Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order
We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(n+r)}$.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/203 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552723380961280 |
|---|---|
| author | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. О. Солдатов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Soldatov, V. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:37:46Z |
| description | We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(n+r)}$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 327–337
УДК 517.927
В. О. Солдатов
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Багатоточковi крайовi задачi
для систем диференцiальних рiвнянь
вищих порядкiв
soldatovvo@ukr.net
We establish new sufficient conditions for continuous dependence
on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value
problems for systems of differential equations of order r ≥ 1 in the
norms of spaces of continuously differentiable functions C(n+r).
Знайдено новi достатнi умови неперервної залежностi за пара-
метром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних крайових задач для
систем диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 1 за нормами про-
сторiв неперервно диференцiйовних функцiй C(n+r).
1. Вступ
Питання граничного переходу в системах диференцiальних рiв-
нянь виникають в багатьох задачах аналiзу i дослiджувалися рi-
зними математиками. Найкраще їх дослiджено стосовно задач
Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першо-
го порядку. Бiльш складний випадок загальних лiнiйних кра-
йових задач вивчався I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] та його послiдовни-
ками. Суттєвi узагальнення цих результатiв отримано у роботах
c© В. О. Солдатов, 2015
328 В. О. Солдатов
Т. I. Кодлюк, В. А. Михайлеця i Н. В. Реви [4 – 6]. Вони стосую-
ться рiвномiрної неперервностi за параметром розв’язкiв систем
лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для систем
лiнiйних диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв цi питання
дослiджено В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою [7].
Цi результати були узагальненi на досить широкий клас лiнiй-
них крайових задач — тотальних щодо просторiв Соболєва [8 – 10]
та просторiв неперервно диференцiйовних функцiй [11 – 14]. До-
ведено фредгольмовiсть таких задач, знайдено достатнi умови їх
коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром
їх розв’язкiв у вказаних просторах.
В роботах В. А. Михайлеця та його учнiв цi результати пе-
ренесено на важливий клас багатоточкових крайових задач що-
до соболєвських просторiв та просторiв C(n)[a, b] для рiвнянь i
систем як першого [15 – 17], так i високих порядкiв [13, 18, 19].
В цих роботах припускається, що кожна точка (в якiй розгля-
даються крайовi умови) або не залежить вiд малого параметра
ε > 0 [15, 17 – 19], або має граничне значення при ε→ 0+ [13, 16].
Окрiм того, допускається iснування додаткових точок, що вхо-
дять у крайовий вираз, нехтуваний при ε→ 0+.
У цiй роботi дослiджується багатоточкова лiнiйна крайова
задача на вiдрiзку [a, b] дiйсної осi для системи диференцiаль-
них рiвнянь довiльного порядку r ≥ 1 у нормованих просторах
C(n+r)[a, b], де цiле n ≥ 0. Мета роботи — встановити умови, при-
чому бiльш слабкi, нiж в [13, 18], достатнi для неперервностi за
малим параметром ε ≥ 0 розв’язкiв дослiджуваної задачi. Це до-
сягається завдяки тому, що умови на коефiцiєнти при похiдних
шуканої функцiї у крайових операторах ставляться окремо для
цiлої серiї точок, якi залежать вiд ε > 0 i мають спiльну гра-
ничну точку при ε → 0+. Вiдмiтимо, що у зазначених роботах
багатоточковi задачi дослiдженi або для одного рiвняння довiль-
ного порядку [18], або для систем рiвнянь першого порядку [13].
Багатоточковi крайовi задачi для систем ... вищих порядкiв... 329
2. Постановка задачi
Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] ⊂ R. Для довiльних
цiлих чисел l ≥ 0 i m ≥ 1 позначимо C(l) := C(l)([a, b],C),
(C(l))m := C(l)([a, b],Cm) i (C(l))m×m := C(l)([a, b],Cm×m). Таким
чином, C(l) є банахiв простiр усiх l разiв неперервно диференцi-
йовних функцiй x : [a, b]→ C, надiлений нормою
‖x‖(l) :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Аналогiчно, (C(l))m i (C(l))m×m є банаховi простори усiх l разiв
неперервно диференцiйовних вектор-функцiй z : [a, b] → Cm i
квадратних матриць-функцiй Z : [a, b] → Cm×m. Норми у цих
просторах позначаємо також через ‖ · ‖(l) — вони є сумами норм
у C(l) усiх компонент функцiї z або Z. З контексту завжди буде
зрозумiло, про норму у якому саме просторi (скалярних функцiй,
вектор-функцiй чи матриць-функцiй) йде мова. Звiсно, якщо
m = 1, то усi цi простори збiгаються.
Нехай задано цiлi числа r ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 0 i p ≥ 1. На
вiдрiзку [a, b] розглядаємо систему m лiнiйних диференцiальних
рiвнянь порядку r, залежних вiд числового параметра ε ∈ [0, ε0):
L(ε)z(t, ε) ≡ z(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Kr−j(t, ε)z
(r−j)(t, ε) = f(t, ε),
a ≤ t ≤ b,
(1)
Тут число ε0 > 0 фiксоване, вектор-функцiя z(·, ε) ∈ (C(n+r))m
шукана, а усi матрицi-функцiї Kr−j(·, ε) ∈ (C(n))m×m i вектор-
функцiя f(·, ε) ∈ (C(n))m вважаються вiдомими. У роботi векто-
ри i вектор-функцiї подано у виглядi стовпцiв.
Для кожного ε ∈ (0, ε0) пов’яжемо з системою (1) багатото-
330 В. О. Солдатов
чкову крайову умову
B(ε)z(·, ε) ≡
p∑
j=0
qj∑
k=1
n+r∑
l=0
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε), ε) = c(ε). (2)
Тут усi числа qj ∈ N, матрицi α(l)
j,k(ε) ∈ Crm×m, точки tj,k(ε) ∈
[a, b] та вектор c(ε) ∈ Crm є заданими.
Використання у крайовiй умовi повторної суми за iндексами j
i k зумовлено подальшими припущеннями щодо поведiнки точок
tj,k(ε) при ε → 0+ у залежностi вiд значень параметра j. Ви-
магатиметься, щоб для кожного фiксованого j ∈ 1, p усi точки
tj,k(ε) мають спiльну границю при ε → 0+, а для точок t0,k(ε)
така вимога не висуватиметься.
З огляду на це, у граничному випадку ε = 0 розглядається
така крайова задача:
L(0)z(t, 0) = f(·, 0), a ≤ t ≤ b, (3)
B(0)z(·, 0) ≡
p∑
j=1
n+r∑
l=0
α
(l)
j (0)z(l)(tj(0), 0) = c(0). (4)
Тут усi матрицi α(l)
j (0) ∈ Crm×m, точки tj(0) ∈ [a, b] та вектор
c(0) ∈ Crm є заданими.
Звiсно, для кожного ε ∈ [0, ε0) лiнiйне вiдображення z(·, ε) 7→
B(ε)z(·, ε) є обмеженим оператором
B(ε) : (C(n+r))m → Crm. (5)
Зробленi нами припущення щодо системи (1) та обмеженiсть
оператора (5) означають [14], що крайова задача (1), (2) є то-
тальною щодо простору (C(n+r))m для кожного ε ∈ (0, ε0), як i
задача (3), (4).
Зауважимо, що крайовi умови (2), (4) охоплюють як класи-
чнi багатоточковi задачi, так i некласичнi, що мiстять похiднi
шуканої функцiї, порядок яких бiльший нiж r − 1.
Багатоточковi крайовi задачi для систем ... вищих порядкiв... 331
3. Результат
Крайовiй задачi (1), (2) при кожному ε ∈ (0, ε0) вiдповiдає лiнiй-
ний обмежений оператор
(L(ε), B(ε)) : (C(n+r))m → (C(n))m × Crm. (6)
У граничному випадку ε = 0 цей обмежений оператор вiдповiдає
крайовiй задачi (3), (4) Оскiльки вказанi задачi є тотальними
щодо простору (C(n+r))m, то, як показано в [14], оператор (6) є
фредгольмовим (з iндексом нуль) для кожного ε ∈ [0, ε0).
Надалi вважаємо, що виконується
Припущення. Гранична однорiдна крайова задача
L(0)z(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)z(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Звiдси випливає, що при ε = 0 фредгольмiв оператор (6) є
iзоморфiзмом
(L(0), B(0)) : (C(n+r))m ↔ (C(n))m × Crm.
Тому крайова задача (3), (4) має один i тiльки один роз’язок
z(·, 0) ∈ (C(n+r))m для довiльно вибраних правих частин f(·, 0) ∈
(C(n))m i c(0) ∈ Crm.
Сформулюємо теорему про неперервну залежнiсть розв’язку
крайової задачi (1), (2) за малим параметром ε ≥ 0 у просторi
(C(n+r))m.
Теорема. Нехай при ε→ 0+ виконуються такi умови:
(a) ‖Kl(·, ε)−Kl(·, 0)‖(n) → 0 для кожного l ∈ 0, r − 1;
(b) ‖f(·, ε)− f(·, 0)‖(n) → 0;
(c) c(ε)→ c(0);
332 В. О. Солдатов
(d1) tj,k(ε)→ tj(0) для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj ;
(d2)
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)→ α
(l)
j (0) для усiх j ∈ 1, p, l ∈ 0, n+ r;
(d3) α(n+r)
j,k (ε) = O(1) для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj;
(d4) ‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0
для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj, l ∈ 0, n+ r − 1;
(d5) α(l)
0,k(ε)→ 0, для усiх k ∈ 1, q0, l ∈ 0, n+ r.
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (1), (2) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничну властивiсть
‖z(·, ε)− z(·, 0)‖(n+r) → 0 при ε→ 0 + . (7)
В умовi (d4) i надалi пiд нормою числової матрицi (зокрема,
вектора) розумiємо суму модулiв усiх її елементiв.
4. Доведення.
Оскiльки задача (1), (2) є тотальною щодо простору (C(n+r))m,
то, як показано автором в [14], вона має наступну граничну вла-
стивiсть.
Твердження. Нехай при ε→ 0+ виконуються такi умови (a),
(b), (c) теореми i умова:
(d) B(ε)z → B(0)z для довiльного z ∈ (C(n+r))m.
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (1), (2) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничну властивiсть (7)
Для доведення основної теореми достатньо показати, що умо-
ва (d) твердження є наслiдком умов (d1) – (d5) теореми.
Багатоточковi крайовi задачi для систем ... вищих порядкiв... 333
У припущеннi, що умови (d1) – (d5) виконуються, доведемо
властивiсть (d). Для довiльної функцiї z ∈ (C(n+r))m i достатньо
малого ε > 0 запишемо:
‖B(ε)z −B(0)z‖ =
=
∥∥∥∥∥∥
p∑
j=0
qj∑
k=1
n+r∑
l=0
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε))−
p∑
j=1
n+r∑
l=0
α
(l)
j (0)z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
q0∑
k=1
n+r∑
l=0
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖z
(l)(t0,k(ε))‖+
+
p∑
j=1
n+r∑
l=0
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j (0)z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ (8)
Тут на пiдставi умови (d5) маємо:
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖z
(l)(t0,k(ε))‖ ≤ ‖α
(l)
0,k(ε)‖ · ‖z‖(n+r) → 0 (9)
для усiх допустимих значень iндексiв k i l. Ця i всi iншi границi
у доведеннi розглядаються за умови, що ε→ 0+.
Дослiдимо останнiй доданок в (8). Запишемо:
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j (0)z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε))−
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj(0)) +
+
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj(0))− α(l)
j (0)z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ ≤
334 В. О. Солдатов
≤
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) ·
(
z(l)(tj,k(ε))− z(l)(tj(0))
)∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥
( qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j (0)
)
· z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ ≤
≤
qj∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖z
(l)(tj,k(ε))− z(l)(tj(0))‖+
+
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j (0)
∥∥∥∥∥ · ‖z‖(n+r).
Тут на пiдставi умови (d2) маємо:∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j (0)
∥∥∥∥∥ · ‖z‖(n+r) → 0. (10)
Окрiм того,
qj∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖z
(l)(tj,k(ε))− z(l)(tj(0)) ‖ → 0. (11)
Справдi, якщо l = n+r, то це є прямим наслiдком умов (d1), (d3)
i неперервностi функцiї z(l). Якщо l ≤ n + r − 1, то це випливає
з теореми Лагранжа i умови (d4):
qj∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖z
(l)(tj,k(ε))− z(l)(tj(0)) ‖ ≤
≤ ‖z‖(n+r)
qj∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0.
Iз формул (4.), (10), (11) негайно випливає, що∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)z
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j (0)z(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥→ 0 (12)
Багатоточковi крайовi задачi для систем ... вищих порядкiв... 335
Тепер властивiсть (d) є прямим наслiдком формул (8), (9) i (12).
Теорему доведено.
Автор вдячний В. А. Михайлецю та О. О. Мурачу за керiв-
ництво роботою.
Лiтература
[1] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифе-
ренциальных уравнений // Совр. пробл. мат. Новейшие достиже-
ния. – Москва: ВИНИТИ – 1987. – 30. – С. 3–103.
[2] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[3] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Диф. уравн. – 2003. – 39, №
2. – С. 198–209
[4] Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру реше-
ний общих краевых задач // Теорiя наближення функцiй та сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. –
5, № 1. – С. 227–239.
[5] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о
корректности линейных краевых задач // Доп. НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23–27.
[6] Kodliuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-
dimensional boundary-value problems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 1. – P. 77–90.
[7] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015.
– 204, № 3.
[8] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28–30.
336 В. О. Солдатов
[9] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
[10] Кодлюк Т. И. Матрицы Грина одномерных краевых задач с па-
раметром в пространствах Соболева // Диференцiальнi рiвняння
i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2014. – 11, № 2. – С. 191–199.
[11] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Некоторые классы фредгольмо-
вых краевых задач на отрезке // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 2. – С. 268–273.
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
[13] Чеханова Г. О. Граничний перехiд в одновимiрних лiнiй-
них крайових задачах з параметром: Дис. ... канд. фiз.-мат.
наук. – Київ: 2014. – 122 с.
[14] Солдатов В. О. Про неперервнiсть за параметром розв’язкiв кра-
йових задач, тотальних щодо просторiв C(n+r)[a, b] // Укр. мат.
журн. — 2015. — 67, № 5 — С. 692 –700.
[15] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ: 2009. – 148 с.
[16] Кодлюк Т. И. Предельный переход в класе многоточечных крае-
вых задач //Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 203–216.
[17] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[18] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пита-
ння аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –
10, № 2. – С. 260–279.
Багатоточковi крайовi задачi для систем ... вищих порядкiв... 337
[19] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач //Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-203 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/63/b34dd7b4bbac0eba57cae0a0f27eff63.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2032018-01-23T01:37:46Z Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order Багатоточкові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь вищих порядків Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(n+r)}$. Знайдено нові достатні умови неперервної залежності за параметром розв'язків багатоточкових лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь порядку $r\geq1$ за нормами просторів неперервно диференційовних функцій $C^{(n+r)}$. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/203 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 327-337 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 327-337 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 327-337 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/203/180 Авторське право (c) 2015 В. О. Солдатов |
| spellingShingle | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title | Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title_alt | Багатоточкові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь вищих порядків |
| title_full | Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title_fullStr | Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title_full_unstemmed | Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title_short | Multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| title_sort | multipoint boundary-value problems for systems of differential equations of higher order |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/203 |
| work_keys_str_mv | AT soldatovvo multipointboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequationsofhigherorder AT soldatovvo multipointboundaryvalueproblemsforsystemsofdifferentialequationsofhigherorder AT soldatovvo bagatotočkovíkrajovízadačídlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT soldatovvo bagatotočkovíkrajovízadačídlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív |