Order estimates for some approximative characteristics
We obtain the exact order estimates of certain quantities, which are expressions of the important approximative characteristics of the spaces $S^p$
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/194 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552716111183872 |
|---|---|
| author | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Л. Шидліч",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Shydlich, A. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We obtain the exact order estimates of certain quantities, which are expressions of the important approximative characteristics of the spaces $S^p$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 304�327
ÓÄÊ 517.5
À.Ë. Øèäëi÷∗ (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
ÏÎÐßÄÊÎÂI ÎÖIÍÊÈ ÄËß ÄÅßÊÈÕ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀ-
ÒÈÂÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
We obtain the exact order estimates of certain quantities, which are expressions
of the important approximative characteristics of the spaces Sp.
 ðîáîòi îòðèìàíî òî÷íi ïîðÿäêîâi îöiíêè äåÿêèõ âåëè÷èí, â òåðìi-
íàõ ÿêèõ âèðàæàþòüñÿ çíà÷åííÿ âàæëèâèõ àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòå-
ðèñòèê ïðîñòîðiâ Sp.
1. Âñòóï. Íåõàé Ψ = Ψ(k), k = 1, 2, . . . , � äîâiëüíà íåçðîñòàþ÷à
äîäàòíà ÷èñëîâà ïîñëiäîâíiñòü, äëÿ ÿêî¨
lim
k→+∞
Ψ(k) = 0. (1.1)
 ðîáîòi âèâ÷à¹òüñÿ ïîâåäiíêà ïðè n → ∞ âåëè÷èí Hn(Ψ, s), êîòði
ïðè s ∈ (0, 1] çàäàþòüñÿ ðiâíiñòþ
Hn(Ψ, s) = sup
l>n
(l − n)
( l∑
k=1
Ψ−s(k)
)− 1
s
, (1.2)
à ïðè s ∈ (1,∞) � ðiâíiñòþ
Hn(Ψ, s) =
(
(l∗ − n)s
′
( l∑
j=1
Ψ−s(j)
)−s′/s
+
∞∑
j=l∗+1
Ψs′(j)
)1/s′
, (1.3)
â ÿêié 1/s+ 1/s′ = 1,
∞∑
j=1
Ψs′(j) <∞, (1.4)
∗Ðîáîòà âèêîíàíà çà ÷àñòêîâî¨ ïiäòðèìêè Ãðàíòó ÍÀÍ Óêðà¨íè äëÿ ìîëîäèõ
â÷åíèõ.
c© À.Ë. Øèäëi÷, 2013
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 305
à ÷èñëî l∗ îäíîçíà÷íî âèçíà÷à¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿì
Ψ−s(l∗) ≤ 1
l∗ − n
l∗∑
j=1
Ψ−s(j) < Ψ−s(l∗ + 1). (1.5)
Çàóâàæèìî, ùî â òåðìiíàõ ïîäiáíèõ âåëè÷èí ôîðìóëþþòüñÿ ðîç-
â'ÿçêè áàãàòüîõ çàäà÷ òåîði¨ àïðîêñèìàöi¨ (äèâ., íàïðèêëàä, [1, 2 (ãë.
XI), 3-7]). Çîêðåìà, Ë.Á. Ñîôìàí [3, 4, äèâ. òàêîæ 5 (ãë.VI)] ïîêà-
çàâ, ùî êîëìîãîðiâñüêèé ïîïåðå÷íèê dn(Oα,H) îêòàåäðà Oα (ÿêèé
âèçíà÷à¹òüñÿ äîäàòíîþ ñïàäíîþ äî íóëÿ ÷èñëîâîþ ïîñëiäîâíiñòþ
α = {αk}∞j=1) ó ãiëüáåðòîâîìó ïðîñòîði H îá÷èñëþ¹òüñÿ çà ôîðìó-
ëîþ
dn(Oα,H) = sup
l>n
√√√√√ l − n
l∑
j=1
ᾱ−2
j
=
√
Hn(ᾱ2, 1),
äå ᾱ = {ᾱk}∞k=1 � íåçðîñòàþ÷à ïåðåñòàíîâêà ïîñëiäîâíîñòi |αj |. Ôàí
Ãåíñóí òà Êiåí Ëiêñií [6] îòðèìàëè àíàëîãi÷íi ôîðìóëè äëÿ îá÷èñ-
ëåííÿ òî÷íèõ çíà÷åíü ãåëüôàíäiâñüêèõ, iíôîðìàöiéíèõ òà äåÿêèõ
iíøèõ ïîïåðå÷íèêiâ äåÿêèõ ôóíêöiîíàëüíèõ êëàñiâ â ïðîñòîðàõ lp.
Î.I. Ñòåïàíåöü â ðîáîòàõ [1, 2 (ãë. XI)] ïîêàçàâ, ùî çíà÷åííÿ íàéêðà-
ùèõ n-÷ëåííèõ íàáëèæåíü q-åëiïñî¨äiâ â ïðîñòîðàõ Sp çáiãàþòüñÿ çà
ïåâíèõ óìîâ çi çíà÷åííÿìè âåëè÷èí Hn(Ψ, s) (äåòàëüíiøå öi ðåçóëü-
òàòè áóäóòü ðîçãëÿíóòi â ïiäðîçäiëi 4). Òîìó çàäà÷à ïðî çíàõîäæåííÿ
ïîðÿäêîâèõ ïðè n→∞ îöiíîê äëÿ âåëè÷èí Hn(Ψ, s) ¹ íà íàø ïîãëÿä
àêòóàëüíîþ.
Ó âèïàäêó, êîëè ïîñëiäîâíîñòi Ψ = Ψ(k) ¹ ñëiäàìè íà ìíîæèíi
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë äåÿêèõ îïóêëèõ ôóíêöié, ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ
âåëè÷èí Hn(Ψ, s) áóëî îòðèìàíî â [8, 9], à äëÿ ¨õ iíòåãðàëüíèõ àíà-
ëîãiâ � â ðîáîòi [7].  äàíié ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ âèïàäîê, êîëè ïî-
ñëiäîâíîñòi Ψ ¹ ñòóïií÷àñòèìè, à âïîðÿäêîâàíi ìíîæèíè ¨õ çíà÷åíü
¹ ñëiäàìè íà ìíîæèíi íàòóðàëüíèõ ÷èñåë äåÿêèõ äîäàòíèõ ôóíêöié,
ÿêi ñïàäàþòü äî íóëÿ øâèäøå äîâiëüíî¨ ãåîìåòðè÷íî¨ ïðîãðåñi¨.
2. Îñíîâíi ðåçóëüòàòè. Íåõàé d ∈ N; M , c1 i c2 � äåÿêi äî-
äàòíi ÷èñëà; ν = {νi}∞i=0 � äîâiëüíà çðîñòàþ÷à ïîñëiäîâíiñòü öiëèõ
íåâiä'¹ìíèõ ÷èñåë òàêèõ, ùî ν0 := 0, à ïðè âñiõm, áiëüøèõ íiæ äåÿêå
306 À.Ë. Øèäëi÷
÷èñëî k0, âèêîíó¹òüñÿ óìîâà
M(m− c1)d < Vm :=
m∑
i=0
νi ≤M(m+ c2)d. (2.1)
Òîäi ÷åðåç Sd(ν,M) = Sd(ν,M, c1, c2) ïîçíà÷èìî ìíîæèíó âñiõ äîäàò-
íèõ íåçðîñòàþ÷èõ ïîñëiäîâíîñòåé Ψ = Ψ(k), k = 1, 2, . . . , ÿêi çàäî-
âîëüíÿþòü óìîâó (1.1) i çîáðàæóþòüñÿ ó âèãëÿäi
Ψ(k) = ψ(m), k ∈ (Vm−1, Vm], m = 1, 2, . . . , (2.2)
äå ψ � ñïàäíà ïîñëiäîâíiñòü çíà÷åíü ïîñëiäîâíîñòi Ψ.
Áóäåìî ââàæàòè ïîñëiäîâíîñòi ψ ñëiäîì íà ìíîæèíi íàòóðàëüíèõ
÷èñåë N äåÿêèõ ñïàäíèõ äîäàòíèõ ôóíêöié ψ(t) âiä íåïåðåðâíîãî
àðãóìåíòó t ∈ [1,∞). Êðiì öüîãî, ïîçíà÷èìî ÷åðåç M′′
∞ ìíîæèíó
âñiõ äîäàòíèõ îïóêëèõ âíèç ôóíêöié ψ(t), t ≥ 1, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü
óìîâè
lim
t→∞
ψ(t) = 0 (2.3)
i
ψ(t)/|ψ′(t)| ↓ 0, ψ′(t) := ψ′(t+). (2.4)
Çàçíà÷èìî, ùî ïðèðîäíèìè ïðåäñòàâíèêàìè ìíîæèíè M′′
∞ ¹, çîêðå-
ìà, ôóíêöi¨ exp(−βts), β > 0, ïðè s > 1.
Òåîðåìà 2.1. Íåõàé s ∈ (1,∞), m ∈ N, ôóíêöiÿ Ψ íàëåæèòü
ìíîæèíi Sd(ν,M), à ïîñëiäîâíiñòü ¨¨ çíà÷åíü ¹ ñëiäîì íà ìíîæèíi
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë äåÿêî¨ ôóíêöi¨ ψ ç ìíîæèíè M′′
∞, ÿêà ïðè α = 1
çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
k(d−1)/αψ(k + 1)/ψ(k) → 0, k →∞. (2.5)
Òîäi ïðè âñiõ n ∈ [Vm−1, Vm) ì๠ìiñöå îöiíêà1
Hn(Ψ, s) � ψ(m)
Vm − n
n
d−1
sd
. (2.6)
1Òóò i äàëi äëÿ äîäàòíèõ ïîñëiäîâíîñòåé a(m) òà b(m) âèðàç "a(m) � b(m)"
îçíà÷à¹, ùî ïðè âñiõ m ∈ N âèêîíóþòüñÿ íåðiâíîñòi a(m) ≤ K2b(m) (â öüîìó
âèïàäêó ïèøåìî "a(m) � b(m)" ) i a(m) ≥ K1b(m) (â òàêîìó âèïàäêó ïèøåìî
"a(m)� b(m)" ).
×åðåç K, K1, K2, . . . ñêðiçü â ðîáîòi ïîçíà÷àþòüñÿ äåÿêi äîäàòíi ñòàëi, ùî íå
çàëåæàòü âiä âåëè÷èí, ÿêi ¹ ó ðîçãëÿäóâàíîìó âèïàäêó ïàðàìåòðàìè (â äàííîìó
âèïàäêó � âiä çìiííî¨ m).
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 307
Çàçíà÷èìî, ùî ó âèïàäêó, êîëè äëÿ ïîñëiäîâíîñòi Ψ ∈ Sd(ν,M)
ïîñëiäîâíiñòü ¨¨ çíà÷åíü ¹ ñëiäîì íà ìíîæèíi íàòóðàëüíèõ ÷èñåë äå-
ÿêî¨ ôóíêöi¨ ψ, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.4), ðÿä â (1.4) çáiãà¹òüñÿ.
Äiéñíî, â òàêîìó âèïàäêó âíàñëiäîê òåîðåìè 2 ðîáîòè [10] äëÿ äî-
âiëüíîãî β > 0 ìà¹ìî ψ(t) � t−β i òîìó
∞∑
j=1
Ψs′(j) =
∞∑
k=1
νkψ
s′(k) �
∞∑
k=1
kd−1ψs
′
(k) �
∞∑
k=1
kd−1k−s
′β <∞.
Çàóâàæåííÿ 2.1. ßêùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè òåîðåìè 2.1 i n ∈
[Vm−1, Vm), òî âíàñëiäîê (2.1) ìà¹ìî
(Vm − Vm−1) � md−1 � n
d−1
d . (2.7)
Òîìó ïðè âñiõ n ∈ [Vm−1, Vm) âèêîíó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
ψ(m)
n
d−1
sd
� Hn(Ψ, s) � ψ(m)n
d−1
d (1− 1
s ). (2.8)
Ó âèïàäêó, êîëè s ∈ (0, 1], ì๠ìiñöå íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 2.2. Íåõàé s ∈ (0, 1], m ∈ N, ôóíêöiÿ Ψ íàëåæèòü
ìíîæèíi Sd(ν,M), à ïîñëiäîâíiñòü ¨¨ çíà÷åíü ¹ ñëiäîì íà ìíîæèíi
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë äåÿêî¨ ôóíêöi¨ ψ ç ìíîæèíè M′′
∞, ÿêà çàäîâîëü-
íÿ¹ óìîâó (2.5) ïðè α = s. Òîäi
1) ïðè n = Vm−1 ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà
Hn(Ψ, s) � ψ(m); (2.9)
2) äëÿ âñiõ n ∈ (Vm−1, Vm) òàêèõ, ùî
s(Vm − Vm−1) ≥ Vm − n, (2.10)
ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà (2.6);
3) äëÿ âñiõ n ∈(Vm−1, Vm), ùî íå çàäîâîëüíÿþòü óìîâó (2.10),
Hn(Ψ, s) �
ψ(m)
(n− Vm−1)
1
s−1
. (2.11)
308 À.Ë. Øèäëi÷
Ó âèïàäêó, êîëè ïîñëiäîâíiñòü Ψ íàëåæèòü ìíîæèíi Sd(ν,M), à
âïîðÿäêîâàíà ìíîæèíà ¨¨ çíà÷åíü ¹ ñëiäîì íà ìíîæèíi íàòóðàëüíèõ
÷èñåë äåÿêî¨ ôóíêöi¨ ψ, ÿêà ñïàä๠äî íóëÿ íå øâèäøå äåÿêî¨ ñòåïå-
íåâî¨ ôóíêöi¨, àíàëîãi÷íi îöiíêè âåëè÷èí Hn(Ψ, s) áóëè îòðèìàíi â
ðîáîòi [11] (äèâ. òàêîæ [12]).
3.1. Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2.2. Ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó âèïàäîê,
êîëè s ∈ (0, 1]. Äëÿ äîâiëüíîãî l ∈ N ÷åðåç kl ïîçíà÷èìî íîìåð òàêèé,
ùî
Vkl−1 < l ≤ Vkl . (3.1)
Òîäi âíàñëiäîê (2.2) âåëè÷èíè Hn(Ψ, s) ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäi
Hn(Ψ, s) = sup
l∈N, l>n
(l − n)
( l∑
j=1
1
Ψs(j)
)− 1
s
=
= sup
l∈N, l>n
(l − n)
( kl−1∑
k=1
νk
ψs(k)
+
l − Vkl−1
ψs(kl)
)− 1
s
=: H̃n(ψ, s). (3.2)
Íà ïiäñòàâi (2.1) ìà¹ìî
νk = Vk − Vk−1 � kd−1, (3.3)
çâiäñè
l∑
k=1
νk
ψs(k)
�
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
.
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ ψ íàëåæèòü ìíîæèíi M′′
∞, òî ïðè âñiõ t ≥ 1
ψs(t) ≤ K1|(ψs(t))′|.
Òîìó ïðè âñiõ l ∈ N
ld−1
ψs(l)
≤
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
≤ ld−1
ψs(l)
+
l∫
1
td−1dt
ψs(t)
≤ ld−1
ψs(l)
+
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 309
+K1l
d−1
l∫
1
|(ψs(t))′|dt
ψ2r(t)
� ld−1
ψs(l)
+K1l
d−1
(
1
ψs(l)
− 1
ψs(1)
)
� ld−1
ψs(l)
.
Îòæå, äëÿ äîâiëüíîãî s > 0
l∑
k=1
νk
ψs(k)
�
l∑
k=1
kd−1
ψs(k)
� ld−1
ψs(l)
. (3.4)
Ïiäñòàâèâøè îöiíêó (3.4) ó ñïiââiäíîøåííÿ (3.2), îòðèìó¹ìî
H̃n(ψ, s) � sup
l∈N, l>n
(l − n)
(
(kl − 1)d−1
ψs(kl − 1)
+
l − Vkl−1
ψs(kl)
)− 1
s
.
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ ψ çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.5) ç α = s, òî
H̃n(ψ, s) � sup
l∈N, l>n
ψ(kl)(l − n)
(l − Vkl−1)
1
s
. (3.5)
Äàëi, ÿêùî n ∈ [Vm−1, Vm), òî âíàñëiäîê âèêîíàííÿ óìîâè (2.5) òà
(3.3) ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ïðè âiäøóêàííi òî÷íî¨ âåðõíüî¨ ìåæi â
(3.5) äîñòàòíüî îáìåæèòèñÿ ìíîæèíîþ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë l > n ç
ïðîìiæêó (Vm−1, Vm]. Òàêèì ÷èíîì, ç óðàõóâàííÿì (2.2) òà (3.1) îò-
ðèìó¹ìî
sup
l∈N, l>n
ψ(kl)(l − n)
(l − Vkl−1)
1
s
� ψ(m) sup
l∈N, l∈[n+1,Vm]
l − n
(l − Vm−1)
1
s
�
� ψ(m) sup
l∈[n+1,Vm]
l − n
(l − Vm−1)
1
s
. (3.6)
Äàëi, ÿêùî n = Vm−1, òî ôóíêöiÿ
l − n
(l − Vm−1)
1
s
= (l − n)1−
1
s
íå çðîñò๠ïðè äîâiëüíèõ l > n, òîìó â öüîìó âèïàäêó (âíàñëiäîê
(3.5) òà (3.6)) ñïðàâäæó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ (2.9).
310 À.Ë. Øèäëi÷
Íåõàé òåïåð n > Vm−1. ßêùî s = 1, òî ôóíêöiÿ
h(l, s) :=
l − n
(l − Vm−1)
1
s
ïðè l > n íå ñïàä๠i òîìó
sup
l∈[n+1,Vm]
h(l, 1) = h(Vm, 1) =
Vm − n
Vm − Vm−1
. (3.7)
Îá'¹äíóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (3.2), (3.5)�(3.7), ç óðàõóâàííÿì (2.7) ðî-
áèìî âèñíîâîê, ùî
Hn(Ψ, s) � ψ(m)
Vm − n
Vm − Vm−1
� ψ(m)
Vm − n
n
d−1
d
.
ßêùî s ∈ (0, 1), òî ôóíêöiÿ h(l, s) ì๠ïðè l > n ¹äèíó êðèòè÷íó
òî÷êó
l∗ =
n− sVm−1
1− s
,
ÿêà ¹ ¨¨ òî÷êîþ ìàêñèìóìó. Ôóíêöiÿ h(l, s) íå ñïàä๠ïðè l ∈ (n, l∗) i
íå çðîñò๠ïðè l > l∗.
Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî êîëè l∗ ≥ Vm, ùî ðiâíîñèëüíî óìîâi (2.10),
òî
sup
l∈[n+1,Vm]
h(l, s)=h(Vm, s)=
Vm − n
(Vm − Vm−1)
1
s
� Vm − n
n
d−1
sd
. (3.8)
ßêùî æ l∗ < Vm, òîáòî óìîâà (2.10) íå âèêîíó¹òüñÿ, òî
sup
l∈[n+1,Vm]
h(l, s)=h(l∗, s)=
s(1− s)
1
s−1
(n− Vm−1)
1
s−1
� 1
(n− Vm−1)
1
s−1
.
Îá'¹äíóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (3.2), (3.5), (3.6) òà (3.8), ðîáèìî âèñíî-
âîê, ùî êîëè ïðè äàíîìó s ∈ (0, 1) âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (2.10), òî ìà¹
ìiñöå îöiíêà (2.6). ßêùî æ óìîâà (2.10) íå âèêîíó¹òüñÿ, òî àíàëîãi÷-
íî ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà (2.11).
3.2. Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2.1. Íåõàé òåïåð s ∈ (1,∞). Âíàñëi-
äîê (1.5) ìà¹ìî Ψ(l∗+1) > Ψ(l∗). Òîìó ÿêùî ôóíêöiÿ Ψ(t) çàäà¹òüñÿ
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 311
ó âèãëÿäi (2.2), à n ∈ [Vm−1, Vm), òî ç îãëÿäó íà ìîíîòîííiñòü ôóíê-
öi¨ ψ òà (3.1) îòðèìó¹ìî l∗ = Vkl∗ ≥ Vm. Ïðè öüîìó óìîâà (1.5) ìà¹
âèãëÿä
ψ−s(kl∗) ≤
1
l∗ − n
kl∗∑
j=1
νj
ψs(j)
< ψ−s(kl∗ + 1). (3.9)
Âíàñëiäîê (3.4) òà óìîâè (2.5) ïðè äîñòàòíüî âåëèêèõ n
m∑
j=1
νj
ψs(j)
� md−1
ψs(m)
< ψ−s(m+ 1). (3.10)
Çâiäñè ðîáèìî âèñíîâîê, ùî l∗ = Vm.
Òàêèì ÷èíîì, ïðè äîñòàòíüî âåëèêèõ n ∈ [Vm−1, Vm) âåëè÷èíè
Hn(Ψ, s), s ∈ (1,∞), ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäi
Hn(Ψ, s) =
(
(Vm − n)s
′
( m∑
k=1
νk
ψs(k)
)−s′/s
+
+
∞∑
k=m+1
νkψ
s′(k)
)1/s′
:= H̃n(ψ, s), (3.11)
äå s ∈ (1,∞), 1/s+ 1/s′ = 1.
Ïîêàæåìî òåïåð, ùî äëÿ ôóíêöié ψ ∈ M′′
∞ i áóäü-ÿêèõ s′ ∈ (1,∞)
ì๠ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k) �
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k) � (l + 1)d−1ψs
′
(l + 1). (3.12)
Âíàñëiäîê (3.3) ìà¹ìî
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k) �
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k) � (l + 1)d−1ψs
′
(l + 1). (3.13)
Ç iíøîãî áîêó, ïîõiäíà ôóíêöi¨
h(t) := td−1ψs
′
(t), t ≥ 1,
312 À.Ë. Øèäëi÷
ì๠âèãëÿä
h′(t) = s′ψs
′
(t)td−2
(
d− 1
s′
− t|ψ′(t)|
ψ(t)
)
.
Òîìó ïðè äîñòàòíüî âåëèêèõ t ôóíêöiÿ h(t) ñïàä๠i âèêîíó¹òüñÿ
ñïiââiäíîøåííÿ
h(t) ≤ K|h′(t)|.
Çâiäñè ç óðàõóâàííÿì (3.3) îòðèìó¹ìî
∞∑
k=l+1
νkψ
s′(k)�
∞∑
k=l+1
kd−1ψs
′
(k)�(l+1)d−1ψs
′
(l+1)+
∞∫
l+1
td−1ψs
′
(t)dt�
� (l + 1)d−1ψs
′
(l + 1) +K
∞∫
l+1
|h′(t)|dt � (l + 1)d−1ψs
′
(l + 1). (3.14)
Iç ñïiââiäíîøåíü (3.13) òà (3.14) âèïëèâ๠(3.12).
Îá'¹äíóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (3.10)�(3.12), ðîáèìî âèñíîâîê, ùî
Hn(Ψ, s) �
(
ψs
′
(m)(Vm − n)s
′
m− s′(d−1)
s +md−1ψs
′
(m+ 1)
) 1
s′
, (3.15)
çâiäêè ç óðàõóâàííÿì óìîâè (2.5) òà (2.7) îòðèìó¹ìî
Hn(Ψ, s) � ψ(m)
Vm − n
m
d−1
s
� ψ(m)
Vm − n
n
d−1
sd
. (3.16)
Òåîðåìó 2.1 äîâåäåíî.
4. Çàñòîñóâàííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ äî îöiíîê àïðîê-
ñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê ïðîñòîðiâ Sp(Td).
4.1. Íåõàé d � ôiêñîâàíå íàòóðàëüíå ÷èñëî, Rd òà Zd � ìíîæèíè
óñiõ âïîðÿäêîâàíèõ íàáîðiâ k:=(k1, . . . , kd) âiäïîâiäíî iç d äiéñíèõ òà
öiëèõ ÷èñåë i Td := [0, 2π]d.
Íåõàé äàëi Lp(Td), 1 ≤ p <∞, � ïðîñòið âñiõ âèìiðíèõ çà Ëåáå-
ãîì íà Rd ôóíêöié 2π-ïåðiîäè÷íèõ ïî êîæíié çìiííié çi ñêií÷åííîþ
íîðìîþ
||f ||
Lp(Td)
:=
(
(2π)−d
∫
Td
|f(x)|pdx
)1/p
.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 313
Ïîêëàäåìî (k,x) := k1x1 + k2x2 + . . .+ kdxd i äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨
f ∈ L1(Td) îçíà÷èìî ¨¨ êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôîðìóëîþ
f̂(k) := (2π)−d
∫
Td
f(x)e−i(k,x)dx, k ∈ Zd.
×åðåç lNp , N = 1, 2, . . ., 0 < p ≤ ∞, ïîçíà÷èìî ïðîñòið âñiõ ïîñëiäîâ-
íîñòåé x = {xk}Nk=1 ∈ RN , äëÿ ÿêèõ ¹ ñêií÷åííîþ lp-íîðìà (êâàçi-
íîðìà)
|x|p := ||x||lp =
( ∑N
k=1 |xk|p
)1/p
, 0 < p <∞,
sup1≤i≤N |xi|, p = ∞.
Ïðîñòið Sp(Td), 0 < p < ∞, (äèâ., íàïðèêëàä, [2 (ãë. XI)]) � öå
ïðîñòið âñiõ ôóíêöié f ∈ L1(Td), äëÿ ÿêèõ
||f ||
Sp(Td)
:= ||{f̂(k)}k∈Zd ||lp(Zd) =
( ∑
k∈Zd
|f̂(k)|p
)1/p
<∞. (4.1)
Ôóíêöi¨ f ∈ L1(Td) òà g ∈ L1(Td) ¹ åêâiâàëåíòíèìè â ïðîñòîði Sp(Td),
ÿêùî ‖f − g‖
Sp(Td)
= 0.
Íåõàé ψ = ψ(t), t ≥ 1, � äîâiëüíà äîäàòíà ñïàäíà ôóíêöiÿ,
ψ(0) := ψ(1) i 0 < q, r ≤ ∞. Â äàíîìó ïiäðîçäiëi íàâåäåíî çàñòî-
ñóâàííÿ îòðèìàíèõ âèùå ðåçóëüòàòiâ äî çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ ïîðÿä-
êîâèõ îöiíîê äåÿêèõ âàæëèâèõ àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê â
ïðîñòîðàõ Sp(Td) êëàñiâ
Fψq,r :=
{
f ∈ L1(Td) : ||{f̂(k)/ψ(|k|r)}k∈Zd ||lp(Zd) ≤ 1
}
.
Çàçíà÷èìî, ùî êîëè ψ(t) = t−s, s ∈ N i q = 1, êëàñè Fψq,∞ =: Fsq,∞ ¹
ìíîæèíàìè ôóíêöié, ó ÿêèõ ÷àñòèííi ïîõiäíi ïîðÿäêó s ìàþòü àáñî-
ëþòíî çáiæíi ðÿäè Ôóð'¹. ßêùî æ q = 2, òî êëàñè Fs2,∞ åêâiâàëåíòíi
îäèíè÷íèì êóëÿì âiäîìèõ êëàñiâ Ñîáîë¹âà W s
2 . Àïðîêñèìàòèâíi õà-
ðàêòåðèñòèêè êëàñiâ Fψq,r äëÿ ðiçíèõ r ∈ (0,∞] i ðiçíèõ ôóíêöié ψ
äîñëiäæóâàëèñü, çîêðåìà, â ðîáîòàõ [11]�[16].
314 À.Ë. Øèäëi÷
4.2. Íåõàé òåïåð f � äîâiëüíà ôóíêöiÿ ç ïðîñòîðó L1(Td). Ïî-
çíà÷èìî ÷åðåç {k(l)}∞k=1 = {k(l, f)}∞k=1 ïåðåñòàíîâêó ÷èñåë k ∈ Zd
òàêó, ùî
|f̂(k(1))| ≥ |f̂(k(2))| ≥ . . . . (4.2)
ßêùî òàêà ïåðåñòàíîâêà íå ¹äèíà, òî ÷åðåç {k(l)}∞k=1 ïîçíà÷èìî
áóäü-ÿêó ç ïåðåñòàíîâîê, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (4.2).
Îñíîâíèìè àïðîêñèìàòèâíèìè âåëè÷èíàìè äëÿ ôóíêöié f ∈ Fψq,r,
ÿêi ðîçãëÿäàþòüñÿ â äàíié ðîáîòi, ¹ íàñòóïíi âåëè÷èíè:
||f −Gn(f)||
X
:= ||f(·)−
n∑
l=1
f̂(k(l))ei(k(l),·)||
X
, (4.3)
e⊥n (f)
X
:= inf
γn
||f(·)−
∑
k∈γn
f̂(k)ei(k,·)||
X
(4.4)
òà
en(f)
X
:= inf
γn,ck
||f(·)−
∑
k∈γn
cke
i(k,·)||
X
, (4.5)
äå X � îäèí iç ïðîñòîðiâ Lp(Td) àáî Sp(Td), γn � äîâiëüíèé íàáið iç
n ðiçíèõ âåêòîðiâ ç ìíîæèíè Zd, ck �äîâiëüíi êîìïëåêñíi ÷èñëà; çà
óìîâè, ùî Fψq,r ⊂ X.
Âåëè÷èíè (4.5) òà (4.4) íàçèâàþòü âiäïîâiäíî íàéêðàùèì n-
÷ëåííèì òðèãîíîìåòðè÷íèì òà íàéêðàùèì n-÷ëåííèì îðòîãîíàëü-
íèì òðèãîíîìåòðè÷íèì íàáëèæåííÿì ôóíêöi¨ f â ïðîñòîði X, à âå-
ëè÷èíó (4.3) � íàáëèæåííÿì â ïðîñòîði X ôóíêöi¨ f çà äîïîìîãîþ
"greedy" àïðîêñèìàíò.
Âèâ÷åííÿ âåëè÷èí âèãëÿäó (4.3)�(4.5) áåðå ñâié ïî÷àòîê âiä ðîáî-
òè Ñ.Á. Ñò¹÷êiíà [17]. Ïîðÿäêîâi îöiíêè ïðè n → ∞ òàêèõ âåëè÷èí
íà ðiçíèõ êëàñàõ ôóíêöié îäíi¹¨ òà áàãàòüîõ çìiííèõ âñòàíîâëþâà-
ëèñü áàãàòüìà àâòîðàìà. Ç áiáëiîãðàôi¹þ ðîáiò, â ÿêèõ îòðèìóþòüñÿ
ïîäiáíi ðåçóëüòàòè, ìîæíà îçíàéîìèòèñü, çîêðåìà, â [18] òà [19].
ßêùî N � äåÿêà ïiäìíîæèíà ç ïðîñòîðó X, òî ïîêëàäàþòü
e⊥n (N)
X
:= sup
f∈N
e⊥n (f)
X
òà en(N)
X
:= sup
f∈N
en(f)
X
.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 315
Ñëiä òàêîæ çàçíà÷èòè, ùî äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ Lp(Td) ìà¹
ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ
en(f)
Lp(Td)
≤ e⊥n (f)
Lp(Td)
≤ ||f −Gn(f)||
Lp(Td)
, (4.6)
à äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ Sp(Td), 0 < p < ∞, âíàñëiäîê (4.1) �
ñïiââiäíîøåííÿ
en(f)
Sp(Td)
= e⊥n (f)
Sp(Td)
= ||f −Gn(f)||
Sp(Td)
. (4.7)
Ïîðÿä ç âåëè÷èíàìè (4.3)�(4.5) äëÿ ôóíêöié f ∈ Fψq,r ïðèðîäíî
òàêîæ ðîçãëÿíóòè âåëè÷èíè
Eγn(f)
X
:= ||f(·)−
∑
k∈γn
f̂(k)ei(k,·)||
X
, (4.8)
äå, ÿê i ðàíiøå, X � îäèí iç ïðîñòîðiâ Sp(Td) àáî Lp(Td), γn � äî-
âiëüíèé íàáið iç n ðiçíèõ âåêòîðiâ ç ìíîæèíè Zd, à òàêîæ âåëè÷èíè
D⊥
n (Fψq,r)X := inf
γn
Eγn(Fψq,r)X = inf
γn
sup
f∈Fψq,r
Eγn(f)
X
, (4.9)
çà óìîâè, ùî Fψq,r ⊂ X. Âåëè÷èíè Eγn(f)
X
òà Eγn(Fψq,r)X íàçèâàþòü
íàáëèæåííÿì â ïðîñòîði X âiäïîâiäíî ôóíêöi¨ f òà êëàñó Fψq,r ñóìà-
ìè Ôóð'¹ ïîðÿäêó n, ãàðìîíiêè ÿêèõ âçÿòi iç ìíîæèíè γn. Âåëè÷èíè
D⊥
n (Fψq,r)X ìîæíà íàçèâàòè îðòîïðîåêöiéíèì òðèãîíîìåòðè÷íèì ïî-
ïåðå÷íèêîì ïîðÿäêó n êëàñó Fψq,r â ïðîñòîði X.
Ç îçíà÷åííÿ âåëè÷èí e⊥n (Fψq,r)X , D⊥
n (Fψq,r)X òà Eγn(Fψq,r)X âèïëè-
âà¹, ùî äëÿ äîâiëüíîãî íàáîðó γn ⊂ Zd
e⊥n (Fψq,r)X ≤ D⊥
n (Fψq,r)X ≤ Eγn(Fψq,r)X . (4.10)
4.3. Òî÷íi çíà÷åííÿ âåëè÷èí en(Fψq,r)Sp(Td) , à îòæå, i âåëè÷èí
sup
f∈Fψq,r
||f −Gn(f)||
Sp(Td)
òà e⊥n (Fψq,r)Sp(Td) ïðè áóäü-ÿêèõ 0 < p, q <∞
âèïëèâàþòü iç ðåçóëüòàòiâ Î.I. Ñòåïàíöÿ [1; 2, ãë. XI]. Çîêðåìà, iç òåî-
ðåìè 9.1 ðîáîòè [2, ãë. XI] âèïëèâà¹, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ 0 < q ≤ p <∞
316 À.Ë. Øèäëi÷
òà äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨ ôóíêöi¨ ψ = ψ(t), t ≥ 0, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
(2.3) ïðè êîæíîìó n ∈ N
epn(Fψq,r)Sp(Td) = sup
l>n
(l − n)(
l∑
j=1
ψ̄−q(j))−
p
q , (4.11)
äå ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., � íåçðîñòàþ÷à ïåðåñòàíîâêà ñèñòåìè ÷èñåë
ψ(|k|r), k∈Zd; ÿêùî æ 0 < p < q < ∞, à äîäàòíà ôóíêöiÿ ψ = ψ(t),
t ≥ 0, çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó∑
k∈Zd
ψ
pq
q−p (|k|r) <∞, (4.12)
òî iç òåîðåìè 9.4 ðîáîòè [2, ãë. XI] âèïëèâà¹, ùî
epn(Fψq,r)Sp(Td)=
(
(l∗ − n)
q
q−p
( l∗∑
k=1
ψ̄−q(k)
) p
q−p
+
∞∑
k=l∗+1
ψ̄
pq
q−p (k)
) q−p
q
, (4.13)
äå ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., � íåçðîñòàþ÷à ïåðåñòàíîâêà ñèñòåìè ÷èñåë
ψ(|k|r), k∈Zd, à ÷èñëî l∗ âèáðàíå ç óìîâè
ψ̄−q(l∗) ≤ 1
l∗ − n
l∗∑
k=1
ψ̄−q(k) < ψ̄−q(l∗ + 1).
Âðàõîâóþ÷è ïîçíà÷åííÿ (1.2) òà (1.3), ñïiââiäíîøåííÿ (4.11) òà (4.13)
ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi
epn(Fψq,r)Sp(Td) = Hn(ψ̄p, q/p), 0 < p, q <∞.
Äàëi, âàæëèâèì ïðè ôîðìóëþâàííi ðåçóëüòàòiâ ¹ âèêîíàííÿ íà-
ñòóïíî¨ óìîâè: êiëüêiñòü åëåìåíòiâ Vm := |∆̃d
m,r| ìíîæèíè
∆̃d
m,r := {k ∈ Zd : |k|r ≤ m, m = 0, 1, . . .} (4.14)
ïðè âñiõ äîñòàòíüî âåëèêèõ m (áiëüøèõ, íiæ äåÿêå äîäàòíå ÷èñëî k0)
çàäîâîëüíÿ¹ ñïiââiäíîøåííÿ
Mr(m− c1)d < Vm = |∆̃d
m,r| ≤Mr(m+ c2)d, (4.15)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 317
äå Mr, c1 òà c2 � äåÿêi äîäàòíi ñòàëi.
Çðîçóìiëî, ùî ó âèïàäêó, êîëè r = ∞, ñïiââiäíîøåííÿ (4.15) âè-
êîíó¹òüñÿ i M∞ = vol{k∈Rd : |k|∞≤1} = 2d, ÿêùî æ r = 1, òî
M1 = vol{k∈Rd : |k|1 ≤ 1} = 2d/d!. ×è ì๠ìiñöå ïîäiáíå ñïiââiä-
íîøåííÿ ïðè iíøèõ r íàì íåâiäîìî, îäíàê íàâiòü äëÿ öèõ âèïàäêiâ
íàâåäåíi äàëi ðåçóëüòàòè ¹ íîâèìè.
ßêùî âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (4.15), à ôóíêöiÿ ψ ñïàä๠äî íóëÿ,
òî íåçðîñòàþ÷ó ïåðåñòàíîâêó ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., ñèñòåìè ÷èñåë
ψ(|k|r) ìîæíà âèçíà÷èòè ðiâíiñòþ
ψ̄(l) = ψ(m), l ∈ (Vm−1, Vm], m = 1, 2, . . . , (4.16)
òîáòî, ψ̄ íàëåæèòü ìíîæèíi Sd(ν,M)=Sd(ν,M, c1, c2) ïðèM=Mr. Òî-
ìó íà ïiäñòàâi òåîðåì 2.1 òà 2.2 ìîæíà ñôîðìóëþâàòè òàêi íàñëiäêè.
Òâåðäæåííÿ 4.1. Íåõàé m ∈ N, 0 < r ≤ ∞, 0 < p < q < ∞,
ψp ∈ M′′
∞, âèêîíóþòüñÿ óìîâè (4.15) òà (2.5) ïðè α = p. Òîäi ïðè
âñiõ n ∈ [Vm−1, Vm)
en(Fψq,r)Sp(Td) � ψ(m)
(Vm − n)
1
p
n
d−1
dq
. (4.17)
Çàóâàæåííÿ 4.1. ßêùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè òâåðäæåííÿ 4.1 i
n∈ [Vm−1, Vm), òî âíàñëiäîê (2.7) ñïðàâäæó¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿ
ψ(m)
n
d−1
qd
� en(Fψq,r)Sp(Td) � ψ(m)n
d−1
d ( 1
p−
1
q ). (4.18)
Òâåðäæåííÿ 4.2. Íåõàé m ∈ N, 0 < r ≤ ∞, 0 < q ≤ p < ∞,
ψp ∈ M′′
∞, âèêîíóþòüñÿ óìîâè (4.15) òà (2.5) ïðè α = q. Òîäi
1) ïðè n = Vm−1 ì๠ìiñöå îöiíêà
en(Fψq,r)Sp(Td) � ψ(m); (4.19)
2) äëÿ âñiõ n ∈ (Vm−1, Vm) òàêèõ, ùî
q(Vm − Vm−1) ≥ p (Vm − n), (4.20)
ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà (4.17);
318 À.Ë. Øèäëi÷
3) äëÿ âñiõ n ∈(Vm−1, Vm), ùî íå çàäîâîëüíÿþòü óìîâó (4.20),
en(Fψq,r)Sp(Td) �
ψ(m)
(n− Vm−1)
1
q−
1
p
. (4.21)
Çàçíà÷èìî, ùî ó âèïàäêó, êîëè r=∞, äëÿ äîâiëüíîãî m∈N ìà¹-
ìî Vm = |∆̃d
m,∞| = (2m+ 1)d. Òîìó ÿêùî n ∈ [Vm−1, Vm), òî ÷èñëî m
âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíiñòþ m = [ (n+1)
1
d
2 ], äå [c] � öiëà ÷àñòèíà ÷èñëà c.
Ó âèïàäêó, êîëè d = 1, êëàñè Fψq,r =: Fψq íå çàëåæàòü âiä r,
óìîâà (4.15) âèêîíó¹òüñÿ ç ñòàëîþ Mr = 2, i ÿêùî n ∈ [Vm−1, Vm), òî
n = Vm−1 = Vm − 1, à m = [(n + 1)/2]. Òîìó äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨
ψp ∈ M′′
∞ òà áóäü-ÿêèõ 0 < p, q <∞
en(Fψq )
Sp(T1)
� ψ([(n+ 1)/2]). (4.22)
ßê áà÷èìî, ïðè d > 1 ó âèïàäêó 0 < q ≤ p < ∞ îòðèìàíi îöiíêè
iñòîòíî çàëåæàòü âiä ðîçìiùåííÿ ÷èñëà n íà ïiâñåãìåíòi [Vm−1, Vm).
Ðîçãëÿäàþ÷è ó òâåðäæåííÿõ 4.1 òà 4.2 äåÿêi êîíêðåòíi ïiäïîñëiäîâ-
íîñòi n(m), îòðèìà¹ìî òàêèé íàñëiäîê.
Íàñëiäîê 4.1. Íåõàé m∈N, n ∈ [Vm−1, Vm), 0<r≤∞, 0<p, q<∞,
ψp ∈ M′′
∞, âèêîíóþòüñÿ óìîâè (4.15) òà (2.5) ïðè α = min{p, q}.
Òîäi
1) ÿêùî n = n(m) = Vm − cm, cm ∈ N, cm ≤ K, m = 1, 2, . . . , òî
äëÿ äîâiëüíèõ 0 < p, q <∞
en(Fψq,r)Sp(Td) �
ψ(m)
n
d−1
dq
; (4.23)
2) ÿêùî n = n(m) = Vm−1 + cm, cm ∈ N, cm ≤ K, m = 1, 2, . . . ,
òî äëÿ äîâiëüíèõ 0 < p < q <∞
en(Fψq,r)Sp(Td) �
ψ(m)
n
d−1
d ( 1
q−
1
p )
, (4.24)
à äëÿ äîâiëüíèõ 0 < q < p <∞
en(Fψq,r)Sp(Td) � ψ(m); (4.25)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 319
3) ÿêùî æ ïiäïîñëiäîâíiñòü n = n(m) òàêà, ùî
(Vm − Vm−1) � (Vm − n), (4.26)
òî äëÿ äîâiëüíèõ 0 < p < q < ∞ ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà (4.24),
à ïðè 0 < q ≤ p < ∞ îöiíêà (4.24) ñïðàâäæó¹òüñÿ çà óìîâè, ùî
n = n(m) 6= Vm−1, m = 1, 2, . . ..
4.3. Çàïèøåìî òàêîæ âiäïîâiäíi îöiíêè âåëè÷èí D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) .
Òî÷íi çíà÷åííÿ âåëè÷èí D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) , à òàêîæ âåëè÷èí
Dn(Fψq,r)Sp(Td) := inf
γn
Eγn(Fψq,r)Sp(Td) =
= inf
γn
sup
f∈Fψq,r
inf
ak
||f(·)−
∑
k∈γn
ake
i(k,·)||
Sp(Td)
(4.27)
âèïëèâàþòü iç ðåçóëüòàòiâ ðîáîòè Î.I. Ñòåïàíöÿ [20]. Çîêðåìà, iç òåî-
ðåì 6.1 òà 6.4 ç [20] âèïëèâà¹, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ 0 < q ≤ p < ∞ i
äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨ ôóíêöi¨ ψ = ψ(t), t ≥ 0, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
(2.3), ïðè êîæíîìó n ∈ N
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) = ψ̄(n+ 1); (4.28)
ÿêùî æ 0 < p < q <∞, à äîäàòíà ôóíêöiÿ ψ = ψ(t), t ≥ 0, çàäîâîëü-
íÿ¹ óìîâó (4.12), òî
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) =
( ∞∑
k=n+1
ψ̄
pq
q−p (k)
) q−p
pq
, (4.29)
äå, ÿê i ðàíiøå, ÷åðåç ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., ïîçíà÷à¹òüñÿ íåçðîñòà-
þ÷à ïåðåñòàíîâêà ñèñòåìè ÷èñåë ψ(|k|r), k∈Zd.
Iç ñïiââiäíîøåíü (4.28) òà (4.16) âèïëèâà¹, ùî êîëè âèêîíó¹òü-
ñÿ óìîâà (4.14), ôóíêöiÿ ψ = ψ(t), t ≥ 0, ñïàä๠i çàäîâîëüíÿ¹
ñïiââiäíîøåííÿ (2.3), òî äëÿ áóäü-ÿêèõ 0 < q ≤ p < ∞ ïðè êîæ-
íîìó n ∈ [Vm−1, Vm) ì๠ìiñöå ðiâíiñòü
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) = ψ(m). (4.28′)
320 À.Ë. Øèäëi÷
Ó âèïàäêó, êîëè ψp ∈ M′′
∞, ìîæíà îòðèìàòè òàêîæ îöiíêó ïðàâî¨
÷àñòèíè ñïiââiäíîøåííÿ (4.29). Äiéñíî, íà ïiäñòàâi (4.16) òà (4.15)
ïðè n ∈ [Vm−1, Vm)
∞∑
k=n+1
ψ̄
pq
q−p (k) = (Vm − n)ψ
pq
q−p (m) +
∞∑
s=m+1
(Vs − Vs−1)ψ
pq
q−p (s) �
� (Vm − n)ψ
pq
q−p (m) +
∞∑
s=m+1
sd−1ψ
pq
q−p (s). (4.30)
Äàëi, ÿêùî ψp ∈ M′′
∞ i ïðè α = pq
q−p âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (2.5), òî
âíàñëiäîê (3.12)
∞∑
s=m+1
sd−1ψ
pq
q−p (s) � (m+ 1)d−1(ψp(m+ 1))
q
q−p �
� (m+ 1)d−1ψ
pq
q−p (m+ 1) � ψ
pq
q−p (m). (4.31)
Îá'¹äíóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (4.29), (4.30) òà (4.31), ðîáèìî âèñ-
íîâîê, ùî êîëè ψp ∈ M′′
∞ i ïðè α = pq
q−p âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (2.5), òî
ïðè âñiõ 0 < p < q <∞
Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) � ψ(m)(Vm − n)
1
p−
1
q . (4.32)
Òàêèì ÷èíîì, ñïðàâäæó¹òüñÿ íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Òâåðäæåííÿ 4.3. Íåõàé m ∈ N, 0 < r ≤ ∞, 0 < p, q < ∞ i
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (4.15). Òîäi
1) ÿêùî 0 < q ≤ p <∞, òî äëÿ äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨ ñïàäíî¨ äî íó-
ëÿ ôóíêöi¨ ψ(t), t ≥ 1, ïðè êîæíîìó n ∈ [Vm−1, Vm) ñïðàâäæó¹òüñÿ
ðiâíiñòü (4.28′);
2) ÿêùî æ 0 < p < q <∞, ψp ∈ M′′
∞ i ïðè α = pq
q−p âèêîíó¹òüñÿ
óìîâà (2.5), òî ïðè êîæíîìó n ∈ [Vm−1, Vm) ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà
(4.32).
Ó âèïàäêó d = 1 àíàëîãi÷íî ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ïðè
áóäü-ÿêèõ 0 < q ≤ p < ∞ äëÿ äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨ ñïàäíî¨ äî íóëÿ
ôóíêöi¨ ψ(t), t ≥ 1,
Dn(Fψq )
Sp(T1)
= D⊥
n (Fψq )
Sp(T1)
= ψ([(n+ 1)/2]), (4.28′′)
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 321
à ïðè áóäü-ÿêèõ 0 < p < q <∞ äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψp ∈ M′′
∞
Dn(Fψq )
Sp(T1)
= D⊥
n (Fψq )
Sp(T1)
� ψ([(n+ 1)/2]). (4.32′)
Çàóâàæåííÿ 4.1. Àíàëiçóþ÷è ðåçóëüòàòè äàíîãî ïiäðîçäiëó áà-
÷èìî, ùî ó âèïàäêó, êîëè d = 1, äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψp ∈ M′′
∞ i
âñiõ 0 < p, q <∞
en(Fψq )
Sp(T1)
� Dn(Fψq )
Sp(T1)
= D⊥
n (Fψq )
Sp(T1)
.
ßêùî d > 1, òî ïðè âñiõ 0 < q < p <∞ àíàëîãi÷íå ñïiââiäíîøåííÿ
en(Fψq,r)Sp(Td) � Dn(Fψq,r)Sp(Td) = D⊥
n (Fψq,r)Sp(Td) (4.33)
âèêîíó¹òüñÿ (çà âiäïîâiäíèõ óìîâ íà ôóíêöiþ ψ) äëÿ ïiäïîñëiäîâíî-
ñòi âèãëÿäó n = n(m) = Vm−1 + cm, cm ∈ N, cm ≤ K, m = 1, 2, . . ., à
ïðè âñiõ 0 < p = q < ∞ � äëÿ ïiäïîñëiäîâíîñòi n = n(m) = Vm−1,
m = 1, 2, . . .. Ó âèïàäêó, êîëè 0 < p < q < ∞, ñïiââiäíîøåííÿ
(4.33) âèêîíó¹òüñÿ äëÿ ïiäïîñëiäîâíîñòåé n = n(m), ùî çàäîâîëü-
íÿþòü óìîâó (4.26); ÿêùî æ äàíà ïiäïîñëiäîâíiñòü n = n(m) òàêà,
ùî (Vm − n) = o(Vm − Vm−1), m → ∞, òî ñïðàâäæó¹òüñÿ ñïiââiäíî-
øåííÿ
en(Fψq,r)Sp(Td) = o
(
Dn(Fψq,r)Sp(Td)
)
, n→∞.
5. Çàñòîñóâàííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ äî îöiíîê àïðîê-
ñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê ïðîñòîðiâ Lp(Td). Ó âèïàäêó, êîëè
2 ≤ p < ∞, íà ïiäñòàâi òåîðåìè Ãàóñäîðôà-Þíãà (äèâ., íàïðèêëàä,
[21, c. 16]) äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f ∈ Lp(Td)
||f ||
Lp(Td)
≤ ||f ||
Sp
′
(Td)
. (5.1)
2 ßêùî æ 1 ≤ p < 2, òî
||f ||
Lp(Td)
≤ ||f ||
L2(Td)
= ||f ||
S2(Td)
. (5.2)
2Òóò i äàëi, äëÿ äîâiëüíîãî 1 < p < ∞ ïîêëàäà¹ìî p′ := p
p−1
i p′ := ∞ ïðè
p = 1. Ïðè öüîìó, î÷åâèäíî, p′ > 1.
322 À.Ë. Øèäëi÷
Òàêèì ÷èíîì, iç îòðèìàíèõ ó ïiäðîçäiëi 4 îöiíîê àïðîêñèìàòèâíèõ
âåëè÷èí ïðîñòîðiâ Sp(Td) âèïëèâàþòü òàêîæ i îöiíêè çâåðõó àíàëî-
ãi÷íèõ âåëè÷èí ïðîñòîðiâ Lp(Td).
 äàíîìó ïiäðîçäiëi ðîçãëÿíåìî âèïàäêè, ó ÿêèõ âäà¹òüñÿ òàêîæ
îòðèìàòè âiäïîâiäíi îöiíêè çíèçó.
Òâåðäæåííÿ 5.1. Íåõàé m ∈ N, 0 < r ≤ ∞, 1 ≤ p <∞, 0<q<∞,
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (4.15) i n ∈ [Vm−1, Vm). Òîäi
1) ÿêùî 0 < q ≤ p′, òî äëÿ äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨ ñïàäíî¨ äî íóëÿ
ôóíêöi¨ ψ(t), t ≥ 1, ñïðàâäæó¹òüñÿ ðiâíiñòü
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td) = ψ(m); (5.3)
2) ÿêùî æ 1 < p′ < q < ∞, ψ ∈ M′′
∞ i çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.5)
ïðè α = p′q
q−p′ , òî äëÿ ïiäïîñëiäîâíîñòi âèãëÿäó n=n(m) = Vm − cm,
m = 1, 2, . . . , cm ∈ N, cm ≤ K, ì๠ìiñöå
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td) � ψ(m). (5.4)
Äîâåäåííÿ. Äëÿ îòðèìàííÿ îöiíîê çâåðõó â (5.3) òà (5.4) äîñòàò-
íüî ñêîðèñòàòèñü ñïiââiäíîøåííÿìè (5.1) òà (5.2) i òâåðäæåííÿì 4.1
(iç âðàõóâàííÿì òîãî, ùî êîëè n = n(m) = Vm − cm, m = 1, 2, . . . ,
cm ∈ N, cm ≤ K, âåëè÷èíà (Vm − n) � K).
Ùîá îòðèìàòè îöiíêè çíèçó, ðîçãëÿíåìî äëÿ äîâiëüíîãî íàáîðó
γn ∈ Zd ñèñòåìó k1 = k1(γn),k2 = k2(γn), . . . âñiõ âåêòîðiâ ç ìíîæèíè
Zd \ γn òàêèõ, ùî
ψ(|k1(γn)|r) ≥ ψ(|k2(γn)|r) ≥ . . .
i ôóíêöiþ f1(x) = f1(x, γn) = ψ(|k1(γn)|r)ei(k1(γn),x). Î÷åâèäíî, ùî
f1 ∈ Fψq,r i
Eγn(f1)
Lp(Td)
= ||ψ(|k1(γn)|r)ei(k1(γn),x)||
Lp(Td)
= ψ(|k1(γn)|r),
Çâiäñè ç âðàõóâàííÿì (4.16) âèïëèâ๠íåîáõiäíà îöiíêà çíèçó âåëè-
÷èíè D⊥
n (Fψq )
Lp(Td)
:
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td)≥ inf
γn
Eγn(f1)
Lp(Td)
= inf
γn
ψ(|k1(γn)|r)= ψ̄(n+ 1) = ψ(m),
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 323
äå, ÿê i ðàíiøå, ÷åðåç ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., ïîçíà÷à¹òüñÿ íåçðîñòàþ-
÷à ïåðåñòàíîâêà ñèñòåìè ÷èñåë ψ(|k|r), k∈Zd. Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî.
ßê âæå çàçíà÷àëîñÿ, ó âèïàäêó, êîëè d = 1, êëàñè Fψq,r =: Fψq
íå çàëåæàòü âiä r, óìîâà (4.15) âèêîíó¹òüñÿ ç êîíñòàíòîþ Mr = 2, i
ÿêùî n ∈ [Vm−1, Vm), òî n = Vm−1 = Vm − 1, à m = [(n+ 1)/2]. Òîìó
ç òâåðäæåííÿ 5.1 ìîæíà îòðèìàòè òàêèé íàñëiäîê.
Íàñëiäîê 5.1. Íåõàé 1 ≤ p < ∞, òîäi äëÿ äîâiëüíî¨ äîäàòíî¨
ñïàäíî¨ äî íóëÿ ôóíêöi¨ ψ(t), t ≥ 1, òà áóäü-ÿêèõ 0 < q ≤ p′ <∞
D⊥
n (Fψq )
Lp(T1)
= ψ([(n+ 1)/2]); (5.3′)
ÿêùî æ q > p′, òî äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞
D⊥
n (Fψq )
Lp(T1)
� ψ([(n+ 1)/2]). (5.4′)
Òâåðäæåííÿ 5.2. Íåõàé m ∈ N, 0 < r ≤ ∞, 0 < q <∞, 1≤p<∞,
âèêîíó¹òüñÿ óìîâà (4.15) i n ∈ [Vm−1, Vm). Òîäi
1) ÿêùî n = n(m) = Vm−1, òî ïðè âñiõ q ≤ p′ äëÿ äîâiëüíî¨
ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.5) ïðè α = min{p′, q},
ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà
e⊥n (Fψq,r)Lp(Td) � sup
f∈Fψq,r
||f −Gn(f)||
Lp(Td)
� ψ(m); (5.5)
2) ÿêùî n = n(m) = Vm − cm, cm ∈ N, cm ≤ K, òî äëÿ äîâiëüíî¨
ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.5) ç α = min{p′, q}, ïðè
âñiõ 0 < q <∞ ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà
e⊥n (Fψq,r)Lp(Td) � sup
f∈Fψq,r
||f −Gn(f)||
Lp(Td)
� ψ(m)
n
d−1
dq
; (5.6)
3) ÿêùî n = n(m) = Vm−1 + cm, cm ∈ N, cm ≤ K, òî ïðè âñiõ
q < p′ äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞, ùî çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2.5) ç
α = min{p′, q}, ñïðàâäæó¹òüñÿ îöiíêà (5.5).
Äîâåäåííÿ. Iç âðàõóâàííÿì (4.6) òà (4.7) äëÿ îòðèìàííÿ îöiíîê
çâåðõó â òâåðäæåííi 5.2 äîñòàòíüî ñêîðèñòàòèñü ñïiââiäíîøåííÿìè
324 À.Ë. Øèäëi÷
(5.1) òà (5.2) i âiäïîâiäíèìè îöiíêàìè âåëè÷èí en(Fψq,r)Sp(Td) (ó òâåð-
äæåííi 1) � îöiíêîþ (4.19), ó òâåðäæåííi 2) � îöiíêîþ (4.23), ó
òâåðäæåííi 3) � îöiíêîþ (4.25)).
Äëÿ îòðèìàííÿ îöiíîê çíèçó ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó k∗1,k
∗
2, . . . âñiõ
âåêòîðiâ ç ìíîæèíè Zd òàêèõ, ùî
ψ(|k∗j |r) = ψ̄(j), j = 1, 2, . . . , (5.7)
äå ψ̄ = ψ̄(j), j = 1, 2, . . ., � íåçðîñòàþ÷à ïåðåñòàíîâêà ñèñòåìè ÷èñåë
ψ(|k|r), k∈Zd. Ïîêëàäåìî
f2(x) = C2
n+1∑
j=1
ei(k
∗
j ,x), äå C2 = C2(n) =
( n+1∑
j=1
ψ−q(|k∗j |r)
)− 1
q
.
Òîäi î÷åâèäíî, ùî f2 ∈ Fψq,r i âíàñëiäîê (5.7) òà (4.16) ïðè n ∈
[Vm−1, Vm).
C−q2 =
n+1∑
j=1
ψ̄−q(j) �
m−1∑
k=1
Vk − Vk−1
ψq(k)
+
n+ 1− Vm−1
ψq(m)
. (5.8)
Íà ïiäñòàâi ñïiââiäíîøåíü (4.15) òà (3.4) ìà¹ìî
m−1∑
k=1
Vk − Vk−1
ψq(k)
�
m−1∑
k=1
kd−1
ψq(k)
� (m− 1)d−1
ψq(m− 1)
. (5.9)
Îá'¹äíóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (5.8) òà (5.9), ç óðàõóâàííÿì óìîâè (2.5)
ðîáèìî âèñíîâîê
C−q2 � n+ 1− Vm−1
ψq(m)
. (5.10)
Äëÿ äîâiëüíîãî íàáîðó ÷èñåë γn i ïîëiíîìà
∑
k∈γn
f̂2(k)ei(k,·) iç
âðàõóâàííÿì òåîðåìè Ãàóñäîðôà-Þíãà îòðèìó¹ìî∣∣∣∣∣∣∣∣f2 − ∑
k∈γn
f̂2(k)ei(k,·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
Lp(Td)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣ n+1∑
j=1
k∗j /∈γn
f̂2(k∗j )e
i(k∗j ,·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
Lp(Td)
≥
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 325
≥
∣∣∣∣∣∣∣∣ n+1∑
j=1
k∗j /∈γn
f̂2(k∗j )e
i(k∗j ,·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
L1(Td)
� max
j=1,n+1
k∗j /∈γn
|f̂2(k∗j )| = C2. (5.11)
Iç ñïiââiäíîøåíü (5.11) òà (5.10) âèïëèâà¹, ùî ïðè âñiõ 1 ≤ p < ∞
ì๠ìiñöå îöiíêà:
e⊥n (Fψq,r)Lp(Td) � e⊥n (f2)
Lp(Td)
� ψ(m)
(n+ 1− Vm−1)1/q
.
Äàëi, ÿêùî d = 1, òî, î÷åâèäíî, n + 1 − Vm−1 = 1. Ïðè d > 1 ó
âèïàäêó, êîëè n = n(m) = Vm + cm, cm ∈ Z+, cm ≤ K, çàëèøà¹òüñÿ
ïîìiòèòè, ùî (n+1−Vm−1) � K; à ó âèïàäêó, êîëè n = n(m) = Vm−
cm, cm ∈ N, cm ≤ K, ñêîðèñòàòèñü ñïiââiäíîøåííÿì (2.7). Òåîðåìó
äîâåäåíî.
Íàñëiäîê 5.2. Äëÿ áóäü-ÿêèõ 1 ≤ p <∞ òà 0 < q <∞ i äîâiëü-
íî¨ ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞
e⊥n (Fψq )
Lp(T1)
� sup
f∈Fψq
||f −Gn(f)||
Lp(T1)
� ψ([(n+ 1)/2]). (5.12)
Çàóâàæåííÿ 5.1. Àíàëiçóþ÷è ðåçóëüòàòè äàíîãî ïiäðîçäiëó áà-
÷èìî, ùî ó âèïàäêó, êîëè d = 1, äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ ψ ∈ M′′
∞ i
áóäü-ÿêèõ 1 ≤ p <∞ òà 0 < q <∞
D⊥
n (Fψq )
Lp(T1)
� e⊥n (Fψq )
Lp(T1)
� sup
f∈Fψq
||f −Gn(f)||
Lp(T1)
.
ßêùî d > 1 i âèêîíóþòüñÿ óìîâè òâåðäæåíü 5.1 òà 5.2, òî ïðè âñiõ
q < p′ àíàëîãi÷íå ñïiââiäíîøåííÿ
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td)� e⊥n (Fψq,r)Lp(Td)� sup
f∈Fψq,r
||f −Gn(f)||
Lp(Td)
âèêîíó¹òüñÿ äëÿ ïiäïîñëiäîâíîñòi âèãëÿäó n = n(m) = Vm−1 + cm,
cm∈N, cm ≤ K, m = 1, 2, . . ., à ïðè âñiõ q = p′ � äëÿ ïiäïîñëiäîâíîñòi
n = n(m) = Vm−1, m = 1, 2, . . ..
326 À.Ë. Øèäëi÷
ßêùî æ ïiäïîñëiäîâíiñòü n = n(m) = Vm − cm, cm ∈ N, cm ≤ K,
òî äëÿ âñiõ 0 < q < ∞ ìà¹ìî e⊥n (Fψq,r)Lp(Td)= o
(
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td)
)
i
sup
f∈Fψq,r
||f −Gn(f)||
Lp(Td)
= o
(
D⊥
n (Fψq,r)Lp(Td)
)
, n→∞.
Àâòîð âäÿ÷íèé ðåöåíçåíòó çà öiííi çàóâàæåííÿ òà ðåêîìåíäàöi¨
ùîäî äàíî¨ ðîáîòè.
1. Ñòåïàíåö À.È. Àïïðîêñèìàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâ Spϕ â
ðàçíûõ ìåòðèêàõ // Óêð. ìàò. æóðí. � 2001.� 53, � 8. � C. 1121�1146.
2. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé: Â 2 ÷. // Ïðàöi Ií-òó ìàòå-
ìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2002. � 40. � ×.II. � 468 ñ.
3. Ñîôìàí Ë.Á. Ïîïåðå÷íèêè îêòàýäðîâ // Ìàò. çàìåòêè. � 1969. � 5, �4.
� C. 429�436.
4. Ñîôìàí Ë.Á. Ïîïåðå÷íèêè áåñêîíå÷íîãî îêòàýäðà // Âåñòí. ìîñêîâ. óí-òà.
� 1973. � �5. � C. 54�56.
5. Pinkus A. n-widths in approximation theory // Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York Tokyo, 1985. � 291 p.
6. Fang Gensun, Qian Lixin. Approximation Characteristics for Diagonal
Operators in Di�erent Computational Settings // J. Approx. Theory. � 2006.
� 140, �2. � P. 178�190.
7. Ñòåïàíåö À.È., Øèäëè÷ À.Ë. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è äëÿ èíòåãðàëîâ îò
íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì. � 2010. � 74, � 3.
� Ñ.169�224.
8. Ñòåïàíåö À.È., Øèäëè÷ À.Ë. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è äëÿ èíòåãðàëîâ îò
íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. � Êèåâ, 2007. � 103 c. � (Ïðåïð. / ÍÀÍ Óêðà-
èíû. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 2007.2).
9. Øèäëi÷ À.Ë. Ïîðÿäêîâi ðiâíîñòi äëÿ äåÿêèõ ôóíêöiîíàëiâ òà ¨õ çàñòîñó-
âàííÿ äî îöiíîê íàéêðàùèõ n-÷ëåííèõ íàáëèæåíü i ïîïåðå÷íèêiâ // Óêð.
ìàò. æóðí. � 2009.� 61, � 10. � C. 1403�1423.
10. Ñòåïàíåöü Î.I., Øèäëi÷ À.Ë. Ïðî îäèí êðèòåðié äëÿ îïóêëèõ ôóíêöié
// Äîïîâiäi ÍÀÍÓ. � 2007. � �8. � c.31-36.
11. Øèäëi÷ À.Ë. Ïîðÿäêîâi îöiíêè íàéêðàùèõ n-÷ëåííèõ îðòîãîíàëüíèõ òðè-
ãîíîìåòðè÷íèõ íàáëèæåíü êëàñiâ ôóíêöié Fψq,∞ â ïðîñòîðàõ Lp(Td) //
Òåîðiÿ íàáëèæåííÿ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ : Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåìà-
òèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2011. � 8, � 1. � Ñ. 216�235.
12. Shidlich A.L. Approximations of certain classes of functions of several
variables by greedy approximants in the integral metrics // arXiv.org:
arXiv1302.2790v1. � 2013. � 16 p.
13. DeVore R.A., Temlyakov V.N. Nonlinear approximation by trigonometric
sums // J. Fourier Anal. Appl. � 1995. � 2, � 1. � P. 29-48.
Ïîðÿäêîâi îöiíêè äëÿ äåÿêèõ àïðîêñèìàòèâíèõ . . . 327
14. Temlyakov V.N.Greedy Algorithm and m-Term Trigonometric Approximation
// Constr. Approx. � 1998. � 14, � 4. � P. 569�587.
15. Li, R. S., Liu, Y. P. Asymptotic Estimations of m-term Approximation and
Greedy Algorithm for Multiplier Function Classes De�ned by Fourier Series //
Chinese Journal of Engineering Mathematics. � 2008. � 25, � 1. � P. 90�96.
16. Li, R. S., Liu, Y. P. Best m-term One-sided Trigonometric Approximation of
Some Function Classes De�ned by a Kind of Multipliers // Acta Mathematica
Sinica, English Series. � 2010. � 26, � 5. � P. 975�984.
17. Ñòå÷êèí Ñ.Á. Îá àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè îðòîãîíàëüíûõ ðÿäîâ // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1955. � 102, � 1. � C. 37�40.
18. De Vore R. Nonlinear approximation // Acta Numer. � 1998. � 7. � P. 51 �
150.
19. Ðîìàíþê À.Ñ. Íàèëó÷øèå M -÷ëåííûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïðèáëèæåíèÿ
êëàññîâ Áåñîâà ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Èçâ. ÐÀÍ.
Ñåð. ìàòåì. � 2003. � 67, �2. � Ñ. 61�100.
20. Ñòåïàíåö À.È. Çàäà÷è òåîðèè ïðèáëèæåíèé â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
// Óêð. ìàò. æóðí. � 2006.� 58, � 1. � C. 47�92.
21. Temlyakov V.N. Approximation of Periodic Functions // Computational
Mathematics and Analysis Series. � Commack, New York: Nova Science Publ.,
1993. � 419 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-194 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:51Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/83/24fe7beee384c34e6c48a55827133e83.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1942018-01-29T14:44:27Z Order estimates for some approximative characteristics Порядкові оцінки для деяких апроксимативних характеристик Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. We obtain the exact order estimates of certain quantities, which are expressions of the important approximative characteristics of the spaces $S^p$ В роботі отримано точні порядкові оцінки деяких величин, в термінах яких виражаються значення важливих апроксимативних характеристик просторів $S^p$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/194 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 304-327 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 304-327 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 304-327 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/194/158 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Shydlich, A. L. Шидліч, А. Л. Order estimates for some approximative characteristics |
| title | Order estimates for some approximative characteristics |
| title_alt | Порядкові оцінки для деяких апроксимативних характеристик |
| title_full | Order estimates for some approximative characteristics |
| title_fullStr | Order estimates for some approximative characteristics |
| title_full_unstemmed | Order estimates for some approximative characteristics |
| title_short | Order estimates for some approximative characteristics |
| title_sort | order estimates for some approximative characteristics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/194 |
| work_keys_str_mv | AT shydlichal orderestimatesforsomeapproximativecharacteristics AT šidlíčal orderestimatesforsomeapproximativecharacteristics AT shydlichal porâdkovíocínkidlâdeâkihaproksimativnihharakteristik AT šidlíčal porâdkovíocínkidlâdeâkihaproksimativnihharakteristik |