On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets
We study edge-local deformations of quadratic forms over the field of real numbers beingintroduced by V.M. Bondarenko. The main invariants of such deformations are $P$-limiting numbersand $P$-defining polynomials \linebreak which define them. It is described the $P$-defining polynomials of (positive...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/195 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552715752570880 |
|---|---|
| author | Lisykevych, V. A. Лісикевич, В. А. |
| author_facet | Lisykevych, V. A. Лісикевич, В. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Лісикевич",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Lisykevych, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We study edge-local deformations of quadratic forms over the field of real numbers beingintroduced by V.M. Bondarenko. The main invariants of such deformations are $P$-limiting numbersand $P$-defining polynomials \linebreak which define them. It is described the $P$-defining polynomials of (positive) quadratic Tits forms of non-serial posets of the smallest possible order that correspond to their neighboring elements. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 175–183
УДК 512.64 + 512.56
В.А. Лiсикевич
(Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ)
vikadrug@ukr.net
Про реберно-локальнi деформацiї
квадратичних форм Тiтса
найменших несерiйних ч. в. множин
We study edge-local deformations of quadratic forms over the field of
real numbers being introduced by V.M. Bondarenko. The main invariants
of such deformations are P -limiting numbers and P -defining polynomials
which define them. It is described the P -defining polynomials of (positive)
quadratic Tits forms of non-serial posets of the smallest possible order that
correspond to their neighboring elements.
Вивчаються реберно-локальнi деформацiї квадратичних форм над по-
лем дiйсних чисел, введенi В. М. Бондаренком. Основними iнварiанта-
ми таких деформацiй є P -граничнi числа та P -визначальнi полiноми,
якi їх визначають. Описано P -визначальнi полiноми (додатних) ква-
дратичних форм Тiтса несерiйних частково впорядкованих множин
найменшого можливого порядку, якi вiдповiдають їх сусiднiм елемен-
там.
1. Вступ. Локальнi деформацiї квадратичних форм (якi в [1] на-
званi поточково-локальними) вивченi досить детально (див., зокрема,
[2] – [4]). У цiй статтi дослiджується iнший тип деформацiй квадра-
тичних форм, введених В.М. Бондаренком у роботi [1], якi вiн назвав
реберно-локальними. Нагадаємо деякi означення та твердження цiєї
роботи.
Нехай дана квадратична форма
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
fiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj (1)
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
176 В. А. Лiсикевич
над полем дiйсних чисел R. Її реберно-локальною деформацiєю назива-
ється квадратична форма вигляду
f (p,q)(z, t) =
n∑
i=1
fiz
2
i + tfpqzpzq +
∑
(i,j) ̸=(p,q)
fijzizj , (2)
де p i q (p < q) такi, що fpq ̸= 0, а t — параметр, що пробiгає поле R.
Квадратична форма (2) називається також локальною деформацiєю
квадратичної форми (1) вiдносно zpzq.
Число a ∈ R називається P -граничним числом квадратичної форми
f(z) для zpzq або (p, q)-им P -граничним числом квадратичної форми
f(z), якщо f(z, a) не є додатною квадратичною формою i в кожному
околi числа a iснує число c таке, що f(z, a) є додатною квадратичною
формою.
У випадку, коли квадратична форма f(z) додатна, iснує рiвно два
(p, q)-их P -граничних числа i якщо їх позначити b1 i b2, то полiном
∆
(p,q)
f (t) = (t− b1)(t− b2)
називається P -визначальним полiномом квадратичної форми f(z)
для zpzq або P -визначальним (p, q)-полiномом квадратичної форми
f(z). Цей полiном з точнiстью до ненульової константи (як множни-
ка) дорiвнює визначнику симетричної матрицi квадратичної форми
f (p,q)(z, t).
У цiй статтi описуються P -визначальнi полiноми квадратичної фор-
ми Тiтса для несерiйних частково впорядкованих множин найменшого
можливого порядку.
2. Формулювання теореми. Нехай S — скiнченна частко-
во впорядкована множина (що не мiстить елемента 0). Квадратичною
формою Тiтса множини S називається квадратична форма, яка зада-
ється наступною рiвнiстю (див. [5]):
qS(z) = z20 +
∑
i∈S
z2i +
∑
i<j,i,j∈S
zizj − z0
∑
i∈S
zi.
Ми розглядаємо задачу про опис P -визначальних полiномiв квад-
ратичної форми Тiтса частково впорядкованої множини у випадку,
коли ця квадратична форма додатна, а множина несерiйна найменшо-
го можливого порядку (множина S називається серiйною, якщо для
Про реберно-локальнi деформацiї квадратичних форм Тiтса 177
будь-якого N > |S| iснує частково впорядкована множина TN поряд-
ку N з додатною формою Тiтса, яка мiстить в собi множину S). Iз
результатiв роботи [6] випливає, що з точнiстю до iзоморфiзму та ду-
альностi iснує 10 таких множин порядку 5 (i не iснує множин меншого
порядку):
S1 = {1, 2, 3, 4, 5 | 2 ≺ 3, 4 ≺ 5};
S2 = {1, 2, 3, 4, 5 | 2 ≺ 5, 3 ≺ 4, 4 ≺ 5};
S3 = {1, 2, 3, 4, 5 | 2 ≺ 3, 2 ≺ 5, 4 ≺ 5};
S4 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 3, 2 ≺ 3, 2 ≺ 5, 4 ≺ 5};
S5 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 3, 2 ≺ 5, 3 ≺ 4};
S6 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 3, 3 ≺ 4, 4 ≺ 5};
S7 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 3 ≺ 4, 2 ≺ 5, 4 ≺ 5};
S8 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 2, 1 ≺ 4, 3 ≺ 4, 4 ≺ 5};
S9 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 2, 2 ≺ 5, 3 ≺ 4, 4 ≺ 5};
S10 = {1, 2, 3, 4, 5 | 1 ≺ 2, 1 ≺ 4, 2 ≺ 5, 3 ≺ 4, 4 ≺ 5}.
Квадратичну форму Тiтса qS(z) частково впорядкованої множини
S = Si будемо позначати, для простоти, qi = qi(z).
Нагадаємо, що порiвняльнi елементи p i q частково впорядкованої
множини S називаються сусiднiми, якщо не iснує елемента x такого,
що p < x < q або q < x < p.
Теорема 1. Нехай S — частково впорядкована множина з додатною
квадратичною формою Тiтса, яка є несерiйною порядку 5 (тобто
найменшого можливого порядку). У випадках S = Si, i = 1, . . . , 10,
P -визначальнi полiноми квадратичної форми Тiтса qi(z), якi вiдпо-
вiдають сусiднiм елементам p, q (p < q), є наступними:
1) ∆
(2,3)
q1 (t) = ∆
(4,5)
q1 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ;
2) ∆
(2,5)
q2 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 , ∆
(3,4)
q2 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ,
∆
(4,5)
q2 (t) = t2 − t− 3
4 ;
3) ∆
(2,3)
q3 (t) = t2 − 8
5 t, ∆
(2,5)
q3 (t) = t2 − t+ 3
4 ,
∆
(4,5)
q3 (t) = t2 − 8
5 t;
4) ∆
(1,3)
q4 (t) = ∆
(4,5)
q4 (t) = t2 − t− 3
4 ,
∆
(2,3)
q4 (t) = ∆
(2,5)
q4 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ;
178 В. А. Лiсикевич
5) ∆
(1,4)
q5 (t) = ∆
(2,5)
q5 (t) = t2 − t− 3
4 ,
∆
(2,3)
q5 (t) = ∆
(3,4)
q5 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ;
6) ∆
(1,4)
q6 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 , ∆
(2,3)
q6 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ,
∆
(3,4)
q6 (t) = t2 − t− 3
4 , ∆
(4,5)
q6 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ;
7) ∆
(1,2)
q7 (t) = ∆
(2,5)
q7 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ,
∆
(1,3)
q7 (t) = ∆
(4,5)
q7 (t) = t2 − t− 3
4 ,
∆
(3,4)
q7 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ;
8) ∆
(1,2)
q8 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 , ∆
(1,4)
q8 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ,
∆
(3,4)
q8 (t) = t2 − t− 3
4 , ∆
(4,5)
q8 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 ;
9) ∆
(1,2)
q9 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 , ∆
(2,5)
q9 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ,
∆
(3,4)
q9 (t) = t2 − 12
5 t+ 4
5 , ∆
(4,5)
q9 (t) = t2 − 4
5 t−
4
5 ;
10) ∆
(1,2)
q10 (t) = t2 − 8
5 t, ∆
(1,4)
q10 (t) = t2 − t− 3
4 ,
∆
(2,5)
q11 (t) = t2 − t− 3
4 , ∆
(3,4)
q11 (t) = t2 − 8
5 t, ∆
(4,5)
q1 (t) = t2 − 8
5 t.
3. Доведення теореми. Iз сказаного у вступнiй частинi статтi
одержуємо, що P -визначальний полiном ∆
(p,q)
qi (t) квадратичної фор-
ми qi(z) для zpzq можна розглядати як визначник помноженої на 2
симетричної матрицi квадратичної форми q
(p,q)
i (z, t). Таку матрицю
будемо позначати через A
(p,q)
i , а її визначник через D
(p,q)
i .
Для квадратичної форми Тiтса частково впорядкованих множин
S1 – S10 маємо такi матрицi та їх визначники.
A
(2,3)
1 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 t 0 0
−1 0 t 2 0 0
−1 0 0 0 2 1
−1 0 0 0 1 2
, A
(2,5)
2 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 0 0 t
−1 0 0 2 1 1
−1 0 0 1 2 1
−1 0 t 1 1 2
,
D
(2,3)
1 = −5t2 + 12t− 4; D
(2,5)
2 = −5t2 + 4t+ 4;
Про реберно-локальнi деформацiї квадратичних форм Тiтса 179
A
(3,4)
2 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 0 0 1
−1 0 0 2 t 1
−1 0 0 t 2 1
−1 0 1 1 1 2
, A
(4,5)
2 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 0 0 1 2 t
−1 0 1 1 t 2
,
D
(3,4)
2 = −5t2 + 12t− 4; D
(4,5)
2 = −4t2 + 4t+ 3;
A
(2,3)
3 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 t 0 1
−1 0 t 2 0 0
−1 0 0 0 2 1
−1 0 1 0 1 2
, A
(2,5)
3 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 1 0 t
−1 0 1 2 0 0
−1 0 0 0 2 1
−1 0 t 0 1 2
,
D
(2,3)
3 = −5t2 + 8t; D
(2,5)
3 = −4t2 + 4t+ 3;
A
(4,5)
3 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 0 0
−1 0 2 1 0 1
−1 0 1 2 0 0
−1 0 0 0 2 t
−1 0 1 0 t 2
, A
(1,3)
4 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 t 0 0
−1 0 2 1 0 1
−1 t 1 2 0 0
−1 0 0 0 2 1
−1 0 1 0 1 2
,
D
(4,5)
3 = −5t2 + 8t; D
(1,3)
4 = −4t2 + 4t+ 3;
A
(2,3)
4 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 1 0 0
−1 0 2 t 0 1
−1 1 t 2 0 0
−1 0 0 0 2 1
−1 0 1 0 1 2
, A
(1,4)
5 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 t 0
−1 0 2 1 0 1
−1 0 1 2 1 0
−1 t 0 1 2 0
−1 0 1 0 0 2
,
D
(2,3)
4 = −5t2 + 4t+ 4; D
(1,4)
5 = −4t2 + 4t+ 3;
180 В. А. Лiсикевич
A
(2,3)
5 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 1 0
−1 0 2 t 0 1
−1 0 t 2 1 0
−1 1 0 1 2 0
−1 0 1 0 0 2
, A
(1,4)
6 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 t 1
−1 0 2 1 1 1
−1 0 1 2 1 1
−1 t 1 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(2,3)
5 = −5t2 + 4t+ 5; D
(1,4)
6 = −5t2 + 4t+ 4;
A
(2,3)
6 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 1 1
−1 0 2 t 1 1
−1 0 t 2 1 1
−1 1 1 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
, A
(3,4)
6 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 1 1
−1 0 2 1 1 1
−1 0 1 2 t 1
−1 1 1 t 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(2,3)
6 = −5t2 + 12t− 4; D
(3,4)
6 = −4t2 + 4t+ 3;
A
(4,5)
6 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 0 0 1 1
−1 0 2 1 1 1
−1 0 1 2 1 1
−1 1 1 1 2 t
−1 1 1 1 t 2
, A
(1,2)
7 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 t 1 1 1
−1 t 2 0 0 1
−1 1 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(4,5)
6 = −5t2 + 12t− 4; D
(1,2)
7 = −5t2 + 4t+ 4;
A
(1,3)
7 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 t 1 1
−1 1 2 0 0 1
−1 t 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
, A
(3,4)
7 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 1 1 1
−1 1 2 0 0 1
−1 1 0 2 t 1
−1 1 0 t 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(1,3)
7 = −4t2 + 4t+ 3; D
(3,4)
7 = −5t2 + 12t− 4;
Про реберно-локальнi деформацiї квадратичних форм Тiтса 181
A
(1,2)
8 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 t 0 1 1
−1 t 2 0 0 0
−1 0 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 1
−1 1 0 1 1 2
, A
(1,4)
8 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 t 1
−1 1 2 0 0 0
−1 0 0 2 1 1
−1 t 0 1 2 1
−1 1 0 1 1 2
,
D
(1,2)
8 = −5t2 + 4t+ 4; D
(1,4)
8 = −5t2 + 4t+ 4;
A
(3,4)
8 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 1 1
−1 1 2 0 0 0
−1 0 0 2 t 1
−1 1 0 t 2 1
−1 1 0 1 1 2
, A
(4,5)
8 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 1 1
−1 1 2 0 0 0
−1 0 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 t
−1 1 0 1 t 2
,
D
(3,4)
8 = −4t2 + 4t+ 3; D
(4,5)
8 = −5t2 + 12t− 4;
A
(1,2)
9 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 t 0 0 1
−1 t 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 0 0 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
, A
(2,5)
9 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 0 1
−1 1 2 0 0 t
−1 0 0 2 1 1
−1 0 0 1 2 1
−1 1 t 1 1 2
,
D
(1,2)
9 = −5t2 + 12t− 4; D
(2,5)
9 = −5t2 + 4t+ 4;
A
(3,4)
9 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 0 1
−1 1 2 0 0 1
−1 0 0 2 t 1
−1 0 0 t 2 1
−1 1 1 1 1 2
, A
(4,5)
9 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 0 1
−1 1 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 0 0 1 2 t
−1 1 1 1 t 2
,
D
(3,4)
9 = −5t2 + 12t− 4; D
(4,5)
9 = −5t2 + 4t+ 4;
182 В. А. Лiсикевич
A
(1,2)
10 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 t 0 1 1
−1 t 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
, A
(1,4)
10 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 t 1
−1 1 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 t 0 1 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(1,2)
10 = −5t2 + 8t; D
(1,4)
10 = −4t2 + 4t+ 3;
A
(2,5)
10 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 1 1
−1 1 2 0 0 t
−1 0 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 1
−1 1 t 1 1 2
, A
(3,4)
10 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 1 1
−1 1 2 0 0 1
−1 0 0 2 t 1
−1 1 0 t 2 1
−1 1 1 1 1 2
,
D
(2,5)
10 = −4t2 + 4t+ 3; D
(3,4)
10 = −5t2 + 8t;
A
(4,5)
10 =
2 −1 −1 −1 −1 −1
−1 2 1 0 1 1
−1 1 2 0 0 1
−1 0 0 2 1 1
−1 1 0 1 2 t
−1 1 1 1 t 2
,
D
(4,5)
10 = −5t2 + 8t.
Безпосередньо iз вказаних значень визначникiв випливає тверджен-
ня теореми 1. Обчислюються цi визначники стандартним чином.
Автор висловлює щиру подяку професору В. М. Бондаренку за пос-
тановку задачi та кориснi поради.
Лiтература
[1] Bondarenko V. M. On types of local deformations of quadratic forms //
Algebra Discrete Math. — 2014. — 18, No. 2. — P. 11 – 18.
[2] Bondarenko V. M., Pereguda Yu. M. On P -numbers of quadratic forms //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України / Геометрiя, топологiя та їх
застосування /. — 2009. — 6, № 2. — C. 474 – 477.
Про реберно-локальнi деформацiї квадратичних форм Тiтса 183
[3] Бондаренко В. М., Перегуда Ю. М. Опис P-чисел для вузлових то-
чок частково впорядкованих множин з додатно визначеною формою
Тiтса // Науковий вiсник Ужгородського ун-ту (серiя: математика i
iнформатика). — 2010. — Вип. 21. — С. 35 – 39.
[4] Бондаренко В. М., Бондаренко В. В., Перегуда Ю. Н. Локальные дефор-
мации положительно определенных квадратичных форм // Укр. мат.
журн. — 2012. — №7. — С. 892 – 907.
[5] Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упо-
рядоченных множеств // Функц. анализ и его прил. — 1974. — 8. —
C. 34 – 42.
[6] Бондаренко В. М., Степочкина М. В. (Min, max)-эквивалентность ча-
стично упорядоченных множеств и квадратичная форма Титса // Про-
блеми аналiзу i алгебри: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2005. — 2, № 3. — С. 18 – 58.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-195 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:51Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/de/192611c893a4b3a851da8c3af7ddb9de.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1952018-01-23T12:10:05Z On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets Про реберно-локальні деформації квадратичних форм Тітса найменших несерійних ч. в. множин Lisykevych, V. A. Лісикевич, В. А. We study edge-local deformations of quadratic forms over the field of real numbers beingintroduced by V.M. Bondarenko. The main invariants of such deformations are $P$-limiting numbersand $P$-defining polynomials \linebreak which define them. It is described the $P$-defining polynomials of (positive) quadratic Tits forms of non-serial posets of the smallest possible order that correspond to their neighboring elements. Вивчаються реберно-локальні деформації квадратичних форм над полем дійсних чисел, введені В. М. Бондаренком. Основними інваріантами таких деформацій є $P$-граничні числа та $P$-визначальні поліноми, які їх визначають. Описано $P$-визначальні поліноми (додатних) квадратичних форм Тітса несерійних частково впорядкованих множин найменшого можливого порядку, які відповідають їх сусіднім елементам. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/195 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 175–183 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 175–183 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 175–183 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/195/159 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Lisykevych, V. A. Лісикевич, В. А. On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title | On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title_alt | Про реберно-локальні деформації квадратичних форм Тітса найменших несерійних ч. в. множин |
| title_full | On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title_fullStr | On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title_full_unstemmed | On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title_short | On the edge-local deformations of quadratic Tits forms of the smallest non-serial posets |
| title_sort | on the edge-local deformations of quadratic tits forms of the smallest non-serial posets |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/195 |
| work_keys_str_mv | AT lisykevychva ontheedgelocaldeformationsofquadratictitsformsofthesmallestnonserialposets AT lísikevičva ontheedgelocaldeformationsofquadratictitsformsofthesmallestnonserialposets AT lisykevychva prorebernolokalʹnídeformacííkvadratičnihformtítsanajmenšihneseríjnihčvmnožin AT lísikevičva prorebernolokalʹnídeformacííkvadratičnihformtítsanajmenšihneseríjnihčvmnožin |