On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical
Considering the mixed problem for the second order linear parabolic equation with the Dirichlet boundary condition, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/215 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552740399349760 |
|---|---|
| author | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Лось",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Los, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-30T00:35:15Z |
| description | Considering the mixed problem for the second order linear parabolic equation with the Dirichlet boundary condition, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides of the problem to certain $2b$-anisotropic H\"{o}rmander spaces. The classical solutions can be discontinuous on the junction of the lateral area and base of the cylinder in which the problem is considered. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 228–243
УДК 517.956.4
В. М. Лось
(Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ)
Про достатнi умови класичностi
узагальнених розв’язкiв деяких
мiшаних параболiчних задач
v los@yahoo.com
Considering the mixed problem for the second order linear parabolic
equation with the Dirichlet boundary condition, we obtain new suffi-
cient conditions under which the generalized solution to the problem
is classical. These conditions are formulated in terms of the belong-
ing of the right-hand sides of the problem to certain 2b-anisotropic
Hörmander spaces. The classical solutions can be discontinuous on
the junction of the lateral area and base of the cylinder in which the
problem is considered.
Знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених розв’яз-
кiв мiшаної задачi для лiнiйного параболiчного рiвняння другого
порядку з крайовою умовою Дiрiхле. Цi умови сформульовано у
термiнах приналежностi правих частин задачi деяким анiзотро-
пним просторам Хермандера. Класичнi розв’язки можуть мати
розрив на стику бiчної поверхнi i основи цилiндру, у якому роз-
глядається задача.
c© В. М. Лось, 2016
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 229
1. Вступ
Cучасна теорiя загальних параболiчних мiшаних задач розро-
блена для шкал функцiональних просторiв Гельдера i Соболєва
[1 – 6]. У цiй теорiї особливе мiсце посiдають мiшанi задачi для
рiвнянь другого порядку, що пов’язано з їх численними засто-
суваннями. Актуальним є питання, за яких умов узагальнений
розв’язок такої задачi є класичним, тобто коли вiн у термiнах
класичних похiдних i слiдiв функцiй задовольняє рiвняння у вiд-
критому цилiндрi, а на його бiчнiй поверхнi i основi — крайову
i початкову умови вiдповiдно. У роботах [2, 7 – 11] вiдповiдь на
це питання отримано у термiнах приналежностi правих частин
задачi деяким просторам Гельдера або Соболєва.
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було за-
пропоноване Л. Хермандером у [12]. Це просториHµ := B2,µ. Для
них показником регулярностi розподiлiв служить вагова функцiя
µ, залежна вiд кiлькох дуальних змiнних. Такi простори знайшли
рiзнi застосування в аналiзi i теорiї рiвнянь з частинними похi-
дними [12 – 21].
Недавно В. А. Михайлець i О. О. Мурач [19 – 26] побудува-
ли теорiю загальних елiптичних диференцiальних операторiв i
елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних
просторiв Хермандера.
В роботах [27 – 38] дослiджено мiшанi параболiчнi задачi у
гiльбертових просторах Хермандера. У [37] отримано достатнi
умови класичностi узагальнених розв’язкiв мiшаних задач для
лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь другого поряд-
ку. Цi умови, зокрема, гарантують неперервнiсть розв’язку у за-
мкнутому цилiндрi.
У рiзних практичних задачах (див., наприклад, [39, гл. 3, § 2,
п. 3]) корисно розглядати класичнi розв’язки, якi не є неперерв-
ними на лiнiї з’єднання бiчної поверхнi i основи цилiндра, у яко-
му дослiджується задача. Мета цiєї роботи – встановити достатнi
умови того, що узагальненi розв’язки є класичними у щойно за-
230 В. М. Лось
значеному сенсi. Для простоти в роботi розглядається мiшана
задача для лiнiйного параболiчного диференцiального рiвняння
другого порядку з крайовою умовою Дiрiхле. Цi достатнi умови
сформульовано у термiнах приналежностi правих частин зада-
чi вiдповiдним просторам Хермандера. Їх застосування дозволяє
отримати бiльш тонкi достатнi умови, нiж це можливо у межах
класичних шкал функцiональних просторiв Гельдера i Соболєва.
Стаття складається з 6 пунктiв. Пункт 1. є вступ. Пункт 2.
мiстить постановку задачi, що дослiджується. У п. 3. введено
необхiднi гiльбертовi простори Хермандера. У п. 4. сформульо-
вано основний результат статтi. Вiн доведений у п. 5.. Пункт 6.
мiстить висновки до статтi.
2. Постановка задачi
Нехай довiльно заданi цiле число n ≥ 2, дiйсне число τ > 0 i
обмежена область G ⊂ Rn з нескiнченно гладкою межею Γ :=
∂G. Позначимо Ω := G × (0, τ) — вiдкритий цилiндр в Rn+1,
S := Γ × (0, τ) — його бiчна поверхня. Тодi Ω := G × [0, τ ] i
S := Γ× [0, τ ] є замикання Ω i S вiдповiдно.
Для параболiчного рiвняння другого порядку, заданого в Ω,
розглянемо початково-крайову задачу з крайовою умовою Дiрi-
хле:
Au ≡ ∂tu(x, t) +
∑
|α|≤2
aα(x, t)Dα
xu(x, t) = f(x, t) в Ω, (1)
u(x, 0) = h(x) при x ∈ G, (2)
u(x, t)
∣∣
S
= g(x, t) при x ∈ Γ, 0 < t < τ. (3)
Всi коефiцiєнти диференцiального виразу A вважаємо нескiн-
ченно гладкими комплекснозначними функцiями на Ω вiдповiд-
но, тобто aα ∈ C∞(Ω). Використовуємо такi позначення для ча-
стинних похiдних Dα
x := Dα1
1 . . . Dαn
n , Dj := i ∂/∂xj , ∂t := ∂/∂t.
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 231
Тут x = (x1, . . . , xn) є довiльною точкою простору Rn, α =
(α1, ..., αn) є мультиiндексом i |α| := α1 + ... + αn. Пiдсумову-
вання у (1) здiйснюється за цiлими iндексами α1, ..., αn ≥ 0, якi
задовольняють умову, вказану пiд знаком суми.
Припускаємо [1] (§ 9, п. 1), що рiвняння (1) є параболiчним за
Петровським у замкнутому цилiндрi Ω. Це значить виконання
такої умови.
Умова 1. Для довiльних x ∈ G, t ∈ [0, τ ], ξ ∈ Rn та p ∈ C, де
Re p ≥ 0, правильно
A(0)(x, t, ξ, p) ≡ p+
∑
|α|=2
aα(x, t) ξα 6= 0 за умови |ξ|+ |p| 6= 0.
3. Функцiональнi простори
Основний результат роботи будемо формулювати у термiнах
приналежностi правих частин задачi гiльбертовим функцiональ-
ним просторам Hµ := B2,µ, що були введенi i дослiдженi Л. Хер-
мандером [12, п. 2.2]. Згодом цi простори дослiдили також
Л. Р. Волєвич i Б. П. Панеях [13, § 2, 3].
Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що утво-
рюють простiр Hµ(Rk), де цiле k ≥ 1, є вимiрна за Борелем
функцiя µ : Rk → (0,∞), яка задовольняє таку умову: iснують
додатнi числа c та l такi, що
µ(ξ)
µ(η)
≤ c (1 + |ξ − η|)l для довiльних ξ, η ∈ Rk.
За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hµ(Rk) скла-
дається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w ∈ S ′(Rk), пе-
ретворення Фур’є ŵ яких є локально iнтегровними за Лебегом
функцiями, що задовольняють умову
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
232 В. М. Лось
(У роботi усi функцiї та розподiли вважаються комплекснозна-
чними.) Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми
‖w‖Hµ(Rk).
Нам знадобиться версiя простору Hµ(Rk) для довiльної вiд-
критої непорожньої множини V ⊂ Rk. Лiнiйний простiр Hµ(V )
складається, за означеннням, iз звужень u = w �V всiх розподi-
лiв w ∈ Hµ(Rk) на множину V . У цьому просторi задана норма
за формулою
‖u‖Hµ(V ) := inf
{
‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), u = w �V
}
.
Простiр Hµ(V ) є гiльбертовим вiдносно цiєї норми.
Для зручностi позначень приймемо γ := 1/2. Надалi будемо
використовувати показники регулярностi вигляду
µs;ϕ(ξ′, ξk) := µ(ξ′, ξk) :=(
1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ
)s/2
ϕ
(
(1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ)1/2
)
,
(4)
де ξ′ ∈ Rk−1 та ξk ∈ R є аргументами функцiї µ. Тут числовий
параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр ϕ пробiгає
класM.
За означенням, клас M складається з усiх вимiрних за Бо-
релем функцiй ϕ : [1,∞) → (0,∞), якi задовольняють такi двi
умови:
а) обидвi функцiї ϕ та 1/ϕ обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b],
де 1 < b <∞;
б) функцiя ϕ повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiн-
ченностi, а саме, ϕ(λr)/ϕ(r)→ 1 при r →∞ для кожного λ > 0.
Теорiя повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викла-
дена, наприклад, у монографiї [40]. Їх важливим прикладом є
функцiї вигляду
ϕ(r) := (log r)q1 (log log r)q2 . . . ( log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
r )qk при r � 1,
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 233
де параметри k ∈ N та q1, q2, . . . , qk ∈ R є довiльними.
Нехай s ∈ R i ϕ ∈ M. Розв’язки u початково–крайової задачi
(1)–(3) та правi частини f рiвняння (1) будемо розглядати у анi-
зотропних гiльбертових функцiональних просторах Хермандера
Hs,sγ;ϕ(Ω) := Hµ(Ω), де показник µ визначений формулою (4), у
якiй k := n+ 1.
Якщо ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ;ϕ(Ω) стає анiзотропним гiльберто-
вим простором Соболєва порядку (s, sγ); позначимо його через
Hs,sγ(Ω). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
по просторовiй змiннiй x ∈ Ω, а sγ — показник регулярностi по
часовiй змiннiй t ∈ (0, τ). У загальному випадку, коли ϕ ∈ M є
довiльною, правильнi неперервнi i щiльнi вкладення
Hs1,s1γ(Ω) ↪→ Hs,sγ;ϕ(Ω) ↪→ Hs0,s0γ(Ω) при s0 < s < s1. (5)
У випадку, коли Ω ⊂ R3, нам будуть потрiбнi такi простори
Хермандера, де ϕ ∈ M є зростаючою (в нестрогому сенсi) фун-
кцiєю. У зв’язку з цим вiдмiтимо, що для довiльної зростаючої
(в нестрогому сенсi) функцiї ϕ ∈ M правильне неперервне та
щiльне вкладення Hs,sγ;ϕ(Ω) ↪→ Hs,sγ(Ω).
Нам знадобляться також анiзотропнi простори Хермандера,
заданi на бiчнiй поверхнi S = Γ × (0, τ) цилiндра Ω. До них
буде належати права частина g крайової умови (3). Означимо
цi простори, використовуючи спецiальнi локальнi карти на S
(див. [33, п. 1]). Нехай s > 0 i ϕ ∈ M. Попередньо для вiд-
критої смуги Π := Rn−1 × (0, τ) розглянемо гiльбертовi про-
стори Hs,sγ;ϕ(Π) := Hµ(Π), де показник µ визначений форму-
лою (4), у якiй k := n. Довiльно виберемо скiнченний атлас
iз C∞-структури на замкненому многовидi Γ. Нехай цей атлас
утворений локальними картами θj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . , λ.
Тут вiдкритi множини Γ1, . . . ,Γλ складають покриття много-
виду Γ. Окрiм цього, довiльно виберемо функцiї χj ∈ C∞(Γ),
j = 1, . . . , λ, такi, що suppχj ⊂ Γj i
∑λ
j=1 χj = 1 на Γ.
За означенням, лiнiйний простiр Hs,sγ;ϕ(S) складається з усiх
функцiй v ∈ L2(S) на многовидi S таких, що для кожного номера
234 В. М. Лось
j ∈ {1, . . . , λ} функцiя
vj(y, t) := χj(θj(y)) v(θj(y), t)
аргументiв y ∈ Rn−1 i t ∈ (0, τ) належить до Hs,sγ;ϕ(Π).
У просторi Hs,sγ;ϕ(S) задана норма за формулою
‖v‖Hs,sγ;ϕ(S) :=
( λ∑
j=1
‖vj‖2Hs,sγ;ϕ(Π)
)1/2
.
Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми i не зале-
жить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору локальних
карт i розбиття одиницi на Γ [33] (теорема 1).
Введемо простори, до яких належить права частина h поча-
ткової умови (2). Це iзотропнi гiльбертовi простори Хермандера
Hs;ϕ(G) := Hµ(G) з показником µ(ξ) := (1+|ξ|2)s/2ϕ((1+|ξ|2)1/2)
аргументу ξ ∈ Rn. Їх видiлили i систематично використовували
В. А. Михайлець та О. О. Мурач у теорiї елiптичних крайових
задач [19, 20].
Нарештi, для формулювання основного результату введемо
необхiднi локальнi аналоги просторiв Hs,sγ;ϕ(Ω), Hs,sγ;ϕ(S) i
Hs;ϕ(G).
Нехай U є вiдкритою множиною в Rn+1, такою, що U ∩Γ = ∅.
Нехай ω := U ∩ Ω 6= ∅, π1 := U ∩ ∂Ω, π2 := U ∩ S i π3 := U ∩G.
Позначимо через Hs,sγ;ϕ
loc (ω, π1) лiнiйний простiр усiх розподi-
лiв u в областi Ω таких, що χu ∈ Hs,sγ;ϕ(Ω) для кожної функцiї
χ ∈ C∞(Ω) iз suppχ ⊂ ω ∪ π1. Топологiя у цьому просторi зада-
ється напiвнормами
u 7→ ‖χu‖Hs,sγ;ϕ(Ω),
де χ – довiльна вище згадана функцiя. Подiбно до цього, по-
значимо через Hs,sγ;ϕ
loc (π2) лiнiйний простiр усiх розподiлiв v на
S таких, що χv ∈ Hs,sγ;ϕ(S) для кожної функцiї χ ∈ C∞(S) iз
suppχ ⊂ π2. Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
v 7→ ‖χv‖Hs,sγ;ϕ(S),
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 235
де χ – довiльна тiльки згадана функцiя. Нарештi, позначимо че-
рез Hs;ϕ
loc (π3) лiнiйний простiр усiх розподiлiв w на G таких, що
χw ∈ Hs;ϕ(G) для кожної функцiї χ ∈ C∞(G) iз suppχ ⊂ π3.
Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
w 7→ ‖χw‖Hs;ϕ(G),
де χ – довiльна тiльки згадана функцiя.
Якщо ϕ ≡ 1, то означенi вище простори стають соболєвськими
просторами (анiзотропними на Ω i S, або iзотропними на G).
У цьому випадку будемо опускати iндекс ϕ у позначеннях цих
просторiв.
4. Основний результат
Позначимо
H0,0
D := L2(Ω)⊕H3/2,3/4(S)⊕H1(G).
Через Q0,0
D позначимо пiдпрострiр простору вектор-функцiй(
f, g, h
)
∈ H0,0
D , якi задовольняють умову узгодження
g �Γ = h�Γ. (6)
Iз результату М. С. Аграновiча та М. I. Вiшiка [1] (теоре-
ма 12.1) випливає, що для кожної вектор-функцiї (f, g, h) iз со-
болєвського простору Q0,0
D задача (1)–(3) має єдиний розв’язок
u ∈ H2,1(Ω). Таку функцiю u називаємо узагальненим розв’яз-
ком цiєї задачi iз правою частиною (f, g, h) ∈ Q0,0
D .
Дамо означення класичного розв’язку цiєї задачi.
Означення 1. Узагальнений розв’язок u ∈ H2,1(Ω) задачi
(1)–(3) назвемо класичним, якщо
u ∈ C2,1
x,t (Ω) i u ∈ C(Ω ∪ S ∪G).
236 В. М. Лось
Зауважимо, що, на вiдмiну вiд означення класичного розв’яз-
ку задачi (1)–(3) у [37, означення 1], у цiй роботi в означеннi 1 не
вимагається неперервнiсть розв’язку у замкнутому цилiндрi Ω.
Сформулюємо основний результат роботи.
Теорема 1. Нехай функцiя u ∈ H2,1(Ω) є узагальненим
розв’язком задачi (1)–(3), правi частини якої задовольняють
умови
f ∈H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅)∩
H
−1+n/2, −1/2+n/4; ϕ2
loc (Ω, S ∪G),
(7)
g ∈ H1/2+n/2, 1/4+n/4; ϕ2
loc (S), (8)
h ∈ Hn/2; ϕ2
loc (G) (9)
з деякими функцiональними параметрами ϕ1 i ϕ2 ∈M такими,
що
∞∫
1
dr
rϕ2
j (r)
<∞ для всiх j ∈ {1, 2}. (10)
При n = 2 додатково припускаємо, що ϕ2 є зростаючою (в не-
строгому сенсi) функцiєю. Тодi u(x, t) є класичним розв’язком
задачi (1)–(3).
Вiдмiтимо, для означення локальних просторiв, що фiгурують
у теоремi, можна покласти, наприклад, U := Rn+1 \ (Γ ∪Gτ ), де
Gτ – верхня основа цилiндра Ω.
Зауваження 1. Якщо сформулювати аналог теореми 1 для
соболєвської шкали (випадок ϕ1 ≡ ϕ2 ≡ 1), то доведеться за-
мiнити умови (7)–(9) цiєї теореми на бiльш сильнi: для правих
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 237
частин задачi виконуються включення
f ∈H1+n/2+ε1, 1/2+n/4+ε1/2
loc (Ω,∅)∩
H
−1+n/2+ε2, −1/2+n/4+ε2/2
loc (Ω, S ∪G),
g ∈H1/2+n/2+ε2, 1/4+n/4+ε2/2
loc (S),
h ∈Hn/2+ε2
loc (G)
для деяких ε1 > 0 i ε2 > 0.
5. Доведення
Доведення теореми 1 спирається на теорему про локальне пiд-
вищення регулярностi розв’язку задачi (1)–(3) та деяку модифi-
кацiю теореми вкладання Хермандера [12] (теорема 2.2.7). Для
зручностi сформулюємо необхiднi твердження.
Твердження 1 [38] (теорема 2). Нехай u ∈ H2,1(Ω) є уза-
гальненим розв’язком параболiчної задачi (1)–(3) iз правою ча-
стиною (f, g, h) ∈ Q0,0
D . Припустимо, що
f ∈ Hs−2,(s−2)/2;ϕ
loc (ω, π1), (11)
g ∈ Hs−1/2,(s−1/2)/2;ϕ
loc (π2), (12)
h ∈ Hs−1;ϕ
loc (π3) (13)
для деяких s > 2 i ϕ ∈M. Тодi u ∈ Hs,s/2;ϕ
loc (ω, π1).
Твердження 2 [36] (Лема 8.1). Нехай p ∈ Z, p ≥ 0, s := p+ 1 +
n/2 та ϕ ∈M. Тодi правильнi такi два твердження:
(i) Якщо ϕ задовольняє умову
∞∫
1
dr
r ϕ2(r)
<∞, (14)
238 В. М. Лось
то кожна функцiя w ∈ Hs,s/2;ϕ(Rn+1) має таку власти-
вiсть: всi її узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t w(x, t) з
0 ≤ |α|+ 2β ≤ p є неперервними на Rn+1.
(ii) Нехай V є непорожня вiдкрита пiдмножина Rn+1, i нехай
цiле k таке, що 1 ≤ k ≤ n. Якщо кожна функцiя w ∈
Hs,s/2;ϕ(Rn+1) з suppw ⊂ V задовольняє умову ∂jw/∂xjk ∈
C(Rn+1) для кожного j ∈ Z з 0 ≤ j ≤ p, то ϕ задовольняє
умову (14).
Нам буде потрiбний такий наслiдок iз твердження 2.
Наслiдок 1. Твердження 3(i) зберiгає силу, якщо у ньому за-
мiнити Hs,s/2;ϕ(Rn+1) на Hs,s/2;ϕ(Ω) i Rn+1 на Ω.
Справдi, з означення простору Hs,s/2;ϕ(Ω) випливає, що для
кожної функцiї u ∈ Hs,s/2;ϕ(Ω) iснує така функцiя w ∈
Hs,s/2;ϕ(Rn+1), що u = w в Ω. Тому з твердження 3(i) випливає,
що всi узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t) з 0 ≤ |α|+2β ≤ p
є неперервними на Ω.
Доведення теореми 1. Спочатку покажемо, що твердження
1 є правильним у випадку, коли s = 2 i ϕ ∈ M є зростаючою (в
нестрогому сенсi) функцiєю. Цей факт потрiбний у випадку, коли
Ω ⊂ R3.
Нехай u ∈ H2,1(Ω). Виберемо довiльну функцiю χ ∈ C∞(Ω) з
suppχ ⊂ ω ∪ π1. Переставляючи диференцiальний оператор A з
оператором множення на χ, можемо записати
Λ(χu) := (A(χu), χu
∣∣
S
, χu
∣∣
t=0
) = χ(f, g, h) + (A′u, 0, 0), (15)
де
A′u = u∂tχ+
∑
|α|≤1
aα1 (x, t)Dα
xu ∈ H1,1/2(Ω).
З (15), умов (11)–(13) для s = 2 i лiвого вкладання (5) випливає
включення
Λ(χu) ∈ H0,0;ϕ(Ω)⊕H3/2,3/4;ϕ(S)⊕H1;ϕ(G). (16)
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 239
Вiдмiтимо, що для вектор-функцiї Λ(χu) виконується умова
узгодження (6). Справдi, оскiльки dist(suppχ,Γ) > 0, то χ = 0 в
деякому околi Γ. Звiдси маємо, що Λ(χu) = 0 в цьому околi Γ.
Отже, для Λ(χu) має мiсце включення (16) i виконується умо-
ва (6). З цього за теоремою 1 з [35] випливає потрiбне включення
χu ∈ H2,1;ϕ(Ω). Врахувавши довiльнiсть вибору функцiї χ, маємо
u ∈ H2,1;ϕ
loc (ω, π1).
Переходимо безпосередньо до доведення теореми 1. Спочатку
покажемо, що u ∈ C2,1
x,t (Ω). З умов (7)–(9) маємо включення
f ∈ H
1+n/2, 1/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅),
g ∈ D′(S) = H
5/2+n/2, 5/4+n/4; ϕ1
loc (∅),
h ∈ D′(G) = H
2+n/2; ϕ1
loc (∅).
З цих включень i твердження 1, де s := 3 + n/2, випливає, що
u ∈ H3+n/2, 3/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅). (17)
Виберемо довiльну точку x0 з множини Ω. Знайдеться окiл O(x0)
цiєї точки, такий, що O(x0) ⊂ Ω i dist(O(x0),Γ) > 0. Тодi iснує
функцiя χ ∈ C∞(Ω), така, що suppχ ⊂ Ω i χ = 1 на множинi
O(x0). З (17) випливає включення χu ∈ H3+n/2, 3/2+n/4; ϕ1(Ω).
На пiдставi цього включення i наслiдку 1, де p := 2, маємо вклю-
чення
∂t(χu), Dα
x (χu) ∈ C(Ω) при |α| ≤ 2.
З останнiх включень випливає, що узагальненi частиннi похiднi
∂tu i Dα
xu з |α| ≤ 2 є неперервними в деякому околi точки x0.
Оскiльки x0 є довiльною точкою Ω, то u ∈ C2,1
x,t (Ω).
Подiбним чином доводиться, що u ∈ C(Ω ∪ S ∪G). Справдi, з
умов (7)–(9) i твердження 1, де s := 1 + n/2, випливає, що
u ∈ H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ2
loc (Ω, S ∪G). (18)
Виберемо довiльну точку x0 з множини Ω ∪ S ∪ G. У топологiї
Ω знайдеться окiл O(x0) цiєї точки, такий, що dist(O(x0),Γ) > 0.
240 В. М. Лось
Тодi iснує функцiя χ ∈ C∞(Ω), така, що suppχ ⊂ Ω ∪ S ∪ G
i χ = 1 на множинi O(x0). З (18) випливає включення χu ∈
H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ2(Ω). На пiдставi цього включення i наслiдку 1,
де p := 0, маємо включення χu ∈ C(Ω). З останнього включення
випливає, що функцiя u є неперервною в деякому околi точки x0.
Оскiльки x0 є довiльною точкою Ω∪ S ∪G, то u ∈ C(Ω∪ S ∪G).
Теорема 1 доведена.
6. Висновки
У роботi знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених
розв’язкiв параболiчної мiшаної задачi (1)–(3) (теорема 1). За
цих умов розв’язки не обов’язково є неперервними у замкнуто-
му цилiндрi, у якому розглядається задача. Правi частини задачi
належать певним анiзотропним просторам Хермандера. Завдяки
цим просторам отримано бiльш тонкий результат, нiж це можли-
во у межах класичних шкал функцiональних просторiв Гельдера
або Соболєва.
Лiтература
[1] Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параме-
тром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. –
1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
[2] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линей-
ные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Москва:
Наука, 1967. – 736 с.
[3] Lions J.-L. Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems
and applications. – Vol. II. – Berlin: Springer, 1972. – xi+242 p.
[4] Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных за-
дач. – Киев: Выща школа, 1990. – 200 с.
[5] Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63.
Partial differential equations, VI. – Berlin: Springer, 1994. – P. 205 –
316.
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 241
[6] Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value
problems. – Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
[7] Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболиче-
ского и параболического уравнений // Успехи мат. наук. – 1960. –
15, № 2. – С. 97 – 154.
[8] Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные урав-
нения второго порядка параболического типа // Успехи мат. на-
ук. – 1962. – 17, № 3. – С. 3 – 146.
[9] Фридман А. Уравнения с частными производными параболиче-
ского типа.– Москва: Мир, 1968. – 428 с.
[10] Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. О корректности задач Дири-
хле и Неймана для параболических уравнений второго порядка с
коэффициентами из классов Дини // Укр. мат. журн. – 1974. –
26,№ 3. – С. 328 – 337.
[11] Михайлов В. П. Смешанная и краевая задачи для параболиче-
ских уравнений и систем // Мат. энциклопедия. Т. 5 – Москва:
Советская энциклопедия, 1985. – 1248 с.
[12] Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer,
1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Линейные дифферен-
циальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.)
[13] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен-
ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. –
20, № 1. – С. 3 – 74.
[14] Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // В кн.:
Х. Трибель. Теория функциональных пространств. – Москва:
Мир, 1986. – С. 381 – 415.
[15] Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.–
Berlin: Wiley–VCH, 2000. – 348 p.
[16] Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäser, 2001. –
xii+425 p.
[17] Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of
generalized smoothness // Ann. Mat. Pura Appl. – 2006. – 185, № 1. –
P. 1 – 62.
242 В. М. Лось
[18] Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculas on Euclidean
spaces. – Basel: Birkhäser, 2010. – xi+306 p.
[19] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo-
lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6,
№ 2. – P. 211 – 281.
[20] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and
elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. – xiv+297 p.
[21] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between
Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67, № 1. – P. 135 – 152.
[22] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic
boundary-value problems. II // Ukrainian Math. J. – 2006. – 58,
№ 3. – P. 398 – 417.
[23] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic
boundary-value problems. III // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 5. – P. 744 – 765.
[24] Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale
of spaces on a closed manifold // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 6. – P. 874 – 893.
[25] Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem
in a two-sided refined scale of spaces // Ukrainian Math. J. – 2008. –
60, № 4. – P. 574 – 597.
[26] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function
parameter and refined scale of spaces // Methods Funct. Anal.
Topology. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
[27] Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a
function parameter. – Methods Funct. Anal. Topology. – 2013. – 19,
№ 2. – P. 146 – 160.
[28] Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних
мiшаних задач // Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 2. – С. 219 – 234.
[29] Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в
пространствах обобщенной гладкости // Доп. НАН України. –
2014. – № 6. – С. 23 – 31.
Про достатнi умови класичностi розв’язкiв параболiчних задач... 243
[30] Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в
просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН України. – 2014. –
№ 10. – С. 24 – 32.
[31] Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi i 2b-
анiзотропнi простори Хермандера // Зб-к праць Iн-ту математики
НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 276 – 290.
[32] Лось В. М. Мiшанi задачi для двовимiрного рiвняння тепло-
провiдностi у анiзотропних просторах Хермандера // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 645 – 656.
[33] Лось В. М. Анiзотропнi простори Хермандера на бiчнiй поверхнi
цилiндра // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 2. – С. 226 – 237.
[34] Лось В. М., Мурач О. О. Теореми про iзоморфiзми для деяких па-
раболiчних початково-крайових задач у просторах Хермандера //
arXiv:1510.06270.
[35] Лось В. М. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних
початково-крайових задач у просторах Хермандера: граничний
випадок // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6 (прийнята до друку).
[36] Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem
for parabolic problems in Hörmander spaces and its applications //
arXiv:1511.04688 (to appear in Commun. Pure Appl. Anal.).
[37] Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчних початково-крайових
задач i простори Хермандера // Укр. мат. журн. – 2016 – 68, № 9
(прийнята до друку).
[38] Лось В. М., Михайлець В. А., Мурач О. О. Загальнi параболiчнi
початково-крайовi задачi у просторах Хермандера (у друцi).
[39] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-
зики: Учеб. пособие. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ,
1999. – 799 с.
[40] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука,
1985. – 144 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-215 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ab/06cdcaa88f74220e24ff4f57325928ab.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2152018-01-30T00:35:15Z On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical Про достатні умови класичності узагальнених розв'язків деяких мішаних параболічних задач Los, V. M. Лось, В. М. Considering the mixed problem for the second order linear parabolic equation with the Dirichlet boundary condition, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides of the problem to certain $2b$-anisotropic H\"{o}rmander spaces. The classical solutions can be discontinuous on the junction of the lateral area and base of the cylinder in which the problem is considered. Знайдено нові достатні умови класичності узагальнених розв'язків мішаної задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку з крайовою умовою Діріхле. Ці умови сформульовано у термінах приналежності правих частин задачі деяким анізотропним просторам Хермандера. Класичні розв'язки можуть мати розрив на стику бічної поверхні і основи циліндру, у якому розглядається задача. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/215 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 228-243 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 228-243 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 228-243 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/215/192 Авторське право (c) 2016 В. М. Лось |
| spellingShingle | Los, V. M. Лось, В. М. On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title | On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title_alt | Про достатні умови класичності узагальнених розв'язків деяких мішаних параболічних задач |
| title_full | On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title_fullStr | On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title_full_unstemmed | On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title_short | On sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| title_sort | on sufficient conditions for generalized solutions of some mixed parabolic problems to be classical |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/215 |
| work_keys_str_mv | AT losvm onsufficientconditionsforgeneralizedsolutionsofsomemixedparabolicproblemstobeclassical AT losʹvm onsufficientconditionsforgeneralizedsolutionsofsomemixedparabolicproblemstobeclassical AT losvm prodostatníumoviklasičnostíuzagalʹnenihrozv039âzkívdeâkihmíšanihparabolíčnihzadač AT losʹvm prodostatníumoviklasičnostíuzagalʹnenihrozv039âzkívdeâkihmíšanihparabolíčnihzadač |