Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces
We investigate the broadest class of linear boundary-value problems for systems of the first order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex Slobodetsky space. For these problems, we establish a constructive criterion under which their solutions are continuous in a parame...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/208 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552729199509504 |
|---|---|
| author | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. |
| author_facet | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Є. В. Гнип",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. А. Михайлець",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Hnyp, Ye. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T12:19:46Z |
| description | We investigate the broadest class of linear boundary-value problems for systems of the first order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex Slobodetsky space. For these problems, we establish a constructive criterion under which their solutions are continuous in a parameter in this space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 76–87
УДК 517.927
Є. В. Гнип, В. А. Михайлець
(Iн-т математики НАН України, Київ)
Фредгольмовi крайовi задачi з
параметром на просторах
Слободецького
evgeniyagnyp27@gmail.com, mikhailets@imath.kiev.ua
We investigate the broadest class of linear boundary-value problems
for systems of the first order ordinary differential equations whose
solutions belong to the complex Slobodetsky space. For these
problems, we establish a constructive criterion under which their
solutions are continuous in a parameter in this space.
Дослiджено найбiльш широкий клас лiнiйних крайових задач
для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого поряд-
ку, розв’язки яких належать до комплексного простору Слободе-
цького. Для таких задач встановлено конструктивний критерiй
неперервностi за параметром розв’язкiв у цьому просторi.
1. Вступ
Питання щодо обґрунтування граничного переходу у системах
диференцiальних рiвнянь виникають у рiзних задачах сучасної
математики. Найбiльш ґрунтовно цi питання дослiджено стосов-
но задачi Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь
c© Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, 2016
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 77
першого порядку. У роботах I. I. Гiхмана [1], M. A. Красносель-
ського i С. Г. Крейна [2], Я. Курцвейля i З. Ворела [3], A. M. Са-
мойленка [4] встановлено фундаментальнi теореми про умови не-
перервної залежностi за параметром її розв’язкiв. Бiльшiсть iз
цих результатiв характеризується спiльним пiдходом до дослi-
дження лiнiйних i нелiнiйних систем.
Крайовi задачi, залежнi вiд параметра, iстотно менш вивченi,
нiж задача Кошi. У роботах I. Т. Кiгурадзе [5, 6] i M. Ашордiа
[7] введено i дослiджено клас загальних лiнiйних крайових задач
для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Цi задачi
характеризуються тим, що їх розв’язки є абсолютно неперервни-
ми на вiдрiзку [a, b] функцiями. У цих роботах встановлено умо-
ви неперервної залежностi за параметром розв’язкiв у просторi
C([a, b],Rm). Недавно цi результати були уточненi та узагальненi
на комплекснозначнi функцiї i системи диференцiальних рiвнянь
довiльного порядку [8, 9, 10].
У цiй статтi ми дослiджуємо клас тотальних крайових задач
для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку на про-
сторi Слободецького [12, 11], який був введений у роботi [13].
Основний результат статтi — конструктивний критерiй неперерв-
ностi за параметром їх розв’язкiв у цьому просторi. Буде також
показано, що похибка i нев’язка цих розв’язкiв мають однаковий
порядок.
Вiдмiтимо, що тотальнi крайовi задачi щодо iнших важливих
класiв функцiй — просторiв Соболєва i просторiв C(n+1) — введе-
но i дослiджено у роботах [14, 15, 16] i [17] вiдповiдно. Там вста-
новлено достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв
цих задач.
2. Постановка задачi
Нехай заданi числа p ∈ (1,∞), m ∈ N, s ∈ R+ \Z+, s := [s] + {s},
де [s] ∈ N, 0 ≤ {s} < 1 i скiнченний iнтервал (a, b) ⊂ R. Вве-
демо позначення: W s
p := W s
p ((a, b),C),
(
W s
p
)m
:= W s
p ((a, b),Cm),
78 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець(
W s
p
)m×m
:= W s
p ((a, b),Cm×m) є простори Слободецького на iн-
тервалi (a, b) вiдповiдно комплекснозначних функцiй, вектор-
функцiй i матриць-функцiй.
Простiр Слободецького W s
p з нецiлим додатним s означається
[12] (п.2.5.1, зауваж. 4) як простiр функцiй f , якi належать про-
стору Соболєва W [s]
p i задовольняють умову
‖f‖s,p := ‖f‖[s],p +
b∫
a
b∫
a
|f [s](x)− f [s](y)|p
|x− y|1+{s}p
dxdy
1/p
< +∞,
де ‖f‖[s],p норма в просторi СоболєваW
[s]
p . Тут, звiсно,W 0
p := Lp.
Функцiонал ‖f‖s,p є нормою на просторi W s
p .
Позначимо M(W s
p ) := {ϕ : ϕf ∈ W s
p , ∀f ∈ W s
p } - простiр
мультиплiкаторiв на класi W s
p . При s ∈ (0, 1p ] i p > 1 простiр W s
p
мiстить необмеженi функцiї, якi не будуть мультиплiкаторами в
W s
p . Тому для вказаних значень s i p простiр W s
p не є алгеброю
вiдносно множення. Тодi в роботi [13] було встановлено наступне
Твердження 1. Нехай p > 1, s ∈ (0, 1). Тодi W 1
p ⊂ M(W s
p ) i
виконується нерiвнiсть
‖ϕ‖M(W s
p )
≤ c‖ϕ‖1,p,
де c - деяка стала.
Розглянемо лiнiйну крайову задачу на просторi (W s+1
p )m для
системи m диференцiальних рiвнянь першого порядку вигляду:
(Ly)(t) := y′(t) +A(t)y(t) = f(t), t ∈ (a, b), (1)
By(·) = c. (2)
Тут матриця-функцiя A(·) ∈ (W s
p )
m×m, вектор-функцiя f(·) ∈
(W s
p )
m, вектор c ∈ Cm, а B є лiнiйний неперервний оператор
B :
(
W s+1
p
)m → Cm. (3)
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 79
Розв’язок цiєї крайової задачi є вектор-функцiя y(·) ∈
(W s+1
p )m, яка задовольняє рiвняння (1) в кожнiй точцi (a, b) (при
[s] = 0, майже скрiзь). Крiм того, y(·) повинна задовольняти рiв-
нiсть (2).
Неоднорiдна крайова умова (2) охоплює всi класичнi види
крайових умов: задачi Кошi, двоточковi та багатоточковi, iнте-
гральнi та мiшанi крайовi задачi; а також ряд некласичних задач,
бо може мiстити похiднi аж до порядку [s] ≥ 1. За аналогiєю з
[14, 15] крайову задачу (1), (2) можна називати тотальною щодо
простору W s+1
p .
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параметра
ε ≥ 0, то природньо виникає питання про неперервнiсть розв’яз-
ку y(·, ε) такої задачi за параметром ε в банаховому просторi(
W s+1
p
)m. Мета даної роботи полягає в тому, щоб знайти кон-
структивний критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв у
просторi (W s+1
p )m та показати, що похибка i нев’язка цих розв’яз-
кiв мають однаковий порядок.
3. Крайовi задачi, тотальнi щодо простору
Слободецького
Перепишемо крайову задачу (1), (2) у виглядi (L,B)y = (f, c) за
допомогою лiнiйного неперервного оператора
(L,B) : (W s+1
p )m → (W s
p )
m × Cm. (4)
Нагадаємо властивостi даного оператора, якi доведенi у роботi
[13].
Теорема 1. Оператор (4) є фредгольмовим з iндексом 0.
Нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор T : E1 →
E2, де E1 i E2 — банаховi простори, називають фредгольмо-
вим, якщо його ядро kerT i коядро E2/T (E1) скiнченновимiрнi
80 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець
та мають однакову вимiрнiсть. Якщо цей оператор фредголь-
мiв, то його область значень T (E1) замкнена в E2, а iндекс
dimkerT − dim(E2/T (E1)) дорiвнює нулю.
Дамо критерiй оборотностi оператора (4). Виберемо довiль-
ним чином точку t0 ∈ [a, b]. Позначимо через Y = (yj,k)
m
j,k=1
єдиний розв’язок матричної задачi Кошi
Y ′(t) = −A(t)Y (t), a ≤ t ≤ b, Y (t0) = Im, (5)
де Im — одинична матриця порядку m. Зауважимо, що Y ∈
(Wn+1
p )m×m. Покладемо
[BY ] :=
B
y1,1
...
ym,1
. . . B
y1,m
...
ym,m
.
Теорема 2. Оператор (4) оборотний тодi i тiльки тодi, коли
det[BY ] 6= 0.
4. Основнi результати
Припустимо, що крайова задача (1), (2) залежить вiд числового
параметра ε ∈ [0, ε0), де фiксоване число ε0 > 0. Отже, розгля-
немо крайову задачу
L(ε)y(t, ε) ≡ y′(t, ε) +A(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε), t ∈ (a, b), (6)
B(ε)y(·, ε) = (ε), (7)
залежну вiд ε ∈ [0, ε0). Припускаємо, що для кожного ε ∈ [0, ε0)
ця задача є тотальною щодо простору W s+1
p , тобто шукана
вектор-функцiя y(·, ε) належить до (W s+1
p )m i довiльно задано
матрицю-функцiю A(·, ε) ∈ (W s
p )
m×m, вектор-функцiю f(·, ε) ∈
(W s
p )
m, лiнiйний неперервний оператор B(ε) : (Wn+1
p )m → Cm i
вектор c(ε) ∈ Cm.
Для крайової задачi (6), (7) розглянемо такi
Граничнi умови при ε→ 0+:
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 81
(I) A(·, ε)→ A(·, 0) в (W s
p )
m×m;
(II) B(ε)y → B(0)y в Cm для кожного y ∈ (W s+1
p )m;
(III) f(·, ε)→ f(·, 0) в (W s
p )
m, c(ε)→ c(0) в Cm.
Розглянемо ще одну умову
Припущення E. Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)y(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Тепер сформулюємо наше
Основне означення 1. Говоримо, що розв’язок крайової задачi
(6), (7) неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, якщо
виконуються такi двi умови:
(∗) Iснує додатне число ε1 < ε0 таке, що для кожного ε ∈
[0, ε1) i будь-яких правих частин f(·, ε) ∈ (W s
p )
m i c(ε) ∈
Cm ця задача має єдиний розв’язок y(·, ε) ∈ (W s+1
p )m.
(∗∗) Граничнi умови (III) тягнуть за собою збiжнiсть
y(·, ε)→ y(·, 0) в (W s+1
p )m при ε→ 0 + . (8)
Перейдемо до основного результату роботи
Основна теорема. Розв’язок крайової задачi (6), (7) непе-
рервно залежить вiд параметра ε при ε = 0 тодi i тiльки тодi,
коли вона задовольняє припущення E i граничнi умови (I) i (II).
Основну теорему доповнює такий результат.
Теорема 3. Нехай крайова задача (6), (7) задовольняє припу-
щення E i граничнi умови (I) i (II). Тодi iснують додатнi числа
82 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець
ε2 < ε1 i γ1, γ2 такi, що для кожного ε ∈ (0, ε2) виконується
двобiчна оцiнка
γ1
(
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖s,p + ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Cm
≤ ‖y(·, 0)− y(·, ε)‖s+1,p ≤ γ2
(
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖s,p
+ ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Cm
)
.
(9)
Тут числа ε2, γ1 i γ2 не залежать вiд y(·, 0), y(·, ε), f(·, ε) i c(ε).
Згiдно з теоремою 3 похибка i нев’язка розв’язку y(·, ε) кра-
йової задачi (6), (7) мають однаковий порядок. При цьому y(·, 0)
розглядаємо як наближений розв’язок цiєї задачi.
5. Обґрунтування основного результату
Спочатку доведемо основну теорему за допомогою трьох насту-
пних лем.
Зiставимо неперервний оператор
(L(ε), B(ε)) : (W s+1
p )m → (W s
p )
m × Cm (10)
з крайовою задачою (6), (7), де ε ∈ [0, ε1). Згiдно з теоремою 1,
оператор (10) є фредгольмовим з iндексом 0.
Тому припущення E еквiвалентне тому, що оператор (10) при
ε = 0 є iзоморфiзмом
(L(0), B(0)) : (W s+1
p )m ↔ (W s
p )
m × Cm. (11)
Лема 1. Нехай виконуються припущення E i граничнi умови
(I) i (II). Тодi iснує додатне ε1 < ε0 таке, що оператор (10)
оборотний для кожного ε ∈ [0, ε1).
Лема 2. Нехай виконуються припущення E i граничнi умови
(I)–(III). Тодi єдиний розв’язок y(·, ε) ∈ (Wn+1
p )m крайової задачi
(6), (7), де ε ∈ [0, ε1), задовольняє граничну властивiсть (8).
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 83
Доведення лем 1 та 2 наведено в роботi [13] у теоремi 3. Таким
чином обґрунтована достатнiсть в основнiй теоремi.
Лема 3. Нехай крайова задача (6), (7) задовольняє Основне
означення. Тодi виконуються граничнi умови (I) i (II).
Доведення цiєї леми розiб’ємо на 3 кроки.
Крок 1. Доведемо, що крайова задача (6), (7) задовольняє гра-
ничну умову (I). В силу умови (∗) основного означення, оператор
(10) оборотний для будь якого ε ∈ [0, ε1). Для кожного ε ∈ [0, ε1)
розглянемо матричну крайову задачу
Y ′(t, ε) +A(t, ε)Y (t, ε) = 0 · Im, t ∈ [a, b],
[BY (·, ε)] = Im.
Ця крайова задача є сукупнiстю m крайових задач (6), (7) iз
правими частинами, не залежними вiд ε. Тому, за припущенням,
вона має єдиний розв’язок Y (·, ε) ∈ (W s+1
p )m×m i вiн задоволь-
няє умову Y (·, ε) → Y (·, 0) у просторi (W s+1
p )m×m при ε → 0+.
Вiдмiтимо, що detY (t, ε) 6= 0 для довiльного t ∈ [a, b], бо iна-
кше стовпцi-функцiї матрицi Y (·, ε) будуть лiнiйно залежними,
що суперечитиме умовi [BY (·, ε)] = Im. Тому
A(·, ε) = −Y ′(·, ε)(Y (·, ε))−1 → −Y ′(·, 0)(Y (·, 0))−1 = A(·, 0)
у просторi (W s+1
p )m×m при ε→ 0+, тобто виконується умова (I).
Крок 2. Покажемо, що виконується умова (II) . Спочатку до-
ведемо, що ‖B(ε)‖ = O(1) при ε→ 0+, де ‖·‖ є норма обмеженого
оператора B(ε) : (W s+1
p )m → Cm. Припустимо супротивне: iснує
числова послiдовнiсть (ε(k))∞k=1 ⊂ (0, ε1) така, що ε(k) → 0 i
0 < ‖B(ε(k))‖ → ∞, ε→ 0 + .
Для кожного номера k виберемо функцiю xk ∈ (W s+1
p )m таку,
що
‖xk‖s+1,p = 1 i ‖B(ε(k))xk‖Cm ≥ 1
2
‖B(ε(k))‖.
84 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець
Покладемо
y(·, ε(k)) := ‖B(ε(k))‖−1xk,
f(·, ε(k)) := L(ε(k)) y(·, ε(k)),
c(ε(k)) := B(ε(k)) y(·, ε(k)).
Оскiльки y(·, ε(k)) → 0 у просторi (W s+1
p )m при ε → 0+, то
f(·, ε(k))→ 0 в (W s
p )
m, бо, за доведеним, A(·, ε) задовольняє умо-
ву (I). Оскiльки 1/2 ≤ ‖c(ε(k))‖Cm ≤ 1, то, перейшовши до пiд-
послiдовностi чисел ε(k), можна вважати, що c(ε(k)) → c(0) при
k → ∞, де c(0) — деякий ненульовий вектор в Cm. Таким чи-
ном, для кожного номера k вектор-функцiя y(·, ε(k)) ∈ (Wn+1
p )m
є єдиним розв’язком крайової задачi
L(ε(k)) y(t, ε(k)) = f(t, ε(k)), t ∈ (a, b),
B(ε(k)) y(·, ε(k)) = c(ε(k)).
Тут, нагадаємо, f(·, ε(k))→ 0 в (Wn+1
p )m i c(ε(k))→ c(0) 6= 0 при
k → ∞. Тому на пiдставi умови (∗∗) базового означення фун-
кцiя y(·, ε(k)) збiгається у просторi (Wn+1
p )m до єдиного розв’язку
y(·, 0) граничної крайової задачi, яка складається з диференцi-
ального рiвняння L(0)y(t, 0) = 0, t ∈ (a, b), i неоднорiдної крайо-
вої умови B(0)y(·, 0) = c(0). Але, згадаємо, y(·, ε(k)) → 0 у тому
ж просторi. Отож, y(·, 0) ≡ 0, що суперечить крайовiй умовi.
Тому зроблене припущення є хибним, тобто ‖B(ε)‖ = O(1) при
ε→ 0+.
Крок 3. Тепер можемо показати, що виконується умова (II).
За доведеним у попереднiх двох абзацах, iснують числа γ′ > 0
i ε′ ∈ (0, ε1) такi, що ‖(L(ε), B(ε))‖ ≤ γ′ для усiх ε ∈ [0, ε′), де
‖·‖ є норма обмеженого оператора, що дiє з простору (Wn+1
p )m у
простiр (Wn
p )
m×Cm. Виберемо функцiю y ∈ (Wn+1
p )m довiльним
чином та покладемо f(·, ε) := L(ε)y i c(ε) := B(ε)y для кожного
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 85
ε ∈ [0, ε0). Тодi при ε→ 0+ маємо:∥∥B(ε)y −B(0)y
∥∥
Cm ≤
≤
∥∥(f(·, ε), c(ε))− (f(·, 0), c(0))
∥∥
(W s
p )
m×Cm ≤
≤ γ′
∥∥(L(ε), B(ε))−1
(
(f(·, ε), c(ε))− (f(·, 0), c(0))
)∥∥
s+1,p
=
= γ′
∥∥(L(0), B(0))−1(f(·, 0), c(0))−
−(L(ε), B(ε))−1(f(·, 0), c(0))
∥∥
s+1,p
→ 0
за умовою (∗∗). Отже, крайова задача (6), (7) задовольняє умо-
ву (II).
Таким чином, основна теорема доведена.
Доведемо теорему 3. Доведемо спочатку лiву частину подвiй-
ної нерiвностi (9). Згiдно з граничними умовами (I) i (II)
(L(ε), B(ε))
s−→ (L(0), B(0)), ε→ 0 + .
Тому норми операторiв обмеженi деяким числом γ′ > 0 при
0 ≤ ε� 1. Дiйсно, припустивши протилежне, можна знайти по-
слiдовнiсть (ε(k))∞k=1 таку, що ε(k) → 0 i ‖(L(ε(k)), B(ε(k)))‖ → ∞
при k →∞. Але за теоремою Банаха-Штейнгауза це суперечить
сильнiй збiжностi (L(ε(k)), B(ε(k))) до (L(0), B(0)) при k → ∞.
Тому для довiльного ε ∈ (0, ε′2)
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖s,p + ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Cm ≤
≤ γ′‖y(·, 0)− y(·, ε)‖s+1,p,
тобто встановлена лiва частина (9) iз γ1 := 1/γ′.
Доведемо праву частину подвiйної нерiвностi (9). За ле-
мою 1 оператор (L(ε), B(ε)) має обмежений обернений оператор
(L(ε), B(ε))−1 для довiльного ε ∈ [0, ε), причому виконується
(L(ε), B(ε))−1
s−→ (L(0), B(0))−1, ε→ 0 + .
Справдi, вибравши f ∈ (Wn
p )
m та c ∈ Cm, маємо
(L(ε), B(ε))−1(f, c) =: y(·, ε)→ y(·, 0) := (L(0), B(0))−1(f, c),
86 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець
в (Wn+1
p )m при ε → 0+. Тодi за теоремою Банаха-Штейнгауза
аналогiчним чином, який наведений у попередньому абзацi, ви-
пливає, що норми цих обернених операторiв обмеженi. Отже, для
довiльного ε ∈ (0, ε2)
‖y(·, 0)− y(·, ε)‖s+1,p ≤
≤ γ2
(
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖s,p + ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Cm
)
.
Звiдси негайно випливає права частина двобiчної оцiнки (9). Те-
орема 3 доведена.
Лiтература
[1] Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр.
мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215–219.
[2] Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в не-
линейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С.
147–153
[3] Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от параметра // Czechoslovak
Math. J. – 1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
[4] Самойленко А. М. Об одном случае непрерывной зависимости ре-
шений дифференциальных уравнений от параметра // Укр. мат.
журн. – 1962. – 14, № 3. – С. 289–298.
[5] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[6] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Совр.
пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ – 1987. –
30. – С. 3–103.
[7] M. Ashordia. Criteria of correctness of linear boundary value
problems for systems of generalized ordinary differential equations //
Czechoslovak Math. J. – 1996. – 46, No. 3. – P. 385–404.
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром... 87
[8] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о
корректности линейных краевых задач // Доп. НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23–27.
[9] Кодлюк Т. И., Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельные теоремы
для одномерных краевых задач // Укр. мат. журн. – 2013. – 65,
№ 1. – С. 70–81.
[10] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015. –
204, № 3. – P. 333–342.
[11] Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространс-
твах дифференцируемых функций. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та,
1986. – 404 с.
[12] Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир,
1986. – 447 с.
[13] Hnyp E. V. Continuity with respect to a parameter of solutions of
one-dimentional linear boundary value problem on the Slobodetsky
space. // Ukrainian Math. J. – 2016. – 68, № 6. – P. 746–756.
[14] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28–30.
[15] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, No. 4. – P. 589–599.
[16] Гнып Е. В., Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Фредгольмовые крае-
вые задачи с параметром на пространствах Соболева // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 584–591.
[17] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-208 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:03Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/07/d9f47482c74ffc76f8df42b971904b07.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2082018-01-29T12:19:46Z Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces Фредгольмові крайові задачі з параметром на просторах Слободецького Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. We investigate the broadest class of linear boundary-value problems for systems of the first order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex Slobodetsky space. For these problems, we establish a constructive criterion under which their solutions are continuous in a parameter in this space. Досліджено найбільш широкий клас лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язки яких належать до комплексного простору Слободецького. Для таких задач встановлено конструктивний критерій неперервності за параметром розв'язків у цьому просторі. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/208 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 76-87 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 76-87 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 76-87 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/208/185 Авторське право (c) 2016 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець |
| spellingShingle | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title | Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title_alt | Фредгольмові крайові задачі з параметром на просторах Слободецького |
| title_full | Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title_fullStr | Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title_full_unstemmed | Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title_short | Fredholm boundary-value problems with parameter on Slobodetsky spaces |
| title_sort | fredholm boundary-value problems with parameter on slobodetsky spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/208 |
| work_keys_str_mv | AT hnypyev fredholmboundaryvalueproblemswithparameteronslobodetskyspaces AT mikhailetsva fredholmboundaryvalueproblemswithparameteronslobodetskyspaces AT gnipêv fredholmboundaryvalueproblemswithparameteronslobodetskyspaces AT mihajlecʹva fredholmboundaryvalueproblemswithparameteronslobodetskyspaces AT hnypyev fredgolʹmovíkrajovízadačízparametromnaprostorahslobodecʹkogo AT mikhailetsva fredgolʹmovíkrajovízadačízparametromnaprostorahslobodecʹkogo AT gnipêv fredgolʹmovíkrajovízadačízparametromnaprostorahslobodecʹkogo AT mihajlecʹva fredgolʹmovíkrajovízadačízparametromnaprostorahslobodecʹkogo |