Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces
We obtained new sufficient conditions under which the generalized solution of the parabolic initial-boundary value problem with homogeneous initial Cauchy data will be classic. Conditions formulated in terms of inclusion right-hand sides of the problem in some $2b$-anisotropic Hormander spaces.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/199 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552722417319936 |
|---|---|
| author | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Лось",
"institution": "Чернігівський національний технологічний університет"
}
] |
| author_sort | Los, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T10:16:07Z |
| description | We obtained new sufficient conditions under which the generalized solution of the parabolic initial-boundary value problem with homogeneous initial Cauchy data will be classic. Conditions formulated in terms of inclusion right-hand sides of the problem in some $2b$-anisotropic Hormander spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 276–290
УДК 517.956.4
В. М. Лось
(Нацiональний технiчний унiверситет України "КПI Київ)
(Чернiгiвський нацiональний технологiчний унiверситет,
Чернiгiв)
Класичнi розв’язки параболiчної
мiшаної задачi i 2b-анiзотропнi
простори Хермандера.
v los@yahoo.com
We obtained new sufficient conditions under which the generali-
zed solution of the parabolic initial–boundary value problem wi-
th homogeneous initial Cauchy data will be classic. Conditions
formulated in terms of inclusion right-hand sides of the problem in
some 2b-anisotropic Hormander spaces.
Встановлено новi достатнi умови класичностi узагальнених
розв’язкiв параболiчної початково–крайової задачi з однорiдними
початковими даними Кошi. Умови сформульвано в термiнах при-
належностi правих частин задачi певним 2b-анiзотропним просто-
рам Хермандера.
c© В. М. Лось, 2015
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 277
1. Вступ
Одним з важливих питань в теорiї диференцiальних рiвнянь в
частинних похiдних є питання про регулярнiсть розв’язкiв до-
слiджуваних задач. Зокрема, коли узагальнений розв’язок задачi
є класичним, тобто коли диференцiальнi оператори застосовую-
ться до розв’язкiв у термiнах класичних похiдних.
Скориставшись теоремою про розв’язнiсть задачi в певнiй
шкалi функцiональних просторiв та теоремами вкладання цих
просторiв в простори неперервно дифенецiйовних функцiй, мо-
жна судити чи є узагальнений розв’язок задачi певну кiлькiсть
разiв неперервно-диференцiйовним.
Для параболiчних рiвнянь правильнi є теореми про коректну
розв’язнiсть початково-крайових задач у просторах Соболєва [1–
6]. Разом з теоремами вкладання Соболєва вони дають можли-
вiсть дослiдити, чи буде узагальнений розв’язок задачi класи-
чним. Проте в просторах неперервно диференцiйовних функцiй
висновки теорем про коректну розв’язнiсть початково-крайових
параболiчних задач не вiрнi. Дослiждуючи параболiчнi рiвняння
у бiльш тонко градуйованих шкалах просторiв нiж соболєвська,
в яких виконується теорема про коректну розв’язнiсть, можна
отримати бiльш тонкi умови неперервностi узагальнених розв’яз-
кiв.
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було за-
пропоноване Л.Хермандером у [7]. Це простори Hµ := B2,µ. Для
них показником регулярностi розподiлiв служить вагова функцiя
µ залежна вiд кiлькох дуальних змiнних. Такi простори знайшли
рiзноманiтнi застосування в аналiзi i теорiї рiвнянь з частинними
похiдними [7–25].
Недавно В. А. Михайлець i О. О. Мурач [13–19] побудува-
ли теорiю загальних елiптичних диференцiальних операторiв i
елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних
просторiв Хермандера. Зокрема, вони отримали бiльш тонкi, нiж
це дозволяє соболєвська шкала, умови класичностi узагальнених
278 В. М. Лось
розв’язiв елiптичних задач.
В роботi [23] доведена теорема про коректну розв’язнiсть па-
раболiчної мiшаної задачi у 2b-анiзотропних гiльбертових про-
сторах Хермандера. Метою цiєї роботи є дати застосування вище
згаданої теореми для вирiшення питання класичностi розв’язку
параболiчної задачi.
Зазначимо, що питання класичностi розв’язкiв параболi-
чних задач, розглядуваних у просторах Соболєва, дослiджував
В.А. Iльїн, див. [26] та наведену там бiблiографiю.
Стаття складається з 6 пунктiв. Пункт 1. є вступ. Пункт 2.
мiстить постановку задачi, що дослiджується. У п. 3. розгляну-
та 2b-анiзотропна шкала гiльбертових просторiв Хермандера. У
п. 4. сформульовано основний результат статтi. Вiн доведений у
п. 5.. Пункт 6. мiстить висновки до статтi.
2. Постановка задачi
Нехай довiльно заданi цiле число n ≥ 2, дiйсне число τ > 0 i обме-
жена область G ⊂ Rn з нескiнченно гладкою межею Γ := ∂G. По-
значимо Ω := G× (0, τ) – цилiндр в Rn+1, S := Γ× (0, τ) — його
бiчна поверхня. Розглянемо в Ω параболiчну задачу з нульовими
початковими даними Кошi:
A(x, t,Dx, ∂t)u(x, t) ≡
≡
∑
|α|+2bβ≤2m
aα,β(x, t)Dα
x∂
β
t u(x, t) = f(x, t) в Ω, (1)
Bj(x, t,Dx, ∂t)u(x, t)
∣∣
S
≡
≡
∑
|α|+2bβ≤mj
bα,βj (x, t)Dα
x∂
β
t u(x, t)
∣∣
S
= gj(x, t) (2)
для x ∈ Γ, 0 < t < τ i всiх j ∈ {1, . . . ,m},
∂kt u(x, t)
∣∣
t=0
= 0 для x ∈ G i всiх k ∈ {0, . . . ,κ − 1}. (3)
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 279
Тут b, m та всi mj є довiльнi заданi цiлi числа, такi, що
m ≥ b ≥ 1, κ := m/b ∈ Z та mj ≥ 0. Всi коефiцiєнти дифе-
ренцiальних виразiв A := A(x, t,Dx, ∂t) та Bj := Bj(x, t,Dx, ∂t)
вважаємо нескiнченно гладкими комплекснозначними функцiя-
ми. А саме, aα,β ∈ C∞(Ω) та bα,βj ∈ C∞(S), де Ω := G × [0, τ ],
S := Γ × [0, τ ]. Використовуємо такi позначення для частинних
похiдних: Dα
x := Dα1
1 . . . Dαn
n , Dk := i ∂/∂xk та ∂t := ∂/∂t.
Тут x = (x1, . . . , xn) є довiльною точкою простору Rn, а α =
(α1, ..., αn) є мультиiндексом i |α| := α1 + ...+αn. У формулах (1)
i (2) пiдсумовування ведеться по цiлим iндексам α1, ..., αn, β ≥ 0,
якi задовольняють нерiвностi, що написанi пiд знаком суми.
Нагадаємо [1, § 9, пункт 1], що задачу (1)–(3) називають па-
раболiчною в цилiндрi Ω, якщо виконуються такi двi умови.
Умова 1. Для довiльних x ∈ G, t ∈ [0, τ ], ξ ∈ Rn i p ∈ C,
Re p ≥ 0, виконується
A(0)(x, t, ξ, p) ≡
∑
|α|+2bβ=2m
aα,β(x, t) ξαpβ 6= 0
для всiх |ξ|+ |p| 6= 0.
Довiльно оберемо x ∈ Γ, t ∈ [0, τ ], дотичний вектор ξ ∈ Rn до
межи Γ у точцi x та число p ∈ C, Re p ≥ 0, такi, що |ξ|+ |p| 6= 0.
Нехай ν(x) є ортом внутрiшньої нормалi до межи Γ у точцi x.
З умови 1 випливає, що многочлен A(0)(x, t, ξ + ζν(x), p) змiнної
ζ ∈ C має рiвно m коренiв ζ+
j (x, t, ξ, p), j = 1, . . . ,m, с додатною
уявною частиною i m коренiв з вiд’ємною уявною частиною (з
урахуванням їх кратностi).
Умова 2. При кожному такому виборi x, t, ξ та p многочлени
B
(0)
j (x, t, ξ + ζν(x), p) ≡
∑
|α|+2bβ=mj
bα,βj (x, t) (ξ + ζν(x))αpβ
(j = 1, . . . ,m) змiнної ζ ∈ C лiнiйно незалежнi по модулю много-
члена
∏m
j=1(ζ − ζ+
j (x, t, ξ, p)).
280 В. М. Лось
Вiдмiтимо, що умова 1 є умовою 2b-параболiчностi за I. Г. Пе-
тровським диференцiального рiвняння Au = f у замкнутому ци-
лiндрi Ω, а умова 2 виражає той факт, що система граничних
диференцiальних операторiв {B1, . . . , Bm} накриває диференцi-
альний оператор A на бiчнiй поверхнi S цього цилiндра.
3. Гiльбертовi 2b -анiзотропнi
простори Хермандера
Основний результат роботи будемо формулювати у термiнах
приналежностi правих частин задачi гiльбертовим функцiональ-
ним просторам Hµ := B2,µ, що були введенi Л. Хермандером
[7, п. 2.2] та Л. Р. Волєвичем, Б. П. Панеяхом [8, § 2, 3]. По-
казником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що утворюють
простiр Hµ(Rk), де цiле k ≥ 2, є вимiрна за Борелем функцiя
µ : Rk → (0,∞), яка задовольняє таку умову: iснують додатнi
числа c та l такi, що µ(ξ)/µ(η) ≤ c (1 + |ξ − η|)l для будь-яких
ξ, η ∈ Rk.
За означенням, лiнiйний простiр Hµ(Rk) складається з усiх
повiльно зростаючих розподiлiв w ∈ S ′(Rk), перетворення Фур’є
ŵ яких є локально iнтегровними за Лебегом функцiями, що за-
довольняють умову
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
(У роботi усi розподiли/функцiї вважаються комплекснозначни-
ми.) Цей простiр є гiльбертовим вiдносно скалярного добутку,
що визначає норму ‖w‖Hµ(Rk).
Нам буде потрiбна версiя Hµ
+(V ) простору Hµ(Rk) для довiль-
ної вiдкритої множини V 6= ∅. Лiнiйний простiр Hµ
+(V ) скла-
дається, за означеннням, iз звужень u = w � V всiх розподiлiв
w ∈ Hµ(Rk), що дорiвнюють нулю при xk < 0. Тут w = w(x′, xk),
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 281
де x′ = (x1, . . . , xk−1) ∈ Rk−1 та xk ∈ R. У цьому просторi задана
норма за формулою
‖u‖Hµ
+(V ) := inf
{
‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), (4)
w(x′, xk) ≡ 0 при xk < 0, u = w �V
}
.
Простiр Hµ
+(V ) є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно нор-
ми (4).
Для зручностi позначень приймемо γ := 1/(2b). Будемо вико-
ристовувати показники регулярностi вигляду
µ(ξ′, ξk) =
(
1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ
)s/2
ϕ
(
(1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ)1/2
)
, (5)
де ξ′ ∈ Rk−1 та ξk ∈ R є аргументами функцiї µ. Тут числовий
параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр ϕ пробiгає
клас M [17, пункт 1.2.1]. Цей клас складається з усiх вимiрних
за Борелем функцiй ϕ : [1,∞) → (0,∞), якi задовольняють двi
умови:
а) обидвi функцiї ϕ та 1/ϕ обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b],
де 1 < b <∞;
б) функцiя ϕ повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiн-
ченностi, що означає
lim
r→∞
ϕ(λr)
ϕ(r)
= 1 для будь-якого λ > 0. (6)
Теорiя повiльно змiнних функцiй викладена в монографiях [27,
28]. Наведемо важливий i стандартний приклад функцiй, що за-
довольняють (6):
ϕ(r) := (log r)θ1 (log log r)θ2 . . . ( log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
r )θk при r � 1,
де k ∈ N i θ1, θ2, . . . , θk ∈ R довiльнi параметри.
Нехай s ∈ R i ϕ ∈ M. Розглянемо 2b-анiзотропний гiльбер-
тiв простiр Хермандера Hs,sγ,ϕ(Rk) := Hµ(Rk), де показник µ
визначений формулою (5).
282 В. М. Лось
Якщо ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ,ϕ(Rk) стає 2b-анiзотропним гiльберто-
вим простором Соболева порядку (s, sγ); позначимо його через
Hs,sγ(Rk). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
по просторовiй змiннiй x ∈ Rk−1, а sγ — показник регулярностi
по часовiй змiннiй t ∈ R. В загальному випадку, коли ϕ ∈ M є
довiльною, мають мiсце неперервнi та щiльнi вкладання
Hs1,s1γ(Rk) ↪→ Hs,sγ,ϕ(Rk) ↪→ Hs0,s0γ(Rk) при s0 < s < s1.
(7)
Розглянемо клас 2b-анiзотропних гiльбертових просторiв Хер-
мандера {
Hs,sγ,ϕ(Rk) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
. (8)
Вкладання (7) показують, що у (8) функцiональний параметр
ϕ визначає додаткову гладкiсть по вiдношенню до основної анi-
зотропної (s, sγ)-гладкостi. Якщо ϕ(r) → ∞ (або ϕ(r) → 0) при
r →∞, то ϕ визначає позитивну (або негативну) додаткову глад-
кiсть. Iнакше кажучи, ϕ уточнює основну гладкiсть (s, sγ). Тут
γ := 1/(2b) виконує роль параметру анiзотропiї просторiв, що
утворюють цей клас.
Назвемо клас (8) 2b-анiзотропною шкалою гiльбертових про-
сторiв Хермандера на Rk.
Використовуючи цю шкалу ведемо функцiональнi простори,
пов’язанi з параболiчною задачею (1)–(3). Її розв’язок u та пра-
ву частину f рiвняння (1) будемо розглядати у 2b-анiзотропних
гiльбертових просторах Хермандера Hs,sγ,ϕ
+ (Ω) := Hµ
+(Ω) де по-
казник µ визначений формулою (5), у якiй k := n+ 1.
2b-анiзотропнi гiльбертовi простори Хермандера, до яких на-
лежать правi частини gj крайових умов (2), заданi на бiчнiй по-
верхнi S = Γ × (0, τ) цилiндра Ω. Означимо їх використовуючи
локальнi карти на S.
Нехай s > 0 i ϕ ∈ M. Попередньо для вiдкритої смуги
Π := Rn−1× (0, τ) розглянемо гiльбертовi простори Hs,sγ,ϕ
+ (Π) :=
Hµ
+(Π), де показник µ визначений формулою (5), у якiй k := n.
Довiльно виберемо скiнченний атлас iз C∞-структури на за-
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 283
мкненому многовидi Γ. Нехай цей атлас утворений локальними
картами θj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . , λ. Тут вiдкрити множи-
ни Γ1, . . . ,Γλ складають покриття многовиду Γ. Окрiм цього,
довiльно виберемо функцiї χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , λ, такi, що
suppχj ⊂ Γj i
∑λ
j=1 χj ≡ 1 на Γ.
За означенням, лiнiйний простiр Hs,sγ,ϕ
+ (S) складається з усiх
функцiй v ∈ L2(S) на многовидi S таких, що для кожного но-
меру j ∈ {1, . . . , λ} функцiя vj(x, t) := χj(θj(x)) v(θj(x), t) аргу-
ментiв x ∈ Rn−1 i t ∈ (0, τ) належить до Hs,sγ,ϕ
+ (Π). У просторi
Hs,sγ,ϕ
+ (S) задана норма за формулою
‖v‖Hs,sγ,ϕ
+ (S) :=
( λ∑
j=1
‖vj‖2Hs,sγ,ϕ
+ (Π)
)1/2
.
Цей простiр є повним (гiльбертовим) та не залежить вiд вибору
локальних карт i розбиття одиницi на Γ з точнiстю до еквiвален-
тностi норм.
Наостанок введемо локальнi аналоги просторiв Hs,sγ,ϕ
+ (Ω) i
Hs,sγ,ϕ
+ (S), де s > 0 i ϕ ∈ M. Нехай U — вiдкрита пiдмножина
простору Rn+1, ω := U ∩ Ω 6= ∅, γ1 := U ∩ ∂Ω, γ0 := U ∩ S.
Позначимо через Hs,sγ,ϕ
+,loc (ω, γ1) лiнiйний простiр усiх розподi-
лiв u ∈ D′(Ω) в областi Ω таких, що χu ∈ Hs,sγ,ϕ
+ (Ω) для кожної
функцiї χ ∈ C∞(Ω) iз suppχ ⊂ ω ∪ γ1. Подiбно до цього, позна-
чимо через Hs,sγ,ϕ
+,loc (γ0) лiнiйний простiр усiх розподiлiв v ∈ D′(S)
на S таких, що χv ∈ Hs,sγ,ϕ
+ (S) для кожної функцiї χ ∈ C∞(S) iз
suppχ ⊂ γ0.
Пiдкреслимо, що у важливому окремому випадку ϕ(r) ≡ 1,
всi означенi в роботi простори стають 2b-анiзотропними соболєв-
ськими просторами. У цьому випадку будемо опускати iндекс ϕ
у позначеннях просторiв.
284 В. М. Лось
4. Основний результат
Нехай σ0 є найменше цiле число, таке, що
σ0 ≥ 2m, σ0 ≥ mj + 1 для всiх j ∈ {1, . . . ,m}, та
σ0
2b
∈ Z.
Вiдмiтимо, якщо mj ≤ 2m− 1 для всiх j ∈ {1, . . . ,m}, тодi σ0 =
2m.
Iз результату М. С. Аграновiа та М. I. Вiшiка [1, теорема 12.1]
випливає, що для кожного вектора
F := (f, g1, ..., gm) ∈ (9)
H
σ0−2m,(σ0−2m)/(2b)
+ (Ω)⊕
m⊕
j=1
H
σ0−mj−1/2,(σ0−mj−1/2)/(2b)
+ (S)
задача (1)–(3) має єдиний розв’язок u ∈ Hσ0,σ0/(2b)
+ (Ω). Цю фун-
кцiю u називаємо узагальненим розв’язком параболiчної задачi
(1)–(3) iз правою частиною (9).
Позначимо через m0 найменше цiле число, таке, що
m0
2b
≥ κ − 1, m0 ≥ mj для всiх j ∈ {1, . . . ,m} та
m0
2b
∈ Z.
Узагальнений розв’язок u ∈ H
σ0,σ0/(2b)
+ (Ω) задачi (1)–(3) на-
звемо класичним розв’язком цiєї задачi, якщо виконуються такi
двi умови:
1) всi узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t), для яких |α|+
2bβ ≤ 2m, є неперервними на множинi Ω,
2) всi узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t), для яких |α|+
2bβ ≤ m0, є неперервними на множинi Ω.
Iншими словами, узагальнений розв’язок u назвемо класи-
чним розв’язком параболiчної задачi (1)–(3), якщо
u ∈ C2m,2m/(2b)
x,t (Ω) ∩ Cm0,m0/(2b)
x,t (Ω).
Сформулюємо основний результат роботи.
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 285
Теорема 1. Нехай функцiя u ∈ H
σ0,σ0/(2b)
+ (Ω) є узагальненим
розв’язком параболiчної задачi (1)–(3), правi частини якої задо-
вольняють умови
f ∈ Hσ1−2m,(σ1−2m)/(2b),ϕ1
+, loc (Ω,∅) ∩Hσ2−2m,(σ2−2m)/(2b),ϕ2
+ (Ω),
gj ∈ H
σ2−mj−1/2,(σ2−mj−1/2)/(2b),ϕ2
+ (S) для всiх j ∈ {1, . . . ,m},
(10)
де σ1 := 2m+ b+ n/2, σ2 := m0 + b+ n/2 > σ0, а функцiональнi
параметри ϕ1, ϕ2 ∈M такi, що
∞∫
1
dt
tϕ2
j (t)
<∞ для всiх j ∈ {1, 2}. (11)
Тодi u(x, t) є класичним розв’язком задачi (1)–(3).
Зауваження. Якщо сформулювати аналог теореми 1 для собо-
лєвської шкали (випадок ϕ1 ≡ ϕ2 ≡ 1), то доведеться замiнити
умову цiєї теореми на бiльш сильну: для правих частин задачi
виконуються включення (10) при деяких σ1 > 2m + b + n/2 i
σ2 > m0 + b+ n/2. Це робить результат значно бiльш грубим.
Приклад. Розглянемо в цилiндрi Ω ⊂ Rn+1 задачу:
u′t = ∆u+ f, u
∣∣
S
= g, u
∣∣
t=0
= 0. (12)
Тут m = b = 1, m1 = 0. Звiдси σ0 = 2, m0 = 0. Нехай u ∈ H2,1
+ (Ω)
є узагальненим розв’язком задачi (12), де
f ∈ H1+n/2, 1/2+n/4, ϕ1
+, loc (Ω,∅) ∩H−1+n/2, −1/2+n/4, ϕ2
+ (Ω),
g ∈ H1/2+n/2, 1/4+n/4, ϕ2
+ (S),
з ϕ1, ϕ2 ∈M, що задовольняють умову (11). Тодi u є класичним
розв’язком задачi (12), тобто u ∈ C2,1
x,t (Ω) ∩ C(Ω). Вiдмiтимо, що
з умови теореми σ2 > σ0 випливає, що в цьому прикладi n > 2.
286 В. М. Лось
5. Доведення
Нагадаємо, що U — вiдкрита пiдмножина простору Rn+1, ω :=
U ∩ Ω 6= ∅, γ1 := U ∩ ∂Ω, γ0 := U ∩ S. Доведення теореми 1
спирається на такий результат [23, теорема 3].
Твердження 1. Нехай довiльно обране цiле число q ≥ 0. Припу-
стимо, що функцiя u ∈ Hσ0,σ0/(2b)
+ (Ω) є узагальненим розв’язком
параболiчної задачi (1)–(3), правi частини якої задовольняють
умови
f ∈ Hσ−2m,(σ−2m)/(2b),ϕ
+, loc (ω, γ1),
(13)
gj ∈ H
σ−mj−1/2,(σ−mj−1/2)/(2b),ϕ
+, loc (γ0) для всiх j ∈ {1, . . . ,m},
де σ := 2bq + b+ n/2 > 2m, а функцiональний параметр ϕ ∈ M
такий, що
∞∫
1
dt
tϕ2(t)
<∞.
Тодi розв’язок u(x, t) i всi його узагальненi частиннi похiднi
Dα
x∂
β
t u(x, t), для яких |α| + 2bβ ≤ 2bq, є неперервними на мно-
жинi ω ∪ γ1.
Доведення теореми 1. Покажемо спочатку, що u ∈
C
m0,m0/(2b)
x,t (Ω). З умови (10) маємо включення
f ∈ Hσ2−2m,(σ2−2m)/(2b),ϕ2
+ (Ω) = H
σ2−2m,(σ2−2m)/(2b),ϕ2
+, loc (Ω, ∂Ω),
gj ∈ H
σ2−mj−1/2,(σ2−mj−1/2)/(2b),ϕ2
+ (S) = (14)
H
σ2−mj−1/2,(σ2−mj−1/2)/(2b),ϕ2
+, loc (S) для всiх j ∈ {1, . . . ,m}.
Тодi з твердження 1 при q = m0/(2b) завдяки (14) маємо, що
функцiя u(x, t) i всi її узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t),
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 287
для яких |α| + 2bβ ≤ m0, є неперервними на множинi Ω, тобто
u ∈ Cm0,m0/(2b)
x,t (Ω).
Якщо m0 ≥ 2m, то Cm0,m0/(2b)
x,t (Ω) ⊂ C
2m,2m/(2b)
x,t (Ω) i теорема
в цьому випадку доведена.
Нехай тепер m0 < 2m. В цьому випадку ще потрiбно довести
включення u ∈ C2m,2m/(2b)
x,t (Ω). З умови (10) маємо включення
f ∈ Hσ1−2m,(σ1−2m)/(2b),ϕ1
+, loc (Ω,∅),
gj ∈ L2(S) = H
σ1−mj−1/2,(σ1−mj−1/2)/(2b),ϕ1
+, loc (∅)
для всiх j ∈ {1, . . . ,m}.
(15)
Оскiльки m0 < 2m, то σ1 > σ0. Отже, з твердження 1 при
q = m/b завдяки (15) маємо, що функцiя u(x, t) i всi її узагаль-
ненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t), для яких |α| + 2bβ ≤ 2m, є
неперервними на множинi Ω, тобто u ∈ C
2m,2m/(2b)
x,t (Ω). Таким
чином, u ∈ C2m,2m/(2b)
x,t (Ω) ∩ Cm0,m0/(2b)
x,t (Ω).
Теорема 1 доведена.
6. Висновки
В статтi встановлено новi достатнi умови класичностi узагаль-
нених розв’язкiв параболiчної початково–крайової задачi (1)–
(3) (теорема 1). Правi частини задачi належать 2b-анiзотропним
просторам Хермандера. Завдяки цим просторам отримано бiльш
тонкий результат, нiж це дозволяють зробити простори Соболє-
ва.
Лiтература
[1] Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с пара-
метром и параболические задачи общего вида // Успехи матем.
наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53–161.
288 В. М. Лось
[2] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линей-
ные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Москва:
Наука, 1967. – 736 с.
[3] Lions J.-L. Magenes E. Non-Homogeneous Boundary-Value Problems
and Applications. – Vol. II. – Berlin: Springer, 1972. – xi+242 p.
[4] Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value
problems. – Operator Theory: Advances and Applications, 101. –
Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
[5] Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63.
Partial differential equations, VI. – Berlin: Springer, 1994. – P. 205–
316.
[6] Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных за-
дач. – Киев, Выща школа, 1990. – 200 с.
[7] Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer,
1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Линейные дифферен-
циальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.)
[8] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен-
ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. –
20, № 1. – С. 3–74.
[9] Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Х. Три-
бель. Теория функциональных пространств. – Москва: Мир,
1986. – С. 381–415.
[10] Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.–
Berlin: Wiley–VCH, 2000. – 348 p.
[11] Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäser, 2001. –
xii+425 p.
[12] Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculas on Euclidean
spaces. – Basel: Birkhäser, 2010. – xi+306 p.
[13] Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic
boundary-value problems. II // Ukrainian Math. J. – 2006. – 58,
№ 3. – P. 398 – 417.
Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi ... 289
[14] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic
boundary-value problems. III // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 5. – P. 744 – 765.
[15] Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale
of spaces on a closed manifold. // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 6. – P. 874 – 893.
[16] Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem
in a two-sided refined scale of spaces // Ukrainian Math. J. – 2008. –
60, № 4. – P. 574 – 597.
[17] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН
Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.)
[18] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and
elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. – xiv+297 p.
[19] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo-
lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6,
No. 2. – P. 211–281.
[20] Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a
function parameter. – Methods Funct. Anal. Topology. – 2013. – 19,
No. 2. – P. 146–160
[21] Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних
мiшаних задач. – Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 2. – С. 219–234.
[22] Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в
пространствах обобщенной гладкости. // Доповiдi НАН Украї-
ни. – 2014. – № 6. – С. 23–31.
[23] Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського
в просторах узагальненої гладкостi. // Доповiдi НАН України. –
2014. – № 10. – С. 24–32.
[24] Лось В. М. Анiзотропнi простори Хермандера на бiчнiй поверхнi
цилiндра. // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18,№ 2. – С. 226-237.
[25] Лось В. М. Мiшанi задачi для двовимiрного рiвняння теплопро-
вiдностi у анiзотропних просторах Хермандера. // Український
математичний журнал. – 2015. – 67,№ 5. – С. 645-656.
290 В. М. Лось
[26] Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболи-
ческого и параболического уравнений // Успехи матем. наук. –
1960. – 15, № 2. – С. 97–154.
[27] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. –
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
[28] Seneta E. Regularly varying functions. – Berlin: Springer, 1976. –
112 p. (Рус. перевод: Сенета Е. Правильно меняющиеся фун-
кции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.)
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-199 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/43/6b51e4ec0daff0c25a22c0d1a45a0043.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1992018-01-29T10:16:07Z Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces Класичні розв'язки параболічної мішаної задачі і $2b$-анізотропні простори Хермандера Los, V. M. Лось, В. М. We obtained new sufficient conditions under which the generalized solution of the parabolic initial-boundary value problem with homogeneous initial Cauchy data will be classic. Conditions formulated in terms of inclusion right-hand sides of the problem in some $2b$-anisotropic Hormander spaces. Встановлено нові достатні умови класичності узагальнених розв'язків параболічної початково-крайової задачі з однорідними початковими даними Коші. Умови сформульвано в термінах приналежності правих частин задачі певним $2b$-анізотропним просторам Хермандера. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/199 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 276-290 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 276-290 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 276-290 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/199/176 Авторське право (c) 2015 В. М. Лось |
| spellingShingle | Los, V. M. Лось, В. М. Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title | Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title_alt | Класичні розв'язки параболічної мішаної задачі і $2b$-анізотропні простори Хермандера |
| title_full | Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title_fullStr | Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title_short | Classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic Hörmander spaces |
| title_sort | classical solution of parabolic mixed problem and $2b$-anisotropic hörmander spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/199 |
| work_keys_str_mv | AT losvm classicalsolutionofparabolicmixedproblemand2banisotropichormanderspaces AT losʹvm classicalsolutionofparabolicmixedproblemand2banisotropichormanderspaces AT losvm klasičnírozv039âzkiparabolíčnoímíšanoízadačíí2banízotropníprostorihermandera AT losʹvm klasičnírozv039âzkiparabolíčnoímíšanoízadačíí2banízotropníprostorihermandera |