Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$
We obtain order estimates of the best orthogonal trigonometric approximation of the functions $D^\psi_{\beta}$ in the space $L_q$, with $1<q<\infty$. These functions are generalized multidimensional analogs of the Bernoulli kernels. The results obtained are applied to establish...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/225 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552745456631808 |
|---|---|
| author | Shvai, K. V. Швай, К. В. |
| author_facet | Shvai, K. V. Швай, К. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "К. В. Швай",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Shvai, K. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T13:18:04Z |
| description | We obtain order estimates of the best orthogonal trigonometric approximation of the functions $D^\psi_{\beta}$ in the space $L_q$, with $1<q<\infty$. These functions are generalized multidimensional analogs of the Bernoulli kernels. The results obtained are applied to establish a lower estimate of the best orthogonal trigonometric approximation for the classes $L^\psi_{\beta,1}$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 300–320
УДК 517.5
К. В. Швай
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Оцiнки найкращих ортогональних
тригонометричних наближень
узагальнених багатовимiрних
аналогiв ядер Бернуллi та класiв Lψβ,1
у просторi Lq
kate.shvai@gmail.com
We obtain order estimates of the best orthogonal trigonometric
approximation of the functions Dψ
β in the space Lq, with 1 < q <∞.
These functions are generalized multidimensional analogs of the
Bernoulli kernels. The results obtained are applied to establish a
lower estimate of the best orthogonal trigonometric approximation
for the classes Lψβ,1.
Отримано порядковi оцiнки найкращих ортогональних тригоно-
метричних наближень функцiй Dψ
β , якi є узагальненими багато-
вимiрними аналогами ядер Бернуллi, у просторi Lq, 1 < q < ∞.
При цьому одержанi результати використанi для встановлення
оцiнки знизу найкращого ортогонального тригонометричного на-
ближення класiв Lψβ,1.
c© К. В. Швай, 2016
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 301
1. Вступ
Перш нiж перейти до викладу основних результатiв, наведемо
необхiднi позначення i дамо означення апроксимативної хара-
ктеристики, що буде дослiджуватися.
Нехай задано d-вимiрний простiр Rd, d ≥ 1, з елементами
x = (x1, . . . , xd) i d–вимiрний куб πd =
d∏
j=1
[−π, π]. Через Lq (πd) ,
1 ≤ q ≤ ∞, позначимо простiр 2π–перiодичних за кожною змiн-
ною функцiй f зi скiнченною нормою
‖f‖Lq(πd) = ‖f‖q =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈πd
|f(x)| , q =∞.
Надалi будемо вважати, що для f ∈ Lq (πd) виконується умова
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d.
Розглянемо ряд Фур’є функцiї f ∈ L1 (πd)∑
k∈Zd
f̂(k)ei(k,x),
де f̂ (k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f,
(k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Нехай тепер ψj(·) 6= 0 — довiльнi функцiї натурального аргу-
менту, βj ∈ R, j = 1, d. Якщо ряд
∑
k∈Z̊d
d∏
j=1
ei
πβj
2
sgnkj
ψj(|kj |)
f̂(k)ei(k,x),
302 К. В. Швай
де Z̊d = Zd \ (0, . . . , 0), є рядом Фур’є деякої функцiї iз L1 (πd), то
її називають (ψ, β)–похiдною функцiї f i позначають fψβ . Мно-
жина функцiй f , що задовольняють таку умову, утворює клас
Lψβ .
Якщо ж (ψ, β)–похiдна f належить до множини Up = {ϕ :
ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1} , то записують f ∈ Lψβ,p.
Далi, нехай для фiксованого набору функцiй ψj та чисел βj
ряд
∑
k∈Z̊d
d∏
j=1
ψj (|kj |) ei
πβj
2
sgnkjei(k,x),
є рядом Фур’є деякої сумовної на πd функцiї, яку позначимо
через Dψ
β . Зазначимо, що Dψ
β при ψj (|kj |) = |kj |−rj , rj > 0,
kj ∈ Z\{0}, j = 1, d, є багатовимiрним аналогом ядра Бернуллi
(див., наприклад, [1, c. 31]).
Кожну iз функцiй f ∈ Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, можна зобразити у
виглядi згортки
f(x) =
(
ϕ ∗Dψ
β
)
(x) = (2π)−d
∫
πd
ϕ(x− t)Dψ
β (t)dt, (1)
де ‖ϕ‖p ≤ 1 i функцiя ϕ(·) майже всюди спiвпадає iз fψβ .
При проведеннi подальших мiркувань через D будемо позна-
чати множину функцiй ψj(·), j = 1, d, якi задовольняють умови
1. ψj(·), j = 1, d, — додатнi та незростаючi;
2. ∀j = 1, d ∃Mj > 0 таке, що ∀l ∈ N ψj(l)
ψj(2l)
≤Mj .
Зазначимо, що до вказаної множини належать, зокрема, функцiї
ψj(k) = k−rj , rj > 0, k ∈ N; ψj(k) = k−rj ln(k+ 1), rj > 0, k ∈ N,
та iншi.
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 303
Далi для f ∈ Lq (πd) , 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
SθM (f, x) =
M∑
j=1
f̂
(
kj
)
ei(k
j ,x),
де f̂
(
kj
)
– коефiцiєнти Фур’є функцiї f, θM =
{
kj : kj =
=
(
kj1, . . . , k
j
d
)
, kj ∈ Zd, j = 1,M
}
, i позначимо
e⊥M (f)q = inf
θM
‖f(·)− SθM (f, ·)‖q. (2)
Величину (2) називають найкращим ортогональним тригоно-
метричним наближенням функцiї f . Якщо F ⊂ Lq — деякий
функцiональний клас, то покладемо
e⊥M (F )q = sup
f∈F
e⊥M (f)q = sup
f∈F
inf
θM
‖f(·)− SθM (f, ·)‖q . (3)
Апроксимативна характеристика (2) була введена Е. С. Бе-
лiнським (див., наприклад, [2]). У подальшому напрям, пов’яза-
ний з вивченням ортогональних тригонометричних наближень
як iндивiдуальних функцiй, так i певних класiв функцiй, одер-
жав розвиток у роботах А. С. Романюка [3–6], А. С. Федорен-
ка [7], Н. М. Консевич [8], С. А. Стасюка [9], В. В. Шкапи [10],
А. С. Сердюка та Т. А. Степанюк [11]. В цих роботах можна
ознайомитися з бiльш детальною бiблiографiєю.
Результати роботи будемо записувати у термiнах порядкових
спiввiдношень. Отже, якщо iснують такi додатнi сталi C1 та C2,
для яких виконуються одна з умов A ≤ C1B чи B ≤ C2A, то,
вiдповiдно, позначають A � B чи A � B. При виконаннi обох
вказаних нерiвностей вводиться позначення A � B. Зазначимо,
що сталi у порядкових спiввiдношеннях можуть залежати лише
вiд тих параметрiв, що входять в означення класу та метрики, в
якiй здiйснюється наближення.
304 К. В. Швай
2. Допомiжнi твердження
Сформулюємо декiлька вiдомих тверджень, якi нам знадобля-
ться для отримання результатiв.
При цьому кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ Z+, j = 1, d,
поставимо у вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) :
[
2sj−1
]
≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
.
Далi, для f ∈ L1 (πd) покладемо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де f̂(k) – як i ранiше, коефiцiєнти Фур’є даної функцiї, i зазначи-
мо, що об’єднання множин ρ(s), (s, 1) = s1 + . . .+ sd < n, n ∈ N,
утворюють множину Qn, яка називається "схiдчастим гiперболi-
чним хрестом" [1, с. 7]. Вiдомо, що кiлькiсть точок цiєї множини
за порядком дорiвнює 2nnd−1 [1, с. 70].
Справедливi такi твердження.
Теорема А (Лiттлвуда-Пелi, див., наприклад, [12, с. 52–56]).
Нехай задано 1 < q <∞. Тодi iснують такi додатнi сталi C3(q)
та C4(q), що для кожної функцiї f ∈ Lq (πd) має мiсце оцiнка
C3(q)‖f‖q ≤
∥∥∥∥∥∥
(∑
s
|δs(f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥∥
q
≤ C4(q)‖f‖q.
Теорема Б (Марцинкевича, [13, T. II, с. 346]). Нехай задано
послiдовнiсть {λn}∞n=−∞ , що задовольняє умови
1. |λn| ≤M, n = 0,±1, ...;
2.
±2ν−1∑
µ=±2ν−1
|λµ+1 − λµ| ≤M, ν = 1, 2, ... .
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 305
Тодi якщо
f(x) =
∞∑
k=−∞
cke
ikx ∈ Lq, 1 < q <∞,
то
F (x) =
∞∑
k=−∞
λkcke
ikx ∈ Lq
i iснує константа C5(q), яка залежить тiльки вiд q, така, що
‖F (·)‖q ≤ C5(q)M‖f(·)‖q.
Лема А. [1, с. 11] При γ > 0 має мiсце спiввiдношення
∑
(s,1)≥n
2−γ(s,1) � nd−12−γn.
Лема Б. [1, с. 25] При 1 ≤ p < q < ∞, f ∈ Lp (πd) , справедлива
оцiнка ∑
s
‖δs(f, ·)‖qp · 2
(s,1)
(
1
p
− 1
q
)
q � ‖f‖qq .
Будемо використовувати також твердження, яке є наслiдком
теореми 1 iз [14, с. 94].
Лема В. Нехай 1 < p < ∞, f ∈ Lψβ,p, ψj(·) ∈ D, j = 1, d. Тодi
для будь-якого s ∈ Nd справедлива оцiнка
‖δs(f, ·)‖p �
d∏
j=1
ψj (2sj )
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
p
,
де fψβ (·) — (ψ, β)-похiдна функцiї f.
306 К. В. Швай
3. Основнi результати
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < q < ∞, ψj ∈ D, βj ∈ R, j = 1, d, i, крiм
того, iснує ε > 0 таке, що ψj (|kj |) |kj |1−
1
q
+ε не зростають. То-
дi для будь-яких натуральних M i n, що задовольняють умову
M � 2nnd−1, має мiсце спiввiдношення
Φ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
� e⊥M
(
Dψ
β
)
q
�
� Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
,
де
Φ(n) = min
(s,1)=n
d∏
j=1
ψj (2sj ), Ψ(n) = max
(s,1)=n
d∏
j=1
ψj (2sj ).
Доведення. Доведемо спочатку оцiнку зверху. Згiдно з прийня-
тими позначеннями, можемо записати
e⊥M
(
Dψ
β
)
q
�
∥∥∥∥∥∥Dψ
β (x)−
∑
(s,1)<n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
=
=
∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
, 1 < q <∞. (4)
Для продовження мiркувань розглянемо спочатку випадок
1 < q ≤ 2. Використовуючи послiдовно теорему А та нерiвнiсть
|a+ b|α ≤ |a|α + |b|α, 0 < α ≤ 1,
з α = q
2 , одержимо ∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
�
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 307
�
(2π)−d
∫
πd
∣∣∣∣∣∣∣
∑
(s,1)≥n
∣∣∣δs (Dψ
β , x
)∣∣∣2
1
2
∣∣∣∣∣∣∣
q
dx
1
q
=
=
(2π)−d
∫
πd
∣∣∣∣∣∣
∑
(s,1)≥n
∣∣∣δs (Dψ
β , x
)∣∣∣2
∣∣∣∣∣∣
q
2
dx
1
q
�
�
(2π)−d
∫
πd
∑
(s,1)≥n
∣∣∣δs (Dψ
β , x
)∣∣∣qdx
1
q
=
=
(2π)−d
∑
(s,1)≥n
∫
πd
∣∣∣δs (Dψ
β , x
)∣∣∣qdx
1
q
=
=
∑
(s,1)≥n
∥∥∥δs (Dψ
β , x
)∥∥∥q
q
1
q
. (5)
Тепер оцiнимо величину
∥∥∥δs (Dψ
β , x
)∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
ψj (|kj |) ei
πβj
2
sgnkjei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
. (6)
Для цього розглянемо кратну послiдовнiсть {λk} , яка задає-
ться наступним чином
{λk} =
d∏
j=1
ψj (|kj |)
ψj (2sj )
ei
πβj
2
sgnkj
, 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d.
Зазначимо, що дана послiдовнiсть являє собою добуток однокра-
тних послiдовностей{
λ(j)
µ
}
=
{
ψj (|µ|)
ψj (2ν)
ei
πγ
2
sgnµ
}
, ν = 1, 2, ... , 2ν−1 ≤ |µ| < 2ν , γ ∈ R,
308 К. В. Швай
якi, як легко переконатися, задовольняють умови теореми Б.
Дiйсно, враховуючи, що ψj ∈ D, j = 1, d, матимемо∣∣∣λ(j)
µ
∣∣∣ =
∣∣∣∣ψj (|µ|)
ψj (2ν)
ei
πγ
2
sgnµ
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ψj (|µ|)
ψj (2ν)
∣∣∣∣ ≤ ψj
(
2ν−1
)
ψj (2ν)
≤Mj .
Далi, для будь-якого µ∣∣∣M λ(j)
µ
∣∣∣ =
∣∣∣λ(j)
µ+1 − λ
(j)
µ
∣∣∣ ≤ ∣∣∣λ(j)
µ+1
∣∣∣+
∣∣∣λ(j)
µ
∣∣∣ ≤ 2Mj .
Тому при ν = 1∑
µ∈δ(ν)
∣∣∣M λ(j)
µ
∣∣∣ ≤ ∣∣∣λ(j)
µ+1
∣∣∣+
∣∣∣λ(j)
µ
∣∣∣ ≤ 2Mj , (7)
оскiльки множина δ(ν) мiстить у собi лише один елемент µ.
Якщо ж ν > 1, то через δ̂(ν) позначимо множину всiх µ ∈ δ(ν),
крiм найбiльшого з них. Тодi, беручи до уваги спiввiдношення
(7), можемо записати∑
µ∈δ(ν)
∣∣∣M λ(j)
µ
∣∣∣ ≤ ∑
µ∈δ̂(ν)
∣∣∣M λ(j)
µ
∣∣∣+ 2Mj .
Варто також зазначити, що числа µ та µ + 1 iз δ̂(ν) мають
однаковий знак. Тодi для довiльного ν > 1
∑
µ∈δ(ν)
∣∣∣M λ(j)
µ
∣∣∣ ≤ ∑
µ∈δ̂(ν)
∣∣∣∣ψj (|µ+ 1|)
ψj (2ν)
ei
πγ
2
sgn(µ+1) − ψj (|µ|)
ψj (2ν)
ei
πγ
2
sgnµ
∣∣∣∣+
+2Mj ≤
1
ψj (2ν)
µ=2ν−1∑
µ=2ν−1
(ψj (µ)− ψj (µ+ 1)) + 2Mj =
=
1
ψj (2ν)
(
ψj
(
2ν−1
)
− ψj (2ν)
)
+2Mj =
ψj
(
2ν−1
)
ψj (2ν)
−1+2Mj < 3Mj .
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 309
Таким чином, однократна послiдовнiсть
{
λ
(j)
µ
}
для будь-
якого j = 1, d, задовольняє умови теореми Марцинкевича. От-
же, i для кратної послiдовностi, як добутку однократних, будуть
виконуватись умови теореми Марцинкевича у багатовимiрному
випадку (див., наприклад, [12, с. 57]).
Далi застосуємо мультиплiкатор Λs, який задається послiдов-
нiстю {λk} , до полiнома
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x).
Λs
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x) =
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
ψj (|kj |)
ψj (2sj )
ei
πβj
2
sgnkjei(k,x) =
=
d∏
j=1
ψj
−1 (2sj )
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
ψj (|kj |) ei
πβj
2
sgnkjei(k,x).
Тодi, з одного боку, ∥∥∥∥∥∥Λs
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
=
=
d∏
j=1
ψj
−1 (2sj )
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
ψj (|kj |) ei
πβj
2
sgnkjei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
,
а з iншого боку, за теоремою Б∥∥∥∥∥∥Λs
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
≤ C6(q)
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
, 1 < q <∞.
Звiдси∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
d∏
j=1
ψj (|kj |) ei
πβj
2
sgnkjei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
�
d∏
j=1
ψj (2sj )
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
q
=
310 К. В. Швай
=
d∏
j=1
ψj (2sj )
∥∥∥∥∥∥
2sj−1∑
kj=2sj−1
eikjxj
∥∥∥∥∥∥
q
, 1 < q <∞. (8)
Для продовження оцiнки (8), скористаємося спiввiдношенням
(див., наприклад, [15, c. 181])∥∥∥∥∥
m∑
k=−m
eikx
∥∥∥∥∥
q
� m
(
1− 1
q
)
, 1 < q <∞.
Тому, згiдно з (6) i (8), отримаємо∥∥∥δs (Dψ
β , x
)∥∥∥
q
�
d∏
j=1
ψj (2sj )2
(s,1)
(
1− 1
q
)
, 1 < q <∞. (9)
Таким чином, об’єднуючи спiввiдношення (5) та (9), матимемо
∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q
2
(s,1)
(
1− 1
q
)
q
1
q
≤
≤
∞∑
l=n
∑
(s,1)=l
max
(s,1)=l
d∏
j=1
ψj (2sj )
q
2
(s,1)
(
1− 1
q
+ε
)
q
2−(s,1)qε
1
q
=
=
∞∑
l=n
Ψq(l)2
l
(
1− 1
q
+ε
)
q
∑
(s,1)=l
2−(s,1)qε
1
q
. (10)
Будемо враховувати той факт, що ψj (|kj |) |kj |1−
1
q
+ε не зро-
стають, тобто не зростають i Ψ(l)2
l
(
1− 1
q
+ε
)
. Отже, застосовуючи
твердження А та лему А, одержимо∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
� Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
+ε
) ∑
(s,1)≥n
2−(s,1)qε
1
q
�
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 311
� Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
+ε
)
2−nεn
d−1
q = Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
)
n
d−1
q , 1 < q ≤ 2. (11)
Згiдно з (4) та (11),
e⊥M
(
Dψ
β
)
q
� Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
)
n
d−1
q , 1 < q ≤ 2. (12)
Розглянемо тепер випадок 2 < q <∞. Беручи до уваги лему Б
(при p = 2) та спiввiдношення (9), можемо записати∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
�
∑
(s,1)≥n
∥∥∥δs (Dψ
β , x
)∥∥∥q
2
· 2(s,1)
(
1
2
− 1
q
)
q
1
q
�
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )2(s,1)(1− 1
2)
q
2
(s,1)
(
1
2
− 1
q
)
q
1
q
=
=
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q
2
(s,1)
(
1− 1
q
)
q
1
q
.
Повторюючи мiркування, якi проводились для випадку
1 < q ≤ 2, починаючи з (10), дiстанемо шукану оцiнку зверху∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs
(
Dψ
β , x
)∥∥∥∥∥∥
q
� Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
)
n
d−1
q , 2 < q <∞. (13)
Таким чином, спiвставивши (4) та (13), одержимо
e⊥M
(
Dψ
β
)
q
� Ψ(n)2
n
(
1− 1
q
)
n
d−1
q , 2 < q <∞. (14)
Оскiльки M � 2nnd−1, то iз (12) та (14) отримаємо
e⊥M
(
Dψ
β
)
q
� Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
, 1 < q <∞.
312 К. В. Швай
Оцiнку зверху доведено.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. Нехай
∆Qn =
⋃
(s,1)=n
ρ(s). Тодi по заданому M пiдберемо n ∈ N так,
щоб виконувалося спiввiдношення |∆Qn| ≥ 4M i 2nnd−1 �M.
Позначимо через S∗θM (Dψ
β , ·) — полiном, на якому досягається
нижня грань
inf
θM
‖Dψ
β (·)− SθM (Dψ
β , ·)‖q,
тобто для якого
e⊥M (Dψ
β )q = ‖Dψ
β (·)− S∗θM (Dψ
β , ·)‖q, 1 < q <∞.
Розглянемо величину
J =
∫
πd
(
Dψ
β (x)− S∗θM (Dψ
β , x)
) (
F2(x, β)− S∗θM (F2, x)
)
dx =
=
∫
πd
Dψ
β (x)
(
F2(x, β)− S∗θM (F2, x)
)
dx,
де
F2(x, β) =
∑
k∈Nd
d∏
j=1
k−2
j eiπ
βj
2
sgnkjei(k,x).
Тодi, з одного боку, застосовуючи нерiвнiсть Гельдера(
1
q + 1
q′ = 1
)
, матимемо
J ≤ ‖Dψ
β (x)− S∗θM (Dψ
β , x)‖q‖F2(x, β)− S∗θM (F2, x)‖q′ =
= e⊥M (Dψ
β )q‖F2(x, β)− S∗θM (F2, x)‖q′ .
Оскiльки M � 2nnd−1, то
‖F2(x, β)− S∗θM (F2, x)‖q′ � ‖
∑
(s,1)≥n
δs (F2, x) ‖q′ =
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 313
= ‖F2(x, β)− Sn (F2, x) ‖q′ ,
де Sn (f, ·) =
∑
(s,1)<n
δs (f, ·) — "схiдчасто-гiперболiчна"сума Фур’є
функцiї f .
Враховуючи, що [1, c. 38]
‖F2(x, β)− Sn (F2, x) ‖q′ � 2
−n
(
2− 1
q
)
n
(d−1)
(
1− 1
q
)
, 1 < q′ <∞,
запишемо
J � e⊥M (Dψ
β )q · 2
−n
(
2− 1
q
)
n
(d−1)
(
1− 1
q
)
. (15)
З iншого боку, можна оцiнити величину J знизу. Покладемо
ρ+(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) :
[
2sj−1
]
≤ kj < 2sj , j = 1, d
}
. Оскiль-
ки, згiдно з умовою теореми, Φ(l)2
l
(
1− 1
q
+ε
)
не зростають, то при
M � 2nnd−1
J �
∑
k/∈Qn,
kj∈N
d∏
j=1
ψj(kj)k
−2
j =
∑
(s,1)≥n
∑
k∈ρ+(s)
d∏
j=1
ψj(kj)k
−2
j �
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj ) 2−2sj · 2(s,1) ≥
≥
∞∑
l=n
∑
(s,1)=l
min
(s,1)=l
d∏
j=1
ψj (2sj )
· 2−(s,1) =
∞∑
l=n
Φ(l)2
l
(
1− 1
q
+ε
)
×
×
∑
(s,1)=l
2
−(s,1)
(
2− 1
q
+ε
)
≥ Φ(n)2
n
(
1− 1
q
+ε
) ∞∑
l=n
2
−l
(
2− 1
q
+ε
)
ld−1 �
� Φ(n)2
n
(
1− 1
q
+ε
)
2
−n
(
2− 1
q
+ε
)
nd−1 = Φ(n)nd−12−n. (16)
314 К. В. Швай
Зiставивши (15) та (16), знаходимо шукану оцiнку
Φ(n)nd−12−n � J � e⊥M (Dψ
β )q · 2
−n
(
2− 1
q
)
n
(d−1)
(
1− 1
q
)
,
e⊥M (Dψ
β )q � Φ(n)nd−12−n·2n
(
2− 1
q
)
n
(d−1)
(
1
q
−1
)
= Φ(n)2
n
(
1− 1
q
)
n
d−1
q �
� Φ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
, 1 < q <∞.
Оцiнку знизу, а отже, i теорему, доведено.
Зауваження 1. У одновимiрному випадку величини e⊥M
(
Dψ1
β
)
q
,
1 < q <∞, дослiджувалися В. В. Шкапою [10] i при цьому було
встановлене наступне спiввiдношення
e⊥M
(
Dψ1
β
)
q
� ψ1(M)M
1− 1
q , 1 < q <∞.
Зауваження 2. При ψj (|kj |) = |kj |−rj , rj > 1 − 1
q , kj ∈ Z\{0},
j = 1, d, оцiнки величини e⊥M
(
Dψ
β
)
q
, 1 < q < ∞, знайденi
А. С. Романюком [6].
Перед тим, як перейти до другої частини роботи, введемо ще
деякi позначення.
Нехай Vm(x),m ∈ N, — ядра Валле-Пуссена вигляду
Vm(x) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kx+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k −m
m
)
cos kx.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd) , sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
.
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 315
Вiдомо, що (див., наприклад, [1, c. 66])
‖As(x)‖q � 2
(s,1)
(
1− 1
q
)
, 1 ≤ q ≤ ∞. (17)
Далi, для f ∈ L1(πd) введемо позначення
As (f, x) = (f ∗As) (x),
де "∗" — операцiя згортки.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 1 < q < ∞, ψj ∈ D, βj ∈ R, j = 1, d, i, крiм
того, iснує ε > 0 таке, що ψj (|kj |) |kj |1−
1
q
+ε не зростають. То-
дi для будь-яких натуральних M i n, що задовольняють умову
M � 2nnd−1, має мiсце спiввiдношення
Φ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
� e⊥M
(
Lψβ,1
)
q
�
� Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. З цiєю ме-
тою для f ∈ Lψβ,1 оцiнимо величину
∥∥∥∥f(x) −
∑
(s,1)<n
δs(f, x)
∥∥∥∥
q
, де
M � 2nnd−1. При цьому розглянемо два випадки: 1 < q ≤ 2 та
2 < q <∞.
Нехай 1 < q ≤ 2. Повторивши мiркування, якi використо-
вувалися при доведеннi теореми 1 до спiввiдношення (5), i далi
застосувавши лему В, одержимо∥∥∥∥f(x)−
∑
(s,1)<n
δs(f, x)
∥∥∥∥
q
=
∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)≥n
δs(f, x)
∥∥∥∥∥∥
q
�
�
∑
(s,1)≥n
‖δs (f, x)‖qq
1
q
�
316 К. В. Швай
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q ∥∥∥δs (fψβ , x)∥∥∥q
q
1
q
. (18)
Тепер, врахувавши, що∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
q
�
∥∥∥As (fψβ , ·)∥∥∥
q
, 1 < q <∞,
i використавши властивiсть згортки (див., наприклад, [16, c. 71])
а також спiввiдношення (17), iз (18) отримаємо∥∥∥∥f(x)−
∑
(s,1)<n
δs(f, x)
∥∥∥∥
q
�
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q ∥∥∥As (fψβ , x)∥∥∥q
q
1
q
�
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q ∥∥∥∥fψβ ∥∥∥∥q
1
∥∥∥∥As∥∥∥∥q
q
1
q
�
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q
2
(s,1)
(
1− 1
q
)
q
1
q
. (19)
Остання сума дослiджувалась вище при доведеннi теореми 1.
Тому, повторивши мiркування, починаючи iз (10), для 1 < q ≤ 2
матимемо∥∥∥∥f(x)−
∑
(s,1)<n
δs(f, x)
∥∥∥∥
q
� Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
. (20)
Перейдемо до випадку 2 < q <∞. Скориставшись послiдовно
лемами Б та В, запишемо
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 317
∥∥∥∥f(x)−
∑
(s,1)<n
δs(f, x)
∥∥∥∥
q
�
�
∑
(s,1)≥n
d∏
j=1
ψj (2sj )
q ∥∥∥∥As (fψβ , x)∥∥∥∥q
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
q
)
q
1
q
= I1.
Далi, здiйснивши перетворення, аналогiчнi до (19), i потiм, вiд-
повiдно, до (10), одержимо
I1 � Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
, 2 < q <∞. (21)
Звiдси, об’єднуючи (20) та (21), матимемо
e⊥M
(
Lψβ,1
)
q
� Ψ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
, 1 < q <∞.
Оцiнку зверху встановлено.
Перейдемо до оцiнки знизу. Нехай f ∈ Lψβ,1 i
SθM (f, x) =
M∑
j=1
f̂
(
kj
)
ei(k
j ,x),
де θM — довiльний набiр iз M векторiв kj ∈ Zd, j = 1,M.
Тодi, враховуючи (1), можемо записати
I2 = sup
f∈Lψβ,1
‖f(x)− SθM (f, x)‖q =
= sup
‖ϕ‖1≤1
∥∥∥∥∥∥ϕ(x) ∗Dψ
β (x)− ϕ(x) ∗
M∑
j=1
ei(k
j ,x) ∗Dψ
β (x)
∥∥∥∥∥∥
q
. (22)
Далi, покладемо
tM (x) =
M∑
j=1
ei(k
j ,x) ∗Dψ
β (x).
318 К. В. Швай
Iз (22) будемо мати
I2 = sup
‖ϕ‖1≤1
∥∥∥ϕ(x) ∗
(
Dψ
β (x)− tM (x)
)∥∥∥
q
=
∥∥∥Dψ
β (x)− tM (x)
∥∥∥
q
≥
≥ e⊥M
(
Dψ
β
)
q
.
Тепер, скориставшись результатом теореми 1, приходимо до
шуканої оцiнки знизу величини e⊥M
(
Lψβ,1
)
q
:
e⊥M
(
Lψβ,1
)
q
� Φ(n)M
1− 1
q (logM)
2(d−1)
(
1
q
− 1
2
)
, 1 < q <∞.
Таким чином, теорема 2 доведена.
Зауваження 3. У одновимiрному випадку оцiнки найкращих
ортогональних тригонометричних наближень класiв Lψ1
β,1 у ме-
трицi простору Lq, 1 < q < ∞, при додаткових умовах на фун-
кцiю ψ1(·), знайдено В. В. Шкапою [10].
Зауваження 4. У випадку ψj (|kj |) = |kj |−rj , rj > 1 − 1
q ,
kj ∈ Z\{0}, j = 1, d, порядок величин e⊥M
(
Lψβ,1
)
q
, 1 < q < ∞,
було отримано А. С. Романюком [6].
Лiтература
[1] Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешан-
ной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178,
№ 2. — C. 3–113.
[2] Белинский Э. С. Приближение "плавающей"системой экспонент
на классах гладких периодических функций с ограниченной сме-
шанной производной // Исследование по теории функций многих
вещественных переменных. — Ярославль: Яросл. ун–т, 1988. — С.
16–33.
Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних... 319
[3] Романюк А. С. О приближении классов Бесова функций многих
переменных частными суммами с заданным числом гармоник //
В кн. Оптимизация методов приближения. — К.: Ин-т математики
НАН Украины. — 1992. — С. 112–118.
[4] Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные
приближения функций многих переменных из классов Brp,θ. II //
Укр. мат. журн. — 1993. —- 45, № 10. — С. 1411–1423.
[5] Романюк А. С. Приближение классов функций многих перемен-
ных их ортогональными проекциями на подпространства триго-
нометрических полиномов // Укр. мат. журн. —1996. — 48, № 1. —
С. 80–89.
[6] Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближе-
ния классов Бесова Brp,θ периодических функций многих перемен-
ных // Изв. РАН. Сер. матем. — 2006. — 70, № 2. — С. 69–98.
[7] Федоренко А. С. Про найкращi m–членнi тригонометричнi та ор-
тогональнi тригонометричнi наближення функцiй класiв Lψβ,p //
Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — С. 1719–1721.
[8] Консевич Н. М. Найкращi ортогональнi тригонометричнi набли-
ження класiв функцiй багатьох змiнних Lψβ,p // Укр. мат. журн. —
2001. — 53, № 1. — С. 23–29.
[9] Стасюк С. А. Найкращi M– членнi ортогональнi тригонометри-
чнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiн-
них // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 5. — С. 647–656.
[10] Шкапа В. В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi набли-
женнь функцiй iз класiв Lψβ,1 // Теорiя наближення функцiй та
сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2014. — 11, № 3. — С.315–329.
[11] Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих ор-
тогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiо-
дичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн. — 2015. —
67, № 7. — С. 916–936.
[12] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения. — М.: Наука, 1977. — 456 с.
320 К. В. Швай
[13] Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. —М.: Мир, 1965. —
Т. I. — 615 с.; Т. II. — 537 с.
[14] Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и по-
перечников по Колмогорову классов функций многих переменных
Lψβ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. на-
уч. тр. — Киев: Ин-т математики АН УССР. — 1987. — С. 92–105.
[15] Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.:
Москов. гос. ун–т, 1976. — 304 с.
[16] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. —
М.: Наука, 1976. — 320 с.
[17] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. —
М.: Наука, 1974. — 480 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-225 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:19Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/1a/8b593e4161bbbe68511ab541da24361a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2252018-01-29T13:18:04Z Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ Оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень узагальнених багатовимірних аналогів ядер Бернуллі та класів $L^\psi_{\beta,1}$ у просторі $L_q$ Shvai, K. V. Швай, К. В. We obtain order estimates of the best orthogonal trigonometric approximation of the functions $D^\psi_{\beta}$ in the space $L_q$, with $1&lt;q&lt;\infty$. These functions are generalized multidimensional analogs of the Bernoulli kernels. The results obtained are applied to establish a lower estimate of the best orthogonal trigonometric approximation for the classes $L^\psi_{\beta,1}$. Отримано порядкові оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень функцій $D^\psi_{\beta},$ які є узагальненими багатовимірними аналогами ядер Бернуллі, у просторі $L_q$, $1&lt;q&lt;\infty$. При цьому одержані результати використані для встановлення оцінки знизу найкращого ортогонального тригонометричного наближення класів $L^\psi_{\beta,1}$. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/225 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 300-320 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 300-320 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 300-320 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/225/202 Авторське право (c) 2016 К. В. Швай |
| spellingShingle | Shvai, K. V. Швай, К. В. Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title | Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title_alt | Оцінки найкращих ортогональних тригонометричних наближень узагальнених багатовимірних аналогів ядер Бернуллі та класів $L^\psi_{\beta,1}$ у просторі $L_q$ |
| title_full | Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title_short | Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the Bernoulli kernels and classes $L^\psi_{\beta,1}$ in the space $L_q$ |
| title_sort | estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the generalized multidimensional analogues of the bernoulli kernels and classes $l^\psi_{\beta,1}$ in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/225 |
| work_keys_str_mv | AT shvaikv estimatesofthebestorthogonaltrigonometricapproximationsofthegeneralizedmultidimensionalanaloguesofthebernoullikernelsandclasseslpsibeta1inthespacelq AT švajkv estimatesofthebestorthogonaltrigonometricapproximationsofthegeneralizedmultidimensionalanaloguesofthebernoullikernelsandclasseslpsibeta1inthespacelq AT shvaikv ocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹuzagalʹnenihbagatovimírnihanalogívâderbernullítaklasívlpsibeta1uprostorílq AT švajkv ocínkinajkraŝihortogonalʹnihtrigonometričnihnabliženʹuzagalʹnenihbagatovimírnihanalogívâderbernullítaklasívlpsibeta1uprostorílq |