The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions
Taylor's and Laurent's expansions of $G$-monogenic mappings with values %taking values in the algebra of complex quaternion are obtained and singularities of these mappings are classified.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/192 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552710791757824 |
|---|---|
| author | Kuz’menko, T. S. Кузьменко, Т. С. |
| author_facet | Kuz’menko, T. S. Кузьменко, Т. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. С. Кузьменко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kuz’menko, T. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Taylor's and Laurent's expansions of $G$-monogenic mappings with values %taking values in the algebra of complex quaternion are obtained and singularities of these mappings are classified. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 164–174
УДК 517.9
Т.С. Кузьменко
(Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка,
Житомир)
kuzmenko.ts@mail.ru
Степеневi ряди та ряди Лорана в
алгебрi комплексних кватернiонiв
Taylor’s and Laurent’s expansions of G-monogenic mappings with values
in the algebra of complex quaternion are obtained and singularities of these
mappings are classified.
В алгебре комплексных кватернинионов получены тейлоровские и ло-
рановские разложения для G-моногенных отображений, а также клас-
сифицированы их особые изолированные точки.
1. Вступ. Нехай H(C) — алгебра кватернiонiв над полем компле-
ксних чисел C, базис якої складається з одиницi алгебри 1 i елементiв
I, J,K, для яких виконуються наступнi правила множення:
I2 = J2 = K2 = −1, IJ = −JI = K, JK = −KJ = I, KI = −IK = J.
Розглянемо в алгебрi H(C) iнший базис {e1, e2, e3, e4}, розклад еле-
ментiв якого в базисi {1, I, J,K} має вигляд
e1 =
1
2
(1 + iI), e2 =
1
2
(1− iI), e3 =
1
2
(iJ −K), e4 =
1
2
(iJ +K),
де i — уявна комплексна одиниця. Таблиця множення в новому базисi
набуває вигляду
· e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 0
e2 0 e2 0 e4
e3 0 e3 0 e1
e4 e4 0 e2 0
.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних ... 165
Норма кватернiона c =
4∑
k=1
ckek, ck ∈ C визначається рiвнiстю
∥c∥ :=
√√√√ 4∑
k=1
|ck|2 , (1)
а одиниця алгебри H(C) в цьому базисi є сумою iдемпотентiв:
1 = e1 + e2.
Розглянемо лiнiйнi функцiонали f1 : H(C) −→ C та f2 : H(C) −→ C,
покладаючи
f1(e1) = f1(e3) = 1, f1(e2) = f1(e4) = 0,
f2(e2) = f2(e4) = 1, f2(e1) = f2(e3) = 0.
Системи {i1, i2, i3}, де i1 = 1, i2 = a1e1 + a2e2, i3 = b1e1 + b2e2,
ak, bk ∈ C, k = 1, 2, задають трiйки лiнiйно незалежних векторiв над
полем дiйсних чисел R (див. [1, с. 223]).
Видiлимо в алгебрi H(C) лiнiйну оболонку E3 : = {ζ = xi1 + yi2 +
zi3 : x, y, z ∈ R} над полем дiйсних чисел R, породжену векторами
i1, i2, i3. Областi Ω тривимiрного простору R3 поставимо у вiдповiд-
нiсть область Ωζ : = {ζ = xi1 + yi2 + zi3 : (x, y, z) ∈ Ω} в E3.
Введемо позначення ξ1 : = f1(ζ) = x+ ya1 + zb1, ξ2 : = f2(ζ) = x+
ya2+zb2. Тепер елемент ζ ∈ E3 можна подати у виглядi ζ = ξ1e1+ξ2e2,
i згiдно визначення (1)
∥ζ∥ =
√
|ξ1|2 + |ξ2|2. (2)
Позначимо через fk(E3) : = {fk(ζ) : ζ ∈ E3}, k = 1, 2. Вiдмiтимо,
що в подальшому iстотним є припущення: f1(E3) = f2(E3) = C. Оче-
видно, що воно має мiсце тодi i тiльки тодi, коли хоча б одне з чисел
у кожнiй з пар (a1, b1), (a2, b2) належить C \ R.
Неперервне вiдображення Φ : Ωζ −→ H(C)
(
або Φ̂ : Ωζ −→ H(C)
)
називається право-G-моногенним
(
або лiво-G-моногенним
)
в областi
Ωζ ⊂ E3, якщо Φ
(
або Φ̂
)
диференцiйовне за Гато у кожнiй точцi цiєї
областi, тобто якщо для кожного ζ ∈ Ωζ iснує елемент Φ′(ζ)
(
або Φ̂′(ζ)
)
алгебри H(C) такий, що виконується рiвнiсть
lim
ε→0+0
(
Φ(ζ + εh)− Φ(ζ)
)
ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3
166 Т.С. Кузьменко(
або lim
ε→0+0
(
Φ̂(ζ + εh)− Φ̂(ζ)
)
ε−1 = Φ̂′(ζ)h ∀h ∈ E3
)
.
Iз розкладу резольвенти
(
див. [6]
)
(t− ζ)−1 =
1
t− ξ1
e1 +
1
t− ξ2
e2 , ∀ t ∈ C : t ̸= ξ1 , t ̸= ξ2
випливає, що точки (x, y, z) ∈ R3, якi вiдповiдають необоротним еле-
ментам ζ = xi1 + yi2 + zi3 ∈ E3, лежать на прямих
L1 : x+ yRe a1 + zRe b1 = 0, y Im a1 + z Im b1 = 0,
L2 : x+ yRe a2 + zRe b2 = 0, y Im a2 + z Im b2 = 0
в просторi R3. Прямим L1, L2 поставимо у вiдповiднiсть конгруентнi
їм прямi L1
ζ , L
2
ζ в E3.
В роботах [2] — [4] для рiзних класiв функцiй кватернiонної змiн-
ної встановлено аналоги класичних результатiв комплексного аналi-
зу, зокрема, доведено аналоги iнтегральних теорем Кошi, iнтегральної
формули Кошi, теореми Морера та дослiджено розклади в степеневi
ряди i ряди Лорана.
В роботi [5] для G-моногенних вiдображень отримано аналоги iнте-
гральної теореми Кошi для криволiнiйного i поверхневого iнтегралiв
та аналог iнтегральної формули Кошi.
В цiй роботi отримано розклади G-моногенних вiдображень в ряди
Тейлора i Лорана, а також здiйснено класифiкацiю особливих точок
згаданих вiдображень.
2. Степеневi ряди i G-моногеннi вiдображення. Без-
посереднє застосування способу розкладу голоморфних функцiй, що
базується на розкладi в ряд ядра Кошi (див., наприклад, [7, с. 107]),
до право-G-моногенного в областi Ωζ вiдображення Φ: Ωζ −→ H(C),
дозволяє отримати його розклад в степеневий ряд
Φ(ζ) =
∞∑
n=0
(ζ − ζ0)
npn (3)
в кулi з центром у фiксованiй точцi ζ0 ∈ Ωζ меншого радiуса, нiж
вiдстань вiд точки ζ0 до межi ∂Ωζ ; тут
pn =
Φ(n)(ζ0)
n!
=
1
2πi
∫
γζ
(
(τ − ζ0)
−1
)n+1
dτΦ(τ) , n = 0, 1, . . . ,
Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних ... 167
а γζ визначена в роботi [5]. Це пов’язано з тим, що в нерiвностi
∥ab∥ ≤ 2
√
2 ∥a∥∥b∥ константа 2
√
2 не може бути замiнена одиницею.
Проте, використовуючи представлення право-G-моногенного вiд-
ображення Φ: Ωζ −→ H(C) через аналiтичнi функцiї комплексної
змiнної, покажемо, що право-G-моногенне вiдображення Φ в кулi
B(ζ0, R) : = {ζ ∈ E3 : ∥ζ − ζ0∥ < R} радiуса R : = min
ζ∈∂Ωζ
∥ζ − ζ0∥ з
центром в довiльнiй точцi ζ0 ∈ Ωζ подається у виглядi ряду (3).
Розглядаючи питання про розклад G-моногенних вiдображень
Φ: Ωζ −→ H(C) i Φ̂ : Ωζ −→ H(C) в степеневий ряд, будемо вважа-
ти, що область Ωζ ⊂ E3 є обмеженою. Зауважимо, що всi результати,
що будуть встановлено для цього випадку, будуть мати мiсце i для
необмежених областей.
Нехай ζ0 : = x0i1 + y0i2 + z0i3 — довiльна фiксована точка областi
Ωζ i R0 : = min
ζ∈∂Ωζ
∥ζ − ζ0∥, де через ∂Ωζ позначено межу областi Ωζ в
E3. Вiзьмемо кулю Θ(ζ0, R0) : = {ζ ∈ E3 : ∥ζ − ζ0∥ < R0} в E3 радiуса
R0 з центром в точцi ζ0.
Позначимо через ξ10 : = x0 + a1y0 + b1z0 i ξ20 : = x0 + a2y0 + b2z0
точки комплексної площини, якi вiдповiдають точцi ζ0, вiдповiдно, за
формулами ξ10 = f1(ζ0) i ξ20 = f2(ζ0), а через D̃1 i D̃2 — областi в C,
на якi куля Θ(ζ0, R0) вiдображається, вiдповiдно, функцiоналами f1 i
f2.
Нехай R : = min
{
R0 , min
τ1∈∂D̃1
|τ1 − ξ10| , min
τ2∈∂D̃2
|τ2 − ξ20|
}
, де ∂D̃k,
k = 1, 2, — границя областi D̃k, k = 1, 2. Введемо у розгляд круги
U(ξk0, R) := {ξk ∈ C : |ξk − ξk0| < R}, k = 1, 2, вiдповiдно, з центрами у
точках ξk0, k = 1, 2.
Покажемо, що зображення
(
див. [6]
)
Φ(ζ) = F1(ξ1)e1 + F2(ξ2)e2 + F3(ξ1)e3 + F4(ξ2)e4, (4)
де F1 i F3 — деякi голоморфнi в U(ξ10, R) функцiї, а F2 i F4 — де-
якi голоморфнi в U(ξ20, R) функцiї, дає можливiсть отримати розклад
право-G-моногенного вiдображення у степеневий ряд
Φ(ζ) =
∞∑
n=0
(ζ − ζ0)
npn (5)
в областi B(ζ0, R) := {ζ ∈ E3 : f1(ζ) ∈ U(ξ10, R) , f2(ζ) ∈ U(ξ20, R)}, а
168 Т.С. Кузьменко
зображення
Φ̂(ζ) = F1(ξ1)e1 + F2(ξ2)e2 + F3(ξ2)e3 + F4(ξ1)e4 , (6)
де F1 i F4 — деякi голоморфнi в U(ξ10, R) функцiї, а F2 i F3 — деякi
голоморфнi в U(ξ20, R) функцiї, дає змогу одержати розклад лiво-G-
моногенного вiдображення в степеневий ряд
Φ̂(ζ) =
∞∑
n=0
p̂n(ζ − ζ0)
n (7)
в областi B(ζ0, R).
Оскiльки за побудовою область B(ζ0, R) є опуклою в напрямку пря-
мих L1
ζ i L2
ζ , то в нiй право-G-моногенне вiдображення Φ(ζ) подається
у виглядi (4), а лiво-G-моногенне вiдображення Φ̂(ζ) подається у ви-
глядi (6).
Теорема 1. Нехай f1(E3) = f2(E3) = C, функцiя Φ: Ωζ −→ H(C)
є право-G-моногенною, а Φ̂ : Ωζ −→ H(C) — лiво-G-моногенною в до-
вiльно фiксованiй обмеженiй областi Ωζ ⊂ E3 i ζ0 ∈ Ωζ . Тодi в обла-
стi B(ζ0, R) функцiя Φ подається у виглядi суми абсолютно збiжного
степеневого ряду (5), в якому
pn = ane1 + bne2 + cne3 + dne4 , (8)
i an , bn , cn , dn — коефiцiєнти рядiв Тейлора функцiй
F1(ξ1) =
∞∑
n=0
an(ξ1 − ξ10)
n, F2(ξ2) =
∞∑
n=0
bn(ξ2 − ξ20)
n,
F3(ξ1) =
∞∑
n=0
cn(ξ1 − ξ10)
n, F4(ξ2) =
∞∑
n=0
dn(ξ2 − ξ20)
n,
(9)
якi мiстяться у зображеннi (4) для функцiї Φ(ζ) при
ζ ∈ B(ζ0, R), а Φ̂ подається у виглядi суми абсолютно збiжно-
го степеневого ряду (7), в якому
p̂n = âne1 + b̂ne2 + ĉne3 + d̂ne4 (10)
Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних ... 169
i ân , b̂n , ĉn , d̂n — коефiцiєнти рядiв Тейлора функцiй
F̂1(ξ1) =
∞∑
n=0
ân(ξ1 − ξ10)
n, F̂2(ξ2) =
∞∑
n=0
b̂n(ξ2 − ξ20)
n,
F̂3(ξ2) =
∞∑
n=0
ĉn(ξ2 − ξ20)
n, F̂4(ξ1) =
∞∑
n=0
d̂n(ξ1 − ξ10)
n,
(11)
якi мiстяться у зображеннi (6) для вiдображення Φ̂(ζ)
при ζ ∈ B(ζ0, R).
Доведення. Оскiльки у зображеннi (4) функцiї F1, F3 голоморфнi
в крузi U(ξ10, R), а функцiї F2, F4 голоморфнi в крузi U(ξ20, R),
то у вiдповiдних кругах ряди (9) абсолютно збiжнi. Тодi при всiх
ζ ∈ B(ζ0, R) рiвнiсть (4) набуває вигляду: Φ(ζ) =
∞∑
n=0
an(ξ1 − ξ10)
ne1+
+
∞∑
n=0
bn(ξ2 − ξ20)
ne2 +
∞∑
n=0
cn(ξ1 − ξ10)
ne3 +
∞∑
n=0
dn(ξ2 − ξ20)
ne4.
Звiдси, враховуючи спiввiдношення
(ζ − ζ0)
ne1 = (ξ1 − ξ10)
ne1, (ζ − ζ0)
ne2 = (ξ2 − ξ20)
ne2,
(ζ − ζ0)
ne3 = (ξ1 − ξ10)
ne3, (ζ − ζ0)
ne4 = (ξ2 − ξ20)
ne4
(12)
для всiх ζ ∈ E3 i n = 0, 1, . . . , приходимо до розкладу (5), коефiцiєнти
якого визначаються рiвнiстю (8), при цьому ряд (5) абсолютно збiгає-
ться в областi B(ζ0, R). Повнiстю аналогiчно доводиться рiвнiсть (7).
Теорему доведено.
Тепер, так як i для голоморфних функцiй комплексної змiнної
(див., наприклад, [7, с. 118]), встановлюється наступна теорема єди-
ностi для G-моногенних вiдображень, якi визначенi в областi Ωζ ⊂ E3
i приймають значення в алгебрi H(C).
Теорема 2. Якщо двi право-G-моногеннi функцiї Φ1 : Ωζ −→ H(C),
Φ2 : Ωζ −→ H(C) в довiльно фiксованiй областi Ωζ ⊂ E3 спiвпадають
в деякому околi внутрiшньої точки областi Ωζ , то вони тотожно
рiвнi у всiй областi Ωζ .
Аналогiчна теорема справедлива i для лiво-G-моногенних вiдобра-
жень.
Зазначимо, що спiвпадання вiдображень Φ1 : Ωζ −→ H(C) i
Φ2 : Ωζ −→ H(C) на множинi точок, яка мiстить хоча б одну граничну
170 Т.С. Кузьменко
точку областi Ωζ , є недостатнiм для тотожної рiвностi цих вiдобра-
жень у всiй областi Ωζ . Так, наприклад, значення G-моногенних в E3
вiдображень Φ1(ζ) = ζe3 i Φ2(ζ) = 0 спiвпадають для всiх ζ ∈ L1
ζ ,
проте не спiвпадають тотожно.
3. Ряди Лорана i класифiкацiя особливих точок
G-моногенних вiдображень.
Розглянемо питання про розклад право-G-моногенного
вiдображення Φ: Kζ −→ H(C) i лiво-G-моногенного вiд-
ображення Φ̂ : Kζ −→ H(C) в ряд Лорана вiдносно точки
ζ0 := x0i1 + y0i2 + z0i3, вважаючи, що вiдображення зада-
не в областi Kζ : = {ζ ∈ E3 : 0 ≤ r < |ξ1 − ξ10| < R ≤ ∞,
0 ≤ r < |ξ2 − ξ20| < R ≤ ∞}.
Теорема 3. Нехай f1(E3) = f2(E3) = C. Тодi кожне право-G-
моногенне вiдображення Φ: Kζ −→ H(C) в областi Kζ подається у
виглядi суми абсолютно збiжного ряду
Φ(ζ) =
∞∑
n=−∞
(ζ − ζ0)
npn , (13)
де коефiцiєнти pn визначаються формулами (8), в яких
an, bn, cn, dn — коефiцiєнти рядiв Лорана функцiй
F1(ξ1) =
∞∑
n=−∞
an(ξ1 − ξ10)
n, F2(ξ2) =
∞∑
n=−∞
bn(ξ2 − ξ20)
n,
F3(ξ1) =
∞∑
n=−∞
cn(ξ1 − ξ10)
n, F4(ξ2) =
∞∑
n=−∞
dn(ξ2 − ξ20)
n,
(14)
якi мiстяться в розкладi (4) вiдображення Φ(ζ), а лiво-G-моногенне
вiдображення Φ̂ : Kζ −→ H(C) подається в областi Kζ у виглядi суми
абсолютно збiжного ряду
Φ̂(ζ) =
∞∑
n=−∞
p̂n(ζ − ζ0)
n , (15)
де коефiцiєнти p̂n визначаються формулами (10), в яких ân, b̂n, ĉn,
Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних ... 171
d̂n — коефiцiєнти рядiв Лорана функцiй
F̂1(ξ1) =
∞∑
n=−∞
ân(ξ1 − ξ10)
n, F̂2(ξ2) =
∞∑
n=−∞
b̂n(ξ2 − ξ20)
n,
F̂3(ξ2) =
∞∑
n=−∞
ĉn(ξ2 − ξ20)
n, F̂4(ξ1) =
∞∑
n=−∞
d̂n(ξ1 − ξ10)
n,
(16)
якi мiстяться в розкладi (6) вiдображення Φ̂(ζ) при ζ ∈ Kζ . При
цьому (ζ−ζ0)
n при n = −1,−2, . . . в рiвностях (13), (15) визначається
рiвнiстю (ζ − ζ0)
n :=
(
(ζ − ζ0)
−1
)−n.
Доведення. Оскiльки в поданнi (4) функцiї F1, F3 голоморфнi в
кiльцi {ξ1 ∈ C : r < |ξ1 − ξ10| < R}, а функцiї F2, F4 голоморфнi в
кiльцi {ξ2 ∈ C : r < |ξ2 − ξ20| < R}, то ряди (14) у вiдповiдних кiль-
цях абсолютно збiжнi. Використовуючи розклади (14), рiвнiсть (4) на-
буває вигляду: Φ(ζ) =
∞∑
n=−∞
an(ξ1 − ξ10)
ne1 +
∞∑
n=−∞
bn(ξ2 − ξ20)
ne2+
+
∞∑
n=−∞
cn(ξ1 − ξ10)
ne3 +
∞∑
n=−∞
dn(ξ2 − ξ20)
ne4.
Тепер, враховуючи спiввiдношення (12), якi виконуються при всiх
цiлих значеннях n, отримуємо розклад вiдображення Φ в абсолютно
збiжний в областi Kζ ряд (13), коефiцiєнти якого визначаються рiв-
ностями (8). Повнiстю аналогiчно доводиться розклад у ряд Лорана
лiво-G-моногенного вiдображення (6). Теорему доведено.
Сукупнiсть членiв ряду Лорана (13)
(
або (15)
)
з невiд’ємними сте-
пенями називають його правильною частиною, а сукупнiсть членiв
цього ряду з вiд’ємними степенями — головною частиною ряду Лора-
на.
Компактифiкуємо алгебру H(C), додаючи до неї нескiнченно вiд-
далену точку ∞, до якої прямує кожна послiдовнiсть wn : = τ1,ne1 +
τ2,ne2 + τ3,ne3 + τ4,ne4, де τ1,n, τ2,n, τ3,n, τ4,n ∈ C, n = 1, 2, . . . , у випад-
ку, коли хоча б одна з послiдовностей τ1,n, τ2,n, τ3,n, τ4,n збiгається до
нескiнченно вiддаленої точки розширеної комплексної площини.
Припустимо тепер, що право-G-моногенне вiдображення
Φ: K0
ζ −→ H(C) i лiво-G-моногенне вiдображення Φ̂ : K0
ζ −→ H(C)
заданi в областi K0
ζ : = {ζ ∈ E3 : 0 < |ξ1 − ξ10| < R ≤ ∞ ,
0 < |ξ2 − ξ20| < R ≤ ∞} . Позначимо через K̃0
ζ : = {ζ ∈ E3 :
|ξ1 − ξ10| < R , |ξ2 − ξ20| < R}.
172 Т.С. Кузьменко
Справедлива наступна теорема.
Теорема 4. Нехай f1(E3) = f2(E3) = C. Якщо в розкладi (13) для
вiдображення Φ : K0
ζ −→ H(C) :
1) не мiститься головної частини, то вiдображення Φ має скiн-
ченнi границi
lim
ζ −→ ζ0 + e∗,
ζ /∈
{
ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ ∪ L2
ζ
} Φ(ζ) (17)
2) мiститься лише скiнченне число доданкiв у головнiй частинi,
то хоча б при одному значеннi k = 1 або k = 2 вiдображення Φ має
нескiнченнi границi
lim
ζ −→ ζ0 + e∗k,
ζ /∈
{
ζ0 + e∗k : e
∗
k ∈ Lk
ζ
} Φ(ζ) (18)
в усiх точках ζ0 + e∗k ∈ K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗k : e∗k ∈ Lk
ζ};
3) мiститься нескiнченне число доданкiв у головнiй частинi, то
хоча б при одному значеннi k = 1, 2 вiдображення Φ або має нескiн-
ченну границю, або не має нi скiнченної, нi нескiнченної границi в усiх
точках ζ0 + e∗k ∈ K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗k : e∗k ∈ Lk
ζ}.
Аналогiчнi твердження справедливi для лiво-G-моногенних вiд-
ображень.
Доведення. Вiдображення Φ в областi K0
ζ подається у виглядi (4), де
функцiї F1, F3 голоморфнi в проколотому околi U(ξ10, R)\{ξ10} точки
ξ10, а функцiї F2, F4 голоморфнi в проколотому околi U(ξ20, R) \ {ξ20}
точки ξ20 .
Розглянемо випадок, коли розклад (13) не мiстить головної ча-
стини, тобто має вигляд (5). При цьому коефiцiєнти рядiв Лора-
на (14) пов’язанi з коефiцiєнтами ряду (5) спiввiдношеннями (8), з
яких, в силу рiвностей pn = 0 при n = −1,−2, . . . , слiдують рiвностi
an = bn = cn = dn = 0 при всiх вiд’ємних iндексах n. Отже, ряди Ло-
рана (14) в околах вiдповiдних точок ξ10, ξ20 є рядами Тейлора своїх
сум i тому функцiї F1, F2, F3, F4 з рiвностi (4) є голоморфними у вiд-
повiдних областях U(ξ10, R) чи U(ξ20, R). Тому вiдображення (4) має
скiнченнi границi (17) в усiх точках ζ0+e∗ ∈ K̃0
ζ∩
{
ζ0+e∗ : e∗ ∈ L1
ζ∪L2
ζ
}
.
Розглянемо тепер випадок, коли головна частина розкладу (13) мi-
стить лише скiнченне число доданкiв, тобто в (13) тiльки скiнченне
Степеневi ряди та ряди Лорана в алгебрi комплексних ... 173
число вiдмiнних вiд нуля коефiцiєнтiв pn при вiд’ємних n. Тодi iз спiв-
вiдношень (8), якi пов’язують коефiцiєнти рядiв Лорана (14) з кое-
фiцiєнтами ряду (13), випливає, що всi головнi частини рядiв (14) не
мiстять нескiнченної кiлькостi доданкiв i головна частина хоча б одно-
го з них вiдмiнна вiд тотожного нуля. Тому точка ξ10 не є iстотно
особливою точкою для функцiй F1, F3, а точка ξ20 — для функцiй F2
i F4, але хоча б одна з функцiй F1, F2, F3, F4 має полюс у вiдповiднiй
точцi. Звiдси випливає, що хоча б одна з функцiй F1, F2, F3, F4 має
нескiнченну границю при ξ1 → ξ10 чи при ξ2 → ξ20, тобто границя (18)
є також нескiнченною при k = 1 або k = 2.
Розглянемо, нарештi, випадок, коли головна частина розкладу (13)
мiстить нескiнченно багато вiдмiнних вiд нуля членiв, тобто iснує не-
скiнченно багато вiдмiнних вiд нуля коефiцiєнтiв pn при вiд’ємних n.
Тодi iз спiввiдношень (8) випливає, що головна частина хоча б одного
з рядiв (14) мiстить нескiнченно багато доданкiв, а це, в свою чергу,
означає, що або точка ξ10 є iстотно особливою для функцiй F1 чи F3,
або точка ξ20 є iстотно особливою, принаймнi, для однiєї з функцiй: F2
чи F4. Тому вiдображення Φ не може мати скiнченної границi в усiх
точках множини K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ ∪ L2
ζ}, але вона може мати в
цих точках нескiнченну границю.
Так, наприклад, якщо ξ10 — полюс функцiї F1 i iстотно особлива
точка функцiї F3, а ξ20 — iстотно особлива точка функцiй F2, F4, то
функцiя F1 має нескiнченну границю в точцi ξ10, а отже, границя (18)
є нескiнченною в усiх точках ζ0 + e∗ ∈ K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ}.
У випадку, коли, наприклад, F2 ≡ 0, F3 ≡ 0, F4 ≡ 0 i точка ξ10 є iсто-
тно особливою для функцiї F1, вiдображення Φ не має нi скiнченної, нi
нескiнченної границi (18) в усiх точках ζ0+e∗ ∈ K̃0
ζ ∩{ζ0+e∗ : e∗ ∈ L1
ζ}.
Теорему доведено.
Поняття усувної особливої точки, полюса або iстотно особливої то-
чки для G-моногенного в областi K0
ζ вiдображення Φ: K0
ζ −→ H(C)
вводяться так, як i вiдповiднi поняття для голоморфних функцiй в
комплекснiй площинi (див., наприклад, [7, с. 135]). А саме, точка ζ0
називається:
1) усувною особливою точкою вiдображення Φ, якщо iснує скiнчен-
на границя
lim
ζ −→ ζ0,
ζ /∈ {ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ ∪ L2
ζ}
Φ(ζ) = A;
174 Т.С. Кузьменко
2) полюсом функцiї Φ, якщо iснує нескiнченна границя
lim
ζ −→ ζ0,
ζ /∈ {ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ ∪ L2
ζ}
Φ(ζ) = ∞;
3) iстотно особливою точкою вiдображення Φ, якщо вiдображе-
ння Φ не має нi скiнченної, нi нескiнченної границi при ζ −→ ζ0 i
ζ /∈ {ζ0 + e∗ : e∗ ∈ L1
ζ ∪ L2
ζ}.
Повнiстю аналогiчно данi поняття вводяться i для лiво-G-
моногенних вiдображень Φ̂ : K0
ζ −→ H(C).
З теореми 4 випливає, що iзольована особлива точка у G-
моногенного вiдображення може бути лише усувною, а у випадку,
коли вiдображення має неусувну особливiсть в точцi ζ0, особливи-
ми є всi точки хоча б однiєї з множин K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗1 : e∗1 ∈ L1
ζ} або
K̃0
ζ ∩ {ζ0 + e∗2 : e∗2 ∈ L2
ζ}.
Лiтература
[1] Plaksa S.A., Pukhtaievych R.P. Constructive description of monogenic
functions in n-dimensional semi-simple algebra // An. Şt. Univ. Ovidius
Constanţa. — 2014. — 22, No. 1. — P. 221 – 235.
[2] Moisil G.C., Theodoresco N. Functions holomorphes dans l’espace //
Mathematica (Cluj). — 1931. — 5. — P. 142 – 159.
[3] Sudbery A. Quaternionic analysis // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. —
1979. — 85. — P. 199 – 225.
[4] Gentili G., Stoppato C., Struppa D. Regular Functions of a Quaternionic
Variable. — qSpringer Monographs in Mathematics, 2013.
[5] Shpakivskyi V. S., Kuzmenko T. S. Integral theorems for the quaternionic
G-monogenic mappings // accepted to An. Şt. Univ. Ovidius Constanţa;
http://arxiv.org/pdf/1412.5320v1.pdf
[6] Шпакiвський В.С., Кузьменко Т.С. Про один клас кватернiон-
них вiдображень // прийнята до друку в Укр. мат. журн.;
http://arxiv.org/pdf/1412.5142v1.pdf.
[7] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976. —
Ч.1. — 320 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-192 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:46Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ea/5a13b9653852b42285c98f4e0c2390ea.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1922018-01-23T12:10:05Z The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions Степеневі ряди та ряди Лорана в алгебрі комплексних кватерніонів Kuz’menko, T. S. Кузьменко, Т. С. Taylor's and Laurent's expansions of $G$-monogenic mappings with values %taking values in the algebra of complex quaternion are obtained and singularities of these mappings are classified. В алгебре комплексных кватернинионов получены тейлоровские илорановские разложения для $G$-моногенных отображений, а также классифицированы их особые изолированные точки. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/192 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 164–174 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 164–174 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 164–174 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/192/156 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Kuz’menko, T. S. Кузьменко, Т. С. The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title | The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title_alt | Степеневі ряди та ряди Лорана в алгебрі комплексних кватерніонів |
| title_full | The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title_fullStr | The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title_full_unstemmed | The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title_short | The Taylor and Laurent series in the algebra of complex quaternions |
| title_sort | taylor and laurent series in the algebra of complex quaternions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/192 |
| work_keys_str_mv | AT kuzmenkots thetaylorandlaurentseriesinthealgebraofcomplexquaternions AT kuzʹmenkots thetaylorandlaurentseriesinthealgebraofcomplexquaternions AT kuzmenkots stepenevírâditarâdiloranavalgebríkompleksnihkvaterníonív AT kuzʹmenkots stepenevírâditarâdiloranavalgebríkompleksnihkvaterníonív AT kuzmenkots taylorandlaurentseriesinthealgebraofcomplexquaternions AT kuzʹmenkots taylorandlaurentseriesinthealgebraofcomplexquaternions |