On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration
In the paper we obtain a Zygmund type rate for a valuedeflection of singular Cauchy integral on a rectifiable curve withrespect to a curve perturbation.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/196 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552714986061824 |
|---|---|
| author | Plaksa, А. S. Plaksa, V. S. Plaksa, S. A. Плакса, А. С. Плакса, В. С. Плакса, C. А. Плакса, О. С. Плакса, В. С. Плакса, C. A. |
| author_facet | Plaksa, А. S. Plaksa, V. S. Plaksa, S. A. Плакса, А. С. Плакса, В. С. Плакса, C. А. Плакса, О. С. Плакса, В. С. Плакса, C. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. С. Плакса",
"institution": null
},
{
"author": "В. С. Плакса",
"institution": null
},
{
"author": "C. A. Плакса",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Plaksa, А. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | In the paper we obtain a Zygmund type rate for a valuedeflection of singular Cauchy integral on a rectifiable curve withrespect to a curve perturbation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 205–211
УДК 517.5
О.С. Плакса, В.С. Плакса, С.А. Плакса∗
∗ (Iнститут математики НАН України, Київ)
∗ plaksa62@mail.ru, ∗ plaksa@imath.kiev.ua
Про стiйкiсть сингулярного iнтеграла
Кошi вiдносно збурення кривої
iнтегрування
In the paper we obtain a Zygmund type rate for a value deflection of
singular Cauchy integral on a rectifiable curve with respect to a curve
perturbation.
В роботi отримано оцiнку типу оцiнки Зiгмунда для вiдхилення зна-
чень сингулярного iнтеграла Кошi по спрямлюванiй кривiй при збу-
реннi кривої iнтегрування.
1. Вступ. Добре вiдомо, що сингулярний iнтеграл Кошi, за допо-
могою якого виражаються граничнi значення iнтегралу типу Кошi,
вiдiграє важливу роль при розв’язаннi крайових задач теорiї аналiтич-
них функцiй, що мають рiзноманiтнi застосування в механiцi i мате-
матичнiй фiзицi (див., наприклад, [1 — 9]). При розв’язаннi обернених
крайових задач, задач з вiльними границями, при дослiдженнi корект-
ностi постановки задач принциповою є проблема стiйкостi розв’язкiв
при рiзноманiтних збуреннях (див. [1, 8, 10 — 14]).
В роботi [15] отримано оцiнку вiдхилення значень сингулярного iн-
теграла Кошi з гельдеровою щiльнiстю у випадку замкненої гладкої
кривої iнтегрування при певних збуреннях кривої. В роботi [16] для
таких же збурень кривої iнтегрування дослiджено стiйкiсть iнтеграла
типу Кошi по розiмкненiй гладкiй кривiй.
В данiй роботi при збуреннях того ж типу, що i в роботах [15, 16],
дослiджується стiйкiсть сингулярного iнтеграла Кошi, щiльнiсть якого
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
206 О.С. Плакса, В. С. Плакса, С. А. Плакса
належить бiльш широкому, нiж в [15], класу функцiй, що задовольня-
ють умову Дiнi, а крива iнтегрування є замкненою жордановою спрям-
люваною (взагалi кажучи, негладкою) кривою, яка задовольняє умову
Салаєва – Давiда (див. [17, 18]).
2. Позначення i постановка задачi. Нехай Γ — замкнена
жорданова спрямлювана крива на комплекснiй площинi C, яка задо-
вольняє умову Салаєва – Давiда (див. [17, 18])
θ(ε) = O(ε), ε → 0, (1)
де θ(ε) := sup
z∈Γ
θz(ε), θz(ε) := mes {t ∈ Γ : |t− z| ≤ ε} i mes — лiнiйна
мiра Лебега на Γ.
Нехай замкнена жорданова спрямлювана крива Γδ := {ξ ∈ C :
ξ = t + δ(t), t ∈ Γ}, яка теж задовольняє умову виду (1), отримана в
результатi збурення δ(t) кривої Γ, причому вiдображення ξ = t + δ(t)
мiж точками t ∈ Γ i ξ ∈ Γδ є взаємно однозначним.
Як i в роботах [15, 16], будемо припускати, що функцiя δ : Γ −→ C
належить банахову простору C1(Γ) неперервно диференцiйовних на Γ
функцiй з нормою
∥δ∥1 := max
t∈Γ
|δ(t)|+max
t∈Γ
|δ′(t)| .
Нехай на кривих Γ i Γδ задана неперервна функцiя φ : Γ∪Γδ −→ C,
модуль неперервностi якої
ωφ(ε) := sup
t1,t2∈Γ∪Γδ, |t1−t2|≤ε
|φ(t1)− φ(t2)|
задовольняє умову Дiнi
1∫
0
ωφ(η)
η
dη < ∞ . (2)
Тодi iснує так званий зведений сингулярний iнтеграл Кошi
(Sφ)Γ(z) :=
1
πi
∫
Γ
φ(t)− φ(z)
t− z
dt , z ∈ Γ , (3)
за допомогою якого виражаються граничнi значення iнтеграла типу
Кошi (див. [19]).
Про стiйкiсть сингулярного iнтеграла Кошi ... 207
У точцi ζ = z+δ(z) ∈ Γδ, яка є вiдповiдною точцi z ∈ Γ, розглянемо
зведений сингулярний iнтеграл Кошi
(Sφ)Γδ(ζ) :=
1
πi
∫
Γδ
φ(ξ)− φ(ζ)
ξ − ζ
dξ =
=
1
πi
∫
Γ
(
φ
(
t+ δ(t)
)
− φ
(
z + δ(z)
))(
1 + δ′(t)
)
t+ δ(t)− z − δ(z)
dt .
Метою даної роботи є встановлення оцiнки вiдхилення∣∣∣(Sφ)Γδ(ζ)− (Sφ)Γ(z)
∣∣∣
зведеного сингулярного iнтеграла Кошi (3) при збуреннi δ(t) кривої
iнтегрування Γ.
3. Оцiнка вiдхилення сингулярного iнтеграла Ко-
шi.
Теорема. Нехай замкненi жордановi спрямлюванi кривi Γ, Γδ за-
довольняють умови виду (1) i ∥δ∥1 ≤ ε, а модуль неперервностi фун-
кцiї φ : Γ ∪ Γδ → C задовольняє умову (2). Тодi справедлива оцiнка∣∣∣(Sφ)Γδ(ζ)− (Sφ)Γ(z)
∣∣∣ ≤
≤ c
ε
2d∫
0
ωφ(η)
η(η + ε)
dη +
(
ωφ(ε) + ε max
ξ∈Γδ
|φ(ξ)|
)
ln
2d
ε
, (4)
ζ = z + δ(z), ∀ z ∈ Γ ,
де d — дiаметр кривої Γ, а стала c залежить лише вiд сталих в
умовах виду (1) на кривi Γ, Γδ.
Доведення. Не зменшуючи загальностi, вважаємо, що ε ≤ d/5 . Роз-
глянемо рiзницю
(Sφ)Γδ(ζ)− (Sφ)Γ(z) =
=
∫
Γ3ε(z)
φ(t)− φ(z)
t− z
dt−
∫
Γ3ε(z)
(
φ
(
t+ δ(t)
)
− φ
(
z + δ(z)
))(
1 + δ′(t)
)
t+ δ(t)− z − δ(z)
dt+
208 О.С. Плакса, В. С. Плакса, С. А. Плакса
+
∫
Γ\Γ3ε(z)
(
δ(t)− δ(z)
)(
φ(t)− φ(z)
)
(t− z)
(
t+ δ(t)− z − δ(z)
) dt−
−
∫
Γ\Γ3ε(z)
φ
(
t+ δ(t)
)
− φ(t) + φ(z)− φ
(
z + δ(z)
)
t+ δ(t)− z − δ(z)
dt−
−
∫
Γ\Γ3ε(z)
(
φ
(
t+ δ(t)
)
− φ
(
z + δ(z)
))
δ′(t)
t+ δ(t)− z − δ(z)
dt =: I1 − I2 + I3 − I4 − I5 ,
де Γ3ε(z) := {t ∈ Γ : |t− z| ≤ 3ε} .
Iнтеграл I1 оцiнюється з урахуванням умови (1) так, як вiдповiдний
iнтеграл при доведеннi теореми 1 з [20]:
|I1| ≤
∫
[0,3ε]
ωφ(η)
η
dθz(η) ≤
6ε∫
0
θz(η)ωφ(η)
η2
dη ≤ c
6ε∫
0
ωφ(η)
η
dη ≤
≤ c ε
6ε∫
0
ωφ(η)
η(η + ε)
dη .
Тут i далi в доведеннi через c позначено сталi, якi залежать лише
вiд сталих в умовах виду (1) на кривi Γ, Γδ i значення яких, взагалi
кажучи, є рiзними навiть в межах одного ланцюжка нерiвностей.
Позначимо ξ := t + δ(t). Враховуючи спiввiдношення |ξ − ζ| =
= |t + δ(t) − z − δ(z)| ≤ |t− z|+ |δ(t)|+ |δ(z)| ≤ 5ε для всiх t ∈ Γ3ε(z),
подiбно до оцiнки iнтеграла I1 отримуємо
|I2| ≤
∫
Γδ
5ε(ζ)
|φ(ξ)− φ(ζ)|
|ξ − ζ|
|dξ| ≤ c ε
10ε∫
0
ωφ(η)
η(η + ε)
dη .
З урахуванням спiввiдношень
|t+ δ(t)− z − δ(z)| ≥ |t− z| − 2ε ≥ |t− z|/3 ∀ t ∈ Γ \ Γ3ε(z) (5)
Про стiйкiсть сингулярного iнтеграла Кошi ... 209
i умови (1) оцiнимо I3 так, як вiдповiдний iнтеграл при доведеннi те-
ореми 1 з [20]:
|I3| ≤ 6ε
∫
Γ\Γ3ε(z)
|φ(t)− φ(z)|
|t− z|2
|dt| ≤ c ε
2d∫
ε
ωφ(η)
η2
dη ≤ c ε
2d∫
ε
ωφ(η)
η(η + ε)
dη .
Враховуючи спiввiдношення (5), у такий же спосiб оцiнюємо iнте-
грали I4, I5:
|I4| ≤ 6ωφ(ε)
∫
Γ\Γ3ε(z)
|dt|
|t− z|
≤ c ωφ(ε) ln
2d
ε
,
|I5| ≤ 6 ε max
ξ∈Γδ
|φ(ξ)|
∫
Γ\Γ3ε(z)
|dt|
|t− z|
≤ c ε max
ξ∈Γδ
|φ(ξ)| ln 2d
ε
.
Теорему доведено.
Наслiдок. Якщо за умов теореми функцiя φ є гельдеровою, тоб-
то
ωφ(ε) = O(εα) , ε → 0, α ∈ (0, 1] ,
то∣∣∣(Sφ)Γδ(ζ)− (Sφ)Γ(z)
∣∣∣ ≤ c εα ln
2d
ε
, ζ = z + δ(z), ∀ z ∈ Γ , (6)
де стала c не залежить вiд ε.
Зауважимо, що у порiвняннi з оцiнкою Зiгмунда для модуля непе-
рервностi зведеного сингулярного iнтеграла Кошi (Sφ)Γ (див. [17, 20])
в оцiнцi (4) присутнiй член, в якому мiститься логарифм. З наслiдку
випливає, що у випадку гельдерових функцiй φ цей член стає головним
членом оцiнки. Оцiнка (6) є точною за порядком, що пiдтверджується
наведеним нижче прикладом кривих Γ, Γδ i функцiї φ.
В роботi [15] встановлено, що у випадку замкненої гладкої кривої
Γ вiдхилення значень сингулярного iнтеграла Кошi, щiльнiсть якого
є гельдеровою з показником α ∈ (0, 1), при такому ж збуреннi δ, як i
в умовах наслiдку, в свою чергу, є гельдеровим з показником α′ < α.
Тепер стає очевидним, що вiдповiдна оцiнка роботи [15] за порядком
не є точною.
4. Точнiсть оцiнки. Наведемо приклад кривих Γ, Γδ i функцiї
φ, для яких оцiнка (6) є точною за порядком.
210 О.С. Плакса, В. С. Плакса, С. А. Плакса
Нехай крива Γ є об’єднанням чотирьох вiдрiзкiв: Γ1, який сполучає
точки −1 i 1; Γ2, який сполучає точки 1 i 1 + i; Γ3, який сполучає
точки 1 + i i −1 + i; Γ4, який сполучає точки −1 + 1 i −1.
Нехай при 0 < ε < 1/2 крива Γδ є об’єднанням чотирьох вiдрiзкiв,
якi послiдовно сполучають точки −1+iε, 1+iε, 1+i, −1+i i −1+iε.
При α ∈ (0, 1] розглянемо наступну функцiю:
φ(t) =
0 при t ∈ Γδ ,
−εα при t ∈ Γ1 : −1 ≤ t < −ε ,
−|t|α при t ∈ Γ1 : −ε ≤ t < 0 ,
tα при t ∈ Γ1 : 0 ≤ t ≤ ε ,
εα при t ∈ Γ1 : ε < t ≤ 1 ,
εα−1(ε− Im t) при t ∈ Γ2 : 0 < Im t < ε ,
−εα−1(ε− Im t) при t ∈ Γ4 : 0 < Im t < ε .
Тодi (Sφ)Γδ(ζ) ≡ 0 на Γδ i c1 ε
α ln 1
ε ≤ |(Sφ)Γ(0)| ≤ c2 ε
α ln 1
ε для
всiх ε ∈ (0, 1/2), де сталi c1, c2 не залежать вiд ε , що i доводить
точнiсть за порядком оцiнки (6).
Лiтература
[1] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
[2] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: На-
ука, 1968. — 511 с.
[3] Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.
[4] Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым
проблемам механики, математической физики и техники. — М.–Л.:
ОГИЗ, 1949. — 380 c.
[5] Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингуляр-
ных операторов. — Кишинев: Штиинца, 1973. — 426 с.
[6] Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. — М.:
Наука, 1975. — 296 с.
[7] Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравне-
ния со сдвигом. — М.: Наука, 1977. — 448 с.
[8] Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллип-
тических систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1977. — 422 с.
Про стiйкiсть сингулярного iнтеграла Кошi ... 211
[9] Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и пространс-
твенные потенциальные поля. — К.: Ин-т математики НАН Украины,
2008. — 230 с.
[10] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. —
740 с.
[11] Монахов В.Н., Семенко Е.В. Классы корректности краевых задач со-
пряжения аналитических функций с бесконечным индексом // Докл.
АН СССР. — 1986. — 286, № 1. — С. 27 – 30.
[12] Lanza de Cristoforis M., Preciso L. On the analyticity of the Cauchy
integral in Schauder spaces // J. Integral Equations Applications. — 1999. —
11, No. 3. — P. 363 – 391.
[13] Preciso L., Rogosin S. On the analyticity of the Schwarz operator wi-
th respect to a curve // Factorization, Singular Operators and Related
Problems: Proc. of Conference in honour of Prof. Georgui Litvinchuk. —
Kluwer Academic Publishers, 2003. – P. 237 – 254.
[14] Wang C.R., Zhang H.M., Zhu Y.C. The Riemann boundary value problem
with respect to the perturbation of boundary curve // Complex Variables
and Elliptic Equations. — 2006. — 51, № 8 – 11. — P. 831 – 845.
[15] Wang X.L., Gong Y.F. On stability of a class of singular integral with
respect to path of integration // Acta Math. Sinica. — 1999. — 42, № 2. —
P. 343 – 350 (in Chinese).
[16] Lin J., Wang C.R. On stability of Cauchy type integral with kernel density
of class H. with respect to path of integration for an open arc // Complex
Variables and Elliptic Equations. — 2007. — 52, № 10 – 11. — P. 863 – 898.
[17] Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши
по замкнутой кривой // Мат. заметки. — 1976. — 19, № 3. — С. 365 – 380.
[18] David G. Operateurs intégraux sur certaines courbes du plan complexe //
Ann. sci. de l’Ecole Supérieure, 4 ser. — 1984. — 14, № 1. — P. 157 – 189.
[19] Давыдов Н. А. Непрерывность интеграла типа Коши в замкнутой обла-
сти // Докл. АН СССР. — 1949. — 64, № 6. — С. 759 – 762.
[20] Герус О. Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Ко-
ши // Укр. мат. журн. — 1978. — 30, № 5. — C. 594 – 601.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-196 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:50Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5a/016decf7605dddeefb97cce16adeae5a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1962018-01-23T12:10:05Z On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration Про стійкість сингулярного інтеграла Коші відносно збурення кривої інтегрування Plaksa, А. S. Plaksa, V. S. Plaksa, S. A. Плакса, А. С. Плакса, В. С. Плакса, C. А. Плакса, О. С. Плакса, В. С. Плакса, C. A. In the paper we obtain a Zygmund type rate for a valuedeflection of singular Cauchy integral on a rectifiable curve withrespect to a curve perturbation. В роботі отримано оцінку типу оцінки Зігмунда длявідхилення значень сингулярного інтеграла Коші по спрямлюванійкривій при збуренні кривої інтегрування. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/196 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 205–211 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 205–211 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 205–211 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/196/162 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Plaksa, А. S. Plaksa, V. S. Plaksa, S. A. Плакса, А. С. Плакса, В. С. Плакса, C. А. Плакса, О. С. Плакса, В. С. Плакса, C. A. On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title | On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title_alt | Про стійкість сингулярного інтеграла Коші відносно збурення кривої інтегрування |
| title_full | On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title_fullStr | On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title_full_unstemmed | On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title_short | On stability of singular Cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| title_sort | on stability of singular cauchy integral with respect to perturbation of the curve of integration |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/196 |
| work_keys_str_mv | AT plaksaas onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksavs onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksasa onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksaas onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksavs onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksaca onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksaos onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksavs onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksaca onstabilityofsingularcauchyintegralwithrespecttoperturbationofthecurveofintegration AT plaksaas prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksavs prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksasa prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksaas prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksavs prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksaca prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksaos prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksavs prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ AT plaksaca prostíjkístʹsingulârnogoíntegralakošívídnosnozburennâkrivoííntegruvannâ |