Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis
We consider an equation of the form $y''(t)- By(t) = f(t), \ t \in (-\infty, \infty)$, where $B$ is a positive operator in a Banach space. For the vector-valued function $f(t)$, we establish sufficient conditions under which a bounded solution to this equation exists and is unique.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/209 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552733781786624 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. |
| author_facet | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Горбачук",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Gorbachuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T12:25:46Z |
| description | We consider an equation of the form $y''(t)- By(t) = f(t), \ t \in (-\infty, \infty)$, where $B$ is a positive operator in a Banach space. For the vector-valued function $f(t)$, we establish sufficient conditions under which a bounded solution to this equation exists and is unique. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 88–97
УДК 517.9
В. М. Горбачук
(Нацiональний технiчний унiверситет України ”КПI”, Київ)
Умови iснування обмежених
розв’язкiв диференцiального
рiвняння у банаховому просторi
на всiй числовiй осi
v.m.horbach@gmail.com
We consider an equation of the form y′′(t) − By(t) = f(t), t ∈
(−∞,∞), where B is a positive operator in a Banach space. For the
vector-valued function f(t), we establish sufficient conditions under
which a bounded solution to this equation exists and is unique.
Розглядається рiвняння вигляду y′′(t) − By(t) = f(t), t ∈
(−∞,∞), де B – позитивний оператор у банаховому просторi.
Установлюються умови на вектор-функцiю f(t), достатнi для iс-
нування i єдиностi обмеженого розв’язку цього рiвняння.
Розглядається рiвняння вигляду(
d2
dt2
−B
)
y(t) = f(t), t ∈ R, (1)
де B – позитивний оператор у комплексному банаховому про-
сторi B, m ∈ N, f(t) : R 7→ B – неперервна вектор-функцiя.
c© В. М. Горбачук, 2016
Умови iснування обмежених розв’язкiв... 89
Даються умови на f(t), якi гарантують iснування єдиного обме-
женого, перiодичного або майже перiодичного розв’язку цього
рiвняння.
1. Нехай B – банахiв простiр з нормою ‖ · ‖, E(B), L(B) –
множини всiх щiльно визначених замкнених i, вiдповiдно, непе-
рервних лiнiйних операторiв в B , I – одиничний оператор,
D(·), ρ(·), σ(·) – область визначення, резольвентна множина i
спектр оператора.
Для оператора A ∈ E(B) i числа α > 0 покладемо
B{α}(A) =
{
x ∈
⋂
n∈N0
D(An)
∣∣∃c = c(x) > 0,
∀k ∈ N0 = {0} ∪ N : ‖Akx‖ ≤ cαkk!
}
.
Простiр B{α}(A) є банаховим вiдносно норми
‖x‖Bα(A) = sup
k∈N0
‖Akx‖
αkk!
.
Покладемо
B+(A) = proj lim
α→0
Bα(A) =
⋂
α>0
Bα(A).
Злiченно-нормований простiр B+(A) називається простором цi-
лих векторiв оператора A (див. [1, 2]). Якщо A ∈ L(B), то
B+(A) = B. Неважко навести приклад оператора A, для яко-
го B+(A) = {0}. Але якщо A генерує аналiтичну C0-пiвгрупу
лiнiйних неперервних операторiв у B, то, як показано в [2 - 4],
має мiсце таке
Твердження 1. Нехай A є генератором обмеженої аналiтич-
ної C0-пiвгрупи {etA}t≥0 у просторi B. Тодi B+(A) = B i
оператор-функцiя
exp(zA) =
∞∑
k=0
zkAk
k!
90 В. М. Горбачук
є цiлою у просторi B+(A), сiм’я {exp(zA)}z∈C утворює однопа-
раметричну C0-групу обмежених операторiв у B+(A), i якщо x
належить до цього простору, то
exp(tA)x =
{
etAx при t ≥ 0
(e−tA)−1x при t < 0.
Нагадаємо [5], що сiм’я лiнiйних неперервних операторiв
U(t), t ≥ 0, що дiють у локально опуклому просторi X, на-
зивається C0-пiвгрупою, якщо: 1) ∀t, s ≥ 0 : U(t + s) =
U(t)U(s); 2)U(0) = I; 3)∀x ∈ X : U(t)x → x при t → 0. Ге-
нератор A пiвгрупи {U(t)}t≥0 задається рiвнiстю
Ax = lim
t→0
U(t)x− x
t
на тих елементах x ∈ X, для яких ця границя iснує, i однозначно
визначається пiвгрупою U(t), t ≥ 0. Скрiзь у подальшому пiв-
групу, що генерується оператором A, позначатимемо {etA}t≥0.
Пiвгрупа {etA}t≥0 у просторi B називається аналiтичною з ку-
том аналiтичностi θ (див [6]), якщо вона допускає продовження
до аналiтичної в секторi Σ(θ) = {z ∈ C : | arg z| < θ} оператор-
функцiї ezA, сильно неперервної уздовж довiльного променя в
Σ(θ) з початком в нулi. Якщо ж для будь-якого ψ ∈ (0, θ)
∃Mψ,∀z ∈ Σ(ψ) : ‖ezA‖ ≤Mψ,
то пiвгрупа {etA}t≥0 називається обмеженою аналiтичною.
2. Перейдемо тепер до рiвняння (1), де B – позитивний опе-
ратор в B, тобто B ∈ E(B), (−∞, 0] ∈ ρ(B) i iснує стала M > 0
така, що
∀λ ≥ 0 : ‖(B + λI)−1‖ ≤ M
1 + λ
.
Згiдно iз [7, 8], у цьому випадку є визначеними дробовi степенi
Bα, 0 < α < 1, оператора B, а оператор A = −B
1
2 генерує обме-
жену аналiтичну C0-пiвгрупу {etA}t≥0 у просторi B з вiд’ємним
Умови iснування обмежених розв’язкiв... 91
типом
ω(A) = lim
t→∞
ln ‖etA‖
t
= −
√
s(B),
де
0 < s(B) = sup
λ∈σ(B)
Reλ.
Як показано в [6] (Теорема 6.13), зв’язок мiж степенями
(−A)α = Bα/2 i пiвгрупою {etA}t≥0 здiйснюється таким чином.
Твердження 2. Для будь-яких t > 0 та α ≥ 0:
a) etA : B 7→ D((−A)α);
b) оператор (−A)αetA обмежений, i∥∥(−A)αetA
∥∥ ≤Mαt
−αe−δt,
де δ ∈ (0,
√
s(B)).
Пiд розв’язком (класичним) рiвняння (1) на R розумiти-
мемо двiчi неперервно диференцiйовну вектор-функцiю y(t) :
R 7→ B таку, що y(2k)(t) ∈ D(B1−k) (k = 0, 1), вектор-функцiя
B1−ky(2k)(t) є неперервною в B на R, i y(t) задовольняє (1).
Розглянемо спочатку однорiдне рiвняння(
d2
dt2
−B
)
y(t) = 0, t ∈ R, (2)
Твердження 3. (див.[4]) Вектор-функцiя y(t) : R 7→ B є роз-
в’язком рiвняння (2) тодi i тiльки тодi, коли її можна подати
у виглядi
y(t) = exp(tA)f + exp(−tA)g,
де A = −B
1
2 , f, g ∈ B+(A). Вектори f i g однозначно визна-
чаються за y(t). Якщо y(t) – розв’язок рiвняння (2) на R i для
деякого γ ∈ (0,
√
s(B))
∃cγ > 0, ∀t ∈ R : ‖y(t)‖ ≤ cγeγ|t|,
то y(t) ≡ 0. У випадку, коли B – нормальний оператор у гiль-
бертовому просторi, можлива також рiвнiсть γ =
√
s(B).
92 В. М. Горбачук
3. Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння (1).
Позначимо через Cb(R,B) множину всiх обмежених непере-
рвних на R B-значних вектор-функцiй. Будемо говорити, що
вектор-функцiя x(t) : R 7→ B задовольняє умову неперервно-
стi Гельдера з показником α ∈ (0, 1), якщо iснує стала L > 0
така, що
‖x(t)− x(s)‖ ≤ L|t− s|α. (3)
Клас усiх вектор-функцiй x(t) з Cb(R,B), що задовольняють
умову (3), позначатимемо Cαb (R,B). Через C̃αb (R,B) позначати-
мемо множину вектор-функцiй x(t) ∈ Cb(R,B), для яких
‖x(t+ s)− 2x(t) + x(t− s)‖ ≤ L|t− s|α.
Очевидно, що Cαb (R,B) ∈ C̃αb (R,B).
Пiд узагальненим розв’язком рiвняння (1) на R розумiтимемо
неперервну вектор-функцiю y(t) : R 7→ B, для якої виконується
iнтегральна тотожнiсть∫
R
〈(
d2
dt2
−B∗
)
ϕ(t), y(t)
〉
dt =
∫
R
〈ϕ(t), f(t)〉 dt,
де ϕ(t) – довiльна нескiнченно диференцiйовна фiнiтна вектор-
функцiя зi значеннями в D(B∗) така, що вектор-функцiя B∗ϕ(t)
є неперервною, 〈·, ·〉 – дiя функцiонала на вiдповiдний елемент.
Неважко переконатись, що якщо f(·) ∈ Cb(R,B), то вектор-
функцiя
z(t) =
A−1
2
∞∫
−∞
e|t−s|Af(s) ds (4)
є узагальненим розв’язком рiвняння (1). Як показано в [9], за
умови, що f ′(·) ∈ Cb(R,B) або ∀s ∈ R : f(s) ∈ D(A) i Af(·) ∈
Cb(R,B), вектор-функцiя (4) – розв’язок (1). Наша мета зараз
полягатиме у вiдшуканнi бiльш широкого класу вектор-функцiй
f(·) ∈ Cb(R,B), для яких z(t) є розв’язком цього рiвняння.
Умови iснування обмежених розв’язкiв... 93
За допомогою замiни змiнних t − s = ξ в iнтегралi
t∫
−∞
e(t−s)Af(s) ds i s−t = ξ – в iнтегралi
∞∫
t
e(s−t)Af(s) ds прийдемо
до таких зображень для z(t) та z′′(t):
z(t) =
A−2
2
∞∫
0
esAAωf (t, s) ds+A−2f(t),
ωf (t, s) = f(t+ s) + f(t− s)− 2f(t);
(5)
z′′(t) =
1
2
∞∫
0
esAAωf (t, s) ds. (6)
Покладемо
ω2(s, f) = sup
|τ |≤s
sup
t∈R
‖ωf (t, τ)‖.
Функцiя ω2(s, f) є неперервною на [0,∞) при фiксованому f i
ω2(0, f) = 0. Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай f(·) ∈ Cb(R,B) задовольняє умову
1∫
0
ω2(s, f)
s
ds <∞. (7)
Тодi z(t) є розв’язком рiвняння (1).
Доведення. Iз зображень (5) та (6) випливає, що якщо
v(t) =
∞∫
0
esAAωf (t, s) ds ∈ Cb(R,B),
то z(t) ∈ D(A) (t ∈ R), A2z(·) ∈ Cb(R,B) i z′′(·) ∈ Cb(R,B).
94 В. М. Горбачук
Покладемо
v(t) = v1(t) + v2(t) =
1∫
0
esAAωf (t, s) ds+
∞∫
1
esAAωf (t, s) ds. (8)
Оскiльки, за твердженням 2, вектор-функцiя esAAn+1ωf (t, s) є
неперервною при (t, s) ∈ R× [1,∞) i
∀n ∈ N :
∥∥esAAn+1ωf (t, s)
∥∥ ≤ s−(n+1)e−δs sup
t,s
‖ωf (t, s)‖,
то
v2(t) = A−n
∞∫
1
esAAn+1ωf (t, s) ds ∈ D(An),
звiдки
Anv2(t) =
∞∫
1
esAAn+1ωf (t, s) ds ∈ Cb(R,B). (9)
Враховуючи, що при фiксованому s ∈ (0, 1] вектор-функцiя
esAAωf (t, s) належить до Cb(R,B), а також нерiвностi∥∥esAAωf (t, s)
∥∥ ≤ ω2(s, f)
s
i (7), одержуємо
1∫
0
esAAωf (t, s) ds ∈ Cb(R,B). (10)
Спiввiдношення (9) та (10) зумовлюють включення v(·) ∈
Cb(R,B), звiдки, беручи до уваги (5) i (6), робимо висновок, що
z(t) – розв’язок рiвняння (1), що й завершує доведення теореми.
Наслiдок 1. Якщо f(·) ∈ C̃αb (R,B), то вектор-функцiя z(t) є
розв’язком рiвняння (1).
Умови iснування обмежених розв’язкiв... 95
Теорема 2. Нехай f(s) ∈ D((−A)α), 0 < α ≤ 1, i функцiя
‖(−A)αf(s)‖ є обмеженою. Тодi для α′ ∈ (0, α) мають мiсце
включення
z(t) ∈ D((−A)2+α
′
), z′′(t) ∈ D((−A)α
′
),
вектор-функцiї (−A)2+αz(t) та (−A)αz′′(t) неперервнi на R i z(t)
є розв’язком рiвняння (1).
Доведення. Iз зображень (5) i (6) для z(t) i z′′(t) випливає, що
для доведення теореми досить показати, що
v(t) =
∞∫
0
esAAωf (t, s) ds ∈ Cb
(
R,D((−A)α
′
)
та
(−A)α
′
v(t) ∈ Cb(R,B).
Подаючи v(t) у виглядi (8) i враховуючи мiркування, наведенi
при доведеннi теореми 1, приходимо до висновку, що
∀n ∈ N : v2(t) ∈ D(An) i Anv2(t) ∈ Cb(R,B). (11)
Вiзьмемо α′′ = 1− (α− α′) < 1. Тодi
esAAωf (t, s) = (−A)1−αesAAαωf (t, s) =
= (−A)−α
′
esA(−A)α
′′
(−A)αωf (t, s).
Оскiльки∥∥∥esA(−A)α
′′
(−A)αωf (t, s)
∥∥∥ ≤ Mα′′
sα′′ sup
t,s∈R
‖(−A)αωf (t, s)‖
i вектор-функцiя esA(−A)α
′′
(−A)αωf (t, s) є неперервною по s по
i t, (s, t) ∈ (0, 1]× R, маємо
(−A)α
′
v1(t) ∈ Cb(R,B). (12)
96 В. М. Горбачук
Тодi iз зображень (5), (6) та включень (11), (12) випливає, що
z(t) – розв’язок рiвняння (1), що й треба було довести.
Нагадаємо, що неперервна вектор-функцiя f(t) : R 7→ B на-
зивається майже перiодичною (за Бором), якщо для довiльного
ε > 0 iснує стала Lε > 0 така, що кожний iнтервал з R, довжина
якого не менша за Lε, мiстить точку τ = τ(ε) (ε-майже перiод)
iз властивiстю
∀t ∈ R : ‖f(t)− f(t+ τ)‖ < ε.
Виходячи з теорем 1, 2, наслiдку 1 та твердження 3, прийдемо
до основної теореми.
Теорема 3. Нехай f(·) ∈ Cb(R,B). Тодi iснує один i лише один
обмежений узагальнений розв’язок y(t) рiвняння (1) на R i вiн
зображується у виглядi (5). Якщо ж f(·) ∈ C̃αb (R,B), α ∈ (0, 1),
або f(·) ∈ Cb(R,D(Aα), то цей розв’язок є класичним. У випад-
ку, коли вектор-функцiя f(t) є майже перiодичною (перiодич-
ною), розв’язок також є майже перiодичним (перiодичним).
Лiтература
[1] R. Goodman, Analytic and entire vectors for representations of Lie
groups, Trans. Amer. Math. Soc. 143 (1969), 55-76.
[2] V. I. Gorbachuk and M. L. Gorbachuk, Boundary Value Problems
for Operator Differential Equations, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht-Boston-London, 1991.
[3] M. L. Gorbachuk and Yu. G. Mokrousov, On density of some sets
of infinitely differentiable vectors of a closed operator on a Banach
space, Methods Funct. Anal. Topology 8 (2002), no. 1, 23-29.
[4] V. M. Gorbachuk, On solutions of parabolic and elliptic type
differential equations on (−∞,∞) in a Banach space, Methods Funct.
Anal. Topology 14 (2008), no. 2, 177-183.
[5] К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, Москва, 1967.
Умови iснування обмежених розв’язкiв... 97
[6] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial
differential equations, Springer, New York ets., 1983.
[7] H. Komatsu, Fractional powers of operators, Pacific J. of Math. 19
(1966), no. 2, 285-346.
[8] С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве, Наука, Москва, 1967.
[9] V. M. Gorbachuk, On the structure of solutions of operator-
differential equations on the whole real axis, Methods Funct. Anal.
Topology 21 (2015), no. 2, 170-178.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-209 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/9024dc6d1ef51f385d1b0b22d1466e45.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2092018-01-29T12:25:46Z Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis Умови існування обмежених розв'язків диференціального рівняння у банаховому просторі на всій числовій осі Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. We consider an equation of the form $y''(t)- By(t) = f(t), \ t \in (-\infty, \infty)$, where $B$ is a positive operator in a Banach space. For the vector-valued function $f(t)$, we establish sufficient conditions under which a bounded solution to this equation exists and is unique. Розглядається рівняння вигляду $y''(t)- By(t) = f(t), \ t \in (-\infty, \infty)$, де $B$ - позитивний оператор у банаховому просторі. Установлюються умови на вектор-функцію $f(t)$, достатні для існування і єдиності обмеженого розв'язку цього рівняння. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/209 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 88-97 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 88-97 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 88-97 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/209/186 Авторське право (c) 2016 В. М. Горбачук |
| spellingShingle | Gorbachuk, V. M. Горбачук, В. М. Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title | Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title_alt | Умови існування обмежених розв'язків диференціального рівняння у банаховому просторі на всій числовій осі |
| title_full | Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title_fullStr | Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title_full_unstemmed | Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title_short | Conditions of existence of bounded solutions of differential equation in Banach space on the real axis |
| title_sort | conditions of existence of bounded solutions of differential equation in banach space on the real axis |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/209 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvm conditionsofexistenceofboundedsolutionsofdifferentialequationinbanachspaceontherealaxis AT gorbačukvm conditionsofexistenceofboundedsolutionsofdifferentialequationinbanachspaceontherealaxis AT gorbachukvm umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívdiferencíalʹnogorívnânnâubanahovomuprostorínavsíjčislovíjosí AT gorbačukvm umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívdiferencíalʹnogorívnânnâubanahovomuprostorínavsíjčislovíjosí |