Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space
We introduce new notions of linearly convex and conjugated functions in multidimensionalhypercomplex space being a n-product of quaternions. There are investigated properties of theseobjects.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/189 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552709309071360 |
|---|---|
| author | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. |
| author_facet | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Стефанчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "М. В. Ткачук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Stefanchuk, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We introduce new notions of linearly convex and conjugated functions in multidimensionalhypercomplex space being a n-product of quaternions. There are investigated properties of theseobjects. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 225–235
УДК 514.517 + 517.55
М.В. Стефанчук 1, М.В. Ткачук 2
1 , 2 (Iнститут математики НАН України, Київ)
1 stefanmv43@gmail.com, 2 mvtkachuk@mail.ru
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї в
гiперкомплексному просторi
We introduce new notions of linearly convex and conjugated functions in
multidimensional hypercomplex space being a n-product of quaternions.
There are investigated properties of these objects.
У данiй роботi вводиться поняття лiнiйно опуклих та спряжених фун-
кцiй в n-вимiрному гiперкомплексному просторi Hn, дослiджуються
їхнi властивостi.
1. Лiнiйно опуклi функцiї. Дана робота присвячена уза-
гальненню деяких результатiв щодо багатозначних функцiй в ком-
плексному просторi (див. [1, 2]) на гiперкомплексний простiр Hn,
n = 1, 2, . . . , що є прямим добутоком n-копiй тiла кватернiонiв H [3]
(H1 := H).
Для довiльного скаляра λ ∈ H i вектора x ∈ Hn задамо множе-
ння вектора на скаляр у виглядi: λx := (λx1, . . . , λxn). Вектори x, y
називаються колiнеарними, якщо x = λy з певним λ ∈ H.
Також введемо поняття лiнiйного функцiонала l : Hn −→ H, що має
характеристичну властивiсть: l(ax + by) = al(x) + bl(y) при всiх x i y
з Hn i довiльних a i b з H. Обмежимось розглядом лiнiйних функцiо-
налiв, що можуть бути записанi у виглядi: l(x) = x1a1 + · · · + xnan,
де a = (a1, . . . , an) є фiксованим елементом з Hn. Тодi, беручи до
уваги, що довiльний a ∈ Hn породжує функцiонал даного типу, на-
звемо a = (a1, . . . , an) ковектором i елементом спряженого простору
Hn∗. Для довiльної пари x = (x1, . . . , xn) ∈ Hn, y = (y1, . . . , yn) ∈
∈ Hn∗ визначимо скалярний добуток ⟨x, y⟩: ⟨x, y⟩ :=
∑n
m=1 xmym.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
226 М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук
Якщо ⟨x, y⟩ = 0, то вектори x i y назвемо ортогональними. Очевидно,
що всi пари векторiв, колiнеарнi, вiдповiдно, x i y, також є ортогональ-
ними.
Гiперплощиною назвемо множину L ⊂ Hn, що задовольняє одну
з умов: ⟨x, a⟩ = w, ⟨x − x0, a⟩ = 0, де x — довiльна точка множини
L, x0 — фiксований вектор, w — фiксований скаляр з H, a — фiксо-
ваний ковектор. Назвемо ковектор a нормаллю. Вiдповiдно, афiнними
будемо називати лише функцiї виду: l(x) = ⟨x, a⟩+ b, b ∈ H.
Означення 1. Множина E ⊂ Hn називається лiнiйно опуклою (спра-
ва), якщо для кожної точки x0 = (x0
1, x
0
2, ..., x
0
n) ∈ Hn \ E iснує кватер-
нiонна гiперплощина {x = (x1, x2, ..., xn) : ⟨x− x0, a⟩ = 0, a ∈ Hn∗}, яка
проходить через x0 i не перетинає Е.
Означення 2. Лiнiйно опукла множина E ⊂ Hn називається строго
лiнiйно опуклою, якщо для довiльної опорної гiперплощини l перетин
l
∩
E не мiстить внутрiшнiх вiдносно l точок.
Означення 3. Замкнена або вiдкрита множина E ⊂ Hn називається
сильно лiнiйно опуклою, якщо для довiльної гiперкомплексної прямої
γ множина γ
∩
E ациклiчна [4], [5].
У спряженому просторi будемо розглядати лiнiйно опуклi множини
злiва, вони мають властивостi, аналогiчнi властивостям лiнiйно опу-
клих множин справа.
Введемо поняття багатозначної функцiї. Функцiя f : Hn −→ H на-
зивається багатозначною, якщо образом точки x ∈ Hn є множина
f(x) ∈ H. Область визначення такої функцiї будемо позначати через
Ef := {x ∈ Hn : iснує y ∈ H, y = f(x)}.
Означення 4. Багатозначна функцiя f : Ef −→ H називається лiнiй-
но опуклою, якщо для довiльної пари точок (x0, y0) ∈ Hn+1 \Γ(f) iснує
афiнна функцiя l, така, що y0 = l(x0) i l(x)
∩
f(x) = ∅ для всiх x ∈ Hn,
де через Γ(f) позначено графiк функцiї f.
Означення 5. Лiнiйно опукла функцiя f : Ef −→ H називається силь-
но лiнiйно опуклою (вiдповiдно строго лiнiйно опуклою), якщо її гра-
фiк Γ(f) є сильно лiнiйно опуклою (вiдповiдно строго лiнiйно опуклою)
множиною в Hn+1 (в строгому випадку вимагаємо ще вiдкритiсть обла-
стi визначення функцiї для того, щоб уникнути вертикальних доти-
чних до графiка x = x0, якi будуть опорними гiперплощинами до гра-
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї ... 227
фiка функцiї f, i їх перетин з графiком функцiї f може мати внутрiшнi
вiдносно цих гiперплощин точки).
Означення лiнiйно опуклої функцiї можна поширити на багатозна-
чнi функцiї, якi приймають значення в розширенiй гiперкомплекснiй
площинi Ho = H
∪
(∞), компактифiкованiй однiєю точкою, вважаючи,
що в тих точках x ∈ Hn, де f(x) не визначена, f(x) = ∞ (при цьому
ми вважаємо, що в довiльному околi точки х iснують точки, в яких
функцiя визначена).
Ефективною множиною лiнiйно опуклої функцiї f назвемо прое-
кцiю на Hn графiка функцiї f. Лiнiйно угнутою функцiєю назвемо таку
багатозначну функцiю f, для якої функцiя φ = H \ f — лiнiйно опукла.
Багатозначною афiнною функцiєю назвемо функцiю лiнiйно опу-
клу i лiнiйно угнуту одночасно, для якої знайдеться принаймнi одна
точка x ∈ Hn, в якiй кожна з множин (f(x)
∩
H), (H \ f(x)) є непорож-
ньою.
Легко перевiрити, що для багатозначної афiнної функцiї справе-
длива рiвнiсть f(x) = f(Θ) + l(x), де l — однозначна афiнна функцiя,
а Θ = (0, 0, ..., 0).
Дiйсно, вiзьмемо точку x0, для якої f(x0) /∈ {∅,H}, i точки
y1 ∈ f(x0), y2 ∈ H \ f(x0). Внаслiдок афiнностi iснують гiперпло-
щини l1, l2 : (x0, y1) ∈ l1 ⊂ Γ(f), (x0, y2) ∈ l2 ⊂ Hn+1 \ Γ(f). Звiдки
випливає, що для довiльної точки x такої, що x ∈ Ef , виконують-
ся умови: f(x) /∈ {∅,H}, гiперплощини l1, l2 не перетинаються. Сiм’я
гiперкомплексних гiперплощин має геометричнi властивостi, аналогi-
чнi до комплексних гiперплощин. А саме: двi гiперплощини або па-
ралельнi, або перетинаються (якби ми взяли сiм’ю мiшаних площин
k∑
i=1
(xi − x0
i )ai +
n∑
i=k+1
ai(xi − x0
i ) = 0, то це було б вже не так). Отже,
для довiльної iншої пари точок y1 ∈ f(Θ), y2 ∈ H \ f(Θ) гiперплощини
l1, l2 паралельнi i задаються рiвнянням виду: y = yk + l(x), k = 1, 2,
звiдки слiдує, що f(x) =
∪
y∈f(Θ)
y + l(x) = f(Θ) + l(x).
Лiнiйно опуклу функцiю назвемо власною, якщо хоча б для одного
x виконується спiввiдношення: f(x)
∩
H ̸= ∅ i для всiх x має мiсце
нерiвнiсть: H \ f(x) ̸= ∅.
Наведемо деякi приклади лiнiйно опуклих функцiй.
Для кожного вектора нормалi y розглянемо всi гiперплощини l :
⟨y, x⟩ = w, якi не перетинають деяку множину E: l
∩
E = ∅. Для кож-
228 М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук
ного y множину всiх таких w, що l
∩
E = ∅, позначимо через WE(y).
Означення 6. Функцiя
WE(y) = Ho \
∪
x∈E
⟨x, y⟩
називається опорною функцiєю множини E ⊂ Hn.
Зауважимо, що графiк опорної функцiї Γ(WE) = {(y,WE(y)) :
: y ∈ Hn∗} є конусом. Якщо z ∈ Γ(WE), то ∀α ∈ H має мiсце включення
αz ∈ Γ(WE).
Означення 7. Якщо E ⊂ Hn – лiнiйно опукла множина, то функцiя
δ(x|E) =
{
0, якщо x ∈ E,
∞, якщо x /∈ E,
називається її iндикаторною функцiєю.
Легко переконатися, що опорна та iндикаторна функцiї лiнiйно
опуклi.
Теорема 1. Якщо fα, α ∈ A, є сiм’єю лiнiйно опуклих функцiй (А —
довiльна множина iндексiв), то функцiя f =
∩
α∈A fα є лiнiйно опу-
клою.
Доведення. Маємо Γ(f) =
∩
α∈A Γ(fα). Але перетин лiнiйно опуклих
множин є лiнiйно опуклим [5]. Тому Γ(f) лiнiйно опукла множина i
функцiя f лiнiйно опукла.
Означення 8. Скажемо, що функцiя g = intf , якщо її графiк можна
подати у виглядi Γ(g) = int (Γ(f)), де int(·) позначає внутрiшнiсть
вiдповiдної множини.
Теорема 2. Якщо f — лiнiйно опукла функцiя i Ef = E int(f), то
intf — лiнiйно опукла функцiя.
Доведення. Оскiльки f – лiнiйно опукла функцiя, то Γ(f) – лiнiйно
опукла множина. Тому Γ(int(f)) = int (Γ(f)) теж лiнiйно опукла мно-
жина [5]. Звiдси int(f) – лiнiйно опукла функцiя. Умова Ef = E int(f)
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї ... 229
забезпечує те, що гiперплощина, яка не перетинає Γ(intf), задає афiн-
ну функцiю в точках (x, y) ∈ Γ(f) \ Γ(intf), так як intf ̸= ∅ при
x ∈ E(intf) (знову уникаємо вертикальних дотичних x = x0).
2. Спряженi функцiї. Нехай f : Ef −→ Ho = H
∪
(∞) — ба-
гатозначна функцiя.
Розглянемо опорну функцiю до графiка Γ(f).
WΓ(f)(z
∗) = Ho \
∪
z∈Γ(f)
⟨z, z∗⟩ = Ho \
∪
x∈Hn,y∈f(x)
(⟨x, x∗⟩ + yy∗), де
z = (x, y), z∗ = (x∗, y∗), x ∈ Hn, x∗ ∈ Hn∗; y, y∗ ∈ H. Оскiльки
графiк опорної функцiї є конусом, то вiн повнiстю задається своїм
зрiзом, наприклад гiперплощиною l : z∗n+1 = −1. WΓ(f)(x
∗)
∩
l =
= Ho \
∪
x∈Hn
(⟨x, x∗⟩ − f(x)).
Функцiєю, спряженою з f, назвемо функцiю, що задається рiвнiстю
f∗(y) = Ho \
∪
x
(⟨x, y⟩ − f(x)). (1)
З означення спряженої функцiї випливає гiперкомплексний аналог
нерiвностi Юнга-Фенхеля [7]:
⟨x, y⟩ /∈ f(x) + f∗(y). (2)
Спiввiдношення (2) можна переписати у виглядi
⟨x, y⟩ ∈ H \ (f(x) + f∗(y)),
або
f(x)
∩
(⟨x, y⟩ − f∗(y)) = ∅
при всiх x ∈ Hn, y ∈ Hn∗.
Знайдемо функцiю, спряжену до функцiй f∗(x).
f∗∗(x) = (f∗)∗(x) = Ho \
∪
y
(⟨x, y⟩ − f∗(y)).
Побудуємо функцiї, спряженi до лiнiйно опуклих функцiй, введених
у розгляд у попередньому роздiлi.
Приклад 1. Спряженою з багатозначною афiнною функцiєю
f(x) = ⟨x, y0⟩+ f(Θ), де f(Θ) — множина, є функцiя
f∗(y) = Ho \
∪
x
(⟨x, y⟩ − ⟨x, y0⟩ − f(Θ)) = Ho \
∪
x
(⟨x, y − y0⟩ − f(Θ)) =
230 М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук
=
{
Ho \ (−f(Θ)), якщо y = y0,
∞, якщо y ̸= y0.
Приклад 2. Нехай E ⊂ Hn, Hn \ E ̸= ∅, f(x) = δ(x|E). Тодi
f∗(y) = Ho \
∪
x
(⟨x, y⟩ − δ(x|E)) = Ho \
∪
x⊂E
⟨x, y⟩,
тобто спряженою з iндикаторною функцiєю власної пiдмножини E бу-
де опорна функцiя цiєї множини.
Будемо записувати f1 ⊇ f2, якщо f1(x) ⊇ f2(x) при всiх x, причому
не виключаємо випадок f2(x) = ∅ для деяких точок х. Також будемо
говорити при цьому, що f1 є продовженням функцiї f2, а f2 є звужен-
ням функцiї f1. Iз включень f1 ⊇ f2 та рiвностей (1) i (2) випливає, що
f∗1 ⊆ f∗2.
Теорема 3. Для кожної функцiї f : Hn −→ H справедливе включення
f ⊂ f∗∗.
Доведення. З нерiвностi (2) отримаємо
⟨x, y⟩ − f∗(y) /∈ f(x), ⟨x, y⟩ − f∗(y) ⊂ Ho \ f(x),
Ho \ (⟨x, y⟩ − f∗(y)) ⊃ f(x),
∩
y
[Ho \ (⟨x, y⟩ − f∗(y))] ⊃ f(x),
Ho \
∪
y
(⟨x, y⟩ − f∗(y)) ⊃ f(x), f ⊂ f∗∗.
Означення 9. Багатозначна функцiя f : Hn −→ H називається вiд-
критою (вiдповiдно, замкненою чи компактною), коли її графiк є вiд-
критою (вiдповiдно, замкненою чи компактною) множиною в Hn+1.
Теорема 4. Функцiя, спряжена до вiдкритої функцiї, буде замкненою
та лiнiйно опуклою.
Доведення. Значення спряженої функцiї можна записати у виглядi
f∗(y) =
∩
x(Ho\(⟨x, y⟩−f(x))). При фiксованому x функцiя Ho\(⟨x, y⟩−
f(x)) є багатозначною афiнною функцiєю по y, тому її можна подати
у виглядi ⟨x, y⟩ + [H0 \ (−f(x))]. Графiк Γ(f∗) є перетином графiкiв
замкнених лiнiйно опуклих функцiй виду ⟨x, y⟩+ [Ho \ (−f(x))], тому
Γ(f∗) є замкненою та лiнiйно опуклою множиною.
Аналогiчно доводяться замкненiсть i лiнiйна опуклiсть функцiї, що
є спряженою до вiдкритої функцiї.
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї ... 231
Зауваження 1. Вiдмiтимо, що при доведеннi теореми 2 вiдкритiсть
вихiдної функцiї ми використовували тiльки у доведеннi замкненостi
спряженої функцiї. Вiдповiдно, функцiя, що є спряженою до функцiї
f : Hn −→ H, буде лiнiйно опуклою.
Теорема 5. Нехай f — власна лiнiйно опукла функцiя. Тодi f∗ — вла-
сна функцiя.
Доведення. Якщо x0 ∈ Ef, то
f∗(y) = Ho \
∪
x
(⟨x, y⟩ − f(x)) ⊂ Ho \ (⟨x0, y⟩ − f(x0)).
Вiдповiдно, H\ f∗(y) ⊃ ⟨x0, y⟩−f(x0) ̸= ∅ для всiх y. З другого боку,
оскiльки f – власна лiнiйно опукла функцiя, то iснує афiнна функцiя
l(x) = ⟨x, y⟩+ α, яка не перетинає Γ(f). Тодi для цього y : ⟨x, y⟩+ α /∈
f(x); ⟨x, y⟩−f(x) /∈ −α; −α ⊂ Ho\(⟨x, y⟩−f(x)). Отже, f∗(y) ⊃ −α ̸= ∅.
Розглянемо лiнiйне вiдображення A : Hn −→ Hn, A(x) =
= (l1(x), . . . , l2(x)). Якщо ковектори l1, . . . , ln лiнiйно незалежнi, то
вiдображення A є сюр’єктивним, а, отже, внаслiдок лiнiйностi, є го-
меоморфiзмом. Доведемо, що обернене вiдображення A−1 також лi-
нiйне. Дiйсно, A−1(ax + by) = z, A(z) = ax + by, з iншого боку:
A(aA−1x+ bA−1y) = ax+ by. Тепер з гомеоморфностi вiдображення A
випливає, що A−1(ax+ by) = z = aA−1(x) + bA−1(y).
Отже, довiльне лiнiйне вiдображення A : Hn −→ Hn,
A(x) = (l1(x), . . . , l2(x)), що задається квадратною матрицею,
рядки якої є координатами лiнiйно незалежних ковекторiв, є лiнiйним
гомеоморфiзмом. Справедливе також обернене твердження.
Теорема 6. Задано вiдображення Λ: Hn −→ Hn, яке є гiперкомпле-
ксно лiнiйним гомеоморфiзмом, i функцiю g : Hn −→ H. Нехай
f(x) = λg(Λx+ w0) + ⟨x, y0⟩+ γ0,
де w0 ∈ Hn, y0 ∈ Hn∗, γ0 ∈ H, λ ∈ H \ {0}. Тодi
f∗(y) = λg∗(λ−1Λ−1∗(y − y0))− ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ − γ0.
Доведення. Маємо
f∗(y) = Ho \
∪
x
(
⟨x, y⟩ − λg(Λx + w0)− ⟨x, y0⟩ − γ0
)
=
232 М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук
= Ho \
∪
x
(
⟨x, y − y0⟩ − λg(Λx + w0)− γ0
)
=
= Ho \
∪
x
(
⟨w,Λ−1∗(y − y0)⟩ − λg(w)− ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ − γ0
)
=
=
(
Ho \
∪
w
λ(⟨w, λ−1Λ−1∗(y − y0)⟩ − g(w)))− ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ − γ0
)
=
= λ
(
Ho \
∪
w
(
⟨w, λ−1Λ−1∗(y − y0
)
⟩ − g(w)))− ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ − γ0
)
=
= λg∗(λ−1Λ−1∗(y − y0))− ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ − γ0.
(Нехай w = Λx+w0, тодi x = Λ−1(w−w0), а ⟨x, y−y0⟩ = ⟨Λ−1w, y−
y0⟩ − ⟨Λ−1w0, y − y0⟩ = ⟨w,Λ−1∗(y − y0)⟩ − ⟨Λ−1w0, y − y0⟩).
З цiєї теореми випливають формули для обчислення деяких спря-
жених функцiй:
f(x) = g(x+ x0) ⇒ f∗(y) = g∗(y)− ⟨y0, y⟩;
f(x) = g(x) + ⟨x, y0⟩ ⇒ f∗(y) = g∗(y − y0);
f(x) = λg(µx), λ ̸= 0, µ ̸= 0 ⇒ f∗(y) = λg∗(λ−1µ−1y).
Доведемо гiперкомплексний аналог теореми Фенхеля-Моро.
Теорема 7. Нехай багатозначна функцiя f : Hn −→ H така, що
H \ f(x) ̸= ∅ для всiх x ∈ Hn. Тодi f∗∗ = f тодi i тiльки тодi, коли f
є лiнiйно опуклою.
Доведення. Доведемо, що рiвнiсть f∗∗ = f рiвносильна лiнiйнiй
опуклостi функцiї f.
Якщо f∗∗ = f , то, згiдно з зауваженням 2, функцiя, спряжена до
довiльної функцiї, буде лiнiйно опуклою. Якщо f(Hn) ≡ ∞, то рiвнiсть
f∗∗ = f отримується з формул (1) i (2). Маємо f∗(y) = H для всiх y ∈
Hn∗ i f∗∗ = ∞. Оскiльки за теоремою 2 завжди виконується f ⊂ f∗∗,
то достатньо показати, що для лiнiйно опуклої функцiї справедливе
включення f ⊇ f∗∗.
Нехай в деякiй точцi x0 має мiсце нерiвнiсть f(x0) ̸= f∗∗(x0). Тодi
iснує афiнна функцiя l(x) = ⟨x, y0⟩ + α, така, що Γ(l)
∩
Γ(f) = ∅ i
w0 = ⟨x0, y0⟩+ α, де w0 ∈ f∗∗(x0) \ f(x0). Тодi
f∗(y0) = Ho \
∪
x
(⟨x, y0⟩ − f(x)) =
∩
x
[Ho \ (⟨x, y0⟩ − f(x))] ) (−α),
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї ... 233
так як [⟨x, y0⟩ − f(x)] ̸= −α для всiх x ∈ Hn. Для функцiї f∗∗ справед-
ливе включення
f∗∗(x0) =
∩
y
[Ho \ (⟨x0, y⟩ − f∗(y))] ⊂
⊂ Ho \ (⟨x0, y0⟩ − f∗(y0)) ⊂ Ho \ (⟨x0, y0⟩+ α) = Ho \ w0.
Тому w0 /∈ f∗∗(x0), що суперечить вибору точки w0 ∈ f∗∗(x0) \ f(x0).
Теорема доведена.
Означення 10. Функцiя f називається однорiдною, якщо f(λx) =
= λf(x) для всiх скалярiв λ ∈ H \ 0.
Теорема 8. Нехай f : Hn \Θ −→ H є власною лiнiйною опуклою одно-
рiдною функцiєю i f(Θ) = Ho \ 0. Тодi f є опорною функцiєю деякої
множини.
Доведення. Розглянемо множину A = {y ∈ Hn∗|f(x) ̸∋ ⟨x, y⟩ ∀x ∈
Hn} i покажемо, що f(x) = Ho \
∪
y∈A⟨x, y⟩ = WA(x). Якщо y ∈ A,
то ⟨x, y⟩ /∈ f(x) i 0 /∈ ⟨x, y⟩ − f(x) для всiх x. Вiдповiдно, f∗(y) =
Ho \
∪
x∈Hn(⟨x, y⟩ − f(x)) = Ho \ f(Θ) = 0. Якщо y /∈ A, то ⟨x, y⟩ ∈ f(x)
для деякого x0 ∈ Hn, x0 ̸= 0. Тодi
f∗(y) = Ho \∪x∈Hn(⟨x, y⟩− f(x)) = Ho \ (f(Θ)∪x∈Hn\Θ (⟨x, y⟩− f(x))) =
= Ho \ ((Ho \ 0) ∪ (⟨x0, y⟩ − f(x0))) = Ho \
(
(Ho \ 0)
∪
0
)
= ∞.
Згiдно з теоремою 5 одержуємо, що f∗ є власною функцiєю. Тому A ̸= ∅
i f∗ = δA. Беручи до уваги гiперкомплексну теорему Фенхеля–Моро i
приклад 2, одержуємо рiвнiсть f = f∗∗ = δ∗A = WA. Тобто f — опорна
функцiя множини А.
Звiдси отримуємо наступне твердження.
Наслiдок 1. Якщо однорiдна лiнiйно опукла функцiя f : Hn \Θ −→ H
є вiдмiнною вiд афiнної, то
f∗(y) = δ(y|Ef∗).
Теорема 9. Якщо f : Hn \ Θ −→ H — однорiдна лiнiйно опукла фун-
кцiя, вiдмiнна вiд афiнної, то
f(x) = Ho \
∪
y∈Ef∗
⟨x, y⟩.
234 М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук
Доведення. Якщо f — лiнiйно опукла функцiя, то за теоремою
Фенхеля–Моро f = f∗∗ = δ∗. Беручи до уваги приклад 2, переко-
нуємось, що f є опорною функцiєю множини Ef∗ .
Одним з прикладiв однорiдної функцiї буде гiперкомплексна фун-
кцiя Мiнковського, яку означимо наступним чином. Нехай Е — мно-
жина в Hn, Θ ∈ E. Покладемо RE(x) = {w ∈ H |w−1x ∈ E} при
x ∈ Hn \ Θ, RE(Θ) = H \ 0. Покажемо однорiднiсть функцiї RE .
Маємо RE(λx) = {w ∈ H |w−1(λx) ∈ E} = {λw ∈ H | (λw)−1(λx) =
w−1λ−1(λx) = w−1x ∈ E} = λRE(x).
Однорiдна функцiя має наступнi властивостi:
1) якщо Е – гiперкомплексно опукла множина, то функцiя RE гi-
перкомплексно опукла;
2) якщо x ∈ E, то 1 ∈ RE; якщо x /∈ E, то 1 /∈ RE.
Розглянемо сiм’ї рiвнянь
w = ⟨x, y⟩ − α, (3)
якi при фiксованому y задають сiм’ї паралельних гiперплощин в Hn+1,
що залежать вiд α. Якщо α ∈ ⟨x0, y⟩ − f(x0), то ця гiперплощина
перетинає графiк Γ(f). Поклавши x = 0, отримаємо, що множина∪
x0
(⟨x0, y⟩−f(x0)) задає образ графiка Γ(f) при проектуваннi πL сiм’-
єю (4) на вiсь x = 0. Тому згiдно (1) i (2)
f∗(y) = Ho \ πL(Γ(f)). (4)
Наслiдок 2. Якщо f — вiдкрите вiдображення, то f∗(y) компактне.
Цей наслiдок випливає з (4) i того, що проекцiя πL зберiгає вiд-
критiсть.
Наслiдок 3. Якщо f — компактне вiдображення, то f∗(y) вiдкрите.
Наслiдок випливає з (4), оскiльки неперервне однозначне вiдобра-
ження πL зберiгає компактнiсть.
Наслiдок 4. Якщо f — сильно гiперкомплексно опукле вiдображення,
то f∗(y) — ациклiчне.
Наслiдок випливає з (4) i наслiдку 2.
Означення 11. Нехай fα : Hn −→ H, α ∈ A, є багатозначними фун-
кцiями. Функцiю (
∪
α fα)(x) :=
∪
α fα(x) назвемо об’єднанням функцiй
fα, а (
∩
α fα)(x) :=
∩
α fα(x) — їх перетином.
Лiнiйно опуклi та спряженi функцiї ... 235
Для спряжених функцiй має мiсце теорема двоїстостi.
Теорема 10. Нехай fα : Hn −→ H, α ∈ A, є багатозначними функцi-
ями. Тодi виконується рiвнiсть(∪
α
fα
)∗
=
∩
α
f∗
α.
Доведення. Використовуючи вираз (1) для спряжених функцiй,
одержуємо (∪
α
fα
)∗
(y) = Ho \
∪
x
(
⟨x, y⟩ −
∪
α
fα(x)
)
=
= Ho \
∪
x
∪
α
(
⟨x, y⟩ − fα(x)
)
= Ho \
∪
α
∪
x
(
⟨x, y⟩ − fα(x)
)
=
=
∩
α
(
Ho \
∪
x
(⟨x, y⟩ − fα(x))
)
=
∩
α
f∗
α(y).
Лiтература
[1] Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы. — К. : Iн-т математики
НАН України, 2012. — 280 с.
[2] Зелинский Ю.Б. О многозначных линийно выпуклых функциях // Ком-
плексный анализ, алгебра и топология. — 1990. — К.: Ин-т матемема-
тиеи АН УССР. — С. 52 – 61.
[3] Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М. : На-
ука, 1973. — 144 с.
[4] Лейхтвейс К. Выпуклые множества: Пер. с нем. — М.: Наука, 1985. —
336 с.
[5] Мкртчян Г. А. О гиперкомплексной выпуклости // V Тираспол. сим-
поз. по общ. топологии. – Кишинев : Штиинца, 1985. — С. 177.
[6] Мкртчян Г. А. О гиперкомплексно выпуклых множествах. — Киев:
ИМ АН УССР, 1987. — 17 с. — (Препринт / АН УССР, Ин-т мате-
матики; 87.42)
[7] Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.
[8] Ткачук М. В., Осiпчук Т. М. Аналiтичний критерiй лiнiйної опуклостi
для областей Гартогса з гладкою межею в H2// Укр. мат. журн. — 2011.
— 63, №2. — C. 226 — 236.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-189 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:44Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/36/368362ca60e59b3ab40fce8b02fb2b36.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1892018-01-23T12:10:05Z Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space Лінійно опуклі та спряжені функції в гіперкомплексному просторі Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. We introduce new notions of linearly convex and conjugated functions in multidimensionalhypercomplex space being a n-product of quaternions. There are investigated properties of theseobjects. У даній роботі вводиться поняття лінійно опуклих таспряжених функцій в \emph{n}-вимірному гіперкомплексному просторі$\mathbb{H^{\emph{n}}}$, досліджуються їхні властивості. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/189 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 225-235 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 225-235 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 225-235 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/189/154 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title | Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title_alt | Лінійно опуклі та спряжені функції в гіперкомплексному просторі |
| title_full | Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title_fullStr | Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title_full_unstemmed | Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title_short | Linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| title_sort | linearly convex and conjugated functions in hypercomplex space |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/189 |
| work_keys_str_mv | AT stefanchukmv linearlyconvexandconjugatedfunctionsinhypercomplexspace AT tkachukmv linearlyconvexandconjugatedfunctionsinhypercomplexspace AT stefančukmv linearlyconvexandconjugatedfunctionsinhypercomplexspace AT tkačukmv linearlyconvexandconjugatedfunctionsinhypercomplexspace AT stefanchukmv líníjnoopuklítasprâženífunkcíívgíperkompleksnomuprostorí AT tkachukmv líníjnoopuklítasprâženífunkcíívgíperkompleksnomuprostorí AT stefančukmv líníjnoopuklítasprâženífunkcíívgíperkompleksnomuprostorí AT tkačukmv líníjnoopuklítasprâženífunkcíívgíperkompleksnomuprostorí |