Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems
We investigate a family of parameter-dependent multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of order $ r\geq 2$, with the coefficients and right sides belonging to the spaces $(C^{(n-1)})^{m\times m} $ and $(C^{(n-1)})^{m}$ respectively. We find new suffic...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/202 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552722823118848 |
|---|---|
| author | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. |
| author_facet | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Б. Пелехата",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Pelekhata, O. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T10:26:06Z |
| description | We investigate a family of parameter-dependent multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of order $ r\geq 2$, with the coefficients and right sides belonging to the spaces $(C^{(n-1)})^{m\times m} $ and $(C^{(n-1)})^{m}$ respectively. We find new sufficient conditions under which Green's matrices of these problems are continuous with respect to the parameter. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 315–326
УДК 517.927.21
О. Б. Пелехата
(Нацiональний технiчний унiверситет України ”КПI”, Київ)
Неперервнiсть за параметром
матриць Грiна багатоточкових
крайових задач
pelehataolia@yandex.ru
We investigate a family of parameter-dependent multipoint
boundary-value problems for systems of linear ordinary differenti-
al equations of order r ≥ 2, with the coefficients and right sides
belonging to the spaces (C(n−1))m×m and (C(n−1))m respectively.
We find new sufficient conditions under which Green’s matrices of
these problems are continuous with respect to the parameter.
Дослiджена залежна вiд параметра сiм’я багатоточкових крайо-
вих задач для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiв-
нянь порядку r ≥ 2, коефiцiєнти та правi частини яких належать
просторам (C(n−1))m×m та (C(n−1))m вiдповiдно. Знайдено новi
достатнi умови неперервностi за параметром матриць Грiна та-
ких задач.
c© O. Б. Пелехата, 2015
316 О. Б. Пелехата
1. Вступ
Багатоточковi крайовi задачi є класичним об’єктом дослiдження
теорiї лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь [1-10]. Непе-
рервнiсть за параметром їхнiх розв’язкiв у рiвномiрнiй нормi до-
слiджувалась в роботах [8-11]. Одержанi там результати носять
завершений характер. У випадку, коли коефiцiєнти диференцi-
альних рiвнянь, крайовi оператори та правi частини залежать
вiд параметра, матрицi Грiна задачi також залежать вiд ньо-
го. Виникає питання неперервностi за параметром матриць Грi-
на вiдповiдних задач. У [9] знайдено умови рiвномiрної збiжно-
стi матриць Грiна для систем диференцiальних рiвнянь першого
порядку, коли коефiцiєнти та правi частини рiвнянь сумовнi на
[a, b]. Випадок r ≥ 2 дослiджений в [11]. У [12] також встановлено
умови неперервностi функцiй Грiна за параметром багатоточко-
вих крайових задач для скалярних рiвнянь порядку r ≥ 2.
Мета цiєї роботи — узагальнити та уточнити результати ро-
бiт [9, 12]. Ми будемо дослiджувати неперервнiсть за параме-
тром матриць Грiна багатоточкових крайових задач для систем
диференцiальних рiвнянь порядку r > 2, коли коефiцiєнти та
правi частини є n разiв неперервно диференцiйовними на вiд-
рiзку [a, b], i розглядатимемо збiжнiсть за нормою вiдповiдного
простору. Умови, накладенi нами на коефiцiєнти дещо сильнiшi,
нiж у [9],тому наш результат є уточненням теореми, отриманої
В. А. Михайлецем та Н. В. Ревою. Разом з тим, вiн є узагальне-
нням твердження, доведеного в [12] на випадок систем.
Робота складається з чотирьох роздiлiв. У другому роздiлi
сформульовано постановку задачi та основний результат робо-
ти, у третьому – доведено твердження, сформульоване в п. 2.
Заключний четвертий роздiл мiстить висновки до роботи.
Неперервнiсть за параметром матриць Грiна... 317
2. Постановка задачi та основний результат
Нехай числа k,m, r, n ∈ N, [a, b]− скiнченний iнтервал, a = t1 <
t2 < . . . < tk = b — його скiнченне розбиття. Розглянемо параме-
тризовану числом ε ∈ [0, ε0] сiм’ю напiводнорiдних багатоточко-
вих крайових задач для векторного лiнiйного диференцiального
рiвняння порядку r > 2:
y(r)(t; ε)+Ar−1(t; ε)y
(r−1)(t; ε)+ . . . ..+A0(t; ε)y(t; ε) = f(t; ε) (1)
k∑
l=1
r∑
j=1
βj,i(l; ε)y
(j−1)(tl; ε) = 0, i ∈ 1, k. (2)
де m × m-матрицi-функцiї Aj−1(·; ε) ∈ (C(n−1))m×m i вектор-
функцiї f(·; ε) ∈ (C(n−1))m, матрицi βj,i(l; ε) ∈ Cm×m, l ∈ 1, k,
i, j ∈ 1, r.
Розв’язком задачi (1) – (2) є функцiя y(·), що має абсолютно
неперервну похiдну порядку n + r − 1 i задовольняє диференцi-
альне рiвняння (1) майже скрiзь та крайовi умови (2).
Для коректностi розглядуваної задачi будемо вважати надалi,
що виконується
Припущення I. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t; 0) +Aj−1(t; 0)y
(r−1)(t; 0) + ...+A0(t; 0)y(t; 0) = 0, (3)
k∑
l=1
r∑
j=1
βj,i(l; 0)y
(j−1)(tl; 0) = 0, i ∈ 1, k (4)
має лише тривiальний розв’язок.
Якщо виконане припущення I, то розв’язок розглядуваної за-
дачi допускає iнтегральне представлення вигляду
y(t; ε) =
∫ b
a
G(t, s; ε)f(s; ε)ds, (5)
318 О. Б. Пелехата
де G(t, s; ε) — матриця Грiна вiдповiдної однорiдної крайової за-
дачi вигляду (1)-(2). Формула визначає матрицю Грiна неодно-
значно, а тому необхiдно серед усiх таких матриць видiлити одну,
яку будемо називати нормованою.
Для цього розглянемо поряд з багатоточковою крайовою за-
дачею (1)-(2) вiдповiдну багатоточкову крайову задачу першого
порядку.
ŷ′(t; ε) = Â(t; ε)ŷ(t; ε) + f̂(t; ε), t ∈ (a, b), (6)
k∑
l=1
B̂l(ε)ŷ(tl; ε) = 0. (7)
де квадратнi блочнi матрицi-функцiї
Â(·; ε) =
Om Im Om . . . Om
Om Om Im . . . Om
...
...
...
. . .
...
Om Om Om . . . Im
−A0(·; ε) −A1(·; ε) −A2(·; ε) . . . −Ar−1(·; ε)
(8)
∈ (C(n−1))p×p,
B̂l(ε) =
β1,1(l; ε) β1,2(l; ε) . . . β1,r(l; ε)
β2,1(l; ε) β2,2(l; ε) . . . β2,r(l; ε)
...
...
. . .
...
βr,1(l; ε) βr,2(l; ε) . . . βr,r(l; ε)
∈ Cp×p, (9)
вектор-функцiї
f̂(·; ε) = (0, 0, . . . , 0, f(·; ε)) ∈ (C(n−1))p (10)
Неперервнiсть за параметром матриць Грiна... 319
та
ŷ(t; ε) = (y(t; ε), y′(t; ε), . . . , y(r−1)(t; ε)). (11)
Як буде доведено далi, при кожному фiксованому ε однорiдна
крайова задача (1)-(2) еквiвалентна однорiднiй крайовiй задачi
вигляду (6)-(7) для системи p = rm диференцiальних рiвнянь
першого порядку.
Для цих систем нормованi матрицi Грiна уже визначенi. Ко-
жна з них є блочною матричною функцiєю розмiрностi r × r,
елементи якої є також матрицями-функцiями розмiрностim×m.
Щоб задача (6)-(7) мала змiст, надалi будемо вважати, що
однорiдна гранична крайова задача
ŷ′(t; 0) = Â(t; 0)ŷ(t; 0), (12)
k∑
l=1
B̂l(0)ŷ(tl; 0) = 0 (13)
має лише тривiальний розв’язок.
Розв’язок крайової задачi (6)-(7) можна представити у виглядi
ŷ′(t; ε) =
∫ b
a
Ĝ(t, s, ε)f̂(s, ε)ds, t ∈ (a, b),∀f̂ ∈ C(n−1) (14)
де G(t, s, ε)− матриця Грiна вiдповiдної однорiдної крайової за-
дачi вигляду (1)-(2).
Матриця Грiна у формулi (14) визначається неоднозначно. То-
му видiлимо одну, яку назвемо нормованою.
Введемо
Означення. Для задачi вигляду (6)-(7) нормованою матри-
320 О. Б. Пелехата
цею Грiна назвемо таку, яка представляється у виглядi
G(t, s; ε) =
−Y (t; ε)[B1(ε) +
k∑
l=2
Bl(ε)Y (tl; ε)]
−1Z(s; ε) =
:= Sε(t, s) +Xε(t, s), t 6 s,
Y (t; ε)Y −1(s; ε)−
−Y (t; ε)[B1(ε) +
k∑
l=2
Bl(ε)Y (tl; ε)]
−1Z(s; ε) =
:= Sε(t, s), s < t.
(15)
де
Z(S) :=
∑
l:tl≤s
BlY (tl)Y
−1(S),
а матриця-функцiя Y (·)− матрицант лiнiйного диференцiаль-
ного рiвняння
Y ′(t) = Â(t)Y (t), t0 ∈ (a, b) (16)
з початковою умовою у фiксованiй точцi
Y (t0) = Ip, t0 ∈ (a, b) (17)
Формула (15) визначає матрицю Грiна однозначно. З неї та-
кож слiдує, що матриця Грiна є розривною на вiдрiзках t =
tk, s ∈ (a, b), а тому ми будемо її дослiджувати на неперерв-
нiсть за параметром у нормах просторiв C(n) лише на смугах
(tl−1, tl)× (a, b).
Теорема 1. Нехай при ε → +0 та j ∈ 1, r для деякого n ∈ N
виконуються умови:
1) ‖Aj−1(·; ε)−Aj−1(·; 0)‖(n−1) → 0;
2) βj,i(l; ε)→ βj,i(l; 0), i ∈ 1, r, l ∈ 1, k;
тодi для достатньо малих значень ε iснують нормованi ма-
трицi Грiна G(t, s; ε) задач (1) – (2) i на смугах (tl−1, tl)× (a, b)
виконується граничне спiввiдношення
‖G(·, ·; ε)−G(·, ·; 0)‖(n) → 0, ε→ +0, (18)
Неперервнiсть за параметром матриць Грiна... 321
де ‖ · ‖(n)− норма у просторi C(n).
3. Доведення основного результату
Для доведення теореми 1 нам буде потрiбна
Лема 1. Багатоточкова крайова задача вигляду (1) – (2) еквi-
валентна багатоточковiй крайовiй задачi для системи p = rm
диференцiальних рiвнянь першого порядку вигляду (6)-(7), де
Â(·; ε), Bl(ε), f̂(t; ε), ŷ
′(t; ε) визначенi формулами (8)-(11).
Доведення. Поставимо у вiдповiднiсть рiвнянню (1) систему
рiвнянь першого порядку наступним чином
y(t) = ŷ1(t), y′(t) = ŷ′1(t) = ŷ2(t),
y′′(t) = ŷ′2(t) = ŷ3(t), . . . , y
(r−1)(t) = ŷ′(r−1)(t) = ŷr(t). (19)
Пiсля замiни отримаємо систему рiвнянь
y(t) = ŷ1(t),
ŷ′1(t) = ŷ2(t),
ŷ′2(t) = ŷ3(t),
. . .
ŷ′(r−1)(t) = ŷr(t),
ŷr(t) = −A0(t)ŷ1(t)−A1(t)ŷ2(t)− . . .−Ar−2(t)ŷ(r−1)(t)−
−Ar−1(t)ŷr(t) + f(t),
(20)
яка еквiвалентна рiвнянню (1).
Дiйсно, нехай функцiя y = φ(t) є розв’язком рiвняння (1). Тодi
ŷ1 = φ(t), ŷ2 = φ′(t), . . . , ŷr = φ(r−1)(t),
згiдно з (19), є розв’язком системи (20).
Нехай тепер навпаки:
ŷi = φi(t), i = 1, 2, . . . , r,
322 О. Б. Пелехата
є розв’язком системи (20). Тодi, згiдно з спiввiдношеннями (19),
y = φ1(ŷ)
буде розв’язком рiвняння (1), що й доводить еквiвалентнiсть.
Враховуючи рiвностi (8)-(11), систему (20) можна записати у
виглядi диференцiального рiвняння першого порядку (6). Cпи-
раючись на рiвностi (9), крайова умова перепишеться у вигля-
дi крайової умови (2). Отже, мiж розв’язками задачi (1), (2) та
(6), (7) iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть, а саме: кожному
розв’язку y(t; ε) рiвняння (1) вiдповiдає розв’язок ŷ(t; ε) рiвнян-
ня (6), i навпаки.
Лема доведена. �
Лема 2. Нехай виконується припущення J . Тодi iснує нормова-
на матриця Грiна G(t, s; ε) напiводнорiдної багатоточкової кра-
йової задачi вигляду (1) – (2), та при цьому
G(t, s; ε) = G1,r(t, s; ε),
де G1,r(t, s; ε) — вiдповiдний елемент матрицi Грiна
Ĝ(t, s; ε) = (Gj,i(t, s; ε))
r
j,i=1
напiводнорiдної багатоточкової крайової задачi вигляду (6) – (7).
Доведення. Враховуючи лему (1), умова iснування тривiально-
го розв’язку задачi (3), (4) рiвносильна тому, що однорiдна кра-
йова задача (12), (13) також буде мати лише тривiальний розв’я-
зок. А з цього випливає, що для багатоточкової крайової задачi
(6), (7) iснує матриця Грiна Ĝ(t, s; ε) = (Gj,i(t, s; ε))
r
j,i=1, за до-
помогою якої розв’язок напiводнорiдної багатоточкової крайової
задачi (6), (7) може бути представлений у виглядi
ŷ(t; ε) =
b∫
a
Ĝ(t, s; ε)f̂(s; ε)ds, t ∈ (a, b)
ε ∈ [0, ε0], f̂(·; ε) ∈ (C(n−1))p.
(21)
Неперервнiсть за параметром матриць Грiна... 323
Враховуючи (8) – (11), рiвнiсть (21) можна записати у виглядi
такої системи рiвнянь:
y(t; ε) =
b∫
a
G1,r(t, s; ε)f(s; ε)ds,
y′(t; ε) =
b∫
a
G2,r(t, s; ε)f(s; ε)ds,
. . . . . . . . . . . . . . . ,
y(r−2)(t; ε) =
b∫
a
Gr−1,r(t, s; ε)f(s; ε)ds,
y(r−1)(t; ε) =
b∫
a
Gr,r(t, s; ε)f(s; ε)ds,
(22)
де y(t; ε)— єдиний розв’язок напiводнорiдної багатоточкової кра-
йової задачi (1), (2).
Отже, врахувавши представлення (14) та систему (22), отри-
муємо, що
G(t, s; ε) = G1,r(t, s; ε).
Лема 2 доведена. �
Для нормованих матриць Грiна багатоточкових крайових за-
дач для системи диференцiальних рiвнянь першого порядку у
[13] доведена
Теорема 2. Нехай при ε→ +0 виконуються наступнi умови:
1) ‖Â(t; ε)− Â(t; 0)‖(n−1) → 0;
2) ‖Bl(ε)−Bl(0)‖ → 0, l = 1, k;
тодi для достатньо малих ε iснують нормованi матрицi Грiна
задач (6), (7), для яких на смугах (tl−1, tl)× (a, b) виконується
‖Ĝ(·, ·; ε)− Ĝ(·, ·; 0)‖(n) → 0, ε→ +0. (23)
Доведення. Згiдно з лемою 2, для доведення теореми 1 доста-
тньо показати, що при виконаннi її умов для достатньо малих
значень ε iснують матрицi Грiна Ĝ(t, s; ε) розглядуваних задач
324 О. Б. Пелехата
(6) – (7) i на смугах (tl−1, tl) × (a, b) виконується граничне спiв-
вiдношення (23).
З леми 1 про еквiвалентнiсть крайових задач випливає, що
умова iснування лише тривiального розв’язку для однорiдної
крайової задачi виду (3), (4) рiвносильна тому, що однорiдна кра-
йова задача (12), (13) для диференцiального рiвняння першого
порядку також має лише тривiальний розв’язок. Тодi з умов 1),
2) теореми 1 та з формул (8) – (11) отримуємо при ε→ 0+ вико-
нання таких спiввiдношень:
‖Â(·; ε)− Â(·; 0)‖(n−1) → 0,
‖Bl(ε)−Bl(0)‖ → 0.
Тодi, згiдно з теоремою 2 про неперервнiсть за параметром
матриць Грiна багатототочкових крайових задач для систем ди-
ференцiальних рiвнянь першого порядку, для достатньо малих
ε iснує нормована матриця Грiна задачi (6), (7) i на смугах
(tl−1, tl)× (a, b) виконується граничне спiввiдношення (23). Цим
теорема 1 доведена.
4. Висновки
У статтi дослiджена параметризована числом ε ∈ [0, ε0] сiм’я
багатоточкових крайових задач для векторних лiнiйних дифе-
ренцiальних рiвнянь порядку r ≥ 2, коефiцiєнти та правi части-
ни яких належать банаховим просторам (C(n))m×m та (C(n))m
вiдповiдно, на скiнченному iнтервалi [a, b]. Так як матриця Грi-
на є розривною на вiдрiзках t = tk, s ∈ (a, b), то дослiджена її
неперервнiсть за параметром лише на смугах (tl−1, tl) × (a, b) у
нормi простору (C(n))m. Встановлений результат є узагальнен-
ням твердження, одержаного в [13] для скалярних рiвнянь, та
уточненням для випадкiв, розглянутих в [9, 12].
Авторка вдячна В. А. Михайлецю за постановку задачi i ке-
рiвництво роботою.
Неперервнiсть за параметром матриць Грiна... 325
Лiтература
[1] Cole R. H. General boundary conditions for an ordinary linear di-
fferential system // Trans. Amer. Math. Soc. – 1964. – 111. – P.
521–550.
[2] Bryan R. N. A linear differential system with general linear boundary
conditions // J. Different. Equat. – 1969. – 5. – P. 38–48.
[3] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. – Москва: Наука, 1965. – 703 с.
[4] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Совр. пробл. мат. Новейшие дости-
жения. – Москва: ВИНИТИ, 1987. – 30. – С. 3–103.
[5] Левин А.Ю. Предельный переход для несингулярных систем X?
= An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
[6] Левин А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного диффе-
ренциального уравнения. I // Вестн. Ярослав. ун-та. – 1973. –
Вып. 5. – С. 105–132.
[7] Левин А.Ю. О многоточечной краевой задаче // Науч. докл.
высш. школы. – 1985. – № 5. – С. 34–37.
[8] Левин А.Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина
многоточечной краевой задачи // Докл. АН СССР. – 1961. – 136,
№ 5. – С. 1022–1025.
[9] Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру реше-
ний общих краевых задач / Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2008. – 5, № 1. – С. 227–239.
[10] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН
України. – Київ, 2009. – 148 с.
[11] Кодлюк Т. I., Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельные теоремы
для одномерных краевых задач // Укр. мат. журн. – 2013. – С.
70–81.
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Предельные теоремы для общих
одномерных краевых задач // Укр. мат. вiсн. – 2014. – 11. – С.
227–239.
326 О. Б. Пелехата
[13] Чеханова Г. О. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв однови-
мiрних крайових задач та їх похiдних: Дис. . . . канд. фiз.-мат.
наук / Iн-т математики НАН України. – Київ: 2014. – 117 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-202 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:57Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/de/56065b08319fb035b7f61f5567006ade.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2022018-01-29T10:26:06Z Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems Неперервність за параметром матриць Гріна багатоточкових крайових задач Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. We investigate a family of parameter-dependent multipoint boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations of order $ r\geq 2$, with the coefficients and right sides belonging to the spaces $(C^{(n-1)})^{m\times m} $ and $(C^{(n-1)})^{m}$ respectively. We find new sufficient conditions under which Green's matrices of these problems are continuous with respect to the parameter. Досліджена залежна від параметра сім'я багатоточкових крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь порядку $ r\geq 2$, коефіцієнти та праві частини яких належать просторам $(C^{(n-1)})^{m\times m}$ та $(C^{(n-1)})^{m}$ відповідно. Знайдено нові достатні умови неперервності за параметром матриць Гріна таких задач. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/202 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 315-326 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 315-326 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 315-326 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/202/179 Авторське право (c) 2015 O. Б. Пелехата |
| spellingShingle | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title | Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title_alt | Неперервність за параметром матриць Гріна багатоточкових крайових задач |
| title_full | Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title_fullStr | Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title_short | Continuity with respect to parameter of Green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| title_sort | continuity with respect to parameter of green's matrices of multipoint boundary-value problems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/202 |
| work_keys_str_mv | AT pelekhataob continuitywithrespecttoparameterofgreen039smatricesofmultipointboundaryvalueproblems AT pelehataob continuitywithrespecttoparameterofgreen039smatricesofmultipointboundaryvalueproblems AT pelekhataob neperervnístʹzaparametrommatricʹgrínabagatotočkovihkrajovihzadač AT pelehataob neperervnístʹzaparametrommatricʹgrínabagatotočkovihkrajovihzadač |