Cover Image

Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators

We give a survey of the papers concerning the research of the well-posedness, in a multidimensional layer, of the problems with general nonlocal conditions with respect to the time variable which contain integral terms in the form of the arbitrary order moments of the unknown function. The problems...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2016
Main Authors: Kuz, A. M., Ptashnyk, B. Yo., Кузь, А. М., Пташник, Б. Й.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2016
Online Access:https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/212
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Download file: Pdf

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
_version_ 1872552736050905088
author Kuz, A. M.
Ptashnyk, B. Yo.
Кузь, А. М.
Пташник, Б. Й.
author_facet Kuz, A. M.
Ptashnyk, B. Yo.
Кузь, А. М.
Пташник, Б. Й.
author_institution_txt_mv [ { "author": "А. М. Кузь", "institution": "Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України" }, { "author": "Б. Й. Пташник", "institution": "Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України" } ]
author_sort Kuz, A. M.
baseUrl_str https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection OJS
datestamp_date 2018-01-29T12:45:53Z
description We give a survey of the papers concerning the research of the well-posedness, in a multidimensional layer, of the problems with general nonlocal conditions with respect to the time variable which contain integral terms in the form of the arbitrary order moments of the unknown function. The problems are considered for hyperbolic and parabolic equations and systems of equations, for mixed type equations, and for equations unsolved with respect to the higher time derivative in the class of functions that are almost periodic with respect to the spatial variables. Generally, these problems are conditionally well-posed, and their solvability is related to the problem of small denominators, which is solved by using the metric approach.
first_indexed 2026-08-04T01:04:10Z
format Article
fulltext Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 156–193 УДК 517.946+511.37 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник (Iнститут прикладних проблем механiки i математики iменi Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною для лiнiйних еволюцiйних рiвнянь та систем рiвнянь. Метричний пiдхiд до проблеми малих знаменникiв kuz.anton87@gmail.com, ptashnyk@lms.lviv.ua We give a survey of the papers concerning the research of the well- posedness, in a multidimensional layer, of the problems with general nonlocal conditions with respect to the time variable which contain integral terms in the form of the arbitrary order moments of the unknown function. The problems are considered for hyperbolic and parabolic equations and systems of equations, for mixed type equati- ons, and for equations unsolved with respect to the higher time deri- vative in the class of functions that are almost periodic with respect to the spatial variables. Generally, these problems are conditionally well-posed, and their solvability is related to the problem of small denominators, which is solved by using the metric approach. c© А. М. Кузь, Б. Й. Пташник, 2016 Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 157 Наведено огляд робiт авторiв, що стосуються дослiдження в бага- товимiрному шарi коректної розв’язностi задач iз загальними не- локальними умовами за часовою змiнною, якi мiстять iнтеграль- нi доданки у виглядi моментiв довiльного порядку вiд шуканої функцiї, для гiперболiчних i параболiчних рiвнянь та систем рiв- нянь, для рiвнянь мiшаного типу, а також рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом у класi функцiй, майже перi- одичних за просторовими змiнними. Цi задачi, взагалi, є умов- но коректними, а їхня розв’язнiсть пов’язана з проблемою малих знаменникiв, для розв’язання якої використано метричний пiдхiд. Вступ Упродовж останнiх десятирiч задачi з нелокальними (у тiм числi й iнтегральними) умовами стали важливим самостiйним предме- том дослiджень у теорiї крайових задач для рiвнянь iз частин- ними похiдними; вони були покликанi до життя як потребами побудови загальної теорiї крайових задач, так i потребами пра- ктики. Вiдома теорема Хермандера [57], яка стверджує, що для до- вiльного лiнiйного диференцiального оператора з частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами в обмеженiй областi iснує розв’язне розширення, тобто деяка коректна крайова задача, є теоремою iснування i не дає жодних вказiвок для ефективного описання коректної задачi за допомогою крайових умов для на- перед заданого оператора. О. О. Дезiн [13] вперше показав, що для опису всiх коректних задач для заданого диференцiального оператора зi сталими коефiцiєнтами необхiдно використовувати, крiм локальних, також i нелокальнi умови. Одним iз важливих класiв нелокальних умов є iнтегральнi умови. Дослiдження задач з iнтегральними умовами за видi- леною змiнною, якi є узагальненням дискретних нелокальних умов, для рiвнянь та систем рiвнянь iз частинними похiдни- ми розпочалось у 60-х роках ХХ столiття. Їх вивчення зумов- лене тим, що задачi з iнтегральними умовами виникають при 158 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник математичному моделюваннi багатьох фiзичних процесiв у ви- падках, коли неможливо вимiряти певнi фiзичнi величини, але вiдомi їхнi усередненi значення (дифузiя частинок у турбулен- тнiй плазмi [50], процеси теплопровiдностi [19, 69], вологопере- носу в капiлярно-пористих середовищах [41], проблеми матема- тичної бiологiї [42], процес зовнiшнього гетерування, який ви- користовується при очищеннi кремнiєвих плат вiд домiшок [40], довгострокове прогнозування погоди [63] тощо). Нелокальнi (у тiм числi iнтегральнi) умови використовують також як умови перевизначення при дослiдженнi обернених задач математичної фiзики (див. [68] та бiблiографiю там). Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь довiльно- го порядку задача зi загальними умовами, частинним випадком яких є iнтегральнi умови, була поставлена i дослiджена Я. Д. Та- маркiним [55, с. 94]: pn(t)y(n)(t) + · · ·+ p1(t)y′(t) + y(t) = f(t), t ∈ (a, b), (1) n∑ l=1 ( mil∑ j=1 αilju (l−1)(tilj) + ∫ b a ail(t)u (l−1)(t)dt ) = 0, i = 1, . . . , n, (2) де pj(t) ∈ C([a, b]), mil ∈ N, αilj ∈ R, ail(t) – iнтегровнi на iнтер- валi (a, b) функцiї. Я. Д. Тамаркiн встановив умови iснування функцiї Грiна задачi (1), (2) i обгрунтував її побудову. Для рiвнянь iз частинними похiдними задачi з iнтегральними умовами вивчались у рiзних аспектах у працях Дж. Р. Кеннона (J. R. Cannon) [69], В. Л. Каминiна [19], Д. Гордезiанi, Г. Ава- лiшвiлi [66], О. А. Самарського [50], В. М. Борок [9, 10], З. О. Мельника та В. М. Кирилича [38], Л. В. Фардiголи [60–62], П. I. Каленюка [17, 18], I. Я. Кмiть [71], Л. С. Пулькiної [45], I. Д. Пукальського [44], S. Mesluob, A. Bouziani [73] та iн., де видiлено коректнi постановки задач. Однак, для еволюцiйних рiвнянь задачi з iнтегральними умо- вами за часовою змiнною назагал є умовно коректними. Їхня Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 159 розв’язнiсть часто пов’язана з проблемою малих знаменникiв i є нестiйкою вiдносно малих змiн параметрiв задачi. З проблемою малих знаменникiв уперше зiткнувся у кiнцi XVIII столiття П. Лаплас при дослiдженнi систем звичайних ди- ференцiальних рiвнянь, якi описують рух планет i супутникiв у гравiтацiйному полi. Математично ефект малих знаменникiв проявляється у тому, що в розв’язки рiвнянь руху планет, якi зображуються рядами, входить нескiнченна кiлькiсть членiв iз коефiцiєнтами, знаменники яких є як завгодно близькими до ну- ля, що спричиняє розбiжнiсть цих рядiв, тобто в русi планет з’являються резонанснi явища. А. М. Колмогоров [22] запропонував для розв’язання пробле- ми малих знаменникiв метричну концепцiю i застосував її до задачi про рухи на торi та в теорiї динамiчних систем. У цих за- дачах (як i у задачах небесної механiки) малi знаменники мають вигляд лiнiйних форм (ω, k) = ω1k1 + · · ·+ ωpkp, ω ∈ Rp, k ∈ Zp. Iдея метричного пiдходу полягала у наступному: 1) враховува- лось, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rp) векторiв ω виконуються оцiнки [1] |(ω, k)| > C (|k1|+ · · ·+ |kp|)−δ , C > 0, δ > p, k ∈ Zp \ {~0}; (3) 2) аналiз збiжностi рядiв з малими знаменниками проводився лише для тих ω, якi задовольняють оцiнки (3). Пiзнiше метрична концепцiя застосовувалась також при до- слiдженнi стiйкостi розв’язкiв звичайних нелiнiйних диференцi- альних рiвнянь [1,39] та у теорiї апроксимацiї функцiй наближе- ннями Паде [4]. Застосування метричного пiдходу до дослiдження умовно ко- ректних крайових задач для рiвнянь iз частинними похiдними дозволило встановити однозначну розв’язнiсть таких задач для майже всiх векторiв, компоненти яких виражаються через па- раметри областi, коефiцiєнти рiвнянь i коефiцiєнти граничних умов [7, 46,47]. 160 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Для окремих класiв рiвнянь iз частинними похiдними на осно- вi метричного пiдходу була дослiджена коректна розв’язнiсть ря- ду задач з iнтегральними умовами у виглядi послiдовних момен- тiв вiд шуканої функцiї за часовою змiнною. Зокрема, П. I. Шта- балюк [64] в областi {(t, x) ∈ Rp+1 : t ∈ (0, T ), x ∈ Rp} розглядав задачу з умовами∫ T 0 tju(t, x)dt = ϕj(x), j = 0, 1, . . . , n− 1, для строго гiперболiчного рiвняння n∑ α=0 ∑ |s|=α aα,s ∂nu ∂tn−α∂xs11 · · · ∂x sp p = 0, aα,s ∈ R, (4) i встановив iснування єдиного класичного розв’язку цiєї задачi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 та для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rξ, де ξ — кiлькiсть коефiцi- єнтiв рiвняння (4)) векторiв, складених з коефiцiєнтiв рiвняння (4), у класi функцiй, майже перiодичних за просторовими змiн- ними зi заданим спектром. О. М. Медвiдь та М. М. Симотюк [34,35] розглядали в областi QTp = (0, T )× Ωp, де Ωp = (R \ 2πZ)p, задачу з умовами∫ t1 0 tju(t, x)dt = ϕj(x), j = 0, 1, . . . , n− 1, x ∈ Ωp, t1 ∈ (0, T ], (5) для загальних (незалежно вiд типу) рiвнянь та систем рiвнянь iз частинними похiдними вигляду ∂n ∂tn u(t, x) + n−1∑ j=0 Aj(∂x) ∂j ∂tj u(t, x) = 0, (t, x) ∈ QTp , де Aj(ξ), ξ ∈ R, j ∈ {1, . . . , n}, — многочлени з комплексними ко- ефiцiєнтами степенiв Nj , Nj ∈ N. Встановлено iснування єдиного Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 161 2π-перiодичного за x розв’язку задачi для майже всiх (стосовно мiри Гаусдофа) чисел t1 ∈ (0, T ). Цi результати було поширено на випадок рiвнянь iз навантаженнями [36] та на системи рiвнянь iз вiдхиленням аргументу [37]. В. С. Iлькiв [14] розглянув задачу про знаходження 2π- перiодичного за x розв’язку безтипної системи диференцiальних рiвнянь зi змiнними за t коефiцiєнтами∑ s0+s1+...+sp6n As(t)∂ s1 x1 . . . ∂ sp xp∂ s0 t ~U(t, x) = 0, t ∈ (0, T ), x ∈ Ωp, який за змiнною t задовольняє умови∫ T 0 (µ(t) + ν)∂j−1 t ~U(t, x)dt = ~Φj(x), j = 1, . . . , n, x ∈ Ωp, де ~U(t, x) = col(U1(t, x), . . . , Um(t, x)), As(t) — квадратнi матрицi розмiруm×m, елементами яких є неперервнi функцiї за змiнною t на вiдрiзку [0, T ], An,0,...,0 — одинична матриця, µ(t) — обмеже- на на [0, T ] функцiя. Встановлено коректнiсть цiєї задачi у шкалi просторiв Соболєва для всiх параметрiв ν ∈ C (за винятком мно- жини як завгодно малої мiри Лебега в C). У данiй працi висвiтлено результати дослiджень авторiв, їхнiх учнiв та колег, що стосуються дослiдження коректної розв’язно- стi та побудови розв’язкiв задач у багатовимiрному шарi для лi- нiйних еволюцiйних рiвнянь i систем рiвнянь (гiперболiчних, па- раболiчних, гiперболо-параболiчних, а також рiвнянь типу Со- болєва — не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом) iз загальними нелокальними умовами за часовою змiнною вигля- ду (2), у яких aj1(t) = trj , ajl(t) ≡ 0, l = 2, . . . , n, rj ∈ Z+, j = 1, . . . , n, а позаiнтегральнi доданки можуть бути лiвими частинами локальних багатоточкових умов, локальних та нело- кальних двоточкових крайових умов чи початкових умов, в кла- сi функцiй, майже перiодичних за просторовими змiнними [67]. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв, якi виникли при побудовi розв’язкiв задач, використано метричний пiдхiд. 162 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник 1. Основнi позначення. Використовуватимемо наступнi позначення: x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp, dx = dx1 · · · dxp; ∂t = ∂/∂t, ∂xj = ∂/∂xj , ∂x = −i(∂x1 , . . . , ∂xp); k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp, |k| = |k1| + · · · + |kp|, s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+1 + , |s| = s1 + · · ·+ sp, ŝ = (s0, s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |ŝ| = s0 + s1 + · · · + sp; µk = (µk1 , . . . , µkp) ∈ Rp, |µk| = |µk1 | + · · · + |µkp |, (µk, x) = µk1x1 + · · · +µkpxp; Dp = {(t, x) ∈ Rp+1 : t ∈ (0, T ), x ∈ Rp}, Πp H = [0, H]p; Crq – кiлькiсть усiх комбiнацiй з q елементiв по r; mesRnA — мiра Лебега множини A ⊂ Rn; Cj , j = 1, 2, . . . , — додатнi величини, що не залежать вiд k та µk. V := {νn ∈ R : ν−n = −νn, d1|n|θ1 6 |νn| 6 d2|n|θ2 , n ∈ Z}, (6) де 0 < d1 6 d2, 0 < θ1 6 θ2; M := {µk ∈ Rp : µkj = νkj , νkj ∈ V, j = 1, . . . , p, k ∈ Zp}. З (6) випливає, що для всiх µk ∈M виконуються оцiнки D1|k|θ1 6 |µk| 6 D2|k|θ2 , (7) де D1 = d1 min{1, p1−θ1}, D2 = d2 max{1, p1−θ2}. 2. Функцiональнi простори Введемо простори майже перiодичних за x функцiй зi спектром M, якi використовуються данiй роботi. TM — простiр полiномiв v(x) = ∑ k vk exp(iµk, x), vk ∈ C, µk ∈ M. Збiжнiсть послiдовностi {vn}∞n=1 в TM до елемента v ∈ TM визначається так: 1) ∃n0, N ∈ N, ∀n > n0, vn(x) = ∑ |k|6N v n k exp(iµk, x), 2) ∀k ∈ Zp, |k| 6 N, vnk →n→∞ vk; Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 163 T ′M — простiр формальних рядiв f(x) = ∑ k∈Zp fk exp(iµk, x), який спiвпадає з простором усiх антилiнiйних функцiоналiв над TM. Дiя функцiоналу f ∈ T ′M на елемент v простору TM задає- ться формулою (f, v) = lim H→∞ 1 Hp ∫ ΠpH f(x)v(x)dx = ∑ k fkv̄k. Послiдовнiсть {fq}∞q=1 ⊂ T ′M збiгається до f ∈ T ′M, якщо (fq, v) −−−→ q→∞ (f, v) для довiльного v ∈ TM. Елементи просто- ру T ′M будемо називати узагальненими майже перiодичними функцiями. Ряд ∑ k∈Zp fk exp(iµk, x), який вiдповiдає елементу f ∈ T ′M, називається рядом Фур’є узагальненої майже перiоди- чної функцiї f , числа fk — коефiцiєнтами Фур’є. Легко бачити, що fk = (f, exp(iµk, x)). W α,β,γ M , α ∈ R, β > 0, γ > 0, — простiр, отриманий шляхом поповнення простору TM за нормою ‖v;W α,β,γ M ‖ = (∑ k∈Zp |vk|2 (1 + |µk|)2α exp(2β|µk|γ) )1/2 ; H α M ≡W α,0,0 M ; W α,β M ≡W α,β,1 M ; W α,β,γ M,m , m ∈ N, — простiр вектор-функцiй ~v(x) = col(v1(x), . . . , vm(x)) таких, що vq(x) ∈W α,β,γ M , q = 1, . . . ,m, iз нормою ‖~v;W α,β,γ M,m ‖ = m∑ q=1 ‖vq;W α,β,γ M ‖; Ch ([c, d] ; TM) ( Ch ([c, d] ; T ′M) ) , h ∈ Z+, c, d ∈ R, c < d, — простiр таких функцiй v (t, x) = ∑ k∈Zp vk(t) exp (iµk, x), vk ∈ Ch [c, d], k ∈ Zp, що при кожному фiксованому t ∈ [c, d] похiднi ∂jt v = ∑ k∈Zp v (j) k (t) exp (iµk, x), j = 0, 1, . . . , h, належать просто- ру TM (T ′M); 164 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Ch([c, d],W α,β,γ M ), h ∈ Z+, c, d ∈ R, c < d, — простiр фун- кцiй u(t, x) = ∑ k∈Zp uk(t) exp(iµk, x), uk(t) ∈ Ch[c, d], µk ∈ M, таких, що для кожного фiксованого t ∈ [c, d] похiднi ∂jt u(t, x) = ∑ k∈Zp u (j) k (t) exp(iµk, x), j = 0, 1, . . . , h, належать про- стору W α,β,γ M i є неперервними за t на [c, d] у нормi цього просто- ру, ‖u;Cn([c, d],W α,β,γ M )‖ = n∑ j=0 max t∈[c,d] ‖∂jt u(t, x);W α,β,γ M ‖; C h([c, d],W α,β,γ M,m ), h ∈ Z+, — простiр вектор-функцiй ~u(t, x) = = col ( u1(t, x), . . . , um(t, x) ) таких, що uq(t, x) ∈ C h([c, d],W α,β,γ M ), q = 1, . . . ,m, iз нормою ‖~u;C h([c, d],W α,β,γ M,m )‖ = m∑ q=1 ‖uq;C h([c, d],W α,β,γ M )‖; C (l,h) M,m(D p ) — простiр вектор-функцiй ~u(t, x) = col(u1(t, x), . . . , . . . , um(t, x)), якi є l разiв неперервно диференцiйовними за змiн- ною t та h разiв неперервно диференцiйовними i майже перiоди- чними за x зi спектромM iз нормою∥∥∥u;C (l,h) M (D p ) ∥∥∥ = m∑ q=1 ∑ 06|ŝ|6h s06l max t∈[0,T ] sup x∈Rp ∣∣∣∣∣ ∂|ŝ|uq(t, x) ∂ts0∂xs11 · · · ∂x sp p ∣∣∣∣∣ . C h M,m (Rp) — пiдпростiр вектор-функцiй iз C (l,h) M,m(D p ), якi не залежать вiд t; C h M,m(D p ) ≡ C (h,h) M,m(D p ), C (l,h) M (D p ) ≡ C (l,h) M,1 (D p ), C h M(D p ) ≡ C (h,h) M,1 (D p ), C h M (Rp) ≡ C h M,1 (Rp). 3. Вiдомостi з метричної теорiї чисел Наведемо ряд результатiв з метричної теорiї дiофантових набли- жень, якi використовуються при дослiдженнi оцiнок знизу малих Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 165 знаменникiв, що виникають у розглядуваних задачах. Лема 1 (Борель-Кантеллi, [53]). Нехай Aq, q = 1, 2, . . . , – послi- довнiсть вимiрних за Лебегом множин iз Rn, причому ∞∑ q=1 mesRn Aq <∞. Тодi мiра Лебега множини тих точок iз Rn, що потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aq, дорiвнює нулевi. Лема 2 (Бернiк, [5]). Нехай функцiя f(x) є (n+1) раз неперерв- но диференцiйовною на вiдрiзку [a, b] i нехай для всiх x ∈ [a, b] виконується нерiвнiсть |f (n)(x)| > C1 > 0. Тодi мiра Лебега множини тих x ∈ [a, b], для яких |f(x)| < ε, ε < C1, не перевищує C2 n √ ε/δ, C2 = C2(n). Лема 3 (Iлькiв, [14]). Нехай f(y) = f(y1, . . . , yp) – дiйснозначна функцiя, яка є досить гладкою в обмеженiй однозв’язнiй обла- стi G ⊂ Rp, i нехай похiднi ∂|s|f(y) ∂ys11 . . . ∂y sp p , |s| < q, як функцiї однiєї змiнної ym (при рештi фiксованих змiнних), 1 < m < p, мають в областi G скiнченну кiлькiсть нулiв. Якщо в G ∣∣∣∣ ∂qf(y) ∂yq11 . . . ∂y qp p ∣∣∣∣ > δ > 0, q = p∑ j=1 qj , q > 1, qj ∈ Z+, j = 1, . . . , p, то мiра Лебега в Rp множини тих y ∈ G, для яких |f(y)| < ε, не перевищує величини C3 q √ ε/δ, C3 = C3(G, q). 166 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Розглянемо квазiмногочлен Q(t) = m∑ j=1 Pj(t) exp(λjt), t ∈ [0, T0], 0 < T0 <∞. (8) де Pj(t) — многочлен з комплексними коефiцiєнтами степеня не вище (Nj − 1) за змiнною t, λj ∈ C, j = 1, . . . ,m. Позначимо N1 + · · ·+Nm := N, 1 + max 16j6m |λj | := B, min 16j6m Reλj := M, max t∈[0,T0] exp(−Mt) := Ψ, max 16q6N { B−q ∣∣∣Q(q−1)(t)|t=0 ∣∣∣} := F. Лема 4 (Симотюк, Медвiдь, [33]). Iснують такi сталi C4, C5 (якi залежать тiльки вiд n та T0), що для довiльного ε ∈ (0, ε0), ε0 = C4F/(4ΨBN−1), виконується нерiвнiсть mesR{t ∈ [0, T0] : |Q(t)| < ε} 6 C5B ( 4εΨ C4F ) 1 N−1 . 4. Загальна постановка задачi. Розв’язнiсть у класах функцiй Cn([0, T ], TM). Всi задачi, про якi нижче йтиме мова, можна об’єднати такою загальною постановкою: в областi Dp для еволюцiйного рiвняння N(∂t, ∂x)[u] := An(t, ∂x)∂nt + n−1∑ j=0 Aj(t, ∂x)∂jt u(t, x) = f(t, x), (9) потрiбно знайти майже перiодичний за змiнними x1, . . . , xp зi за- даним спектром M розв’язок, який за змiнною t задовольняє умови Uj [u] := αjLj [u] + βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), j = 1, . . . , n, (10) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 167 де Aq(t, η), η ∈ Rp, — многочлен за сукупнiстю змiнних η1, . . . , ηp степеня Nq, q = 0, 1, . . . , n, з комплексними коефiцiєнтами; αj , βj ∈ R, α2 j+β2 j 6= 0, rj ∈ Z+, Lj — лiнiйнi функцiонали, якi мо- жуть мiстити значення функцiї u(t, x) та її похiдних за змiнною t у точках t = 0 та t = T або у деяких точках t1, . . . , tn вiдрiзка [0, T ], j = 1, . . . , n; r1 < . . . < rn; f(t, x), ϕj(x), j = 1, . . . , n, — майже перiодичнi за x функцiї зi спектромM, f(t, x) = ∑ k∈Zp fk(t) exp(iµk, x), ϕj(x) = ∑ k∈Zp ϕjk exp(iµk, x), j = 1, . . . , n, де fk(t) = lim H→∞ 1 Hp ∫ [0,H]p f(t, x) exp(−iµk, x)dx, ϕjk = lim H→∞ 1 Hp ∫ [0,H]p ϕj(x) exp(−iµk, x)dx, j = 1, . . . , n. Означення 1. Розв’язком задачi (9), (10) iз простору Cn([0, T ], T ′M) називаємо ряд u(t, x) = ∑ k∈Zp uk(t) exp(iµk, x), µk ∈M, де кожен iз коефiцiєнтiв uk, k ∈ Zp, належить простору Cn([0, T ]) i задовольняє рiвнянняAn(µk) dn dtn + n−1∑ j=0 Aj(t, µk) dj dtj uk(t) = fk(t), (11) та рiвностi Uj [uk] := αjLj [uk] + βj ∫ T 0 trjuk(t)dt = ϕjk, j = 1, . . . , n. (12) 168 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Нехай функцiї uqk := uqk(t), q ∈ {1, . . . , n}, утворюють фун- даментальну систему розв’язкiв однорiдного рiвняння, що вiдпо- вiдає рiвнянню (11), а ∆(µk, T ) = det ‖Uj [uqk]‖nj,q=1 — характери- стичний визначник задачi (11), (12)(див. [55, с. 98]). Твердження 1. Для того, щоб задача (9), (10) мала не бiльше одного майже перiодичного за x зi спектромM розв’язку у про- сторi Cn([0, T ], T ′M), необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова ∀µk ∈M ∆(µk, T ) 6= 0. (13) За умови (13) розв’язок задачi (9), (10) зображується у вигля- дi формального ряду u(t, x) = ∑ k∈Zp (∫ T 0 Gk(t, τ)fk(τ)dτ+ + n∑ q,j=1 ∆jq(µk, T ) ∆(µk, T ) ϕjkuqk(t) ) exp(iµk, x), (14) де Gk(t, τ) — функцiя Грiна задачi (11), (12) [55], ∆jq(µk, T ) — ал- гебраїчне доповнення у визначнику ∆(µk, T ) елемента j-го рядка та q-го стовця. Твердження 2. Нехай справджується умова (13). Якщо f(t, x) ∈ C([0, T ], TM) (C([0, T ], T ′M)), ϕj(x) ∈ TM (T ′M), j = 1, . . . , n, то iснує єдиний розв’язок задачi (9), (10) iз просто- ру Cn([0, T ], TM) (Cn([0, T ], T ′M)). Цей розв’язок зображується формулою (14). Твердження 1, 2 безпосередньо переносяться на випадок си- стем рiвнянь вигляду (9). Для промiжних просторiв мiж Cn([0, T ], TM) та Cn([0, T ], T ′M) питання iснування майже перiодичного за x iз заданим спектром M розв’язку задачi (9), (10) у багатьох випадках пов’язане з проблемою малих знаменникiв, бо вирази |∆(µk, T )|, µk ∈ M, Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 169 у формулi (14), будучи вiдмiнними вiд нуля, можуть набувати як завгодно малих значень для нескiнченної кiлькостi векторiв µk ∈ M. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв, якi тут мають складну нелiнiйну структуру, використано метричний пiд- хiд. Iз доведених у роботах авторiв метричних теорем про оцiнки знизу малих знаменникiв випливає (за певних умов на вихiднi да- нi задач) iснування єдиного розв’язку для майже всiх (стосовно мiри Лебега) параметрiв крайових умов. 5. Гiперболiчнi рiвняння та системи Однiєю з перших робiт, де вивчались задачi з iнтегральними умо- вами за часом для гiперболiчних рiвнянь у класi майже перiоди- чних функцiй за просторовими змiнними була робота [64]. У працi [24] дослiджена задача iз загальнiшими, нiж у [64], умовами для гiперболiчного рiвняння другого порядку: N [u] := ∂2 t u(t, x)− a2∆u(t, x) + c2u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ Dp, (15) Uj [u] := αj u|t=tj +βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), j = 1, 2, x ∈ Rp, (16) де a > 0, c > 0; t1 = 0, t2 = T , αj , βj ∈ R, α2 j + β2 j 6= 0, j = 1, 2; r1, r2 ∈ Z+, r2 > r1, а функцiї f(t, x) та ϕj(x), j = 1, 2, є майже перiодичними за x зi заданим спектромM. Для єдиностi розв’язку задачi (15), (16) у просторi C2 M([0, T ], T ′M), необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова (13), в якiй ∆(µk, T ) визначений формулою ∆(µk, T ) = (α1 + β1I12)(α2 exp(−iγkT ) + β2I21)− − (α1 + β1I11)(α2 exp(iγkT ) + β2I22), (17) 170 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник де γk = √ a2 ‖µk‖2 + c2, Iqj :=− rq+1∑ l=1 (−1)(l+1)rq! (rq − l + 1)! T rq−l+1 (iγk)l exp((−1)jiγkT ) + (−1)rq(j+1)rq! (iγk)rq+1 , q, j = 1, 2. Теорема 1. Нехай справджується умова (13) та iснує стала η > 0 така, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) µk ∈ M виконується нерiвнiсть |∆(µk, T )| > (1 + |µk|)−η. (18) Якщо f ∈ C(0,[η+p/θ1]+2) M (D p ), ϕj ∈ C [η+p/θ1]+3 M (Rp), j = 1, 2, де θ1 – стала з оцiнок (7), то iснує єдиний розв’язок задачi (15), (16) iз простору C2 M(D p ), який неперервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕj(x), j = 1, 2. На пiдставi лем 1 та 2 встановлено, що для довiльних фiксо- ваних a, c, α1, α2, β1 та β2 6= 0 i для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 оцiнка (18) справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M при η > { 1 + p(3r2 + r1 + 2)/θ1, якщо α1 6= 0, r1 + 2 + p(3r2 + r1 + 2)/θ1, якщо α1 = 0. Отриманi результати поширено [26] на гiперболiчнi рiвняння порядку 2n, n > 1, зi сталими коефiцiєнтами. В областi Dp роз- глянуто таку задачу: L[u] := ∑ |ŝ|62n Aŝ ∂|ŝ|u(t, x) ∂ts0∂xs11 · · · ∂x sp p = 0, n > 1, (19) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 171 Uj [u] := αj ∂2(j−1)u ∂t2(j−1) ∣∣∣∣∣ t=0 + βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), Un+j [u] := αn+j ∂2(j−1)u ∂t2(j−1) ∣∣∣∣∣ t=T + +βn+j ∫ T 0 trn+ju(t, x)dt = ϕn+j(x), (20) де j = 1, . . . , n, Aŝ ∈ C, A(2n,0,...,0) = 1; αl, βl ∈ R, α2 l +β2 l 6= 0, rl ∈ Z+, l ∈ {1, . . . , 2n}, r1 < r2 < . . . < r2n, r = r1 + · · ·+ r2n; функцiї ϕl(x), l = 1, . . . , 2n, є майже перiодичними зi заданим спектром M. Вважаємо, що оператор L є гiперболiчним за Гордiнгом [12, с. 148]. Нехай ∆(µk, T ) := det ‖Uj [fqk]‖2nj,q=1, де {fqk(t), q = 1, . . . , 2n} — нормальна (при t = 0) фундаментальна система розв’язкiв звичайного диференцiального рiвняння ∑ |ŝ|62nAŝi |ŝ|µskf (s0)(t) = 0. Для того, щоб задача (19), (20) мала не бiльше одного розв’яз- ку у шкалi просторiв C2n([0, T ],Wα, β M ), необхiдно i достатньо, щоб ∆(µk, T ) 6= 0 для всiх векторiв µk ∈M. За умови єдиностi iснує розв’язок u задачi (19), (20) iз про- стору C2n([0, T ],Wα, β M ), якщо для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M виконується нерiвнiсть |∆(µk, T )| > (1 + |µk|)−η exp(−σ|µk|), η > 0, σ > 0, (21) a ϕj ∈ W 4n2+n+η+1+α, σ+β M , j = 1, . . . , 2n; при цьому ‖u;C2n([0, T ],Wα, β M )‖ 6 C6 ∑2n j=1 ‖ϕ;W 4n2+n+η+1+α, σ+β M ‖. Позначимо: ~α = (α1, . . . , α2n), D(µk, τ) := ∆(µk, T )|T=τ , λlk — рiзнi коренi рiвняння∑ |ŝ|62n Aŝi |ŝ|µskλ s0 = 0, µk ∈M, (22) iз кратностями nl, l ∈ {1, . . . ,m}, вiдповiдно, причому кратностi коренiв не залежать вiд µk. 172 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Лема 5. Iснує таке число η0(~α) ∈ N, що виконуються рiвностi ∀µk ∈M ∂qD(µk, τ) ∂τ q ∣∣∣∣ τ=0 = { 0, q < η0(~α), C7η0(~α)!, q = η0(~α), (23) де C7 — стала, яка залежить вiд αj , βj , rj, j = 1, . . . , 2n. На пiдставi лем 4, 5 доведено, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T ∈ (0, T0], T0 > 0, нерiвнiсть (21) ви- конується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M, коли σ = (2n)p+1T0 max |ŝ|62n {|Aŝ|}, η > η0(~α) + 1 + (p/θ1 + 1)(4n(1 + r + m∑ l=1 nl(nl − 1))− 1), де η0(~α) — стала, визначена з рiвностi (23), θ1 — з оцiнок (7), r = r1+· · ·+r2n, а nl, l = 1, . . . ,m, – кратностi λ-коренiв рiвняння (22). Якщо λ-коренi рiвняння (22) є такими, що для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M виконуються нерiвностi Reλlk > −κ ln |µk|, l = 1, . . . ,m, κ > 0, то за умов єдиностi, для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 iснує єдиний розв’язок задачi (19), (20) iз простору C2n M(D p ), якщо ϕj ∈ C [η+p/θ1]+4n2+3n+2 M (Rp), j = 1, . . . , 2n, де η > η0(~α) + 1+2nκT+ (4n(1+r+ ∑m l=1 nl(nl−1))−1) (p/θ1+1). Цей розв’язок неперервно залежить вiд функцiй ϕj(x), j = 1, . . . , 2n. Задачi з iнтегральними умовами для гiперболiчних систем рiвнянь розглядались у працях [27, 72]. Зокрема, у [72] в обла- стi Dp розглянуто таку задачу: L ( ∂2 t , ∂x ) [~u] := ∑ |ŝ|∗=2n Aŝ ∂2n~u(t, x) ∂t2s0∂xs11 · · · ∂x sp p = ~0, (t, x) ∈ Dp, (24) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 173 Uj [~u] := αj ∂2(j−1)~u ∂t2(j−1) ∣∣∣∣∣ t=0 + βj ∫ T 0 trj~u(t, x)dt = ~ϕj(x), Un+j [~u] := αn+j ∂2(j−1)~u ∂t2(j−1) ∣∣∣∣∣ t=T + +βn+j ∫ T 0 trn+j~u(t, x)dt = ~ϕn+j(x), (25) де j = 1, . . . , n; Aŝ = ‖aŝq,l‖ml,q=1, a ŝ q,l ∈ R, A(n,0,...,0) = Im; αl, βl ∈ R, α2 l + β2 l 6= 0, rl ∈ Z+, l = 1, . . . , 2n; r1 < r2 < . . . < r2n; ~u(t, x) = col ( u1(t, x), . . . , um(t, x) ) , вектор-функцiї ~ϕl(x) = col ( ϕ1 l (x), . . . , ϕml (x) ) , l = 1, . . . , 2n, є майже перiоди- чними зi заданим спектром M. Вважаємо, що система (24) — гiперболiчна за Петровським у вузькому сенсi. Тодi всi коренi γjk, j = 1, . . . , 2nm, рiвняння detL ( γ2, iµk ) = 0 є дiйсними i рi- зними, а отже, вiдмiнними вiд нуля. Для єдиностi розв’язку задачi (24), (25) у шкалi просторiв C2n ( [0, T ], H α M,m ) необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умо- ва (13), у якiй ∆(µk, T ) := det ‖Uq[~hjk exp(γjkt)]‖q=1,...,2n j=1,...,2nm, (26) де ~hjk — деякий ненульовий стовпець матрицi L∗(γ2 jk, iµk), яка є приєднаною до матрицi L(γ2 jk, iµk). Запровадимо величини ψl(αl) визначенi наступним чином: ψl(αl) :=  0, αl = 0 1 6 l 6 2n, 2(l − 1), αl 6= 0, 1 6 l 6 n, 2(l − n− 1), αl 6= 0, n+ 1 6 l 6 2n. Позначимо: ψ := ψ1(α1) + · · ·+ ψ2n(α2n), ϑl := mψ − ψl(αl), l = 1, . . . , 2n. Теорема 2. Нехай виконується умова (13) та iснує стала η > 0 така, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв 174 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник µk ∈M виконується нерiвнiсть |∆(µk, T )| > (1 + |µk|)−η. (27) Якщо ~ϕl ∈ H ξl M,m, ξ l = 2n(2nm(m − 1) + 1) + η + ϑl + α, l = 1, . . . , 2n, то iснує розв’язок ~u задачi (24), (25) iз простору C2n ( [0, T ], H α M,m ) ; при цьому справджується оцiнка ‖~u;C2n ( [0, T ], H α M ) ‖ 6 C8 ∑2n l=1 ‖ϕ;H ξl M,m‖. Встановлено, що icнує число δ(~α) ∈ N таке, що d qD(µk, τ) dτ q ∣∣∣∣ τ=0 = { 0, q < δ(~α), δ(~α)!C9W (µk), q = δ(~α), (28) де C9 — стала, яка залежить вiд αj , βj , rj , j = 1, . . . , 2n, D(µk, τ) = ∆(µk, T )|T=τ , W (µk) = det ‖~hjkγl−1 jk ‖ j=1,...,2nm l=1,...,2n . На пiдставi (28) та леми 4 доведено наступне твердження. Теорема 3. Нехай iснує стала η0 > 0 така, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M виконується нерiвнiсть |W (µk)| > C10(1 + |µk|)η0 . (29) Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 нерiвнiсть (27) справджується для всiх (крiм скiнченної кiль- костi) векторiв µk ∈M, при η > δ(~α)− η0 + 1 + ( 1 + 2nm+1 ) (1 + p/θ1) (1 +m(r1 + · · ·+ r2n)) , де θ1 — стала з нерiвностей (7). Якщо p = 1, то нерiвнiсть (29) виконується при η0 > 4n2m(m− 1) + nm(2n− 1), а у скалярному випадку (m = 1) — при η0 = 0. У працi [27] в областi D3 для системи диференцiальних рiв- нянь, яка описує напружений стан iзотропного та однорiдного пружного тiла у перемiщеннях (система Ламе) L ( ∂2 t , ∂x ) ~u(t, x) := σ∂2 t ~u(t, x) = µ∗∆~u(t, x) + (λ∗ + µ∗)∂′x∂x~u(t, x), (t, x) ∈ D3, (30) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 175 розглянуто задачу з умовами Uj [u] := αj~u(tj , x) + βj ∫ T 0 trj~u(t, x)dt = ~ϕj(x), j = 1, 2, x ∈ R3, (31) де ~u := ~u(t, x) = col(u1(t, x), u2(t, x), u3(t, x)) — вектор перемi- щень; t — час; λ∗ > 0, µ∗ > 0 — коефiцiєнти Ламе, σ > 0 — гу- стина середовища; ∂ ′x = col(∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3); t1 = 0, t2 = T ; αj , βj ∈ R, α2 j+β2 j 6= 0, j = 1, 2; r1, r2 ∈ Z+, r1 < r2; кожна з ком- понент вектор-функцiї ~ϕj(x) = col(ϕ1 j (x), ϕ2 j (x), ϕ3 j (x)), j = 1, 2, є майже перiодичними iз заданим спектромM. Характеристичне рiвняння, яке вiдповiдає системi (30), має вигляд det ∥∥∥(σγ2 − µ∗ ‖η‖2 ) I3 − (λ∗ + µ∗) ‖ηjηl‖3j,l=1 ∥∥∥ = 0, де η = (η1, η2, η3) ∈ R3 \ {~0}; γ-коренi цього рiвняння визначаю- ться формулами γ1(η) = γ2(η) = ‖η‖ √ µ∗ σ , γ3(η) = ‖η‖ √ λ∗ + 2µ∗ σ , γ4(η) = γ5(η) = −‖η‖ √ µ∗ σ , γ6(η) = −‖η‖ √ λ∗ + 2µ∗ σ , з яких видно, що система (30) є гiперболiчною за Петровським у широкому сенсi. Позначимо: ~h1k = col ( µk3 ‖µk‖ , 0,− µk1 ‖µk‖ ) , ~h2k = col ( 0, µk3 ‖µk‖ ,− µk2 ‖µk‖ ) , ~h3k = col ( µk1 ‖µk‖ , µk2 ‖µk‖ , µk3 ‖µk‖ ) ; ~ujk(t) = ~hjk exp(iγj(µk)t), ~u3+j,k(t) = ~hjk exp(−iγj(µk)t), j = 1, 2, 3; 176 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник ∆(µk, T ) := det ‖Uj [~ulk]‖l=1,...,6 j=1,2 . (32) Для єдиностi розв’язку задачi (30), (31) у шкалi просторiв C2([0, T ], H α M,3), необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова (13), у якiй ∆(µk, T ) — визначник (32). Запровадимо величину δ(α1, α2), визначену наступним чином: δ(α1, α2) =  3, α1 6= 0, α2 6= 0, 3(r1 + 2), α1 = 0, α2 6= 0, 3(r2 + 2), α2 = 0, α1 6= 0, 3(r2 + r1 + 3), α1 = 0, α2 = 0. (33) Якщо виконується умова (13) та ~ϕj ∈ H η+α+2 M,3 , j = 1, 2, де η > δ(α1, α2) + 17 ( 3 θ1 + 1 ) (1 + 3(r1 + r2)), то для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T > 0 iснує розв’язок ~u задачi (30), (31) iз простору C2([0, T ], H α M,3), який неперервно залежить вiд функцiй ~ϕj , j = 1, 2. 6. Параболiчнi рiвняння та системи На вiдмiну вiд гiперболiчних рiвнянь, для параболiчних рiвнянь вдається видiлити випадки задач з iнтегральними умовами ви- гляду (10), у яких вiдсутня проблема малих знаменникiв. В областi Dp для факторизованого рiвняння L (∂t,∆)u(t, x) := n∏ j=1 (∂t − aj(t)∆)u(t, x) = 0, (34) у роботi [25] розглядалася задача з умовами Uj [u] := αju(tj , x)+βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), j = 1, . . . , n, (35) де aj(t) ∈ Cn−j([0, T ]), aj(t) > 0, aq(t) 6= as(t), q 6= s, t ∈ [0, T ]; αj , βj ∈ R, α2 j+β 2 j 6= 0; 0 6 t1 < . . . < tn 6 T ; rj ∈ Z+, j = 1, . . . , n, Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 177 r1 < . . . < rn; оператори (∂t−aj(t)∆), j = 1, . . . , n, у рiвняннi (34) дiють на функцiю u(t, x) у порядку зростання iндексу j; функцiї ϕj(x), j = 1, . . . , n, є майже перiодичними зi заданим спектром M. Очевидно, що рiвняння (34) є параболiчним за Петровським. Запровадимо такi позначення: I0(t) ≡ 0, Ij(t) = − ∫ t 0 aj(τ)dτ, j = 1, . . . , n, Θq(t) = Iq(t)− Iq−1(t), Eqk(τ) = exp ( Θq(τ)‖µk‖2 ) , q = 1, . . . , n; f1k(t) = E1k(t), f2k(t) = E1k(t) ∫ t 0 E2k(τ1)dτ1, f3k(t) = E1k(t) ∫ t 0 ( E2k(τ1) ∫ τ1 0 E3k(τ2)dτ2 ) dτ1, ... fnk(t) = E1k(t) ∫ t 0 E2k(τ1)× . . . (∫ τn−2 0 Enk(τn−1)dτn−1 ) . . . dτ1. ∆(µk,~t, T ) := det ‖αjfqk(tj) + βjIjq‖nj,q=1 , ~t = (t1, . . . , tn), Ijq := ∫ T 0 trjfqk(t)dt, j, q = 1, . . . , n. Для того, щоб задача (34), (35) мала не бiльше одного розв’яз- ку у шкалi просторiв C n([0, T ],Wα, β,2 M ), необхiдно i достатньо, щоб ∆(µk,~t, T ) 6= 0 для всiх векторiв µk ∈M. Теорема 4. Нехай виконується умова єдиностi розв’язку задачi (34), (35) та iснують додатнi сталi η, ν такi, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M виконується нерiвнiсть |∆(µk,~t, T )| > (1 + |µk|)−η exp(−ν|µk|2). (36) Якщо ϕj ∈W q1, q2,2 M , q1 = η + 2n+ α, q2 = n(n− 1)A1/2 + ν+ β, A1 = max 16j6n { max t∈[0,T ] ∫ t 0 (aj(τ)− aj+1(τ)) dτ } , j = 1, . . . , n, 178 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник то iснує розв’язок задачi (34), (35) iз простору C n([0, T ],Wα, β,2 M ); при цьому ‖u;Cn([0, T ],Wα, β,2 M )‖ 6 C11 n∑ j=1 ‖ϕj ;W q1, q2,2 M )‖. На пiдставi леми 3 встановлено, що для майже всiх (стосов- но мiри Лебега в Rn) векторiв ~β = (β1, . . . , βn) i для довiль- них фiксованих решти параметрiв задачi (34), (35) оцiнка (36) виконується при η > n(n + 1)p/(2θ1) та ν > n(n + 1)A2T/2, A2 = max16j6n ‖aj ;C[0, T ]‖. Встановлено, що якщо в умовах (35) αj = 0, j = 1, . . . , n, то iснування розв’язку задачi (34), (35) у шкалi просторiв C n([0, T ],Wα, β,2 M ) не пов’язане з проблемою малих знаменникiв. У цьому випадку визначник ∆(µk, T ) := ∆(µk,~t, T ) вдається зобразити [43] у виглядi : ∆(µk, T ) = β̃ n! ∫ ΠnT ∆̃(τ)∆̄(µk, τ)dτ, τ = (τ1, . . . , τn) ∈ Rn, (37) де ∆̃(τ) = det ‖τ rlj ‖nj,l=1, ∆̄(µk, τ) = det ‖flk(τj)‖nl,j=1, β̃ = ∏n j=1 βj . Нехай Sn — симетрична група перестановок елементiв мно- жини {1, . . . , n}. Позначимо через Snω , ω = (i1, . . . , in) ∈ Sn, симплекс {(τ1, . . . , τn) ∈ Πn T : τi1 6 . . . 6 τin}. Очевидно, що ∆̃(τ) > 0, якщо τ = Snω0 , де ω0 = (1, . . . , n). На симплексi Snω0 визначник ∆̄(µk, τ) спiвпадає з характеристичним визначником задачi з умовами U j [uk] := uk(τj) = 0, j = 1, . . . , n, для рiвняння L ( d/dt,−‖µk‖2 ) uk(t) = 0. Iз теореми Скоробога- тька [7, с. 31] про єдинiсть розв’язку багатоточкової задачi для звичайного диференцiального оператора n-ого порядку, що роз- падається на лiнiйнi дiйснi множники першого порядку, випли- ває, що для всiх µk ∈ M ∆̄(µk, τ) > 0 або ∆̄(µk, τ) < 0 на сим- плексi Snω0 . Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 179 Легко помiтити, що для довiльної перестановки ω ∈ Sn справ- джуються такi тотожностi ∆̃(τi1 , . . . , τin) = (−1)ρω∆̃(τ1, . . . , τn), (38) ∆̄(µk, τi1 , . . . , τin) = (−1)ρω∆̄(µk, τ1, . . . , τn), (39) де ρω — кiлькiсть iнверсiй у перестановцi ω ∈ Sn. На пiдставi (37)–(39) отримуємо, що ∆(µk, T ) = β̃ n! ∑ ω∈Sn ∫ Snω ∆̃(τ)∆̄(µk, τ)dτ = β̃ ∫ Snω0 ∆̃(τ)∆̄(µk, τ)dτ. (40) Зi сказаного вище та рiвностi (40) випливає, що ∆(µk, T ) 6= 0 для всiх µk ∈M, тобто виконується умова єдиностi розв’язку задачi (34), (35). З формули (40) отримуємо, що |∆(µk, T )| = |β̃| ∫ Snω0 ∆̃(τ) |∆̄(µk, τ)|dτ. (41) Уведемо такi множини: Ω(ξ) = {τ ∈ Snω0 : ∆̃(τ) > ξ, ξ > 0}, E(µk) = {τ ∈ Ω(ξ) : |∆̄(µk, τ)| < εk}, µk ∈M, де εk := (1 + |µk|)−η exp(−ν|µk|2), η > n(n − 1)p/(2θ1), ν > n(n+ 1)A2T/2. Iз (41) випливає, що |∆(µk, T )| >|β̃| ∫ Ω(ξ) ∆̃(τ) |∆̄(µk, τ)|dτ > > |β̃| ∫ Ω(ξ)\E(µk) ∆̃(τ) |∆̄(µk, τ)|dτ. (42) 180 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Очевидно, що (див. теорему 5 у [56]) mesRnE(µk) < (1 + |k|)−p+θ, θ > 0, µk ∈M. (43) На пiдставi леми 3 отримуємо таку оцiнку: mesRnΩ(ξ) > Tn n! − ξ/ n∏ j=1 rj ! 1/r := χ(ξ), r = r1 + · · ·+rn. (44) З оцiнок (42)–(44) випливає, що |∆(µk, T )| > |β̃|ξmesRn(Ω(ξ) \ E(µk))εk > > |β̃| ξ ( χ(ξ)− (1 + |k|)−p+θ ) εk, µk ∈M. (45) На пiдставi (45) отримуємо, що для достатньо великих |µk| ви- конується оцiнка |∆(µk, T )| > |β̄| 2 ξ χ(ξ)εk > C13(1 + |µk|)−η exp(−ν|µk|2), (46) де C12 = |β̃| ξ χ(ξ)/2, η > n(n− 1)p/(2θ1), ν > n(n+ 1)A2T/2. З нерiвностi (46) випливає, що, якщо в умовах (35) αj = 0, j = 1, . . . , n, то оцiнка (36) при η > n(n − 1)p/(2θ1), ν > n(n + 1)A2T/2 виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M та для довiльних фiксованих параметрiв зада- чi (34), (35), тобто розв’язнiсть задачi не пов’язана з проблемою малих знаменникiв. Отриманi результати частково поширено [29] на параболiчнi системи рiвнянь порядку n, n > 1, за часовою змiнною зi стали- ми коефiцiєнтами. В областi Dp для параболiчної за Шиловим системи рiвнянь з показником параболiчностi h (див. [12, с. 130]) L (∂t, ∂x) [u] := ∂nt ~u(t, x) + n−1∑ j=0 Aj (∂x) ∂jt ~u(t, x) = ~0, (t, x) ∈ Dp, (47) Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 181 дослiджено задачу з умовами Uj [u] := αj ∂ j−1 t ~u(t, x) ∣∣∣ t=0 + βj ∫ T 0 trj~u(t, x)dt = ~ϕj(x), x ∈ Rp, (48) де Aj(η) := ‖ ∑ |s|6N a j ql,sη s‖mq,l=1, a j ql,s ∈ C, η ∈ Rp, N > n; αj , βj ∈ R, α2 j + β2 j 6= 0, rj ∈ Z+, j = 1, . . . , n; r1 < r2 < · · · < rn; ~u(t, x) = col(u1(t, x), . . . , um(t, x)), вектор- функцiї ~ϕj(x) = col ( ϕ1 j (x), . . . , ϕmj (x) ) , j = 1, . . . , n, є майже перiодичними зi заданим спектромM. Для єдиностi розв’язку задачi (19), (20) у шкалi просторiв C n([0, T ] ,W α,β,γ M,m) необхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова (13), в якiй ∆(µk, T ) визначений формулою ∆(µk, T ) := det ∥∥∥∥A + B ∫ T 0 R(t) exp (L(iµk)t) dt ∥∥∥∥ , де A := diag{α1, . . . , αn} ⊗ Im, B := diag{β1, . . . , βn} ⊗ Im, R(t) :=  tr1 0 . . . 0 ... ... . . . ... trn 0 . . . 0 ⊗ Im, L (iµk) := ( Om(n−1),m Im(n−1) −A0(iµk) −A1(iµk) · · · −An−1(iµk) ) , Нехай {j1, . . . , jl} ⊂ {1, . . . , n}, {q1, . . . , qn−l} = {1, . . . , n} \ {j1, . . . , jl} , η0 := rq1 + · · ·+ rqn−l + q1 + · · ·+ qn−l, ψj(βj) := { max {0, (mn− 1)N − hrj} , якщо βj 6= 0, 0, якщо βj = 0, j = 1, . . . , n. 182 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник Якщо в (48) αj 6= 0, j ∈ {j1, . . . , jl} , виконується умова (13), i ~ϕj ∈W ξj ,σ+β,h M,m , j = 1, . . . , n, де ξj = α+ (mη0(α) + 1)N + 2mn (1 + p/θ1) (1 +mr) + +(2mn+ 1)N − ψj(βj) +m n∑ g=1 ψg(βg), σ = 2N−1mnT0(nm)p max |s|6N max 16q,l6m 06j6n−1 { |ajql,s| } , T0 > 0, то встановлено, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T ∈ [0, T0] iснує єдиний розв’язок ~u задачi (47), (48) iз простору Cn([0, T ] ,W α,β,h M,m); при цьому справджується оцiнка ‖ū;Cn([0, T ] ,W α,β,h M,m)‖ 6 C13 ∑n j=1 ‖~ϕj ;W ξj ,σ,h M,m ‖. Якщо в задачi (47), (48) n = 1, то встановлено, що iснуван- ня розв’язку задачi (47), (48) не пов’язане з проблемою малих знаменникiв. 7. Мiшанi параболо-гiперболiчнi рiвняння Важливим напрямком сучасної теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними є теорiя крайових задач для рiвнянь мiшаного типу, якi мають важливе застосування у газовiй дина- мiцi, у магнiтнiй гiдродинамiцi, у теорiї електричних кiл, у теорiї нескiнченно малих згинiв поверхонь, у безмоментнiй теорiї обо- лонок з кривизною змiнного знаку та iншi. Уперше на необхiднiсть розгляду крайових задач для мiша- них рiвнянь параболо-гiперболiчного типу, де в однiй частинi областi задано параболiчне рiвняння, а в iншiй — гiперболiчне, було вказано I. М. Гельфандом [11]. Крайовi задачi з локаль- ними та нелокальними умовами (у тому числi iнтегральними) для таких рiвнянь дослiджувались у роботах Г. М. Стручiної [54], Я. С. Уфлянда [59], Л. А. Золiної [15], А. М. Нахушева та Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 183 Х. Г. Бжихатлова [6], К. Б. Cабiтова [48,74], В. О. Капустяна та I. О. Пишнограєва [20], I. Я. Савки [49] та iн. В областi Dp = {(t, x) ∈ Rp+1 : t ∈ (−T1, T2), x ∈ Rp}, T1, T2 > 0, дослiджено [30] задачу про знаходження майже перiодичного за x зi спектромM розв’язку рiвняння{ ∂tu− a∆u = 0, (t, x) ∈ Dp ∩ {t > 0}, ∂2 t u− b2∆u = 0, (t, x) ∈ Dp ∩ {t < 0}, (49) який справджує умови αu(−T1, x) + βu(T2, x) + γ ∫ T2 −T1 u(t, x)dt = ϕ(x), x ∈ Rp, (50) u ∈ C1([−T1, T2];W q,s,2 M )∩C2([−T1, 0],W q,s,2 M ), q ∈ R, s > 0, (51) де a > 0, b > 0, α, β, γ ∈ R, α2 +β2 +γ2 6= 0, α+β+γ(T1 +T2) 6= 0, функцiя ϕ(x) є майже перiодичною зi спектромM. Для того, щоб задача (49)-(51) мала не бiльше одного розв’яз- ку, необхiдно i достатньо, щоб для всiх µk ∈M A(µk) sin(b‖µk‖T1 + ψk) +B(µk, T2) ab2‖µk‖2 6= 0, де A(µk) = a‖µk‖ √ a2b2α2‖µk‖4 + (b4α2 + a2γ2) ‖µk‖2 + b2γ2, B(µk, T2) = a2γ‖µk‖2 + b2 ( γ + (aβ‖µk‖2 − γ) exp(−a‖µk‖2T2) ) , ψk = arctan (αb2 − aγ)‖µk‖ abα‖µk‖2 + γb . За умови єдиностi, якщо α = 0, γ 6= 0 та ϕ ∈W q+5,0 M (або α 6= 0 та ϕ ∈ W q+2+p/θ1,0 M ), то iснує (iснує для майже всiх, стосовно мiри Лебега в R, точок T1 > 0) розв’язок u задачi (49), (50), у шкалi просторiв C1([−T1, T2];W q,0 M ) ∩ C2([−T1, 0],W q,0 M ), який неперервно залежить вiд функцiї ϕ(x). Якщо в (49) α = γ = 0 i ϕ(x) ∈ W q+3,s+aT2 M , то доведено iснування єдиного розв’язку u задачi (49)-(51), який неперервно залежить вiд функцiї ϕ(x). 184 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник 8. Рiвняння, не розв’язанi вiдносно старшої похiдної за часом Математичне моделювання багатьох задач гiдродинамiки (малi коливання iдеальної рiдини у посудинi, що обертається [52], фiль- трацiя рiдини у трiщинуватих породах [2] та iн.), призводить до задач з крайовими та нелокальними умовами для рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом. Такi задачi дослiджувались багатьма авторами, зокрема, у працях [3, 21, 23] вивчались багатоточковi задачi та задачi типу Дiрiхле для рiвнянь та систем рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом у класах функцiй, 2π-перiодичних за просторовими змiнними. Однак задачi з iнтегральними умовами для таких рiвнянь практично не дослiджувались. У роботi [29] в областi Dp для рiвняння N(∂t, ∂x)[u] := L(∂x)∂ nt u(t, x) + n−1∑ j=0 Aj(∂x)∂jt u(t, x) = 0, (52) де L(∂x) = ∑ |s|=2d as∂ s1 x1 · · · ∂ sp xp , as ∈ R, d ∈ N, — елiптичний диференцiальний вираз, Aj(∂x) = ∑ |s|6dj bj,s∂ s1 x1 · · · ∂ sp xp , bj,s ∈ R, dj ∈ Z+, j = 0, 1, . . . , n − 1, дослiджено у класi функцiй, майже перiодичних за просторовими змiнними зi спектромM, задачу з умовами Uj [u] := αj∂ ϑj t u(0, x)+ +βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), j = 1, . . . , ñ1, Uj [u] := αj∂ ϑj t u(T, x)+ +βj ∫ T 0 trju(t, x)dt = ϕj(x), j = ñ1 + 1, . . . , n, (53) де 0 6 ñ1 6 n − 1, rj ∈ Z+, r1 < . . . < rn; αj , βj ∈ R, α2 j + β2 j 6= 0; ϑj ∈ Z+, j = 1, . . . , n, 0 6 ϑ1 < . . . < ϑñ1 6 n − 1, Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 185 0 6 ϑñ1+1 < . . . < ϑn 6 n−1; функцiї ϕj(x), j = 1, . . . , n, є майже перiодичними iз заданим спектромM. Нехай ∆(µk, T ) = det ‖Uj [fqk]‖nj,q=1, де {fqk(t), q = 1, . . . , n} — нормальна (в точцi t = 0) фундаментальна система розв’язкiв рiвняння N(d/dt, µk)f(t) = 0. Для того, щоб задача (52), (53) мала не бiльше одного розв’яз- ку у шкалi просторiв Cn([0, T ],W α, β,γ M ), необхiдно i достатньо, щоб ∆(µk, T ) 6= 0 для всiх векторiв µk ∈M. Нехай у рiвняннi (52) max 06j6n−1 {dj} > 2d. Позначимо: χ1 = max 06j6n−1 { dj − 2d n− j } , C14 = 2 max 06j6n−1  ( max|s|6dj{|bj,s|} p−d inf‖ξ‖=1 L(ξ) ) 1 n−j  , ξ ∈ Rp, γj(αj) =  0, j = 1, . . . , ñ1, 0, αj = 0, j = ñ1 + 1, . . . , n, ϑj , αj 6= 0, j = ñ1 + 1, . . . , n. γ(~α) = γ1(α1) + · · ·+ γn(αn), ~α = (α1, . . . , αn). Теорема 5. Нехай max 06j6n−1 {dj} > 2d, справджуються умови єдиностi розв’язку задачi (52), (53) та iснують сталi η > 0 i σ > 0 такi, що для всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈M виконується нерiвнiсть |∆(µk, T )| > (1 + |µk|)−η exp(−σ|µk|χ1). (54) Якщо ϕj ∈W q1+α, q2+β,χ1 M , q1 = χ1 ((n+ 1)(n+ 2)/2 + γ(~α)− γj(αj)) + η, q2 = θ + nC14T, 186 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник j = 1, . . . , n, то iснує розв’язок задачi (52), (53) iз простору Cn([0, T ],W α, β,χ1 M ). Цей розв’язок неперервно залежить вiд фун- кцiй ϕj(x), j = 1, . . . , n. Нехай λ-коренi λlk, l = 1, . . . ,mn, рiвняння N(λ, µk) = 0 є попарно рiзними та вiдмiнними вiд нуля для всiх µk ∈ M. Тодi встановлено, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел T ∈ (0, T0], T0 > 0, нерiвнiсть (54) виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв µk ∈ M, коли θ = nCλT0 i η > χ1η0(~α) + (p/θ1 + χ1)(2n(1 + r) − 1), де Cλ = −min { 0, infµk∈M\{~0} minl∈{1,...,nm} { Reλlk |µk|χ1 }} , r = r1 · · · + rn, а стала η0(~α) визначена рiвнiстю ∂qD(µk, τ) ∂τ q ∣∣∣∣ τ=0 = { 0, q < η0(~α), η0(~α)!C15, q = η0(~α), у якiй D(µk, τ) := ∆(µk, T )|T=τ , а C15 — стала, яка залежить вiд αj , βj , rj , j = 1, . . . , n. Якщо у рiвняннi (52) max 06j6n−1 {dj} < 2d та ϕj ∈ Hα M, j = 1, . . . , n, то встановлено, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) чисел T > 0 iснує єдиний розв’язок u задачi (52), (53) iз простору Cn([0, T ], Hα M). Цей розв’язок неперервно залежить вiд функцiй ϕj(x), j = 1, . . . , n. Iншими словами, у цьому випадку iснуван- ня розв’язку задачi (52), (53) не пов’язане з проблемою малих знаменникiв. Отриманi результати поширено на системи рiвнянь вигляду (52). Лiтература [1] Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. – 1963. – 18, вып. 2. – С.91–192. Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 187 [2] Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // Прикл. механика и математика. – 1960. – Т. 24, № 5. – С. 58–73. [3] Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частинними похiдними, не розв’яза- них вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – С.1592–1602. [4] Бейкер Дж. (мл)., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. – М. : Мир 1986. – 502 с. [5] Берник В. И., Пташник Б. Й., Салыга Б. О. Аналог многото- чечной задачи для гиперболического уравнения с постоянными коеффициентами // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, № 4. – С. 637–645. [6] Бжихатлов Х. Г., Нахушев А. М. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Докл. АН СССР. – 1968. – 183, № 2. – С. 261–264. [7] Бобик О. I., Боднарчук П. I., Пташник Б. Й., Скоробога- тько В. Я. Елементи якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними. – К. : Наук. думка, 1972. – 173 с. [8] Бобик I. О., Симотюк М. М. Задача з двома кратними вузлами для рiвнянь не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом// Прикл. проблеми мех. i мат. – 2004. – Вип. 2. – С. 46–55. [9] Борок В. М., Кенне Э. Классификация нелокальных краевых за- дач в узкой полосе // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 4. – С. 338– 346. [10] Борок В. М., Кенне Э. Классификация интегральных краевых за- дач в широкой полосе // Изв. вузов. Математика. – 1994. – 384, № 5. – С. 3–12. [11] Гельфанд И. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциаль- ных уравнений // УМН. – 1959. – 14, № 3. – С. 3–19. [12] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М. : Физматгиз, 1958. – Вып. 3. – 274 с. 188 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник [13] Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для уль- трагиперболического и псевдопараболического операторов // Докл. АН СССР. – 1963.– 148, № 5. – С. 1013—1016. [14] Iлькiв В. С. Задача з iнтегральними умовами для системи дифе- ренцiальних рiвнянь з частинними похiдними i змiнними коефi- цiєнтами // Вiсник ДУ „Львiвська полiтехнiка“. Прикл. матем. – 1999. – № 364. – С. 318–323. [15] Золина Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // Журн. вычислительной мат. и мат. физики. – 1966. – 6, № 6. – C. 991–1001. [16] Каленюк П. I., Нитребич З. М. Узагальнена схема вiдокремлення змiнних. Диференцiально-символьний метод. – Львiв : Вид-во НУ "Львiвська полiтехнiка", 2002. – 292 с. [17] Каленюк П. I., Нитребич З. М., Когут I. В. Про ядро задачi з iнтеграль- ною умовою для рiвняння iз частинними похiдними не- скiнченного порядку // Вiсн. Нац. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". – Сер. фiзико-математичнi науки. – 2008. – Вип. 625, № 625. – С. 5–11. [18] Каленюк П. I., Iлькiв В. C., Нитребич З. М., Когут I. В. Одно- значна розв’язнiсть задачi з iнтегральними умовами для рiвняння iз частинними похiдними другого порядку за часом // Вiсн. Нац. ун-ту "Львiвська полiтехнiка". – Сер. фiзико-математичнi науки. – 2013. – Вип. 768, № 768. – С. 5–11. [19] Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводно- сти с неклассическими граничными условиями // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. – 1964. – 4, № 6. – С. 1006–1024. [20] Капустян В. О., Пишнограєв I. О. Умови iснування i єдиностi розв’язку параболо-гiперболiчного рiвняння з нелокальними кра- йовими умовами // Науковi вiстi НТУ "Київський полiтехнiчний iнститут". – 2012. – № 4. – С. 72–76. [21] Клюс I. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для рiвнянь iз частинними похiдними, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1604–1613. Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 189 [22] Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным ин- вариантом на торе // Докл. АН СССР. – 1953. – 93, № 5. – С. 763– 766. [23] Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Крайовi задачi для диферен- цiального рiвняння, не розв’язаного вiдносно старшої похiдної за часом// Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 9. – С. 1197–1208. [24] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння Клейна-Гордона у класi функцiй, майже перiодичних за просто- ровими змiнними // Прикл. проблеми мех. i мат. – 2010. – Вип. 8. – С. 41–53. [25] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для факто- ризованого параболiчного оператора зi змiнними коефiцiєнтами // Вiсник Нац. ун-ту "Львiвська полiтехнiка": Фiзико-математичнi науки. – 2012. – № 740. – С. 25–33. [26] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для рiв- нянь гiперболiчних за Гордiнгом // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 252–265. (Переклад: Kuz’ A. M. A problem with integral conditions with respect to time for Garding hyperbolic equations // Ukrainian Mathematical Journal – 2013. – 65, N. 2. – P. 277–293.) [27] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для системи рiвнянь динамiчної теорiї пружностi / А. М. Кузь, Б. Й. Пташник // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 4. – С. 40–53. (Переклад: Kuz’ A. M. A problem with integral conditions with respect to time for a system of equations of the dynamic elasicity theory // J. Math. Sci. – 2015. – 208, N. 3. – P. 310–326.) [28] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами для рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. – 2014. – 11, № 2. – С. 200– 224. [29] Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для систем рiвнянь, параболiчних за Шиловим // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2014. – 57, № 3. – C. 16–28. [30] Кузь А. М. Задача з умовою, що мiстить iнтегральний доданок, для параболо-гiперболiчного рiвняння // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 635–644. 190 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник [31] Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272с. [32] Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными усло- виями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза // Вестн. ЮУрГУ. Сер. "Математическое моделирование и програм- мирование”. – 2011. – Вип.8, №17. – С. 52–61. [33] Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Дiофантовi наближення хара- ктеристичного визначника iнтегральної задачi для лiнiйного рiв- няння з частинними похiдними // Наук. Вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Серiя математика. – 2004. – Вип. 228. – С. 74–85. [34] Медвiдь О. М. Iнтегральна задача для лiнiйних рiвнянь з частин- ними похiдними // Математичнi студiї. – 2007. – 28, № 2. – С. 115– 141. [35] Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних си- стем рiвнянь iз частинними похiдними // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 1. – С. 32–39. [36] Медвiдь О. М. Iнтегральна задача для навантажених рiвнянь iз частинними похiдними // Математичний вiсник НТШ. – 2007. – Т. 4. – С. 201–213. [37] Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для систем рiв- нянь iз частинними похiдними з вiдхиленням аргументу // Мате- матичний вiсник НТШ. – 2007. – Т. 4. – С. 414–427. [38] Мельник З. О., Кирилич В. М. Задачи без начальных условий с интегральными ограничениями для гиперболических уравнений и систем на прямой // Укр. мат. журн. – 1983. – 35, № 6. – С. 716- 721. [39] Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные ди- ференциальные уравнения // Успехи мат. наук. – 1968. – 23, вып. 4. – С. 179–238. [40] Муравей Л. А., Филиновский А. В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения // Мат. зам. – 1993. – 54. № 4. – С. 98–116. [41] Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к ди- намике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравне- ния. – 1982. – 18, № 1. – C. 72–81. Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 191 [42] Нахушев A. M. Уравнения математической биологии. – М. : Высш. шк. – 1995. – 301 с. [43] Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2-х ч. – М. : Наука, 1978. – Ч. 1 – 391 с. [44] Пукальський I. Д. Нелокальна параболiчна крайова задача та за- дача оптимального керування для лiнiйних рiвнянь з вироджен- ням // Приклад. пробл. механiки i математики. – 2012. – Вип. 10. – С. 102–114. [45] Пулькина Л. С. Нелокальная задача для гиперболического урав- нения с интегральными условиями I рода с ядрами, зависящими от времени // Изв. вузов. Математика. – 2012. – № 10. – С. 32–44. [46] Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифферен- циальных уравнений с частными производными. – К. : Наук. дум- ка, 1984. – 264 с. [47] Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нело- кальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними. – К.: Наук. думка, 2002. – 416с. [48] Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнения параболо- гиперболического типа с нелокальным интегральным условием // Дифференц. уравнения. – 2010. – 46, № 10. – C. 1472–1481. [49] Савка I. Я., Симотюк М. М. Задача спряження з iнтегральною умовою для мiшаного рiвняння параболо-гiперболiчного типу // Одинадцята вiдкрита наукова конференцiя IМФН "PSC-IMFS- 11"(Львiв, 13-14 червня 2013 р.): Збiрник матерiалiв та програма конференцiї. – Львiв: Видавництво Львiвської полiтехнiки, 2013. – С. 84–85. [50] Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциаль- ных уравнения // Дифференц. уравнения. – 1980. – 16, № 11. – С. 1925–1935. [51] Симотюк М. М., Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними зi сталими коефi- цiєнтами // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – С. 98–107. 192 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник [52] Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1954. – 18, № 1. – С. 3–50. [53] Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближе- ний. – М. : Наука, 1977. – 144 с. [54] Стручина Г. М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженер.-физ. журн. – 1961. – 4, № 11. – С. 99–104. [55] Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновен- ных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – 308+XIV c. [56] Тимкiв I. Р. Багатоточкова задача iз кратними вузлами для фа- кторизованого параболiчного оператора зi змiнними коефiцiєн- тами // Карпатськi математичнi публiкацiї. – 2011. – 3, № 2. – С. 120–130. [57] Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. — М. : Изд-во иностр. лит., 1959. — 131 с. [58] Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М. : Наука, 1978. – 112 с. [59] Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в состав- ных электрических линиях // Инженер.-физ. журн. – 1964. – 7, № 1.– С. 89–92. [60] Фардигола Л. В. Критерий корректности в слое краевой задачи с ин- тегральными условиями // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 11. – C. 1546–1551. [61] Фардигола Л. В. Свойства T–устойчивости интегральной краевой задачи в слое // Теория функций, функцион. анализ и их прило- жения. – 1991. – № 55. – C. 78–80. [62] Фардигола Л. В. Интегральная краевая задача в слое // Матем. заметки. – 1993. – 53, вып. 6. – C. 122–129. [63] Шелухин В. В. Вариационный принцип в нелокальных по време- ни задачах для линейных эволюционных уравнений // Сиб. ма- тем. журн. – 1993. – 34, № 2. – С. 191–207. [64] Штабалюк П. I. Про майже перiодичнi розв’язки однiєї задачi з нелокальними умовами//Вiсник держ. ун-ту "Львiвська полiте- хнiка": Диференц. рiвняння та їх застосування. – 1995. – № 286. – С. 153–165. Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною... 193 [65] Шубин М. А. Почти периодические функции и дифференциаль- ные операторы с частными производными // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 2. – C. 3–47. [66] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differentail equations // Bull. Georg. Natl. Acad. Sci. – 2011. – 5, № 1. – P. 31–37. [67] Besicovitch A. S. Almost periodic functions. – Cambridge: Dover Publications, Inc., 1954. – 180 p. [68] Ivanchov M. Inverse problem for equations of parabolic type. – VNTL Publishers, 2003. – 238 p. [69] Cannon J. R. The solution of the heat equation sub ject to the speci- fication of energy // Quart. Appl. Math. – 1963 – 21, No. 2. – P. 155– 160. [70] Dell’acqua G., Santucci P. Embedding theorems of Sobolev- Besicovitch spaces W k,1 ap (Rs)// Rendiconti di Matematica. – 1996. – Serie VII, Vol. 16. – P. 525–536. [71] Kmit I. Generalized solutions to hyperbolic problems with strongly singular coefficients // J. for Analysis and its Applications. – 2001. – 20, No. 3. – P. 637–659. [72] Kuz A. M. Problem for hyperbolic system of equations having constant coefficients with integral conditions with respect to the time variable // Carpathian Math. Publ. – 2014. – 6, No. 2. – P. 282–299. [73] Mesluob S., Bouziani A. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations// Journal of Applied Math. – 2001. – No. 3. – P.107-116. [74] Sabitov K. B. Nonlocal problem for a parabolic-hyperbolic equation in a rectangular domain // Math. Notes. – 2011. – 89, No. 4. – P. 562– 567.
id oai:trim.imath.kiev.ua:article-212
institution Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv keywords
language Ukrainian
last_indexed 2026-08-04T01:04:10Z
publishDate 2016
publisher Інститут математики НАН України
record_format ojs
resource_txt_mv trimimathkievua/a5/1632e2939a2a32a1d29565c1a9571ca5.pdf
spelling oai:trim.imath.kiev.ua:article-2122018-01-29T12:45:53Z Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators Задачі з інтегральними умовами за часовою змінною для лінійних еволюційних рівнянь та систем рівнянь. Метричний підхід до проблеми малих знаменників Kuz, A. M. Ptashnyk, B. Yo. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. We give a survey of the papers concerning the research of the well-posedness, in a multidimensional layer, of the problems with general nonlocal conditions with respect to the time variable which contain integral terms in the form of the arbitrary order moments of the unknown function. The problems are considered for hyperbolic and parabolic equations and systems of equations, for mixed type equations, and for equations unsolved with respect to the higher time derivative in the class of functions that are almost periodic with respect to the spatial variables. Generally, these problems are conditionally well-posed, and their solvability is related to the problem of small denominators, which is solved by using the metric approach. Наведено огляд робіт авторів, що стосуються дослідження в багатовимірному шарі коректної розв&#039;язності задач із загальними нелокальними умовами за часовою змінною, які містять інтегральні доданки у вигляді моментів довільного порядку від шуканої функції, для гіперболічних і параболічних рівнянь та систем рівнянь, для рівнянь мішаного типу, а також рівнянь, не розв&#039;язаних відносно старшої похідної за часом у класі функцій, майже періодичних за просторовими змінними. Ці задачі, взагалі, є умовно коректними, а їхня розв&#039;язність пов&#039;язана з проблемою малих знаменників, для розв&#039;язання якої використано метричний підхід. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/212 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 156-193 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 156-193 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 156-193 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/212/189 Авторське право (c) 2016 А. М. Кузь, Б. Й. Пташник
spellingShingle Kuz, A. M.
Ptashnyk, B. Yo.
Кузь, А. М.
Пташник, Б. Й.
Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title_alt Задачі з інтегральними умовами за часовою змінною для лінійних еволюційних рівнянь та систем рівнянь. Метричний підхід до проблеми малих знаменників
title_full Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title_fullStr Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title_full_unstemmed Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title_short Problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. Metric approach to the problem of small denominators
title_sort problems with integral conditions with respect to time variable for linear evolution equations and systems of equations. metric approach to the problem of small denominators
url https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/212
work_keys_str_mv AT kuzam problemswithintegralconditionswithrespecttotimevariableforlinearevolutionequationsandsystemsofequationsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators
AT ptashnykbyo problemswithintegralconditionswithrespecttotimevariableforlinearevolutionequationsandsystemsofequationsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators
AT kuzʹam problemswithintegralconditionswithrespecttotimevariableforlinearevolutionequationsandsystemsofequationsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators
AT ptašnikbj problemswithintegralconditionswithrespecttotimevariableforlinearevolutionequationsandsystemsofequationsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators
AT kuzam zadačízíntegralʹnimiumovamizačasovoûzmínnoûdlâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹtasistemrívnânʹmetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív
AT ptashnykbyo zadačízíntegralʹnimiumovamizačasovoûzmínnoûdlâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹtasistemrívnânʹmetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív
AT kuzʹam zadačízíntegralʹnimiumovamizačasovoûzmínnoûdlâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹtasistemrívnânʹmetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív
AT ptašnikbj zadačízíntegralʹnimiumovamizačasovoûzmínnoûdlâlíníjnihevolûcíjnihrívnânʹtasistemrívnânʹmetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív

Similar Items