Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent
Convergence is proved and asymptotic is found for the Pad´ e approximant of the q–exponential function and its generalisation.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/20 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552541843095552 |
|---|---|
| author | Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. |
| author_facet | Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "Н. М. Гаврилюк",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Голуб, А. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | Convergence is proved and asymptotic is found for the Pad´ e approximant of the q–exponential function and its generalisation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 46–50
УДК 517.53
Про збiжнiсть апроксимант Паде
q–аналога експоненти
А.П. Голуб, Н.М. Гаврилюк
Iнститут математики НАН України, Київ;
golub@imath.kiev.ua, nataliyagavrylyuk@gmail.com
Convergence is proved and asymptotic is found for the Padé approximant
of the q–exponential function and its generalisation.
Доказана сходимость и найдена асимптотика аппроксимаций Паде
q–аналога экспоненты и его обобщения.
В [1] з використанням методу узагальнених моментних зображень
побудовано апроксиманти Паде q–аналога експоненти (див. [2])
Eq(z) =
∞∑
n=0
qn(n−1)/2
(q; q)n
zn = (−z; q)∞, |q| < 1,
де q–символ Похгаммера (або зсунутий q–факторiал) (a; q)n визнача-
ється формулою
(a; q)n =
(1− a)(1− aq) · . . . · (1− aqn−1), при n ≥ 1,
1, при n = 0,
∞∏
m=0
(1 − aqm) = lim
n→∞
(a; q)n, при n = ∞,
а також функцiї
fν(z) =
∞∑
k=0
skz
k =
∞∑
k=0
(1− q)k+1qk(k+1)/2+kν
(qν+1; q)k+1
zk (1)
при ν > −1. Легко бачити, що
f0(z) =
Eq ((1− q)z)− 1
z
.
Було встановлено наступний результат.
c© А.П. Голуб, Н. М. Гаврилюк, 2015
Про збiжнiсть апроксимант Паде . . . 47
Теорема 1. [1] Апроксиманти Паде функцiї (1) порядкiв [N −
1/N ], N ≥ 1, можуть бути записанi у виглядi
[N − 1/N ]fν (z) =
PN−1(z)
QN(z)
, (2)
де
QN (z) =
N∑
k=0
(
q−N ; q
)
N−k
(
qN+ν+1; q
)
N−k
(1− q)N−k(q; q)N−k
q−(N−k)(N−k+2ν−1)/2zk, (3)
PN−1(z) =
N−1∑
j=0
zj
(1− q)N−1−j
j∑
m=0
(
q−N ; q
)
N−m
(
qN+ν+1; q
)
N−m
(q; q)N−m(qν+1; q)j−m+1
×
×q(j(j+1)−N(N−1))/2+m(N−j−1)+(j−N)ν . (4)
Встановимо збiжнiсть апроксимант (2).
Теорема 2. Апроксиманти Паде функцiї (1) порядкiв [N − 1/N ],
N ∈ N, рiвномiрно збiгаються до наближуваної функцiї на кожному
компактi комплексної площини при N → ∞.
Доведення. Запишемо знаменник (3) апроксиманти (2) у виглядi
QN(z) =
(q−N ; q)N (qN+ν+1; q)N
(q; q)N (1 − q)N
q−N(N+2ν−1)/2×
×
n∑
k=0
(1− k)k(−1)k
(
qN−k+1; q
)
k
(q; q)k (q2N−k+ν+1; q)k
qk(N+ν)zk =
=
(q−N ; q)N (qN+ν+1; q)N
(q; q)N (1− q)N
q−N(N+2ν−1)/2 (1 +RN (z)) .
Нехай z належить компакту K ⊂ C, такому, що K ⊆ KR = {z : |z| ≤
R}, R > 0. Очевидно, що
|1− qk| < 1 + |q|, ∀k ∈ N,
|1− qm| > 1− |q|, ∀k ∈ N.
Отож, ∀N ∈ N
|RN (z)| =
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
(1 − k)k(−1)k
(
qN−k+1; q
)
k
(q; q)k (q2N−k+ν+1; q)k
qk(N+ν)zk
∣∣∣∣∣ ≤
48 А. П. Голуб, Н. М. Гаврилюк
≤
N∑
k=1
(1 + |q|)2k
(1− |q|)2k |q|
k(N+ν)Rk.
Позначимо
C =
(
1 + |q|
1− |q|
)2
|q|νR.
Отримаємо
|RN (z)| <
N∑
k=1
Ck|q|kN < |q|N
∞∑
k=0
Ck+1|q|kN =
C|q|N
1− C|q|N → 0.
Отже,
QN (z) =
(q−N ; q)N (qN+ν+1; q)N
(q; q)N (1− q)N
q−N(N+2ν−1)/2 (1 + o(1)) (5)
при N → ∞. Звiдси випливає, що, починаючи з деякого номера
N0 = N0(R) ∈ N, знаменники QN не мають нулiв на компактi K.
Для похибки апроксимацiї має мiсце формула (див. [3])
fν(z)− [N − 1/N ]fν (z) =
z2N
QN (z)
〈Rz(B)xN , YN 〉 ,
в якiй використано позначення:
(Bϕ) (t) = qt(1− t)
∞∑
n=0
ϕ
(
tqn+1
)
gn
для будь–якої функцiї ϕ з простору
Xα = {f : [0, 1] → C | ∃M > 0, |f(x)xα | < M, ∀x ∈ [0, 1]}
при −ν < α < 1, резольвентна функцiя оператора B має вигляд
(див. [1])
(Rz(B)ϕ) (t) =
[
(I − zB)−1 ϕ
]
(t) =
= ϕ(t) + zq
t∫
0
σ(zt)
σ(zτ)
ϕ(qτ)dqτ,
Про збiжнiсть апроксимант Паде . . . 49
де
σ(t) =
∞∏
m=1
(1 + qm(1− q)t) ,
q–iнтеграл Джексона визначається спiввiдношенням
t∫
0
ϕ(τ)dqτ = t(1− q)
∞∑
n=0
ϕ(tqn)qn,
бiлiнiйна форма 〈·, ·〉 на Xα × Xα має вигляд
〈ϕ, ψ〉 =
1∫
0
ϕ(τ)ψ(τ)dqτ,
xN (t) =
(
BNx0
)
(t) =
(1− q)N
(qν+1; q)N
qN(N+1)/2+NνtN+ν , N ∈ Z+,
а YN , N ∈ Z+, — полiноми, ортогональнi за бiлiнiйною формою 〈·, ·〉
з вагою tν , тобто q–аналоги полiномiв Якобi, для яких справедливе
наступне зображення (див. [2])
YN (t) =
N∑
j=0
(
q−N ; q
)
j
(
qN+ν+1; q
)
j
(q; q)j (q
ν+1; q)j
(qt)j .
Отже,
fν(z)− [N − 1/N ]fν (z) =
z2N
QN(z)
〈 ∞∑
k=N
xkz
k−N , YN
〉
=
=
z2N
QN (z)
(〈xN , YN 〉+ εN (z)) .
Неважко переконатися, що εN (z) = o (〈xN , YN 〉), тому
fν(z)− [N − 1/N ]fν (z) =
z2N
QN (z)
〈xN , YN 〉 (1 + o(1)) =
=
z2N
QN (z)
1
c
(N)
N
〈YN , YN 〉 (1 + o(1)) =
50 А. П. Голуб, Н. М. Гаврилюк
=
z2N
c
(N)
N QN (z)
(1 − q)qN(ν+1)
1− q2N+ν+1
[
(q; q)N
(qν+1; q)N
]2
(1 + o(1)) .
Враховуючи формулу (5) i те, що
c
(N)
N =
(q−N ; q)N (qN+ν+1; q)N
(q; q)N (1− q)N
q−N(N+2ν−1)/2,
в результатi отримуємо
fν(z)− [N − 1/N ]fν (z) =
=
z2N(1 − q)2N+1 ((q; q)N )
4
qN(N+3ν) (1 + o(1))
((q−N ; q)N )
2
(qN+ν+1; q)N (qN+ν+1; q)N+1 ((q
ν+1; q)N )
2
,
що, як легко бачити, прямує рiвномiрно до нуля на кожному компактi
комплексної площини.
Зауваження 1. Апроксиманти Паде функцiї Eq вивчалися та-
кож в [4–6].
[1] Гаврилюк Н. М., Голуб А. П. Апроксиманти Паде q–аналогiв експо-
ненти та їх узагальнень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi
питання. Зб. пр. Iн-ту математики НАН України. — 2015. — 12, 4. —
С.144–153.
[2] Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. — М:
Мир, 1993. — 349 с.
[3] Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
К: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 с.
[4] Walliser R. Rationale approximation des q–analogons der exponenti-
alfunktion und irrationalitätsaussagen für diese funktion // Arch. Math.
— 1985. — 44, 1. — S. 59–64.
[5] Голуб А. П. Обобщенные моментные представления базисных гипер-
геометрических рядов // Укр. мат. журн. — 1989. — 41,6. — С. 803–808.
[6] Голуб А. П. Об одной системе биортогональных полиномов и ее при-
ложениях // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, 7. — С. 961–965.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-20 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:05Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/de/4ec05e439b168fe9c5e2a4b71eb2a1de.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-202018-01-23T12:01:13Z Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent Про збiжнiсть апроксимант Паде q–аналога експоненти Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Convergence is proved and asymptotic is found for the Pad´ e approximant of the q–exponential function and its generalisation. Доказана сходимость и найдена асимптотика аппроксимаций Паде q–аналога экспоненты и его обобщения. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/20 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 46-50 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 46-50 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 46-50 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/20/31 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Гаврилюк, Н. М. Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title | Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title_alt | Про збiжнiсть апроксимант Паде q–аналога експоненти |
| title_full | Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title_fullStr | Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title_full_unstemmed | Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title_short | Convergence of Pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| title_sort | convergence of pade’s approximants of q-analogues of an exponent |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/20 |
| work_keys_str_mv | AT golubap convergenceofpadesapproximantsofqanaloguesofanexponent AT gavrilûknm convergenceofpadesapproximantsofqanaloguesofanexponent AT golubap convergenceofpadesapproximantsofqanaloguesofanexponent AT gavrilûknm convergenceofpadesapproximantsofqanaloguesofanexponent AT golubap prozbižnistʹaproksimantpadeqanalogaeksponenti AT gavrilûknm prozbižnistʹaproksimantpadeqanalogaeksponenti AT golubap prozbižnistʹaproksimantpadeqanalogaeksponenti AT gavrilûknm prozbižnistʹaproksimantpadeqanalogaeksponenti |