ницей, существует непрерывная инволюция.
Дальше мы рассматриваем группы когомологий с коэффициентами
в группе целых чисел Z [8].
Лемма 1. Пусть D— область в n−мерном многообразии Mn и пусть
U1 и U2— непересекающиеся области в D такие, что ∂U1 = ∂U2 и
U1
∪
U2 = D.
Не существует собственного отображения f : D −→ D1 (f(U1) ⊂
⊂ Nn) такого, что выполнены одновременно условия:
1) f(U1) = f(U2);
2) f(∂U1
∩
f(Uι) = ∅, ι = 1, 2;
3) f∗ : Hn−1(f(∂U1)) → Hn−1(∂U1)− эпиморфизм;
4) степень γ(Uι, f, y) > 0 при ι = 1, 2.
Доказательство. Предположим, что такое отображение существу-
ет. Рассмотрим коммутативную диаграмму отображений
∂U1 −−−−→ U1
f∗
i
y f∗
y
∂f(U1) −−−−→ f(U1)
158 Ю.Б. Зелинский, Д.С. Доля
Ей соответствует коммутативная диаграмма групп когомологий с
точными строками:
Hn−1(∂f(U1)) −−−−→ Hn(f(U1), ∂f(U1))
f∗
y f∗
ι
y
Hn−1(∂U1)
δ−−−−→ Hn(U1, ∂U1) −−−−→ Hn(U1).
Группа Hn(U1) = 0, так как U1 ̸= D.
Из точности нижней строки диаграммы следует, что δ — эпимор-
физм, тогда δf∗ — эпиморфизм и из коммутативности диаграммы f∗
1 —
эпиморфизм. Группа Hn(U1, ∂U1) = Z как группа открытой области,
но тогда Hn(f(U1), ∂f(U1)) = Z (она может быть нулевой или Z, как
n−мерная группа связного подмножества; нетривиальность ее следу-
ет из нетривиальности f∗
ι ) и f∗
ι — изоморфизм. Отсюда следует, что
отображение
f∗
1 ⊕ f∗
2 : H
n(f(U1), ∂f(U1)) −→ Hn(U1, ∂U1)⊕Hn(U2, ∂U2)
является мономорфизмом.
Если существует отображение, удовлетворяющее условиям леммы,
то согласно предыдущему отображения f∗
ι — изоморфизмы. Рассмот-
рим коммутативную диаграмму отображений:
Ей соответствует коммутативная диаграмма групп когомологий с
точными строками:
∂U1 −−−−→ D = U1 ∪ U2
f∗
ι
y f∗
y
∂f(U1) −−−−→ f(D) = f(U1 ∪ U2).
Гомоморфизм ι∗ имеет нетривиальное ядро Ker ι∗ ⊃ {a, a}, a ̸= 0.
В силу точности нижней строки Imδ = Ker ι∗. Тогда Im δh∗ = Ker ι∗.
Из коммутативности диаграммы следует, что Imf∗
1 ⊕ f∗
2 ⊃ Imδh∗ ⊃
⊃ {a,−a}. В силу условия (4) леммы 1 это возможно только при a = 0.
Полученное противоречие доказывает лемму.
Следствие 2. Пусть D — область в n−мерном многообразии Mn
и пусть U1 и U2 — непересекающиеся области в D такие, что
Инволюции и двукратные отображения . . . 159
∂U1 = ∂U2 и U1 ∪ U2 = D. Для существования инволюции с мно-
жеством неподвижных точек U1 необходимо, чтобы существовал
гомеоморфизм
f : U1 −→ U2
такой, что γ(U1, f, y) < 0.
Открытые вопросы.
1. Можно ли на каждом n−мерном многообразии задать непрерыв-
ную инволюцию?
2. Можно ли на каждом n−мерном многообразии M задать непре-
рывное отображение, каждая точка образа которого содержит не бо-
лее двух прообразов, а образ f(M) допускает вложение в n−мерное
евклидово пространство?
Список литературы
[1] Энгелькинг Р. Общая топология. — M.: Мир, 1986. — 752 с.
[2] Зелинский Ю.Б. Об отображении областей на многообразиях // Збiр-
ник праць Iнституту математики НАН України. — 2008. — 5, № 1. —
С. 149 –152.
[3] Zelinskii Yu. Continuous mappings between domains // Bulletin de la
societé des sci. et letters de Lódź. — 2010. — Vol. 60, No. 2 — P. 10 – 14.
[4] Зелинский Ю.Б. Об отображении проективного пространства в сфе-
ру // Укр. матем. журн. — Київ. — 2010. — 62, № 7. — С. 1037 – 1044.
[5] Зелинский Ю.Б. Открытые вопросы отображения областей на много-
образиях // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. —
2010. — 7, № 2. — С. 242–248.
[6] Кузаконь В.М., Кириченко В.Ф., Пришляк О.О. Гладкi многовиди. Гео-
метричнi та топологiчнi аспекти // Працi Iнcтитуту математики НАН
України. — 2013. — 97. — 500 с.
[7] Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. — M.: Мир, 1970. — 444 с.
[8] Спеньер Э. Алгебраическая топология. — M.: Мир, 1971. — 680 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-184 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:39Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a5/38ea117c10c3d998d5839d8fb7f5dda5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1842018-01-23T12:10:05Z Involutions and twofold mappings Инволюции и двукратные отображения Zelinskii, Yu. B. Dolya, D. S. Зелинский, Ю. Б. Доля, Д. С. We investigate possibility of the building on manifold continuous involution and connected with her continuous mapping for which each point of the image has not more than two preimages. В работе рассмотрим связь между инволюциями на замкнутом многообразии и отображениями таких многообразий, каждая точка образа которых содержит не более двух прообразов. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/184 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 155–159 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 155–159 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 155–159 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/184/150 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Dolya, D. S. Зелинский, Ю. Б. Доля, Д. С. Involutions and twofold mappings |
| title | Involutions and twofold mappings |
| title_alt | Инволюции и двукратные отображения |
| title_full | Involutions and twofold mappings |
| title_fullStr | Involutions and twofold mappings |
| title_full_unstemmed | Involutions and twofold mappings |
| title_short | Involutions and twofold mappings |
| title_sort | involutions and twofold mappings |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/184 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub involutionsandtwofoldmappings AT dolyads involutionsandtwofoldmappings AT zelinskijûb involutionsandtwofoldmappings AT dolâds involutionsandtwofoldmappings AT zelinskiiyub involûciiidvukratnyeotobraženiâ AT dolyads involûciiidvukratnyeotobraženiâ AT zelinskijûb involûciiidvukratnyeotobraženiâ AT dolâds involûciiidvukratnyeotobraženiâ |