On infinite levels of continuous functions
Objects of our study are continuous functions of a real variable with a dense set ofinfinite levels.  There are investigated a behavior of functions with singularity, and found connections betweensets of finite and infinite levels of an isolated mapping, respectively, in terms of catego...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/193 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552711473332224 |
|---|---|
| author | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. |
| author_facet | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Сафонов",
"institution": "Національний університет харчових технологій"
}
] |
| author_sort | Safonov, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | Objects of our study are continuous functions of a real variable with a dense set ofinfinite levels.  There are investigated a behavior of functions with singularity, and found connections betweensets of finite and infinite levels of an isolated mapping, respectively, in terms of categories. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 220–224
УДК 517.53
Сафонов В.М.
(Нацiональний унiверситет харчових технологiй, Київ)
Про нескiнченнi рiвнi неперервної
функцiї
Objects of our study are continuous functions of a real variable with a
dense set of infinite levels. There are investigated a behavior of functions
with singularity, and found connections between sets of finite and infinite
levels of an isolated mapping, respectively, in terms of categories.
У роботi розглядаються неперервнi функцiї однiєї дiйсної змiнної з
щiльною множиною нескiнченних рiвнiв. В термiнах категорiї дослi-
джується поведiнка функцiй з особливiстю та встановлюється зв’язок
мiж множинами скiнченних i нескiнченних рiвнiв нульвимiрного вi-
дображення.
Якщо на вiдрiзку [a, b] задана функцiя f(x), то для довiльної точки
x0 ∈ [a, b] повний прообраз f−1f(x0) будемо називати рiвнем функцiї f .
Розумiння властивостей сукупностi всiх рiвнiв функцiї (вiдображення)
часто дозволяє охарактеризувати її структурнi особливостi. У зв’язку
з цим постає питання про вивчення множини рiвнiв дiйсних функцiй.
Надалi розглядаються неперервнi функцiї однiєї дiйсної змiнної. Вi-
домо, що рiвнi неперервної функцiї f(x), x ∈ [a, b] являють собою за-
мкненi множини в [a, b], скiнченнi або нескiнченнi. Бiльш того, iснують
неперервнi функцiї, у яких всi рiвнi не тiльки нескiнченнi, але i незлi-
ченнi.
Дослiдженню множини нескiнченних рiвнiв неперервної функцiї
присвячена дана робота.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Про нескiнченнi рiвнi неперервної функцiї 221
Означення 1. Нехай f : [a, b] −→ R — неперервне вiдображення та
iснує нiде не щiльна замкнена множина P ⊂ [a, b] така, що вiдображе-
ння f строго монотонно на кожному iнтервалi сумiжностi до P i не є
монотонним в жодному околi будь-якої точки iз P . Тодi скажемо, що f
є вiдображенням з особливою множиною P i точки множини [a, b] \ P
назвемо регулярними [1].
Зрозумiло, що на рiзних iнтервалах доповнення [a, b] \ P характер
монотонностi вiдображення f може бути неоднаковим. Якщо f строго
зростає на кожному iз сумiжних iнтервалiв до множини P , то одним
iз прикладiв [1] подiбної функцiї є f(x) = x−Θ(x), x ∈ [0, 1], де Θ(x) —
вiдома канторова функцiя [2]. На iнтервалах сумiжностi до канторової
множини P0 функцiя f(x) має вигляд x+const. При цьому образ f(P0)
заповнює увесь вiдрiзок [− 1
6 ,
1
6 ] осi ординат.
Означення 2. Замкнена множина P ⊂ [a, b] називається нульвимiр-
ною (dimP = 0), якщо вона нiде не щiльна на вiдрiзку [a, b].
Нетривiальним прикладом нульвимiрної множини є вiдома канто-
рова досконала множина P0 на вiдрiзку [0, 1], яка має потужнiсть кон-
тинуума в кожнiй своїй порцiї [2]. У наведеному вище прикладi ця
множина P0 є особливою множиною.
Означення 3. Неперервне вiдображення f : [a, b] −→ R називається
нульвимiрним, якщо кожний його рiвень є нульвимiрною множиною,
тобто dimf−1f(x0) = 0 для будь-якого x0 ∈ [a, b].
Доведемо тепер одне важливе твердження про функцiю з особливi-
стю, яке є доповненням до вiдомого результату [1, с.169]. Використанi
при цьому поняття, означення яких не наведенi в роботi, можна знайти
в [3].
Теорема 1. Нехай f : [a, b] −→ R — неперервне вiдображення з осо-
бливою множиною P ⊂ [a, b]. Тодi, якщо множина E нескiнченних
рiвнiв вiдображення f щiльна на вiдрiзку [c, d] ⊂ f([a, b]), то iснує
щiльна пiдмножина e ⊂ [c, d] типу Gδ така, що для будь-якого
x0 ∈ e′ = f−1(e)∩P знайдеться послiдовнiсть регулярних точок {xk},
xk → x0 (k → ∞), для яких f(xk) = f(x0), k = 1, 2, . . ..
Доведення. За умовою теореми неперервне вiдображення f є строго
монотонним на кожному iнтервалi сумiжностi до замкненої нiде не
222 В.М. Сафонов
щiльної множини P ⊂ [a, b]. Тому образ множини регулярних точок
f([a, b] \ P ) є вiдкритою щiльною на f([a, b]) ⊂ R множиною. Отже,
множина F0 = f([a, b]) \ f([a, b] \ P ) замкнена i нiде не щiльна.
Позначимо через Fn множину точок прямої R = Ry, кожнiй з яких
вiдповiдає щонайбiльше n точок доповнення [a, b] \ P . Будь-яка мно-
жина Fn замкнена на R, оскiльки легко довести, що її доповнення
вiдкрите. Зазначимо тут, що точку a ∈ [a, b] вважатимемо регулярною
лише у тому випадку, якщо вiдображення f в точках a i b ∈ [a, b] одно-
бiчно зростає або спадає. Тодi обидвi цi точки слiд визнавати за одну.
Очевидно маємо F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fn ⊂ . . ..
Покажемо тепер, що кожна Fn(n = 1, 2, . . .) є нiде не щiльною мно-
жиною на вiдрiзку [c, d]. Зробимо це вiд супротивного. Припустимо, що
знайдеться iнтервал ∆ ⊂ [c, d] ⊂ f([a, b]), в якому хоча б одна з мно-
жин Fn є скрiзь щiльною. Внаслiдок замкненостi множини Fn маємо
∆ ⊂ Fn.
Нехай точцi y0 ∈ ∆ вiдповiдає максимально можливе число N точок
{xk}(k = 1, 2, . . . , N) з доповнення [a, b] \ P серед усiх точок iнтервала
∆. Зрозумiло, що N ≤ n.
Побудуємо далi такi iнтервали-околи U(xk) (k = 1, 2, . . . , N) точок
xk ∈ [a, b] \ P , щоб образ кожного з них був деяким фiксованим iн-
тервалом δ(y0) ⊂ ∆ ⊂ [c, d] з центром в точцi y0 i щоб замикання цих
околiв – вiдрiзки U(xk) ⊂ [a, b] \ P (k = 1, 2, . . . , N). Можливiсть вико-
нання такої побудови легко випливає з вiдкритостi строго монотонних
функцiй.
Оскiльки множина E нескiнченних рiвнiв вiдображення f є щiль-
ною на вiдрiзку [c, d] ⊂ f([a, b]), то iснує точка перетину множин
ỹ ∈ [c, d] ∩ E така, що ỹ ∈ δ(y0) ⊂ ∆.
Розглянемо рiвень f−1(ỹ) вiдображення f , який є нескiнченною
нульвимiрною множиною. Тодi маємо f−1(ỹ) ∩ P ̸= ∅ i в деякiй то-
чцi x̃ ∈ P дiстанемо f(x̃) = ỹ. Оскiльки множина P нiде не щiльна i x̃
не мiститься в об’єднаннi
N∪
k=1
U(xk), то iснує послiдовнiсть точок {x̃m},
x̃m ∈ [a, b] \ P (m = 1, 2, 3, . . .), яка є збiжною до x̃. За неперервнiстю
вiдображення f образи цих точок ỹm = f(x̃m), починаючи з деякого
номера m, будуть лежати у серединi iнтервалу δ(y0).
Попереднє свiдчить про таке. Якщо ỹm — одна з таких точок, то
їй має вiдповiдати множина, яка мiстить принаймнi N + 1 точок з
доповнення [a, b] \ P . Це суперечить визначенню точки y0 i числа N .
Про нескiнченнi рiвнi неперервної функцiї 223
Отримане протирiччя доводить те, що будь-яка iз замкнених мно-
жин Fn(n = 0, 1, 2, . . .) нiде не щiльна на вiдрiзку [c, d]. Тодi об’єдна-
ння
∞∪
n=0
Fn — множина першої категорiї в [c, d] i, отже, доповнення
e = [c, d] \
∞∪
n=0
Fn є множиною другої категорiї типу Gδ. Звiдси та iз
означення множин Fn випливає, що множина e є шуканою множиною.
Теорема доведена.
Особливо важливими в багатьох випадках виявилися дослiдження,
якi пов’язанi з неперервними вiдображеннями, що не мають iнтервалiв
сталостi. Використовуючи категорний пiдхiд, охарактеризуємо множи-
ну рiвнiв неперервного нульвимiрного вiдображення.
Позначимо множини скiнченних та злiченних рiвнiв вiдображення
f вiдповiдно через E1 i E2.
На пiдставi доведеної тут теореми про точки нескiнченної регуляр-
ної кратностi та одержаного ранiше результату [4] дiстанемо такi твер-
дження.
Теорема 2. Нехай неперервне нульвимiрне вiдображення
f : [a, b] −→ R має множину E1 ∪ E2 скiнченних або злiченних
рiвнiв скрiзь другої категорiї. Якщо множина E нескiнченних рiвнiв
вiдображення f щiльна на вiдрiзку [c, d] ⊂ f([a, b]), то множина його
злiченних рiвнiв E2 другої категорiї на [c, d].
Доведення. За умовою вiдображення f нульвимiрне i має множи-
ну E1 ∪ E2 не бiльше, нiж злiченних рiвнiв скрiзь другої категорiї на
образi f([a, b]). Тому iснує щiльна на вiдрiзку [a, b] скiнченна або злi-
ченна послiдовнiсть {(ai, bi)} iнтервалiв попарно без спiльних точок, в
кожному з яких f строго монотонно [4], причому надалi можна вважа-
ти, що нiде не щiльна замкнена множина P = [a, b] \
∪
i
(ai, bi) ̸= ∅ i в
жодному околi кожної точки x ∈ P вiдображення f не є монотонним.
Оскiльки множина E нескiнченних рiвнiв вiдображення f щiльна
на вiдрiзку [c, d] ⊂ f([a, b]), то згiдно з теоремою 1 iснує Gδ-множина
e другої категорiї на [c, d] така, що для кожного x0 ∈ f−1(e) ∩ P i
деякої послiдовностi регулярних точок {xk}, xk → x0 (k → ∞), маємо
f(xk) = f(x0), k = 1, 2, . . .. При цьому iз самого доведення теореми 1
випливає, що E1 ⊂
∪
n
Fn.
Нехай множина E1 скiнченних рiвнiв вiдображення f не першої
категорiї на вiдрiзку [c, d]. Тодi Fσ-множина
∪
n
Fn теж не першої ка-
224 В.М. Сафонов
тегорiї на [c, d] i, отже, знайдеться iнтервал ∆ ⊂ [c, d] ⊂ f([a, b]), на
якому одна iз множин Fn буде щiльною. Iз замкненостi множини Fn
дiстанемо ∆ ⊂ Fn. Звiдси та iз попереднього випливає, що Fn ∩ e ̸= ∅,
всупереч визначенню множин Fn та e.
Отже, E1 ∩ [c, d] — множина першої категорiї i тому множина E2
злiченних рiвнiв вiдображення f другої категорiї на [c, d]. Теорема 2
доведена.
Наслiдком теореми 2 є твердження стосовно внутрiшнiх точок мно-
жини скiнченних рiвнiв вiдображення f .
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Якщо множина
E2 злiченних рiвнiв вiдображення f нiде не щiльна на вiдрiзку [c, d] ⊂
f([a, b]), то для множини E1 скiнченних його рiвнiв справджується
IntE1 ̸= ∅ (стосовно вiдрiзка [c, d] ⊂ R).
З доведення теореми 2 безпосередньо випливає таке твердження.
Теорема 4. Якщо за умов теореми 2 множина E1 скiнченних рiвнiв
вiдображення f не першої категорiї на f([a, b]), то iснує iнтервал
δ ⊂ f([a, b]) такий, що δ ⊂ E1.
Лiтература
[1] Трохимчук Ю.Ю. Дифференцирование, внутренние отображения и
критерии аналитичности. — К.: Ин-т математики НАН Украины,
2008. — 539 с.
[2] Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир,
1967. — 252 с.
[3] Куратовский К. Топология: В 2-х томах. — М.: Мир, 1966. — T. 1. —
595 с.
[4] Сафонов В.М. Про злiченно-кратнi функцiї // Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України / Аналiз i застосування /. — 2012. — 9, №2. — К.:
Iн-т математики НАН України, 2012. — С. 341 – 346.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-193 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:47Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/6a/f811f581c035a19a704cb92777bd786a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1932018-01-23T12:10:05Z On infinite levels of continuous functions Про нескінченні рівні неперервної функції Safonov, V. M. Сафонов, В. М. Objects of our study are continuous functions of a real variable with a dense set ofinfinite levels.  There are investigated a behavior of functions with singularity, and found connections betweensets of finite and infinite levels of an isolated mapping, respectively, in terms of categories. У роботі розглядаються неперервні функції однієї дійсної змінної з щільною множиною нескінченних рівнів.В термінах категорії досліджується поведінка функцій з особливістю та встановлюється зв'язок між множинами скінченнихі нескінченних рівнів нульвимірного ві\-дображення. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/193 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 220-224 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 220-224 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 220-224 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/193/157 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Safonov, V. M. Сафонов, В. М. On infinite levels of continuous functions |
| title | On infinite levels of continuous functions |
| title_alt | Про нескінченні рівні неперервної функції |
| title_full | On infinite levels of continuous functions |
| title_fullStr | On infinite levels of continuous functions |
| title_full_unstemmed | On infinite levels of continuous functions |
| title_short | On infinite levels of continuous functions |
| title_sort | on infinite levels of continuous functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/193 |
| work_keys_str_mv | AT safonovvm oninfinitelevelsofcontinuousfunctions AT safonovvm oninfinitelevelsofcontinuousfunctions AT safonovvm proneskínčennírívníneperervnoífunkcíí AT safonovvm proneskínčennírívníneperervnoífunkcíí |