Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition
Problem for the first order differential equation with an unbounded op-erator coefficient in Banach space and two-pointed nonlocal condition isconsidered. It is assumed that the nonlocal condition possesses an un-bounded operator coefficient. An exponentially convergent algorithm isproposed and just...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/19 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552541304127488 |
|---|---|
| author | Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. |
| author_facet | Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Б. Василик",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. Л. Макаров",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "Д. О. Ситник",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Василик, В. Б. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | Problem for the first order differential equation with an unbounded op-erator coefficient in Banach space and two-pointed nonlocal condition isconsidered. It is assumed that the nonlocal condition possesses an un-bounded operator coefficient. An exponentially convergent algorithm isproposed and justified for the numerical solution of this problem underassumption that the operator coefficient A is sectorial and some existenceand uniqueness conditions are fulfilled. The proposed algorithm is basedon the application of Sinc-quadrature formulae to the Dunford-Cauchy in-tegral representation of the solution operator and, as a result, requires onlya small number of resolvent evaluations.The efficiency of the proposed al-gorithm is demonstrated by several numerical examples. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 32–45
УДК 517.9; 519.63
Експоненцiально збiжний метод для
диференцiального рiвняння першого
порядку в банаховому просторi з
необмеженим оператором у
нелокальнiй умовi
В.Б. Василик, В.Л. Макаров, Д.О. Ситник
Iнститут математики НАН України, vasylyk@imath.kiev.ua,
makarov@imath.kiev.ua, sytnik@imath.kiev.ua
Problem for the first order differential equation with an unbounded op-
erator coefficient in Banach space and two-pointed nonlocal condition is
considered. It is assumed that the nonlocal condition possesses an un-
bounded operator coefficient. An exponentially convergent algorithm is
proposed and justified for the numerical solution of this problem under
assumption that the operator coefficient A is sectorial and some existence
and uniqueness conditions are fulfilled. The proposed algorithm is based
on the application of Sinc-quadrature formulae to the Dunford-Cauchy in-
tegral representation of the solution operator and, as a result, requires only
a small number of resolvent evaluations.The efficiency of the proposed al-
gorithm is demonstrated by several numerical examples.
Для дифференциального уравнения первого порядка с неограничен-
ным операторным коэффициентом в банаховом пространстве рассмат-
ривается двухточечная нелокальная задача. Предполагается, что нело-
кальное условие содержит неограниченый операторный коэффициент.
Построено и обосновано экспоненциально сходящийся метод для ре-
шения этой задачи, в предположении, что операторный коэффициент
A – секториальный и выполнены условия существования и единствен-
ности. Этот метод базируется на применении Sinc-квадратурную фор-
мулы к представлению розрешающего оператора с помощью интегра-
ла Данфорда-Коши и, как следствие, требует вычисления небольшого
количество резольвент. Эфективность предложеного метода подтвер-
ждается численными расчетами.
c© В.Б. Василик, В.Л. Макаров, Д. О. Ситник, 2015
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 33
1. Вступ
При моделюваннi багатьох фiзичних явищ дослiдники використову-
ють диференцiальнi рiвняння з нелокальними умовами. Це зумовле-
но тим, що, на вiдмiну вiд класичних початкових або крайових умов,
такий пiдхiд дозволяє описати процес краще, тому що є можливiсть
вимiряти деякi параметри системи бiльш точно. Задачi з нелокаль-
ними умовами виникають в теорiї фiзики плазми [12], ядерної фiзи-
ки [9], автокаталiтичної хiмiї [10], теорiї хвилеводiв [7] i т.д. Деякi ма-
тематичнi моделi динамiки бiопопуляцiй є крайовими задачами для
гiперболiчних рiвнянь з нелокальними умовами по просторових змiн-
них (див., наприклад, [8], [16] i цитовану тут лiтературу). У той же
час, цi проблеми можна розглядати як узагальнення класичних кра-
йових задач, якi породжують дуже цiкавi теоретичнi математичнi
дослiдження.
В цiй роботi ми розглянемо наступну нелокальну задачу з двото-
чковою операторною умовою:
du
dt
+Au = 0, t ∈ (0, T ),
u(0) + αAβu(T ) = u0,
(1)
де α, β — заданi константи, u0 ∈ X. Оператор A з областю визна-
чення D(A) в банаховому просторi X є щiльно визначеним сильно
позитивним (секторiальним), тобто його спектр Σ(A) розмiщений в
секторi Σ в правiй пiвплощинi з вершиною в початку координат.
Σ =
{
z = ρ0 + reiθ : r ∈ [0,∞), ρ0 > 0 |θ| < ϕ <
π
2
}
. (2)
Резольвента оператора A спадає обернено пропорцiйно до |z| на не-
скiнченностi, тобто:
‖RA(z)‖ =
∥∥(zI −A)−1
∥∥ ≤ M
1 + |z| , (3)
за межами сектора та на його границi ΓΣ, M > 0 – стала. Числа ρ0,
ϕ називаються спектральними характеристиками A.
Зауважимо, що загальна нелокальна задача з неоднорiдним рiв-
нянням, що вiдповiдає (1), може бути зведена до двох бiльш простих
задач, одна з яких є класичною задачею Кошi, для неоднорiдного
рiвняння з однорiдною початковою умовою, а друга є двоточковою
34 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
(нелокальна) задачею для однорiдного рiвняння. Це здiйснюється у
такий спосiб. Покладаємо v(t) = v1(t) + v2(t), де
v1(t) =
t∫
0
e−A(t−s)f(s)ds
є розв’язком класичної задачi Кошi
dv1
dt
+Av1 = f(t), t ∈ (0, T ],
v1(0) = 0,
а v2(t) є розв’язком задачi вигляду (1) з модифiкованою правою ча-
стиною двоточкової умови
dv2
dt
+Av2 = 0, t ∈ (0, T ),
v2(0) + αAβv2(T ) = u0 − αAβv1(T ).
Вiдмiтимо, що експоненцiально збiжна апроксимацiя для v1(t) бу-
ла розроблена в [9], [6]. Отже, можна використати цю апроксимацiю
щоб знайти v1(T ) i сконцентрувати свою увагу на задачi для v2(t).
Слiд також вiдзначити, що нещодавно були розробленi рiзноманi-
тнi експоненцiально збiжнi методи для задач з необмеженими опера-
торними коефiцiєнтами в банаховому просторi [9], [11], [4], [15], [18],
[19]. Такi задачi можна розглядати як метамоделi класичних задач
для диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних, зокрема пара-
болiчних, елiптичних та гiперболiчних. Для задач з операторними ко-
ефiцiєнтами в банаховому просторi та нелокальними умовами також
розробленi експоненцiально збiжнi методи. Так, для диференцiаль-
ного рiвняння першого порядку в [2] розглянута m-точкова задача,
в [1] розглянута задача з iнтегральною умовою. Разом з тим, мето-
дiв для задач з нелокальними умовами, якi б мiстили необмежений
операторний коефiцiєнт в нелокальнiй умовi нам невiдомi. Метою да-
ної роботи якраз i є побудова експоненцiально збiжного наближення
розв’язку задачi (1) з використанням методики розробленої в попе-
реднiх роботах [1, 2, 9].
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 35
2. Iснування та зображення розв’язку
Розв’язок (1) може бути зображений формально наступним чином
[3, 14]:
u(t) = e−Atu(0). (4)
Тодi з двоточкової умови маємо
u0 = u(0) + αAβu(T ) = u(0) + αAβe−ATu(0).
Позначимо B(A) =
(
I + αAβe−AT
)
. Таким чином, у випадку коли
B(A)−1 iснує (достатнi умови для iснування цього оператора дослi-
димо нижче), ми отримаємо
u(0) = B(A)−1u0.
Отже,
u(t) = e−AtB(A)−1u0. (5)
Називатимемо криву Γ0 спектральною гiперболою сильно пози-
тивного оператора A, якщо вона визначається формулою:
Γ0 = {z(ζ) = ρ0 cosh ζ − ib0 sinh ζ : ζ ∈ (−∞,∞), b0 = ρ0 tanϕ}. (6)
Вона має вершину в (ρ0, 0) i асимптоти, що паралельнi до променiв
спектрального кута Σ.
Для зображення операторних функцiй зручно використовувати
iнтеграл Данфорда-Кошi (див. напр. [3, 13]), де шлях iнтегрування
вiдiграє важливу роль. Отже, вибравши деяку гiперболу ΓI (її па-
раметри визначимо нижче), що охоплює спектральну гiперболу Γ0 i
використавши iнтеграл Данфорда-Кошi для (5), розв’язок задачi (1)
може бути поданий у виглядi:
u(t) =
1
2πi
∫
ΓI
e−zt
[
1 + αzβe−zT
]−1
RA(z)u0dz = (7)
=
1
2πi
∫
ΓI
F (z, t)RA(z)u0dz,
якщо F (z, t) є аналiтичною функцiєю всерединi гiперболи ΓI , яка охо-
плює Γ0. Щоб отримати рiвномiрно збiжний та чисельно стiйкий ал-
горитм, ми модифiкуємо цей iнтеграл, замiнивши резольвенту RA(z)
36 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
на R1
A(z) (вперше це було запропоновано в [6]), що не змiнює значення
iнтеграла коли u0 ∈ D(Aα), α > 0 (для деталей див. [6, 9]).
R1
A(z) = (zI −A)−1 − I
z
.
Таким чином, отримаємо наступне зображення для розв’язку задачi
(1):
u(t) =
1
2πi
∫
ΓI
F (z, t)R1
A(z)u0dz. (8)
Ми виберемо наступну гiперболу
ΓI = {z(ζ) = aI cosh ζ − ibI sinh ζ : ζ ∈ (−∞,∞)}, (9)
за контур iнтегрування, що охоплює Σ, а отже i спектр оператора A.
Значення параметрiв aI , bI визначимо з умови можливостi побудови
аналiтичного продовження пiдiнтегральної функцiї. Використовуючи
цю гiперболу, отримаємо з (8)
u(t) =
1
2πi
∫ ∞
−∞
F (z(ζ), t)R1
A(ζ)z
′(ζ)u0dζ =
∫ ∞
−∞
F(t, ζ)dζ, (10)
де
z′(ζ) = aI sinh ζ − ibI cosh ζ.
Наступний крок для побудови чисельного методу є наближення
(10) за допомогою ефективної квадратурної формули. Для цього нам
необхiдно оцiнити ширину смуги навколо дiйсної вiсi, де пiдiнтеграль-
ний вираз в (10) має аналiтичне продовження (по вiдношенню до ζ).
Якщо вибрати параметри aI , bI , як i в [9]
aI = ρ0
cos
(
π
4 + ϕ
2
)
cosϕ
,
bI = ρ0
sin
(
π
4 + ϕ
2
)
cosϕ
,
(11)
d1 =
π
2
− ϕ, (12)
з cosϕ = ρ0√
ρ20+b
2
0
, sinϕ = b0√
ρ20+b
2
0
, то резольвента оператора A є ана-
лiтичною в смузi Dd1 по вiдношенню до w = ζ + iν для будь-якого
t ≥ 0.
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 37
Далi визначимо умови, при яких iснує оператор B(z)−1, що вiд-
повiдає нелокальнiй умовi з (5). Щоб це виконувалось, треба, щоб
B(z) 6= 0 на гiперболi ΓI та в областi, яку вона охоплює. Для цього
достатньо виконання нерiвностi
∣∣1 + αzβe−zT
∣∣ ≥ 1−
∣∣αzβe−zT
∣∣ .
Розглянемо другий доданок у правiй частинi
∣∣αzβe−zT
∣∣ = |α|
(
a2I cosh
2 s+ b2I sinh
2 s
) β
2
∣∣∣e−(aI cosh s+ibI sinh s)T
∣∣∣ =
= |α|aβI coshβ s
(
1 +
(
bI
aI
)2
tanh2 s
) β
2
e−TaI cosh s.
Дослiдимо функцiю f(x) = xβe−Tx. Оскiльки
f ′(x) = βxβ−1e−Tx − Txβe−Tx,
то
max
x
f(x) =M1 =
(
β
T
)β
e−β.
Таким чином, маємо
∣∣1 + αzβe−zT
∣∣−1 ≤ 1
1− C1
= C <∞,
у випадку, коли
C1 = |α|
(
1 +
(
bI
aI
)2
)β/2
M1 =
M1|α|
cosβ
(
π
4 + ϕ
2
) < 1. (13)
Єдинiсть розв’язку встановлюється елементарно. Отже, ми може-
мо пiдсумувати все у наступнiй лемi.
Лема 2.1. Нехай A– щiльно визначений сильно позитивний опе-
ратор. Якщо виконується умова (13), тодi iснує єдиний розв’язок
задачi (1), який може бути зображений за допомогою (8).
38 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
3. Чисельний метод
Припускаючи u0 ∈ D(Aα), 0 < α < 1, в [9] було показано, що
∥∥∥e−z(ζ)tz′(ζ)R1
A(ζ)u0
∥∥∥ ≤ (1 +M)K
bI
aI
(
2
aI
)α
e−aIt cosh ζ−α|ζ|‖Aαu0‖,
ζ ∈ R, t ≥ 0,
(14)
деK – залежна вiд α константа, аM – константа з оцiнки резольвенти
(3).
Частина, що вiдповiдає нелокальнiй умовi в (7), при виконаннi (13)
обмежена деякою сталою C. Таким чином, ми отримаємо наступну
оцiнку для F(t, ζ):
‖F(t, ζ)‖ ≤ C(ϕ, α)e−aI t cosh ζ−α|ζ|‖Aαu0‖,
C(ϕ, α) =
(1 +M)KcbI
2πaI
(
2
aI
)α
, ζ ∈ R, t ≥ 0.
(15)
Наблизимо iнтеграл (10) за допомогою наступної Sinc-
квадратурної формули [9, 17]:
uN(t) = h
N∑
k=−N
F(t, z(kh)), (16)
яка має похибку
‖ηN (F , h)‖ = ‖u(t)− uN (t)‖ ≤
≤
∥∥∥∥∥u(t)− h
∞∑
k=−∞
F(t, z(kh))
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∥
h
∑
|k|>N
F(t, z(kh))
∥∥∥∥∥∥
≤
≤ 1
4π
e−πd/h
sinh (πd/h)
‖F‖H1(Dd)+
+C(ϕ, α)h‖Aαu0‖
∞∑
k=N+1
e−aIt cosh kh−αkh.
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 39
Тут H1(Dd)– простiр всiх векторно-значних функцiй F , якi є ана-
лiтичними у смузi Dd ширини 2d навколо дiйсної вiсi. Цей простiр
введений аналогiчно до [17] в [9].
Dd = {z = x+ iy : x ∈ (−∞,∞), y ∈ [−d, d]} .
Згiдно [9]
‖e−z(·)tz′(·)R1
A(·)u0‖H1(Dd) ≤ ‖Aαu0‖[C−(ϕ, α, δ)+
+C+(ϕ, α, δ)]
∫ ∞
−∞
e−α|ξ|dξ = C(ϕ, α, δ)‖Aαu0‖,
де
C(ϕ, α, δ) =
2
α
[C+(ϕ, α, δ) + C−(ϕ, α, δ)],
C±(ϕ, α, δ) = (1 +M)K tan
(
π
4
+
ϕ
2
± d
2
)(
2 cosϕ
a0 cos
(
π
4 + ϕ
2 ± d
2
)
)α
,
d = d1 − δ
i δ — довiльна додатна стала.
Очевидно, що у випадку виконання (13), частина, що вiдповiдає
нелокальнiй умовi, обмежена в Dd. Це дає нам змогу отримати оцiнку
‖F(t, ζ)‖H1(Dd) ≤ C(ϕ, α, δ)‖Aαu0‖.
Таким чином, для ηN (Fn, h) ми маємо
‖ηN (F , h)‖ ≤ c‖Aαu0‖
α
{
e−πd/h
sinh (πd/h)
+ e−aIt cosh ((N+1)h)−α(N+1)h
}
,
(17)
де додатна стала c не залежить вiд h, N , t.
Урiвноважимо доданки в фiгурних дужках, прирiвнявши обидвi
експоненти при t = 0. Отримаємо
πd
h
= α(N + 1)h,
h =
√
πd1
α(N + 1)
, (18)
40 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
це приводить до наступної оцiнки похибки:
‖ηN(F , h)‖ ≤ c
α
exp
(
−
√
πdα(N + 1)
)
‖Aαu0‖. (19)
У випадку t > 0, перший доданок в аргументi
e−aIt cosh ((N+1)h)−α(N+1)h з (17) вносить домiнуючий вклад у
похибку. Покладаючи для цього випадку h = c1 lnN/N з деякою
додатною сталою c1, що не залежить вiд N , ми отримаємо для
фiксованого t оцiнку
‖ηN (F , h)‖ ≤ c
[
e−πd1N/(c1 lnN) + e−c1taIN/2−c1α lnN
]
‖Aαu0‖. (20)
Таким чином, ми довели теорему.
Теорема 3.1. Нехай A – секторiальний оператор, u0 ∈ D(Aα),
α ∈ (0, 1) i виконується умова (13). Тодi Sinc-квадратура (16) апро-
ксимує u(t) з експоненцiальною швидкiстю збiжностi (19), рiвно-
мiрною по t ≥ 0 для кроку h, визначеного в (18). Швидкiсть збiжно-
стi наближення (16) характеризується формулою (20) для випадку
t > 0 та h = c1 lnN/N , де стала c1 > 0 i не залежить вiд N .
Зауваження 3.1. Крива iнтегрування ΓI– симетрична вiдносно
дiйсної вiсi. Тому z(−kh) = z(kh) i z′(−kh) = −z′(kh), а тому, скори-
ставшись цим, наближення (16) можна переписати у виглядi
uN (t) =
h
2πi
F(t, z(0)) +Re
[
N∑
k=1
h
F(t, z(kh))
πi
]
,
що зменшує кiлькiсть обчислення резольвент у два рази.
4. Чисельнi приклади
Приклад 4.1. Розглянемо задачу (1) з оператором A, визначе-
ним як
D(A) = {v(x) ∈ W 2
2 (0, 1) : v(0) = v(1) = 0},
Av = −v′′(x) ∀v ∈ D(A).
(21)
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 41
Поклавши β = 1, T = 1, абстрактне задача (1) набуває вигляду
∂u(x, t)
∂t
− ∂2u(x, t)
∂x2
= 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
u(x, 0)− α
∂2u(x, T )
∂x2
= u0(x).
Розразунки були проведнi для t = 0.5, u0(x) =
(
1 + απ2e−π
2T
)
sinπx
та α = 0.5, 1, 2.5. Результати чисельних експериментiв порiвнювались
з точним розв’язком задачi (1) при визначених вище A, β, T :
u(x, t) = e−π
2t sinπx.
Вiдмiтимо, що для заданого u0 резольвента оператора A знаходи-
ться точно
RA(z) sinπx = (zI −A)−1 sinπx =
sinπx
z − π2
.
Похибки обчислень, проведених за побудованим в данiй роботi ме-
тодом наведенi в таблицi 1 для рiзної кiлькостi вузлiв квадратури та
рiзних α. Внизу таблицi наведено константу C1 з оцiнки (13), що
дає достатню умову iснування. З таблицi чiтко видно експоненцiаль-
не спадання похибки згiдно отриманої теоретичної оцiнки (19). Крiм
того видно, що у випадку α = 2.5 достатня умова iснування (13) не
виконується, але метод все одно збiжний.
Приклад 4.2. У цьому прикладi виберемо оператор A
D(A) = {v(x) ∈ H4(0, 1) : v(0) = v(1) = v′′(0) = v′′(1) = 0},
Av = v(4)(x) ∀v ∈ D(A),
(22)
Поклавши T = 1, β = 0.5 задача (1), при такому A, перетворюється
до вигляду
∂u(x, t)
∂t
+
∂4u(x, t)
∂x4
= 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
∂2u(0, t)
∂x2
=
∂2u(1, t)
∂x2
= 0,
u(x, 0)− α
∂2u(x, 1)
∂x2
= u0(x).
42 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
Таблиця 1. Похибка для x = 0.5, t = 0.5, C1– константа з оцiнки. (13)
α
N 0.5 1 2.5
4 9.032528105123E-3 0.00876936583408 0.0000016190175
8 1.31886146244E-4 0.00010738852334 0.0000032146814
16 1.9377157841E-9 2.32962084985E-7 4.04351289813E-7
32 3.3472815373E-11 6.97097047732E-9 2.63736943383E-8
64 3.2609655442E-15 6.29897518175E-12 6.99863739713E-10
128 1.1927889094E-20 2.63986204256E-16 1.59128422303E-12
256 2.8041450469E-28 6.36503924814E-22 1.25305895408E-15
0.480 0.961 2.403
C1
Розрахунки проводились для t = 0.5, u0(x) =
(
1 + απ2e−π
4T
)
sinπx
i α = 0.5, 1, 5.5. Вiдмiтимо, що таким чином визначений оператор
збiгається з A0.5.
Результати чисельних експериментiв порiвнювались з точним
розв’язком задачi (1), який має вигляд
u(x, t) = e−π
2t sinπx.
Звернемо увагу на той факт, що резольвента оператора A, як i в
першому прикладi, точно знаходиться для заданого u0, оскiльки
RA(z) sinπx = (zI −A)
−1
sinπx =
sinπx
z − π4
.
Похибки обчислень, проведених за побудованим у данiй роботi ме-
тодом, наведенi в таблицi 2 для рiзної кiлькостi вузлiв квадратури та
рiзних α. З таблицi видно експоненцiальне спадання похибки згiдно
отриманої теоретичної оцiнки (19).
Приклад 4.3. У цьому прикладi розглянемо задачу, як i у при-
кладi 4.1, але виберемо u0(x) = 100(1− |2x− 1|). Звернемо увагу на
те, що узагальнена похiдна функцiї u0(x) є розривною функцiєю i
u0(x) ∈Wα
2 (0, 1), α < 3/2. Тому u0 ∈ D(Aλ), λ < 1.
Вiдмiтимо також той факт, що резольвенту оператора A, як i у
попереднiх прикладах можна визначити точно. Похибки обчислень,
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 43
Таблиця 2. Похибка для x = 0.5, t = 0.5.
α
N 0.5 1.5 5.5
4 0.00044995808 0.0004517670 0.0001585263213
8 0.00004389768 0.0000447411 0.0000651574332
16 3.77379183602E-10 1.28384146028E-8 0.0000277701509
32 1.19224518645E-13 1.08363947339E-10 0.0000026896624
64 8.56211224005E-19 3.36734643776E-14 8.2665879010E-8
128 4.31781266238E-25 9.19111892628E-19 1.2652995792E-9
256 1.33156530800E-34 1.87159722873E-25 2.2495807772E-12
проведених за побудованим у данiй роботi методом, наведенi в та-
блицi 3 для рiзної кiлькостi вузлiв квадратури та α = 0.5. В першому
стовпчику наведено N– кiлькiсть вузлiв квадратурної формули (16),
у другому стовпчику – значення u(x, t), в третьому – рiзниця мiж
u(x, t), обчисленого для заданого N i u(x, t), обчисленого для N/2.
З таблицi видно експоненцiальне спадання похибки згiдно отриманої
теоретичної оцiнки (19).
Таблиця 3. Похибка для x = 0.25, t = 0.5.
N uN(x, t)
∣∣uN(x, t) − uN/2(x, t)
∣∣
4 0.9283657780470762774
8 0.4020280985038091628 0.52633767954
16 0.4121075902758613784 0.01007949177
32 0.4121042028080824055 0.00000338746
64 0.4121042012395290280 1.56855337755E-9
128 0.4121042012399241684 3.95140392208E-13
256 0.4121042012399241666 1.71920493615E-18
512 0.4121042012399241666 9.02730134040E-27
44 В. Б. Василик, В. Л. Макаров, Д. О. Ситник
[1] Василик В., Макаров В. Експоненцiйно збiжний метод для диференцi-
ального рiвняння першого порядку в банаховому просторi з iнтеграль-
ною нелокальною умовою // УМЖ. — 2014. — 66, 8. — С. 1029–1040.
[2] Exponentially convergent method for the m-point nonlocal problem for
a first order differential equation in Banach space / I. P. Gavrilyuk,
V. L. Makarov, D. O. Sytnyk, V. B. Vasylyk // Numer. Funct. Anal.
Optim. –– 2010. –– 31, 1-3. –– P. 1–21.
[3] Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. — М. : Наука, 1967. — 464 с.
[4] Fast Runge-Kutta approximation of inhomogeneous parabolic equa-
tions / Maŕıa López-Fernández, Christian Lubich, Cesar Palencia,
Achim Schädle // Numer. Math. –– 2005. –– 102, 2. –– P. 277–291.
[5] Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algo-
rithms for abstract differential equations. Frontiers in Mathematics. ––
Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011. –– P. viii+180. –– ISBN: 978-
3-0348-0118-8. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-0119-5.
[6] Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Exponentially convergent algorithms for
the operator exponential with applications to inhomogeneous problems in
Banach spaces // SIAM Journal on Numerical Analysis. –– 2005. –– 43,
5. –– P. 2144–2171.
[7] Gordeziani D., Avalishvili G. Investigation of the nonlocal initial boundary
value problems for some hyperbolic equations // Hiroshima Math. J. ––
2001. –– 31, 3. –– P. 345–366.
[8] Huyer W. Approximation of a linear age-dependent population model with
spatial diffusion // Commun. Appl. Anal. –– 2004. –– 8, 1. –– P. 87–108.
[9] Leung A. W., Chen G.-S. Optimal control of multigroup neutron fission
systems // Appl. Math. Optim. –– 1999. –– 40, 1. –– P. 39–60.
[10] Leung A. W., Ortega L. A. Existence and monotone scheme for time-
periodic nonquasimonotone reaction-diffusion systems: application to au-
tocatalytic chemistry // J. Math. Anal. Appl. –– 1998. –– 221, 2. –– P. 712–
733.
[11] López-Fernández M., Palencia C., Schädle A. A spectral order method for
inverting sectorial laplace transforms // SIAM J. Numer. Anal. –– 2006. ––
44. –– P. 1332–1350.
[12] Самарский А. А. Некоторые задачи теории дифференциальных урав-
нений // Дифференциальные уравнения. — 1980. — 16, 11. — С. 1925–
1935.
Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння . . . 45
[13] One-parameter semigroups / Ph. Clément, H. J. A. M. Heijmans, S. An-
genent et al. –– Amsterdam : North-Holland Publishing Co., 1987. –– Vol. 5
of CWI Monographs. –– P. x+312.
[14] Pazy A. Semigroups of linear operator and applications to partial differ-
ential equations. –– New York, Berlin, Heidelberg : Springer Verlag, 1983.
[15] Sheen D., Sloan I., Thomée V. A parallel method for time discretization
of parabolic equations based on Laplace transformation and quadrature //
IMA J. Numer. Anal. –– 2003. –– 23, 2. –– P. 269–299.
[16] Sinestrari E., Webb G. Nonlinear hyperbolic systems with nonlocal bound-
ary conditions // J. Math. Anal. Appl. –– 1987. –– 121, 2. –– P. 449–464.
[17] Stenger F. Numerical methods based on sinc and analytic functions. ––
Springer-Verlag, New York, 1993. –– Vol. 20 of Springer Series in Com-
putational Mathematics. –– P. xvi+565. –– ISBN: 0-387-94008-1. –– URL:
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-2706-9.
[18] Thomée V. A high order parallel method for time discretization of
parabolic type equations based on Laplace transformation and quadra-
ture // Int. J. Numer. Anal. Model. –– 2005. –– 2. –– P. 121–139.
[19] Weideman J. A. C. Optimizing Talbot’s contours for the inversion of the
Laplace transform // SIAM J. Numer. Anal. –– 2006. –– 44, 6. –– P. 2342–
2362.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-19 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:04Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/02/745cf1e57dd2609805d01c62d1201902.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-192018-01-23T12:01:13Z Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння першого порядку в банаховому просторi з необмеженим оператором у нелокальнiй умовi Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Problem for the first order differential equation with an unbounded op-erator coefficient in Banach space and two-pointed nonlocal condition isconsidered. It is assumed that the nonlocal condition possesses an un-bounded operator coefficient. An exponentially convergent algorithm isproposed and justified for the numerical solution of this problem underassumption that the operator coefficient A is sectorial and some existenceand uniqueness conditions are fulfilled. The proposed algorithm is basedon the application of Sinc-quadrature formulae to the Dunford-Cauchy in-tegral representation of the solution operator and, as a result, requires onlya small number of resolvent evaluations.The efficiency of the proposed al-gorithm is demonstrated by several numerical examples. Для дифференциального уравнения первого порядка с неограничен-ным операторным коэффициентом в банаховом пространстве рассмат-ривается двухточечная нелокальная задача. Предполагается, что нело-кальное условие содержит неограниченый операторный коэффициент.Построено и обосновано экспоненциально сходящийся метод для ре-шения этой задачи, в предположении, что операторный коэффициентA – секториальный и выполнены условия существования и единствен-ности. Этот метод базируется на применении Sinc-квадратурную фор-мулы к представлению розрешающего оператора с помощью интегра-ла Данфорда-Коши и, как следствие, требует вычисления небольшогоколичество резольвент. Эфективность предложеного метода подтвер-ждается численными расчетами. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/19 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 32-45 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 32-45 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 32-45 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/19/32 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title | Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title_alt | Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння першого порядку в банаховому просторi з необмеженим оператором у нелокальнiй умовi |
| title_full | Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title_fullStr | Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title_full_unstemmed | Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title_short | Exponentially converging method for a differential equation of the first order in the Banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| title_sort | exponentially converging method for a differential equation of the first order in the banach space with an unlimited operator in a non-local condition |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/19 |
| work_keys_str_mv | AT vasilikvb exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT makarovvl exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT sitnikdo exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT vasilikvb exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT makarovvl exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT sitnikdo exponentiallyconvergingmethodforadifferentialequationofthefirstorderinthebanachspacewithanunlimitedoperatorinanonlocalcondition AT vasilikvb eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi AT makarovvl eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi AT sitnikdo eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi AT vasilikvb eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi AT makarovvl eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi AT sitnikdo eksponencialʹnozbižnijmetoddlâdiferencialʹnogorivnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorizneobmeženimoperatoromunelokalʹnijumovi |