Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$
Sufficient conditions to the sequence of functions that are the result of fractal iterated operator transformation into some function coincided on the segment. We obtained error estimates for fractal approximation, which is analogous to Barnsley theorem about a collage of fractal approximation in th...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/188 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552710059851776 |
|---|---|
| author | Nazarenko, M. O. Bryazkalo, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. |
| author_facet | Nazarenko, M. O. Bryazkalo, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. О. Назаренко",
"institution": "Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко"
},
{
"author": "T. A. Брязкало",
"institution": "Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко"
}
] |
| author_sort | Nazarenko, M. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Sufficient conditions to the sequence of functions that are the result of fractal iterated operator transformation into some function coincided on the segment. We obtained error estimates for fractal approximation, which is analogous to Barnsley theorem about a collage of fractal approximation in the space of integrable in $ p $ degree functions with asymmetric metric. Super fractal approximation ofsets has been adapted to approximation of functions on $L_p^{\alpha,\beta}(I)$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 192–204
УДК 517.518
Назаренко М.О., Брязкало Т.А.∗
(Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ)
∗ tianan@yandex.ru
Несиметрична фрактальна
апроксимацiя функцiй
у просторi Lα,β
p (I)
Sufficient conditions to the sequence of functions that are the result of
fractal iterated operator transformation into some function coincided on
the segment. We obtained error estimates for fractal approximation, which
is analogous to Barnsley theorem about a collage of fractal approximation
in the space of integrable in p degree functions with asymmetric metric.
Super fractal approximation of sets has been adapted to approximation of
functions on Lα,β
p (I).
Встановленi достатнi умови для того, щоб послiдовнiсть функцiй, якi
є результатом дiї iтерацiйного оператора фрактального перетворення
на деяку функцiю, збiгалася на вiдрiзку. Одержано оцiнки для похиб-
ки фрактального наближення, що є аналогами теореми Барнслi про
колаж з фрактального наближення на просторi iнтегровних у p-му
степенi функцiй з несиметричною метрикою. Окремим випадком бу-
ло адаптовано суперфрактальну апроксимацiї множин до апроксимацiї
функцiй у Lα,β
p (I).
1. Вступ. Результати статтi вiдносяться головним чином до за-
дач знаходження умов збiжностi алгоритмiв фрактальної та супер-
фрактальної апроксимацiї, а також оцiнок похибки фрактального на-
ближення в несиметричнiй метрицi. Розглядається випадок простору
iнтегровних у p-му степенi на вiдрiзку I функцiй з несиметричною ме-
трикою. Дослiджується випадок при 1 ≤ p < ∞. Цi задачi, важливi
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 193
як з теоретичної, так i з прикладної точки зору, протягом багатьох
рокiв викликають iнтерес вiтчизняних та закордонних фахiвцiв. Ваго-
мi результати були отриманi у роботах Барнслi, Гатчiнсона, Жакена,
Стенфло [1-3].
У роботi отриманi достатнi умови для того, аби оператори фра-
ктального та суперфрактального перетворення були стискуючими або
принаймнi евантуально стискуючими на певнiй замкненiй множинi у
просторi iнтегровних в деякому степенi функцiй з несиметричною ме-
трикою на вiдрiзку. Їх виконання гарантує збiжнiсть послiдовностi
функцiй, якi є результатом дiї iтерацiй оператора фрактального пере-
творення на деяку функцiю, до його єдиної нерухомої точки у метрицi
простору функцiй.
Поведiнка послiдовностi iтерацiй фрактального та суперфракталь-
ного операторiв в метричному просторi, а також в сенсi збiжностi в
просторi iнтегровних в деякому степенi функцiй дослiджена в данiй
роботi. Саме вiд неї залежить, чи буде дослiджуваний оператор сти-
скуючим чи хоча б евантуально стискуючим.
Далi розглядається випадок 0 < p < 1, коли Lα,β
p (I) не є метричним
простором. Зауважимо, що, застосовуючи аналог нерiвностi трикутни-
ка, встановлюються результати аналогiчнi, як i для 1 ≤ p <∞.
2. Фрактальна апроксимацiя у просторi
Lα,β
p (I), 1 ≤ p < ∞. Нехай задано вiдрiзок I = [a, b] ⊂ R.
Зафiксуємо n ∈ N та функцiю f0 ∈ Lα,β
p (I). Виберемо:
1. Набiр точок {xi}ni=0 таких, що a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
тобто таких, що утворюють розбиття вiдрiзка I. Позначимо Ii =
= [xi−1, xi) , i = 1, . . . , n− 1, In = [xn−1, xn] . Очевидно, що Ii ⊂ I,
i = 1, . . . , n;
∪n
i=1 In = I; Ii1 ∩ Ii2 = ∅, 1 ≤ i1 ̸= i2 ≤ n.
2. Набори точок {λi}ni=1, {µi}ni=1 таких, що a ≤ λi < µi ≤ b. Позна-
чимо Ii′ = [λi, µi) або (λi, µi], i = 1, . . . , n− 1; In
′ = [λn, µn] .
3. Набiр {φi}ni=1 бiєкцiй φi : Ii
′ −→ Ii, i = 1, . . . , n, що будуть го-
меоморфiзмами.
4. Набiр {ψi}ni=1 вiдображень ψi : Ii
′ × R −→ R, i = 1, ..., n, що
задовольняють умову Лiпшиця за другою змiнною, а саме:
|ψi (x, y1)− ψi (x, y2)| ≤ di |y1 − y2| ∀x ∈ I, {y1, y2} ⊂ R, di > 0.
Нехай Lp (a, b) , 1 ≤ p <∞, — простiр iнтегровних у p-му степенi на
вiдрiзку I функцiй.
194 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
Задамо числа α > 0, β > 0 i визначимо на Lp (a, b) , 1 ≤ p < ∞,
функцiонал
ρ(f, g) =
(∫ b
a
∣∣α(f − g)+ + β(f − g)−
∣∣pdx)1/p
=
(
∫ b
a
|(f − g)[α sign(f − g)+ + β sign (f − g)−]|
pdx)
1/p
,
де f± (t) = max (±f (t) , 0) .
Цей функцiонал буде метрикою в Lp(a, b), 1 ≤ p < ∞ (див. [4]).
Позначимо простiр з даною метрикою через Lα,β
p ((a; b)) .
Розглянемо наближення функцiї f ∈ Lα,β
p атрактором динамiчної
системи
(
T ◦k)∞
k=0
, породженої iтерацiями деякого оператора T, у ви-
падку, коли атрактором є нерухома точка f∗T оператора T. Зауважимо,
що f∗T може виявитися функцiєю, графiк якої має дробову розмiрнiсть
за Хаусдорфом – Безиковичем [1–3], тобто фракталом.
Нагадаємо: евантуально стискуючим оператором називається опе-
ратор, що задовольняє умову Лiпшиця, i у якого iснує його степiнь,
що є оператором стиску.
Найменший показник такого степеня називається порядком еван-
туально стискуючого оператора.
Нехай
M
(k)
T = sup
f ̸=g,
{f,g}⊂X
ρ
(
T ◦k (f) , T ◦k (g)
)
ρ (f, g)
< +∞, k ∈ N ∪ {0} .
Коефiцiєнтом стиску евантуально стискуючого оператора T поряд-
ку m називається величина M (m)
T .
Вiдмiтимо, що у евантуально стискуючого оператора всi його степе-
нi, починаючи з деякого, є стискуючими операторами. Дiйсно, оскiль-
ки M (m)
T < 1, то, починаючи з деякого k,
M
(mk+p)
T ≤
(
M
(m)
T
)k(
M
(1)
T
)p
< 1, 0 ≤ p ≤ m− 1.
Нагадаємо [2], що оператором фрактального перетворення назива-
ється вiдображення T : Lα,β
p −→ Lα,β
p
(T (f)) (x) =
n∑
i=1
ψi
(
φ−1
i (x) , f
(
φ−1
i (x)
))
χIi (x) , f ∈ Lα,β
p (I) , x ∈ I.
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 195
Тут через χA (x) позначено iндикаторну функцiю множини A i вва-
жається, що добуток невизначеного виразу на нульове значення iнди-
каторної функцiї дорiвнює нулю.
Отже, оператор T задається розбиттям вiдрiзка на промiжки Ii,
видiленням пiдпромiжкiв Ii
′ вiдрiзка I, заданням перетворень пло-
щини Φi (x, y) = (φi (x) , ψi (x, y)), i переводить довiльну функцiю
f ∈ Lα,β
p (I) у кусковозадану функцiю, що є на кожному з промiж-
кiв деформованою копiєю звуження f на промiжок.
Розглянемо множину F ⊂ Lα,β
p (I), 1 ≤ p <∞, iнварiантну вiдносно
фрактального оператора T , тобто таку, що T (F) ⊂ F .
Зауважимо, що для T знайдеться його iтерацiя, можливо, з iще
бiльшим номером, починаючи з якої всi наступнi iтерацiї є стиску-
ючими операторами на F . Евантуально стискуючий оператор деякого
натурального степеня просто називається евантуально стискуючим [2].
Теорема 1. Нехай задано набори точок {xi} , {λi} , {µi} , бiєкцiї {φi}
є дифеоморфiзмами, вiдображення {ψi} задовольняють умови:
ψi ∈ C
(
Ii
′ × R
)
,
|ψi (x, y1)− ψi (x, y2)| ≤ di |y1 − y2| , x ∈ Ii
′, {y1, y2} ⊂ R, di > 0.
Тодi оператор T : Lα,β
p (I) −→ Lα,β
p (I) є неперервним вiдносно метри-
ки
ρ (f, g) =
(∫ b
a
∣∣(f − g)
[
α sign (f − g)+ + β sign(f − g)−
]∣∣pdt)1/p
у просторi Lα,β
p (I), 1 ≤ p < +∞.
Доведення. Коректнiсть визначення оператора T (f) на класi еквi-
валентностi функцiї f очевидна.
Належнiсть функцiї T (f) класу Lα,β
p (I) , 1 ≤ p < +∞, перевiримо
наступним чином:∫
I
∣∣α(T (f))+ (x) + β(T (f))− (x)
∣∣dx =
=
n∑
i=1
∫
Ii
|αψ+(φ
−1
i (x), f(φ−1
i (x))) + βψ−(φ
−1
i (x), f(φ−1
i (x)))|pdx =
196 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
=
n∑
i=1
∫
φ−1
i (Ii)
|αψi+ (x, f (x)) + βψi− (x, f (x))|p |φ′
i (x)| dx ≤
≤ 2p−1
n∑
i=1
∫
φ−1
i (Ii)
(|αψi+ (x, f (x0)) + βψi− (x, f (x0))|p+
+(
∣∣α(ψi (x, f (x))− ψi+ (x, f (x0)))+ + β(ψi (x, f (x))− ψi+ (x, f (x0)))−
∣∣p)×
×|φ′
i(x)|dx ≤ 2p−1
n∑
i=1
∫
φ−1
i (Ii)
|αψi+(x, f(x0)) + βψi−(x, f(x0))|p+
+dpi
∣∣α(f (x)− f (x0))+ + β(f (x)− f (x0))−
∣∣p) ∣∣φ′
i (x)
∣∣ dx < +∞
Неперервнiсть оператора T випливає з нерiвностей:
ρ(T (f) , T (g))
p
=∫
I
∣∣α((T (f)) (x)− (T (g)) (x))+ + β((T (f)) (x)− (T (g)) (x))−
∣∣p dx =
=
n∑
i=1
∫
Ii
|α
(
ψi
(
φ−1
i (x) , f
(
φ−1
i (x)
))
− ψi
(
φ−1
i (x) , g
(
φ−1
i (x)
)))
+
+
β
(
ψi
(
φ−1
i (x) , f
(
φ−1
i (x)
))
− ψi
(
φ−1
i (x) , g
(
φ−1
i (x)
)))
−|
pdx ≤
n∑
i=1
dpi ·
·
∫
Ii
|α
(
f
(
φ−1
i (x)
)
− g
(
φ−1
i (x)
))
+
+β
(
f
(
φ−1
i (x)
)
− g
(
φ−1
i (x)
))
−||φ
′
i(x)|pdx ≤
≤
n∑
i=1
dpimax
I
∣∣φi
′∣∣ ρ(f, g)p.
Таким чином, теорему доведено.
Розглянемо множину функцiй F : F ⊂ Lα,β
p (I).
Теорема 2. Нехай задано набори точок {xi} , {λi} , {µi} , бiєкцiї {φi}
є дифеоморфiзмами, вiдображення {ψi} задовольняють умови:
ψi ∈ C
(
Ii
′ × R
)
,
|ψi (x, y1)− ψi (x, y2)| ≤ di |y1 − y2| , x ∈ Ii
′, {y1, y2} ⊂ R, di > 0.
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 197
Iснує границя
wp = lim
k→∞
n∑
i1,...,ik=1
(di1 ...dik)
p
vi1...ik,p;α,β
1/k
< +∞,
де
vi1...ik,p;α,β =
sup
f ̸=g
{f,g}⊂F
[
∫
φ
i
−1
k
(
Iik∩...∩φ
i
−1
2
(
Ii2∩φ
i
−1
1
(Ii1)
)
...
) ∣∣α(f − g)+ + β(f − g)−
∣∣×
×
∣∣(φi1 ◦ ... ◦ φik)
′∣∣ dx ·
(∫
I
∣∣α(f − g)+ + β(f − g)−
∣∣pdx)−1
].
Доведення. Позначимо
wk,p =
n∑
i1,...,ik
dpi1 ...d
p
ik
vi1...ik,p;α,β.
Iснування границi wp = lim
k→∞
w1/k
k,p
= inf
k≥1
w1/k
k,p
< +∞ випливає з мiрку-
вань субмультиплiкативностi [2], тобто wk1+k2 ≤ wk1,pwk2,p.
Нехай
Mk (T,F , Lp;α,β (I)) =
n∑
i1,...ik=1
dpi1 ...d
p
ik
vi1...ik
(
F , Lα,β
p
)
, k ≥ 1.
Теорема 3. Якщо infk≥1Mk
(
T,F , Lα,β
p
)
< 1, то оператор T — еван-
туально стискуючий на F .
Доведення. Оператор T — евантуально стискуючий на F , оскiльки
iснує такий номер k, що wk,p < 1. Дiйсно, запишемо нерiвностi, з яких
випливає потрiбний результат:
sup
f ̸=g,
{f,g}⊂F
ρ(T (f) , T (g))
p
ρ(f, g)
p ≤
n∑
i=1
dpi vi,p,
.......................................
sup
f ̸=g,
{f,g}⊂F
ρ
(
T ◦k (f) , T ◦k (g)
)p
ρ(f, g)
p ≤
n∑
i=1
dpi1 ...d
p
ik
vi1...ik,p.
198 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
Теорема 4. Якщо F замкнена, то у оператора T iснує єдина нерухо-
ма точка f∗T в F i для довiльної f ∈ F маємо T ◦k (f) → f∗T , k → ∞.
Ця збiжнiсть буде мати експоненцiйний характер.
Доведення. Доведення теореми випливає з узагальнення принципу
Банаха про стискуючi вiдображення.
Перенесемо тепер визначення оператора T на функцiю f ∈ Lα,β
p (I),
при 0 < p < 1. Даний простiр не є метричним, бо не виконується
нерiвнiсть трикутника. Але є аналогiчна нерiвнiсть, що має мiсце:
ρ (f, g) ≤ C · (ρ (f, h) + ρ (h, g)) , {f, g, h} ⊂ Lα,β
p (I) , C := 2
1
p−1 > 1,
0 < p < 1. Оскiльки маємо наступнi нерiвностi:(∫
I
∣∣α(f − g)+ + β(f − g)−
∣∣pdx)1/p
≤
≤
(∫
I
∣∣α(f − h)+ + β(f − h)− + α(h− g)+ + β(h− g)−
∣∣pdx)1/p
≤
≤
(∫
I
(∣∣α(f − h)+ + β(f − h)−
∣∣p + ∣∣α(h− g)+ + β(h− g)−
∣∣p)dx)1/p
=
=
(∫
I
∣∣α(f − h)+ + β(f − h)−
∣∣pdx+
∫
I
∣∣α(h− g)+ + β(h− g)−
∣∣pdx)1/p
≤
≤ 2
1
p
−1
(∫
I
∣∣α(f − h)+ + β(f − h)−
∣∣pdx)1/p
+
+2
1
p
−1
(∫
I
∣∣α(h− g)+ + β(h− g)−
∣∣pdx)1/p
.
Отже, аналогiчно до метричного простору вводяться поняття збi-
жної послiдовностi, фундаментальної послiдовностi, повного простору,
вiдображення стиску i всi iншi, що використовуються [7]. Тверджен-
ня 1 – 3 залишаються правильними, а їх доведення буде аналогiчне
наведеним вище. Враховуючи аналог нерiвностi трикутника, можливо
встановити аналог твердження 4, скориставшись метричною теоремою
про нерухомi точки, що узагальнює теорему Банаха.
Як i в [6], нехай задано пару (X, ρ), де функцiя ρ : X × X −→ R
задовольняє стандартнi аксiоми метрики, крiм нерiвностi трикутника,
замiсть якої виконується умова:
∀ε > 0 ∃δ = δ (ε) > 0 ∀ {x, y, z} ⊂ X, ρ (x, z) + ρ (z, y) ≤ δ : ρ (x, y) ≤ ε.
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 199
Припустимо, що (X, ρ) є повним хаусдорфовим простором (тобто
для довiльних двох точок простору знайдуться ρ-кулi з центрами
в цих двох точках, якi не перетинаються). Нехай вiдображення
f : X −→ X є вiдображенням стиску, тобто ρ (f (x) , f (y)) ≤
≤ dρ (x, y) для всiх {x, y} ⊂ X i неспадної функцiї
φ : [0,+∞) −→ [0,+∞) , lim
n→∞
φ◦n (t) = 0, t ≥ 0. Тодi iснує єди-
на нерухома точка x∗ ∈ X вiдображення f , причому, для всiх
x ∈ X : f◦n (x) → x∗, n→ ∞.
Також, можна покласти φ (t) = d t, t ≥ 0, 0 ≤ d < 1. З нерiвностi
типу трикутника випливає вказана умова на вiдстань.
Отже, аналоги тверджень 1 – 4 для функцiй з Lα,β
p (I), 0 < p < 1 є
справедливими.
3. Суперфрактальна апроксимацiя у просторi
Lα,β
p (I), 1 ≤ p < ∞. У сучаснiй теорiї фрактальних наближень
важливу роль займає таке поняття як суперфрактали. Адаптуємо ме-
тоди апроксимацiї множин, введенi Майклом Барнслi до апроксимацiї
функцiй з iнтегровними степенями. У статтях [8–10] математикiв було
здiйснено першi кроки в описi алгоритму суперфрактальної iнтерпо-
ляцiї. Дослiдимо граничну поведiнку послiдовностi нелiнiйних опера-
торiв у сенсi несиметричної збiжностi.
Нехай задано вiдрiзок I = [a, b] ⊂ R, Ω = {1, ...,m}∞.
a. Набiр точок {xi}ni=0 таких, що a = x0 < x1 < ... < xn = b,
тобто таких, що утворюють розбиття вiдрiзка I. Позначимо Ii =
= [xi−1, xi), i = 1, . . . , n− 1, In = [xn−1, xn]. Очевидно, що Ii ⊂ I,
i = 1, . . . , n;
∪n
i=1 In = I; Ii1 ∩ Ii2 = ∅, 1 ≤ i1 ̸= i2 ≤ n.
b. Набори точок {λi}ni=1, {µi}ni=1 таких, що a ≤ λi < µi ≤ b. Позна-
чимо Ii′ = [λi, µi) або (λi, µi], i = 1, . . . , n− 1; In
′ = [λn, µn] .
c. Набiр {φi}ni=1 бiєкцiй φi : Ii
′ −→ Ii, i = 1, . . . , n, що будуть гомео-
морфiзмами.
d. Набiр {ψij}ni=1 вiдображень ψij : Ii
′ × R −→ R, i = 1, . . . , n, що
задовольняють умову Лiпшиця за другою змiнною, а саме
|ψij (x, y)− ψij (x, y
′)| ≤ δij |y − y′| , x ∈ Ii
′, y, y′ ∈ R, δij > 0,∫
Ii′
|ψij (x, y)|pdx < +∞, y ∈ R.
Позначимо δ̃i := max
1≤j≤m
δij .
200 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
Суперфрактальнi оператори Tk : Ω × Lα,β
p (I) −→ Lα,β
p (I),
k ≥ 1, 1 ≤ p < +∞, та суперфрактальну функцiю
T∞ = g∗j : Ω −→ Lα,β
p (I) , 1 ≤ p < +∞, задамо наступним чином:
(Tk(j, f))(x) = Tk(j, f, x) := ψi1j1(φ
−1
i1 (x), ψi2j2(φ
−1
i2 ◦
◦φ−1
i1 (x), ...ψikjk(φ
−1
ik
◦ ... ◦ φ−1
i1 , f ◦ φ−1
ik
◦ ... ◦ φ−1
i1 (x))...)),
i1 = i1 (x) : x ∈ Ii1 , i
2 = i2 (x) : φ−1
i1 (x) ∈ Ii2 , i
3 = i3 (x) : φ−1
i2 ◦
◦φ−1
i1 (x) ∈ Ii3 , . . . ,
g∗j (x) := lim
k→∞
(Tk (j, f)) (x) , j ∈ Ω, f ∈ Lα,β
p (I) , 1 ≤ p < +∞, x ∈ I.
Зауважимо, що Tk (j, f, x) залежить лише вiд k перших компонент
j. Вважатимемо, що (T0 (j, f)) (x) = T0 (j, f, x) := f (x).
Розглянемо для фiксованого j ∈ Ω граничну поведiнку суперфра-
ктальних операторiв Tk (j, ·) : Lα,β
p (I) −→ Lα,β
p (I) , k ≥ 1, у просторi
Lα,β
p (I), 1 ≤ p < +∞.
Позначимо
φ−1
ik
(
Iik ∩ φ−1
ik−1
(
Iik−1 ∩ ...φ−1
i2
(
Ii2 ∩ φ−1
i1
(Ii1)
)
...
))
=: I ′i1...ik = I ′i,
i := (i1, ..., ik) ∈ {1, ..., n}k.
Нехай Rk :=
{
{r1, ..., rs} | {r1, ..., rs} ⊂ {1, ..., n}k, r1 ̸= ...rs, s ≥ 1
}
—
множина невпорядкованих наборiв з {1, ..., n}k; Jr1,...,rs :=
:= cl
(
I ′r1 ∩ I ′rs\
∪
i∈{1,...,n}k\{r1,...,rs}I
′
i
)
— вiдрiзок чи об’єднан-
ня вiдрiзкiв (при |Jr1,...,rs | > 0), {r1, ..., rs} ∈ Rk, де cl (J) — замикання
J . Маємо: |Jr1,...,rs ∩ Jr1′,...,rs′ | = 0, {r1, ..., rs} ̸= {r1′, ..., rs′}.
Теорема 5. Припустимо, що виконуються умови a – d та такий
числовий ряд збiгається:
∞∑
k=1
δ
(k)
p :=
∞∑
k=1
max
r1,...,rs∈Rk:
|Jr1,...,rs |>0
max
x∈Jr1,...,rs
∑
i∈1,...,nk:
I′i⊃Jr1,...,rs
δ̃i1 ...δ̃ik
p · |(φi1 ◦ ... ◦ φik )
′(x)|
1/p
< +∞.
(1)
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 201
Тодi оператори Tk : Ω × Lα,β
p (I) −→ Lα,β
p (I) , k ≥ 1, 1 ≤ p < +∞ ви-
значаються коректно, тобто Tk (j, f) не залежить вiд вибору пред-
ставника у класi еквiвалентностi f ∈ Lα,β
p (I) та Tk
(
j, Lα,β
p (I)
)
⊂
⊂ Lα,β
p (I) , j ∈ Ω.
Oператор T∞ = Ω → Lα,β
p (I) , 1 ≤ p < +∞ визначений коректно,
тобто границя g∗j (x) iснує в сенсi простору Lα,β
p (I) для всiх j ∈ Ω
та не залежить вiд f ∈ Lα,β
p (I).
Оператор Tk (j, ·) дiє у просторi Lα,β
p (I) неперервно.
Функцiя g∗j задовольняє рiвнiсть Tk
(
j, g∗Skj
)
= g∗j , j ∈ Ω, k ≥ 1.
Доведення. Якщо f = g в Lα,β
p (I) , то Tk (j, f) = Tk (j, g) в Lα,β
p (I) .
Дiйсно,
ρ(T1(j, f), T2(j, g))
p ≤
≤
n∑
i=1
max
I′
i
|φ′
i| · d
p
ij
∫
I′
i
∣∣α(f − g)+ + β(f − g)−
∣∣pdx = 0, dij > 0,
тобто, T1 (j, f) = T1 (j, g) в Lα,β
p (I) . Враховуючи, що має мiсце подання
Tk+q (j, f, x) = Tk
(
j, Tq
(
Skj, f, ·
)
, x
)
,
де S : Ω −→ Ω — зсув, S (j1, j2, ...) = (j2, j3, ...) , тодi, T2 (j, f) =
= T2 (j, g) , . . . , Tk (j, f) = Tk (j, g) в Lα,β
p (I) .
Крiм того,(∫
I′
i
|αψij;+ (x, f (x)) + βψij;− (x, f (x))|pdx
)1/p
≤
≤
(∫
I′
i
|αψij;+ (x, y) + βψij;− (x, y)|pdx
)1/p
+
+δij
(∫
I′
i
|αψij;+ (f (x) , y) + βψij;− (f (x) , y)|pdx
)1/p
<
< +∞, f ∈ Lα,β
p (I) ,
тодi, ∫
I
∣∣α(T1 (j, f, x))+ + β(T1 (j, f, x))−
∣∣pdx ≤
202 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
≤
n∑
i=1
max
I′
i
|φ′
i| ·
∫
I′
i
|αψij;+ (x, f (x)) + βψij;− (x, f (x))|pdx < +∞,
тобто,
T1
(
j, Lα,β
p (I)
)
⊂ Lα,β
p (I) .
Враховуючи,
Tk+q (j, f, x) = Tk
(
j, Tq
(
Skj, f, ·
)
, x
)
,
Tk
(
j, Lα,β
p (I) (I)
)
⊂ Tk−1
(
j, Lα,β
p (I) (I)
)
⊂ ... ⊂ Lα,β
p (I) ,
ρ(Tk(j, f), Tk(j, g))
p ≤∫
I
(δi1(x),j1 ...δik(x),jk)
p ·|αf − g)+ + β(f − g)−|
p◦φ−1
ik(x)
◦...◦φ−1
i1(x)(x)dx =
∑
1≤i1,...,ik≤n:
|I′i|>0
((δi1j1 ...δikjk)
p
∫
I′i
|α(f − g)+ + β(f − g)−|
p|(φi1 ◦ ... ◦ φik )
′|dx) =
∑
Υ
((δi1j1 ...δikjk)
p
∑
Ψ
∫
Jr1,...,rs
|α(f − g)+ + β(f − g)−|
p|(φi1 ◦ ... ◦ φik)
′|dx) =
∑
Ψ
∫
Jr1,...,rs
(
∑
Υ
(δi1j1 ...δikjk)
p|(φi1 ◦ ... ◦ φik )
′|)|α(f − g)+ + β(f − g)−|
pdx ≤
≤ max
Ψ
max
x∈Jr1,...,rs
∑
Υ
(δi1j1 ...δikjk)
p · |(φi1 ◦ ... ◦ φik)
′|p·
·
∑
Ψ
∫
Jr1,...,rs
|α(f − g)+ + β(f − g)−|
pdx ≤
(
δ(k)p
)p
· ρ(f, g)p, (2)
де Ψ = {(r1, ..., rs) ∈ Rk : Jr1,...,rs ⊂ I ′i, |Jr1,...,rs | > 0},
Υ = {i ∈ 1, ..., nk : |I ′i| > 0}.
Отже, оператор Tk (j, ·) у просторi Lα,β
p (I) задовольняє умову Лi-
пшиця i є неперервним. Тодi
ρ(Tk+q(j, f), Tk(j, f)) ≤
k+q−1∑
l=k
ρ(Tl+1(j, f), Tl(j, f)) =
=
k+q−1∑
l=k
ρ
(
Tl
(
j, T1
(
Slj, f
))
, Tl (j, f)
)
≤
Несиметрична фрактальна апроксимацiя функцiй . . . 203
≤
∞∑
l=k
δ(l)p ρ
(
T1
(
Slj, f
)
, f
)
≤
≤
( ∞∑
l=k
δ(l)p
)
max
1≤j1≤m
ρ (T1 (j, f) , f) → 0, k → ∞, (3)
за умовою (1). Отже, послiдовнiсть функцiй Tk(j, f), k ≥ 1, фунда-
ментальна в Lα,β
p (I) i тому має границю. З (2) випливає за умовою
(1):
ρ (Tk (j, f) , Tk (j, g)) ≤ δ(k)p ρ (f, g) → 0, k → ∞.
Отже, границя не залежить вiд f та її можна позначити через g∗j .
Для доведення тотожностi потрiбно перейти у рiвностi
Tk+q (j, f, x) = Tk
(
j, Tq
(
Skj, f, ·
)
, x
)
до границi в просторi Lα,β
p (I) при
q → ∞, що можна зробити в силу неперервностi оператора Tk (j, ·) в
Lα,β
p (I).
Теорема 6. (Аналог теореми про коллаж) Припустимо, що виконую-
ться умови a – d та наступний числовий ряд збiгається:
∞∑
k=1
δ
(k)
p :=
:=
∞∑
k=1
max
r1,...,rs∈Rk:
|Jr1,...,rs |>0
max
x∈Jr1,...,rs
∑
i∈1,...,nk:
I′i⊃Jr1,...,rs
δ̃i1 ...δ̃ik
p·|(φi1 ◦ ... ◦ φik)
′(x)|
1/p
< +∞.
Тодi виконуються наступнi нерiвностi:
1) ∀f ∈ Lα,β
p (I) , j ∈ Ω,
ρ
(
f, g∗j
)
≤
(
1 +
∞∑
k=1
δ(k)p
)
max
1≤j1≤m
ρ (T1 (j, f) , f) .
2) ∀f ∈ Lα,β
p (I) , j ∈ Ω, k ≥ 1,
ρ
(
Tk (j, f) , g
∗
j
)
≤
( ∞∑
l=k
δ(l)p
)
max
1≤j1≤m
ρ (T1 (j, f) , f) .
Доведення. Твердження 2) випливає з (3) при q → ∞.
1) отримуємо з нерiвностi 2) при k = 0.
204 М.О. Назаренко, Т.А. Брязкало
Лiтература
[1] Barnsley M. F. Fractal Everywhere. — Academic Press, Inc., 1988.
[2] Barnsley M. F. Fractal functions and interpolation // Contr. Approx. —
1986. — 2(1). — P. 303 – 329.
[3] Barnsley M. F., Harrington A. N. The calculus of fractal interpolation
functions // J.Approx. Theory. 1989. — 57. — P. 14 – 34.
[4] Бабенко В.Ф. Несимметрические приближения в пространствах сумми-
руемых функций // Укр. мат. журн. – 1982. — 34, №4. — C. 409 – 416.
[5] Мiтiн Д. Ю., Назаренко М. О. Фрактальна апроксимацiя в просторах
C i Lp та її застосування в задачах кодування зображень // Зб. праць
iнституту математики НАН України. — 2005. — 2, №2. — C. 161 – 175.
[6] Jachymski J., Matkowski J., Swiatkowski T. Nonlinear contactions on semi-
metric spaces // J. of applied analysis. –– 1995. –– 1, No. 2. –– P. 125 – 134.
[7] Мiтiн Д. Ю., Назаренко М. О. Фрактальна апроксимацiя у просторах
Lp, 0 < p < 1 // Вiсник КНУ iменi Тараса Шевченка / Математика.
Механiка /. — 2008. — № 19 - 20. –– C. 4 – 7.
[8] Kapoor G. P., Prasad S.A. Super fractal interpolation functions // arXiv
preprint / arXiv:1201.3491 [math.DS] /. — 2012.
[9] Kapoor G. P., Prasad S.A. Convergence of cubic spline super fractal
interpolation functions. // arXiv preprint / arXiv:1201.3997 [math.DS] /. —
2012.
[10] Мiтiн Д. Ю. Суперфрактальна апроксимацiя функцiй // Укр. мат.
журн. — 2014. — 66, №9. — C. 1280 – 1285.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-188 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:45Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/75/d675e1260e093ab0c794dfac10c7e275.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1882018-01-23T12:10:05Z Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ Несиметрична фрактальна апроксимація функцій у просторі $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ Nazarenko, M. O. Bryazkalo, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Sufficient conditions to the sequence of functions that are the result of fractal iterated operator transformation into some function coincided on the segment. We obtained error estimates for fractal approximation, which is analogous to Barnsley theorem about a collage of fractal approximation in the space of integrable in $ p $ degree functions with asymmetric metric. Super fractal approximation ofsets has been adapted to approximation of functions on $L_p^{\alpha,\beta}(I)$. Встановлені достатні умови для того, щоб послідовністьфункцій, які є результатом дії ітераційного оператора фрактальногоперетворення на деяку функцію, збігалася на відрізку. Одержанооцінки для похибки фрактального наближення, що є аналогами теоремиБарнслі про колаж з фрактального наближення на просторіінтегровних у $p$-му степені функцій з несиметричною метрикою.Окремим випадком було адаптовано суперфрактальну апроксимаціїмножин до апроксимації функцій у $L_p^{\alpha,\beta}(I)$. Встановлені достатні умови для того, щоб послідовністьфункцій, які є результатом дії ітераційного оператора фрактальногоперетворення на деяку функцію, збігалася на відрізку. Одержанооцінки для похибки фрактального наближення, що є аналогами теоремиБарнслі про колаж з фрактального наближення на просторіінтегровних у $p$-му степені функцій з несиметричною метрикою.Окремим випадком було адаптовано суперфрактальну апроксимаціїмножин до апроксимації функцій у $L_p^{\alpha,\beta}(I)$. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/188 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 192–204 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 192–204 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 192–204 3083-7529 1815-2910 uk ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/188/161 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Nazarenko, M. O. Bryazkalo, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Назаренко, М. О. Брязкало, T. A. Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title | Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_alt | Несиметрична фрактальна апроксимація функцій у просторі $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_full | Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_fullStr | Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_full_unstemmed | Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_short | Asymmetric fractal approximation of functions in the space $L_p^{\alpha ,\beta }(I)$ |
| title_sort | asymmetric fractal approximation of functions in the space $l_p^{\alpha ,\beta }(i)$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/188 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkomo asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT bryazkalota asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT nazarenkomo asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT brâzkalota asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT nazarenkomo asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT brâzkalota asymmetricfractalapproximationoffunctionsinthespacelpalphabetai AT nazarenkomo nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai AT bryazkalota nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai AT nazarenkomo nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai AT brâzkalota nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai AT nazarenkomo nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai AT brâzkalota nesimetričnafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíjuprostorílpalphabetai |