One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains
In this paper we consider one extremal problem on finding a maximum of a functional (so-called ``second type'' functional) in the case of partially non-overlapping domains.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/185 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552703919390720 |
|---|---|
| author | Targons’kyi, A. L. Targons’ka, I. I. Таргонський, А. Л. Таргонська, І. І. |
| author_facet | Targons’kyi, A. L. Targons’ka, I. I. Таргонський, А. Л. Таргонська, І. І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Л. Таргонський",
"institution": "Житомирський державний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "І. І. Таргонська",
"institution": "Житомирський державний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Targons’kyi, A. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | In this paper we consider one extremal problem on finding a maximum of a functional (so-called ``second type'' functional) in the case of partially non-overlapping domains. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 236–242
УДК 517.54
А.Л. Таргонський 1, I. I. Таргонська 2
(Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка,
Житомир)
1 targonsk@zu.edu.ua
Одна екстремальна задача для
функцiоналу другого типу у випадку
частинно-неперетинних областей
У данiй роботi ми розглядаємо одну екстремальну задачу на знаходже-
ння максимуму функцiоналу (так званого “другого типу”) на системах
частково-неперетинних областей.
In this paper we consider one extremal problem on finding a maximum
of a functional (so-called “second type” functional) in the case of partially
non-overlapping domains.
Вступ. Представлена робота належить вiдомiй тематицi геоме-
тричної теорiї функцiй комплексного змiнного – екстремальним зада-
чам на класах областей, що попарно не перетинаються. Початок цiєї
тематики пов’язують з добре вiдомою роботою 1934 року М. А. Лав-
рентьєва [1]. У якiй вiн знайшов максимум i визначив розмiщення екс-
тремальних областей функцiоналу, що складається з добутку внутрi-
шнiх радiусiв двох однозв’язних областей вiдносно фiксованих точок
комплексної площини. Вiдмiтимо, що цей результат знадобився йому
для деякої аеродинамiчної задачi. В 1947 роцi Г. М. Голузин розв’язав
аналогiчну задачу для трьох фiксованих точок комплексної площини
[2]. Пiсля цього ця тематика почала стрiмко розвиватися. В зв’язку з
цим можна пригадати роботи багатьох авторiв, зокрема Ю. Є. Але-
нiцина, М. А. Лебедева, Дж. Дженкiнса, П. М. Тамразова, П. П. Ку-
фарева, А. Е. Фалеса i багатьох iнших. Також зазначимо, що у 1975
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Одна екстремальна задача для функцiоналу другого типу... 237
роцi Г. П. Бахтiна, використовуючи iдею П. М. Тамразова, вперше
розв’язала екстремальну задачу з так званими “вiльними полюсами”
на одиничному колi. Це означає, що функцiонал залежить не тiльки
вiд областей, а й вiд розмiщення точок, вiдносно яких розглядається
внутрiшнiй радiус (див., напр., [3]).
Важливий крок для розвитку цiєї тематики зробив В. Н. Дубинiн. У
своїх роботах вiн розробив новий метод дослiдження – метод кусково-
подiляючого перетворення. З його допомогою вiн вперше розв’язав ряд
екстремальних задач для довiльної, але фiксованої, кiлькостi багато-
зв’язних областей, якi попарно не перетинаються (див., напр., [4–6]).
Зараз подiбного роду екстремальнi задачi використовуються пiд час
дослiджень у голоморфнiй динамiцi.
В останнє десятирiччя з’явився новий метод дослiдження – метод
"керуючих функцiоналiв розроблений О. К. Бахтiним. З цого допо-
могою вдалося розв’язати ряд екстремальних задач вже не зв’язаних
з колом, у яких точки вiльно рухаються по так званих "променевих
системах точок причому, як для попарно-неперетинних областей, так
i для вiдкритих множин (див., напр., [7–11]).
Окремо можна видiлити екстремальнi задачi на класах частинно-
неперетинних областях. Цей термiн означає, що областi можуть пере-
тинатися, але при цьому на їх можливий перетин накладається певна
додаткова умова. Напевно, однi з перших подiбних результатiв можна
знайти в роботах [12–15]. Якраз розгляду цього типу екстремальної
задачi i присвячена дана робота. Однак, слiд зауважити, що резуль-
тати, якi розглянутi у данiй роботi, у випадках попарно-неперетинних
областей та вiдкритої множини отриманi О. К. Бахтiним i їх можна
знайти, наприклад, у роботi [7].
Основна частина. Нехай R+ — множина додатних дiйсних
чисел, C — комплексна площина, C = C
∪
{∞} — її одноточкова ком-
пактифiкацiя.
Крiм того, нехай r(B, a) позначає внутрiшнiй радiус областi B ⊂ C
вiдносно точки a ∈ B (див., напр., [5, 7, 16]).
У роботi, також, використовується поняття квадратичного дифе-
ренцiалу. Означення його та зв’язанi з ним результати детально ви-
кладенi у монографiї [17].
Нехай надалi n — цiле число, n ≥ 3.
238 А. Л. Таргонський, I. I. Таргонська
Означення 1. Скiнчене число точок
An = {ak}nk=1 ⊂ C \ {0} ,
для яких виконуються спiввiдношення
arg ak =
2π
n
(k − 1), k = 1, n, (1)
ми будемо називати променевою рiвнокутовою системою точок.
Для кожної такої системи позначимо
Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1} , k = 1, n,
R =
( n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣n4
))1− 2α
n2
(
n∏
k=1
|ak|
)1+α
n
1
n+α
,
де χ (t) = 1
2
(
t+ t−1
)
, an+1 = a1, arg an+1 := 2π.
Нехай D — вiдкрита множина в C, яка мiстить рiвномiрну про-
меневу систему точок An = {ak}nk=1. Введемо наступнi позначення:
якщо a ∈ D, то D(a) — зв’язна компонента D, яка мiстить точку a;
Dk(ap) — зв’язна компонента множини D(ap)
∩
Pk (An), яка мiстить
точку ap, p = k, k+ 1 (k = 1, n); Dk(0) — зв’язна компонента множини
D(0)
∩
Pk(An), яка мiстить точку w = 0.
Означення 2. Будемо вважати, що вiдкрита множина D,
{0} ∪ An ⊂ D, задовольняє умову неналягання вiдносно проме-
невої рiвнокутової системи точок An, якщо виконується умова[
Dk(ak)
∩
Dk(ak+1)
]∪[
Dk(0)
∩
Dk(ak)
]∪[
Dk(0)
∩
Dk(ak+1)
]
= ∅,
(2)
k = 1, n по всiх кутах Pk.
Означення 3. Систему областей {Bp}np=0 будемо називати системою
частинно-неперетинних областей для променевої рiвнокутової системи
точок An = {ak}nk=1, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n, якщо
D =
n∪
p=0
Bp, (3)
де D – вiдкрита множина, яка задовольняє умовi неналягання (2),
вiдносно променевої рiвнокутової системи точок An.
Одна екстремальна задача для функцiоналу другого типу... 239
Розглянемо наступну задачу.
Задача. Нехай n ∈ N, n ≥ 3, α ∈ R+. Визначити максимум вели-
чини
rα (B0, 0) ·
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
де An — довiльна променевої рiвнокутової системи точок виду (1), а
{Bp}np=0 — довiльний набiр частинно-неперетинних областей, що задо-
вольняє умову (3), 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, B0, Bk ⊂ C, та описати екстремалi
(k = 1, n).
У прийнятих позначеннях сформулюємо основнi результати роботи.
Теорема 1. Нехай n ∈ N, n ≥ 3, α ∈ R+, α ≤ n2. Тодi для довiльної
променевої рiвнокутової системи точок An = {ak}nk=1 та довiльної
системи частинно-неперетинних областей {Bp}np=0, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk,
B0, Bk ⊂ C, k = 1, n справедлива нерiвнiсть
rα (B0, 0) ·
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ rα
(
B
(0)
0 , 0
)
·
n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , a
(0)
k
)
,
де
{
a
(0)
k
}n
k=1
та
{
B
(0)
p
}n
p=0
— полюси та вiдповiдно круговi областi
квадратичного диференцiалу
Q(w)dw2 = −
(
n2 − α
)
wn +Rnα
w2 (wn −Rn)
2 dw2. (4)
Iз теореми 1 та теореми 4 роботи [4] випливає наступний результат.
Наслiдок 1. Нехай n ∈ N, n ≥ 3, α ∈ R+, α < n2. Тодi для довiльної
променевої рiвнокутової системи точок An = {ak}nk=1 та довiльної
системи частинно-неперетинних областей {Bp}np=0, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk,
B0, Bk ⊂ C, k = 1, n справедлива нерiвнiсть
rα (B0, 0) ·
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
(
4
n
)n
·
(
4α
n2
)α
n(
1− α
n2
)n+α
n
·
(
n−
√
α
n+
√
α
)2
√
α
·Rn+α.
Знак рiвностi в цiй нерiвностi досягається, коли точки {ak}nk=1 та
областi {Bp}np=0 є, вiдповiдно, полюсами та круговими областями
квадратичного диференцiалу (4).
240 А. Л. Таргонський, I. I. Таргонська
При α = n2 з теореми 1 випливає такий результат.
Наслiдок 2. Нехай n ∈ N, n ≥ 3. Тодi для довiльної промене-
вої рiвнокутової системи точок An = {ak}nk=1 та довiльної систе-
ми частинно-неперетинних областей {Bp}np=0, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk,
B0, Bk ⊂ C, k = 1, n справедлива нерiвнiсть
rn
2
(B0, 0) ·
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ n−n ·
n∏
k=1
|ak|n+1
χ
(∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣n4) .
Знак рiвностi в цiй нерiвностi досягається, коли точки {ak}nk=1 та
областi {Bp}np=0 є, вiдповiдно, полюсами та круговими областями
квадратичного диференцiалу
Q(w)dw2 = − dw2
w2 (wn −Rn)
2 .
Доведення теореми 1. Згiдно з визначенням системи частинно-
неперетинних областей, спiввiдношенням (3) введено вiдкриту множи-
ну D, яка задовольняє (2). Звiдси маємо,
Bp ⊂ D, k = 0, n. (5)
Користуючись результатами робiт [4, 5, 7, 16], з (5) отримаємо
r (B0, 0) ≤ r (D, 0) ,
r (Bk, ak) ≤ r (D, ak) , k = 1, n. (6)
Перемножуючи нерiвностi (6) робимо висновок, що
rα (B0, 0) ·
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ rα (D, 0) ·
n∏
k=1
r (D, ak) .
Далi, використовуючи теорему 5.2.2 [7], отримаємо остаточний ре-
зультат. Теорема 1 доведена.
Насамкiнець хочу виразити подяку Бахтiну Олександру Ко-
стянтиновичу за постановку задачi та ряд цiнних вказiвок пiд час
її розв’язання.
Одна екстремальна задача для функцiоналу другого типу... 241
Лiтература
[1] Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — C. 159 – 245.
[2] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
[3] Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы
в задачах о неналегающих областях. Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. — Киев, 1975. — 11 с.
[4] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об эк-
стремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — C. 48 – 66.
[5] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории фун-
кций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49,
№ 1(295). — C. 3 – 76.
[6] Дубинин. В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и
некоторые ее применения // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 1997. — 237. —
C. 56 – 73.
[7] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе /Працi Iн-ту мат-ки НАН України. Т. 73/. — K.: Iн-т матема-
тики НАН України, 2008. — 308 с.
[8] Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних обла-
стей та вiдкритих множин // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 5. —
C. 596 – 610.
[9] Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные
дифференциалы // Нелiнiйнi коливання. — 2005, 8, № 3. — C. 298 – 303.
[10] А.К. Бахтин. Приведенные модули открытых множеств и экстремаль-
ные задачи со свободными полюсами // Доп. НАН Украины. — 2006,
№ 5. — C. 7 – 13.
[11] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со сво-
бодными полюсами на окружности // Укр. мат. журн. — 2009, 58,
№ 7. — C. 867 – 886.
[12] Таргонский А.Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих
областях на римановой сфере // Доп. НАН Украини. — 2008, № 9. —
C. 31 – 36.
[13] Подвысоцкий Р.В. Оценка произведения внутренних радиусов частично
неналегающих областей // Укр. мат. журн. — 2008, 60, № 7. — C. 1004 –
1008.
242 А. Л. Таргонський, I. I. Таргонська
[14] Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи для частично
неналегающих областей со свободными полюсами // Доп. НАН Украї-
ни. — 2013, № 11. — C. 13 – 19.
[15] Targonskii A. L. Extremal problems for partially non-overlapping domains
on equiangular systems of points // Bulletin de la Societe des Sciences et des
Lettres de Lodz. Recherches sur les Deformations. — 2013, LXIII, № 1. —
P. 57 – 63.
[16] Хейман В.К. Многолистные функции. — М.: Изд-во иностр. лит.,
1960. –– 180 с.
[17] Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображе-
ния. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
[18] Дубинин В.Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Гри-
на и Робена // Мат. сборник. — 2009, 200, № 10. — C. 25 – 38.
[19] Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сфе-
ры // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001, 276. — C. 253 – 275.
[20] Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней кон-
формных радиусов неналегающих областей // Зап. науч. сем. ПОМИ. —
2002, 286. — C. 103 – 114.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-185 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:39Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ba/ad0a2ae69128fb8bce8ad7d0de7819ba.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1852018-01-23T12:10:05Z One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains Одна екстремальна задача для функціоналу другого типу у випадку частинно-неперетинних областей Targons’kyi, A. L. Targons’ka, I. I. Таргонський, А. Л. Таргонська, І. І. In this paper we consider one extremal problem on finding a maximum of a functional (so-called ``second type'' functional) in the case of partially non-overlapping domains. У даній роботі ми розглядаємо одну екстремальну задачу на знаходження максимуму функціоналу (так званого ``другого типу'') на системах частково-неперетинних областей. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/185 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 236-242 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 236-242 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 236-242 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/185/151 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Targons’kyi, A. L. Targons’ka, I. I. Таргонський, А. Л. Таргонська, І. І. One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title | One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title_alt | Одна екстремальна задача для функціоналу другого типу у випадку частинно-неперетинних областей |
| title_full | One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title_fullStr | One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title_full_unstemmed | One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title_short | One extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| title_sort | one extremal problem of a second type functional in the case of partially non-overlapping domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/185 |
| work_keys_str_mv | AT targonskyial oneextremalproblemofasecondtypefunctionalinthecaseofpartiallynonoverlappingdomains AT targonskaii oneextremalproblemofasecondtypefunctionalinthecaseofpartiallynonoverlappingdomains AT targonsʹkijal oneextremalproblemofasecondtypefunctionalinthecaseofpartiallynonoverlappingdomains AT targonsʹkaíí oneextremalproblemofasecondtypefunctionalinthecaseofpartiallynonoverlappingdomains AT targonskyial odnaekstremalʹnazadačadlâfunkcíonaludrugogotipuuvipadkučastinnoneperetinnihoblastej AT targonskaii odnaekstremalʹnazadačadlâfunkcíonaludrugogotipuuvipadkučastinnoneperetinnihoblastej AT targonsʹkijal odnaekstremalʹnazadačadlâfunkcíonaludrugogotipuuvipadkučastinnoneperetinnihoblastej AT targonsʹkaíí odnaekstremalʹnazadačadlâfunkcíonaludrugogotipuuvipadkučastinnoneperetinnihoblastej |