On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations
The paper studies the convergence and approximation of solutions of two-point boundary value problems for the Shin--Zettl quasidifferential equations of arbitrary order $m\in\mathbb{N}$ on the finite interval. The sufficient conditions for the uniform convergence of these solutions are found in term...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/210 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552735005474816 |
|---|---|
| author | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_facet | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Горюнов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Goriunov, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T12:29:55Z |
| description | The paper studies the convergence and approximation of solutions of two-point boundary value problems for the Shin--Zettl quasidifferential equations of arbitrary order $m\in\mathbb{N}$ on the finite interval. The sufficient conditions for the uniform convergence of these solutions are found in terms of coefficient matrices, right-hand members and matrices defining boundary conditions. Also we prove that these solutions may be approximated with solutions of boundary value problems for differential equations with infinitely smooth coefficients. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 98–107
УДК 517.984, 517.923
А. С. Горюнов
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про збiжнiсть та апроксимацiю
розв’язкiв крайових задач для
квазiдиференцiальних рiвнянь
goriunov@imath.kiev.ua
The paper studies the convergence and approximation of solutions of
two-point boundary value problems for the Shin–Zettl quasidifferenti-
al equations of arbitrary order m ∈ N on the finite interval. The suffi-
cient conditions for the uniform convergence of these solutions are
found in terms of coefficient matrices, right-hand members and matri-
ces defining boundary conditions. Also we prove that these solutions
may be approximated with solutions of boundary value problems for
differential equations with infinitely smooth coefficients.
В роботi дослiджується питання збiжностi та апроксимацiї
розв’язкiв двоточкових крайових задач для квазiдиференцiаль-
них за Шином-Цеттлом рiвнянь довiльного порядку m ∈ N на
скiнченному iнтервалi. Знайдено достатнi умови рiвномiрної збi-
жностi розв’язкiв та їх квазiпохiдних до порядку m − 1 у термi-
нах матриць коефiцiєнтiв, правих частин i матриць, що задають
крайовi умови. Зокрема, встановлена можливiсть апроксимацiї
розв’язкiв таких задач розв’язками крайових задач для диферен-
цiальних рiвнянь з нескiнченно гладкими коефiцiєнтами.
Основний об’єкт, що дослiджується в роботi — крайовi задачi
для квазiдиференцiальних рiвнянь Шина–Цеттла. Поняття ква-
зiдиференцiальних виразiв (або квазiпохiдних) було введене у
c© А. С. Горюнов, 2016
Про збiжнiсть та апроксимацiю розв’язкiв... 99
роботах Шина [13, 14, 15] i пiзнiше узагальнено Цеттлом [9], див.
також [1]. Це поняття є узагальненням звичайного диференцi-
ального виразу.
Як вiдомо, у сучаснiй математичнiй фiзицi помiтне значення
мають диференцiальнi крайовi задачi з узагальненими функцiя-
ми в коефiцiєнтах. Виявляється, що деякi класи таких задач мо-
жна iнтерпретувати як квазiдиференцiальнi за Шином-Цеттлом
крайовi задачi (див., зокрема, роботи [2, 8]). У зв’язку з цим
представляє iнтерес дослiдження таких задач i вiдповiдних їм
операторiв. Спектральна теорiя таких операторiв розроблялась
в [5, 7].
Дану роботу присвячено дослiдженню збiжностi розв’язкiв
двоточкових крайових задач для квазiдиференцiальних рiвнянь
спецiального вигляду. Зокрема, показано, що розв’язок такої за-
дачi разом з усiма його квазiпохiдними може бути побудований
як границя розв’язкiв крайових задач з коефiцiєнтами з деякої
всюди щiльної в L1([a, b],C) пiдмножини простору C∞([a, b],C)
(зокрема, полiномiальними).
Близькi результати, що стосуються виразiв Штурма-Лiувiлля
з сингулярними коефiцiєнтами, отриманi в роботi [4].
Перейдемо до формулювання об’єкту дослiдження.
Почнемо з того, що введемо квазiпохiднi Шина–Цеттла вiд-
повiдно до [10, 11]. Це окремий випадок загальних квазiпохiдних
Шина–Цеттла, що розглядались в [1, 9] та iнших роботах.
Нехай m ∈ N i задано скiнченний вiдрiзок [a, b]. Квазiпохiднi
функцiї y(t) визначаються рекурентним чином за формулами:
D[0]y := y,
D[k]y := (D[k−1]y)′ −
k∑
s=1
ak,s(t)D
[s−1]y,
k = 1, 2, . . . ,m,
100 А. С. Горюнов
для функцiй y(t) з множини визначення квазiпохiдних
Dom(A) :=
{
y
∣∣∣D[k]y ∈ AC([a, b],C), k = 0,m− 1,
}
.
Тут коефiцiєнти ak,s(t) ∈ L1 ([a, b],C), k ∈ {1, 2, . . . ,m}, s ∈
{1, 2, . . . , k}. З означення квазiпохiдних одразу випливає, що
D[m]y ∈ L1([a, b],C).
Позначимо через A(t) комплекснозначну матрицю-функцiю
порядку m, що мiстить коефiцiєнти квазiпохiдних:
A(t) :=
a1,1 1 0 . . . 0 0
a2,1 a2,2 1 . . . 0 0
...
...
...
. . .
...
am−1,1 am−1,2 am−1,3 . . . am−1,m−1 1
am,1 am,2 am,3 . . . am,m−1 am,m
(1)
Легко помiтити, що така матриця є матрицею Шина–Цеттла у
сенсi роботи [9].
Зауваження 1. Нехай ak,s ∈ C∞ ([a, b],C). Тодi всi квазiпохiднi
Шина-Цеттла, включно з D[m]y, є диференцiальними виразами
з нескiнченно гладкими коефiцiєнтами.
Якщо ak,s є полiномами, то всi квазiпохiднi Шина–Цеттла,
включно з D[m]y, є диференцiальними виразами з полiномiаль-
ними коефiцiєнтами.
Позначимо для кожного t ∈ [a, b]
ŷ(t) :=
(
D[0]y(t), D[1]y(t), . . . , D[m−1]y(t)
)
∈ Cm.
Розглянемо двохточкову квазiдиференцiальну крайову задачу
D[m]y(t) = f(t) ∈ L1([a, b],C), (2)
αŷ(a) + βŷ(b) = c, (3)
де матрицi α, β ∈ Cm×m, а вектор c ∈ Cm.
Про збiжнiсть та апроксимацiю розв’язкiв... 101
Пiд розв’язком цiєї крайової задачi розумiється функцiя
yn(t) ∈ Dom(A), яка задовольняє квазiдиференцiальне рiвнян-
ня (2) майже скрiзь на вiдрiзку [a, b] та крайову умову (3).
Наступне твердження пов’язує квазiдиференцiальну крайову
задачу (2), (3) з системами диференцiальних рiвнянь першого
порядку.
Лема 1. Функцiя y(t) є розв’язком крайової задачi (2), (3) тодi
i тiльки тодi, коли вектор-функцiя w(t) = ŷ(t) є розв’язком
крайової задачi
w′(t) = A(t)w(t) + ϕ(t), (4)
αw(a) + βw(b) = c, (5)
де вектор-функцiя ϕ(t) = (0, 0, ..., 0, f(t)) ∈ L1([a, b];Cm).
Доведення. Розглянемо систему рiвнянь
(D[k−1]y(t))′ = D[k]y(t) +
k∑
s=1
ak,s(t)D
[s−1]y(t),
k = 1, 2, . . . ,m− 1,
(D[m−1]y(t))′ =
m∑
s=1
am,s(t)D
[s−1]y(t) + f(t).
Якщо y(·) – розв’язок рiвняння (2), то з означення квазiпохi-
дних випливає, що y(·) є розв’язком цiєї системи. З iншого боку,
поклавши w(t) = ŷ(t) i ϕ(t) = (0, 0, ..., 0, f(t)), дану систему мо-
жна записати у виглядi рiвняння (4).
Враховуючи, що ŷ(a) = w(a), ŷ(b) = w(b), легко бачити, що
крайовi умови (3) еквiвалентнi крайовим умовам (5). �
Розглянемо на вiдрiзку [a, b] послiдовнiсть матриць Шина–
Цеттла порядку m An(t) := (ak,s,n(t)), n ∈ N, яким вiдповiдають
квазiпохiднi D[0]
n y,D
[1]
n y, . . . , D
[m]
n y функцiї y(t).
Позначимо для кожного t ∈ [a, b]
ŷn(t) =
(
D[0]
n y(t), D
[1]
n y(t), . . . , D
[mj−1]
n y(t)
)
∈ Cm
102 А. С. Горюнов
та розглянемо поряд з задачею (2), (3) послiдовнiсть двоточкових
крайових задач
D[m]
n y(t) = fn(t) ∈ L2([a, b];C), (6)
αnŷn(a) + βnŷn(b) = cn, (7)
де матрицi αn, βn ∈ Cm×m, а вектор cn ∈ Cm.
Вiдповiдно до леми 1, вони еквiвалентнi крайовим задачам
w′(t) = An(t)w(t) + ϕn(t), (8)
αnw(a) + βnw(b) = cn, (9)
де w(t) = ŷn(t) i ϕn(t) = (0, 0, ..., 0, fn(t)) ∈ L1([a, b];Cm).
Позначимо через Y (t) матрицант задачi (4), (5), тобто розв’я-
зок матричної задачi Кошi
Y ′(t) = A(t)Y (t), Y (a) = I, (10)
де I — одинична m×m-матриця.
Аналогiчно позначимо через Yn(·) — матрицанти, що вiдпо-
вiдають задачам (8), (9), тобто розв’язки матричних задач Кошi
Y ′n(t) = An(t)Yn(t), Yn(a) = I, (11)
i через Zn(t) — матрицанти, що є розв’язками матричних задач
Кошi
Z ′n(t) = [An(t)−A(t)]Zn(t), Zn(a) = I. (12)
Теорема 1. Нехай виконанi умови:
1) однорiдна крайова задача
D[m]y = 0, αŷ(a) + βŷ(b) = 0
має тiльки тривiальний розв’язок;
Про збiжнiсть та апроксимацiю розв’язкiв... 103
2) матрицанти Zn(t) задовольняють граничне спiввiдношен-
ня
lim
n→∞
‖Zn(t)− I‖∞ = 0;
3) правi частини задовольняють умову ‖fn(·)‖1 = O(1) та
граничне спiввiдношення
‖
∫ t
a
(fn(s)− f(s)) ds‖∞ → 0, n→∞;
4) матрицi, що визначають крайовi умови, i вектори у
правих частинах задовольняють граничнi спiввiдношення
αn → α, βn → β, cn → c, n→∞.
Тодi при достатньо великих n однозначно визначенi розв’яз-
ки задач (6), (7) задовольняють граничнi спiввiдношення
‖D[k]
n yn −D[k]y‖∞ → 0, n→∞, k ∈ {0, 1, . . . ,m− 1}. (13)
Тут i далi ‖ · ‖∞ — рiвномiрна норма, а ‖ · ‖1 — норма в бана-
ховому просторi L1([a, b],C).
Зауваження 2. Умова 2 означає, що матриця An(t)−A(t) нале-
жить до класуM =M(a, b;m), введеного в роботах Михайлеця
i його учнiв, див., зокрема, роботу [6]. При доведеннi теореми 1
ми скористаємось результатами цiєї роботи.
Доведення. В силу леми 1 отримуємо, що умова 1 теореми
рiвносильна тому, що однорiдна гранична крайова задача
w′(t) = A(t)w(t), (14)
αw(a) + βw(b) = 0, (15)
також буде мати лише тривiальний розв’язок.
При цьому за побудовою функцiй ϕ та ϕn з умови 3 випливає,
що
‖ϕn‖1 ≤ c <∞
104 А. С. Горюнов
та
‖
∫ t
a
(ϕn(s)− ϕ(s)) ds‖∞ → 0 n→∞.
Тодi, враховуючи зауваження 2 роботи [6], можна застосувати
до задач (8), (9) теорему 1 цiєї роботи з ε := 1/n та Bεw =
αnw(a) + βnw(b).
Звiдси ми отримуємо граничне спiввiдношення
‖wn(·)− w0(·)‖∞ →∞, n→∞.
Тут w0 — розв’язок крайової задачi (4), (5), а wn — розв’язки за-
дач (8), (9). Враховуючи лему 1, звiдси випливає спiввiдношення
(13). �
Умова 2 теореми 1 не є конструктивною. При доведеннi насту-
пної теореми ми скористаємось результатом, отриманим в [12].
При цьому вiдмiтимо, що результати роботи [12] були iстотно
посиленi в подальших роботах, див. [6] i наведенi там посилан-
ня. Тим не менше, зараз нам буде достатньо нижченаведеного
результату.
Лема 2. Якщо при n→∞ виконана одна з чотирьох (нееквiва-
лентних мiж собою) умов:
(α) ‖An −A‖1 = O(1),
(β) ‖
∫ t
a (An(s)−A(s)) ds · (An(t)−A(t)) ‖1 → 0,
(γ) ‖ (An(t)−A(t)) ·
∫ t
a (An(s)−A(s)) ds‖1 → 0,
(δ) ‖
∫ t
a (An(s)−A(s)) ds (An(t)−A(t))−
− (An(t)−A(t))
∫ t
a (An(s)−A(s)) ds‖1 → 0,
то умова ‖
∫ t
a (An(s)−A(s)) ds‖C → 0 рiвносильна умовi 2 тео-
реми 1.
Про збiжнiсть та апроксимацiю розв’язкiв... 105
Розглянемо знову лише задачу (2), (3).
Нехай X([a, b]) — довiльна всюди щiльна в L1([a, b],C) мно-
жина функцiй iз C∞([a, b],C).
Тодi справедливе наступне твердження.
Теорема 2. Нехай однорiдна крайова задача
D[m]y(t) = 0, αŷ(a) + βŷ(b) = 0
має тiльки тривiальний розв’язок.
Тодi для задачi (2), (3) iснує послiдовнiсть диференцiальних
крайових задач вигляду (6), (7), таких, що:
1) їх коефiцiєнти ãk,s,n ∈ X([a, b]);
2) iснують розв’язки цих задач i виконуються граничнi спiв-
вiдношення (13).
Доведення. Для доведення теореми 2 нам достатньо буде,
спираючись на лему 2, замiнити умову 2 теореми 1 на таку: ‖An−
A‖1 → 0.
З означення класу X([a, b]) випливає, що для будь-яких k ∈
{1, . . . ,m}, s ∈ {1, . . . , k} iснує послiдовнiсть {ãk,s,n}n≥1 така, що
‖ãk,s,n − ak,s‖1 → 0, n→∞.
Очевидно, що при кожному n набори функцiй ãk,s,n породжу-
ють матрицi Ãn Шина-Цеттла. Iз зауваження 1 випливає, що
пов’язанi з цими матрицями квазiдиференцiальнi вирази є ди-
ференцiальними з коефiцiєнтами iз C∞([a, b],C).
Також виберемо послiдовностi матриць αn, βn, такi, що αn →
α, βn → β, n→∞, та послiдовнiсть векторiв cn, таку, що cn → c,
n→∞.
Тодi твердження теореми одразу випливає з теореми 1. �
Лiтература
[1] Everitt W. N., Markus L. Boundary Value Problems and Symplectic
Algebra for Ordinary Differential and Quasi–differential Operators. –
Providence: Amer. Math. Soc., 1999.
106 А. С. Горюнов
[2] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm–
Liouville equations // Methods Funct. Anal. Topology. — 2010. — 16,
№ 2. — P. 120–130.
[3] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term di-
fferential equations with singular coefficients by quasiderivatives //
Ukrainian Math. J. — 2011. — 63, № 9. — P. 1190–1205.
[4] Goriunov A. S. Convergence and approximation of the
Sturm–Liouville operators with potentials-distributions // Ukrainian
Math. J. — 2015. — 67, № 5. — P. 680–689.
[5] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-
adjoint quasi-differential operators and boundary-value problems //
Electron. J. Diff. Equ. — 2013. — № 101. — P. 1–16.
[6] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for
one-dimensional boundary-value problems // Ukrainian Math. J. —
2013. — 65, № 1. — P. 77–90.
[7] Mikhailets V. A., Molyboga V. M. Singular eigenvalue problems on the
circle // Meth. Funct. Anal. Topol. — 2004. —10, № 3. — P. 44–53.
[8] Savchuk A., Shkalikov A. Sturm–Liouville operators with singular
potentials // Math. Notes. — 1999. — 66, № 5-6. — P. 741–753.
[9] Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky
Mountain J. Math. — 1975. —5, № 3. — P. 453–474.
[10] Горюнов А. С., Михайлец В. А. О расширениях симметрических
квазидифференциальных операторов четного порядка // Допо-
вiдi НАН України. — 2009. — № 4. — С. 19–24.
[11] Горюнов А. С., Михайлец В. А. О расширениях симметрических
квазидифференциальных операторов нечетного порядка // Допо-
вiдi НАН України. — 2009. — № 9. — С. 27–31.
[12] Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ =
An(t)X // Докл. АН СССР. — 1967. — 176, № 4. — С. 774–777.
[13] Шин Д. Теорема существования квазидифференциального урав-
нения n-го порядка // Докл. АН СССР. — 1938. — 18, № 8. —
С. 515–518.
Про збiжнiсть та апроксимацiю розв’язкiв... 107
[14] Шин Д. О решениях линейного квазидифференциального урав-
нения n-го порядка // Матем. сборник. — 1940. — 7(49), № 3. —
С. 479–532.
[15] Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом
пространстве // Матем. сборник. — 1943. — 13(55), № 1. — С. 39–
70.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-210 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:09Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f5/b63bd124b51e0ec107c1be4a8dfb22f5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2102018-01-29T12:29:55Z On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations Про збіжність та апроксимацію розв'язків крайових задач для квазідиференціальних рівнянь Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. The paper studies the convergence and approximation of solutions of two-point boundary value problems for the Shin--Zettl quasidifferential equations of arbitrary order $m\in\mathbb{N}$ on the finite interval. The sufficient conditions for the uniform convergence of these solutions are found in terms of coefficient matrices, right-hand members and matrices defining boundary conditions. Also we prove that these solutions may be approximated with solutions of boundary value problems for differential equations with infinitely smooth coefficients. В роботі досліджується питання збіжності та апроксимації розв'язків двоточкових крайових задач для квазідиференціальних за Шином-Цеттлом рівнянь довільного порядку $m\in\mathbb{N}$ на скінченному інтервалі. Знайдено достатні умови рівномірної збіжності розв'язків та їх квазіпохідних до порядку $m-1$ у термінах матриць коефіцієнтів, правих частин і матриць, що задають крайові умови. Зокрема, встановлена можливість апроксимації розв'язків таких задач розв'язками крайових задач для диференціальних рівнянь з нескінченно гладкими коефіцієнтами. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/210 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 98-107 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 98-107 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 98-107 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/210/187 Авторське право (c) 2016 А. С. Горюнов |
| spellingShingle | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title | On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title_alt | Про збіжність та апроксимацію розв'язків крайових задач для квазідиференціальних рівнянь |
| title_full | On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title_fullStr | On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title_full_unstemmed | On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title_short | On convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| title_sort | on convergence and approximation of solutions of boundary value problems for quasidifferential equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/210 |
| work_keys_str_mv | AT goriunovas onconvergenceandapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblemsforquasidifferentialequations AT gorûnovas onconvergenceandapproximationofsolutionsofboundaryvalueproblemsforquasidifferentialequations AT goriunovas prozbížnístʹtaaproksimacíûrozv039âzkívkrajovihzadačdlâkvazídiferencíalʹnihrívnânʹ AT gorûnovas prozbížnístʹtaaproksimacíûrozv039âzkívkrajovihzadačdlâkvazídiferencíalʹnihrívnânʹ |