Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle
In the article we study strongly singular perturbations, in general non-symmetric, of the non-negative fractionally-differential operators $\mathbb{D}^{2s}$ of order $s\in (1/2,\infty)$ on the circle, which coincides up to multiplier with derivative of H. Weyl. We define the perturbed operators, inv...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/200 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552723016056832 |
|---|---|
| author | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. |
| author_facet | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Молибога",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Molyboga, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:37:46Z |
| description | In the article we study strongly singular perturbations, in general non-symmetric, of the non-negative fractionally-differential operators $\mathbb{D}^{2s}$ of order $s\in (1/2,\infty)$ on the circle, which coincides up to multiplier with derivative of H. Weyl. We define the perturbed operators, investigate their common spectral properties. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 291–306
УДК 517.984.5
В. М. Молибога
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Сингулярнi збурення
дробово-диференцiальних операторiв
на колi
molyboga@imath.kiev.ua
In the article we study strongly singular perturbations, in general
non-symmetric, of the non-negative fractionally-differential operators
D2s of order s ∈ (1/2,∞) on the circle, which coincides up to multi-
plier with derivative of H. Weyl. We define the perturbed operators,
investigate their common spectral properties.
В роботi вивчаються сильно сингулярнi збурення, в загальному
випадку несиметричнi, невiд’ємного дробово-диференцiального
оператора D2s порядку s ∈ (1/2,∞) на колi, який збiгається з то-
чнiстю до множника з похiдною Г. Вейля. Ми визначаємо збуренi
оператори, дослiджуємо їх загальнi спектральнi властивостi.
1. Вступ та основнi результати
Починаючи з класичної роботи Кронiга та Пеннi [13], в матема-
тичну фiзику ввiйшли оператори Шрьодiнгера з потенцiалами,
що є перiодичними узагальненими функцiями. Подальший роз-
виток квантової механiки стимулював активний розвиток цього
c© В. М. Молибога, 2015
292 В. М. Молибога
наукового напрямку, див. бiблiографiю монографiй [1, 2], яка на-
лiчує понад 1000 публiкацiй.
Як добре вiдомо, див. [10, 12, 7, 16] та бiблiографiю там, де
одновимiрнi самоспряженi оператори Шрьодiнгера на осi з силь-
но сингулярними перiодичними потенцiалами мають абсолютно
неперервний спектр, який має зонну структуру: спектральнi зо-
ни чергуються зi спектральними лакунами. При цьому кiнцi спе-
ктральних лакун є перiодичними/напiвперiодичними власними
значеннями вiдповiдних операторiв S(V ) на колi.
Одновимiрнi самоспряженi диференцiальнi оператори високо-
го парного порядку 2s, s = 2, 3, 4, . . ., на колi з перiодичними ко-
ефiцiєнтами також мають абсолютно неперервний спектр, який
має зонну структуру [8, Теорема XIII.7.64]. Але, на вiдмiну вiд
випадку s = 1, серед кiнцiв спектральних лакун є не тiльки перi-
одичнi/напiвперiодичнi власнi значення вiдповiдних операторiв
S(V ) на колi, але й точки розгалуження вiдповiдної аналiтичної
функцiї Ляпунова [20, 3].
Типовим прикладом застосування диференцiальних операто-
рiв високого порядку є застосування в теорiї коливань балок,
пластин та оболонок. Такi оператори також виникають в обер-
нених задачах нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. Iснують рiзно-
манiтнi методи побудови пари Лакса для операторiв високого
порядку. Вiдповiдне нелiнiйне рiвняння Лакса має гамiльтоно-
ву структуру i iнтегрується методами обернених задач. Багато
фiзично цiкавих рiвнянь мають цю форму, див. [3, 4, 5] та поси-
лання там.
В данiй роботi вивчаються сильно сингулярнi збурення невiд’-
ємного в комплексному сепарабельному гiльбертовому просторi
L2(T), T := R/2Z, дробово-диференцiального оператора D2s по-
рядку s ∈ (1/2,∞), який збiгається (з точнiстю до множника i2s)
з похiдною Г. Вейля:
D2s := (D2)s, D2 := − d2
dx2
, Dom(D2) := H2(T).
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 293
Через Ht(T), t ∈ R, ми позначаємо простори Соболєва 2-
перiодичних функцiй або узагальнених функцiй (розподiлiв), якi
визначаються за допомогою коефiцiєнтiв Фур’є:
Ht(T) :=
{
f =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T)
∣∣‖f‖Ht(T) <∞
}
,
‖f‖2Ht(T) :=
∑
k∈Z
(1 + |k|)2t|f̂(k)|2.
Оператор D2s адитивно збурюється перiодичною комплекснозна-
чною узагальненою функцiєю V з негативного простора Соболє-
ва H−s(T). Дамо визначення операторiв
S(V )u := D2su+ V u, u ∈ Dom(S(V )).
Теорема 1. Оператори S(V ) є коректно визначеними в гiльбер-
товому просторi L2(T) як m-секторнi оператори форм-суми:
S(V ) = D2s u V,
якi заданi на щiльнiй множинi
Dom(S(V )) =
{
u ∈ Hs(T)
∣∣D2su+ V u ∈ L2(T)
}
.
Нагадаємо, що оператор A в гiльбертовому просторi H нази-
вається секторним, якщо його числова область значень Θ(A):
Θ(A) := (Au, u)H , u ∈ Dom(A), ‖u‖H = 1,
належить деякому сектору з вершиною на осi абсцис та цен-
тральним кутом, меншим за π. Оператор A називається m-
секторним, якщо множина C \ Θ(A) належить резольвентнiй
множинi Resolv(A) оператора A [11, 19].
Наслiдок. Резольвентна множина Resolv(S(V )) операторiв
S(V ) не порожня.
294 В. М. Молибога
Наступна теорема дає достатнi умови рiвномiрної резольвен-
тної збiжностi введених операторiв [18, § VIII.7], [11, § IV.2].
Теорема 2 (про збiжнiсть). Нехай перiодичнi узагальненi фун-
кцiї V та Vn, n ∈ N, належать негативному простору Соболєва
H−s(T). Послiдовнiсть операторiв S(Vn) збiгається до операто-
ра S(V ) в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi:
‖R(λ,S(V ))− R(λ,S(Vn))‖ → 0, n→∞,
λ ∈ Resolv(S(V )) 6= ∅,
як тiльки
Vn → V в просторi H−s(T) при n→∞.
З теореми 2 випливає, що оператори S(V ) можуть бути ви-
значенi також як границя в сенсi рiвномiрної резольвентної збi-
жностi послiдовностi операторiв з нескiнченно диференцiйовни-
ми потенцiалами.
Теорема 3 (про апроксимацiю). Нехай
V (x) =
∑
k∈Z
V̂ (k)ei kπx ∈ H−s(T),
Vn(x) :=
∑
|k|6n
V̂ (k)ei kπx ∈ C∞2 (T).
Тодi послiдовнiсть операторiв S(Vn) збiгається до оператора
S(V ) в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi.
Опишемо деякi властивостi операторiв S(V ).
Теорема 4. Оператор S(V ) має наступнi властивостi.
(1) Для довiльного δ > 0 iснує константа bδ > 0 така, що∣∣∣arg ((S(V ) + bδId)u, u)L2(T)
∣∣∣ ≤ δ, u ∈ Dom(S(V )).
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 295
(2) Оператор S(V ) самоспряжений тодi i тiльки тодi, коли
V (x) — дiйснозначна перiодична узагальнена функцiя.
(3) Оператор S(V ) має чисто дискретний спектр.
Результати роботи були анонсованi в [15]. Для випадку s ∈ N
теореми 1, 2, 3 та 4 були доведенi в [21, 14].
Робота побудована наступним чином. В роздiлi 2 ми нагадує-
мо для зручностi читання вiдомi результати, а також доводимо
допомiжнi. Роздiли 3, 4 та 5 присвяченi доведенню основних те-
орем.
2. Допомiжнi вiдомостi та результати
2.1. Простори Соболєва на колi
Будемо позначати скалярний добуток в гiльбертовому просторi
L2(T) через (·, ·)L2(T):
(u, v)L2(T) :=
1
2
∫
T
uvd x, u, v ∈ L2(T).
Тодi система {ei kπx}k∈Z вiдносно введеного скалярного добутку
є ортонормованим базисом в L2(T). Представимо довiльну фун-
кцiю u з гiльбертового простору L2(T) у виглядi ряду Фур’є
u(x) =
∑
k∈Z
û(k)ei kπx,
де коефiцiєнти Фур’є визначенi наступним чином:
û(k) := (u, ei kπx)L2(T).
За допомогою коефiцiєнтiв Фур’є скалярний добуток допускає
представлення у виглядi ряду
(u, v)L2(T) =
∑
k∈Z
û(k)v̂(k), u, v ∈ L2(T).
296 В. М. Молибога
Позначимо через D′2(T) простiр 2-перiодичних узагальнених
функцiй на колi T, а через C∞2 (T) — простiр основних функцiй
— простiр 2-перiодичних нескiнченно диференцiйовних функцiй
[22]. Для довiльної 2-перiодичної узагальненої функцiї f ∈ D′2(T)
визначимо коефiцiєнти Фур’є:
f̂(k) := 〈f, ei kπx〉L2(T), k ∈ Z,
де через 〈·, ·〉L2(T) позначено пiвторалiнiйну форму, що є розши-
ренням за неперервнiстю скалярного добутку в L2(T). Тодi 2-
перiодична узагальнена функцiя f ∈ D′2(T) може бути представ-
лена у виглядi ряду Фур’є:
f(x) =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T).
Для довiльних f ∈ D′2(T) i ϕ ∈ C∞2 (T) має мiсце узагальнена
рiвнiсть Парсеваля–Стєклова:
〈f, ϕ〉L2(T) =
∑
k∈Z
f̂(k)ϕ̂(k).
Простори Соболєва Ht(T), t ∈ R, 2-перiодичних функцiй або
узагальнених функцiй (розподiлiв) ми визначаємо за допомогою
коефiцiєнтiв Фур’є:
Ht(T) =
{
f =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T)
∣∣‖f‖Ht(T) <∞
}
,
‖f‖2Ht(T) =
∑
k∈Z
(1 + |k|)2t|f̂(k)|2.
Очевидно, що простори H0(T) i L2(T) збiгаються.
Перiодична узагальнена функцiя f ∈ D′2(T) є дiйснозначною
тодi i тiльки тодi, коли
f̂(k) = f̂(−k), k ∈ Z+.
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 297
Як добре вiдомо [6, 9],
D′2(T) =
⋃
t>0
H−t(T), ϕ ∈ C∞2 (T) =
⋂
t>0
Ht(T).
Далi, для довiльних двох 2-перiодичних узагальнених фун-
кцiй u та v їх добуток u · v формально ми визначимо наступним
чином:
u · v :=
∑
k,j∈Z
û(k − j)v̂(j)ei kπx.
Наступний вiдомий результат дає достатнi умови iснування та-
кого добутку.
Лема 5 (про згортку [17, 21]). Нехай s, r > 0 i t 6 min(s, r).
(I) Якщо s + r − t > 1/2, тодi добуток u · v двох довiльних
2-перiодичних узагальнених функцiй, який розглядається як вiд-
ображення в просторах:
(a) Hr(T)×Hs(T)→ Ht(T), (b) H−t(T)×Hs(T)→ H−r(T),
є неперервним вiдображенням, при цьому мають мiсце оцiнки:
(a) ‖u · v‖Ht(T) 6 C1(s, r, t)‖u‖Hr(T)‖v‖Hs(T),
(b) ‖u · v‖H−r(T) 6 C2(s, r, t)‖u‖H−t(T)‖v‖Hs(T).
(II) Якщо s + r − t < 1/2, тодi твердження (I) не виконує-
ться.
2.2. Числова область значень додатної форми, збу-
реної несиметричною формою
В цьому пунктi ми отримаємо загальнi результати щодо лока-
лiзацiї числової областi форми, яка є результатом збурення до-
датної форми несиметричною, в загальному випадку, формою.
Цi результати ми застосуємо до локалiзацiї спектру операторiв
S(V ).
298 В. М. Молибога
Нехай в гiльбертовому просторi H задано щiльно визначену,
замкнену, додатну пiвторалiнiйну форму α0[u, v] з областю ви-
значення Dom(α0) ⊂ H. Нехай β[u, v] визначена в H пiвторалi-
нiйна форма з областю визначення Dom(β) ⊃ Dom(α0).
Будемо припускати, що форма β є α0-обмеженою з α0-межею,
рiвною 0, i виконанi оцiнки:
∃ a, b > 0 : |β[u]| ≤ aεα0[u] + b‖u‖2H ∀ε > 0, u ∈ Dom(α0). (1)
Розглянемо в гiльбертовому просторi H суму форм α0 i β:
α[u, v] := α0[u, v] + β[u, v], Dom(α) := Dom(α0).
Пiвторалiнiйна форма α є щiльно визначеною, замкненою, се-
кторною пiвторалiнiйною формою в гiльбертовому просторi H.
Нехай Θ(α) числова область значень форми α:
Θ(α) := α[u], u ∈ Dom(α), ‖u‖H = 1.
В силу зроблених припущень Θ(α0) ⊂ [0,∞). З’ясуємо вла-
стивостi множини Θ(α).
Лема 6. Мають мiсце оцiнки:
|Imα[u]| ≤ 2aεReα[u] + 2b‖u‖2H , 0 < ε ≤ (2a+ 1)−1. (2)
Доведення. В силу зроблених припущень маємо
Reα[u] = α0[u] + Reβ[u], Imα[u] = Imβ[u].
Тому з (1) отримуємо
|Imα[u]| ≤ aεα0[u] + b‖u‖2H . (3)
Далi, приймаючи до уваги, що 1−aε > 1/2 при 0 < ε ≤ (2a+1)−1,
отримуємо
Reα[u] = α0[u] + Reβ[u] > α0[u]− |Reβ[u]|
> α0[u]− aεα0[u]− b‖u‖2H
= (1− aε)α0[u]− b‖u‖2H >
1
2
α0[u]− b‖u‖2H ,
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 299
тобто
Reα[u] >
1
2
α0[u]− b‖u‖2H .
З останньої нерiвностi, враховуючи, що 2aε < 1, отримуємо
2aεReα[u] > aεα0[u]− 2aε · b‖u‖2H > aεα0[u]− b‖u‖2H ,
i
aεα0[u] 6 2aεReα[u] + b‖u‖2H .
Комбiнуючи (3) з останньою оцiнкою, отримуємо потрiбну оцiн-
ку (2). Лему доведено.
3. Доведення теореми 1
Розглянемо в гiльбертовому просторi L2(T) пiвторалiнiйну фор-
му
τ2s[u, v] := 〈D2su, v〉L2(T), Dom(τ2s) := Hs(T).
Форма τ2s є щiльно визначена, замкнена та додатна в просторi
L2(T). 2-Перiодична узагальнена функцiя V ∈ H−s(T) породжує
пiвторалiнiйну форму
tV [u, v] := 〈V u, v〉L2(T), Dom(tV ) := Hs(T).
Приймаючи до уваги лему 5, застосовуючи узагальнену нерiв-
нiсть Шварца–Кошi–Буняковського, отримуємо
|tV [u, v]| =
∣∣〈V u, v〉L2(T)
∣∣
6 ‖V u‖H−s(T)‖v‖Hs(T) 6 Cs‖V ‖H−s(T)‖u‖Hs(T)‖v‖Hs(T).
Тобто форма tV визначена коректно в просторi L2(T).
Далi, розглянемо суму
t[u, v] := τ2s[u, v] + tV [u, v], Dom(t) := Hs(T).
300 В. М. Молибога
Лема 7. Пiвторалiнiйна форма tV є τ2s-обмеженою з τ2s-
межею, рiвною 0. Для довiльного ε ∈ (0, 1] має мiсце нерiвнiсть:
|tV [u]| 6 asετ2s[u] +
(
cs‖V0‖Hs(T)+as
)
‖u‖2L2(T),
де V0 визначається з розкладу
V = V0 + Vε, V0 ∈ Hs(T), Vε ∈ H−s(T), (4)
‖Vε‖H−s(T)6 ε, u ∈ Hs(T), (5)
а константи as, cs > 0 визначаються з леми 5:
‖V0u‖L2(T)6 cs‖V0‖Hs(T)‖u‖L2(T), (6)
‖Vεu‖H−s(T)6 as‖Vε‖H−s(T)‖u‖Hs(T). (7)
Доведення. Для довiльного заданого ε ∈ (0, 1] має мiсце роз-
клад (4)–(5). Беручи до уваги (6)–(7), а також той факт, що
‖u‖2Hs(T)6 ‖u‖
2
L2(T)+τ2s[u], (8)
отримуємо
|tV [u]| 6
∣∣〈V0u, u〉L2(T)
∣∣+
∣∣〈Vεu, u〉L2(T)
∣∣
6 cs‖V0‖Hs(T)‖u‖2L2(T)+as‖Vε‖H−s(T)‖u‖2Hs(T)
6 asετ2s[u] +
(
cs‖V0‖Hs(T)+asε
)
‖u‖2L2(T)
6 asετ2s[u] +
(
cs‖V0‖Hs(T)+as
)
‖u‖2L2(T).
Лему доведено.
З леми 7 випливає, що форма t:
t[u, v] = 〈D2su, v〉L2(T) + 〈V u, v〉L2(T), Dom(t) = Hs(T),
є щiльно визначеною, замкненою i секторною [11, теорема
VI.1.33]. Згiдно з першою теоремою про представлення [11,
Теорема VI.2.1] з пiвторалiнiйною формою t асоцiйований m-
секторний оператор S ≡ S(V ) з такими властивостями:
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 301
i) Dom(S) ⊂ Dom(t) i
t[u, v] = (Su, v)L2(T) ∀u ∈ Dom(S), ∀v ∈ Dom(t);
ii) Dom(S) є ядром форми t (замикання форми, визначеної на
Dom(S), є форма t);
iii) якщо u ∈ Dom(t), ω ∈ L2(T) i рiвнiсть
t[u, v] = (ω, v)L2(T)
виконується для всiх v з ядра форми t, то u ∈ Dom(S) i
Su = ω.
Оператор S визначається умовою i) однозначно.
Введемо позначення
M :=
{
u ∈ Hs(T)
∣∣D2su+ V u ∈ L2(T)
}
.
Нехай ∈M, тодi
t[u, v] = 〈D2su, v〉L2(T) + 〈V u, v〉L2(T) = 〈D2su+ V u, v〉L2(T)
=
(
D2su+ V u, v
)
L2(T) ∀v ∈ C∞2 (T),
i згiдно з властивiстю iii) першої теореми про представлення
u ∈ Dom(S) i Su = D2su+ V u, тобтоM⊂ Dom(S).
Нехай тепер u ∈ Dom(S) ⊂ Dom(t) = Hs(T). Тодi
t[u, v] = 〈D2su+ V u, v〉L2(T) = (Su, v)L2(T)
= 〈Su, v〉L2(T) ∀v ∈ C∞2 (T),
звiдки отримуємо, що Su = D2su+ V u. Отже Dom(S) ⊂M.
Таким чином, ми довели:
Dom(S) =
{
u ∈ Hs(T)
∣∣D2su+ V u ∈ L2(T)
}
,
Su = D2su+ V u, u ∈ Dom(S),
що й завершує доведення теореми.
Теорему 1 доведено. 2
302 В. М. Молибога
4. Доведення теорем 2 та 3
Нехай t i tn пiвторалiнiйнi форми, яким згiдно з першою теоре-
мою про представлення вiдповiдають оператори S(V ) i S(Vn):
t[u, v] = 〈D2su, v〉L2(T) + 〈V u, v〉L2(T), Dom(t) = Hs(T),
tn[u, v] = 〈D2su, v〉L2(T) + 〈Vnu, v〉L2(T), Dom(tn) = Hs(T).
Тодi, враховуючи (8), маємо
|t[u]− tn[u]| =
∣∣〈(V − Vn)u, u〉L2(T)
∣∣ 6 as‖V − Vn‖H−s(T)‖u‖2Hs(T)
6 as‖V − Vn‖H−s(T)
(
‖u‖2L2(T)+τ2s[u]
)
, (9)
де константа as > 0 визначається з леми 5. Згiдно з лемою 7
|tV [u, v]| 6 asτ2s[u] + bs‖u‖2L2(T),
Оскiльки
Ret[u] = τ2s[u] + Re〈V u, u〉L2(T),
тому ∣∣Re〈V u, u〉L2(T)
∣∣ 6 asτ2s[u] + bs‖u‖2L2(T),
i
Re〈V u, u〉L2(T) + asτ2s[u] + bs‖u‖2L2(T)> 0. (10)
Пiдставляючи (10) в (9), отримуємо
|t[u]− tn[u]| 6 as‖V − Vn‖H−s(T)
·
(
‖u‖2L2(T)+τ2s[u] + Re〈V u, u〉L2(T) + asτ2s[u] + bs‖u‖2L2(T)
)
6 as‖V − Vn‖H−s(T)
(
(1 + bs)‖u‖2L2(T)+(1 + as)Ret[u]
)
,
i остаточно
|t[u]− tn[u]| 6 αn‖u‖2L2(T)+βnRet[u],
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 303
де
αn = as(1 + bs)‖V −Vn‖H−s(T), βn = as(1 +as)‖V −Vn‖H−s(T).
Оскiльки αn, βn → 0 при n→∞, для завершення теореми зали-
шається скористатися [11, теорема VI.3.6].
Теорему 2 доведено.
Теорема 3 випливає з теореми 2 та того факту, що ‖Vn →
V ‖H−s(T) при n→∞.
Теорему 3 доведено. 2
5. Доведення теореми 4
(I) Нехай, як i вище,
t[u, v] = τ2s[u, v] + tV [u, v], Dom(t) = Hs(T).
Згiдно з лемою 7 для довiльного ε ∈ (0, 1] виконується оцiнка
|tV [u, v]| 6 asετ2s[u] + bs,ε‖u‖2L2(T),
де bs,ε = cs‖V0‖L2(T) + as. Тодi, застосовуючи лему 6, отримуємо
|Im t[u]| ≤ 2asεRe t[u] + 2bs,ε‖u‖2L(T), 0 < ε ≤ (2as + 1)−1.
З останньої оцiнки, оскiльки
t[u] = (Su, u)L2(T) , u ∈ Dom(S),
отримуємо необхiдний результат∣∣∣arg ((S(V ) + bs,δId)u, u)L2(T)
∣∣∣ ≤ δ, δ :=
ε
2as
.
Властивiсть (I) доведено.
(II) Якщо 2-перiодична узагальнена функцiя V дiйснозначна,
то
V̂ (k) = V̂ (−k), k ∈ Z+,
304 В. М. Молибога
i породжена V пiвторалiнiйна форма tV є симетричною. Дiйсно,
tV [u, v] = 〈V u, v〉L2(T) =
∑
k∈Z
∑
j∈Z
V̂ (k − j)û(j)v̂(k)
=
∑
j∈Z
û(j)
∑
k∈Z
V̂ (j − k)v̂(k) = 〈u, V v〉L2(T)
= 〈V v, u〉L2(T) = tV [v, u].
Тому симетричною є i форма
t[u, v] = 〈D2su, v〉L2(T) + 〈V u, v〉L2(T), Dom(t) = Hs(T).
Тодi, згiдно з [11, теорема VI.2.7], асоцiйований з формою t опе-
ратор S(V ) є самоспряженим.
Нехай навпаки — оператор S(V ) є самоспряженим. Припусти-
мо, що функцiя V не є дiйснозначною. Тодi форма t не симетри-
чна, а отже асоцiйований оператор S(V ) не може бути самоспря-
женим, що протирiчить умовi. Це доводить хибнiсть припущен-
ня. Дiйснозначнiсть V доведено.
Властивiсть (II) доведено.
(III) З компактностi резольвенти незбуреного оператора D2s,
враховуючи лему 7 та [11, Теорема VI.3.4], випливає компа-
ктнiсть резольвенти збуреного оператора S(V ), що й означає дис-
кретнiсть спектру оператора S(V ).
Властивiсть (III) доведено.
Теорему 4 доведено. 2
Лiтература
[1] Albeverio S., Gestezy F., Hoegh Krohn R., Holden H. Solvable
models in quantum mechanics. Second edition. With an appendix
by Pavel Exner. – Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. – 2005.
– xiv+488 p.
[2] Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential
operators. Solvable Schrödinger type operators. – Cambridge: London
Сингулярнi збурення ... операторiв на колi... 305
Mathematical Society Lecture Note Series, 271, Cambridge Universi-
ty Press. – 2000. – xiv+429 p.
[3] Badanin A., Korotyaev E. Even order periodic operators on the real
line // Int. Math. Res. Not. IMRN. – 2012. – No 5. – P. 1143–1194.
[4] Badanin A., Korotyaev E. Trace formula for fourth order operators
on the circle // Dyn. Partial Differ. Equ. – 2013. – 10, No 4. – P. 343–
352.
[5] Badanin A., Korotyaev E. Sharp eigenvalue asymptotics for fourth
order operators on the circle // J. Math. Anal. Appl. – 2014. – 417,
No 2. – P. 804–818.
[6] Berezanskii Yu. M. Expansions in eigenfunctions of self-adjoint
operators. – Providence, RI: AMS, 1968. – ix+809 p.
[7] Djakov P., Mityagin B. Spectral gaps of Schrödinger operators with
periodic singular potentials // Dynamics of PDE. – 2009. – 6, No 2,
P. 95–165.
[8] Dunford N., Schwartz J. Linear operators. Part II. Spectral theory.
Self adjoint operators in Hilbert space. – New-York: Interscience, –
1963. – P. 859–1923.
[9] Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for
operator differential equations. – Dordrecht, etc.: Kluwer APG, 1991.
– xii+347 p.
[10] Hryniv R., Mykytyuk Ya. Schrödinger operators with periodic singular
potentials // Methods Funct. Anal. Topology. – 2001. – 7, No 4. –
P. 31–42.
[11] Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Berlin, etc.:
Springer–Verlag, 1995. – xxii+619 p.
[12] Korotyaev E. Characterization of the spectrum of Schrödinger
operators with periodic distributions // Int. Math. Res. Not. IMRN. –
2003. – 37, No 2. – P. 2019–2031.
[13] Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons
in crystal lattices // Proc. Roy. Soc. (London) A. – 1931. – 130,
No 814. – P. 499–513.
306 В. М. Молибога
[14] Mikhailets V., Molyboga V. Singularly perturbed periodic and semi-
periodic differential operators // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6.
– С. 785–797.
[15] Mikhailets V., Molyboga V. On the spectrum of singular perturbations
of operators on the circle // Mathematical Notes. – 2012. – 91, No 4.
– P. 588–591.
[16] Mikhailets V., Molyboga V. Spectral gaps of the Hill-Schrödinger
operators with distributiional potentials // Methods Funct. Anal.
Topology. – 2014. – 20, No 4. – P. 321–327.
[17] Möhr C. Schrödinger operators with singular potentials on the circle:
spectral analysis and aplications // Thesis at the University of Zürich.
– 2001. – 134 p.
[18] Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. I.
Functional Analysis. Second Edition. – New York, etc.: Academic
Press Inc., 1980. – xv+400 p.
[19] Schmüdgen K. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. –
Dordrecht: Springer, 2012. – xx+432 p.
[20] Tkachenko V. Eigenfunction expansions associated with one-
dimensional periodic differential operators of order 2n // Functional
Analysis and Its Applications. – 2007. – 41, No 1. – P. 54–72.
[21] Михайлець В. А., Молибога В. М., Спектральнi задачi на класах
перiодичних узагальнених функцiй. – Київ, 2004. – 46 с. – (Препр.
/ НАН України. Iн-т математики; 2014.– 10).
[22] Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физи-
ке. – Москва: Наука. – 1976. – 280 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-200 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fb/48c3531751e7be486782dd6961a6f0fb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2002018-01-23T01:37:46Z Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle Сингулярні збурення дробово-диференціальних операторів на колі Molyboga, V. M. Молибога, В. М. In the article we study strongly singular perturbations, in general non-symmetric, of the non-negative fractionally-differential operators $\mathbb{D}^{2s}$ of order $s\in (1/2,\infty)$ on the circle, which coincides up to multiplier with derivative of H. Weyl. We define the perturbed operators, investigate their common spectral properties. В роботі вивчаються сильно сингулярні збурення, в загальному випадку несиметричні, невід’ємного дробово-диференціального оператора $\mathbb{D}^{2s}$ порядку $s\in (1/2,\infty)$ на колі, який збігається з точністю до множника з похідною Г. Вейля. Ми визначаємо збурені оператори, досліджуємо їх загальні спектральні властивості. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/200 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 291-306 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 291-306 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 291-306 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/200/177 Авторське право (c) 2015 В. М. Молибога |
| spellingShingle | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title | Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title_alt | Сингулярні збурення дробово-диференціальних операторів на колі |
| title_full | Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title_fullStr | Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title_full_unstemmed | Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title_short | Singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| title_sort | singular perturbations of fractionally-differential operators on the circle |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/200 |
| work_keys_str_mv | AT molybogavm singularperturbationsoffractionallydifferentialoperatorsonthecircle AT molibogavm singularperturbationsoffractionallydifferentialoperatorsonthecircle AT molybogavm singulârnízburennâdrobovodiferencíalʹnihoperatorívnakolí AT molibogavm singulârnízburennâdrobovodiferencíalʹnihoperatorívnakolí |