Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations
We consider the most extensive class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r\geq1$ whose solutions run through the complex normed space of $n+r$ times continuously differentiable functions on a compact interval, with $0\leq n\in\mathbb{Z}$. The bo...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/217 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552740940414976 |
|---|---|
| author | Murach, A. A. Soldatov, V. O. Мурач, О. О. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Murach, A. A. Soldatov, V. O. Мурач, О. О. Солдатов, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. О. Мурач",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. О. Солдатов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Murach, A. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T13:12:27Z |
| description | We consider the most extensive class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r\geq1$ whose solutions run through the complex normed space of $n+r$ times continuously differentiable functions on a compact interval, with $0\leq n\in\mathbb{Z}$. The boundary conditions can contain derivatives $z^{(l)}$, with $r\leq l\leq n+r$, of the solution $z$ to the system. For parameter-dependent problems from this class, we obtain a constructive criterion under which their solutions are continuous with respect to the parameter in this normed space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 256–273
УДК 517.927
О. О. Мурач, В. О. Солдатов
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Критерiй неперервностi за
параметром розв’язкiв крайових
задач для систем диференцiальних
рiвнянь вищих порядкiв
murach@imath.kiev.ua, soldatovvo@ukr.net
We consider the most extensive class of linear boundary-value
problems for systems of ordinary differential equations of order r ≥ 1
whose solutions run through the complex normed space of n + r ti-
mes continuously differentiable functions on a compact interval, with
0 ≤ n ∈ Z. The boundary conditions can contain derivatives z(l),
with r ≤ l ≤ n + r, of the solution z to the system. For parameter-
dependent problems from this class, we obtain a constructive criteri-
on under which their solutions are continuous with respect to the
parameter in this normed space.
Дослiджено найбiльш широкий клас лiнiйних крайових задач
для систем звичайних диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 1,
розв’язки яких пробiгають комплексний нормований простiр n+r
разiв неперервно диференцiйовних функцiй на вiдрiзку, де 0 ≤
n ∈ Z. Крайовi умови можуть мiстити похiднi z(l), де r ≤ l ≤ n+r,
розв’язку z системи. Для залежних вiд параметра задач з цього
класу, отримано конструктивний критерiй неперервностi за пара-
метром їх розв’язкiв у цьому нормованому просторi.
c© О. О. Мурач, В. О. Солдатов, 2016
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 257
1. Вступ
У теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь важливе мiсце на-
лежить питанням про обґрунтування граничного переходу у за-
дачах Кошi i крайових задачах, залежних вiд параметра. У ро-
ботах I. I. Гiхмана [1], М. А. Красносельського i С. Г. Крейна [2],
Я. Курцвейля i З. Ворела [3], А. М. Самойленка [4, 5] встановлено
фундаментальнi результати про неперервну залежнiсть вiд пара-
метра розв’язкiв задач Кошi для нелiнiйних систем. А. Ю. Левi-
ним [6, 7], З. Опялем [8], В. Т. Рейдом [9] i Нгуен Тхе Хоаном [10]
цi результати були уточненi та доповненi для лiнiйних систем.
Для крайових задач зазначенi питання дослiдженi менш пов-
но, що пов’язано з великою рiзноманiтнiстю крайових умов. Тут
пiонерськими є роботи I. Т. Кiгурадзе [11 – 13] i М. Ашордiа [14],
у яких видiлено i дослiджено клас загальних лiнiйних крайо-
вих задач для систем диференцiальних рiвнянь першого поряд-
ку. Розв’язки y останнiх припускаються абсолютно неперервни-
ми на вiдрiзку [a, b], а крайовi умови заданi у виглядi By = q,
де B : C([a, b],Rm)→ Rm є довiльний лiнiйний неперервний опе-
ратор (m — число рiвнянь у системi). У вказаних роботах вста-
новлено умови, за яких розв’язки цих крайових задач є непе-
рервними за параметром у нормованому просторi C([a, b],Rm).
Недавно цi результати були уточненi i узагальненi для компле-
кснозначних функцiй та систем диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв у роботах В. А. Михайлеця, Н. В. Реви, Т. I. Кодлюк i
Г. О. Чеханової [15 – 18].
Iншi широкi класи лiнiйних крайових задач були введенi та
дослiдженi у роботах [19 – 21] i [22 – 24]. Цi класи тiсно пов’яза-
нi з класичними шкалами вiдповiдно функцiональних просторiв
Соболєва i просторiв C(l) неперервно диференцiйовних функцiй.
Крайовi умови для задач з цих класiв задано у виглядi By = q,
де B є довiльний неперервний оператор, що дiє з вiдповiдно-
го функцiонального простору у скiнченновимiрний комплексний
простiр. Такi крайовi задачi названi тотальними щодо вказаного
258 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
функцiонального простору. Для їх розв’язкiв встановлено кон-
структивнi достатнi умови неперервної залежностi за параме-
тром у вiдповiдних просторах. Цi результати були застосованi до
дослiдження багатоточкових крайових задач [25 – 29], матриць
Грiна крайових задач [17, 18, 30, 31], у спектральнiй теорiї дифе-
ренцiальних операторiв iз сингулярними коефiцiєнтами [32 – 35].
Зокрема [24], другим автором цiєї статтi для систем лiнiйних
диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 1 був введений i дослi-
джений клас тотальних крайових задач щодо функцiонального
комплексного простору C(n+r), де цiле n ≥ 0. (Випадок r = 1
вивчений ранiше В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою [22, 23].)
Припускається, що усi коефiцiєнти i правi частини цих систем
належать до простору (C(n))m. Враховуючи, що розв’язки z ко-
жної такої системи пробiгають увесь простiр (C(n+r))m, крайова
умова задається у виглядi Bz = q, де B : (C(n+r))m → Crm є
довiльний лiнiйний неперервний оператор, а вектор q ∈ Crm. Ця
умова охоплює як усi класичнi типи крайових умов (початковi
умови задачi Кошi, багатоточковi та iнтегральнi крайовi умови),
так i некласичнi крайовi умови, якi мiстять похiднi z(l) шуканої
функцiї, порядок яких задовольняє нерiвнiсть r ≤ l ≤ n+ r. От-
же, введений клас лiнiйних крайових задач є найбiльш широким
для систем, розв’язки яких пробiгають увесь простiр (C(n+r))m.
У вказанiй статтi [24, теорема 3] встановлено конструктивнi
достатнi умови, за яких розв’язок крайової задачi, тотальної що-
до простору (C(n+r))m, неперервно залежить у ньому вiд параме-
тра. Основна мета цiєї роботи — показати, що встановленi умови
є також i необхiдними, тобто довести критерiй неперервної зале-
жностi за параметром розв’язку цiєї задачi у просторi (C(n+r))m.
Окрiм того, буде показано, що похибка i нев’язка розв’язку ма-
ють однаковий порядок.
Ця робота складається з п’яти пунктiв. Пункт 1 є вступ. У п. 2
для системи звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь по-
рядку r ≥ 1 наведено постановку крайової задачi, тотальної що-
до простору C(n+r), де цiле n ≥ 0. Припускається, що ця задача
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 259
залежить вiд параметра. У п. 3 сформульовано результати робо-
ти — основну теорему про критерiй неперервностi за параметром
розв’язку дослiджуваної задачi i теорему про оцiнку похибки її
розв’язку. Цi теореми доведено у п. 4. В останньому п. 5 наведено
висновки до роботи.
2. Постановка задачi
Виберемо довiльним чином (скiнченний) вiдрiзок [a, b] ⊂ R та
цiлi числа n ≥ 0, r ≥ 1 i m ≥ 1. Будемо використовувати ком-
плекснi банаховi простори
(C(l))m := C(l)([a, b],Cm),
(C(l))m×m := C(l)([a, b],Cm×m),
(1)
де цiле l ≥ 0. Вони складаються вiдповiдно з усiх вектор-функцiй
та матриць-функцiй порядкуm, елементи яких належать до про-
стору C(l) := C(l)([a, b],C) усiх l разiв неперервно диференцiйов-
них функцiй x : [a, b]→ C. Цей простiр надiлений нормою
‖x‖(l) :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Норми у просторах (1) означаються як суми норм у C(l) усiх
компонент вектор-функцiй чи матриць-функцiй i позначаються
також через ‖ · ‖(l). З контексту завжди буде зрозумiло, у якому
саме просторi (скалярних функцiй, вектор-функцiй або матриць-
функцiй) розглядається норма ‖ · ‖(l).
Нехай ε0 > 0. Розглянемо таку лiнiйну крайову задачу, зале-
жну вiд параметра ε ∈ [0, ε0):
L(ε)z(t, ε) ≡ z(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Kr−j(t, ε)z
(r−j)(t, ε) = f(t, ε),
a ≤ t ≤ b,
(2)
260 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
B(ε)z(·, ε) = q(ε). (3)
Тут для кожного числа ε ∈ [0, ε0) є шуканою вектор-функцiя
z(·, ε) ∈ (C(n+r))m i довiльним чином заданi матричнi функцiї
Kr−j(·, ε) ∈ (C(n))m×m, де j = 1 . . . r, вектор-функцiя f(·, ε) ∈
(C(n))m, лiнiйний неперервний оператор
B(ε) : (C(n+r))m → Crm (4)
та вектор q(ε) ∈ Crm. При цьому у роботi вектори iнтерпретуємо
як стовпцi.
Крайова умова (3) з неперервним оператором (4) є найбiльш
загальною для системи диференцiальних рiвнянь (2), бо її пра-
ва частина f(·, ε) пробiгає увесь простiр (C(n))m тодi i тiльки
тодi, коли розв’язок z(·, ε) цiєї системи пробiгає увесь простiр
(C(n+r))m. Цю крайову задачу називаємо тотальною щодо про-
стору C(n+r).
3. Результати
Пов’яжемо iз крайовою задачею (2), (3) лiнiйний неперервний
оператор
(L(ε), B(ε)) : (C(n+r))m → (C(n))m × Crm. (5)
Оператор (5) є фредгольмовим з iндексом нуль для кожного чи-
сла ε ∈ [0, ε0), бо цей оператор є скiнченновимiрним збуренням
iзоморфiзму, що дiє у парi просторiв (C(n+r))m i (C(n))m×Crm та
вiдповiдає задачi Кошi для системи диференцiальних рiвнянь (2)
(див. детальнiше [24, теорема 1]).
Для крайової задачi (2), (3) розглянемо такi чотири
Граничнi умови при ε→ 0+:
(I) Kr−j(·, ε) → Kr−j(·, 0) у просторi (C(n))m×m для кожного
номера j ∈ {1 . . . r};
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 261
(II) B(ε)z → B(0)z у просторi Crm для довiльної вектор-
функцiї z ∈ (C(n+r))m;
(III) f(·, ε)→ f(·, 0) у просторi (C(n))m;
(IV) q(ε)→ q(0) у просторi Crm.
Розглядається ще така
Умова (0). Гранична однорiдна крайова задача
L(0) z(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, та B(0) z(·, 0) = 0 (6)
має лише тривiальний розв’язок.
Конструктивний критерiй того, що задача (6) задовольняє
умову (0) встановлено в [24, теорема 2]. Цей критерiй сформу-
льовано у термiнах матриць Kr−j(·, 0) i оператора B(0).
Сформулюємо тепер наше
Базове означення. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (2),
(3) неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, якщо вико-
нуються такi двi умови:
(∗) Iснує додатне число ε1 < ε0 таке, що для довiльних числа
ε ∈ [0, ε1), вектор-функцiї f(·, ε) ∈ (C(n))m i вектора q(ε) ∈
Crm ця задача має єдиний розв’язок z(·, ε) ∈ (C(n+r))m.
(∗∗) Граничнi умови (III) i (IV) тягнуть за собою збiжнiсть
z(·, ε)→ z(·, 0) в
(
C(n+r)
)m при ε→ 0 + . (7)
Основна теорема. Розв’язок крайової задачi (2), (3) неперервно
залежить вiд параметра ε при ε = 0 тодi i тiльки тодi, коли
вона задовольняє умову (0) i граничнi умови (I) i (II).
Основну теорему доповнює такий результат.
Теорема про оцiнку похибки. Нехай крайова задача (2), (3)
задовольняє умову (0) i граничнi умови (I) i (II). Тодi iснують
262 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
додатнi числа ε2 < ε1 i κ1, κ2 такi, що для кожного ε ∈ (0, ε2)
виконується двобiчна оцiнка
κ1
(
‖L(ε)z(·, 0)− f(·, ε)‖(n) + ‖B(ε)z(·, 0)− q(ε)‖Crm
)
≤ ‖z(·, 0)− z(·, ε)‖(n+r)
≤ κ2
(
‖L(ε)z(·, 0)− f(·, ε)‖(n) + ‖B(ε)z(·, 0)− q(ε)‖Crm
)
.
(8)
Тут числа ε2, κ1 i κ2 не залежать вiд функцiй z(·, 0), z(·, ε),
f(·, ε) i вектора q(ε).
Згiдно з нерiвнiстю (8), похибка i нев’язка розв’язку z(·, ε)
крайової задачi (2), (3) мають однаковий порядок. При цьому
z(·, 0) розглядаємо як наближений розв’язок цiєї задачi.
Цi теореми будуть доведенi у наступному роздiлi.
З огляду на основну теорему зауважимо, що лiнiйний непе-
рервний оператор (4) єдиним чином зображається у такому ви-
глядi:
B(ε)z =
n+r∑
k=1
βk(ε) z(k−1)(a) +
b∫
a
(dΦ(t, ε))z(n+r)(t) (9)
для довiльної вектор-функцiї z ∈ (C(n+r))m. Тут кожне βk(ε) є
числовою матрицею вимiрностi rm × m, а Φ(·, ε) є матрицею-
функцiєю вимiрностi rm ×m, складеною iз скалярних функцiй
обмеженої варiацiї на [a, b], неперервних справа на (a, b) та рiв-
них нулю у точцi t = a. (Звiсно, тут iнтеграл розумiється за
Рiманом-Стiльтьєсом.) Зображення (9) є наслiдком вiдомого опи-
су простору, спряженого до C(n+r); див., наприклад, [36, с. 374].
Використовуючи (9), можемо переписати граничну умову (II) у
явнiй формi. А саме, гранична умова (II) при ε→ 0+ еквiвален-
тна виконанню таких чотирьох умов:
(2а) βk(ε)→ βk(0) для кожного номера k ∈ {1, . . . , n+ r};
(2б) ‖V b
a Φ(·, ε)‖Crm×m = O(1);
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 263
(2в) Φ(b, ε)→ Φ(b, 0);
(2г)
∫ t
a Φ(s, ε)ds→
∫ t
a Φ(s, 0)ds для кожного t ∈ (a, b].
(Звiсно, збiжнiсть розглядається у просторi Crm×m.) Така еквi-
валентнiсть є наслiдком критерiю Ф. Рiса слабкої збiжностi лi-
нiйних функцiоналiв на C(0) (див., наприклад, [37, с. 136]). Кори-
сно порiвняти цi умови з критерiєм збiжностi операторiв B(ε)→
B(0) за нормою при ε→ 0+. Вiн стверджує, що ця збiжнiсть за
нормою еквiвалентна виконанню умов (2а) i
V b
a
(
Φ(·, ε)− Φ(·, 0)
)
→ 0 (10)
при ε → 0+. Умова (10) є бiльш сильною, нiж система умов
(2б) – (2г). Справдi, з умови (10) випливає рiвномiрна збiжнiсть
функцiй Φ(t, ε) до Φ(t, 0) на [a, b] при ε → 0+, тодi як з умов
(2б) – (2г) не випливає поточкова збiжнiсть цих функцiй хоча б
в однiй точцi iнтервалу (a, b).
4. Доведення
Доведемо основну теорему i теорему про оцiнку похибки.
Доведення основної теореми. Достатнiсть системи умов (0),
(I) та (II) для того, щоб крайова задача (2), (3) задовольняла
базове означення доведена у статтi [24, теорема 3]. Доведемо не-
обхiднiсть цих умов. Припускаємо, що ця задача задовольняє ба-
зове означення. Тодi виконується умова (0). Залишається дове-
сти, що для цiєї задачi виконуються умови (I) та (II). Проведемо
мiркування у три кроки.
Крок 1. Доведемо тут, що крайова задача (2), (3) задовольняє
граничну умову (I). Зведемо цю задачу до крайової задачi для
системи диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для цього,
як звичайно, покладемо
y(·, ε) := col
(
z(·, ε), z′(·, ε), . . . , z(r−1)(·, ε)
)
∈ (C(n+1))rm,
g(·, ε) := col
(
0, f(·, ε)
)
∈ (C(n))rm,
264 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
та
A(·, ε) :=
Om Im Om . . . Om
Om Om Im . . . Om
...
...
...
. . .
...
Om Om Om . . . Im
K0(·, ε) K1(·, ε) K2(·, ε) . . . Kr−1(·, ε)
,
де Om й Im позначають вiдповiдно нульову та одиничну матрицi
порядку m. Зауважимо, що A(·, ε) ∈ (C(n))rm×rm. Окрiм того, з
огляду на зображення (9) покладемо
N(ε)y :=
r−1∑
k=1
βk(ε)yk(a) +
n+r∑
k=r
βk(ε)y(k−r)r (a)+
+
b∫
a
(dΦ(t, ε))y(n+1)
r (t)
(11)
для довiльної вектор-функцiї y = col(y1, . . . , yr), де y1, . . . , yr ∈
(C(n+1))m. Лiнiйне вiдображення y 7→ Ny дiє неперервно з про-
стору (C(n+1))rm у простiр Crm.
Очевидно, що функцiя z(·, ε) ∈ (C(n+r))m є розв’язком крайо-
вої задачi (2), (3) тодi i тiльки тодi, коли функцiя y(·, ε) є розв’яз-
ком крайової задачi
y′(t, ε) +A(t, ε)y(t, ε) = g(t, ε), a ≤ t ≤ b, (12)
N(ε)y(·, ε) = q(ε). (13)
За умовою (∗) базового означення ця задача має єдиний розв’я-
зок y(t, ε) для кожного ε ∈ [0, ε1). Гранична умова (I) еквiвален-
та тому, що A(·, ε)→ A(·, 0) у просторi (C(n))rm×rm при ε→ 0+.
Доведемо цю збiжнiсть.
Зауважимо попередньо таке: якщо g(·, ε) i q(ε) не залежать
вiд ε ∈ [0, ε1), то z(·, ε) → z(·, 0) в (C(n+r))m при ε → 0+ за
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 265
умовою (∗∗) базового означення. Остання збiжнiсть еквiвалента
тому, що y(·, ε)→ y(·, 0) в (C(n+1))rm при ε→ 0+.
Для кожного числа ε ∈ [0, ε1) розглянемо матричну крайову
задачу
Y ′(t, ε) +A(t, ε)Y (t, ε) = 0 · Irm, a ≤ t ≤ b, (14)
[N(ε)Y (·, ε)] = Irm. (15)
Тут шуканою є матриця-функцiя Y (·, ε) := (yj,k(·, ε))rmj,k=1 з про-
стору (C(n+1))rm×rm i, за означенням,
[N(ε)Y (·, ε)] :=
N(ε)
y1,1(·, ε)
...
yrm,1(·, ε)
. . . N(ε)
y1,rm(·, ε)
...
yrm,rm(·, ε)
.
Задача (14), (15) є сукупнiстю rm крайових задач (12), (13), правi
частини яких не залежать вiд ε. Тому вона має єдиний розв’язок
Y (·, ε) ∈ (C(n+1))rm×rm, i вiн задовольняє умову
Y (·, ε)→ Y (·, 0) в (C(n+1))rm×rm при ε→ 0 + . (16)
Окрiм того,
detY (t, ε) 6= 0 для кожного t ∈ [a, b]. (17)
Справдi, у противному разi функцiї, що є стовпцями матрицi
Y (·, ε) були б лiнiйно залежними, що суперечило б крайовiй умо-
вi (15).
Тепер на пiдставi формул (16) i (17) отримаємо потрiбну збi-
жнiсть
A(·, ε) = −Y ′(·, ε)(Y (·, ε))−1 → −Y ′(·, 0)(Y (·, 0))−1 = A(·, 0)
у просторi (C(n))rm×rm при ε→ 0+. Звiдси негайно випливає, що
‖Kr−j(ε)‖(n) = O(1) при ε→ 0+
для кожного номера j ∈ {1, . . . , r}.
(18)
266 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
Крок 2. Доведемо, що
‖B(ε)‖ = O(1) при ε→ 0 + . (19)
Тут ‖·‖ позначає норму обмеженого оператора, що дiє з простору
(C(n+r))m у простiр Crm.
Припустимо супротивне; тодi iснує числова послiдовнiсть
(ε(k))∞k=1 ⊂ (0, ε1) така, що ε(k) → 0 i
0 < ‖B(ε(k))‖ → ∞ при ε→ 0 + . (20)
Для кожного k ∈ N виберемо функцiю wk ∈ (C(n+r))m таку, що
‖wk‖(n+r) = 1 i ‖B(ε(k))wk‖Crm ≥ ‖B(ε(k))‖/2. (21)
Покладемо
z(·, ε(k)) := ‖B(ε(k))‖−1wk ∈ (C(n+r))m,
f(·, ε(k)) := L(ε(k)) z(·, ε(k)) ∈ (C(n))m,
q(ε(k)) := B(ε(k)) z(·, ε(k)) ∈ Crm.
Враховуючи спiввiдношення (20), (21), маємо збiжнiсть
z(·, ε(k))→ 0 в (C(n+r))m при k →∞. (22)
Звiдси
f(·, ε(k))→ 0 в (C(n))m при k →∞, (23)
оскiльки крайова задача (2), (3) задовольняє граничну умову (I),
як було показано на кроцi 1. Окрiм того, на пiдставi (21) маємо
двобiчну оцiнку
1/2 ≤ ‖q(ε(k))‖Crm ≤ 1 для кожного k ∈ N.
Тому iснує пiдпослiдовнiсть (q(ε(kp)))∞p=1 ⊂ (q(ε(k)))∞k=1 та нену-
льовий вектор q(0) ∈ Crm такi, що
q(ε(kp))→ q(0) в Crm при p→∞. (24)
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 267
Отже, для кожного номера p функцiя z(·, ε(kp)) ∈ (C(n+r))m є
єдиним розв’язком крайової задачi
L(ε(kp)) z(t, ε(kp)) = f(t, ε(kp)), a ≤ t ≤ b,
B(ε(kp)) z(·, ε(kp)) = q(ε(kp)).
Тому на пiдставi формул (23) i (24) та умови (∗∗) базового означе-
ння робимо висновок, що функцiя z(·, ε(kp)) збiгається до єдиного
розв’язку z(·, 0) граничної крайової задачi
L(0)z(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, i B(0)z(·, 0) = q(0).
Ця збiжнiсть виконується у просторi (C(n+r))m при ε→ 0+. От-
же, z(·, 0) ≡ 0 згiдно з формулою (22). Ця рiвнiсть суперечить
крайовiй умовi B(0)z(·, 0) = q(0), де q(0) 6= 0. Таким чином, зро-
блене припущення є хибним, чим i доведено (19).
Крок 3. Доведемо, що крайова задача (2), (3) задовольняє гра-
ничну умову (II). На пiдставi формул (18) i (19) iснують числа
κ′ > 0 i ε′ ∈ (0, ε1) такi, що
‖(L(ε), B(ε))‖ ≤ κ′ для кожного ε ∈ [0, ε′). (25)
Тут ‖(L(ε), B(ε))‖ позначає норму обмеженого оператора (5). Ви-
беремо довiльним чином функцiю z ∈ (C(n+r))m та покладемо
f(·, ε) := L(ε)z i q(ε) := B(ε)z для кожного ε ∈ [0, ε′). Отже,
z = (L(ε), B(ε))−1(f(·, ε), q(ε)) для кожного ε ∈ [0, ε′). (26)
Тут, звiсно, (L(ε), B(ε))−1 позначає оператор, обернений до (5).
(Нагадаємо, що оператор (5) оборотний за умовою (∗) базового
означення.)
Застосовуючи формули (25) i (26), отримаємо при 0 < ε < ε′
268 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
таке: ∥∥B(ε)z −B(0)z
∥∥
Crm ≤
≤
∥∥(f(·, ε), q(ε))− (f(·, 0), q(0))
∥∥
(Cn)m×Crm =
=
∥∥(L(ε), B(ε))(L(ε), B(ε))−1
(
(f(·, ε), q(ε))−
−(f(·, 0), q(0))
)∥∥
(C(n))m×Crm
≤ κ′
∥∥(L(ε), B(ε))−1
(
(f(·, ε), q(ε))− (f(·, 0), q(0))
)∥∥
(n+r)
= κ′
∥∥(L(0), B(0))−1(f(·, 0), q(0))−
−(L(ε), B(ε))−1(f(·, 0), q(0))
∥∥
(n+r)
→ 0
при ε→ 0+ на пiдставi умови (∗∗) базового означення. Таким чи-
ном, оскiльки функцiя y ∈ (C(n+r))m вибрана довiльно, доведено,
що крайова задача (2), (3) задовольняє граничну умову (II).
Основна теорема доведена.
Доведення теореми про оцiнку похибки. Спочатку дове-
демо лiву частину оцiнки (8). Граничнi умови (I) i (II) тягнуть
за собою сильну збiжнiсть операторiв (L(ε), B(ε))→ (L(0), B(0))
при ε → 0+. Тут, як i ранiше, (L(ε), B(ε)), де 0 ≤ ε < ε0, є
обмеженим оператором, що дiє з простору (C(n+r))m у простiр
(C(n))m × Crm. Тому iснують числа κ′ > 0 i ε′ ∈ (0, ε1) такi,
що норма цього оператора задовольняє нерiвнiсть (25). Справ-
дi, у противному разi iснувала б послiдовнiсть додатних чисел
(ε(k))∞k=1 така, що ε(k) → 0 i ‖(L(ε(k)), B(ε(k)))‖ → ∞ при k →∞.
Це з огляду на теорему Банаха-Штейнгауза суперечило б вказа-
нiй вище сильнiй збiжностi операторiв. Тепер на пiдставi нерiв-
ностi (25) робимо висновок, що
‖L(ε)z(·, 0)− f(·, ε)‖(n) + ‖B(ε)z(·, 0)− q(ε)‖Crm =
= ‖(L(ε), B(ε))(z(·, 0)− z(·, ε))‖(C(n))m×Crm ≤
≤ κ′ ‖z(·, 0)− z(·, ε)‖(n+r)
для довiльного ε ∈ [0, ε′). Отримали лiву частину двобiчної оцiн-
ки (8), де κ1 := 1/κ′.
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 269
Доведемо тепер праву частину цiєї оцiнки. Згiдно з основною
теоремою, крайова задача (2), (3) задовольняє базове означення.
Тому оператор (5) є оборотним для кожного ε ∈ [0, ε1). Бiльше
того, оператор (L(ε), B(ε))−1, обернений до (5), збiгається сильно
до (L(0), B(0))−1 при ε→ 0+. Справдi, для довiльних f ∈ (Cn)m
i q ∈ Crm за умовою (∗∗) базового означення маємо збiжнiсть
(L(ε), B(ε))−1(f, q) =: z(·, ε)→ z(·, 0) := (L(0), B(0))−1(f, q)
у просторi (C(n+r))m при ε → 0+. Отже, iснують додатнi
числа ε2 < ε′ i κ2 такi, що норма оберненого оператора
‖(L(ε), B(ε))−1‖ ≤ κ2 для кожного ε ∈ [0, ε2). Це випливає iз тео-
реми Банаха-Штейнгауза за допомогою мiркувань, аналогiчних
наведеним у попередньому абзацi. Тому для довiльного числа
ε ∈ [0, ε2) правильнi такi спiввiдношення:
‖z(·, 0)− z(·, ε)‖(n+r) =
= ‖(L(ε), B(ε))−1(L(ε), B(ε))(z(·, 0)− z(·, ε))‖(n+r) ≤
≤ κ2 ‖(L(ε), B(ε))(z(·, 0)− z(·, ε))‖(C(n))m×Crm =
= κ2
(
‖L(ε)z(·, 0)− f(·, ε)‖(n) + ‖B(ε)z(·, 0)− q(ε)‖Crm
)
.
Отримали праву частину двобiчної оцiнки (8).
Теорема про оцiнку похибки доведена.
5. Висновки
У роботi дослiджено залежнi вiд параметра лiнiйнi крайовi за-
дачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь довiльного
порядку r ≥ 1. Припускається, що цi задачi є тотальними щодо
нормованого простору C(n+r), де цiле n ≥ 0. Вони утворюють
найбiльш широкий клас лiнiйних крайових задач для систем,
розв’язки яких пробiгають C(n+r). Для таких задач доведено
критерiй неперервної залежностi вiд параметра їх розв’язкiв у
просторi C(n+r) (основна теорема роботи). Доведено також, що
270 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
похибка i нев’язка розв’язку мають однаковий порядок у вiдпо-
вiдних просторах неперервно диференцiйовних функцiй (теоре-
ма про оцiнку похибки).
Автори висловлюють подяку В. А. Михайлецю за обговорення
роботи.
Лiтература
[1] Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр.
мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215–219.
[2] Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в не-
линейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С.
147–153.
[3] Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от параметра // Czechoslovak
Math. J. – 1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
[4] Самойленко А. М. Об одном случае непрерывной зависимости ре-
шений дифференциальных уравнений от параметра // Укр. мат.
журн. – 1962. – 14, № 3. – С. 289–298.
[5] Самойленко А. М. Про неперервну залежнiсть розв’язкiв ди-
ференцiальних рiвнянь вiд параметра // Доповiдi АН УРСР.
Сер А. – 1962. – № 10. – С. 1290–1293.
[6] Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ =
An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
[7] Левин А. Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного диффе-
ренциального уравнения. I // Вестн. Ярослав. ун-та. – 1973. –
Вып. 5. – С. 105–132.
[8] Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of di-
fferential equations // J. Differential Equations. – 1967. – 3, No. 4. –
P. 571–579.
[9] Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems //
J. Differential Equations. – 1967. – 3, No. 3. – P. 423–439.
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 271
[10] Нгуен Тхе Хоан. О зависимости от параметра решений линей-
ной системы дифференциальных уравнений // Дифференциаль-
ные уравнения. – 1993. – 29, № 6. – С. 970—975.
[11] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Совр. пробл. мат. Новейшие дости-
жения. – Москва: ВИНИТИ – 1987. – 30. – С. 3–103.
[12] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[13] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Дифференциальные уравне-
ния. – 2003. – 39, № 2. – С. 198–209.
[14] Ashordia M. Criteria of correctness of linear boundary value
problems for systems of generalized ordinary differential equations //
Czechoslovak Math. J. – 1996. – 46, No. 3. – P. 385–404.
[15] Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру реше-
ний общих краевых задач // Теорiя наближення функцiй та сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. –
5, № 1. – С. 227–239.
[16] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о кор-
ректности линейных краевых задач // Доповiдi НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23–27.
[17] Кодлюк Т. И., Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельные теоремы
для одномерных краевых задач // Укр. мат. журн. – 2013. – 65,
№ 1. – С. 70–81.
[18] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015. –
204, No. 3. – P. 333–342.
[19] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доповiдi НАН Украї-
ни. – 2008. – № 8. – С. 28–30.
[20] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
272 О. О. Мурач, В. О. Солдатов
[21] Гнып Е. В., Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Фредгольмовые крае-
вые задачи с параметром на пространствах Соболева // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 584–591.
[22] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Некоторые классы фредгольмо-
вых краевых задач на отрезке // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 2. – С. 268–273.
[23] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доповiдi НАН Укра-
їни. – 2014. – № 7. – С. 24–28.
[24] Солдатов В. О. Про неперервнiсть за параметром розв’язкiв кра-
йових задач, тотальних щодо просторiв C(n+r)[a, b] // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5 – С. 692–700.
[25] Кодлюк Т. И. Предельный переход в класе многоточечных крае-
вых задач // Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 203–216.
[26] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доповiдi НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[27] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пита-
ння аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –
10, № 2. – С. 260–279.
[28] Гнип Є. В., Кодлюк Т. I. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв
некласичних багатоточкових крайових задач на просторах Собо-
лєва // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С.
101–112.
[29] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 273
[30] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач // Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
[31] Пелехата О. Б. Неперервнiсть за параметром матриць Грiна ба-
гатоточкових крайових задач // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2015. – 12, № 2. – С. 315–326.
[32] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of
Sturm–Liouville operators with singular potentials // Math. Notes. –
2010. – 87, № 1–2. – P. 287–292.
[33] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm-
Liouville equations // Methods Funct. Anal. Topology. – 2010. – 16,
No. 2. – P. 120–130.
[34] Горюнов А. С., Михайлец В. А. Регуляризация квазипроизво-
дными двучленных дифференциальных уравнений с сингуляр-
ным коэффициентом // Укр. Мат. Журн. – 2011. – 63, № 9. –
С. 1190–1205.
[35] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-ajoint
quasi-differential operators and boundary-value problems // Electron.
J. Differential Equations. – 2013. – 2013, No. 101. – P. 1—16.
[36] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. –
Москва: Изд-во иностранной лит., 1962. – 895 с.
[37] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-
лизу. – Москва: Мир, 1979. – 592 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-217 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:15Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d2/48916c0703dcc2e141c8f7782c2c12d2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2172018-01-29T13:12:27Z Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations Критерій неперервності за параметром розв'язків крайових задач для систем диференціальних рівнянь вищих порядків Murach, A. A. Soldatov, V. O. Мурач, О. О. Солдатов, В. О. We consider the most extensive class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r\geq1$ whose solutions run through the complex normed space of $n+r$ times continuously differentiable functions on a compact interval, with $0\leq n\in\mathbb{Z}$. The boundary conditions can contain derivatives $z^{(l)}$, with $r\leq l\leq n+r$, of the solution $z$ to the system. For parameter-dependent problems from this class, we obtain a constructive criterion under which their solutions are continuous with respect to the parameter in this normed space. Досліджено найбільш широкий клас лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь порядку $r\geq1$, розв'язки яких пробігають комплексний нормований простір $n+r$ разів неперервно диференційовних функцій на відрізку, де $0\leq n\in\mathbb{Z}$. Крайові умови можуть містити похідні $z^{(l)}$, де $r\leq l\leq n+r$, розв'язку $z$ системи. Для залежних від параметра задач з цього класу, отримано конструктивний критерій неперервності за параметром їх розв'язків у цьому нормованому просторі. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/217 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 256-273 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 256-273 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 256-273 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/217/194 Авторське право (c) 2016 О. О. Мурач, В. О. Солдатов |
| spellingShingle | Murach, A. A. Soldatov, V. O. Мурач, О. О. Солдатов, В. О. Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title_alt | Критерій неперервності за параметром розв'язків крайових задач для систем диференціальних рівнянь вищих порядків |
| title_full | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title_fullStr | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title_full_unstemmed | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title_short | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| title_sort | criterion of continuity with respect to parameter of solutions of boundary-value problems for systems of higher-order differential equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/217 |
| work_keys_str_mv | AT murachaa criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofhigherorderdifferentialequations AT soldatovvo criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofhigherorderdifferentialequations AT muračoo criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofhigherorderdifferentialequations AT soldatovvo criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofhigherorderdifferentialequations AT murachaa kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT soldatovvo kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT muračoo kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív AT soldatovvo kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívkrajovihzadačdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹviŝihporâdkív |