The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical
In the paper we consider a certain analog of Cauchy typeintegral taking values in a three-dimensional harmonic algebrawith one-dimensional radical. We establish sufficient conditionsfor the existence of limiting values of this integral on thestraight line.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/197 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552716753960960 |
|---|---|
| author | Pukhtaievych, R. P. Plaksa, S. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаєвич, Р. П. Плакса, С. А. |
| author_facet | Pukhtaievych, R. P. Plaksa, S. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаєвич, Р. П. Плакса, С. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. П. Пухтаєвич",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "С. А. Плакса",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Pukhtaievych, R. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | In the paper we consider a certain analog of Cauchy typeintegral taking values in a three-dimensional harmonic algebrawith one-dimensional radical. We establish sufficient conditionsfor the existence of limiting values of this integral on thestraight line. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 212–219
УДК 517.5
Р.П. Пухтаєвич 1, С.А. Плакса 2
1,2(Iнститут математики НАН України, Київ)
1 p_r_p@mail.ru, 2 plaksa@imath.kiev.ua
Iнтеграл типу Кошi по прямiй в
тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з
одновимiрним радикалом
In the paper we consider a certain analog of Cauchy type integral taking
values in a three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radi-
cal. We establish sufficient conditions for the existence of limiting values
of this integral on the straight line.
В роботi розглядається деякий аналог iнтеграла типу Кошi, що при-
ймає значення в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з одновимiрним ради-
калом. Встановлено достатнi умови iснування граничних значень цього
iнтеграла на прямiй.
1. Вступ. Всюди в роботi через C i R позначаються вiдповiдно
поле комплексних чисел i поле дiйсних чисел, а також їх геометричнi
моделi — комплексна площина i дiйсна вiсь комплексної площини.
В монографiях [1, 2] доведено iснування граничних значень iнте-
грала типу Кошi
1
2πi
∫
γ
φ(t)
t− ξ
dt , ξ ∈ C \ γ , (1)
за класичних умов: γ — замкнена гладка крива на комплекснiй пло-
щинi i функцiя φ : γ −→ C задовольняє умову Гельдера.
У випадку, коли γ — замкнена жорданова спрямлювана крива, в
роботi [3] отримано достатнi умови iснування на γ граничних значень
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
Iнтеграл типу Кошi в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi 213
iнтеграла (1) з внутрiшньої та зовнiшньої областей, обмежених кривою
γ. З використанням результату роботи [3], зокрема, було показано, що
за умови на криву γ (див. [4]):
sup
ξ∈γ
mes {t ∈ γ : |t− ξ| ≤ ε} = O(ε), ε → 0, (2)
де через mes позначено лiнiйну мiру Лебега на γ, i умови Дiнi
1∫
0
ωγ(φ, η)
η
dη < ∞, (3)
на модуль неперервностi функцiї φ : γ −→ C:
ωγ(φ, ε) := sup
t1,t2∈γ, |t1−t2|≤ε
|φ(t1)− φ(t2)|
iнтеграл (1) має граничнi значення в кожнiй точцi кривої γ (див. [5]).
У випадку, коли γ — дiйсна вiсь R, в монографiях [1, 2] доведе-
но iснування граничних значень iнтеграла (1) за умов, що функцiя
φ : R −→ C задовольняє умову Гельдера, має скiнченну границю φ(∞)
в нескiнченно вiддаленiй точцi, в околi якої задовольняє також нерiв-
нiсть
|φ(t)− φ(∞)| < c
| t |λ
, λ > 0 ,
де стала c не залежить вiд t.
Спираючись на результат роботи [5] i лему 3.3 з [6], можна ствер-
джувати iснування граничних значень iнтеграла (1) у випадку γ = R
за умов, що модуль неперервностi ωR(φ, ε) i локальний центрований
вiдносно точки ∞ модуль неперервностi
ωR,∞(φ, ε) = sup
τ∈R : |τ |≥1/ε
|φ(τ)− φ(∞)|
функцiї φ задовольняють умови Дiнi:
1∫
0
ωR(φ, η)
η
d η < ∞ ,
1∫
0
ωR,∞(φ, η)
η
d η < ∞ . (4)
В роботi [7] розглянуто аналог iнтеграла типу Кошi:
Φ(ζ) =
1
2πi
∫
Γ
φ(τ)(τ − ζ)−1 dτ (5)
214 Р.П. Пухтаєвич, С.А. Плакса
в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з двовимiрним радикалом у випад-
ку, коли крива Γ є плоскою i задовольняє умову вигляду (2), а модуль
неперервностi функцiї φ : Γ −→ R — умову вигляду (3). З урахуванням
структури дiльникiв нуля у вказанiй алгебрi показано, що iнтеграл (5)
визначений в двох необмежених цилiндричних областях, напрямною
спiльної межi яких є крива Γ, i встановлено iснування його граничних
значень на кривiй Γ по шляхах, якi, так би мовити, не дотикаються
межi областi поза площиною кривої Γ. При додаткових припущеннях
про функцiю φ в роботi [8] встановлено iснування граничних значень
iнтеграла (5) на усiй межi кожної з цилiндричних областей.
В цiй роботi розглядається iнтеграл (5) у тривимiрнiй гармонiчнiй
алгебрi з одновимiрним радикалом. Зазначимо, що у цiй алгебрi збiль-
шується кiлькiсть областей визначення iнтеграла (5) i ускладнюється
їх геометрiя, що пов’язано з ускладненням структури дiльникiв ну-
ля. Наприклад, у модельному випадку iнтегрування по прямiй, який
розглядається в роботi, таких областей 4, i граничнi значення на лiнiї
iнтегрування з кожної з цих областей знаходяться за рiзними форму-
лами.
2. Iнтеграл типу Кошi по "дiйснiй" прямiй в
тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з одновимiрним
радикалом. Нехай A2 — тривимiрна комутативна банахова алге-
бра над полем C з базисом {I1, I2, ρ}, для елементiв якого виконуються
правила множення:
I1
2 = I1, I2
2 = I2, I1I2 = ρ2 = I1ρ = 0, I2ρ = ρ,
при цьому одиниця алгебри має розклад 1 = I1 + I2.
В алгебрi A2 розглянемо гармонiчний базис (див., наприклад, [6])
e1 = 1, e2 = iI1 + ρ, e3 = iI2.
Видiлимо в алгебрi A2 лiнiйну оболонку E3 := {ζ = xe1 + ye2+
+ze3 : x, y, z ∈ R} над полем R, породжену векторами вказаного гар-
монiчного базису {e1, e2, e3}.
Неперервна функцiя Φ: Ω −→ A2 називається моногенною в областi
Ω ⊂ E3, якщо Φ диференцiйовна за Гато у кожнiй точцi цiєї областi,
тобто якщо для кожного ζ ∈ Ω iснує елемент Φ′(ζ) алгебри A2 такий,
що виконується рiвнiсть
lim
ε→0+0
(Φ(ζ + εh)− Φ(ζ)) ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3.
Iнтеграл типу Кошi в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi 215
Для функцiї φ : R → R визначимо функцiю в кожнiй точцi τ = te1
"дiйсної " прямої Γ := {τ = te1 : t ∈ R} ⊂ E3 тотожнiстю φ(τ) ≡ φ(t),
зберiгши для неї те ж саме позначення φ.
Надалi функцiя φ : R → R має скiнченну границю φ(∞) в нескiн-
ченно вiддаленiй точцi i задовольняє умови (4).
Розглянемо iнтеграл (5) по прямiй Γ з щiльнiстю φ : R −→ R, який
розумiється у сенсi його головного значення, тобто
Φ(ζ) ≡ 1
2πi
∫
Γ
φ(τ)(τ − ζ)−1 dτ :=
1
2πi
lim
N→+∞
N∫
−N
φ(t)(te1 − ζ)−1 dt, (6)
i є моногенною функцiєю в кожнiй з областей
Π1 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x+ iy ∈ D+, x+ iz ∈ D+},
Π2 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x+ iy ∈ D−, x+ iz ∈ D+},
Π3 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x+ iy ∈ D−, x+ iz ∈ D−},
Π4 := {ζ = xe1 + ye2 + ze3 : x+ iy ∈ D+, x+ iz ∈ D−},
в E3, де D+ i D− вiдповiдно верхня i нижня вiдносно дiйсної осi пiв-
площини комплексної площини.
Розглянемо також сингулярний iнтеграл в точцi ζ0 = ξe1, ξ ∈ R:
Φ0(ζ0)≡
1
2πi
∫
Γ
φ(τ)(τ−ζ0)
−1 dτ :=
1
2πi
lim
N→+∞
lim
ε→0+0
( ξ−ε∫
−N
+
N∫
ξ+ε
)
φ(t)
t− ξ
dt.
Визначимо евклiдову норму ∥a∥ :=
√
|ξ1|2 + |ξ2|2 + |ξ3|2 в A2 (тут
a = ξ1e1 + ξ2e2 + ξ3e3 i ξ1, ξ2, ξ3 ∈ C), для неї справедливi нерiвностi:
∥ab∥ ≤ c∥a∥∥b∥ ,
∥∥∥∥∥
∫
Γ
φ(τ)dτ
∥∥∥∥∥ ≤ c
∫
Γ
∥φ(τ)∥∥dτ∥ , (7)
де c — деяка абсолютна стала.
Лема. Нехай функцiя φ : R −→ R задовольняє умови (4). Якщо
точка ζ прямує до точки ζ0 ∈ Γ по кривiй γ, для якої iснує константа
m ≥ 0 така, що в кожнiй точцi ζ = xe1 + ye2 + ze3 ∈ γ виконується
нерiвнiсть
|y| ≤ m |z|, (8)
216 Р.П. Пухтаєвич, С.А. Плакса
то
lim
ζ→ζ0,ζ∈γ
∫
Γ
(
φ(τ)− φ(ζ0)
)
(τ − ζ)−1dτ =
∫
Γ
(
φ(τ)− φ(ζ0)
)
(τ − ζ0)
−1dτ.
Доведення. Позначимо ε := ∥ζ − ζ0∥ i розглянемо рiзницю∫
Γ
(
φ(τ)− φ(ζ0)
)
(τ − ζ)−1dτ −
∫
Γ
(
φ(τ)− φ(ζ0)
)
(τ − ζ0)
−1dτ =
=
∫
Γ2ε(ζ0)
(
φ(τ)−φ(ζ0)
)
(τ − ζ)−1dτ −
∫
Γ2ε(ζ0)
(
φ(τ)−φ(ζ0)
)
(τ − ζ0)
−1dτ+
+(ζ − ζ0)
∫
Γ\Γ2ε(ζ0)
(
φ(τ)− φ(ζ0)
)
(τ − ζ)−1(τ − ζ0)
−1dτ =: I1 − I2 + I3,
де Γ2ε(ζ0) := {τ ∈ Γ : ∥τ − ζ0∥ ≤ 2ε}.
Для оцiнки iнтеграла I1 виберемо на прямiй Γ точку ζ1 таку, що
∥ζ−ζ1∥ = min
τ∈Γ
∥τ−ζ∥. Тодi, використовуючи нерiвностi (7), отримуємо:
∥I1∥ =
∥∥∥∥∥
∫
Γ2ε(ζ0)
(
φ(τ)−φ(ζ1)
)
(τ −ζ)−1dτ +
(
φ(ζ1)−φ(ζ0)
)∫
Γ2ε(ζ0)
(τ −ζ)−1dτ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ c
∫
Γ2ε(ζ0)
|φ(τ)− φ(ζ1)| ∥(τ − ζ)−1∥ ∥dτ∥+
+|φ(ζ1)− φ(ζ0)|
∥∥∥∥∥
∫
Γ2ε(ζ0)
(τ − ζ)−1dτ
∥∥∥∥∥ =: I ′1 + I ′′1 .
З леми 1.3 з [6] випливає рiвнiсть
(τ − ζ)−1 =
1
t− x− iy
I1 +
1
t− x− iz
I2 +
y
(t− x− iz)2
ρ (9)
для всiх ζ = x+ ye2+ ze3 ∈ Πk, k = 1, 4, i τ = te1. Iз спiввiдношень (8),
(9) випливає нерiвнiсть
∥(τ − ζ)−1∥ ≤ c(m)
min{|t− x− iy|; |t− x− iz|}
. (10)
Iнтеграл типу Кошi в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi 217
Враховуючи нерiвностi |t−x− iy| ≥ ∥τ−ζ1∥, |t−x− iz| ≥ ∥τ−ζ1∥,
а також нерiвнiсть (10), отримуємо:
∥I ′1∥ ≤ c(m)
∫
Γ2ε(ζ0)
|φ(τ)− φ(ζ1)|
min{|t− x− iy|; |t− x− iz|}
∥dτ∥ ≤
≤ c(m)
∫
Γ2ε(ζ0)
|φ(τ)− φ(ζ1)|
∥τ − ζ1∥
∥dτ∥ ≤ c(m)
4ε∫
0
ωR(φ, η)
η
dη → 0, ε → 0.
Для оцiнки iнтеграла I ′′1 розглянемо область D2ε(ζ0) := {τ =
= t1e1 + t2(e2 + e3) : t1,∈ R, t2 > 0, ∥τ − ζ0∥ ≤ 2 ε} в площинi {τ =
= t1e1 + t2(e2 + e3) : t1, t2 ∈ R} i ї ї межу ∂D2ε(ζ0) у вiдноснiй топологiї
цiєї площини. Тепер, враховуючи нерiвностi (7), (10), отримаємо:
∥I ′′1 ∥ ≤ ωR
(
φ, ∥ζ1 − ζ0∥
)∥∥∥∥∥
∫
Γ2ε(ζ0)
(τ − ζ)−1dτ
∥∥∥∥∥ =
= ωR
(
φ, ∥ζ1 − ζ0∥
)∥∥∥∥∥
∫
∂D2ε(ζ0)
(τ − ζ)−1dτ −
∫
∂D2ε(ζ0)\Γ2ε(ζ0)
(τ − ζ)−1dτ
∥∥∥∥∥ ≤
≤ ωR
(
φ, ∥ζ1−ζ0∥
)(
2π+c(m)
∫
∂D2ε(ζ0)\Γ2ε(ζ0)
∥dτ∥
min{|t− x− iy|; |t− x− iz|}
)
≤
≤ ωR(φ, 2ε)
(
2π + c(m)
1
ε
2πε
)
→ 0, ε → 0.
Оцiнка iнтеграла I2 проводиться подiбно оцiнцi iнтеграла I ′1:
∥I2∥ ≤ c
2ε∫
0
ωR(φ, η)
η
dη → 0, ε → 0.
Аналогiчно, враховуючи нерiвностi |t − x − iy| ≥ 1
2 ∥τ − ζ0∥,
|t− x− iz| ≥ 1
2 ∥τ − ζ0∥ при всiх τ ∈ Γ \ Γ2ε(ζ0), а також нерiвностi (7),
(10), оцiнюємо iнтеграл I3:
∥I3∥ ≤ c ε
∫
Γ\Γ2ε(ζ0)
|φ(τ)− φ(ζ0)| ∥(τ − ζ)−1∥ ∥(τ − ζ0)
−1∥ ∥dτ∥ ≤
218 Р.П. Пухтаєвич, С.А. Плакса
≤ c ε
∫
Γ\Γ2ε(ζ0)
|φ(τ)− φ(ζ0)|
∥τ − ζ0∥2
∥dτ∥ ≤ c ε
+∞∫
ε
ωR(φ, η)
η2
dη → 0, ε → 0,
Лему доведено.
Позначимо через Φ̂k(ζ0) при k = 1, 4 граничнi значення функцiї (6)
при прямуваннi точки ζ до точки ζ0 ∈ L по кривiй γ ⊂ Πk, для якої
iснує стала m така, що в кожнiй точцi ζ = x+ye2+ze3 ∈ γ виконується
нерiвнiсть (8).
Теорема. Нехай функцiя φ : R −→ R задовольняє умови (4). Тодi
iнтеграл (5) має граничнi значення Φ̂k(ζ0), k = 1, 4, в усiх точках
ζ0 ∈ Γ, якi задаються формулами:
Φ̂1(ζ0) = Φ0(ζ0) +
1
2
φ(ζ0) , Φ̂2(ζ0) = Φ0(ζ0)−
1
2
φ(ζ0)(I1 − I2),
Φ̂3(ζ0) = Φ0(ζ0)−
1
2
φ(ζ0) , Φ̂4(ζ0) = Φ0(ζ0) +
1
2
φ(ζ0)(I1 − I2),
Доведення. Подамо iнтеграл (6) у виглядi
1
2πi
∫
Γ
φ(τ)(τ − ζ)−1dτ =
=
1
2πi
∫
Γ
(φ(τ)− φ(ζ0))(τ − ζ)−1dτ +
φ(ζ0)
2πi
∫
Γ
(τ − ζ)−1dτ .
Тепер твердження теореми є наслiдком леми i рiвностi
∫
Γ
(τ − ζ)−1dτ =
πi при ζ ∈ Π1,
−πi(I1 − I2) при ζ ∈ Π2,
−πi при ζ ∈ Π3,
πi(I1 − I2) при ζ ∈ Π4,
0 при ζ ∈ Γ.
Лiтература
[1] Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.
[2] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: На-
ука, 1968. — 511 с.
Iнтеграл типу Кошi в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi 219
[3] Давыдов Н. А. Непрерывность интеграла типа Коши в замкнутой обла-
сти // Докл. АН СССР. — 1949. — 64, № 6. — С. 759 – 762.
[4] Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши
по замкнутой кривой // Мат. заметки. — 1976. — 19, № 3. — С. 365 – 380.
[5] Герус О. Ф. Конечноразностные гладкости интегралов типа Коши //
Укр. мат. журн. — 1977. — 29, № 5. — C. 642 – 646.
[6] Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и про-
странственные потенциальные поля. — К.: Ин-т математики НАН
Украины, 2008. — 230 с.
[7] Plaksa S. A., Shpakivskyi V. S. On limiting values of Cauchy type integral
in a harmonic algebra with two-dimensional radical // Annales Universitatis
Mariae Curie-Sklodowska. Sectio A. — 2013. — 67, No. 1. — P. 57 – 64.
[8] Plaksa S. A., Shpakivskyi V. S. Limiting values of the Cauchy type integral
in a three-dimensional harmonic algebra // Eurasian Math. J. — 2012. —
3, No. 2. — P. 120 – 128.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-197 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/09/38b92c0a731443b877470c51f22ece09.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1972018-01-23T12:10:05Z The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical Інтеграл типу Коші по прямій в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з одновимірним радикалом Pukhtaievych, R. P. Plaksa, S. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаєвич, Р. П. Плакса, С. А. In the paper we consider a certain analog of Cauchy typeintegral taking values in a three-dimensional harmonic algebrawith one-dimensional radical. We establish sufficient conditionsfor the existence of limiting values of this integral on thestraight line. В роботі розглядається деякий аналог інтеграла типу Коші,що приймає значення в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi зодновимірним радикалом. Встановлено достатні умови існуванняграничних значень цього інтеграла на прямій. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/197 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 212–219 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 212–219 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 212–219 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/197/163 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Pukhtaievych, R. P. Plaksa, S. А. Пухтаевич, Р. П. Плакса, С. А. Пухтаєвич, Р. П. Плакса, С. А. The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title | The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_alt | Інтеграл типу Коші по прямій в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з одновимірним радикалом |
| title_full | The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_fullStr | The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_full_unstemmed | The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_short | The Cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| title_sort | cauchy type integral on the straight line in three-dimensional harmonic algebra with one-dimensional radical |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/197 |
| work_keys_str_mv | AT pukhtaievychrp thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaevičrp thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaêvičrp thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa thecauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT pukhtaievychrp íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT plaksasa íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT puhtaevičrp íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT plaksasa íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT puhtaêvičrp íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT plaksasa íntegraltipukošípoprâmíjvtrivimirnijgarmoničnijalgebrizodnovimírnimradikalom AT pukhtaievychrp cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaevičrp cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT puhtaêvičrp cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical AT plaksasa cauchytypeintegralonthestraightlineinthreedimensionalharmonicalgebrawithonedimensionalradical |