A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field
A novel method for constructing optimal flight trajectories of an electricpropulsion spacecraft between far elliptical orbits in a central gravitationalfield is developed. An optimisation of the flight from the low Earth orbit toan almost geostationary orbit is done. For this maneuver, the payload m...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/23 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552545259356160 |
|---|---|
| author | Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. |
| author_facet | Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Б. М. Кіфоренко",
"institution": "Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України"
},
{
"author": "Я. В. Ткаченко",
"institution": "Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України"
}
] |
| author_sort | Кіфоренко, Б. М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | A novel method for constructing optimal flight trajectories of an electricpropulsion spacecraft between far elliptical orbits in a central gravitationalfield is developed. An optimisation of the flight from the low Earth orbit toan almost geostationary orbit is done. For this maneuver, the payload massincrease affected by an energy storage in the engine system is estimated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 60–72
УДК 629.7.076.6
Метод побудови оптимальних
траєкторiй перельотiв у сильному
центральному гравiтацiйному полi
Б.М. Кiфоренко, Я.В. Ткаченко
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ;
bkifor@ukr.net, yaroslavvt@ukr.net
A novel method for constructing optimal flight trajectories of an electric
propulsion spacecraft between far elliptical orbits in a central gravitational
field is developed. An optimisation of the flight from the low Earth orbit to
an almost geostationary orbit is done. For this maneuver, the payload mass
increase affected by an energy storage in the engine system is estimated.
Разработан новый метод построения оптимальных траекторий пере-
летов космического аппарата с электрореактивной двигательной си-
стемой между отдаленными эллиптическими орбитами в центральном
гравитационном поле. Проведена оптимизация перелета с низкой мон-
тажной орбиты на близкую к геостационарной орбиту. Для этого ма-
невра проведена оценка увеличения массы полезной нагрузки аппара-
та с помощью включения накопителя энергии в состав двигательной
системы.
1. Вступ
Електричнi ракетнi двигуни (ЕРД) вiдносяться до класу рушiйних си-
стем малої тяги i мають ряд переваг перед традицiйними рiдинними
та твердопаливними ракетними двигунами: малу витрату робочої ре-
човини на одиницю тяги, кращу керованiсть та здатнiсть неперервно
функцiонувати протягом тривалого часу. Використання ЕРД як мар-
шових при мiжорбiтальних перельотах дає змогу суттєво збiльшити
масу корисного навантаження космiчного апарату (КА) при фiксо-
ванiй початковiй масi порiвняно з традицiйними ракетними двигуна-
ми [1,2]. Сконцентрований аналiз переваг використання ЕРД наведе-
ний в роботi [3]. Однак рiвень прискорення, яке цi двигуни можуть
c© Б.М. Кiфоренко, Я.В. Ткаченко, 2015
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 61
надати КА, на декiлька порядкiв нижчий вiд рiвня гравiтацiйного
прискорення на низьких навколоземних орбiтах. Тому перельоти мiж
геоцентричними орбiтами можуть тривати протягом багатьох обер-
тiв. Це значно ускладнює розв‘язування задач оптимiзацiї такого ти-
пу маневрiв.
Для знаходження оптимальних керувань та траєкторiй у цих зада-
чах найчастiше використовують два пiдходи. При першому, так зва-
ному прямому пiдходi, дискретизуючи деяку початкову траєкторiю,
вихiдну задачу оптимального керування зводять до задачi нелiнiй-
ного або лiнiйного програмування з занадто великою кiлькiстю (до
сотень тисяч) невiдомих [4]. Другий пiдхiд базується на використан-
нi принципу максимума Понтрягiна, що дозволяє звести початкову
задачу до нелiнiйної двоточкової крайової задачi звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь, отримати чисельний розв‘язок якої не завжди
можливо. В роботах [5–7] наведено способи пiдвищення стiйкостi чи-
сельного розв‘язку вказаної крайової задачi. Однак, як перший, так
i другий пiдходи для успiшного отримання результату вимагають за-
дання доволi точних початкових наближень.
В данiй роботi представлено новий пiдхiд, який базується на iде-
ях вказаних вище обидвох пiдходiв. Шукана оптимальна траєкторiя
розбивається наN обертiв. Для довiльного оберту малiсть реактивно-
го прискорення дозволяє лiнеаризувати рiвняння руху в околi орбiти
з оскулюючими параметрами, що дорiвнюють значенням на початку
оберту. До лiнiйної задачi застосовується принцип максимуму, що до-
зволяє аналiтично знайти вираз приросту значення критерiя якостi у
виглядi функцiї вiд приростiв оскулюючих параметрiв орбiти. При-
ймаючи до уваги принцип оптимальностi Белмана, оптимальне зна-
чення критерiю якостi висхiдної задачi є сумою значень приростiв
критерiю для всiх обертiв i вiдповiдно є функцiєю 5N змiнних (що
на порядки менше, нiж при використаннi першого пiдходу). Отже,
отримали задачу знаходження умовного екстремуму функцiї бага-
тьох змiнних зi зрозумiлими обмеженнями. А саме: сума приростiв
орбiтальних параметрiв на кожному обертi повинна дорiвнювати вi-
домому сумарному приросту для заданого маневру. Також слiд обме-
жити значення невiдомих приростiв на кожному обертi, для спра-
ведливостi лiнеаризацiї. На сьогоднiшнiй день розробленi ефективнi
методи умовної оптимiзацiї як унiмодальних, так i неунiмодальних
функцiй [8], а наведений нижче спосiб вибору початкових наближень
забезпечує стiйкiсть чисельних методiв оптимiзацiї.
62 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
2. Постановка задачi
У данiй роботi вивчається керування рухом центру мас КА, рух апа-
рата навколо центру мас не розглядається. Тому рух космiчного апа-
рату моделюємо рухом матерiальної точки змiнної маси. Вважаємо,
що початкова маса КА складається з маси корисного навантажен-
ня (до якої також вiднесено масу бакiв робочої речовини та iнших
конструктивних елементiв КА), маси електрореактивної рушiйної си-
стеми та маси робочої речовини, необхiдної для виконання задано-
го перельоту. Класична схема космiчної рушiйної установки з ЕРД
включає два основних елементи: джерело потужностi, що виробляє
електроенергiю для забезпечення роботи рушiя, i власне рушiй, що
генерує реактивну тягу шляхом прискорення робочої речовини за ра-
хунок пiдведеної енергiї. Позначимо масу рушiя через Mγ , масу дже-
рела потужностi — Mν . Маси елементiв рушiйної системи залежать
вiд їх енергетичних характеристик [9, 10]:
Mν = αN0, Mγ = γ N0, (1)
тут N0 — максимальне значення потужностi бортового джерела енер-
гiї, α та γ питомi маси джерела потужностi та рушiя. Позначимо M0
початкову масу КА, Mπ – масу корисного навантаження, Mf масу
робочої речовини, необхiдну для виконання заданого маневру. Тодi
M0 =Mπ +Mγ +Mν +Mf . (2)
Рушiйну систему КА вважаємо iдеально керованою, для неї витрату
робочої речовини q можна представити у виглядi [11]
q =
M2W 2
2NΓ
, (3)
де M — поточна маса КА, W — модуль прискорення КА вiд дiї тя-
ги, NΓ — поточне значення потужностi рушiя. Джерело потужностi
вважаємо автономним, тобто його робота не залежить вiд зовнiшнiх
факторiв.
Як видно з формули (4), витрата робочої речовини обернено про-
порцiйна поточнiй потужностi джерела, отже, для зменшення необ-
хiдного запасу робочої речовини, що в свою чергу збiльшить долю
маси корисного навантаження в початковiй масi апарату (див. (3)),
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 63
поточну потужнiсть рушiя потрiбно пiдтримувати на її максималь-
нiй величинi N0 . Тодi рiвняння змiни маси КА з iдеально керованою
рушiйною системою приймає вигляд
Ṁ = −M
2W 2
2N0
.
Всi подальшi спiввiдношення записано в безрозмiрнiй формi: лiнiйний
розмiр вiднесено до характерної величини r∗, час t вiднесено до T ∗
— перiоду обертання КЛА по круговiй орбiтi радiусом r∗ роздiленого
на 2π, прискорення — до прискорення вiльного падiння на вiдстанi
r∗ вiд гравiтацiйного центра W ∗, потужнiсть рушiя та джерела — до
N0, а введенi нижче функцiонали J та Je — до величини r∗2T ∗−3.
Згiдно з роботою [11], розв’язок задачi про знаходження траєкто-
рiї та керування рухом, що забезпечуєть максимум маси корисного
навантаження, при фiксованiй початковiй масi КА та заданих значе-
ннях α та γ зводиться до мiнiмiзацiї функцiонала
J = (1 + ε)
T∫
0
(W 2
1 +W 2
2 +W 2
3 )dt, (4)
де ε = γ/α, Wi, i = 1, 3 — складовi вектора реактивного прискорення,
T — час виконання маневру.
Рух КА моделюємо рухом матерiальної точки в центральному гра-
вiтацiйному полi пiд дiєю реактивного прискорення. Використаємо
рiвняння руху в оскулюючих змiнних з наступним набором орбiталь-
них параметрiв: e— ексцентриситет, ϑ = log
√
a(1− e2) (тут a — вели-
ка пiввiсь), ω — кутова вiдстань перицентра, I — кут нахилу площини
орбiти, Ω — довгота висхiдного вузла, E — ексцентрична аномалiя.
Тодi безрозмiрнi рiвняння руху згiдно з [12] матимуть вигляд:
dxj
dt
= expϑ
3∑
k=1
FjkWk,
dE
dt
= F60 + expϑ
3∑
k=1
F6kWk, j = 1, 5, k = 1, 3,
(5)
64 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
де −→x = [ϑ, e, ω, I,Ω]T , а Fij розраховуються за формулами
F11 = 0; F12 =
1− e cosE
1− e2
; F13 = 0;
F21 =
√
1− e2 sinE
1− e cosE
; F22 = cosE +
cosE − e
1− e cosE
; F23 = 0;
F31 = − cosE − e
e(1− e cosE)
; F32 =
2− e2 − e cosE
e
√
1− e2(1 − e cosE)
sinE;
F33 = − cot I
(
sinω
1− e2
(cosE − e) +
cosω√
1− e2
sinE
)
;
F41 = F42 = 0; F43 =
cosω
1− e2
(cosE − e)− sinω√
1− e2
sinE;
F51 = F52 = 0; F53 = F33/ cos I;
F60 =
(
1− e2
)3/2
exp(3ϑ)(1− e cosE)
;F61 =
(
cosE − e
e(1− e cosE)
− 1
)
1√
1− e2
;
F62 =
2− e cosE
e(1− e cosE)
; F63 = 0.
(6)
Тепер, приймаючи до уваги (5)—(7), запишемо математичну поста-
новку задачi про оптимальний (критерiй оптимальностi — максимум
маси корисного навантаження) перелiт КА з заданої початкової ор-
бiти в задану кiнцеву за час T
J = (1 + ε)
T∫
0
(
W 2
1 +W 2
2 +W 2
3
)
dt→ min,
dxj
dt
= expϑ
3∑
k=1
FjkWk, xj(0) = xij , xj(T ) = xfj ,
dE
dt
= F60 + expϑ
3∑
k=1
F6kWk, E(0) = Ei.
(7)
Положення на кiнцевiй орбiтi не фiксується, а при необхiдностi при-
буття в задану точку кiнцевої орбiти додається умова E(T ) = Ef .
Застосування до задачi (8) принципу максимуму Понтрягiна дозво-
ляє звести її до двоточкової нелiнiйної крайової задачi. Через те, що
принцип максимуму являє собою лише необхiднi умови оптимально-
стi, отримана крайова задача може мати декiлька гiлок розв‘язку,
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 65
серед яких тiльки один iстинний. Цей факт значно ускладнює чи-
сельний розв‘язок. В роботах [5,6,12] приведено методи, якi дозволя-
ють дещо покращити ситуацiю, але й вони мають суттєвi недолiки.
Так, метод запропонований в [6] та [7] при великий кiлькостi обер-
тiв втрачає стiйкiсть, i автор цих робiт зазначає, що йому вдалося
отримати розв‘язок лише для 50 обертiв [7]. Для стiйкостi чисельно-
го розв‘язку методiв з робiт [5, 12] необхiднє задання доволi точних
початкових наближень [13].
В данiй роботi запропоновано стiйкий чисельно-аналiтичний ме-
тод зi зрозумiлим вибором початкових наближень.
Автор робiт [6], [7] для вiдсiкання паразитних розв‘язкiв фiксує
кутову дальнiсть перельоту. Використаємо цю iдею i вважатимемо,
що перелiт вiдбувається протягом N обертiв навколо гравiтацiйного
центру.
Розглянемо рух КА на n-му обертi. Позначимо значе-
ння фазового вектора на початку цього оберту −→x n−1 =
[ϑn−1, en−1, ωn−1, In−1,Ωn−1]
T , n = 1, N . Нехай протягом оберту
фазовий вектор отримає прирiст
−→
∆n = [∆ϑ
n,∆
e
n,∆
ω
n ,∆
I
n,∆
Ω
n ]
T .
Введемо новий вектор −̃→x n = −→x −−→x n−1.
Приймаючи до уваги малiсть реактивного прискорення i вiдповiд-
но малiсть змiни кожного оскулюючого параметру орбiти протягом
оберту ( −̃→x n та ∆n – малi величини), лiнеаризуємо рiвняння руху в
околi орбiти зi значеннями оскулюючих змiнних на початку кожного
оберту ϑn−1, en−1, ωn−1, In−1,Ωn−1 та перейдемо вiд незалежної змiн-
ної t до незалежної змiнної E. Згiдно з принципом оптимальностi
Белмана, будь-яка частина оптимальної траєкторiї має бути також
оптимальною. Тому для кожного оберту матимемо наступну лiнiйну
задачу оптимального керування
J = (1 + ε)
En∫
En−1
F̂E(E,
−→x n−1)
(
W 2
n1 +W 2
n2 +W 2
n3
)
dE → min,
dx̃nj
dE
= FE(E,
−→x n−1)
3∑
k=1
Fjk(E,
−→x n−1)Wnk,
−̃→x n(En−1) = 0, −̃→x n(En) =
−→
∆n.
(8)
Задача (9) є лiнiйною задачею оптимального керування з квадрати-
чним критерiєм якостi, розв‘язок якої отримано за допомогою прин-
66 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
ципу максимума Понтрягiна [9]
Wn1 = exp(ϑn−1)(λn2F21 + λn3F31)/(2(1 + ε)),
Wn2 = exp(ϑn−1)(λn1F12 + λn2F22 + λn3F32)/(2(1 + ε))
Wn3 = exp(ϑn−1)(λn3F33 + λn4F43 + λn5F53)/(2(1 + ε)),
Jn = (
−→
λ n
−→
∆n)/2,
(9)
де вектор невiдомих констант
−→
λ n = [λn1, λn2, λn3, λn4, λn5] визначає-
ться з системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
−→
λ n =
En∫
En−1
A(E,−→x n−1)dE
−1
−→
∆n, (10)
а матриця A(E,−→x n−1) визначається зi спiввiдношень
A(E,−→x n−1) = exp(ϑn−1)FE(E,
−→x n−1)ÂÂ
T
/(1 + ε),
 =
0 F12(E,
−→x n−1) 0 0 0
F21(E,
−→x n−1) F22(E,
−→x n−1) 0 0 0
F31(E,
−→x n−1) F32(E,
−→x n−1) F34(E,
−→x n−1)) 0 0
0 0 F43(E,
−→x n−1) 0 0
0 0 F53(E,
−→x n−1) 0 0
.
(11)
Отже, формули (10)—(12) дозволяють отримати функцiонал Jn як
функцiю п‘яти невiдомих ∆ϑ
n,∆
e
n,∆
ω
n ,∆
I
n,∆
Ω
n . Зрозумiло, що фун-
кцiонал висхiдної задачi (8)
J =
N∑
n=1
Jn(∆
ϑ
n,∆
e
n,∆
ω
n ,∆
I
n,∆
Ω
n ), (12)
є функцiєю 5N змiнних, яку дослiджуємо на мiнiмум чисельними
методами, з врахуванням обмежень
N∑
n=1
−→
∆n = −→x f −−→x i,
∣∣∣−→∆m
n
∣∣∣ ≤ ∆max, n = 1, N,m = ϑ, e, ω, I,Ω. (13)
Перша умова в (14) забезпечує виконання кiнцевих умов в (8), або, що
те саме, забезпечує вихiд на задану кiнцеву орбiту, а друга умова за-
безпечує справедливiсть лiнеаризацiї. Вектор початкових наближень
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 67
для чисельного розв‘язку (13) – (14) цiлком логiчно вибирати насту-
пним чином −→
∆0
n =
(−→x f −−→x i
)
/N, n = 1, N. (14)
3. Перелiт з низької монтажної орбiти на близьку
до геостацiонарної орбiту
Застосуємо розроблену вище методику для побудови траєкторiї пе-
рельоту з низької монтажної орбiти на геостацiонарну орбiту. Для
початкової орбiти покладемо ai = 6578.16 км, ei = 0.001, Ii = 57o,
ωi = Ωi = 0. Кiнцева орбiта має параметри af = 42164.16 км,
ef = 0.001, If = 2o, ωf = Ωf = 0.
За характерний лiнiйний розмiр приймемо екваторiальний радiус
Землi r∗ = 6378.16 км, тодi характерний час T ∗ =
√
r∗3/K = 806.7252
сек (K — гравiтацiйна стала Землi). Питома маса джерела потужно-
стi прийнята α = 20 кг/КВт, що вiдповiдає iснуючим ядерним ре-
акторам, а питома маса рушiя — α = 1.5 кг/КВт, що вiдповiдає еле-
ктрореактивному двигуну VASIMR. На рис.1—3 приведено графiки
оптимальних залежностей a(E), e(E) та I(E) для перельоту за 200
обертiв навколо гравiтацiйного центру. При оптимiзацiї цього пере-
льоту можемо покласти ∆ω
n = ∆Ω
n = 0, n = 1, 200. Отже, мiнiмiзацiю
функцiонала (13) проведено в просторi 600 невiдомих. Для запобi-
гання проблем, пов’язаних з можливою неунiмодальнiстю цiльової
функцiї, використано метод Ψ перетворення [8]. Початковi значення
невiдомих вибранi згiдно з (15). Прирости оскулюючих параметрiв
на кожному обертi обмеженi величиною ∆max = 0.01.
68 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
0 200 400 600 800 1000 1200
0
2
4
6
8
10
E
a
0 200 400 600 800 1000 1200
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
e
E
Рис. 1. Залежнiсть a(E). Рис. 2. Залежнiсть e(E).
0 200 400 600 800 1000 1200
0
10
20
30
40
50
I,o
E
Рис. 3. Залежнiсть I(E).
4. Застосування акумулятора енергiї в рушiйнiй
системi КА
У випадку включення акумулятора енергiї до складу рушiйної систе-
ми КА до початкової маси (3) додається маса акумулятора енергiї
M0 =Mπ +Mγ +Mν +Mf +Me. (15)
При цьому рушiй матиме максимальну потужнiсть бiльшу за макси-
мальну потужнiсть джерела, оскiльки його живлення вiдбувається
як вiд джерела, так i за рахунок акумулятора, масу якого вважає-
мо пропорцiйною енергоємностi ea0. Тодi для мас елементiв рушiйної
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 69
системи матимемо
Mν = αN0, Mγ = γ NγN0, Mγ = β ea0. (16)
До наведеного вище перелiку характерних величин додамо енергоєм-
нiсть акумулятора ea0 .
Згiдно з роботами [9, 11] у випадку застосування акумулятора
енергiї у складi рушiйної системи сталої потужностi безрозмiрне рiв-
няння змiни запасу енергiї в акумуляторi має вигляд
dea
dt
= − η
ξB
(Nγδ − 1), ea ∈ [0; 1], (17)
а знаходження траєкторiї, керування рухом та значень параметрiв
Nγ та ξB зводиться до мiнiмiзацiї функцiоналу
Je = (ε+ (1 + ξB)/Nγ)
T∫
0
(W 2
1e +W 2
2e +W 2
3e)δdt. (18)
В (17), (18) введено позначення η = βT ∗/α , δ — керуюча функцiя,
яка приймає значення 0 (пасивна дуга траєкторiї) або 1 (активна
дуга траєкторiї). На пасивних дугах траєкторiї рушiй вимкнено, а
енергiя джерела спрямована на зарядку акумулятора. На активних
частинах акумулятор розряджається i накопичена енергiя разом з
енергiєю джерела спрямована в рушiй для створення реактивного
прискорення. Вважаємо прирости оскулюючих параметрiв орбiти на
кожному обертi вiдомими. Тодi можемо записати аналог задачi (9)—
(13)
Jen = b
En∫
En−1
F̂E(E,
−→x n−1)
(
W 2
en1 +W 2
en2 +W 2
en3
)
δdE → min,
dx̃nj
dE
= FE(E,
−→x n−1)
3∑
k=1
Fjk(E,
−→x n−1)Wenkδ,
dea
dE
= −FE(E,−→x n−1)
η
ξB
(Nγδ − 1),
−̃→x n(En−1) = 0, −̃→x n(En) =
−→
∆n, ea(En−1) = ea(En) = 0.5,
0 ≤ ea ≤ 1, Je =
N∑
n=1
Jen,
(19)
70 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
де b = ε+ (1+ ξB)/Nγ . В роботах [14,15] для маневрiв суттєвої змiни
параметрiв a, e, I при ω = Ω = 0 вказано розподiл активних та пасив-
них дуг траєкторiї, вирази для реактивних прискорень Weni, i = 1, 3.
Отже, задаючи ε, η та ∆ϑ
n,∆
e
n,∆
I
n, отримаємо функцiонали Jen як
функцiї змiнних Nγ та ξB. Вiдповiдно i сумарний функцiонал Je стає
функцiєю та Nγ та ξB , яку необхiдно дослiдити на мiнiмум. Збiль-
шення маси корисного навантаження вiд використання акумулятора
енергiї у рушiйнiй системi має мiсце, коли Je/J < 1 [11]. Чим менше
це вiдношення, тим бiльша ефективнiсть використання акумулято-
ра енергiї. Серед наявних на сьогоднiшнiй день акумуляторiв енергiї
найвищу питому енергоємнiсть мають маховиковi акумулятори, де
вона досягає величини β−1 = 15 МДж/кг. Однак, i це не межа. Очi-
кується створення маховикових акумуляторiв зi здатнiстю накопичу-
вати 3 ГДж/кг. В таблицi 1 представленi результати розрахункiв для
розглянутого вище маневру для ряду значень параметру β−1, якi вiд-
повiдають кращим зразкам iснуючих та перспективних акумуляторiв
енергiї.
Таблиця 1. Оптимальнi масово-енергетичнi характеристики КА.
β−1,
Дж
кг η Nγ ξB Je/J Mπe/Mπ
3 · 109 1.3449 · 10−5 1.5238 5.7602 · 10−4 0.9643 1.0225
2 · 109 2.0173 · 10−5 1.5186 8.1676 · 10−4 0.9645 1.0223
5 · 108 8.0691 · 10−5 1.4988 0.0028 0.9665 1.0211
1 · 108 4.0346 · 10−4 1.4245 0.0097 0.9744 1.0160
5 · 107 8.0692 · 10−4 1.3449 0.0151 0.9819 1.0113
1.5 · 107 0.0026 1.0390 0.0077 0.9990 1.0005
Mπe/Mπ — вiдношення мас корисного навантаження для КА з
рушiйною системою з акумулятором енергiї та КА з класичною еле-
ктрореактивною рушiйною системою. МасиMπe таMπ обчислюються
за формулами [9]
Mπ =M0
(√
Φ− 1
)2
, Φ =
αr∗2
2T ∗3J,
Mπe =M0
(√
Φe − 1
)2
, Φe =
αr∗2
2T ∗3Je.
Як видно з таблицi, найкращi сучаснi зразки акумуляторiв для ма-
Метод побудови оптимальних траєкторiй . . . 71
невру переходу з низької монтажної орбiти на геостацiонарну орбiту
не дають змогу збiльшити масу корисного навантаження. Навiть для
перспективних акумуляторiв, при η близьких до нуля, максималь-
но можливе збiльшення маси корисного навантаження ≈ 2%. Отже,
при виконаннi оптимальних перельотiв з низької монтажної орбiти
на орбiти, близькi до геостацiонарних, космiчним апаратом з рушiй-
ною системою сталої потужностi, включення акумулятора енергiї до
складу рушiйної системи з метою збiльшення маси корисного наван-
таження можна вважати недоцiльним. Згiдно з результатами робо-
ти [16] пiдвищення ефективностi використання акумулятора енергiї
досягається при використаннi рушiїв обмеженої потужностi.
5. Висновки
В роботi представлено новий чисельно-аналiтичний метод
розв‘язання задач оптимiзацiї руху динамiчних систем з малим
параметром при функцiї керування. Результати тестування методу
на задачi визначення оптимального керування i оптимальних па-
раметрiв двигунiв КА, призначених для виконання переходiв мiж
вiддаленими орбiтами в ньютонiвському центральному гравiтацiйно-
му полi пiдтвердили його ефективнiсть.
[1] Porte F., Saint A. P, Buthion C. Benefits of electric propulsion for orbit
injection of communication spacecraft // AIAA Pap. — 1992. — № 3202.
— P. 1–9.
[2] Choueiri E.Y., Kelly A. J., Jahn R.G. Mass saving domain of plasma
propulsion for LEO to GEO transfer // J. Spacecraft and Rocets. — 1993.
— 30, 6. — P. 749–754.
[3] Martinez-Sanchez M., Pollard J. E. Spacecraft Electric Propulsion — An
Overview // J. of propulsion and power. — 1998. — 14, 5. — Р. 688–699.
[4] Улыбышев Ю.П. Оптимизация многорежимных траекторий сближе-
ния с ограничениями // Космические исследования. — 2008. — 46, 2.
— С. 136–147.
[5] Кифоренко Б.Н., Ваильев И.Ю. Численные решения точных урав-
нений движения космического аппарата в ньютоновском централь-
ном гравитационном поле по многовитковым траекториям, близким
к оптимальным // Космические исследования. — 2011. — 49, 5. — С.
436–452.
72 Б. М. Кiфоренко, Я. В. Ткаченко
[6] Петухов В. Г. Оптимизация межпланетных траекторий космических
аппаратов с идеально-регулируемым двигателем методом продолже-
ния // Космические исследования. — 2008. — 46, 3. — С. 224–237.
[7] Петухов В. Г. Метод продолжения для оптимизации межпланетных
траекторий с малой тягой // Космические исследования. — 2012. —
50, 3. — С. 258–270.
[8] Чичинадзе В.К. Решение нелинейных невыпуклых задач оптимиза-
ции: метод Ψ–преобразования. — М.: Наука, 1982. — 256 с.
[9] Tkachenko Ya.V. Using energy storage in low thrust constant power
thruster for optimal interorbital transfers // Stability and control. Theory
and application. International Journal. — 2003. — 5, 1. — P. 22–40.
[10] Ткаченко Я.В. Оптимизация работы электрических ракетных двига-
телей с постоянной и регулируемой тягами // Приклад. механика. —
2010. — 46, 3. — С. 114–123.
[11] Гpодзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета с малой тягой. – М.: Наука, 1966. — 679 с.
[12] Кифоренко Б.Н., Пасечник З.В., Васильев И.Ю. Усреднение урав-
нений движения в задаче оптимизации по быстродействию межорби-
тального перехода с постоянной по величине тягой в сильном цен-
тральном гравитационном поле // Проблемы управления и информа-
тики. — 2001. — № 6. — С. 62–76.
[13] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управле-
ния. — М.: Наука, 1978. — 488 с.
[14] Кiфоренко Б.М., Ткаченко Я.В Оптимiзацiя мiжорбiтальних перельо-
тiв космiчного апарату з електрореактивною двигунною системою з
акумулятором енергiї // Комплексний аналiз i течiї з вiльними грани-
цями: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7, 2. — С.
369–376.
[15] Кифоренко Б.Н., Ткаченко Я.В. Оптимизация перелетов космическо-
го аппарата между отдалеными орбитами // Приклад. механика. —
2010. — 46, 11. — С. 93–100.
[16] Ткаченко Я.В. Оптимальные переходы космических аппаратов с на-
копителем энергии и двигателем ограниченной мощности // Приклад.
механика. — 2003. — 39, 1. — С. 134–140.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-23 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:08Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/c265e6ca49f1378d1314c26646719e45.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-232018-01-23T12:01:13Z A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field Метод побудови оптимальних траєкторiй перельотiв у сильному центральному гравiтацiйному полi Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. A novel method for constructing optimal flight trajectories of an electricpropulsion spacecraft between far elliptical orbits in a central gravitationalfield is developed. An optimisation of the flight from the low Earth orbit toan almost geostationary orbit is done. For this maneuver, the payload massincrease affected by an energy storage in the engine system is estimated. Разработан новый метод построения оптимальных траекторий пере-летов космического аппарата с электрореактивной двигательной си-стемой между отдаленными эллиптическими орбитами в центральномгравитационном поле. Проведена оптимизация перелета с низкой мон-тажной орбиты на близкую к геостационарной орбиту. Для этого ма-невра проведена оценка увеличения массы полезной нагрузки аппара-та с помощью включения накопителя энергии в состав двигательнойсистемы. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/23 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 60-72 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 60-72 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 60-72 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/23/29 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Кіфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title | A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title_alt | Метод побудови оптимальних траєкторiй перельотiв у сильному центральному гравiтацiйному полi |
| title_full | A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title_fullStr | A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title_full_unstemmed | A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title_short | A method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| title_sort | method for the constructing of optimal trajectories in a strictly central gravity field |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/23 |
| work_keys_str_mv | AT kíforenkobm amethodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT tkačenkoâv amethodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT kíforenkobm amethodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT tkačenkoâv amethodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT kíforenkobm metodpobudovioptimalʹnihtraêktorijperelʹotivusilʹnomucentralʹnomugravitacijnomupoli AT tkačenkoâv metodpobudovioptimalʹnihtraêktorijperelʹotivusilʹnomucentralʹnomugravitacijnomupoli AT kíforenkobm metodpobudovioptimalʹnihtraêktorijperelʹotivusilʹnomucentralʹnomugravitacijnomupoli AT tkačenkoâv metodpobudovioptimalʹnihtraêktorijperelʹotivusilʹnomucentralʹnomugravitacijnomupoli AT kíforenkobm methodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT tkačenkoâv methodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT kíforenkobm methodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield AT tkačenkoâv methodfortheconstructingofoptimaltrajectoriesinastrictlycentralgravityfield |