Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself
The invariant measure, which is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure by the power and piecewise linear mappings of the unit segment on itself.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/201 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552722305122304 |
|---|---|
| author | Nizhnik, I. L. Nizhnik, L. P. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. |
| author_facet | Nizhnik, I. L. Nizhnik, L. P. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "И. Л. Нижник",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "Л. П. Нижник",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Nizhnik, I. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-30T00:41:46Z |
| description | The invariant measure, which is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure by the power and piecewise linear mappings of the unit segment on itself. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 307–314
УДК 517.9
И. Л. Нижник, Л. П. Нижник
(Институт математики НАН Украины, Киев)
Инвариантные меры при
отображении отрезка на себя
irene@imath.kiev.ua / nizhnik@imath.kiev.ua
The invariant measure, which is absolutely continuous with respect
to the Lebesgue measure by the power and piecewise linear mappings
of the unit segment on itself.
Построена инвариантная мера, абсолютно непрерывная по отно-
шению к мере Лебега при степенных и кусочно–линейных отоб-
ражениях единичного отрезка на себя.
1. Введение
Если f отображение топологического пространства X с бореле-
вой мерой µ в себя, то определено отображение меры µ в меру
µ1 таким образом, что для любого борелевского множества A
выполняется равенство µ1(A) = µ(f−1(A)), где f−1(A) полный
прообраз множества A при отображении f . Оператор L, отвеча-
ющий отображению f и переводящий меру µ в меру µ1, называ-
ется оператором Перрона–Фробениуса [1]. В случае, если µ = µ1,
говорят, что мера µ f−инвариантная. Хорошо известна теоре-
ма Крылова–Боголюбова [2, 3] о существовании инвариантных
вероятностных мер при непрерывном отображении компакта X
c© И. Л. Нижник, Л. П. Нижник, 2015
308 И. Л. Нижник, Л. П. Нижник
в себя. Если существует неподвижная точка x0 для отображе-
ния f, т.е. f(x0) = x0, то атомарная мера µx0 с массой 1 бу-
дет f−инвариантной вероятностной мерой. В случае, когда про-
странство X являет собой отрезок Ω = [0, 1], а f−непрерывные
отображения отрезка Ω в себя, хорошо известно, что отображе-
ние f имеет по меньшей мере одну неподвижную точку. Если
функция f – тождественная константа C, то точка x0 = C оче-
видно неподвижная, а атомарная мера µx0 единственная веро-
ятностная инвариантная мера. Если функция f(x) не является
непрерывной, а, например, является кусочно–монотонной функ-
цией, то инвариантная мера может существовать и даже быть
абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега. В данной
заметке мы рассматриваем случай, когда функция f(x) – степен-
ная, f(x) = xα, либо кусочно–линейная. Отметим, что возникаю-
щие инвариантные меры важны при изучении детерминистской
диффузии [4, 5, 6].
2. Степенные отображения
Сформулируем без доказательств, поскольку они почти очевид-
ны, ряд утверждений об инвариантной мере для степенных отоб-
ражений.
Предложение 1. Степенная функция fα(x) = xα, α > 0 отоб-
ражает отрезок [0, 1] на себя. При α 6= 1 инвариантными ве-
роятностными мерами будут δ0 и δ1 – единичные атомарные
меры в точках x = 0, x = 1. Их комбинация εδ0 + (1 − ε)δ1,
0 ≤ ε ≤ 1 является общим видом инвариантной вероятност-
ной меры.
Предложение 2. Множество степенных отображений
{fα}α>0 отрезка [0, 1] на себя образует группу преобразований
отрезка [0, 1] в себя, изоморфную группе положительных чисел
относительно операции умножения:
(fα ◦ fβ)(x) = fα(fβ(x)) = fαβ(x).
Инвариантные меры при отображении отрезка на себя 309
Предложение 3. На борелевских подмножествах отрезка
[0, 1] определена мера (неограниченная) равенством:
µ([a, b]) = ln
ln a
ln b
, 0 < a ≤ b < 1.
Предложение 4. Мера из предложения 3 является инвари-
антной относительно всех преобразований fα, т.е. является
неограниченной мерой Хаара группы из предложения 2.
Замечание 1. Мера µ из предложения 3 имеет плотность p(x) =
1
x| lnx| с неинтегрируемыми особенностями на концах отрезка
[0, 1].
3. Кусочно–линейные функции
Пусть точки 0 = x0 < x1 < ... < xn = 1 делят единичный отрезок
Ω на n частей. Открытые подынтервалы (xk−1, xk) будем обозна-
чать через Ωk и называть подынтервалами, отвечающими разби-
ению отрезка Ω точками ~x = (x0, ..., xn). Если A – подмножество
отрезка Ω, а система m подынтервалов {Ωkl}ml=1 – минимальна и
такова, что множество A принадлежит замыканию объединения
m⋃
l=1
Ωkl , то будем говорить, что множество A лежит на m частях
отрезка Ω с номерами k1, ...km.
Определение 1. Будем говорить, что кусочно–непрерывная
функция f на отрезке Ω = [0, 1] согласована с разбиением
отрезка Ω точками ~x = (x0, ..., xn), если
1. на каждом из подынтервалов Ωk = (xk−1, xk) функция f
непрерывна и существуют предельные значения f(xk−1+0)
и f(xk − 0);
2. прообразы f−1({x}), x ∈ Ωk лежат на одних и тех же ча-
стях Ω для всех x ∈ Ωk.
310 И. Л. Нижник, Л. П. Нижник
Теорема 5. Кусочно–линейная функция f , отличная от посто-
янной на любом подынтервале отрезка Ω = [0, 1], согласована с
разбиением отрезка Ω точками ~x = (x0, ..., xn), если функция f
отображает множества {xk}nk=0 в себя и множество {xk}nk=0
содержит:
1. точки 0 и 1;
2. все точки {x̃k}pk=0, где функции f(x) либо f ′(x) терпят
скачок;
3. все предельные значения f(x̃k ± 0).
Доказательство. Интервалы, на которых кусочно–линейная
функция f(x) линейна, содержат интервалы Ωk, отвечающие
разбиению ~x. Поэтому на всех интервалах Ωk функция f(x)
непрерывна и существуют ее предельные значения на концах
интервалов Ωk. Свойство 2 определения 1 следует из локальной
монотонности кусочно–линейных функций и свойства функции
f(x) отображать множество {xk} в себя. �
Определение 1 и теорема 5 важны при решении вопроса о су-
ществовании абсолютно непрерывной относительно меры Лебе-
га, инвариантной меры для кусочно-линейной функции f, отоб-
ражающей единичный отрезок на себя. Если исходная мера µ
имеет плотность ρ0, а мера µ1 = Lµ имеет плотность ρ1, то опе-
ратор Перрона–Фробениуса является интегральным [1] и перево-
дит плотность ρ0 в ρ1 :
Инвариантные меры при отображении отрезка на себя 311
ρ1(x) = Lρ0(x) =
∫
δ(x− f(y))ρ0(y) dy =
=
∑
yk∈f−1({x})
1
|f ′(yk)|
ρ0(yk).
(1)
Теорема 6. Для того, чтобы оператор Перрона–Фробениуса,
отвечающий кусочно–линейной функции f с условием f ′(x) 6= 0
на отрезке Ω = [0, 1] переводил произвольную меру с постоянны-
ми плотностями в меру такого же вида на системе интерва-
лов {Ωk}nk=1, отвечающих согласованному с f делению отрезка
Ω на подынтервалы {Ωk}nk=1, необходимо и достаточно, что-
бы выполнялись условия теоремы 5. Если ρ0 = col (ρ10, ..., ρn0 ) и
ρ1 = col (ρ11, ..., ρn1 ) – векторы, отвечающие плотностям ρk0 ис-
ходной меры µ на интервалах Ωk и ρk1 плотности меры µ1 = Lµ
на интервалах Ωk, то оператор Перрона–Фробениуса предста-
вим в виде матрицы L
ρ1 = Lρ0. (2)
Матрица L = |lm,n| имеет следующий вид. В строке с номером
m отличные от нуля лишь элементы с номерами частей отрез-
ка Ω, на которых лежат прообразы f−1(Ωk). Сами значения со-
ответствующих элементов lm,n — это величины |f ′(x)|−1, где
x ∈ Ωn.
Доказательство. Доказательство очевидно, поскольку форму-
ла (2) следует из формулы (1). �
Сформулируем теперь основной результат:
Теорема 7. Для того, чтобы кусочно–линейная функция f,
определенная на отрезке Ω = [0, 1], имела инвариантную ме-
ру с постоянными плотностями на интервалах Ωk, которые
отвечают разбиению отрезка Ω точками ~x = (x0, ..., xn), необ-
ходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла услови-
ям теоремы 5, матричный оператор Перрона-Фробениуса L из
312 И. Л. Нижник, Л. П. Нижник
теоремы 6 имел собственное значение 1, а отвечающий этому
собственному значению собственный вектор имел все неотри-
цательные компоненты, которые и являются плотностями на
соответствующих интервалах инвариантной меры.
Доказательство. В случае ρ1 = ρ0 из формулы (2) следует,
что 1 является собственным значением матрицы L оператора
Перрона-Фробениуса, а компоненты этого собственного векто-
ра являются плотностями инвариантной меры. Поскольку соб-
ственный вектор определяется с точностью до константы, то она
определяется из условия µ(Ω) = 1. �
4. Примеры
Пример 1. Пусть f(x) – линейная функция на каждом из про-
межутков [0, ξ], (ξ, 1− ξ), [1− ξ, 1] и принимает на концах этих
промежутков значения f(0) = 0, f(ξ) = 1; f(ξ + 0) = 1 − η,
f(1 − ξ − 0) = η; f(1 − ξ) = 0, f(1) = 1. Тогда X =
{0, η, ξ, 1−ξ, 1−η, 1}. Если η = ξ
1+ξ , то f(X) = {0, 1−η, 1, 0, η, 1} ⊂
X. Плотности p1, p2, p3, p4, p5 – меры µ на отрезках
[0, η], [η, ξ], [ξ, 1−ξ], [1−ξ, 1−η], [1−η, 1] удовлетворяют линейной
системе уравнений
p1 = ξ(p1 + p4),
p2 = p3 = p4 = ξ(p1 + p5) + |k|−1p3,
p5 = ξ(p2 + p5),
где |k| =
1− 2η
1− 2ξ
. Кроме того, выполняется условие нормировки
µ([0, 1]) = 1 :
p1η + p2(ξ − η) + p3(1− 2ξ) + p4(1− ξ − η) + p5η = 1.
Решение приведенной системы уравнений имеет следующие зна-
чения: p1 = p5 =
η
6η2 − 4η + 1
, p2 = p3 = p4 =
1− 2η
η
p1.
Инвариантные меры при отображении отрезка на себя 313
Рис. 1. График функции f(x) из примера 1.
Пример 2. Пусть f(x) – линейная функция на каждом из про-
межутков [0, ξ], (ξ, 2ξ], (2ξ, 3ξ], (3ξ, 1] с постоянным коэффи-
циентом наклона f ′(x) = k = 1
ξ . В качестве X берем множе-
ство x̂0 = 0, x̂1 = k(η − 2ξ), x̂2 = ξ, x̂3 = 2ξ, x̂4 = η, x̂5 =
3ξ, x̂6 = 1, где η = f(1) = k − 3. Если угловой коэффициент
k удовлетворяет уравнению k3 − 3k2 − 3k + 3 = 0, то множе-
ство X = {x̂k}6k=0 обладает свойством f(X) ⊂ X, поскольку
f(X) = {0, η, 1, 1, x̂1, 1, η}. Пусть p1, ..., p6 плотности мер на от-
резках [0, x̂1], [x̂1, x̂2], ..., [x̂5, x̂6]. Тогда
p1 = 1
k (p1 + p3 + p4 + p6),
p2 = p3 = p4 = 1
k (p1 + p3 + p5 + p6),
p5 = p6 = 1
k (p2 + p3 + p5).
Кроме этого, в силу нормировки меры µ([0, 1]) = 1 имеем
равенство
6∑
k=1
pk(x̂k − x̂k−1) = 1. Из приведенной линейной
системы получаем явный вид плотностей pk :
314 И. Л. Нижник, Л. П. Нижник
p1 =
k
k − 1
p6, p2 = p3 = p4 =
k − 1
2
p6, p5 = p6 =
1
3(4− k)
.
Численное значение k, как решение уравнения k3−3k2−3k+
3 = 0, имеет вид k ≈ 3.6017.
ξ = 0.2776, η = 0.6017, x̂1 = 0.167,
p1 = 1.1585, p2 = p3 = p4 = 1.0886, p5 = p6 = 0.8368.
Список литературы
[1] Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G.,
Whelan N., Wirzba A. Classical and Quantum Chaos. – 2004. –
http://www.nbi.dk/ChaosBook/
[2] Hasselblatt B., Katok A. A First Course in Dynamics with a Panorama
of Recent Developments. – Cambridge: Cambridge University Press,
2003.
[3] Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of
Dynamical Systems. – Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
[4] Klages R. Microscopic Chaos, Fractals and Transport in Nonequilib-
rium Statistical Mechanics. – World Scientific, 2007.
[5] Anomalous Transport. / R. Klages, G. Radons, I. Sokolov (Eds) –
Wiley-VCH, 2008.
[6] Nizhnik L., Nizhnik I. Deterministic diffusion http //
arxiv.org/pdf/1501.00674.pdf[math.DS].
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-201 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/02/f90dddcf56fe54b1267f60f477be7902.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2012018-01-30T00:41:46Z Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself Инвариантные меры при отображении отрезка на себя Nizhnik, I. L. Nizhnik, L. P. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. The invariant measure, which is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure by the power and piecewise linear mappings of the unit segment on itself. Построена инвариантная мера, абсолютно непрерывная по отношению к мере Лебега при степенных и кусочно--линейных отображениях единичного отрезка на себя. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/201 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 307-314 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 307-314 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 307-314 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/201/178 Авторське право (c) 2015 И. Л. Нижник, Л. П. Нижник |
| spellingShingle | Nizhnik, I. L. Nizhnik, L. P. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. Нижник, И. Л. Нижник, Л. П. Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title | Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title_alt | Инвариантные меры при отображении отрезка на себя |
| title_full | Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title_fullStr | Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title_full_unstemmed | Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title_short | Invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| title_sort | invariant measures with respect to the mapping of the segment on itself |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/201 |
| work_keys_str_mv | AT nizhnikil invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nizhniklp invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nižnikil invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nižniklp invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nižnikil invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nižniklp invariantmeasureswithrespecttothemappingofthesegmentonitself AT nizhnikil invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ AT nizhniklp invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ AT nižnikil invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ AT nižniklp invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ AT nižnikil invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ AT nižniklp invariantnyemerypriotobraženiiotrezkanasebâ |