Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials
For the Cauchy problem$$D^{\beta}_t u+a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u=F_0(x,t),\;\;\; (x,t) \in \Bbb R^n\times (0,T],$$$$u(x,0)=F_{1}(x),\;\;\;x\in\Bbb R^n,$$with the regularized fractional derivative $D^{\beta}_t u$ of order $\beta\in (0,1)$, we establish the existence and uniqueness of the solutions that...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/198 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552717309706240 |
|---|---|
| author | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. |
| author_facet | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. О. Лопушанський",
"institution": "Інститут математики Жешівського університету"
},
{
"author": "Г. П. Лопушанська",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Lopushansky, A. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:37:46Z |
| description | For the Cauchy problem$$D^{\beta}_t u+a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u=F_0(x,t),\;\;\; (x,t) \in \Bbb R^n\times (0,T],$$$$u(x,0)=F_{1}(x),\;\;\;x\in\Bbb R^n,$$with the regularized fractional derivative $D^{\beta}_t u$ of order $\beta\in (0,1)$, we establish the existence and uniqueness of the solutions that are classical in time and that take values in certain refined spaces of Bessel potentials. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 2, 250–275
УДК 517.95
А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
(Iнститут математики Жешiвського унiверситету, Жешiв,
Польща; Львiвський нацiональний унiверситет iм. I. Франка,
Львiв)
Розв’язок задачi Кошi
зi значеннями в уточнених просторах
беселевих потенцiалiв
alopushanskyj@gmail.com, lhp@ukr.net
For the Cauchy problem
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0(x, t), (x, t) ∈ Rn × (0, T ],
u(x, 0) = F1(x), x ∈ Rn,
with the regularized fractional derivative Dβ
t u of order β ∈ (0, 1),
we establish the existence and uniqueness of the solutions that are
classical in time and that take values in certain refined spaces of
Bessel potentials.
Для задачi Кошi
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0(x, t), (x, t) ∈ Rn × (0, T ],
u(x, 0) = F1(x), x ∈ Rn
з регуляризованою похiдною Dβ
t u порядку β ∈ (0, 1) доведено
iснування та єдинiсть розв’язкiв, класичних за змiнною t та зi
значеннями в деяких уточнених просторах беселевих потенцiалiв.
c© А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська, 2015
Розв’язок задачi Кошi ... 251
1. Вступ
Елiптичнi й параболiчнi крайовi задачi з узагальненими функ-
цiями iз соболєвських чи гельдерових просторiв у правих ча-
стинах достатньо повно дослiдженi (див [1–3] та бiблiографiю).
Е. Хермандером [4] та Д.Р. Волєвiчем i В.П. Панеяхом [5] вве-
денi певнi ваговi функцiональнi простори, характер регулярно-
стi функцiй iз яких визначається деякою функцiєю – простори
узагальненої гладкостi. Такi простори мiстять як окремий ви-
падок простори беселевих потенцiалiв. У [6] побудована теорiя
елiптичних, а у [7] – параболiчних крайових задач в уточнених
та узагальнених гiльбертових шкалах просторiв Хермандера-
Волєвiча-Панеяха (у гiльбертовому випадку простори Херманде-
ра та Волєвiча-Панеяха збiгаються). Вiдоме розширення класiв
даних, за яких задача Кошi для параболiчних рiвнянь допускає
регулярнi при t > 0 розв’язки (див. [8, c. 137–148], [9]).
У [9–18] та iнших роботах було доведено теореми iснування та
єдиностi, а також одержано зображення за допомогою функцiї
Грiна класичних розв’язкiв задач Кошi для рiвнянь з регуляри-
зованою дробовою похiдною ([19, 20]) за часом. У [21] доведено
розв’язнiсть задачi Кошi для таких рiвнянь у просторах узагаль-
нених функцiй.
Фундаментальнi розв’язки рiвнянь вiдiграють важливу роль у
вивченнi задачi Кошi та крайових задач у класах гладких та уза-
гальнених функцiй. Деякi зображення, оцiнки та iншi властиво-
стi фундаментальних розв’язкiв рiвнянь iз дробовими похiдними
за часом та функцiй Грiна задач Кошi для таких рiвнянь одержа-
нi в [9–18], [21–25] та iнших працях. Використовуючи властивостi
функцiї Грiна, автор [26] показав однозначну розв’язнiсть задачi
Кошi
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0(x, t), a2 = const > 0,
u(x, 0) = F1(x), x ∈ Rn, t ∈ (0, T ]
(1)
у класах
Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
(s ∈ R)
252 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
функцiй зi значеннями в просторах беселевих потенцiалiв та кла-
сичних за часом. Тут (−∆)α/2 визначено за допомогою перетво-
рення Фур’є:
F[(−∆)α/2ψ(x)] = |λ|αF[ψ(x)].
У цiй статтi доводимо iснування та єдинiсть розв’язку задачi
(1), класичного за часом та зi значеннями в уточнених (по ана-
логiї до [6]) шкалах банахових просторiв беселевих потенцiалiв –
поширюємо результат [26] на випадок таких вагових просторiв.
Ця робота складається з п’яти пунктiв. Пунктом 1 є вступ.
У пунктi 2 наведено позначення та означення, якi використову-
ються в роботi. У пунктi 3 сформульовано та доведено основнi
результати роботи. У пунктi 4 показано шлях поширення цих
результатiв на випадок рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами. За-
ключний пункт 5 мiстить висновки до роботи.
2. Основнi позначення та означення
Надалi вважаємо, що QT = Rn × (0, T ], n = 1, 2, . . . , D(Rn) =
C∞0 (Rn) та D(QT ) – простори нескiнченно диференцiйовних
функцiй з компактними носiями вiдповiдно в Rn та QT [27, c.
13], S(Rn) – простiр швидко спадаючих на безмежностi нескiн-
ченно диференцiйовних функцiй,
C∞,(0)(Q̄T ) = {ϕ ∈ C∞(Q̄T ) : Dl
tϕ|t=T = 0, l = 0, 1, . . . },
D(Q̄T ) – пiдпростiр простору C∞,(0)(Q̄T ), що мiстить фiнiтнi за
просторовими змiнними функцiї; S′(Rn), D′(Rn), D′(Q̄T ) – прос-
тори лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених функ-
цiй) вiдповiдно на S(Rn), D(Rn), D(Q̄T ), (f, ϕ) – значення f ∈
S′(Rn) (f ∈ D′(Rn), f ∈ D′(Q̄T )) на основнiй функцiї ϕ ∈ S(Rn)
(вiдповiдно ϕ ∈ D(Rn), ϕ ∈ D(Q̄T )),
D′+(R) = {f ∈ D′(R) : f = 0 при t < 0}.
Позначаємо через f∗g згортку узагальнених функцiй f та g.
Розв’язок задачi Кошi ... 253
Використовуємо функцiю fλ ∈ D′+(R):
fλ(t) =
{
θ(t)tλ−1
Γ(λ) , λ > 0
f ′1+λ(t), λ ≤ 0
,
де θ(t) — одинична функцiя Хевiсайда, Γ(λ) — Гамма-функцiя.
Правильнi спiввiдношення
fλ ∗ fµ = fλ+µ.
Нагадаємо, що похiдна Рiмана-Лiувiлля порядку β > 0
визначається формулою
v
(β)
t (x, t) = f−β(t) ∗ v(x, t),
регуляризована похiдна дробового порядку β ∈ (0, 1)
Dβ
t v(x, t) =
1
Γ(1− β)
[ ∂
∂t
t∫
0
v(x, τ)
(t− τ)β
dτ − v(x, 0)
tβ
]
=
= v
(β)
t (x, t)− f1−β(t)v(x, 0).
Позначаємо через Cα,β(QT ) клас неперервних обмежених
функцiй v(x, t), (x, t) ∈ Q̄T з неперервними функцiями (−∆v)α/2,
Dβ
t v в QT .
Нехай
(Lv)(x, t) = f−β(t) ∗ v(x, t) + a2(−∆v)α/2(x, t),
(Lregv)(x, t) = Dβ
t v(x, t) + a2(−∆v)α/2(x, t),
(x, t) ∈ QT .
Означення [11]. Вектор-функцiєю Грiна задачi Кошi (1),
а також задачi Кошi для бiльш загального рiвняння зi
254 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
змiнними коефiцiєнтами, називається така вектор-функцiя
(G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y)), що при достатньо гладких F0(x, t),
F1(x) (обмежених, неперервних, що задовольняють умову Гель-
дера за просторовими змiнними x ∈ Rn) функцiя
u(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
G0(x, t, y, τ)F0(y, τ)dy+
+
∫
Rn
G1(x, t, y)F1(y)dy, (x, t) ∈ QT
(2)
є класичним (iз Cα,β(QT )) розв’язком цiєї задачi.
З означення вектор-функцiї Грiна випливає, що
LregG0(x, t, y, τ) = δ(x− y, t− τ),
LregG1(x, t, y) = 0, (x, t), (y, τ) ∈ QT ,
G1(x, 0, y) = δ(x− y),
G1(x, t, y) =
t∫
0
f1−β(τ)G0(x, t, y, τ)dτ,
x, y ∈ Rn, t ∈ [0, T ].
Тут δ — дельта-функцiя Дiрака. Для задачi (1) зi сталим ко-
ефiцiєнтом у рiвняннi використовуємо
(G0(x− y, t− τ), G1(x− y, t)) замiсть (G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y)).
Iснування вектор-функцiї Грiна та однозначна розв’язнiсть
задачi (1) у класах Cα,β(QT ) та D′(Q̄T ) випливає з результатiв
[10, 11, 18] та [21], вiдповiдно. Розв’язок можна подати у виглядi
u(x, t) = F0(x, t) ∗G0(x, t) + F1(x) ∗G1(x, t),
(x, t) ∈ QT .
(3)
Розв’язок задачi Кошi ... 255
Зауважимо, що
L(F0 ∗G0)(x, t) = F0(x, t),
L(F1 ∗G1)(x, t) = F1(x) · f1−β(t),
Lreg(F1 ∗G1)(x, t) = 0, (x, t) ∈ QT .
Якщо
(F0 ∗G0)(x, 0) = 0, (4)
то
(F0 ∗G0)
(β)
t (x, t) = Dβ
t (F0 ∗G0)(x, t), (x, t) ∈ QT .
Нехай 〈ξ〉 = (1 + |ξ|2)1/2, Φ — такий клас додатних функцiй
ϕ(z), z ∈ [1,+∞), що функцiя
µ(ξ) = 〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)
є ваговою для кожного значення s ∈ R:
µ(ξ)
µ(η)
≤ c(1 + |ξ − η|)r, r > 0,
де стала c не залежить вiд ξ та η. Прикладом функцiй класу Φ є
клас SV визначених на додатнiй пiвосi [b,+∞) повiльно змiнних
на безмежностi за Караматою [28] функцiй ϕ(z), тобто, згiдно з
означенням 1.6 ([6, c. 45]), вимiрних за Борелем на [b0,+∞) для
кожного b0 ≥ b функцiй, якi задовольняють умову
lim
t→+∞
ϕ(λz)
ϕ(z)
= 1 ∀λ > 0.
У [6], c. 61 показано, що при ϕ ∈ SV функцiя µ(ξ) = 〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)
є ваговою iз r = |s|+ 1 для кожного значення s ∈ R.
Нехай F = Fx→ξ – оператор перетворення Фур’є за просторо-
вими змiнними x ∈ Rn, s ∈ R, p > 1,
Hs,ϕ,p(Rn) = {v ∈ S′(Rn), ϕ ∈ Φ :
256 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
||v||s,ϕ,p = ||F−1
[
〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)F[v]
]
||Lp(Rn) < +∞}
– уточнена шкала просторiв беселевих потенцiалiв – пiдпростори
просторiв Волєвiча-Панеяха (див. [5]), якi у випадку ϕ(z) ≡ 1,
z ∈ [b,+∞) є просторами беселевих потенцiалiв,
C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
= {v : ‖v‖
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) =
= max
t∈[0,T ]
∥∥v(·, t)
∥∥
Hs,ϕ,p(Rn)
< +∞}
– простiр неперервних функцiй
v : [0, T ] 3 t 7−→ v(·, t) ∈ Hs,ϕ,p(Rn),
Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
= {v ∈ C
(
[0, T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
)
:
Dβ
t v, (−∆)α/2v ∈ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
},
‖v‖
Cα,β
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) = max{‖v‖
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
),
‖(−∆)α/2v‖
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
), ‖Dβ
t v‖C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)}.
На базi властивостей вектор-функцiї Грiна покажемо розв’я-
знiсть задачi (1) у всiй шкалi просторiв Hs,ϕ,p(Rn) за просторо-
вими змiнними.
3. Розв’язок задачi
Використовуємо функцiю Мiттаг-Леффлера [20]
Eβ,µ(z) =
∞∑
p=0
zp
Γ(pβ + µ)
.
Функцiя Eβ,µ(−z) (z > 0) нескiнченно диференцiйовна та ком-
пактно монотонна при β ∈ (0, 1), µ ≥ β:
(−1)k
( d
dz
)k
Eβ,µ(−z) ≥ 0, z > 0, k = 0, 1, 2, . . . ,
Розв’язок задачi Кошi ... 257
має оцiнку
Eβ,µ(−z) ≤ rµ
1 + z
, z > 0, rµ = Const > 0.
Лема 1. При % ≤ α, µ > 0 функцiя
gβ,µ(ξ, t, %) = 〈ξ〉%Eβ,µ(−a2|ξ|αtβ)
неперервна та обмежена за змiнними ξ ∈ Rn для кожного t ∈
(0, T ], iснує така додатна стала c = c(p, µ), що для довiльних
p > 1, f ∈ Lp(Rn), t ∈ (0, T ]∥∥F−1
[
gβ,µ(ξ, t, %)F[f ]
]∥∥
Lp(Rn)
≤ cw(t, %)‖f‖Lp(Rn), (5)
де w(t, %) = max
{
1, t−
β%
α
}
.
Лема випливає з леми 1 [26].
Зауваження 1. Функцiя gβ,µ(ξ, t, 0) обмежена в Rn × [0, T ].
Функцiя gβ,µ(ξ, t, %) iнтегровна за t для кожного ξ ∈ Rn, якщо
% < α
β , тобто для кожного β ∈ (0, 1], якщо % < α, для кожного
β ∈ (0, 1), якщо % = α.
Теорема 1. Нехай
β ∈ (0, 1), α > β, s ∈ R, ϕ ∈ Φ, θ ∈ (0, 1), 1 < p <
1
1− βθ
,
F0 ∈ C
(
[0, T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
)
, F1 ∈ Hs+α,ϕ,p(Rn).
Тодi iснує єдиний розв’язок
u ∈ Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
задачi (1). Вiн визначений формулою (3) та правильнi оцiнки
‖u‖
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ C0‖F0‖C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
) + C‖F1‖Hs+α,ϕ,p(Rn),
(6)
258 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
‖u‖
Cα,β
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ b0‖F0‖C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
) + b1‖F1‖Hs+α,ϕ,p(Rn)
(7)
iз деякими додатними сталими C0, C, b0, b1.
Доведення. Згiдно з методом побудови (див. [12, 15]),
Fx→ξ[G0(x, t)] = tβ−1Eβ,β(−a2|ξ|αtβ),
Fx→ξ[G1(x, t)] = Eβ,1(−a2|ξ|αtβ).
Для довiльних t ∈ [0, T ], s ∈ R обчислюємо∥∥(F1 ∗G1)(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
=
=
∥∥∥F−1
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[F1 ∗G1](ξ, t)
] ∥∥∥
Lp(Rn)
=
=
∥∥∥F−1
ξ→x
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)×
×Fz→ξ[G1(z, t)]Fy→ξ[F1(y)]
] ∥∥∥
Lp(Rn)
.
Оскiльки
Fx→ξ[G1(x, t)] = gβ,1(ξ, t, 0)
i, згiдно з лемою 1, для кожного t ∈ (0, T ] функцiя gβ,1(ξ, t, 0) є
мультиплiкатором у Lp(Rn) (задовольняє (5) для довiльних f ∈
Lp(Rn), t ∈ (0, T ]), функцiя
f = F−1
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[F1](ξ)
]
∈ Lp(Rn),
то ∥∥(F1 ∗G1)(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
=
=
∥∥∥F−1
[
gβ,1(ξ, t, 0)F
[
F−1[〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)×
×F[F1](ξ)]
]] ∥∥∥
Lp(Rn)
≤
≤ c
∥∥F−1
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[F1](ξ)
] ∥∥
Lp(Rn)
=
= c
∥∥F1
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
∀t ∈ [0, T ],
Розв’язок задачi Кошi ... 259
а тодi,
∥∥F1 ∗G1
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ C‖F1‖Hs+α,ϕ,p(Rn), C = const > 0.
(8)
Тепер для кожного t ∈ [0, T ] оцiнимо
∥∥(F0 ∗G0)(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
=
=
∥∥∥F−1
ξ→x
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)Fx→ξ[F0 ∗G0]
]∥∥∥
Lp(Rn)
.
Маємо
∥∥∥F−1
ξ→x
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)×
×F·→ξ
[ t∫
0
F0(·, τ) ∗G0(·, t− τ)dτ
] ] ∥∥∥
Lp(Rn)
=
=
{∫
Rn
∣∣∣ t∫
0
F−1
ξ→x
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)×
F·→ξ
[
F0(·, τ) ∗G0(·, t− τ)
]]
dτ
∣∣∣pdx}1/p
≤
≤ t1−
1
p
{ t∫
0
(∫
Rn
|h(x, t, τ)|pdx
)
dτ
}1/p
,
260 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
де
h(x, t, τ) = F−1
ξ→x
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)×
×Fz→ξ[G0(z, t− τ)] · Fy→ξ[F0(y, τ)]
]
=
= F−1
ξ→x
[
〈ξ〉α−αθ Fz→ξ[G0(z, t− τ)]×
×〈ξ〉s+αθ ϕ(〈ξ〉)Fy→ξ[F0(y, τ)]
]
=
= (t− τ)β−1F−1
ξ→x
[
〈ξ〉α−αθ Eβ,β(−a2|ξ|α(t− τ)β)×
×FF−1
[
〈ξ〉s+αθ ϕ(〈ξ〉)F[F0](ξ, τ)
]
.
З леми 1 випливає, що функцiя
〈ξ〉α−αθ Eβ,β(−a2|ξ|α(t− τ)β) = gβ,β(ξ, t− τ, α− αθ)
є мультиплiкатором у Lp(Rn) за змiнними ξ. Тому що
F−1
[
〈ξ〉s+αθ ϕ(〈ξ〉)F[F0](ξ, τ)
]
∈ Lp(Rn) ∀τ ∈ [0, T ],
то
‖h(·, t, τ)‖Lp(Rn) ≤ c(t− τ)β−1w(t− τ, α− αθ)×
×
∥∥∥F−1
[
〈ξ〉s+αθ ϕ(〈ξ〉)F[F0](ξ, τ)
] ∥∥∥
Lp(Rn)
,
а з попереднiх результатiв одержуємо, що за припущень щодо p
для всiх t ∈ [0, T ] iснує згортка
(
F0 ∗G0
)
(·, t) =
t∫
0
F0(·, τ) ∗G0(·, t− τ)dτ
Розв’язок задачi Кошi ... 261
зi значеннями в Hs+α,ϕ,p(Rn), яка задовольняє умову (4) та∥∥(F0 ∗G0)(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
≤
≤ ct1−
1
p
{ t∫
0
(t− τ)p(β−1)wp(t− τ, α− αθ)×
×‖F0(·, τ)‖p
Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
dτ
}1/p
≤
≤ C0
∥∥F0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
) ∀t ∈ [0, T ],
де C0 = const > 0. Отож,∥∥F0 ∗G0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ C0
∥∥F0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
). (9)
Тодi, згiдно з формулою (3) i беручи до уваги оцiнки (8), (9),
одержуємо оцiнку (6).
Тому що
F−1
[
〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)F[(−∆)α/2u]
]
=
= F−1
[
〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)|ξ|αF[u]
]
=
= F−1
[ |ξ|α
〈ξ〉α
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[u]
]
,
F−1
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[u](ξ, t)
]
∈ Lp(Rn) ∀t ∈ [0, T ],
а функцiя |ξ|α
〈ξ〉α є мультиплiкатором у Lp(Rn), для кожного t ∈
[0, T ] матимемо∥∥∥F−1
[
〈ξ〉s ϕ(〈ξ〉)F[(−∆)α/2u](·, t)
]∥∥∥
Lp(Rn)
≤
≤ c1
∥∥F−1
[
〈ξ〉s+α ϕ(〈ξ〉)F[u](·, t)
]∥∥
Lp(Rn)
=
= c1
∥∥u(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
.
262 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Тут i далi ci (i = 1, 2, . . . ) – певнi додатнi сталi. Отож,∥∥a2(−∆)α/2u
∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ c2
∥∥u∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
). (10)
Згiдно з вище наведеними формулами,
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0,
якщо u визначена формулою (3). Вже було доведено, що
a2(−∆)α/2u ∈ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
.
За припущенням теореми
F0 ∈ C
(
[0, T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
)
⊂ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
.
Отож,
Dβ
t u ∈ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
.
Використовуючи оцiнку (10), одержуємо∥∥Dβ
t u
∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ c2
∥∥u∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
) +
∥∥F0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ c2
∥∥u∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
)+
+c3
∥∥F0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(Rn)
).
Звiдси та з (6), (10) випливає оцiнка (7).
Зауваження 2. Теорема 1 також правильна при β = 1 < α,
якщо вважати D1
t u = ∂u
∂t .
Теорема 2. Нехай
β ∈ (0, 1), s ∈ R, ϕ ∈ Φ, p ∈ (1, 1/β),
Розв’язок задачi Кошi ... 263
F0(x, t) = f1−β(t) ∗ f(x, t), f ∈ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
,
F1 ∈ Hs+α,ϕ,p(Rn).
Тодi задача (1) однозначно розв’язна у Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
,
розв’язок u визначений формулою
u(x, t) = f(x, t) ∗G1(x, t) + F1(x) ∗G1(x, t),
(x, t) ∈ QT
(11)
та ∥∥u∥∥
Cα,β
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ k0
∥∥f∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
) + k1
∥∥F1
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
(12)
iз деякими додатними сталими k0, k1.
Доведення. За припущень теореми
(F0 ∗G0)(x, t) =
= f1−β(t) ∗ f(x, t) ∗ fβ−1(t) ∗G1(x, t) =
= (f ∗G1)(x, t),
якщо остання згортка iснує. Як при доведеннi теореми 1, при
кожному t ∈ [0, T ] оцiнюємо
t∫
0
f(·, z) ∗G1(·, t− z)dz у просторi
Hs+α,ϕ,p(Rn). Беручи до уваги зауваження 1, одержуємо, що для
кожного ξ ∈ Rn функцiя gβ,1(ξ, t, α) iнтегровна за t. Тому, як при
доведеннi теореми 1, знаходимо∥∥(f ∗G1)(·, t)
∥∥
Hs+α,ϕ,p(Rn)
≤
≤ c4t
1− 1
p
[ t∫
0
wp(t− z, α)dz
]1/p∥∥f∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
та wp ∈ L1(0, T ) при p < 1/β. Звiдси випливає iснування
F0 ∗G0 ∈ C
(
[0, T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
)
264 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
та оцiнка ∥∥F0 ∗G0
∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(Rn)
) ≤
≤ c5
∥∥f∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(Rn)
).
Далi, як при доведеннi теореми 1, одержуємо розв’язнiсть задачi
у Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(Rn)
)
та оцiнку (12).
4. Розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння зi
змiнними коефiцiєнтами
При певних властивостях вектор-функцiї Грiна одержанi в попе-
редньому пунктi теореми поширюються на випадок рiвнянь зi
змiнними коефiцiєнтами. Використовуючи властивiсть перетво-
рення Фур’є операцiї композицiї узагальнених функцiй (наведену
в наступнiй лемi 2), продемонструємо такий результат на прикла-
дi задачi Кошi для рiвняння одновимiрної фрактальної дифузiї,
властивостi функцiї Грiна якої детально вивченi у [11].
Нехай V ′ ∩ V = V ′(Rn × Rn) ∩ V (Rn) – простiр узагальнених
функцiй ω(x, y) iз V ′(Rn×Rn), якi належать до V (Rn) за другим
набором аргументiв (y), тобто ([29, c. 209])
(ω(x, ·), ψ(x)) ∈ V (Rn) ∀ψ ∈ V (Rn).
Узагальнена функцiя
ωF = F (y) o ω(·, y) ∈ V ′(Rn),
визначена як
(ωF , ψ) =
(
F (y),
(
ω(x, y), ψ(x)
))
∀ψ ∈ V (Rn),
називається [30] композицiєю узагальнених функцiй F ∈ V ′(Rn)
та ω ∈ V ′(Rn × Rn) ∩ V (Rn).
Розв’язок задачi Кошi ... 265
Якщо ω(x, y) = ω1(x− y), то
F (y) o ω(x, y) = (F ∗ ω1)(x)
(композицiя F та ω збiгається зi згорткою F та ω1).
Позначимо черезMS = MS(Rn) клас таких функцiй ψ(x), x ∈
Rn, що ψη ∈ S(Rn) для довiльної η ∈ S(Rn). Зокрема, клас ϑM
([29, c. 151]) функцiй, якi на безмежностi зростають не швидше
полiнома, належить MS(Rn).
Лема 2. Якщо F ∈ S′(Rn), ω ∈ S′ ∩ S, то
F[F (y) o ω(·, y)] = F (y) oF[ω(·, y)].
Якщо, крiм того,∫
Rn
ω(x, y)ei(x,·)dx ∈MS(Rn) ∀y ∈ Rn,
де (x, ξ) – скалярний добуток векторiв x, ξ ∈ Rn, i2 = −1, то
Fx→ξ[F (y) o ω(x, y)] = F (y) oFx→ξ[ω(x, y)] =
= Fx→ξ[ω(y + x, y)] · Fy→ξ[F (y)].
(13)
Доведення. За означенням перетворення Фур’є узагальнених
функцiй для кожної ψ ∈ S(Rn)(
Fx→ξ[F (y) o ω(x, y)], ψ(ξ)
)
=
=
(
F (y) o ω(x, y),F[ψ](x)
)
=
=
(
F (y),
(
ω(x, y),F[ψ](x)
))
=
=
(
F (y),
(
Fx→ξ[ω(x, y)], ψ(ξ)
))
=
=
(
F (y) oFx→ξ[ω(x, y)], ψ(ξ)
)
.
Звiдси одержуємо правильнiсть першого твердження леми.
266 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
За додаткової умови леми для довiльного y ∈ Rn у просторi
S′(Rn) можна визначати перетворення Фур’є функцiї ω(x, y) як
Fx→ξ[ω(x, y)] =
∫
Rn
ω(x, y)ei(x,ξ)dx.
Справдi, у цьому випадку для довiльних ψ ∈ S(Rn), y ∈ Rn
визначено (∫
Rn
ω(x, y)ei(x,ξ)dx, ψ(ξ)
)
=
=
∫
Rn
(∫
Rn
ω(x, y)ei(x,ξ)dx
)
ψ(ξ)dξ =
=
∫
Rn
ω(x, y)dx
∫
Rn
ψ(ξ)ei(x,ξ)dξ =
=
∫
Rn
ω(x, y)F[ψ](x)dx =
=
(
ω(x, y),F[ψ](x)
)
=
=
(
Fx→ξ[ω(x, y)], ψ(ξ)
)
.
Також (
Fx→ξ[ω(x, y)], ψ(ξ)
)
=
=
∫
Rn
(∫
Rn
ω(x, y)ei(x−y,ξ)dx
)
ψ(ξ)ei(y,ξ)dξ =
=
∫
Rn
(∫
Rn
ω(y + x, y)ei(x,ξ)dx
)
ψ(ξ)ei(y,ξ)dξ =
= Fξ→y
[
Fx→ξ[ω(y + x, y)] ψ(ξ)
]
∀ψ ∈ S(Rn).
Розв’язок задачi Кошi ... 267
Тодi для кожної ψ ∈ S(Rn)(
Fx→ξ[F (y) o ω(x, y)], ψ(ξ)
)
=
=
(
F (y),
(
Fx→ξ[ω(x, y)], ψ(ξ)
))
=
=
(
F (y),Fξ→y
[
Fx→ξ[ω(y + x, y)] ψ(ξ)
])
=
=
(
Fy→ξ[F (y)],Fx→ξ[ω(y + x, y)] ψ(ξ)
)
=
=
(
Fx→ξ[ω(y + x, y)] · Fy→ξ[F (y)], ψ(ξ)
)
.
Згiдно з припущенням леми, функцiя
Fx→ξ[ω(y + x, y)] = Fx→ξ[ω(x, y)]e−i(y,ξ)
за змiнними ξ ∈ Rn належить класу MS , а тому добуток
Fx→ξ[ω(y + x, y)] · Fy→ξ[F (y)]
визначений у S′(Rn). Отож, одержали правильнiсть (13).
Розглядаємо задачу Кошi
Dβ
t v(x, t)− (Av)(x, t) = F0(x, t), (x, t) ∈ QT ,
u(x, 0) = F1(x), x ∈ R,
(14)
де QT = R× (0, T ], β ∈ (0, 1),
(Av)(x, t) = a(x, t)vxx(x, t) + b(x, t)vx(x, t) + c(x, t)v(x, t),
a, b, c ∈ C∞(Q̄T ), inf
(x,t)∈Q̄T
a(x, t) = a0 > 0.
Iснування та диференцiальнi властивостi вектор-функцiї Грi-
на
(G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y))
цiєї задачi вивченi в [11]. Доведемо ще одну її властивiсть.
268 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Лема 3. Для довiльнх 0 ≤ τ ≤ t ≤ T
G0(·, t, ∗, τ) ∈ S′(R× R) ∩ S(R),
G1(·, t, ∗) ∈ S′(R× R) ∩ S(R).
Доведення. Згiдно з [11],
|G0(x, t, y, τ)| ≤ ĉ0(t− τ)−β/2exp(−c0r(x− y, t− τ)),
|G1(x, t, y)| ≤ ĉ1t
−1+β/2exp(−c0r(x− y, t))
де
r(x− y, t− τ) =
( |x− y|
(t− τ)β/2
) 2
2−β
,
ĉ0, ĉ1, c0 – певнi додатнi сталi.
Позначимо
(Ĝ0ψ)(y, t, τ) =
∫
R
G0(x, t, y, τ)ψ(x)dx,
(Ĝ1ψ)(y, t) =
∫
R
G1(x, t, y)ψ(x)dx, ψ ∈ S(R),
Оскiльки
∂
∂y
G0(x, t, y, τ) =
= − ∂
∂x
G0(x, t, y, τ) +
( ∂
∂y
+
∂
∂x
)
G0(x, t, y, τ),
i подiбно для похiдних вищого порядку, то, за умови рiвномiрної
збiжностi iнтегралiв
vm(y, t, τ) =
∫
R
G0(x, t, y, τ)ψ(m)(x)dx
Розв’язок задачi Кошi ... 269
для довiльних ψ ∈ S(R), m = 0, 1, . . . , матимемо
( ∂
∂y
)k
(Ĝ0ψ)(y, t, τ) =
=
k∑
m=0
cm,k
∫
R
( ∂
∂y
+
∂
∂x
)k−m
G0(x, t, y, τ)ψ(m)(x)dx,
де cm,k – певнi додатнi сталi, k = 0, 1, . . . . Врахували, що функцiї
( ∂
∂y
+
∂
∂x
)k−m
G0(x, t, y, τ)
мають такi ж особливостi, як G0(x, t, y, τ). З рiвномiрної обмеже-
ностi функцiй ylvm(y, t, τ) для всiх ψ ∈ S(R), y ∈ R, 0 ≤ τ ≤ t ≤
T , m, l випливає, що (Ĝ0ψ)(·, t, τ) ∈ S(R) для всiх 0 ≤ τ ≤ t ≤ T .
Покажемо рiвномiрну збiжнiсть iнтегралiв vm(y, t, τ) та рiвно-
мiрну обмеженiсть функцiй ylvm(y, t, τ) для всiх ψ ∈ S(R), y ∈ R,
0 ≤ τ ≤ t ≤ T , m, l = 0, 1, . . . . Використовуючи оцiнки функцiї
G0(x, t, y, τ), одержуємо
|vm(y, t, τ)| ≤
∫
R
|G0(x, t, y, τ)| · |ψ(m)(x)|dx ≤
≤ ĉ0
∫
R
|ψ(m)(x)|
(t− τ)β/2
exp(−c0r(x− y, t− τ))dx =
= 2ĉ0(2− β)
∞∫
0
|ψ(m)(y + z2−β(t− τ)β/2)|×
×z1−βexp(−c0z)dz.
За обмеженiстю функцiй xlψ(m)(x) на R для всiх m, l, q =
0, 1, 2, . . .
|ψ(m)(x)| ≤ d0
(2d1 + |x|)q
.
270 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Тут i далi d0, d1, d2 – певнi додатнi сталi. Тодi
|ylψ(m)(y + z2−β(t− τ)β/2)| ≤
≤ d0|y|l
(2d1 + |y + z2−β(t− τ)β/2|)q
≤ d0|y|l
(2d1 + |y|)q
i при q ≥ l одержуємо обмеженiсть функцiй ylvm(y, t, τ) для всiх
m, l:
|ylvm(y, t, τ)| ≤ d2
∞∫
0
z1−βexp(−c0z)dz =
= d2Γ(2− β)c
−(2−β)
0 .
Ми довели перше твердження леми.
На пiдставi оцiнок G1(x, t, y), як вище, показуємо, що
(Ĝ1ψ)(·, t) ∈ S(R)
для всiх ψ ∈ S(R), 0 ≤ τ ≤ t ≤ T . Справдi, рiвномiрна обмеже-
нiсть функцiй
yl
( ∂
∂y
)k ∫
R
G1(x, t, y)ψ(x)dx
випливає з рiвномiрної обмеженостi на QT функцiй
wk,l(y, t) = yl
∫
R
G1(x, t, y)ψ(k)(x)dx ∀k, l = 0, 1, . . . .
Маємо
|wk,l(y, t)| ≤
≤ ĉ1|y|l
∫
R
t−1+β/2exp(−c0r(x, y, t, 0))|ψ(k)(x)|dx
та знаходимо її оцiнки при ψ ∈ S(R), як вище.
Розв’язок задачi Кошi ... 271
Теорема 3. Нехай
β ∈ (0, 1], s ∈ R, ϕ ∈ Φ, θ ∈ (0, 1), 1 < p <
1
1− βθ
,
F0 ∈ C
(
[0, T ];Hs+αθ,ϕ,p(R)
)
, F1 ∈ Hs+α,ϕ,p(R).
Тодi iснує єдиний розв’язок
u ∈ Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(R)
)
задачi (14). Вiн визначений формулою
u(x, t) = F0(y, τ) oG0(x, t, y, τ) + F1(y) oG1(x, t, y),
(x, t) ∈ QT
та правильнi оцiнки
‖u‖
C
(
[0,T ];Hs+α,ϕ,p(R)
) ≤
≤ C0‖F0‖C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(R)
) + C‖F1‖Hs+α,ϕ,p(R),
‖u‖
Cα,β
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(R)
) ≤
≤ b0‖F0‖C
(
[0,T ];Hs+αθ,ϕ,p(R)
) + b1‖F1‖Hs+α,ϕ,p(R)
iз деякими додатними сталими C0, C, b0, b1.
Нехай коефiцiєнти рiвняння не залежать вiд t,
β ∈ (0, 1), s ∈ R, ϕ ∈ Φ, θ ∈ (0, 1), p ∈ (1, 1/β),
F0(x, t) = f1−β(t) ∗ f(x, t), f ∈ C
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(R)
)
,
F1 ∈ Hs+α,ϕ,p(R).
Тодi задача (14) однозначно розв’язна у Cα,β
(
[0, T ];Hs,ϕ,p(R)
)
,
розв’язок u визначений формулою
u(x, t) = f(y, τ) oG1(x, t, y, τ) + F1(y) oG1(x, t, y),
(x, t) ∈ QT
272 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
та правильнi оцiнки∥∥u∥∥
Cα,β
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(R)
) ≤
≤ k0
∥∥f∥∥
C
(
[0,T ];Hs,ϕ,p(R)
) + k1
∥∥F1
∥∥
Hs+α,ϕ,p(R)
iз деякими додатними сталими k0, k1.
Доведення. Згiдно з методом побудови (див. [11]) та вище на-
веденими властивостями вектор-функцiї Грiна,∣∣Fx→ξ[G0(y + x, t, y, τ)]
∣∣ ≤
≤ Ĉ0(t− τ)β−1Eβ,β(−a0|ξ|α(t− τ)β),∣∣Fx→ξ[G1(y + x, t, y)]
∣∣ ≤ Ĉ1Eβ,1(−a0|ξ|αtβ),
де Ĉ0, Ĉ1 – певнi додатнi сталi. Отож, функцiї
Fx→ξ[G0(x, t, y, τ)], Fx→ξ[G1(x, t, y)]
належать класу ϑM за змiнною ξ ∈ R. Звiдси та з леми 3 випли-
ває, що компоненти вектор-функцiї Грiна задовольняють умови
леми 2.
Далi достатньо повторити доведення теорем 1 та 2 iз викори-
станням леми 2.
5. Висновки
Доведена однозначна розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння з дробо-
вими похiдними за часовою та просторовими змiнними у класi функ-
цiй, класичних за часовою змiнною t та зi значеннями в уточнених
просторах беселевих потенцiалiв.
Лiтература
[1] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само-
сопряженных операторов. – Киев: Наукова думка, 1965. – 800 с.
Розв’язок задачi Кошi ... 273
[2] Rojtberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of di-
stributions – Dordrecht: Kluver Acad. Publishers, 1996. – xii+415 p.
[3] Лионс Ж.–Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения. – Москва: Мир, 1971. – 372 с.
[4] Хермандер Э. К теории общих дифференциальных операторов в
частных производных. – Москва: Изд. иностр. лит., 1959. – 132 с.
[5] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен-
ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. –
20, № 1. – С. 3–74.
[6] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН
Украины, 2010. – 372 с. (Доступна як arXiv:1106.3214.)
[7] Лось В. М., Мурач О. О. Параболiчнi мiшанi задачi для систем
Петровського у просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН
України. – 2014. – 10. – С. 24–32.
[8] Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифферен-
циально-операторных уравнений — Киев: Наукова думка, 1984. –
284 с.
[9] Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in
the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic
type. – Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
[10] Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Диф. уравн. –
1990. – 26, № 4. – C. 660–670.
[11] Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Уравнения одномерной фрак-
тальной диффузии // Доп. НАН України. – 2003. – № 12. – C.
11–16.
[12] Anh V. V. and Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic
equations with random datas // J. Statistical Physics. – 2001. –
104(5/6). – P. 1349–1387.
[13] Baeumer B., Kurita S., Meerschaert M. M. Inhomogeneous fractional
diffusion equations // Frac. Calc. Appl. Anal. – 2005. – 8, № 4. – P.
371–381.
274 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
[14] Baeumer B. and Meerschaert M. Stochastic solutions for fractional
Cauchy problems // Frac. Calc. Appl. Alal. – 2001. – 4. – P. 481–
500.
[15] Duan Jun Sheng Time- and space-fractional partial differential
equations // J. Math. Phis. – 2005. – 46 (013504).
[16] Gorenfio R., Iskenderov A., and Luchko Yu. Mapping between solu-
tions of fractional diffusion-wave equations // Fract. Calc. Appl.
Anal. – 2000. – 3. – P. 75–86.
[17] Hanyga A. Multi-dimensional solutions for space-time-fractional dif-
fusion equations // Proc. R. Soc. London. – 2002. – A 458. – P.
429–450.
[18] Ворошилов A. А., Килбас А. А. Условия существования классиче-
ского решения задачи Коши для дифуззионно-волнового уравне-
ния с частной производной Капуто // Доклады Академии Наук. –
2007. – 414, № 4. – C. 1–4.
[19] Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost friequency
independent, II. // Geofis. J. R. Astr. Soc. – 1967. – 13. – P. 529–539.
[20] Джрбашян M. М. Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области. – Москва: Наука, 1999. – 671 c.
[21] Лопушанська Г. П., Лопушанський А. О. Задача Кошi для рiв-
няннь з дробовими похiдними за часовою та просторовими змiн-
ними в просторах узагальних функцiй // Укр. мат. ж. – 2012. –
64, № 8. – С. 1067-1080.
[22] Luchko Yu. Fractional wave equation and damped waves // J. Math.
Phys. – 2013. – 54(031505).
[23] Luchko Yu. Multi-dimensional fractional wave equation and some
properties of its fundamental solution, e-print. – 2013. – Arxiv:
1311.5920[math-ph].
[24] Mainardi F., Luchko Yu., and Pagnini G. The fundamental solution
of the space-time-fractional diffusion equation // Fract. Calc. Appl.
Anal. – 2001. – 4. – P. 153–192. [E-print http://arxiv.org/abs/cond-
mat/0702419].
Розв’язок задачi Кошi ... 275
[25] Metzler R. ang Nonnenmacher T. F. Space- and time-fractional dif-
fusion and wave equations, fractional Fokker-Planck equations, and
physical motivation // Chem. Phys. – 2002. – 284. – P. 67–90.
[26] Лопушанский А. О. Задача Коши для уравнения с дробными
производными в пространствах бесселевых потенциалов // Сиб.
мат. журн. – 2014. – 55, № 6. – С. 1089–1097.
[27] Шилов Г. Е.Математический анализ. Второй специальний курс. –
Москва: Наука, 1965. – 328 с.
[28] Karamata J. Sur certains "Tauberian theorems"de M.M. Hardi et
Littlewood Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. – P. 33–48.
[29] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – Москва:
Наука, 1981. – 512 с.
[30] Лопушанская Г. П. О решении граничных задач для эллипти-
ческих систем в пространстве обобщенных функций // Диф.
уравн. – 1992. – 28, № 8. – С. 1401–1410.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-198 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f1/aa9ce7efbc4ed09034108b4968ec8af1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1982018-01-23T01:37:46Z Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials Розв'язок задачі Коші зі значеннями в уточнених просторах беселевих потенціалів Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. For the Cauchy problem$$D^{\beta}_t u+a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u=F_0(x,t),\;\;\; (x,t) \in \Bbb R^n\times (0,T],$$$$u(x,0)=F_{1}(x),\;\;\;x\in\Bbb R^n,$$with the regularized fractional derivative $D^{\beta}_t u$ of order $\beta\in (0,1)$, we establish the existence and uniqueness of the solutions that are classical in time and that take values in certain refined spaces of Bessel potentials. Для задачі Коші$$D^{\beta}_t u+a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u=F_0(x,t),\; (x,t) \in \Bbb R^n\times (0,T],$$$$u(x,0)=F_{1}(x),\;\;\;x\in\Bbb R^n$$ з регуляризованою похідною $D^{\beta}_t u$ порядку $\beta\in (0,1)$ доведено існування та єдиність розв'язків, класичних за змінною $t$ та зі значеннями в деяких уточнених просторах беселевих потенціалів. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/198 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 250-275 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 250-275 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 250-275 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/198/175 Авторське право (c) 2015 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська |
| spellingShingle | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title | Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title_alt | Розв'язок задачі Коші зі значеннями в уточнених просторах беселевих потенціалів |
| title_full | Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title_fullStr | Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title_full_unstemmed | Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title_short | Solution of the Cauchy problem with values in refined spaces of Bessel potentials |
| title_sort | solution of the cauchy problem with values in refined spaces of bessel potentials |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/198 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskyao solutionofthecauchyproblemwithvaluesinrefinedspacesofbesselpotentials AT lopushanskagp solutionofthecauchyproblemwithvaluesinrefinedspacesofbesselpotentials AT lopušansʹkijao solutionofthecauchyproblemwithvaluesinrefinedspacesofbesselpotentials AT lopušansʹkagp solutionofthecauchyproblemwithvaluesinrefinedspacesofbesselpotentials AT lopushanskyao rozv039âzokzadačíkošízíznačennâmivutočnenihprostorahbeselevihpotencíalív AT lopushanskagp rozv039âzokzadačíkošízíznačennâmivutočnenihprostorahbeselevihpotencíalív AT lopušansʹkijao rozv039âzokzadačíkošízíznačennâmivutočnenihprostorahbeselevihpotencíalív AT lopušansʹkagp rozv039âzokzadačíkošízíznačennâmivutočnenihprostorahbeselevihpotencíalív |