Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type
On the initial generalized vector-valued function, we formulate sufficient conditions under which the corresponding solution to the Cauchy problem for parabolic systems of Shilov type with respect to the spatial variable belongs to the Schwartz space $\mathbb{S}$ or one or another $\mathbb{S}$-type...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/213 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552734022959104 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Dovzhytska, I. M. Літовченко, В. А. Довжицька, І. М. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Dovzhytska, I. M. Літовченко, В. А. Довжицька, І. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Літовченко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "І. М. Довжицька",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:38:29Z |
| description | On the initial generalized vector-valued function, we formulate sufficient conditions under which the corresponding solution to the Cauchy problem for parabolic systems of Shilov type with respect to the spatial variable belongs to the Schwartz space $\mathbb{S}$ or one or another $\mathbb{S}$-type space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 194–203
УДК 517.956.4
В. A. Лiтовченко, I. М. Довжицька
(Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя
Федьковича, Чернiвцi)
Граничнi значення гладких
розв’язкiв для параболiчних систем
типу Шилова
vladlit4@mail.ru, ira−nezvanova@mail.ru
On the initial generalized vector-valued function, we formulate
sufficient conditions under which the corresponding solution to the
Cauchy problem for parabolic systems of Shilov type with respect to
the spatial variable belongs to the Schwartz space S or one or another
S-type space.
Сформульовано достатнi умови на початкову узагальнену вектор-
функцiю, за яких вiдповiдний розв’язок задачi Кошi для пара-
болiчних систем типу Шилова стосовно просторової змiнної є еле-
ментом простору S Л. Шварца або того чи iншого простору ти-
пу S.
У [1], розвиваючи iдею Я. I. Житомирського [2] опису пара-
болiчно стiйких до змiни коефiцiєнтiв систем рiвнянь iз частин-
ними похiдними, означено широкий клас параболiчних систем iз
змiнними коефiцiєнтами порядку p вигляду
∂tu(t;x) = {P0(t; i∂x) + P1(t, x; i∂x)}u(t;x), (t;x) ∈ Π(0;T ], (1)
c© В. А. Лiтовченко, I. М. Довжицька, 2016
Граничнi значення гладких розв’язкiв... 195
де u := col(u1, ..., um), Π(0;T ] := {(t;x) : t ∈ (0;T ], x ∈ Rn}, а
P0(t; i∂x) i P1(t, x; i∂x)− матричнi диференцiальнi вирази поряд-
кiв вiдповiдно p i p1, p > p1 ≥ 0, з коефiцiєнтами, залежними
вiд часової змiнної t, при цьому, коефiцiєнти виразу P1 можуть
залежати i вiд просторової змiнної x. Також припускається, що
система
∂tu(t;x) = P0(t; i∂x)u(t;x), (t;x) ∈ Π(0;T ],
є параболiчною за Шиловим системою рiвнянь з показником па-
раболiчностi h, 0 < h ≤ p, невiд’ємним родом µ i зведеним по-
рядком p0 [3] (тобто iснують сталi δ0 > 0 i δ1 ≥ 0 такi, що для
всiх x ∈ Rn виконується нерiвнiсть
Λ(x) := max
j∈Nm
Reλj(x) ≤ −δ0‖x‖h + δ1,
де λj – коренi рiвняння det(P0(t; ζ) − λE) = 0, ζ ∈ Cn, E - оди-
нична матриця порядку m, а Nm := {1, 2, . . . ,m}).
Нагадаємо також, що зведеним порядком p0 системи нази-
вається точний степеневий порядок росту функцiї Λ(·) у ком-
плексному просторi Cn (для параболiчної системи завжди p0 >
1). Крiм того, родом параболiчної за Шиловим системи нази-
вається найбiльший показник µ такий, що в областi Gµ(K) :=
{x+ iy ∈ Cn : ‖y‖ ≤ K(1 + ‖x‖)µ} з деяким K > 0 для функцiї
Λ(·) виконується оцiнка
Λ(x+ iy) ≤ −δ∗‖x‖h + δ1, δ∗ > 0, δ1 ≥ 0.
Вiдомо, що 1− (p0 − h) ≤ µ ≤ 1.
Для таких систем у [1] побудовано фундаментальну матри-
цю розв’язкiв задачi Кошi (ФМРЗК) Z(t, x; τ, ξ), дослiджено її
основнi властивостi гладкостi та поведiнку в околi нескiнченно
вiддалених просторових точок при наступних умовах:
А) 0 ≤ p1 < h− n(1− hµ/p0)− (m− 1)(p− h);
196 В. A. Лiтовченко, I. М. Довжицька
B) коефiцiєнти системи (1) є неперервними за змiнною t,
нескiнченно диференцiйовними за змiнною x комплекснозначни-
ми функцiями, обмеженими разом зi своїми похiдними у шарi
Π[0;T ].
Зокрема, встановлено, що матрична функцiя Z(t, x; τ, ξ) є
нескiнченно диференцiйовною на Rn функцiєю за кожною iз
просторових змiнних x та ξ, причому для всiх {x, ξ} ⊂ Rn i
0 ≤ τ < t ≤ T виконується оцiнка
|∂kx∂
q
ξZ(t, x; τ, ξ)| ≤ c(t− τ)−
n+|k+q|∗+γ
h e
−δ
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
(2)
(тут α := µ
p0
, γ := (m − 1)(p − h) i |l|∗ := l1 + . . . + ln для l :=
(l1, . . . , ln)).
Якщо для системи (1) задати початкову умову
u(t;x)|t=0 = f, f ∈ S′β, (3)
(тут S′β− топологiчно спряжений простiр iз векторним просто-
ром Sβ I. М. Гельфанда i Г. Є. Шилова [5]), то пiд розв’язком
задачi Кошi (1), (3) у пiвпросторi t > 0 розумiтимемо вектор-
функцiю u(t;x), (t;x) ∈ Π(0;T ], диференцiйовну за змiнною t, p
разiв диференцiйовну за змiнною x, яка задовольняє систему (1)
у звичайному розумiннi, а початкову умову (3) у сенсi збiжностi
в просторi S′β , тобто
〈u(t;x), ϕ(x)E〉−→
t→0
〈f, ϕ(x)E〉 (∀ϕ ∈ Sβ),
де кутовими дужками 〈, 〉 позначено дiю узагальненої функцiї на
основну, E - одинична матриця порядку m.
Правильне таке твердження [4].
Теорема 1. Задача Кошi (1), (3) коректно розв’язна у класi
початкових даних S′1−α. Її розв’язок є звичайною вектор-
функцiєю, диференцiйовною за змiнною t, нескiнченно диферен-
цiйовною за x i зображується формулою
u(t;x) = 〈f, Z(t, x; 0, ξ)〉, (t;x) ∈ Π(0;T ], f ∈ S′1−α.
Граничнi значення гладких розв’язкiв... 197
У данiй роботi описуються умови на початкову вектор-
функцiю f ∈ S′1−α, за яких вiдповiдний розв’язок задачi Кошi
(1), (3) стосовно просторової змiнної є елементом простору S
Л. Шварца або того чи iншого простору типу S I. М. Гельфанда
i Г. Є. Шилова.
Розглянемо клас Ŝ′ усiх узагальнених функцiй f з S′1−α такий,
що
F [Ŝ′] =
{
f̃(·) ∈ C∞(Rn)| ∀k ∈ Zn+ ∃γk ≥ 0 ∃ck > 0∀σ ∈ Rn :
|∂kσ f̃(σ)| ≤ ck(1 + ‖σ‖)γk
}
(тут F [·] – оператор перетворення Фур’є, а величини γk i ck мо-
жуть залежати вiд функцiї f̃(·) := F [f ](·)).
Через Ŝ′β позначатимемо клас Ŝ′ у випадку, коли iснує таке
β > 0, що кожна оцiночна величина ck має вигляд
ck = cB|k|∗ |k|β|k|∗∗
з вiдповiдними додатними сталими c i B, не залежними вiд k, i
при цьому також не залежить вiд k величина γk ≡ γ0.
Очевидно, що для всiх додатних β1 i β2 таких, що β1 ≤ β2,
виконуються спiввiдношення
Ŝ′β1 ⊂ Ŝ
′
β2 ⊂ Ŝ
′,
бiльше того,
S ⊂ Ŝ′ i Sβ ⊂ Ŝ′β, β > 0.
Векторний аналог класiв Ŝ′, Ŝ′β позначатимемо вiдповiдно че-
рез Ŝ′ i Ŝ′β .
Далi, cформулюємо таке допомiжне твердження.
Лема 2. Кожен елемент класу Ŝ′ є згортувачем у просторi S.
Якщо ж f ∈ Ŝ′β, β > 0, то f – згортувач у Sβ.
198 В. A. Лiтовченко, I. М. Довжицька
Доведення. Згiдно з вiдомим результатом В. М. Борок (див.
[6]), елемент f ∈ S′1−α буде згортувачем у просторi S чи Sβ , якщо
його перетворення Фур’є F [f ] є регулярним функцiоналом типу
функцiї f̃(·), яка є мультиплiкатором у просторi F [S] = S чи,
вiдповiдно, у F [Sβ] = Sβ .
Отже, необхiдно переконатися лише у тому, що f̃(·) є муль-
типлiкатором у вiдповiдному двоїстому стосовно перетворення
Фур’є просторi Φ ∈ {S, Sβ}. Проте, як зазначено фактично в [6],
умови з означення класiв Ŝ′ i Ŝ′β , якi накладаються на функцiю
f̃(·), гарантують те, що f̃(·) є мультиплiкатором у вiдповiдному
просторi Φ.
Лему доведено.
Основний результат сформулюємо у виглядi наступного твер-
дження.
Теорема 3. Нехай початкова вектор-функцiя f є елементом
класу Ŝ′, тодi при кожному фiксованому t з (0;T ] вiдповiдний
розв’язок u(t; ·) задачi Кошi (1), (3) належить до простору S.
Якщо ж f ∈ Ŝ′β0 при β0 ≥ 1−α, то u(t; ·) ∈ Sβ0 для всiх t ∈ (0;T ].
Доведення.
Згiдно з вiдповiдним твердженням теореми 1, структурою
ФМРЗК [1]
Z(t, x; τ, ξ) = G(t, τ ;x− ξ) +
t∫
τ
dβ
∫
Rn
G(t, β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ)dy ≡
≡ G(t, τ ;x− ξ) +W (t, x; τ, ξ)
та означенням перетворення Фур’є узагальненої функцiї, маємо
u(t;x) =< f,Z(t, x; 0, ·) >=< f,G(t;x−·) > + < f,W (t, x; 0, ·) >=
= (f ∗G)(t;x)+(2π)n < f̃(σ), Fξ→σ[W (t, x; 0, ξ)] >, (t;x) ∈ Π(0;T ].
Граничнi значення гладких розв’язкiв... 199
Звiдси, врахувавши твердження леми 2, а також те, що [4]
G(t; ·) ∈ P(S1−α) ⊂ P(S), t ∈ (0;T ],
приходимо до висновку, що для доведення теореми 3 необхiдно
лише встановити належнiсть до вiдповiдного простору основних
функцiй кожного елемента вектор-функцiї
R(t; ·) :=< f̃(σ), Fξ→σ[W (t, ·; 0, ξ)] >
при кожному фiксованому t ∈ (0;T ]. Тут через P(Φ) позначено
сукупнiсть усiх матричних функцiй порядку m, елементи яких
належать простору Φ.
Нехай f ∈ Ŝ′. Скориставшись регулярнiстю функцiонала F [f ],
для кожних {k, q} ⊂ Zn+ i (t;x) ∈ Π(0;T ] маємо
|xq∂kxR(t;x)| = |
∫
Rn
f̃(σ)xq∂kxFξ→σ[W (t, x; 0, ξ)]dσ| ≤
≤
|q|∗∑
|l|∗=0
C lq
∣∣∣∣ ∫
Rn
f̃(σ)
∫
Rn
ξq−lei(ξ,σ)(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)dξdσ
∣∣∣∣ =
=
|q|∗∑
|l|∗=0
C lq
∣∣∣∣ ∫
Rn
f̃(σ)
(
∂q−lσ Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]
)
dσ
∣∣∣∣.
Безпосередньо з оцiнок
∣∣∣∣
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂rξ∂
q
x(G(t, β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ))dy
∣∣∣∣ ≤
≤ c3(t− τ)α0−n+|r+q|∗+γh e
− δ
2
(
‖x−ξ‖
(t−τ)α
) 1
1−α
, (4)
200 В. A. Лiтовченко, I. М. Довжицька
{r, q} ⊂ Zn+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T := {(t, x; τ, ξ)| 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂
Rn}, (де c3 – додатна стала, не залежна вiд t, τ, x i ξ) та нерiвностi
|∂rx∂
q
ξW (t, x; τ, ξ)| ≤
∣∣∣∣
t∫
τ
dβ
∫
Rn
∂rξ∂
q
x(G(t, β;x− y)Φ(β, y; τ, ξ))dy
∣∣∣∣,
(5)
{r, q} ⊂ Zn+, (t, x; τ, ξ) ∈ Π2
T випливає, що матричний вираз
Fξ→σ[(x−ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)] стосовно змiнної σ є елементом класу
P(S), тодi, зiнтегрувавши частинами останнiй iнтеграл i враху-
вавши, що f̃(·) – мультиплiкатор у просторi S, одержимо спочат-
ку
|xq∂kxR(t;x)| ≤
≤
|q|∗∑
|l|∗=0
C lq
∣∣∣∣ ∫
Rn
(
∂q−lσ f̃(σ)
)
Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]dσ
∣∣∣∣, (6)
а, вiдтак, i оцiнку
|xq∂kxR(t;x)| ≤ ck,q(t), {k, q} ⊂ Zn+, x ∈ Rn, t ∈ (0;T ],
в якiй оцiночний вираз ck,q(t) є додатною величиною, не залеж-
ною вiд x. Ця оцiнка вже забезпечує належнiсть вектор-функцiї
R(t; ·) до простору S при кожному фiксованому t з (0;T ].
Нехай тепер f ∈ Ŝ′β0 , β0 ≥ 1−α. Скористаємося зображенням∫
Rn
(
∂q−lσ f̃(σ)
)
Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]dσ =
= R0
k,q,l(t;x) +R1
k,q,l(t;x),
в якому
R0
k,q,l(t;x) :=
∫
‖σ‖<1
(
∂q−lσ f̃(σ)
)
Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]dσ,
Граничнi значення гладких розв’язкiв... 201
R1
k,q,l(t;x) :=
∫
‖σ‖≥1
(
∂q−lσ f̃(σ)
)
Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]dσ.
Зваживши на властивостi вектор-функцiї f̃(·) (див. означення
класу Ŝ′β0) та на оцiнки (4), (5), одержимо
|R0
k,q,l(t;x)| ≤
∫
‖σ‖<1
∣∣∂q−lσ f̃(σ)
∣∣dσ ∫
Rn
‖x− ξ‖|l|∗ |∂kxW (t, x; 0, ξ)|dξ ≤
≤ c(k)tα0−n+|k|∗+γh B|q−l|∗ |q−l|β0|q−l|∗∗
∫
Rn
‖x−ξ‖|l|∗e−δ
(
‖x−ξ‖
tα
) 1
1−α
dξ =
= c(k)tα0−n+|k|∗+γh
+α(n+|l|∗)B|q−l|∗ |q−l|β0|q−l|∗∗
∫
Rn
‖ζ‖|l|∗e−δ‖ζ‖
1
1−α
dζ ≤
≤ c(k)tα0−n+|k|∗+γh
+α(n+|l|∗)B|q−l|∗ |q − l|β0|q−l|∗∗ sup
ρ≥0
(
ρ|l|∗e−
δ
2
ρ
1
1−α )×
×
∫
Rn
e−
δ
2
‖ζ‖
1
1−α
dζ = c(k)tα0−n+|k|∗+γh
+α(n+|l|∗)×
×B|q−l|∗B|l|∗0 |q − l|
β0|q−l|∗
∗ |l|(1−α)|l|∗∗
∫
Rn
e−
δ
2
‖ζ‖
1
1−α
dζ ≤
≤ c1(k)tα0+αn−n+|k|∗+γh B
|q|∗
1 |q|
β0|q|∗
∗ , (t;x) ∈ Π(0;T ], {k, q, l} ⊂ Zn+,
|l|∗ ≤ |q|∗ (тут додатнi величини c1(k) i B1 не залежать вiд t, x,
q i l).
Далi, нехай σ = (σ1; . . . ;σn); виберемо такий номер j, що
|σj | ≥ |σk|, k ∈ Nn. Тодi ‖σ‖ ≤
√
n|σj | i
|Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]| =
∣∣σ−rjj
∫
Rn
(
∂
rj
ξj
ei(ξ,σ)
)
(x− ξ)l×
202 В. A. Лiтовченко, I. М. Довжицька
×∂kxW (t, x; 0, ξ)dξ
∣∣ =
∣∣σ−rjj
∫
Rn
ei(ξ,σ)∂
rj
ξj
(
(x−ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)
)
dξ
∣∣ ≤
≤ (‖σ‖/
√
n)−rj
rj∑
s=0
Csrj
∫
Rn
∣∣∂sξj (x− ξ)l∣∣∣∣∂rj−sξj
∂kxW (t, x; 0, ξ)
∣∣dξ
(∀rj ∈ Z+).
Оскiльки
∣∣∂sξj (x− ξ)l∣∣ ≤
{
s!Cslj‖x− ξ‖
|l|∗−s, s ≤ lj ,
0, s > lj ,
то врахувавши оцiнки (4), (5), для всiх (t;x) ∈ Π(0;T ] i {k, l} ⊂ Zn+
одержимо
|Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]| ≤
≤ c(k, rj)
‖σ‖rj
2lj
min{rj ,lj}∑
s=0
Csrj t
α0−
n+|k|∗+rj−s+γ
h ×
×
∫
Rn
‖x− ξ‖|l|∗−se−δ
(
‖x−ξ‖
tα
) 1
1−α
dξ ≤ c(k, rj)
‖σ‖rj
2lj
∫
Rn
e−
δ
2
‖ζ‖
1
1−α
dζ×
×
min{rj ,lj}∑
s=0
Csrj × t
α0+α(n+|l|∗−s)−
n+|k|∗+rj−s+γ
h sup
ρ≥0
(
ρ|l|∗−se−
δ
2
ρ
1
1−α ) ≤
≤ c1(k, rj)
‖σ‖rj
tα0+αn−
n+|k|∗+rj+γ
h B
|l|∗
1 |l|
(1−α)|l|∗
∗ , rj ∈ Z+, σj 6= 0,
де c1(k, rj) i B1 – додатнi величини, не залежнi вiд t, x, σ i l.
Звiдси при rj > n + γ0, зваживши на властивостi вектор-
функцiї f̃(·), приходимо до оцiнки
|R1
k,q,l(t;x)| ≤ c2(k)tα0+αn−
n+|k|∗+rj+γ
h B
|q|∗
2 |q|
β0|q|∗
∗ ,
Граничнi значення гладких розв’язкiв... 203
в якiй (t;x) ∈ Π(0;T ], {k, q, l} ⊂ Zn+, |l|∗ ≤ |q|∗, a оцiночнi величини
c2(k) та B2 не залежать вiд t, x, q i l.
Отже, для кожного фiксованого t ∈ (0;T ] i k ∈ Zn+ iснують
додатнi сталi c iB такi, що для всiх x ∈ Rn, {q, l} ⊂ Zn+, |l|∗ ≤ |q|∗,
виконується нерiвнiсть∣∣∣∣ ∫
Rn
(
∂q−lσ f̃(σ)
)
Fξ→σ[(x− ξ)l∂kxW (t, x; 0, ξ)]dσ
∣∣∣∣ ≤ cB|q|∗ |q|β0|q|∗∗ ,
яка, з огляду на (6), забезпечує вже належнiсть до простору Sβ0
вектор-функцiї R(t; ·) при кожному фiксованому t ∈ (0;T ].
Теорему доведено.
Лiтература
[1] Лiтовченко В. А., Довжицька I. М. Фундаментальна матриця
розв’язкiв задачi Кошi для одного класу параболiчних систем
типу Шилова iз змiнними коефiцiентами // Укр. мат. вiсник. –
2010. – 7, № 4. – С. 516—552.
[2] Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов пара-
болических по Г. Е. Шилову систем линейных уравнений в част-
ных производных с переменными коэффициентами // Изв. АН
СССР. Сер. матем. – 1959. – 23. – С. 925–932.
[3] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории диф-
ференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с.
[4] Litovchenko V. A., Dovzhytska I. M. Cauchy problem for a class of
parabolic systems of Shilov type with variable coefficients // Central
European Journal of Mathematics. – 2012. – 10, No. 3. – P. 1084–
1102.
[5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обоб-
щенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
[6] Борок В. М. Об одном характеристическом свойстве параболи-
ческих систем // ДАН СССР. – 1956. – 100, № 6. – С. 903–905.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-213 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:08Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a3/6653d133e4e55177e55e9794b1b526a3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2132018-01-23T01:38:29Z Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type Граничні значення гладких розв'язків для параболічних систем типу Шилова Litovchenko, V. A. Dovzhytska, I. M. Літовченко, В. А. Довжицька, І. М. On the initial generalized vector-valued function, we formulate sufficient conditions under which the corresponding solution to the Cauchy problem for parabolic systems of Shilov type with respect to the spatial variable belongs to the Schwartz space $\mathbb{S}$ or one or another $\mathbb{S}$-type space. Сформульовано достатні умови на початкову узагальнену вектор-функцію, за яких відповідний розв'язок задачі Коші для параболічних систем типу Шилова стосовно просторової змінної є елементом простору $\mathbb{S}$ Л. Шварца або того чи іншого простору типу $\mathbb{S}$. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/213 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 194-203 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 194-203 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 194-203 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/213/190 Авторське право (c) 2016 В. А. Літовченко, І. М. Довжицька |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Dovzhytska, I. M. Літовченко, В. А. Довжицька, І. М. Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title | Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title_alt | Граничні значення гладких розв'язків для параболічних систем типу Шилова |
| title_full | Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title_fullStr | Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title_full_unstemmed | Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title_short | Boundary values of smooth solutions of parabolic systems of Shilov type |
| title_sort | boundary values of smooth solutions of parabolic systems of shilov type |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/213 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova boundaryvaluesofsmoothsolutionsofparabolicsystemsofshilovtype AT dovzhytskaim boundaryvaluesofsmoothsolutionsofparabolicsystemsofshilovtype AT lítovčenkova boundaryvaluesofsmoothsolutionsofparabolicsystemsofshilovtype AT dovžicʹkaím boundaryvaluesofsmoothsolutionsofparabolicsystemsofshilovtype AT litovchenkova graničníznačennâgladkihrozv039âzkívdlâparabolíčnihsistemtipušilova AT dovzhytskaim graničníznačennâgladkihrozv039âzkívdlâparabolíčnihsistemtipušilova AT lítovčenkova graničníznačennâgladkihrozv039âzkívdlâparabolíčnihsistemtipušilova AT dovžicʹkaím graničníznačennâgladkihrozv039âzkívdlâparabolíčnihsistemtipušilova |