On the mean convergence of the Taylor and Laurent series
For analytic functions in the domain ${\Delta=D\bigcup D_\infty}$ we find conditions expressed in terms of Laurent coefficients, necessary for convergence in the average of its Laurent series. For functions analytic in a circle ~ $D$, necessary and sufficient conditions of convergence in the mean Ta...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/186 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552705174536192 |
|---|---|
| author | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. |
| author_facet | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. В. Товкач",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Tovkach, R. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | For analytic functions in the domain ${\Delta=D\bigcup D_\infty}$ we find conditions expressed in terms of Laurent coefficients, necessary for convergence in the average of its Laurent series. For functions analytic in a circle ~ $D$, necessary and sufficient conditions of convergence in the mean Taylor series are obtained, expressed in terms of the coefficients of the Taylor series, and also the boundedness in the metric of the space $L_1$ of partial sums of the Taylor series |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 283�295
ÓÄÊ 517.5
Ð.Â. Òîâêà÷ (Ñõiäíî¹âðîïåéñüêèé íàö. óíiâåðñèòåò)
ÏÐÎ ÇÁIÆÍIÑÒÜ Â ÑÅÐÅÄÍÜÎÌÓ ÐßÄI ÒÅÉËÎÐÀ I ËÎ-
ÐÀÍÀ
Äëÿ àíàëiòè÷íèõ â îáëàñòi ∆ = D
⋃
D∞ ôóíêöié çíàéäåíî óìîâè, âèðà-
æåíi ÷åðåç êîåôiöi¹íòè Ëîðàíà, íåîáõiäíi äëÿ çáiæíîñòi â ñåðåäíüîìó ¨¨
ðÿäó Ëîðàíà. Äëÿ ôóíêöié, àíàëiòè÷íèõ ó êðóçi D, îòðèìàíî íåîáõiäíi
i äîñòàòíi óìîâè çáiæíîñòi â ñåðåäíüîìó ðÿäó Òåéëîðà, âèðàæåíi ÷åðåç
êîåôiöi¹íòè ðÿäó Òåéëîðà, à òàêîæ îáìåæåíîñòi â ìåòðèöi ïðîñòîðó
L1 ÷àñòèííèõ ñóì ðÿäó Òåéëîðà.
Íåõàé L1 � ïðîñòið 2π - ïåðiîäè÷íèõ iíòåãðîâíèõ çà Ëåáåãîì
ôóíêöié f(x) çi ñêií÷åííîþ íîðìîþ
‖f‖1 = ‖f(x)‖L1
=
∫ 2π
0
|f(x)|dx <∞
i íåõàé òðèãîíîìåòðè÷íèé ðÿä
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) (1)
¹ ðÿäîì Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f ∈ L1, òîáòî
ak = ak(f) =
1
π
∫ π
−π
f(t) cos ktdt,
bk = bk(f) =
1
π
∫ π
−π
f(t) sin ktdt.
×åðåç f̃(x) ïîçíà÷èìî ôóíêöiþ, ñïðÿæåíó ç f(x). �¨ ðÿä Ôóð'¹
áóäå ìàòè âèãëÿä
∞∑
k=1
(−bk cos kx+ ak sin kx). (2)
c© Ð.Â. Òîâêà÷, 2013
284 Ð.Â. Òîâêà÷
∞∑
k=1
(−bk cos kx+ ak sin kx). (3)
ßêùî ôóíêöiÿ f(x) � ïàðíà, òî ¨¨ ðÿäîì Ôóð'¹ áóäå ðÿä
a0
2
+
∞∑
k=1
ak cos kx (4)
à ðÿäîì Ôóð'¹ íåïàðíî¨ ôóíêöi¨ áóäå
∞∑
k=1
bk sin kx. (5)
Ïîñëiäîâíiñòü {ak}∞k=0 íàçèâàòèìåìî íóëü-ïîñëiäîâíiñòþ, ÿêùî
lim
k→∞
ak = 0.
Ñ.À. Òåëÿêîâñüêèé [8] äëÿ íóëü-ïîñëiäîâíîñòåé {ak}, ÿêi çàäî-
âîëüíÿþòü óìîâó
∞∑
k=0
|∆ak|+
∞∑
i=2
∣∣∣∣∣∣
[ i
2 ]∑
k=1
∆ai−k −∆ai+k
k
∣∣∣∣∣∣ <∞, (6)
∆ak = ak − ak+1, k = 0, 1, . . . ,
âñòàíîâèâ, ùî ðÿä (4) ¹ ðÿäîì Ôóð'¹ ñâ ñóìè. ßêùî æ íóëü-
ïîñëiäîâíiñòü {bk} çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (6), òî ðÿä (5) áóäå ðÿäîì
Ôóð'¹ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè
∞∑
k=1
|bk|
k
<∞. (7)
Óìîâè (6) i (7) íàçèâàþòü óìîâàìè Áîàñà�Òåëÿêîâñüêîãî iíòå-
ãðîâíîñòi òðèãîíîìåòðè÷íèõ ðÿäiâ. Ìíîæèíè íóëü-ïîñëiäîâíîñòåé,
ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (6) i (7), ïîçíà÷àòèìåìî ÷åðåç B − T .
Ïîêëàäåìî a−n = an, b0 = 0, b−n = bn (n > 0) i ïîçíà÷èìî
cn =
1
2
(an − ibn). (8)
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 285
Îòæå
an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n).
Òîäi ðÿäè (1) i (3) ìàòèìóòü âèãëÿä
∞∑
k=−∞
cke
ikx, (9)
−i
∞∑
k=−∞
sign kckeikx. (10)
à
Sn(f ;x) =
n∑
k=−n
cke
ikx,
S̃n(f ;x) = −i
n∑
k=−n
sign kckeikx.
� ÷àñòèííi ñóìè ðÿäiâ (9) i (10).
×åðåç C áóäåìî íàäàëi ïîçíà÷àòè àáñîëþòíi äîäàòíi ñòàëi, ìîæ-
ëèâî, íå îäíi é òi ñàìi, â ðiçíèõ ôîðìóëàõ.
Íåõàé ôóíêöiÿ f(z) àíàëiòè÷íà â îáëàñòi ∆ := D
⋃
D∞, äå îá-
ëàñòü D = {z : |z| < 1}, à îáëàñòü D∞ = {z : |z| > 1}, f(∞) = 0.
Òîäi
f(z) =
f1(z) =
∞∑
k=0
ckz
k, z ∈ D,
f2(z) = −
∞∑
k=1
c−kz
−k, z ∈ D∞,
(11)
i ðÿäè
∞∑
k=0
ckz
k, z ∈ D, −
∞∑
k=1
c−kz
−k, z ∈ D∞, ¹ ðÿäàìè Òåéëîðà
ôóíêöié f1 i f2.
Ðîçãëÿíåìî êëàñ CS àíàëiòè÷íèõ â îáëàñòi ∆ ôóíêöié iç íîðìîþ
‖f‖∗1 = lim
r→1
∥∥∥∥f(reit)− f(
1
r
eit)
∥∥∥∥
1
<∞. (12)
286 Ð.Â. Òîâêà÷
Çà òåîðåìîþ Ã.Ö. Òóìàðêiíà [9] òàêèé êëàñ CS çáiãà¹òüñÿ ç êëà-
ñîì ôóíêöié, ÿêi àíàëiòè÷íi â îáëàñòi ∆ i çîáðàæàþòüñÿ iíòåãðàëîì
òèïó Êîøi-Ñòiëüòü¹ñà
1
2π
∫ 2π
0
eiθdψ(θ)
eiθ − z
. (13)
Çãiäíî ç òåîðåìîþ Â.I. Ñìiðíîâà [5, ñ. 94] íà êîëi |z| = 1 iñíóþòü
ãðàíè÷íi çíà÷åííÿ ôóíêöié f1 i f2. Òàêi ôóíêöi¨ íàëåæàòü äî êëàñó
Hp, 0 < p < 1. Îòæå âîíè ìàþòü ãðàíè÷íi çíà÷åííÿ ïî íåäîòè÷íèõ
øëÿõàõ.
Çà òåîðåìîþ áðàòiâ Ðiññiâ [5, ñ. 96] óìîâà
1
2π
2π∫
0
einθdσ(θ) = 0, n = 1, 2, . . .
îçíà÷à¹, ùî ìiðà σ ¹ àáñîëþòíî íåïåðåðâíîþ âiäíîñíî ìiðè Ëåáå-
ãà, òîáòî iñíó¹ òàêà ñóìîâíà ôóíêöiÿ g(einθ) : g(einθ)dθ = dσ(θ).
Îòæå, çà òåîðåìîþ Ã.Ì. Ôiõòåíãîëüöà [5, ñ. 97]) iíòåãðàë òèïó Êîøi-
Ñòiëüòü¹ñà (13) ïåðåðîäæó¹òüñÿ â iíòåãðàë Êîøi i çîáðàæ๠ôóíêöiþ
ç êëàñó H1.
Ïiä çáiæíiñòþ â ñåðåäíüîìó áóäåìî ðîçóìiòè
lim
n→∞
∥∥f(eit)− Sn(f ; eit)
∥∥∗
1
= 0. (14)
Âiäîìî (äèâ. [12], [11]), ùî äëÿ ∀f ∈ H1(D)
lim
n→∞
‖f − Sn(f)‖1 = 0.
Ô. Ðiññ (äèâ. [1, c. 599]) ïîáóäóâàâ ïðèêëàä òàêî¨ ôóíêöi¨ f∗(z),
àíàëiòè÷íî¨ â îáëàñòi D = {z : |z| < 1}, ùî
lim
n→∞
‖f∗ − Sn(f∗)‖1 = B > 0.
Òàêèì ÷èíîì ÷àñòèííà ñóìà Sn(f∗; z) ¨¨ ðÿäó Òåéëîðà íå çáiãà¹òüñÿ
â ñåðåäíüîìó äî ôóíêöi¨ f∗(z). � ðÿä ðîáiò (äèâ. [10], [6], [7]), äå
äîñòàòíi óìîâè çáiæíîñòi â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà äàíî â iíøèõ
òåðìiíàõ.
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 287
Öÿ ðîáîòà ïðèñâÿ÷åíà ðîçâ'ÿçàííþ òàêî¨ çàäà÷i: ùî ìîæíà ñêàçà-
òè ïðî ïîâåäiíêó êîåôiöi¹íòiâ ck, c−k, ÿêùî âiäîìî, ùî âèêîíó¹òüñÿ
ðiâíiñòü (14). Iíàêøå êàæó÷è, ïîòðiáíî çíàéòè íåîáõiäíi óìîâè íà ïî-
ñëiäîâíiñòü ck êîåôiöi¹íòiâ äëÿ çáiæíîñòi çà íîðìîþ ðÿäiâ Òåéëîðà
êîìïîíåíò f1, f2 ôóíêöi¨ f .
Îñíîâíèì ðåçóëüòàòîì ¹ íàñòóïíà òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Íåõàé ôóíêöiÿ f ∈ CS i ì๠ìiñöå (11). Òîäi äëÿ
òîãî, ùîá âèêîíóâàëîñÿ ñïiââiäíîøåííÿ (14), íåîáõiäíî, ùîá
lim
n→∞
n∑
k=1
|cn+k|+ |c−n−k|
k
= 0. (15)
Äîâåäåííÿ. Çàôiêñó¹ìî r ∈ (0, 1). Ìà¹ìî:
Fr(eit) := f(reit)− f
(
eit
r
)
=
∞∑
k=−∞
ckr
|k|eikt, t ∈ [0, 2π]. (16)
Ðîçãëÿíåìî ñóìó Âàëëå Ïóññåíà ðÿäó â ïðàâié ÷àñòèíi (16)
vn
2n(Fr; eit) =
1
n
2n∑
k=n+1
Sk(Fr; eit) = c0 +
2n∑
k=1
λ
(n)
k rk(ckeit + c−ke
−ikt),
äå
λ
(n)
k =
1, k = 1, 2, . . . , n,
2n− k + 1
n
, k = n+ 1, n+ 2, . . . , 2n.
Äëÿ áóäü-ÿêî¨ ñóìîâíî¨ 2π-ïåðiîäè÷íî¨ ôóíêöi¨ ñóìè Âàëëå Ïóñ-
ñåíà vn
2n ¨¨ ðÿäó Ôóð'¹ çáiãàþòüñÿ â ñåðåäíüîìó. Äiéñíî, ÿêùî τ∗n(eiθ) �
òðèãîíîìåòðè÷íèé ïîëiíîì ïîðÿäêó n, ùî íàéêðàùå íàáëèæ๠ôóíê-
öiþ Fr(eit) â ìåòðèöi L1, òî
‖Fr − vn
2n(Fr)‖1 =
1
2π
2π∫
0
|Fr(eit)− vn
2n(Fr; eit)|dt ≤
288 Ð.Â. Òîâêà÷
≤ 1
2π
2π∫
0
|Fr(eit)− τ∗n(eit)|dt+
1
2π
2π∫
0
|vn
2n(Fr − τ∗n; eit)|dt ≤
≤ C
2π∫
0
|(Fr(eit)− τ∗n(eit)|dt(1 + ||vn
2n||L→L) → 0, n→∞,
áî, ÿê âiäîìî, ||vn
2n||L→L ≤ C.
Îñêiëüêè
vn
2n(Fr; eit)− Sn(Fr; eit) =
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(ckeikt + c−ke
−ikt),
òî ïðè n→∞
‖Fr − Sn(Fr)‖1 = ‖(vn
2n(Fr)− Sn(Fr))− (Fr − vn
2n(Fr))‖1 =
= ‖vn
2n(Fr)− Sn(Fr)‖1 + o(1) =
=
1
2π
2π∫
0
∣∣∣∣∣
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∣∣∣∣∣ dt+ o(1). (17)
Îöiíèìî îñòàííié iíòåãðàë çíèçó.
Ðiçíèöÿ ìiæ ñóìîþ Âàëëå Ïóññåíà é ÷àñòèííîþ ñóìîþ ñïðÿæå-
íîãî ðÿäó ôóíêöi¨
F̃r(eit) = −i
∞∑
k=−∞
sign kr|k|ckeikx
ìàòèìå âèãëÿä
ṽn
2n(Fr; eit)− S̃n(Fr; eit) = vn
2n(F̃r; eit)− Sn(F̃r; eit) =
= −i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(ckeikt − c−ke
−ikt).
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç T2n(eit) òðèãîíîìåòðè÷íèé ïîëiíîì ïîðÿäêó 2n
âèäó
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 289
T2n(eit) :=
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(ckeikt + c−ke
−ikt),
òîäi
T̃2n(eit) := −i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(ckeikt − c−ke
−ikt).
Äàëi ðîçãëÿíåìî âèðàç
T ′2n(eit) + iT̃ ′2n(eit).
Î÷åâèäíî, ùî
T ′2n(eit) + iT̃ ′2n(eit) = i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(kckeikt − kc−ke
−ikt)+
+i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rk(kckeikt + kc−ke
−ikt)=2i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rkkcke
ikt.
Òîìó
2
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n
rkkcke
ikt
∥∥∥∥∥
1
≤
∥∥T ′2n(eit)
∥∥
1
+
∥∥∥T̃ ′2n(eit)
∥∥∥
1
.
Çàñòîñó¹ìî äî ïðàâî¨ ÷àñòèíè îñòàííüîãî ñïiââiäíîøåííÿ íåðiâ-
íîñòi Áåðíøòåéíà [4, ñ. 23]. Ïðè öüîìó áóäåìî ìàòè∥∥T ′2n(eit)
∥∥
1
+
∥∥∥T̃ ′2n(eit)
∥∥∥
1
≤ 4n
∥∥T2n(eit)
∥∥
1
.
Òîáòî
2
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkcke
ikt
∥∥∥∥∥
1
≤
290 Ð.Â. Òîâêà÷
≤ 4n
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
. (18)
Àíàëîãi÷íî, íà îñíîâi ðiâíîñòi
−2i
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkc−ke
−ikt = vn
2n
′(Fr; eit)− S′n(Fr; eit)−
−i(ṽn′
2n(Fr; eit)− S̃′n(Fr; eit)) =: T ′2n(eit)− iT̃ ′2n(eit),
îòðèìó¹ìî
2
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkc−ke
−ikt
∥∥∥∥∥
1
≤
∥∥T ′2n(eit)
∥∥
1
+
∥∥∥T̃ ′2n(eit)
∥∥∥
1
.
Çàñòîñîâóþ÷è íåðiâíîñòi Áåðíøòåéíà [4, ñ. 23] äî ïðàâî¨ ÷àñòèíè
îñòàííüîãî ñïiââiäíîøåííÿ, çíàéäåìî
2
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkc−ke
−ikt
∥∥∥∥∥
1
≤
≤ 4n
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
. (19)
Çàñòîñîâóþ÷è äî ìíîãî÷ëåíà
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkckz
k
íåðiâíiñòü Õàðäi [3, ñ. 454], ìàòèìåìî
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 291
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkcke
ikt
∥∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkcke
i(k−n)t
∥∥∥∥∥
1
=
=
∥∥∥∥∥
n∑
ν=1
n− ν + 1
n+ 1
rn+ν(n+ ν)cn+νe
iνt
∥∥∥∥∥
1
≥
≥ C
n∑
ν=1
(n− ν + 1)rn+ν(n+ ν)|cn+ν |
(n+ 1)ν
≥
≥Cn
n∑
ν=1
|cn+ν |
ν
rn+ν−C
n∑
ν=1
|cn+ν |rn+ν=Cn
n∑
ν=1
|cn+ν |
ν
rn+ν +n o(1), (20)
îñêiëüêè
lim
n→∞
1
n
n∑
ν=1
|cn+ν |rn+ν = 0.
Çi ñïiââiäíîøåíü (18) i (20) âèïëèâà¹, ùî
2n
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
≥
≥ Cn
n∑
ν=1
|cn+k|
k
rn+k + n o(1). (21)
Àíàëîãi÷íî äî òîãî, ÿê áóëî îäåðæàíî íåðiâíiñòü (20), iç ôîðìóëè
(19) çíàõîäèìî
2n
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
≥
≥
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rkkc−ke
−i(k−n)t
∥∥∥∥∥
1
=
292 Ð.Â. Òîâêà÷
=
∥∥∥∥∥
n∑
ν=1
n− ν + 1
n+ 1
rn+ν(n+ ν)c−n−νe
iνt
∥∥∥∥∥
1
≥
≥ C
n∑
ν=1
(n− ν + 1)rn+ν(n+ ν)|c−n−ν |
(n+ 1)ν
≥
≥ Cn
n∑
ν=1
|c−n−ν |
ν
rn+ν + no(1). (22)
Ëiâi ÷àñòèíè ñïiââiäíîøåíü (21) i (22) îäíàêîâi, òîìó, äîäàþ÷è ¨õ,
îòðèìà¹ìî ∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
≥
≥ C
n∑
k=1
|cn+k|+ |c−n−k|
k
rn+k + o(1). (23)
Îòæå∥∥f(eit)− Sn(f ; eit)
∥∥∗
1
= lim
r→1
∥∥vn
2n(Fr; eit)− Sn(Fr)
∥∥
1
+ o(1) =
= lim
r→1
∥∥∥∥∥
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
rk(ckeikt + c−ke
−ikt)
∥∥∥∥∥
1
≥
≥ C lim
r→1
n∑
k=1
|cn+k|+ |c−n−k|
k
rn+k + o(1) =
= C
n∑
k=1
|cn+k|+ |c−n−k|
k
+ o(1).
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 293
Ç îñòàííüî¨ íåðiâíîñòi âèïëèâ๠òâåðäæåííÿ òåîðåìè 1.
Ó âèïàäêó, ÿêùî c−k = 0, ∀ k = 1, 2, . . . , òîáòî êîëè ôóíêöiÿ f(z)
àíàëiòè÷íà â îáëàñòi D = {z : |z| < 1} i ðÿä (11) ñò๠ðÿäîì Òåéëîðà
ôóíêöi¨ f(z), òåîðåìà 1 ä๠íåîáõiäíó óìîâó çáiæíîñòi â ñåðåäíüîìó
ðÿäiâ Òåéëîðà ôóíêöié iç êëàñó Õàðäi H1.
Ó ðîáîòi [2] äîâåäåíî, ùî êîëè êîåôiöi¹íòè ak ðÿäó (4) óòâîðþþòü
íóëü-ïîñëiäîâíiñòü, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (6), òî äëÿ çáiæíîñòi â
ñåðåäíüîìó ðÿäó (4) íåîáõiäíî i äîñòàòíüî âèêîíàííÿ ñïiââiäíîøåííÿ
lim
n→∞
n∑
k=1
1
k
|an+k| = 0. (24)
Òàì æå âñòàíîâëåíî, ùî ÿêùî êîåôiöi¹íòè bk ðÿäó (5) óòâîðþþòü
íóëü-ïîñëiäîâíiñòü, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (6), òî äëÿ çáiæíîñòi â
ñåðåäíüîìó ðÿäó (5) íåîáõiäíî i äîñòàòíüî âèêîíàííÿ ñïiââiäíîøåíü
(6) i
lim
n→∞
n∑
k=1
1
k
|bn+k| = 0. (25)
Ðîçãëÿíåìî ðÿä
∞∑
k=0
ckz
k. (26)
Íåõàé ck = ak − ibk � êîåôiöi¹íòè ðÿäó (26) i {ak}, {bk} � íóëü-
ïîñëiäîâíîñòi, ÿêi íàëåæàòü ìíîæèíi B − T , òîáòî çàäîâîëüíÿþòü
óìîâè (6) i (7). Âiääiëÿþ÷è äiéñíó i óÿâíó ÷àñòèíè â ðÿäi (26) ïðè
z = eix, áóäåìî ìàòè äâà òðèãîíîìåòðè÷íi ðÿäè
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx),
∞∑
k=1
(−bk cos kx+ ak sin kx).
Îñêiëüêè êîåôiöi¹íòè öèõ ðÿäiâ íàëåæàòü ìíîæèíi B−T , òî, çãiä-
íî ç ðåçóëüòàòàìè Ñ.Î. Òåëÿêîâñüêîãî [8], öi òðèãîíîìåòðè÷íi ðÿäè
¹ ðÿäàìè Ôóð'¹ äåÿêèõ ñóìîâíèõ ôóíêöié, ÿêi ïîçíà÷èìî âiäïîâiäíî
g(x) i g̃(x). Öi ôóíêöi¨ ¹ ñïðÿæåíèìè ôóíêöiÿìè.
294 Ð.Â. Òîâêà÷
Äîáðå âiäîìî [3, c. 453], ùî â öüîìó âèïàäêó, òîáòî êîëè g(·) ∈ L
i g̃(·) ∈ L, ñòåïåíåâèé ðÿä (26) ¹ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöi¨ f(z) ∈ H1,
z ∈ D, äå f(eix) = g(x) + ig̃(x).
Âðàõîâóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (24) i (25), à òàêîæ íåðiâíiñòü
2|ck| ≥ |ak|+ |bk| , ìà¹ìî íàñòóïíi òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 2. Íåõàé ck = ak − ibk � êîåôiöi¹íòè ðÿäó (26) i
{ak}, {bk} � íóëü-ïîñëiäîâíîñòi, ÿêi íàëåæàòü ìíîæèíi B − T ,
òîäi ðÿä (26) áóäå ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöi¨ f(z) ∈ H1, z ∈ D, i äëÿ
çáiæíîñòi ðÿäó (26) â ñåðåäíüîìó íåîáõiäíî i äîñòàòíüî âèêîíàííÿ
ñïiââiäíîøåííÿ
lim
n→∞
n∑
k=1
|cn+k|
k
= 0. (27)
Òåîðåìà 3. Íåõàé ck = ak − ibk � êîåôiöi¹íòè ðÿäó (26) i
{ak}, {bk} � íóëü-ïîñëiäîâíîñòi, ÿêi íàëåæàòü ìíîæèíi B−T , òîäi
äëÿ îáìåæåíîñòi ÷àñòèííèõ ñóì ðÿäó (26) íåîáõiäíî i äîñòàòíüî
âèêîíàííÿ ñïiââiäíîøåííÿ
n∑
k=1
1
k
|cn+k| ≤ C. (28)
Àâòîð âèðàæ๠ùèðó âäÿ÷íiñòü äîêòîðó ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ
íàóê Â.Â. Ñàâ÷óêó çà ïðîïîçèöiþ ðîçãëÿíóòè êëàñ ôóíêöié CS i
ïåâíó äîïîìîãó ïðè îäåðæàííi ðåçóëüòàòiâ.
1. Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû. � Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. � 936 ñ.
2. Çàäåðåé Ï.Â. Î ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì ðÿäîâ Òåéëîðà è Ëîðàíà // Åêñòðå-
ìàëüíi çàäà÷i òåîði¨ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ: Ïðàöi Ií-òó ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2003. � 1, � 1. � Ñ. 307 � 314.
3. Çèãìóíä À. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû: â 2-õ ò. � Ì.: Ìèð, 1965. � 1. �
615 ñ.
4. Çèãìóíä À. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû: â 2-õ ò. � Ì.: Ìèð, 1965. � 2. �
537 ñ.
5. Ïðèâàëîâ È.È. Ãðàíè÷íûå ñâîéñòâà àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. � Ì.: Íàó-
êà, 1950. � 336 ñ.
6. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ: â 2-õ ÷. � Êèåâ: Èí-ò ìà-
òåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû. � 2002. � ×. II. � 468 ñ.
Ïðî çáiæíiñòü â ñåðåäíüîìó ðÿäiâ Òåéëîðà i Ëîðàíà . . . 295
7. Ñóåòèí Ï.Ê. Ðÿäû ïî ìíîãî÷ëåíàì Ôàáåðà. � Ì.: Íàóêà, 1984. � 336 ñ.
8. Òåëÿêîâñêèé Ñ.À. Óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ è
èõ ïðèëîæåíèå ê èçó÷åíèþ ëèíåéíûõ ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ ðÿäîâ Ôóðüå
// Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. � 1964. � 28, � 6. � Ñ. 1209 � 1236.
9. Òóìàðêèí Ã.Ö. Îá èíòåãðàëàõ òèïà Êîøè-Ñòèëüòüåñà // Óñïåõè ìàò. íà-
óê. � 1956. � 11, � 4. � Ñ. 163 � 166.
10. Øâåä÷åíêî Ñ.Â. Êëàññû Õàðäè è ñâÿçàííûå ñ íèìè ïðîñòðàíñòâà àíàëè-
òè÷åñêèõ ôóíêöûé â åäèíè÷íîì êðóãå, ïîëèêðóãå è øàðå // Ìàò. àíàëèç
(Èòîãè íàóêè è òåõíèêè ÂÈÍÈÒÈ ÀÍ ÑÑÑÐ). � 1985. � 23, � 3. � 124 ñ.
11. Belinskii E.S. Strong summability of Fourier series of thr periodic functions
from Hp, (0 < p ≤ 1) // Constr. Approx. � 1996. � 12, � 6. � P. 187 � 195.
12. Smith B. A strong convergence theorem for H1(T ) // P. 169�173.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-186 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:41Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/30/43ca753c72104cee76c5cde808cd1530.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1862018-01-29T14:44:27Z On the mean convergence of the Taylor and Laurent series Про збіжність в середньому рядів Тейлора і Лорана Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. For analytic functions in the domain ${\Delta=D\bigcup D_\infty}$ we find conditions expressed in terms of Laurent coefficients, necessary for convergence in the average of its Laurent series. For functions analytic in a circle ~ $D$, necessary and sufficient conditions of convergence in the mean Taylor series are obtained, expressed in terms of the coefficients of the Taylor series, and also the boundedness in the metric of the space $L_1$ of partial sums of the Taylor series Для аналітичних в області ${\Delta=D\bigcup D_\infty}$ функцій знайдено умови, виражені через коефіцієнти Лорана, необхідні для збіжності в середньому її ряду Лорана. Для функцій, аналітичних у крузі~$D$, отримано необхідні і достатні умови збіжності в середньому ряду Тейлора, виражені через коефіцієнти ряду Тейлора, а також обмеженості в метриці простору $L_1$ частинних сум ряду Тейлора Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/186 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 283-295 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 283-295 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 283-295 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/186/153 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title | On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title_alt | Про збіжність в середньому рядів Тейлора і Лорана |
| title_full | On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title_fullStr | On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title_full_unstemmed | On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title_short | On the mean convergence of the Taylor and Laurent series |
| title_sort | on the mean convergence of the taylor and laurent series |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/186 |
| work_keys_str_mv | AT tovkachrv onthemeanconvergenceofthetaylorandlaurentseries AT tovkačrv onthemeanconvergenceofthetaylorandlaurentseries AT tovkachrv prozbížnístʹvserednʹomurâdívtejloraílorana AT tovkačrv prozbížnístʹvserednʹomurâdívtejloraílorana |