On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential
We prove a completeness in the Hilbert space $L^{2}(\mathbb{T})$ of the system of eigenfunctions and associated functions of non-selfadjoint fractional Schr\"{o}dinger operator $\mathbb{D}^{2s}u+Vu$, $s\in (1/2,1)$, on a circle with singular potential $V$ from the negative Sobolev space $H^...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/216 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552739482894336 |
|---|---|
| author | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. |
| author_facet | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Молибога",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Molyboga, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T13:10:15Z |
| description | We prove a completeness in the Hilbert space $L^{2}(\mathbb{T})$ of the system of eigenfunctions and associated functions of non-selfadjoint fractional Schr\"{o}dinger operator $\mathbb{D}^{2s}u+Vu$, $s\in (1/2,1)$, on a circle with singular potential $V$ from the negative Sobolev space $H^{-s}(\mathbb{T})$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 244–255
УДК 517.927.25
В. М. Молибога
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про кореневi функцiї дробового
оператора Шредiнгера з
сингулярним потенцiалом
molyboga@imath.kiev.ua
We prove a completeness in the Hilbert space L2(T) of the system of
eigenfunctions and associated functions of non-selfadjoint fractional
Schrödinger operator D2su+V u, s ∈ (1/2, 1), on a circle with singular
potential V from the negative Sobolev space H−s(T).
Доведено повноту в гiльбертовому просторi L2(T) системи вла-
сних та приєднаних функцiй несамоспряженого дробового опера-
тора Шредiнгера D2su + V u, s ∈ (1/2, 1), на колi з сингулярним
потенцiалом V з негативного простору Соболєва H−s(T).
1. Вступ та основнi результати
В роботi у комплексному сепарабельному гiльбертовому просторi
L2(T), T := R/2Z, дослiджується питання повноти системи вла-
сних та приєднаних функцiй несамоспряженого дробового опе-
ратора Шредiнгера:
L2(T) : S(V )u ≡ Su := D2su+ V u, s ∈ (1/2, 1).
c© В. М. Молибога, 2016
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 245
Оператор дробового диференцiювання D2s з точнiстю до мно-
жника i2s збiгається з похiдною Г. Вейля:
D2s := (D2)s, D2 := − d2
dx2
, Dom(D2) := H2(T).
Через Ht(T), t ∈ R, ми позначаємо простори Соболєва 2-
перiодичних функцiй або узагальнених функцiй (розподiлiв), якi
визначаються за допомогою коефiцiєнтiв Фур’є:
Ht(T) :=
{
f =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T)
∣∣ ‖f‖Ht(T) <∞
}
,
‖f‖2Ht(T) :=
∑
k∈Z
(1 + |k|)2t|f̂(k)|2.
Оператор D2s адитивно збурюється перiодичною комплекснозна-
чною узагальненою функцiєю
V =
∑
k∈Z
V̂ (k)ei kπx
з негативного простора Соболєва H−s(T).
Оператор S(V ) коректно визначений в гiльбертовому просто-
рi L2(T) як форм-сума. Вiн m-секторний, має компактну резоль-
венту, самоспряжений, тодi i тiльки тодi, коли потенцiал V є
дiйснозначною перiодичною узагальненою функцiєю [11, 16].
Випадок s ∈ N детально вивчено в [14, 15, 9, 12], оператори в
негативних просторах дослiджено в [8]. Стосовно випадку s = 1
див. [5, 7, 10, 1, 3, 2] та бiблiографiю там.
Основним результатом цiєї роботи є.
Теорема 1. Система власних та приєднаних функцiй операто-
ра S(V ) є повною в гiльбертовому просторi L2(T).
При s = 1 система власних та приєднаних функцiй є не тiль-
ки повною в L2(T), але й утворює базис Барi–Маркуса iз пiд-
просторiв [1]. В роботах [3, 2] знайдено критерiї базисностi Рiсса
246 В. М. Молибога
для системи кореневих функцiй в L2(T). При s ∈ [1,∞) повноту
в гiльбертовому просторi L2(T) системи власних та приєднаних
функцiй встановлено в [11, 12].
2. Допомiжнi вiдомостi та результати
2.1. Простори Соболєва на колi
Будемо позначати скалярний добуток в гiльбертовому просторi
L2(T) через (·, ·)L2(T):
(u, v)L2(T) :=
1
2
∫
T
uvd x, u, v ∈ L2(T).
Тодi система {ei kπx}k∈Z вiдносно введеного скалярного добутку
є ортонормованим базисом в L2(T). Представимо довiльну фун-
кцiю u з гiльбертового простору L2(T) у виглядi ряду Фур’є
u(x) =
∑
k∈Z
û(k)ei kπx,
де коефiцiєнти Фур’є визначенi наступним чином:
û(k) := (u, ei kπx)L2(T).
За допомогою коефiцiєнтiв Фур’є скалярний добуток допускає
представлення у виглядi ряду
(u, v)L2(T) =
∑
k∈Z
û(k)v̂(k), u, v ∈ L2(T).
Позначимо через D′2(T) простiр 2-перiодичних узагальнених
функцiй на колi T, а через C∞2 (T) — простiр основних функцiй
— простiр 2-перiодичних нескiнченно диференцiйовних функцiй
[13]. Для довiльної 2-перiодичної узагальненої функцiї f ∈ D′2(T)
визначимо коефiцiєнти Фур’є:
f̂(k) := 〈f, ei kπx〉L2(T), k ∈ Z,
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 247
де через 〈·, ·〉L2(T) позначено пiвторалiнiйну форму, що є розши-
ренням за неперервнiстю скалярного добутку в L2(T). Тодi 2-
перiодична узагальнена функцiя f ∈ D′2(T) може бути представ-
лена у виглядi ряду Фур’є:
f(x) =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T).
Для довiльних f ∈ D′2(T) i ϕ ∈ C∞2 (T) має мiсце узагальнена
рiвнiсть Парсеваля–Стєклова:
〈f, ϕ〉L2(T) =
∑
k∈Z
f̂(k)ϕ̂(k).
Простори Соболєва Ht(T), t ∈ R, 2-перiодичних функцiй або
узагальнених функцiй (розподiлiв) ми визначаємо за допомогою
коефiцiєнтiв Фур’є:
Ht(T) =
{
f =
∑
k∈Z
f̂(k)ei kπx ∈ D′2(T)
∣∣‖f‖Ht(T) <∞
}
,
‖f‖2Ht(T) =
∑
k∈Z
(1 + |k|)2t|f̂(k)|2.
Очевидно, що простори H0(T) i L2(T) збiгаються.
Перiодична узагальнена функцiя f ∈ D′2(T) є дiйснозначною
тодi i тiльки тодi, коли
f̂(k) = f̂(−k), k ∈ Z+.
Як добре вiдомо,
D′2(T) =
⋃
t>0
H−t(T), ϕ ∈ C∞2 (T) =
⋂
t>0
Ht(T).
Далi, для довiльних двох 2-перiодичних узагальнених фун-
кцiй u та v їх добуток u · v формально ми визначимо наступним
чином:
u · v :=
∑
k,j∈Z
û(k − j)v̂(j)ei kπx.
248 В. М. Молибога
Наступний вiдомий результат дає достатнi умови iснування та-
кого добутку.
Лема 2 (про згортку [14]). Нехай s, r > 0 i t 6 min(s, r).
(I) Якщо s + r − t > 1/2, тодi добуток u · v двох довiльних
2-перiодичних узагальнених функцiй, який розглядається як вiд-
ображення в просторах:
(a) Hr(T)×Hs(T)→ Ht(T), (b) H−t(T)×Hs(T)→ H−r(T),
є неперервним вiдображенням, при цьому мають мiсце оцiнки:
(a) ‖u · v‖Ht(T) 6 C1(s, r, t)‖u‖Hr(T)‖v‖Hs(T),
(b) ‖u · v‖H−r(T) 6 C2(s, r, t)‖u‖H−t(T)‖v‖Hs(T).
(II) Якщо s + r − t < 1/2, тодi твердження (I) не виконує-
ться.
2.2. Допомiжнi оцiнки
Лема 3. Нехай s ∈ (1/2, 1), M ≥ 1. Тодi iснує така константа
C = C(s) > 0, що виконується оцiнка:∑
k∈Z
1
M + |k|2sπ2s
≤ CM−1+
1
2s .
Доведення. Дiйсно,∑
k∈Z
1
M + |k|2sπ2s
=
1
M
+ 2
∑
k∈N
1
M + k2sπ2s
,
i ∑
k∈N
1
M + |k|2sπ2s
≤
∫ ∞
0
dx
M + x2sπ2s
=
M
1
2s
M
∫ ∞
0
d x
M
1
2s
1 +
(
x
M1/2s
)2s
π2s
≤ CM−1+
1
2s .
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 249
Лему 3 доведено. 2
3. Доведення теореми 1
Теорема 4. Резольвента R(λ,S(V )) оператора S(V ) є ядерним
оператором.
Введемо позначення
BR(H−s(T)) ≡ BR :=
{
V ∈ H−s(T)
∣∣‖V ‖H−s(T) 6 R
}
, R > 0,
i
ExtM := {λ ∈ C ||Imλ| ≥ Reλ+M } , M ≥ 1.
Далi, без втрати загальностi, будемо вважати, що
V̂ (0) = 0.
Твердження 5. Нехай V ∈ BR. Iснує таке число M =
M(s,R) > 1, що
ExtM ⊂
⋂
V ∈BR
Resolv(S(V )),
i для λ ∈ ExtM резольвента R(λ,S(V )) допускає представлення:
R(λ) ≡ R(λ,S(V )) = (1)
Uλ|λ− D2s|−
1
2
(
Id− |λ− D2s|−
1
2V|λ− D2s|−
1
2Uλ
)−1
|λ− D2s|−
1
2 .
Тут через Uλ i |λ− D2s|−
1
2 позначено оператори, якi визначаю-
ться з полярного представлення
(λ− D2s)−1 = Uλ
∣∣(λ− D2s)−1
∣∣ ,
а через V := V · позначено оператор множення на 2-перiодичну
узагальнену функцiю V .
250 В. М. Молибога
Доведення твердження 5. Знайдемо спершу матричне
представлення операторiв в (1).
Нехай A оператор, який визначений на просторi 2-
перiодичних узагальнених функцiй D′2(T). Його формальне ма-
тричне представлення визначається наступним чином:
A = {A(k, j)}k,j∈Z,
A(k, j) = 〈A ei jπx, ei kπx〉L2(T), k, j ∈ Z.
Тодi оператори D2s, V := V (x)· та (λ − D2s)−1 мають таке
представлення:
D2s(k, j) = 〈D2s ei jπx, ei kπx〉L2(T) = |k|2sπ2sδkj ,
V(k, j) = 〈V (x) · ei jπx, ei kπx〉L2(T) = V̂ (k − j),
(λ− D2s)(k, j) = 〈(λ− D2s) ei jπx, ei kπx〉L2(T) = (λ− |k|2sπ2s)δkj ,
i
(λ− D2s)−1(k, j) =
1
λ− |k|2sπ2s
δkj .
Введемо позначення
A(λ, V ) ≡ Aλ :=
∣∣λ− D2s
∣∣− 1
2 V
∣∣λ− D2s
∣∣− 1
2 . (2)
Тодi
|(λ− D2s)−1|(k, j) = |(λ− D2s)|−1(k, j) = 1
|λ− |k|2sπ2s|
δkj ,
|λ− D2s|−
1
2 (k, j) =
1
|λ− |k|2sπ2s|
1
2
δkj ,
Uλ(k, j) =
|λ− |k|2sπ2s|
λ− |k|2sπ2s
δkj ,
i
Aλ(k, j) =
V̂ (k − j)
|λ− |k|2sπ2s|
1
2 |λ− |j|2sπ2s|
1
2
.
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 251
Лема 6. Нехай V ∈ BR. Оператор
Aλ = |λ− D2s|−
1
2V|λ− D2s|−
1
2
є оператором Гiльберта–Шмiдта в L2(T) i при λ ∈ ExtM його
норма оцiнюється наступним чином (C = C(s) > 0):
‖Aλ‖HS ≤ C‖V ‖H−s(T)M
− 1
2
+ 1
4s .
Тут через ‖·‖HS позначено норму Гiльберта–Шмiдта.
Доведення. Введемо позначення 〈k〉 := 1 + |k| i v(k) :=
〈k〉−sV̂ (k). Тодi
‖v‖l2(Z) = ‖V ‖H−s(T), v = {v(k)}k∈Z.
Для норми Гiльберта–Шмiдта оператора Aλ маємо
‖Aλ‖2HS =
∑
k,j∈Z
|V̂ (k − j)|2
|λ− |k|2sπ2s||λ− |j|2sπ2s|
=
∑
k,j∈Z
〈k − j〉2s|v(k − j)|2
|λ− |k|2sπ2s||λ− |j|2sπ2s|
.
Враховуючи тепер, що
〈k − j〉2s ≤ 22s|k − j|2s, k 6= j,
i
|λ− |k|2sπ2s| ≥
√
2
2
(
M + |k|2sπ2s
)
, λ ∈ ExtM ,
отримуємо
‖Aλ‖2HS ≤ 22s+1
∑
k,j∈Z
|k − j|2s|v(k − j)|2
|M + |k|2sπ2s||M + |j|2sπ2s|
= [m := k − j, k = m+ j]
= 22s+1
∑
m,j∈Z
|m|2s|v(m)|2
|M + |m+ j|2sπ2s||M + |j|2sπ2s|
.
252 В. М. Молибога
Далi, окремо розглянемо випадок |j| ≤ |m|2 i |j| > |m|
2 .
(I) Нехай |j| ≤ |m|2 . Тодi
|M + |m+ j|2sπ2s| ≥ |m+ j|2sπ2s ≥ |m|
2s
22s
π2s ≥ |m|2s,
i отже
‖Aλ‖2HS ≤ 22s+1
∑
m∈Z
|v(m)|2
∑
j∈Z
1
|M + |j|2sπ2s|
L.3(a)
≤ C‖V ‖2H−s(T)M
−1+ 1
2s .
(II) Нехай тепер |j| > |m|
2 . Тодi
|M + |j|2sπ2s| ≥ |j|2sπ2s ≥ |m|
2s
22s
π2s ≥ |m|2s,
i
‖Aλ‖2HS ≤ 22s+1
∑
m∈Z
|v(m)|2
∑
j∈Z
1
|M + |m+ j|2sπ2s|
L.3(a)
≤ C‖V ‖2H−s(T)M
−1+ 1
2s .
Таким чином нами доведено, що
‖Aλ‖2HS ≤ C‖V ‖2H−s(T)M
−1+ 1
2s , C > 0,
i остаточно
‖Aλ‖HS ≤ C‖V ‖H−s(T)M
− 1
2
+ 1
4s .
Лему 6 доведено. 2
Оператор λ− S(V ) допускає представлення:
λ− S(V ) (3)
= |λ− D2s|
1
2
(
Id− |λ− D2s|−
1
2V|λ− D2s|−
1
2Uλ
)
|λ− D2s|
1
2U−1λ .
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 253
Дiйсно, для u, v ∈ Hs(T),
tλ−S(V )[u, v] = 〈(λ− S(V ))u, v〉 =
〈|λ− D2s|
1
2
(
Id− |λ− D2s|−
1
2V|λ− D2s|−
1
2Uλ
)
|λ− D2s|
1
2U−1λ u, v〉.
Для завершення доведення представлення (3) залишається ско-
ристуватися першою теоремою про представлення [6, Теоре-
ма VI.2.1].
З леми 6 випливає, що для достатньо великого M ≥ 1 норма
Гiльберта–Шмiдта оператора A(λ, V ) менша за 1. Цього доста-
тньо для того, щоб оператор S(V ) мав резольвенту, яка в силу
(3) має представлення (1).
Твердження 5 доведено. 2
Доведення теореми 4. Згiдно з твердженням 5 при λ ∈
ExtM резольвента R(λ,S(V )) оператора S(V ) має представлення
(1).
Нагадаємо, що добуток оператора Гiльберта–Шмiдта та обме-
женого оператора є оператором Гiльберта–Шмiдта i що добуток
двох операторiв Гiльберта–Шмiдта є ядерним оператором.
Тепер, приймаючи до уваги, що оператор |λ − D2s|−
1
2 при
s ∈ (1/2, 1) є оператором Гiльберта–Шмiдта, а оператор(
Id− |λ− D2s|−
1
2V|λ− D2s|−
1
2Uλ
)−1
є обмеженим, з представле-
ння (1) отримуємо ядернiсть резольвенти R(λ,S(V )) для λ ∈
ExtM .
Для довiльного µ ∈ Resolv(S(V )) з тотожностi Гiльберта для
резольвент:
R(µ,S(V )) = R(λ,S(V ))+(µ−λ)R(µ,S(V ))R(λ,S(V )), λ ∈ ExtM ,
отримуємо ядернiсть резольвенти R(µ,S(V )) оператора S(V ).
Теорему 4 доведено. 2
Доведення теореми 1. Система власних та приєднаних
функцiй резольвенти R(λ,S(V )) є повною, що випливає з теореми
254 В. М. Молибога
В. Б. Лiдського [4, Теорема V.2.3] (див. також [4, Теорема V.6.1]),
оскiльки оператор R(λ,S(V )) m-секторний i ядерний.
Тепер справедливiсть теореми 1 випливає з того факту, що
системи власних та приєднаних функцiй оператора S(V ) та його
резольвенти R(λ,S(V )) збiгаються.
Теорему 1 доведено.
Лiтература
[1] Djakov P., Mityagin B. Bari–Markus property for Riesz projections of
Hill operators with singular potentials // Contemporary Mathemati-
cs. – 2009. – 481. – P. 59–80.
[2] Djakov P., Mityagin B. Criteria for existence of Riesz bases consi-
sting of root functions of Hill and 1D Dirac operators // Journal of
Functional Analysis. – 2012. – 263. – P. 2300–2332.
[3] Gesztesy F., Tkachenko V. A Schauder and Riesz basis criterion for
non-self-adjoint Schrödinger operators with periodic and anti-periodic
boundary conditions // J. Differential Equations. – 2012. – 253. –
P. 400–437.
[4] Gohberg I., Krein M. Introduction to the theory of linear non-self-
adjoint operators. – Providence, RI: AMS, Translations of Mathemati-
cal Monographs, Vol. 18, 1969. – xv+378 p.
[5] Hryniv R., Mykytyuk Ya. Schrödinger operators with periodic singular
potentials // Methods Funct. Anal. Topology. – 2001. – 7, No 4. –
P. 31–42.
[6] Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Berlin, etc.:
Springer–Verlag, 1995. – xxii+619 p.
[7] Korotyaev E. Characterization of the spectrum of Schrödinger
operators with periodic distributions // Int. Math. Res. Not. IMRN. –
2003. – 37, No 2. – P. 2019–2031.
[8] Mikhailets V., Molyboga V. Singular eigenvalue problems on the ci-
rcle // Methods Funct. Anal. Topology. – 2004. – 10, No 3. – С. 44–53.
Про кореневi функцiї дробового оператора Шредiнгера... 255
[9] Mikhailets V., Molyboga V. Singularly perturbed periodic and semi-
periodic differential operators // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 6. – С. 858–873.
[10] Mikhailets V., Molyboga V. Spectral gaps of the one-dimensional
Schrödinger operators with singular periodic potentials // Methods
Funct. Anal. Topology. – 2009. – 15, No 1. – С. 31–40.
[11] Mikhailets V., Molyboga V. On the spectrum of singular perturbations
of operators on the circle // Math. Notes. – 2012. – 91, No 4. – P. 588–
591.
[12] Molyboga V. Completeness of the rootvector system of the two-terms
non-seladjoint differential operators of an even order with periodic di-
stribution potentials // Bulletin of University of Kyiv. Series: Physics
& Mathematics. – 2010. – No 3. – P. 68–73.
[13] Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физи-
ке. – Москва: Наука. – 1976. – 280 с.
[14] Михайлець В. А., Молибога В. М. Спектральнi задачi на класах
перiодичних узагальнених функцiй. – Київ, 2004. – 46 с. – (Препр.
/ НАН України. Iн-т математики; 2004.– 10).
[15] Михайлец В. А., Молибога В. Н. Возмущение периодических и
полупериодических операторов распределением Шварца // До-
повiдi НАН України. – 2006. – № 7. – С. 26–31.
[16] Молибога В. М. Сингулярнi збурення дробово-диференцiальних
операторiв на колi // Збiрник праць Iн-ту математики НАН Укра-
їни. – 2015. – 12, № 2. – С. 291–306.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-216 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:13Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/12/ffef253030f28226572c60ea151dc312.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2162018-01-29T13:10:15Z On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential Про кореневі функції дробового оператора Шредінгера з сингулярним потенціалом Molyboga, V. M. Молибога, В. М. We prove a completeness in the Hilbert space $L^{2}(\mathbb{T})$ of the system of eigenfunctions and associated functions of non-selfadjoint fractional Schr\"{o}dinger operator $\mathbb{D}^{2s}u+Vu$, $s\in (1/2,1)$, on a circle with singular potential $V$ from the negative Sobolev space $H^{-s}(\mathbb{T})$. Доведено повноту в гільбертовому просторі $L^{2}(\mathbb{T})$ системи власних та приєднаних функцій несамоспряженого дробового оператора Шредінгера $\mathbb{D}^{2s}u+Vu$, $s\in (1/2,1)$, на колі з сингулярним потенціалом $V$ з негативного простору Соболєва $H^{-s}(\mathbb{T})$. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/216 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 244-255 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 244-255 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 244-255 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/216/193 Авторське право (c) 2016 В. М. Молибога |
| spellingShingle | Molyboga, V. M. Молибога, В. М. On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title | On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title_alt | Про кореневі функції дробового оператора Шредінгера з сингулярним потенціалом |
| title_full | On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title_fullStr | On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title_full_unstemmed | On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title_short | On root functions of fractional Schrödinger operator with singular potential |
| title_sort | on root functions of fractional schrödinger operator with singular potential |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/216 |
| work_keys_str_mv | AT molybogavm onrootfunctionsoffractionalschrodingeroperatorwithsingularpotential AT molibogavm onrootfunctionsoffractionalschrodingeroperatorwithsingularpotential AT molybogavm prokorenevífunkcíídrobovogooperatorašredíngerazsingulârnimpotencíalom AT molibogavm prokorenevífunkcíídrobovogooperatorašredíngerazsingulârnimpotencíalom |