On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid
Planar oscillations of a physical pendulum with a cavity partially filledby a heavy multilayer ideal incompressible fluid is considered in a linearstatement. When assuming the hydrostatic stratification, the structure ofthe spectrum is studied, the necessary and sufficient conditions for stabilityar...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/24 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552547305127936 |
|---|---|
| author | Кононов, Ю. М. Кононов, Ю. М. |
| author_facet | Кононов, Ю. М. Кононов, Ю. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Донецкий национальный университет, Винница"
}
] |
| author_sort | Кононов, Ю. М. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | Planar oscillations of a physical pendulum with a cavity partially filledby a heavy multilayer ideal incompressible fluid is considered in a linearstatement. When assuming the hydrostatic stratification, the structure ofthe spectrum is studied, the necessary and sufficient conditions for stabilityare discussed, the stratification effect on the stability of the rigid bodyequilibrium is evaluated. It is shown that the stratification reduces thestability margin. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 73–89
УДК 531.36;531.38
О колебании физического маятника
с многослойной идеальной
жидкостью
Ю.Н. Кононов
Донецкий национальный университет, Винница;
kononov.yuriy.nikitovich@gmail.com
Planar oscillations of a physical pendulum with a cavity partially filled
by a heavy multilayer ideal incompressible fluid is considered in a linear
statement. When assuming the hydrostatic stratification, the structure of
the spectrum is studied, the necessary and sufficient conditions for stability
are discussed, the stratification effect on the stability of the rigid body
equilibrium is evaluated. It is shown that the stratification reduces the
stability margin.
У лiнiйнiй постановцi розглянуто плоскi коливання фiзичного маят-
ника з порожниною, яка частково заповнена m-шаровою iдеальною
нестисливою рiдиною. У припущеннi природної стратифiкацiї, тобто
коли бiльш важка рiдина знаходиться нижче менш важкої, дослiдже-
но структуру спектра, отримано необхiднi i достатнi умови стiйкостi та
оцiнено вплив стратифiкацiї рiдини на стiйкiсть положення рiвноваги
твердого тiла. Показано, що стратифiкацiя призводить до зменшення
запасу стiйкостi.
1. Введение
Физический маятник с полостью, частично заполненной однород-
ной жидкостью, является хорошей физической и математической
моделью для описания и исследования колебаний многих механиче-
ских систем. Так, например, в теории корабля, перевозящего жидкие
грузы, при строительстве высотных сооружений как стабилизацион-
ный элемент для амортизации резонансных колебаний (Tuned Liquid
c© Ю.Н. Кононов, 2015
74 Ю. Н. Кононов
Dampes или Active Liquid Dampes) и мн. др. Однако, в результате фи-
зических, химических, биологических и других воздействий однород-
ная жидкость может стратифицироваться, т.е. разделяться на слои
различной плотности, что приводит к увеличению степеней свободы
системы, образованию внутренних волн, смещению центра тяжести
и изменению моментов инерции механической системы. Таким обра-
зом, колебание физического маятника до стратификации может быть
устойчивым, а после — стать неустойчивым. В этой связи возникает
задача о влиянии стратификации на динамику и устойчивость дви-
жения твердого тела. В качестве простейшего закона стратификации
обычно выбирается кусочно-постоянная плотность и рассматривает-
ся многослойная несмешивающаяся жидкость.
По-видимому, впервые задачу о колебании физического маятника
с полостью, содержащей однородную идеальную тяжелую жидкость
со свободной поверхностью, рассмотрел Н. Н. Моисеев в работах [1–3].
Наиболее полное решение этой задачи приведено в известной моно-
графии Н. Н. Моисеева и В. В. Румянцева [4]. Затем появилось до-
статочно большое число работ по этой тематике. Приведем только
некоторые. Так, например, в работе [5], исходя из определения устой-
чивости по отношению к части переменных, для ряда форм полостей
получены достаточные условия устойчивости равновесия физическо-
го маятника с идеальной жидкостью. В статье [6] учтена перемен-
ность массы идеальной однородной жидкости. В работе [7] из прин-
ципа Гамильтона–Остроградского получены и исследованы уравне-
ния малых колебаний физического маятника с двухслойной идеаль-
ной жидкостью, а в статье [8] вводится мембрана, разделяющая эти
жидкости. Устойчивость равновесия физического маятника с мно-
гослойной идеальной жидкостью, разделенной упругими пластинка-
ми, исследована в [9]. В кандидатской диссертации [10] разработан
эффективный вариационный метод решения спектральных краевых
задач, описывающих малые колебания физического маятника с иде-
альной жидкостью. На примере сферической полости с двухслойной
идеальной жидкостью показана его эффективность. Исследованию
малых колебаний физического маятника с полостью, заполненной
вязкой жидкостью, посвящено также достаточно много работ. В ка-
честве основных можно отметить работы [4, 11–15]. В кандидатских
диссертациях [14, 15] с позиции функционального анализа рассмот-
рены малые плоские колебания физического маятника с полостью,
заполненной системой из идеальных или вязких, тяжелых или ка-
О колебании физического маятника . . . 75
пиллярных жидкостей.
В данной статье обобщаются результаты работ [4, 7] на случай m
тяжелых идеальных несмешивающихся жидкостей.
2. Постановка задачи и вывод уравнений малых
колебаний физического маятника с многослой-
ной жидкостью
Рассмотрим механическую систему, состоящую из тяжелого твердого
тела с полостью, содержащей m тяжелых идеальных несмешиваю-
щихся жидкостей с плотностями ρi, частично заполняющих область
τ (τ =
⋃m
i=1 τi) до глубин hi и совершающих безвихревое движение.
Твердое тело совершает малые колебания вокруг неподвижной оси
и жестким невесомым стержнем связано с неподвижной точкой O1.
Начало неподвижной системы координат O1XY Z поместим в точку
подвеса, направив ось O1Z противоположно вектору ускорения силы
тяжести ~g. Движение жидкостей будем рассматривать в связанной
с твердым телом системе координат Oxyz, расположенной так, что
плоскость Oxy совпадает со свободной поверхностью многослойной
жидкости S1 в состоянии покоя (рис. 1). Будем рассматривать плос-
кие колебания маятника. Допустимость такого рассмотрения, как это
отмечалось в монографии [4], требует дополнительных предположе-
ний о форме полости или свойствах подвеса.
Составим выражение для кинетической энергии рассматриваемой
механической системы, считая движение жидкостей потенциальными
T =
1
2
J0θ̇
2 +
1
2
m∑
i=1
ρi
∫
τi
(
∇Φ̃i + θ̇∇Ψi1
)2
dz. (1)
Здесь Φ̃i = Φi + l0θ̇y, Φi — потенциал относительной скорости дви-
жения i-ой жидкости, l0 = OO1; Ψi1 — первая компонента потен-
циала Стокса–Жуковского ~Ψi для τi полости с твердой границей
Σ̃i = Si
⋃
Σi
⋃
Si+1 , где Σi — смачиваемая поверхность τi области, Si
— невозмущенная свободная (i = 1) или внутренняя плоская поверх-
ность (поверхность раздела i−1 и i-ой жидкости). В дальнейшем для
удобства записи в функции Ψi1 индекс 1 будем опускать. Предполо-
жим, что центры масс твердого тела и плоской фигуры Si лежат на
прямой Oz.
76 Ю. Н. Кононов
Рис. 1. Физический маятник с многослойной жидкостью.
Так как задача рассматривается в линейной постановке, то инте-
грирование в (1) будем проводить по объему, занятому жидкостями в
положении равновесия. В этом случае кинетическая энергия примет
вид
T =
1
2
Jθ̇2 + θ̇
m∑
i=1
ρi
∫
τi0
∇Φ̃i∇Ψi dτ +
1
2
m∑
i=1
ρi
∫
τi0
(
∇Φ̃i
)2
dτ, (2)
где J = J0 +
∑m
i=1 ρi
∫
τi0
(∇Ψi)
2
dτ — момент инерции эквивалентно-
го твердого тела; τi0 — объем, занятый i-ой жидкостью в положении
равновесия. Составим выражение для потенциальной энергии систе-
мы
Π = Π1 +Π2. (3)
Здесь Π1 = 1
2 l̃0m0gθ
2 — потенциальная энергия твердого тела;
Π2 = g
∑m
i=1 ρi
∫
τi
z dτ — потенциальная энергия многослойной жид-
кости; m0 — масса твердого тела; l̃0 — расстояние от центра масс
твердого тела до точки O1.
В выражении (3) интегрирование должно быть распространено
по всему объему, занятому многослойной жидкостью, так как замена
области τi на τi0 приводит к ошибкам не третьего, а второго порядка
О колебании физического маятника . . . 77
малости [4]
∑m
i=1 ρi
∫
τi
Z dτ =
∑m
i=1 ρi
∫
τi0
Z dτ +
∑m
i=1 ρi
∫
τi1
Z dτ =
= Z∗∑m
i=1 ρiτi0 +
∑m
i=1 ρi
∫
τi1
Z dτ,
(4)
где τi = τi0
⋃
τi1; Z∗ — аппликата центра тяжести многослойной жид-
кости в состоянии покоя. Предположив, что центр тяжести объема τi0
лежит на продолжении прямой O1O, получим
Z∗ =
1
2
l∗θ2 + const+O
(
θ3
)
.
Здесь l∗ = (
∑m
i=1 ρiτi0li0) /M2, li0 — расстояние от центра тяжести
объема τi0 до точки O1; M2 =
∑m
i=1mi — масса многослойной жид-
кости.
Преобразуем интеграл в правой части выражения (4), замечая,
что Z = (z − l0) cos θ + y sin θ. Отбрасывая малые высшего порядка,
будем иметь
Π =
1
2
k2θ2 + gθ
m∑
i=1
∆ρi
∫
Si
yζi ds+
1
2
g
m∑
i=1
∆ρi
∫
Si
ζ2i ds. (5)
Здесь k2 =
(
l̃0m0 + l∗M2
)
g.
Используя формулу Грина и кинематические соотношения
∂Φi
∂ν
∣∣∣∣
Σi
= 0,
∂Φi
∂z
=
∂ζi
∂t
на Si
(
i = 1,m
)
, (6)
∂Φi−1
∂z
=
∂Φi
∂z
на Si
(
i = 2,m
)
, (7)
перепишем кинетическую энергию (2)
T =
1
2
Jθ̇2 + θ̇
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΨi − ρi−1Ψi−1)
∂ζi
∂t
ds+
+
1
2
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΦi − ρi−1Φi−1)
∂ζi
∂t
ds, (8)
78 Ю. Н. Кононов
где z = ζi (x, y, t) — уравнение свободной (i = 1) или внутренней
поверхности. Из условия несжимаемости и неразрывности i-ой жид-
кости следует, что
∫
Si
ζids = 0.
Из принципа наименьшего действия в форме Гамильтона–
Остроградского составим уравнения движения физического маятни-
ка, содержащего многослойную жидкость [4, 7]. Вариационная фор-
мулировка задачи дает обоснование необходимости и достаточности
выводимых уравнений и граничных условий.
Вычислим δW , где W =
∫ t1
0
(T −Π) dt,
δW =
∫ t1
0
{[
Jθ̇ +
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΨi − ρi−1Ψi−1)
∂ζi
∂t
ds
]
δθ̇+
+θ̇
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΨi1 − ρi−1Ψi−1) ds+
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΦi − ρi−1Φi−1) δ
∂ζi
∂t
ds−
−k2θδθ − δθg
∑m
i=1 ∆ρi
∫
Si
yζi ds− θg
∑m
i=1 ∆ρi
∫
Si
yδζi ds−
−g∑m
i=1 ∆ρi
∫
Si
ζiδζi ds
}
ds.
Интегрируя по частям, принимая во внимание обращение вари-
аций в нуль на концах и используя произвольность и независи-
мость вариаций δθ и δζi, приходим к следующей системе интегро-
дифференциальных уравнений
Jθ̈ + k2θ = −
m∑
i=1
∫
Si
(ρiΨi − ρi−1Ψi−1)
∂2ζi
∂t2
ds− g
m∑
i=1
∆ρi
∫
Si
yζi ds,
(9)
ρi
∂Φi
∂t
− ρi−1
∂Φi−1
∂t
+∆ρiζi =
= − (ρiΨi − ρi−1Ψi−1 +∆ρiyl0) θ̈ −∆ρiyθ (i = 1,m). (10)
Интегро-дифференциальные уравнения (9)–(10) можно свести к
счетной системе обыкновенных линейных дифференциальных урав-
нений. Для этого следует решить краевую задачу о собственных ко-
лебаниях i-ой жидкости в τi полости, считая плоскую фигуру Si сво-
бодной поверхностью, а Si+1 — абсолютно твердой плоской поверх-
ностью. Затем следует представить Φi и ζi в виде обобщенных рядов
Фурье [4, 7] {
Φi =
∑
n pin(t)ϕin(x, y, z),
ζi =
∑
n ζin (t)ψin (x, y) ,
(11)
О колебании физического маятника . . . 79
где ϕin — собственные функции для области τi, а ψin — значения
функций ϕin на Si. Функции ψin образуют полную и ортонормиро-
ванную систему на Si. Ввиду громоздкости данной задачи для про-
извольной области τ рассмотрим случай, когда эта область цилин-
дрическая (S1 = S2 = ... = Sm = S, ψin = ψn) и случай двухслойной
жидкости (m = 2) с цилиндрической полостью τ1 (S1 = S2 = S) и
произвольной τ2.
В первом случае представим функции Φi (x, y, z, t) и ζi (x, y, t) в
виде обобщенных рядов Фурье по собственным функциям ψn (x, y)
{
Φi =
∑
n [Ain (t) exp(knz) +Bin (t) exp(−knz)]ψn (x, y) ,
ζi =
∑
n ζin (t)ψn (x, y) .
(12)
Подставляя соотношения (12) в кинематические соотношения (6)–
(7) и, воспользовавшись ортогональностью функций ψn, получим си-
стему линейных уравнений относительно неизвестных Ain, Bin
Amne
−knHm+1 −Bmne
knHm+1 = 0,
(Ai−1,n −Ain) e
−knHi − (Bi−1,n −Bin) e
knHi = 0,(
Aine
−knHi −Bine
knHi
)
kn = ζ̇in.
(13)
Здесь
Hi =
i−1∑
k=1
hk, (H1 = 0), ζm+1 ≡ 0.
Система линейных уравнений (13) относительно Ain и Bin имеет ре-
шение
Ain =
eknHi
2kn sinhκin
(
eκin ζ̇in − ζ̇i+1,n
)
,
Bin =
e−knHi
2kn sinhκin
(
e−κin ζ̇in − ζ̇i+1,n
)
,
(
i = 1,m, ζm+1n = 0
)
.
(14)
где κin = knhi.
Подставив (12) в (9)–(10) с учетом (14), получим
Jθ̈ + k2θ = −
m∑
i=1
∆ρi
∑
n
Dn(Ωinζ̈in + gζin), (15)
80 Ю. Н. Кононов
ζ̈in + ω2
inξin − 1
ain
(
bi−1,nζ̈i−1,n + binζ̈i+1,n
)
=
= −ω
2
in
g
βn
(
Ωinθ̈ + gθ
)
(i = 1,m). (16)
Здесь
J = J0+
m∑
i=1
(
mi
(
h2i
3
+ l0hi + l20
)
+ρi
∑
n
β2
nN
2
n(4fin − 3hi)
)
, βn =
Dn
N2
n
,
fin =
2
kn
tanh
κin
2
, Dn =
∫
S
yψnds, N
2
n =
∫
S
ψ2
nds, l0i = l0 +Hi,
k2 = g
[
m0 l̃0 +
n∑
i=1
mi
(
l0i +
hi
2
)]
,Ωin =
ρi−1fi−1,n + ρifin
∆ρi
+Hi + l0,
ain = ρi−1 cothκi−1,n + ρi cothκin, bin = ρi/ sinhκin, ζm+1n ≡ 0,
ρ0 = 0, ω2
in = gkn∆ρi/ain — частота колебаний внутренней поверх-
ности ζi (i 6= 1) при ζi−1 = ζi+1 ≡ 0, т. е. при замене i − 1 и i + 1
внутренних поверхностей твердыми ”крышками”. При i = 1 имеем
ω2
1n = gkn tanhκ1n — частота колебаний свободной поверхности ζ1;
l0i и l̃0 — расстояния соответственно от центра масс твердого тела и
плоской фигуры Si до оси вращения.
Во втором случае обозначим собственные функции для области τ2
через ϕ2n (x, y, z) в предположении, что внутренняя поверхность ζ2
является свободной поверхностью, а собственные значения — через
λ2n. Значение функции ϕ2n на S2 обозначим через ψ2n (x, y). Функции
ψ2n образуют на S2 полную ортогональную систему [4, 7], причем
∂ϕ2n
∂z
= λ2nψ2n на S2,
∂φ2n
∂ν
∣∣∣∣
Σ2
= 0. (17)
Функции Φ2 (x, y, z, t) и ζ2 (x, y, t) представим в виде (11)
Φ2 =
∑
n p2n (t)ϕ2n (x, y, z) ,
ζ2 =
∑
n ζ2n (t)ψ2n (x, y) .
(18)
С учетом соотношений (17) – (18) система интегро-
дифференциальных уравнений (9) – (10) запишется в виде счетной
О колебании физического маятника . . . 81
системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
Jθ̈ + k2θ =
= −
m∑
i=1
[
ρ1γ11nζ̈1n + (ρ2γ22n − ρ1γ12n) ζ̈2n + g (ρ1Dnζ1n+∆ρD2nζ2n)
]
,
(19)
ζ̈1n + ω2
1nζ1n − 1
coshκ1n
∞∑
k=1
µknζ̈2k = −ω1n
g
βn
(
Ω1nθ̈ + gθ
)
, (20)
ρ2
ζ̈2n
λ2n
+∆ρζ2n − ρ1
N2
2n
∞∑
k=1
N2
kµkn
kn
(
ζ̈1n
sinhκ1k
− cothκ1n
∞∑
l=1
µlk ζ̈2l
)
=
= − 1
N2
2n
[
(ρ2γ22n − ρ1γ12n +∆ρl0D2n) θ̈ +∆ρθD2n
]
. (21)
Здесь
γ11n =
∫
S
Ψ1 (x, y, 0)ψn (x, y) ds, γ12n =
∫
S
Ψ1 (x, y,−h1)ψ2n (x, y) ds,
γ22n =
∫
S
Ψ2 (x, y,−h1)ψ2n (x, y) ds,Dn =
∫
S
yψnds,D2n =
∫
S
yψ2nds,
µkn =
1
N2
n
∫
S
ψ2kψnds, N
2
n =
∫
S
ψ2
nds, N
2
2n =
∫
S
ψ2
2n ds, ∆ρ = ρ2 − ρ1.
Если полость τ2 также будет цилиндрической высотой h2, тогда
λ2n = kn tanhκ2n, ψ2n = ψn, µkn =
{
1, n = k,
0, n 6= k
и система уравнений (19)–(21) примет вид
Jθ̈ + k2θ = −
∑
n
Dn
[
ρ1
(
Ω1nζ̈1n + gζ1n
)
+∆ρ
(
Ω2nζ̈2n + gζ2n
)]
,
(22)
ζ̈1n + ω2
1nζ1n − ζ̈2n
coshκ1n
= −ω
2
1n
g
βn
(
Ω1nθ̈ + gθ
)
, (23)
ζ̈2n + ω2
2nζ2n − ρ1
an sinhκ1n
ζ̈1n = −ω
2
2n
g
βn
(
Ω2nθ̈ + gθ
)
, (24)
где ω2
2n = gkn∆ρ/an, ∆ρ = ∆ρ2 = ρ2 − ρ1, Ω1n = f1n + l0,
an = a2n = ρ2kn/λ2n+ ρ1 cothκ1n, Ω2n = (ρ1f1n+ ρ2f2n)/∆ρ+ l0 + h1.
Уравнения (15)–(16) при m = 2 совпадают с уравнениями (22)–(24).
82 Ю. Н. Кононов
3. Устойчивость положения равновесия физиче-
ского маятника с многослойной жидкостью
Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия физиче-
ского маятника c многослойной идеальной жидкостью. Для устойчи-
вости положения равновесия необходимо и достаточно, чтобы в этом
положении потенциальная энергия имела изолированный минимум,
т.е. была положительно определенной [4].
По аналогии с работами [1,4,7] в выражении потенциальной энер-
гии (5) сделаем замену переменных ζi = vi−yθ и запишем выражение
потенциальной энергии в новых переменных
Π =
1
2
k̃θ2 +
1
2
g
m∑
i=1
∆ρi
∫
Si
v2i ds. (25)
Здесь
k̃ = k2 − g
m∑
i=1
∆ρiJSi
, JSi
=
∫
Si
y2 ds.
Функционал (25) будет положительно определенным при
k2 > g
m∑
i=1
∆ρiJSi
и ∆ρi > 0 ∀i. (26)
В этом случае положение равновесия θ ≡ 0 устойчиво. Во всех осталь-
ных случаях положение равновесия физического маятника с мно-
гослойной жидкостью будет неустойчивым положением равновесия.
Условия (26) показывают, что устойчивость (при прочих заданных
параметрах) определяется величиной зеркала свободной и внутрен-
них поверхностей и естественным условием, чтобы более тяжелая
жидкость находилась ниже менее тяжелой.
В случае полного заполнения (свободная поверхность отсутству-
ет S1 = ∅ и JS1 = 0) в первой формуле (26) суммирование следует
начинать с i = 2.
Интересно отметить, что в случае цилиндрической полости про-
извольного поперечного сечения (S1 = S2 = . . . = Sm = S) первое
условие (26) примет вид
k2 > gρmJS , (27)
О колебании физического маятника . . . 83
а в случае полного заполнения —
k2 > g (ρm − ρ1) JS . (28)
Таким образом, в случае частичного заполнения цилиндрической
полости многослойной идеальной жидкостью устойчивость опреде-
ляется (при прочих заданных характеристиках) моментом инерции
поперечного сечения относительно оси Ox, т. е. величиной зеркала
свободной поверхности и только величиной плотности нижней жид-
кости, а в случае полного заполнения — величиной поперечного се-
чения и только разностью плотностей верхней и нижней жидкостей.
Для однородной жидкости (m = 1 или ρ1 = ρ2 = . . . = ρm = ρ)
первое условие (26) совпадает с известным условием устойчивости [4],
которое хорошо известно специалистам по теории корабля, перевозя-
щего жидкие грузы.
Таким образом, обобщено известное условие устойчивости поло-
жения равновесия физического маятника с однородной идеальной
жидкостью на случай многослойной идеальной жидкости. В качестве
примера рассмотрим соотношение (27) для полости в виде прямо-
угольного параллелепипеда шириной 2b, заполненного двухслойной
жидкостью. Обозначим через a расстояние от оси вращения до дна
полости (a = l0 + h1 + h2).
Для оценки влияния двухслойной стратификации на устойчивость
положения равновесия величину m0 l̃0 будем полагать равной нулю.
Это означает, что либо масса сосуда равна нулю, либо центр тяжести
сосуда находится на оси вращения.
В случае однородной жидкости (ρ1 = ρ2 = ρ, h1 + h2 = h) условие
(27) имеет вид [16]
h2 − 2ah+ b̃2 < 0, (29)
где b̃2 = 2
3b
2.
Следовательно, если a < b̃, то положение равновесия неустойчиво,
а если a > b̃, то при h∗1 < h < h∗2 положение устойчиво.
Здесь
h∗1 = a− ã, h∗2 = a+ ã, ã =
√
a2 − b̃2.
Таким образом, существует такое количество жидкости в сосуде,
что при 0 < h∗1 < h < h∗2 положение равновесия физического ма-
ятника θ ≡ 0 будет положением устойчивого равновесия. Если же
жидкости в сосуде мало (0 < h < h∗1), то положение равновесия фи-
зического маятника неустойчиво.
84 Ю. Н. Кононов
Обобщим эти соотношения для однородной жидкости [5, 16] на
случай двух несмешивающихся жидкостей. Условие устойчивости
(27) для рассматриваемого случая запишется следующим образом
h2 − (2a+ ε1h1)h+ (1 + ε2) b̃
2 < 0, (30)
где ρ1 = ρ (1− ε1), ρ2 = ρ (1 + ε2), εi ≥ 0, (i = 1, 2), h = h1 + h2;
h̃i = a + 1
2ε1h1 ±
√(
a+ 1
2ε1h1
)2 − (1 + ε2) b̃2 (при i = 1 берется
нижний знак).
Из неравенства (30) следует, что если
a <
√
(1 + ε2)b̃−
1
2
ε1h1,
то положение равновесия неустойчиво, а если
a >
√
(1 + ε2) ∗ b̃ −
1
2
ε1h1,
то при h̃1 < h < h̃2 положение равновесия будет устойчиво.
Если произошла малая стратификация (εi << 1, i = 1, 2), то усло-
вия устойчивости с точностью до εi принимают вид
a > b̃+
1
2
(
ε2b̃− ε1h1
)
, h̃i = a± ã+
1
2
[(
1± a
ã
)
ε1h1 ∓
b̃2
ã
ε2
]
.
Таким образом, в результате даже малой стратификации длина
интервала устойчивости для однородной жидкости h∗2 −h∗1 уменьши-
лась на величину ε2b̃2/(2ã).
Пусть масса жидкости до стратификации и после остается посто-
янной (ε1h1 = ε2h2). Предположим также, что до стратификации
положение равновесия было устойчивым, т. е. выполнены условия
устойчивости (29), тогда достаточные условия выполнения условия
(30) имеют вид
b̃ < h < a+ ã.
При этих значениях параметров стратификация не нарушает
устойчивости положения равновесия. Следует отметить, что при
ε1 << 1 и h1 << h2 будем иметь ε2 = ε1h1/h2 ≈ ε2, т. е. в первом при-
ближении влиянием малой стратификации с малой толщиной слоя
стратификации на устойчивость положения равновесия физического
маятника можно пренебречь.
О колебании физического маятника . . . 85
4. Собственные частоты колебаний физического
маятника с многослойной жидкостью
Представив функции θ и ζin в виде ζin(t) = ζin0e
iσt, θ(t) = θ0e
iσt,
запишем характеристическое уравнение для системы уравнений (19)–
(21)
k2 − σ2J =
1
g
∑
n
N2
nβ
2
n
∆n
[
ρ1ω
2
1n
(
ω2
2n − σ2
) (
Ω1nσ
2 − g
)2
+
+ ∆ρω2
2n
(
ω2
1n − σ2
) (
Ω2nσ
2 − g
)2 −
− 2ρ1ω
2
2n
coshκ1n
(
Ω1nσ
2 − g
) (
Ω2nσ
2 − g
)]
. (31)
Здесь ∆n =
(
ω2
1n − σ2
) (
ω2
2n − σ2
)
− σ4 2ρ1
an sinh 2κ1n
.
Следует заметить, что корни уравнения ∆n = 0 совпадают с соб-
ственными частотами колебаний двухслойной жидкости в неподвиж-
ном сосуде.
В случае полного заполнения (ζ1n ≡ 0) уравнение (31) запишется
следующим образом
k2 − σ2J =
∆ρ
g
∑
n
D2
n
N2
n
(
Ω2nσ
2 − g
)2
ω2
2n − σ2
. (32)
При ρ1 = 0 (однородная жидкость) уравнения (31)–(32) совпадают
с уравнениями работ [1, 4].
Характеристическое уравнение (32) по форме совпадает с урав-
нением, полученным в [4] для однородной жидкости со свободной
поверхностью. В этой работе дано графическое решение этого урав-
нения. По аналогии с [4] графическое решение (32) приведено на рис.
2. Искомые корни — это точки пересечения прямой F1
(
σ2
)
= k2−Jσ2
с кривой F2
(
σ2
)
F2
(
σ2
)
=
∆ρ
g
∑
n
D2
n
N2
n
(
Ω2nσ
2 − g
)2
ω2
2n − σ2
.
Как видно из чертежа рис. 2, если в однородной жидкости при ее
полном заполнении полости произошла двухслойная стратификация,
86 Ю. Н. Кононов
Рис. 2. Собственные частоты колебаний физического маятника с двух-
слойной жидкостью.
то это приводит к уменьшению запаса устойчивости, так как корни
сдвигаются влево (при ∆ρ = 0 имеем σ2 = k2/J).
Из рис. 2 следует, что кривые F1
(
σ2
)
и F2
(
σ2
)
не будут пересе-
каться в левой полуплоскости, когда
k2 > F2 (0) = g∆ρ
∑
n
D2
n
N2
n
= g∆ρJS . (33)
Уравнение (31) можно также исследовать графически, где в каче-
стве F2
(
σ2
)
полагается функция
F2
(
σ2
)
=
1
g
∑
n
D2
n
N2
n∆n
[
ρ1ω
2
1n
(
ω2
2n − σ2
) (
Ω1nσ
2 − g
)2
+
+ ∆ρω2
2n
(
ω2
1n − σ2
) (
Ω2nσ
2 − g
)2 −
− 2ρ1ω
2
2n
coshκ1n
(
Ω1nσ
2 − g
) (
Ω2nσ
2 − g
)]
. (34)
Функция (34) имеет счетное множество простых полюсов, явля-
ющихся корнями уравнения ∆n = 0. Как и ранее, из графического
решения будет следовать, что кривые F1
(
σ2
)
и F2
(
σ2
)
не будут пе-
ресекаться в левой полуплоскости при
k2 > F2 (0) = gρ2
∑
n
D2
n
N2
n
= gρ2JS . (35)
О колебании физического маятника . . . 87
Следует отметить, что аналогичные исследования можно прове-
сти и для общего характеристического уравнения системы диффе-
ренциальных уравнений (15)–(16) и показать, что кривые F1
(
σ2
)
и
F2
(
σ2
)
не будут пересекаться в левой полуплоскости при
k2 > F2 (0) = g
m∑
i=1
∆ρi
∑
n
Dnβn = gρmJS .
Из графического решения характеристических уравнений (31)–
(32) и характеристического уравнения системы дифференциальных
уравнений (15)–(16) следует, что высокие частоты σ2
n мало отличают-
ся от собственных частот колебаний многослойной идеальной жид-
кости в неподвижном сосуде (∆n = 0).
Таким образом, необходимые условия устойчивости (33) и (35),
полученные на основании исследований корней характеристических
уравнений (31) и (32), совпали с достаточными условиями устойчи-
вости (27) и (28), полученными из положительной определенности
потенциальной энергии.
5. Выводы
1. В линейной постановке исследованы плоские колебания физиче-
ского маятника, содержащего тяжелую m-слойную идеальную жид-
кость.
2. На основании характеристического уравнения получены необхо-
димые условия устойчивости, которые совпали с достаточными, полу-
ченными из положительной определенности потенциальной энергии.
3. Условия устойчивости включают в себя условие естественной
стратификации жидкости, т. е. когда более тяжелая жидкость нахо-
дится ниже менее тяжелой. К этим условиям добавляется условие,
определяющее в основном разностью плотностей многослойной жид-
кости и величиной зеркала свободной и внутренних поверхностей.
Интересно отметить, что в случае полного заполнения цилиндриче-
ской полости необходимо учитывать только разность плотностей по-
следней и первой жидкостей, а в случае частичного заполнения учи-
тывается только плотность последней m-ой жидкости.
4. На примере полости в виде прямоугольного параллелепипеда
оценено влияние стратификации на устойчивость положения равно-
весия физического маятника. Показано, что стратификация приво-
дит к уменьшению запаса устойчивости.
88 Ю. Н. Кононов
5. Проведено графическое исследование структуры спектра, из ко-
торого следует, что высокие частоты колебаний физического маятни-
ка мало отличаются от собственных частот колебаний многослойной
жидкости в неподвижном сосуде.
[1] Моисеев Н.Н. О двух маятниках, наполненных жидкостью // Прикл.
математика и механика. — 1952. — 16, 6. — С. 671–678.
[2] Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие
массы, имеющие свободную поверхность // Матем. сборник.— 1953. —
32, 1. — С. 61–96.
[3] Крейн С. Г., Моисеев Н.Н. О колебаниях твердого тела, содержащего
жидкость со свободной поверхностью // Прикл. математика и меха-
ника. — 1957. — 21, 2. — С. 169–174.
[4] Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержа-
щими жидкость. — М.: Наука, 1965. — 439 с.
[5] Самсонов В.А. Устойчивость и бифуркация равновесия тела с жид-
костью // Науч. тр. ин-та механики Моск. ун-та. — 1971. — № 16. —
С. 3–54.
[6] Кононов Ю.Н. О колебании физического маятника, содержащего иде-
альную жидкость переменной массы // Матем. физ. и нелин. механи-
ка. — 1985. — Вып. 3. — С. 17–20.
[7] Кононов Ю.Н. Задача о физическом маятнике, содержащем страти-
фицированную жидкость // Механика твердого тела. — 1999. — Вып.
28. — С. 145–153.
[8] Кононов Ю.Н. Задача о физическом маятнике, содержащем двухслой-
ную жидкость, разделенную упругой мембраной // Механика твердо-
го тела. — 2001. — Вып. 31. — С. 105–110.
[9] Кононов Ю.Н. Об устойчивости равновесия физического маятника,
содержащего многослойную жидкость, разделенную упругими пла-
стинками // Механика твердого тела. — 2002. — Вып. 32. — С. 203–207.
[10] Цебрiй О.Р. Малi коливання фiзичного маятника з порожниною,
частково заповненою рiдиною. Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук.
01.02.01 // IМ НАНУ — Київ, 2011. — 14 с.
[11] Краснощеков П.С. О колебаниях физического маятника, имеющего
полости, заполненные вязкой жидкостью // Прикл. математика и ме-
ханика. — 1963. — 27, 2. — С. 193–202.
О колебании физического маятника . . . 89
[12] Барняк М.Я., Цебрий Р.И. Приближенный метод исследования соб-
ственных колебаний маятника с цилиндрической полостью, заполнен-
ной вязкой несжимаемой жидкостью // Приближенные методы ис-
следования динамики и устойчивости многомерных систем — К.: Ин-т
математики АН УССР, 1983. — С. 71–84.
[13] Цебрий Р.И. Исследование свободных колебаний физического маят-
ника с цилиндрической полостью, заполненной вязкой несжимаемой
жидкостью // Численно-аналитические методы исследования динами-
ки и устойчивости сложных систем: Сб. науч. тр. — К.: Ин-т матема-
тики АН УССР, 1984. — С. 48–55.
[14] Вадиаа Али. Применение методов спектрального анализа оператор–
функций в задаче о колебаниях маятника с полостью, заполненной
жидкостью. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. 01.01.01 // ИПММ
НАНУ. — Донецк, 1994. — 16 с.
[15] Дудик О.А. Малые движения маятника с полостью, частично запол-
ненной капиллярной вязкой жидкостью. Автореф. дис. ... канд. физ.-
мат. наук. 01.01.02 // ИПММ НАНУ. — Донецк, 2010. — 15 с.
[16] Самсонов В.А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и па-
радоксы. — М.: Наука, 1980. — 64 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-24 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/59/b5374cb313a898d1c991018ea50cef59.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-242018-01-23T12:01:13Z On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid О колебании физического маятника с многослойной идеальной жидкостью Про коливання фізичного маятника з багатошаровій ідеальній рідині Кононов, Ю. М. Кононов, Ю. М. Planar oscillations of a physical pendulum with a cavity partially filledby a heavy multilayer ideal incompressible fluid is considered in a linearstatement. When assuming the hydrostatic stratification, the structure ofthe spectrum is studied, the necessary and sufficient conditions for stabilityare discussed, the stratification effect on the stability of the rigid bodyequilibrium is evaluated. It is shown that the stratification reduces thestability margin. У лiнiйнiй постановцi розглянуто плоскi коливання фiзичного маят-ника з порожниною, яка частково заповнена m-шаровою iдеальноюнестисливою рiдиною. У припущеннi природної стратифiкацiї, тобтоколи бiльш важка рiдина знаходиться нижче менш важкої, дослiдже-но структуру спектра, отримано необхiднi i достатнi умови стiйкостi таоцiнено вплив стратифiкацiї рiдини на стiйкiсть положення рiвновагитвердого тiла. Показано, що стратифiкацiя призводить до зменшеннязапасу стiйкостi. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/24 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 73-89 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 73-89 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 73-89 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/24/28 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Кононов, Ю. М. Кононов, Ю. М. On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title | On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title_alt | О колебании физического маятника с многослойной идеальной жидкостью Про коливання фізичного маятника з багатошаровій ідеальній рідині |
| title_full | On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title_fullStr | On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title_full_unstemmed | On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title_short | On oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| title_sort | on oscillatiions of a physical pendulum in a multilayer liquid |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/24 |
| work_keys_str_mv | AT kononovûm onoscillatiionsofaphysicalpenduluminamultilayerliquid AT kononovûm onoscillatiionsofaphysicalpenduluminamultilayerliquid AT kononovûm okolebaniifizičeskogomaâtnikasmnogoslojnojidealʹnojžidkostʹû AT kononovûm okolebaniifizičeskogomaâtnikasmnogoslojnojidealʹnojžidkostʹû AT kononovûm prokolivannâfízičnogomaâtnikazbagatošarovíjídealʹníjrídiní AT kononovûm prokolivannâfízičnogomaâtnikazbagatošarovíjídealʹníjrídiní |