On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method
In the paper, we design and prove a way to use approximately-iterative method to receive uniform approximations for solutions to stiff problems for ordinary differential equations based on the iterative Newton-Kantorovich process. We receive an estimate for the deviation of approximative polynomials...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/252 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552746434953216 |
|---|---|
| author | Vasylenko, Ya. P. Василенко, Я. П. |
| author_facet | Vasylenko, Ya. P. Василенко, Я. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. П. Василенко",
"institution": "Тернопільський національний педагогічний університет"
}
] |
| author_sort | Vasylenko, Ya. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | In the paper, we design and prove a way to use approximately-iterative method to receive uniform approximations for solutions to stiff problems for ordinary differential equations based on the iterative Newton-Kantorovich process. We receive an estimate for the deviation of approximative polynomials from the exact solution in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 55–87
УДК 517.518, 519.62
Я. П. Василенко
(Тернопiльський нацiональний педагогiчний унiверситет,
Тернопiль)
Про використання iтерацiйного
процесу Ньютона-Канторовича в
апроксимацiйно-iтеративному методi
yava@tnpu.edu.ua
In the paper, we design and prove a way to use approximately-
iterative method to receive uniform approximations for solutions to
stiff problems for ordinary differential equations based on the iterati-
ve Newton-Kantorovich process. We receive an estimate for the devi-
ation of approximative polynomials from the exact solution in the
uniform metric.
У роботi розроблений i обґрунтований спосiб застосування
апроксимацiйно-iтеративного методу для отримання рiвномiр-
них наближень розв’язкiв жорстких задач для звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь на базi iтерацiйного процесу Ньютона-
Канторовича. Отримана оцiнка вiдхилення наближаючих полi-
номiв вiд точного розв’язку у рiвномiрнiй метрицi.
У своїх працях Дзядик В. К. [1–3] запропонував та теоретично
обґрунтував апроксимацiйно-iтеративний метод (АI-метод) побу-
дови полiномiального наближення розв’язкiв задачi Кошi виду
y′ = f(x, y), y(x0) = y0, x ∈ [x0, x0 + h]. (1)
c© Я. П. Василенко, 2016
56 Я. П. Василенко
В подальшому Дзядиком В. К. [1] та його учнями цей метод
був розповсюджений на розв’язування нелiнiйних iнтегральних
рiвнянь, гiперболiчних рiвнянь другого порядку в R2, крайових
задач [4] тощо.
Стосовно функцiї f(x, y) будемо припускати, що вона:
i) визначена на деякому прямокутнику P = [x0, x0+h]× [y0−
H, y0 +H];
ii) є аналiтичною по обох змiнних в intP i неперервною на P ;
iii) на деякому малому iнтервалi iз [x0, x0 + h] ї ї похiдна
∂f(x, y)
∂y
є достатньо великою по абсолютнiй величинi.
Як правило, задачi виду (1) з такими властивостями функцiї
f(x, y) називають жорсткими [5,6] i в останнi десятилiття їх вiд-
носять до числа найбiльш важливих в теорiї диференцiальних
рiвнянь (див., наприклад, [7, 8]).
У даному дослiдженнi до розв’язування жорстких задач виду
(1) застосовується АI-метод, в якому iтерацiйний процес Пiкара
подiбно [9] замiнюється на процес Ньютона-Канторовича (див.,
наприклад, [10–13]). Встановлена оцiнка вiдхилення отриманих
многочленних наближень вiд точного розв’язку в рiвномiрнiй ме-
трицi. Аналiзуються результати тестових прикладiв.
Iтерацiйний процес Ньютона-Канторовича
Для знаходження хорошого наближеного розв’язку задачi Ко-
шi (1) або, що те саме, рiвносильного iнтегрального рiвняння
Вольтера
y(x) = y0 +
x∫
x0
f(t, y(t)) dt, (2)
замiсть iтерацiйного процесу Пiкара застосуємо iтерацiйний про-
цес Ньютона-Канторовича. З цiєю метою розглянемо допомi-
жний нелiнiйний оператор B : K(y0, H) → C[x0, x0 + h], що дiє
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 57
за формулою
(By)(x) = y(x)− y0 −
x∫
x0
f(t, y(t)) dt, (3)
де через K(y0, H) позначена куля в C[x0, x0 + h] деякого радiуса
H з центром в точцi y0, тобто
K = K(y0, H) = {y ∈ C[x0, x0 + h] :‖ y(x)− y0 ‖C[x0,x0+h]≤ H}.
Оскiльки оператор B володiє тiєю властивiстю, що, якщо
y∗(x) є розв’язком рiвняння (2), то (By∗)(x) ≡ 0, i навпаки, iз
того, що By∗ = 0 слiдує, що y∗(x) є розв’язком рiвняння (2), то
замiсть iнтегрального рiвняння (2) розглядатимемо еквiвалентне
операторне рiвняння
By = 0. (4)
Це рiвняння, слiдуючи Канторовичу Л. В. [10] (див. також
[12,13]), будемо розв’язувати наступним чином. Покладемо y0 =
y0(x) ≡ y0 i пiсля цього кожне наступне наближення yν(x), (ν =
0, 1, 2, . . .) будуватимемо за формулою (яка узагальнює вiдому
iтеративну формулу Ньютона xn+1 = xn − ϕ(xn)/ϕ′(xn) розв’я-
зування рiвняння ϕ(x) = 0):
yν+1 = yν − [B′yν ]
−1Byν = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , (5)
де через B′yν позначена похiдна Фреше оператора B в точцi yν .
Зауважимо, що в силу аналiтичностi функцiї f(x, y) похiдна
Фреше B′y оператора B iснує ∀y ∈ K(y0, H) i задається на мно-
жинi елементiв z ∈ C[x0, x0 + h] за допомогою рiвностi
(B′yz)(x) = z(x)−
x∫
x0
f ′y(t, y(t))z(t) dt. (6)
Похiдною Фреше оператора B (див., наприклад, [9–11]) в точцi y на-
зивають лiнiйний оператор B′y iз C[x0, x0 + h] в C[x0, x0 + h] такий, що
‖B(y + z)−By −B′yz‖C[x0,x0+h] → 0 при ‖z‖C[x0,x0+h] → 0.
58 Я. П. Василенко
Доведення цiєї рiвностi випливає з того, що з згiдно формулою
скiнчених приростiв для довiльних y(x) i z(x) таких, що y ∈
K(y0, H) i y + z ∈ K(y0, H),
f(x, y(x)+z(x))−f(x, y(x)) = f ′y(x, y(x)+θz(x))z(x), (0 < θ < 1).
Тому
B(y + z)(x)−B(y)(z) = y(x) + z(x)− y0 −
x∫
x0
f(t, y(t) + z(t)) dt−
−(y(x)− y0 −
x∫
x0
f(t, y(t)) dt) = z(x)−
x∫
x0
f ′y(t, y(t) + θz(t)) dt.
I, отже,
‖B(y + z)−By −B′yz‖C[x0,x0+h] =
= ‖
x∫
x0
[f ′y(t, y(t))− f ′y(t, y(t) + θz(t))] dt‖C[x0,x0+h] → 0
при ‖z‖C[x0,x0+h] → 0.
В подальшому нам буде потрiбна наступна лема.
Лема 1. Лiнiйний неперервний оператор B′y : C[x0, x0 + h] →
C[x0, x0 + h] при ∀y ∈ K(y0, H) має неперервний обернений опе-
ратор [B′y]
−1, норма якого обмежена числом eq:
‖ [B′y]−1 ‖≤ eq, (7)
де q :=‖ f ′y ‖C(P ) ·h.
Доведення. Позначимо через I : C[x0, x0 + h] → C[x0, x0 + h]
оператор виду
(Iz)(x) =
x∫
x0
f ′y(t, y(t))z(t) dt, (8)
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 59
де y ∈ K(y0, H) i z — довiльний елемент iз C[x0, x0 + h]. Тодi, в
силу (6) бачимо, що
B′y = E − I,
де E — одиничний оператор.
Тому, якщо розглянути операторний ряд
V = E + I + I2 + I3 + . . . , (9)
для якого з врахуванням (8) маємо
V (z)(x) = z(x) +
x∫
x0
f ′y(t, y(t)) dt+
+
x∫
x0
f ′y(t, y(t))
t∫
x0
f ′y(s, y(s))z(s) dsdt+ . . . .
Приймаючи до уваги очевиднi нерiвностi
‖Iz‖C[x0,x0+h] ≤‖ f
′
y ‖C(P ) ·h· ‖ z ‖C[x0,x0+h]=
= q· ‖ z ‖C[x0,x0+h],
‖I2z‖C[x0,x0+h] ≤‖ f
′
y ‖2C(P ) ·
h2
2!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h]=
=
q2
2!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h],
‖I3z‖C[x0,x0+h] ≤‖ f
′
y ‖3C(P ) ·
h3
3!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h]=
=
q3
3!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h],
. . .
‖Inz‖C[x0,x0+h] ≤‖ f
′
y ‖nC(P ) 3 ·
hn
n!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h]=
=
qn
n!
· ‖ z ‖C[x0,x0+h],
60 Я. П. Василенко
або, що теж саме, нерiвностi
‖I‖ ≤ q, ‖I2‖ ≤ q2
2!
, . . . , ‖In‖ ≤ qn
n!
, . . .
бачимо, що ряд (9) по нормi простору лiнiйних неперервних опе-
раторiв L(C[x0, x0+h], C[x0, x0+h]), якi вiдображають C[x0, x0+
h] в C[x0, x0 + h], мажорується збiжним числовим рядом
I + q +
q2
2!
+ . . .+
qn
n!
+ . . . = eq.
Тому в силу повноти простору L(C[x0, x0 + h], C[x0, x0 + h])
ряд (9) збiгається i для його суми V виконується нерiвнiсть
‖V ‖ ≤ eq. (10)
Оскiльки
V · (E − I) = (E + I + I2 + . . .+ In + . . .) · (E − I) =
= (E + I + . . .+ In + . . .)− (I + I2 + . . .+ In+1 + . . .) = E
i аналогiчно
(E − I) · V = E,
то
V = [E − I]−1 = [B′y]
−1 (y ∈ K(y0, H))
i, отже, з врахуванням (10) дiйсно має мiсце нерiвнiсть
‖ [B′y]−1 ‖=‖ V ‖≤ eq.
Цим лема 1 доведена. �
Для компактностi подальшого викладу введемо позначення
L0 :=‖ f ‖C(P ), L1 :=‖ f ′y ‖C(P ), L2 :=‖ f ′′yy ‖C(P ) .
Друга похiдна Фреше оператора B в точцi y, згiдно з означе-
нням [10], є бiлiнiйним оператором B′′y , який, як легко бачити,
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 61
у нашому випадку для довiльних u, v ∈ C[x0, x0 + h] задається
рiвнiстю
(B′′yuv)(x) =
x∫
x0
f ′′yy(t, y(t))u(t)v(t) dt. (11)
Тому
‖ B′′y ‖≤ L2h. (12)
Крiм того, iз врахуванням (7) i (3) маємо
‖ [B′y0 ]
−1 ·By0 ‖C[x0,x0+h] ≤
≤‖ [B′y0 ]
−1 ‖ · ‖ By0 ‖C[x0,x0+h] ≤ e
qL0h.
(13)
Доведення збiжностi iтерацiйного процесу (5) до розв’язку
рiвняння (4) проведемо, слiдуючи методу, запропонованому в ро-
ботах Канторовича Л. В. [10, 12] (див. також [9]) i використову-
ючи конкретний вигляд оператора B.
Попередньо розглянемо двi наступнi визначенi за iндукцiєю
послiдовностi {ην} i {χν}
η0 := eqL0h (q = L1h), χ0 := eqL2h · η0,
ην+1 :=
1
2
· ηνχν , χν := eqL2h · ην , ν = 0, 1, 2, . . . .
(14)
Лема 2. Для чисел {ην}, {χν} при довiльних ν = 0, 1, 2, . . . спра-
ведливi спiввiдношення
ην =
1
22ν−1
· e(2ν+1−1)q · L2ν−1
2 · L2ν
0 h
2ν+1−1, (15)
χν =
1
22ν−1
· e2ν+1q · L2ν
2 · L2ν
0 h
2ν+1
, (16)
χν+1 =
χ2
ν
2
,
χν =
χ2ν
0
22ν−1
, (17)
ην = 2η0 ·
χ2ν−1
0
22ν
. (18)
62 Я. П. Василенко
Доведення справедливостi цих рiвностей легко встановлює-
ться за допомогою математичної iндукцiї.
Теорема 3. Нехай в рiвняннi (2) (або, що те саме, в задачi
Кошi (1)) функцiя
f ∈ A(intP ) ∩ C(P )
i, крiм того,
χ0 := e2q · L2L0 · h2 < 1, H > H0 = 2η0 = 2eq · L0h. (19)
Тодi послiдовнi наближення (5) сходяться до розв’язку рiвняння
(4) i цi розв’язки знаходяться в кулi K(y0, H0) .
Доведення. Покладемо Hν = 2ην i покажемо, що при будь-яких
ν = 1, 2, . . . мають мiсце спiввiдношення
‖ [B′y0 ]
−1 ·By0 ‖C[x0,x0+h]≤ ην , (20)
K(yν , Hν) ⊂ K(yν−1, Hν−1), (21)
де K(yν , Hν) = {y ∈ C[x0, x0 + h] :‖ y − yν ‖C[x0,x0+h]≤ Hν}.
Справдi, припустимо, що спiввiдношення (20) i (21) є вiрними
при ν = µ. Тодi, згiдно з (5)
‖ yµ+1 − yµ ‖≤‖ [B′yµ ]−1 ·Byµ ‖≤ ηµ,
i ηµ =
1
2
·Hµ < Hµ, µ = 0, 1, 2, . . ., то yµ+1 ∈ K(yµ, Hµ). Отже,
тим бiльше yµ+1 ∈ K(y0, H). Тому рiвнiсть (5) має змiст i при
ν = µ+ 1.
Iз тотожностi
Byµ+1 = Byµ+1 −Byµ −B′yµ(yµ+1 − yµ)
i нерiвностi (див., наприклад, [10])
‖ Byµ+1 −Byµ −B′yµ(yµ+1 − yµ) ‖C[x0,x0+h]≤
≤ 1
2
· ‖ B′′yµ+θzµ ‖ · ‖ yµ+1 − yµ ‖C[x0,x0+h],
(zµ = yµ+1 − yµ, 0 < θ < 1).
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 63
iз врахуванням (12) отримуємо
‖ Byµ+1 ‖C[x0,x0+h]≤
L2h
2
· η2µ. (22)
Зауважимо, що похiдна B′′yµ+θzµ iснує в силу того, що
‖ yµ + θzµ − y0 ‖=‖ θyµ+1 + (1− θ)yµ − θy0 − (1− θ)y0 ‖≤
≤ θH + (1− θ)H = H
i, отже, yµ + θzµ ∈ K(y0, H0).
На основi (10) i (22) робимо висновок, що
‖ [B′yµ+1 ]
−1 ·Byµ+1 ‖C[x0,x0+h]≤
eq · L2h
2
· η2µ =
χµ · ηµ
2
= ηµ+1.
Для доведення включення (21) зауважимо, що Hµ + ηµ ≤
Hµ−1. Справдi,
Hµ + ηµ = 2ηµ + ηµ−1 = (χµ−1 + 1)ηµ−1 ≤ 2ηµ−1 = Hµ−1.
Тому включення (21) має мiсце в силу того, що
∀y ∈ K(yµ, Hµ) ‖ y − yµ−1 ‖≤‖ y − yµ ‖ + ‖ yµ − yµ−1 ‖≤
≤ Hµ + ηµ ≤ Hµ−1.
Таким чином, всi послiдовнi наближення, заданi рiвнiстю (5),
мають змiст.
Далi, оскiльки згiдно з (14) i (17)
Hν+1 = 2ην+1 = ηνχν = ην ·
χ2ν
0
22ν−1
= 2ην ·
χ2ν
0
22ν
<
< 2ην ·
1
22ν
≤ Hµ
2
,
то вiдповiдно до теореми про вкладенi кулi послiдовнi наближе-
ння yν сходяться до деякого елемента y∗ ∈ K(y0, H0).
64 Я. П. Василенко
Нарештi, переходячи у тотожностi
Byν +B′yν (y
ν+1 − yν) = 0,
яка рiвносильна (5), до границi при ν →∞, робимо висновок про
те, що y∗ є розв’язком рiвняння (5). Теорему доведено. �
Оцiнимо похибку, яка отримується при наближеннi розв’язку
рiвняння (4) за допомогою послiдовних наближень (5).
Вводячи позначення
zν = yν+1 − yν , ν = 0, 1, 2, . . . ,
iз врахуванням (5) отримаємо
zν = −[B′yν ]−1 ·Byν = −[B′yν ]−1 ·B(yν−1 + zν−1).
Використовуючи формулу Тейлора (див., наприклад, [15]),
для функцiї f(x, yν−1(x) + zν−1(x)) по другому аргументу отри-
маємо
(B(yν−1 + zν−1))(x) =
= yν−1(x) + zν−1(x)− y0 −
x∫
x0
f(t, yν−1(t) + zν−1(t)) dt =
= yν−1(x) + zν−1(x)− y0 −
x∫
x0
f(t, yν−1(t)) dt−
−
x∫
x0
f ′y(t, y
ν−1(t))zν−1(t) dt−
−1
2
·
x∫
x0
f ′′yy(t, y
ν−1(t) + θzν−1(t))[zν−1(t)]2 dt =
= (Byν−1)(x) + (B′yν−1z
ν−1)(x) +
1
2
· (B′′yν−1+θzν−1z
ν−1zν−1)(x)
(0 ≤ θ ≤ 1),
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 65
а з врахуванням (5)
B(yν−1 + zν−1) =
1
2
·B′′yν−1+θzν−1z
ν−1zν−1. (23)
Друга похiдна Фреше оператора B в точцi yν−1 + θzν−1 iснує,
оскiльки, мiркуючи так само, як i при доведеннi теореми 3, легко
переконаємося, що yν−1 + θzν−1 ∈ K(y0, H).
Таким чином, елементи zν задовольняють рекурентнi спiввiд-
ношення
zν = −1
2
· [B′yν ]−1 ·B′′yν−1+θzν−1z
ν−1zν−1, ν = 1, 2, . . . . (24)
Використовуючи (24), рiвнiсть (5) при ν = 0, а також лему 1
i введенi ранiше позначення, послiдовно отримаємо
|z0(x)| ≤ eq · L0 · |x− x0| ≤ eq · L0h, q = L1h,
|z1(x)| ≤ 1
2
· eq · |
x∫
x0
f ′′yy(t, y
0(t) + θz0(t)) · [z0(t)]2 dt| ≤
≤ 1
2
· e3q · L2L0 ·
|x− x0|3
3
≤ 1
2
· e3q · L2L0 ·
h3
3
,
|z2(x)| ≤ 1
2
· eq · |
x∫
x0
f ′′yy(t, y
1(t) + θz1(t)) · [z1(t)]2 dt| ≤
≤ 1
23
· e7q · L3
2L
4
0 ·
|x− x0|7
32 · 7
≤ 1
2
· e7q · L3
2L
4
0 ·
|x− x0|7
3! · 4!
≤
≤ 1
2
· e7q · L3
2L
4
0 ·
h7
3! · 4!
,
|z3(x)| ≤ 1
27
· e15q · L7
2L
8
0 ·
|x− x0|15
(3!)2 · 4! · 5!
≤
≤ 1
27
· e15q · L7
2L
8
0 ·
h15
(3!)2 · 4! · 5!
.
66 Я. П. Василенко
По iндукцiї легко отримуємо, що
|zν(x)| ≤ 1
22ν−1−1 · e
(2ν+1−1)q · L2ν−1
2 L2ν
0 ·
· |x− x0|2
ν+1−1
(3!)2ν−2 · (4!)2ν−3 · . . . · (ν!)2 · (ν + 1)! · (ν + 2)!
≤
≤ 1
22ν−1−1 · e
(2ν+1−1)q · L2ν−1
2 L2ν
0 ·
h2
ν+1−1
αν
, (25)
де αν := (3!)2
ν−2 · (4!)2ν−3 · . . . · (ν!)2 · (ν+1)! · (ν+2)!, ν = 3, 4, . . . ,
α2 := 3! · 4!, α1 := 3!.
Таким чином, з врахуванням (15) (18) отримуємо
|zν(x)| ≤ ην
αν
· 22ν−1
= 2 · η0 · χ
2ν−1
0
αν · 22ν
· 22ν−1
=
= 2 · η0 · χ
2ν−1
0
αν · 22ν−1 , ν = 1, 2, . . . . (26)
Розглядаючи тепер фукнцiональний ряд
y0(x) +
∞∑
ν=0
zν(x),
бачимо, що вiн рiвномiрно збiгається на сегментi [x0, x0 + h], бо
послiдовнiсть його часткових сум yν(x)∞ν=0 вiдповiдно до теореми
1 сходиться рiвномiрно на [x0, x0 + h] до y(x). Тому, iз врахуван-
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 67
ням (25), (26), (16) i (17) отримуємо оцiнку вiдхилення
|y(x)− yν(x)| ≤ |zν(x)|+ |zν(x)+1|+ . . . ≤
1
22ν−1−1 · L
2ν−1
2 L2ν
0 · e(2
ν+1−1)q · h
2ν+1−1
αν
·
·{1 + 1
22ν−1 ·
L2ν
2 L
2ν
0 · e(2
ν+1)q · h2ν+1
(3!)2ν−2(4!)2ν−3 · . . . · (ν!)2(ν + 1)!(ν + 2)!
+
1
(22ν−1)3
·
· (L2ν
2 L
2ν
0 · e(2
ν+1)q · h2ν+1
)3
((3!)2ν−2(4!)2ν−3 · . . . · (ν!)2 · (ν + 1)!)3 · (ν + 2)!(ν + 3)!(ν + 4)!
+
+ . . .} ≤ 2 · η0χ
2ν−1
0
22ν−1 · αν
· {1 + 22
ν−1 · χν
αν
+
(22
ν−1 · χν)3
α3
ν · 2!
+ . . .} ≤
≤ 2 · η0χ
2ν−1
0
22ν−1 · αν
· {1 + χ2ν
0
22ν−1 · αν
+
(χ2ν
0 )2
(22ν−1 · αν)2 · 2!
+ . . .} ≤
≤ 2 · η0 · χ
2ν−1
0
22ν−1 · αν
· e
χ2ν
0
22ν−1 · αν , ν = 1, 2, . . . . (27)
Оскiльки, в силу (13) |z0(x)| ≤ η0, то, поклавши α0 :=
√
2
таким чином, що 2 · χ20−1
0
22−1 · α0
= 1, бачимо, що нерiвностi (26) i
(27) є справедливими i при ν = 0.
Таким чином, ми довели наступну теорему.
Теорема 4. За умов теореми 3 для вiдхилення наближеного
розв’язку yν(x), який визначається за рекурентними спiввiдно-
шеннями (5), вiд точного розв’язку y(x) рiвняння (4) (або, що
те саме, рiвняння (2) чи задачi Кошi (1)) справедлива оцiнка
‖y(x)− yν(x)‖C[x0,x0+h] ≤ 2 · η0 · χ
2ν−1
0
22ν−1 · αν
· exp{ χ2ν
0
22ν−1 · αν
}, (28)
(ν = 0, 1, 2, . . .),
, де αν := (3!)2
ν−2 ·(4!)2ν−3 · . . . ·(ν!)2 ·(ν+1)! ·(ν+2)!, ν = 3, 4, . . . ,
α2 := 3! · 4!, α1 := 3!, α0 :=
√
2,
68 Я. П. Василенко
η0 = eq · L0h, χ0 := eq · L2hη0, (q = L1h),
а величини Li, i = 0, 1, 2 задаються спiввiдношеннями
L0 :=‖ f ‖C(P ), L1 :=‖ f ′y ‖C(P ), L2 :=‖ f ′′yy ‖C(P ),
P = [x0, x0 + h]× [y0 −H, y0 +H].
Зауваження 1. Твердження теореми 4 залишається вiрним,
якщо в нiй константу L2 замiнити на константу Лiпшиця L для
оператора B′y:
‖B′y1 −B
′
y2‖ ≤ L · ‖y
1 − y2‖, ∀y1, y2 ∈ K(y0, H).
Апроксимацiйно-iтеративнi наближення
Iтерацiйний процес (5) мiстить операцiю iнтегрування, i йо-
го на практицi, як правило, важко реалiзувати. Тому, слiдуючи
працям Дзядика В. К. [1, 2], для наближення розв’язкiв рiвнян-
ня (2) (а, отже, i задачi Кошi (1)) було розглянуто i дослiджено
операторне рiвняння виду
y(n, x) = y0 +
x∫
x0
An(f(·, y(n, ·)); t) dt, (29)
в якому An — деякий суматорний оператор, дiючий на множинi
функцiй iз C[x0, x0 + h], а y(n, x) — многочлен степеня не вище
n+ 1.
Зокрема, був дослiджений iнтерполяцiйний оператор, побудо-
ваний при деякому фiксованому n по вузлах
{xj}nj=0 : xj = x0 +
h
2
· (ξj + 1), ξj = − cos
jπ
n
, j = 0, n.
З метою наближення розв’язкiв неявного вiдносно y(n, x) рiв-
няння (29) замiсть простих iтерацiй використовується iтерацiй-
ний процес Ньютона-Канторовича. Для цього розглянемо рiвня-
ння виду
Cỹ = 0, (30)
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 69
в якому ỹ(x) := y(n;x), а оператор C задається рiвнiстю
(Cỹ)(x) = ỹ − y0 −
x∫
x0
An(f(·, y(n, ·)); t) dt.
Наближений розв’язок рiвняння (30) будемо шукати за допо-
могою наступного iтерацiйного процесу
ỹν+1 = ỹν − [C ′ỹν ]
−1Cỹν = 0, ỹ0 = y0, ν = 0, 1, 2, . . . , (31)
де через C ′ỹν позначена похiдна Фреше оператора C в точцi ỹν .
В силу умов, накладених на функцiю f(x, y), похiдна Фреше C ′ỹν
iснує i її дiя на довiльний елемент z ∈ C[x0, x0 + h] задається
рiвнiстю
(C ′ỹνz)(x) = z(x)−
x∫
x0
An(f
′
y(·, y(n, ·)); t)z(t) dt.
Аналогiчно до леми 1 доводиться наступна лема.
Лема 5. Лiнiйний неперервний оператор C ′y : C[x0, x0 + h] →
C[x0, x0 + h] при ∀y ∈ K(y0, H) має неперервний обернений опе-
ратор [C ′y]
−1, норма якого обмежена числом eq1:
‖ [C ′y]−1 ‖≤ eq1 , (32)
де q1 :=‖ An ‖C(P ) ·q.
Справедливою є наступна теорема.
Теорема 6. Якщо
f ∈ A(intP ) ∩ C(P ),
η̃0 := eq1‖An‖ · L0h, χ̃0 := eq1‖An‖ · L2hη̃0 < 1, (33)
i
H > H̃0 := 2η̃0, (34)
то послiдовнi наближення (31) сходяться до розв’язку рiвняння
(30) i цi розв’язки знаходяться в кулi K(y0, H̃0) .
70 Я. П. Василенко
Доведення цiєї теореми аналогiчне доведенню теореми 3.
Для оцiнки похибки АI-методу при використаннi iтерацiйно-
го процесу Ньютона-Канторовича побудуємо елiпс Жуковського
(вiдштовхуючись вiд сегмента [x0, x0 + h] i деякого r > 1)
∂Er = {(z1, z2) ∈ R2 :
z1 = x0 +
h
2
+ ar · cos t, z2 = br · sin t, t ∈ [−π, π],
ar =
h
2
· (r + r−1), br =
h
2
· (r − r−1)}
i розглянемо множину Er, обмежену елiпсом ∂Er,
Er = {z = z1 + iz2 ∈ C :
z1 − (x0 +
h
2
)
ar
2
+
(
z2
br
)2
≤ 1},
круг K̃ = K̃(y0, H) = {w = w1 + iw2 ∈ C : |w − y0| ≤ H} i
бiцилiндр D = Er × K̃.
Якщо розглянути функцiю f(z, w) таку, що f ∈ A(intD) ∩
C(D) i f ′w ∈ A(intD) ∩ C(D), то, згiдно з теоремою С.Н. Берн-
штейна (див., наприклад, [1]),
En(f(z, w(z))C[x0,x0+h] ≤‖ f ‖C(Er) ·
2
(r − 1) · rn
, (35)
En(f
′
w(z, w(z))C[x0,x0+h] ≤‖ f
′
w ‖C(Er) ·
2
(r − 1) · rn
, (36)
де En(f)C[x0,x0+h] — величина найкращого наближення функцiї
f на сегментi [x0, x0 + h] многочленами степеня не вище n.
Теорема 7. (про оцiнку похибки апроксимацiйно-iтеративного
методу при застосуваннi iтерацiйного процесу Ньютона-
Канторовича).
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 71
При наближеннi розв’язку задачi Кошi (1) многочленами
y(n;x) степеня не вище n + 1, якi задовольняють оператор-
не рiвняння (29), яке розв’язується за методом Ньютона-
Канторовича (31), при дотриманнi умов теореми 6 має мiсце
оцiнка вiдхилення
‖ỹ(x)− ỹν(x)‖C[x0,x0+h] ≤
≤ eq1h · (‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
·
(
L̃1η0 + L̃0
)
· 1− β
ν
2
1− β2
+
+L2ν−1
2 L2ν
0 · e(2
ν+1−1)q · h
2ν+1−1
22ν−1 · αν
· exp{ χ2ν
0
22ν−1 · αν
}, (37)
де αν := (3!)2
ν−2 · (4!)2ν−3 · . . . · (ν!)2 · (ν+1)! · (ν+2)!, ν = 3, 4, . . . ,
α2 := 3! · 4!, α1 := 3!, α0 :=
√
2,
L̃0 :=‖ f ‖C(D), L̃1 :=‖ f ′y ‖C(D), D = Er × K̃,
L0 :=‖ f ‖C(P ), L1 :=‖ f ′y ‖C(P ), L2 :=‖ f ′′yy ‖C(P ),
P = [x0, x0 + h]× [y0 −H, y0 +H], q = L1h, q1 = ‖An‖L1h,
β2 = eq1h ·
(
(‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
· L̃1 + L2η0 + 2L1
)
,
η0 := eqL0h, χ0 := e2q · L2L0h
2.
Доведення. Враховуючи позначення ỹν(x) := yν(n;x) iз (5) i
(31) отримаємо рiвностi
ỹν+1(x) =
x∫
x0
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)(ỹν+1(t)− ỹν(t)) dt+
+y0 +
x∫
x0
An(f(·, ỹν(·)); t) dt,
72 Я. П. Василенко
yν+1(x) =
x∫
x0
f ′y(t, y
ν(n, t))(yν+1(t)− yν(t)) dt+
+y0 +
x∫
x0
f(t, yν(t)) dt.
Вiднявши другу рiвнiсть вiд першої, матимемо
ỹν+1(x)− yν+1(x) =
x∫
x0
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)(ỹν+1(t)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
An(f(·, ỹν(·)); t) dt−
−
x∫
x0
f ′y(t, y
ν(t))(yν+1(t)− yν(t)) dt−
x∫
x0
f(t, yν(t)) dt =
=
x∫
x0
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)(ỹν+1(t)− yν+1(x) + yν+1(x)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
An(f(·, ỹν(·)); t) dt−
−
x∫
x0
f ′y(t, y
ν(t))(yν+1(t)− yν(t)) dt−
x∫
x0
f(t, yν(t)) dt.
Звiдси випливає, що
ỹν+1(x)− yν+1(x)−
x∫
x0
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)(ỹν+1(t)− yν+1(x)) dt =
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 73
=
x∫
x0
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)(yν+1(x)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
An(f(·, ỹν(·)); t) dt−
−
x∫
x0
f ′y(t, y
ν(t))(yν+1(t)− yν(t)) dt−
x∫
x0
f(t, yν(t)) dt =
=
x∫
x0
[
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)− f ′y(t, ỹν(t)) + f ′y(t, ỹ
ν(t))
]
·
·(yν+1(x)− yν(t) + yν(t)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
[An(f(·, ỹν(·)); t)− f(t, ỹν(t)) + f(t, ỹν(t))] dt−
−
x∫
x0
f ′y(t, y
ν(t))(yν+1(t)− yν(t)) dt−
x∫
x0
f(t, yν(t)) dt =
=
x∫
x0
[
An(f
′
y(·, ỹν(·)); t)− f ′y(t, ỹν(t))
]
·
·(yν+1(x)− yν(t) + yν(t)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
[
f ′y(t, ỹ
ν(t))− f ′y(t, yν(t))
]
(yν+1(t)− yν(t)) dt+
+
x∫
x0
f ′y(t, ỹ
ν(t))(yν(t)− ỹν(t)) dt+
+
x∫
x0
[An(f(·, ỹν(·)); t)− f(t, ỹν(t))] dt+
+
x∫
x0
[f(t, ỹν(t))− f(t, yν(t))] dt.
74 Я. П. Василенко
Враховуючи той факт, що у лiвiй частинi отриманої рiвностi
стоїть вираз виду C ′ỹν (ỹ
ν+1−yν+1), ми, скориставшись нерiвнiстю
(32), отримаємо:
‖ỹν+1 − yν+1‖C[x0,x0+h] ≤
≤ eq1
[
h · (‖An‖+ 1) · En(f ′y(x, ỹν(x)))C[x0,x0+h]·
·(‖yν+1 − yν‖+ ‖ỹν − yν‖) + h‖f ′′yy‖C(P ) · ‖yν+1 − yν‖ · ‖ỹν − yν‖+
+h‖f ′y‖C(P ) · ‖ỹν − yν‖+ h · (‖An‖+ 1) · En(f ′y(x, ỹν(x)))C[x0,x0+h]+
+h‖f ′y‖C(P ) · ‖ỹν − yν‖
]
.
Далi, враховуючи (35) i (36) i той факт, що ‖yν+1 − yν‖ ≤ η0
(випливає iз доведення теореми 3), матимемо
‖ỹν+1 − yν+1‖C[x0,x0+h] ≤
≤ eq1h ·
[
(‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
· (L̃1η0 + L̃0)+
+
(
(‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
· L̃1 + L2η0 + 2L1
)
· ‖ỹν − yν‖
]
≤
≤ β1 + β2 · ‖ỹν − yν‖ ≤ β1 + β2 · (β1 + β2 · ‖ỹν−1 − yν−1‖) ≤
≤ . . . ≤ β1 · (1 + β2 + . . .+ βν2 ) = β1 ·
1− βν+1
2
1− β2
, (38)
де
β1 := eq1h · (‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
· (L̃1η0 + L̃0),
β2 := eq1h ·
(
(‖An‖+ 1) · 2
(r − 1) · rn
· L̃1 + L2η0 + 2L1
)
.
Тепер на основi (38), (19) i нерiвностi ‖ỹν − y‖ ≤ ‖ỹν − yν‖ +
‖yν − y‖ отримаємо (37). �
Про обчислювальну схему розв’язування задачi
Вiдштовхуючись вiд описаних вище апроксимацiйно-
iтеративних наближень ỹν = y(n;x) (многочленiв степеня
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 75
не вище n + 1 ), побудуємо чисельну схему для знаходження
значень yν(n;xj), j = 0, n у вузлах iнтерполяцiї xj , по яких сам
многочлен y(n;x) вiдновлюється однозначно.
Слiдуючи працям [1, 2], проведемо дискретизацiю оператор-
ного рiвняння (29)
y(n, x) = y0 +
x∫
x0
An(f(·, y(n, ·)); t) dt,
поклавши в ньому x = xj , j = 1, n, де xj = x0+
h
2
·(ξj+1), j = 0, n
— вузли iнтерполяцiї, якi є результатом лiнiйної пересадки вузлiв
ξj = − cos
jπ
n
, j = 0, n (екстремальних точок многочлена Чеби-
шева II роду Tn(ξ) = cosn arccos ξ) з сегмента [−1, 1] на сегмент
[x0, x0+h]. An, як i ранiше, iнтерполяцiйний оператор по системi
вузлiв {xj}nj=0, який дiє на довiльну функцiю ϕ ∈ C[x0, x0 + h]
за формулою
An(ϕ(·);x) =
n∑
i=0
ϕ(xi)li(x),
в якiй li(x) — фундаментальнi многочлени Лагранжа, побудованi
по системi вузлiв {xj}nj=0 на сегментi [x0, x0 + h]. Пiсля пiдста-
новки отримаємо
y(n, xj) = y0 +
xj∫
x0
n∑
i=0
f(xi, y(n, xi)) · li(t) dt =
= y0 +
n∑
i=0
f(xi, y(n, xi)) ·
xj∫
x0
li(t) dt.
Враховуючи, що
xj∫
x0
li(t) dt =
h
2
·
ξj∫
−1
l∗i (ξ) dξ, де l
∗
i (ξ) — фунда-
ментальнi многочлени Лагранжа, побудованi на [−1, 1] по систе-
76 Я. П. Василенко
мi вузлiв {ξj}nj=0, i позначивши yj := y(n;xj), а
ξj∫
−1
l∗i (ξ) dξ, як i в
роботi [3], через aij , остаточно маємо
yj = y0 +
h
2
·
n∑
i=0
aij · f(xi, yi), j = 1, n. (39)
Явнi формули для коефiцiєнтiв aij , i, j = 0, n i вирази для
многочленiв l∗(ξ) отриманi в роботi [2] (див. також [1]). Наведемо
цi формули
aij =
εi
n
·
[
1− cj +
ci
2
(1− c2j)+
+
n∑
ν=2
ενciν ·
(cj(ν−1)
ν − 1
−
cj(ν+1)
ν + 1
− 2
ν2 − 1
)]
,
(40)
де ε0 = εn =
1
2
, εj = 1 при j = 1, n− 1 i ck = cos
kπ
n
,
l∗i (ξ) = l∗i (n; ξ) =
=
εi
n
·
[
1 + 2 ·
n−1∑
ν=1
(−1)ν cos νiπ
n
· Tν(ξ) + (−1)n+jTn(ξ)
] (41)
(εi набуває тих самих значень).
Для зручностi подальшого викладу введемо позначення
y := (y1, . . . , yn)
T , y0 := (y0, . . . , y0)
T ,
aj := (a0,j , · · · , a0,j)T , j = 1, n,
f(y) :=
(
f(x0, y0), . . . , f(xn, yn)
)T
,
β(y) :=
(
a1 × f(y), . . . , an × f(y)
)T
,
де β(y) — вектор, складений iз скалярних добуткiв векторiв aj i
f(y), j = 1, n.
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 77
Тодi система рiвнянь (39) у векторному виглядi запишеться
таким чином
y = y0 +
h
2
· β(y). (42)
З метою наближеного розв’язання рiвняння (42) скористаємо-
ся методом Ньютона-Канторовича-Рафсона (див. [9, 10, 18]), за-
мiнивши попередньо (42) еквiвалентним йому операторним рiв-
нянням
α(y, y0) = 0, (43)
де
α(y, y0) = y − y0 −
h
2
· β(y).
Наближений розв’язок рiвняння (43) за допомогою методу
Ньютона знаходиться за наступними рекурентними формулами
y0 := y0,
yν+1 = yν −
[
E−h
2
· ∂
∂y
β(yν)
]−1 · α(y, y0), (44)
де
E − h
2
· ∂
∂y
β(yν) =
∂
∂y
α(y, y0) =
= E − h
2
·AT0 · diag
(∂f
∂y
(x1, y1), · · ·
∂f
∂y
(xn, yn),
)
=: D(y),
D(y) = D
(
(x1, . . . , xn); y;
h
2
;A0
)
— матриця розмiрностi n× n,
A0 =
[
ai,j
] n n
i=1,j=1
.
Iз (44) слiдує, що
D(yν)(yν+1 − yν) = −α(yν , y0). (45)
78 Я. П. Василенко
Зауважимо, що матричне рiвняння (45) є безпосередньою дис-
кретизацiєю операторного рiвняння (31) в квазiчебишевських ву-
злах {xj}nj=0. Побудову обчислювальної схеми (алгоритму) мо-
жна було би розпочати, вiдштовхуючись вiд рiвняння (45), отри-
маного iз (31) в результатi пiдстановки x = xj(n). Але далi роз-
глядається спосiб виведення розрахункових формул, який дозво-
ляє поступово (покроково) виконувати обчислення за формулою
(45), зразу ж використовуючи апарат матричного числення, що,
безумовно, надає певнi зручностi при алгоритмiзацiї i складаннi
вiдповiдної комп’ютерної програми.
З метою пiдвищення ефективностi обчислювальних робiт до-
цiльно iтерацiйний процес (44) подати у виглядi двох взаємо-
пов’язаних iтерацiйних процесiв. Для цього запишемо рiвняння
(45) на попереднiй (ν − 1)-й iтерацiї
D(yν−1)(yν − yν−1) = −α(yν−1, y0)
i вiднiмемо останнє рiвняння вiд (45). В результатi отримаємо
D(yν)(yν+1 − yν) = h
2
·
[
β(yν)− β(yν−1)−
− ∂
∂y
β(yν−1)(yν − yν−1)
]
.
Якщо ввести позначення
d
ν
:= β(yν−1)− ∂
∂y
β(yν−1)(yν − yν−1),
то iз попереднього рiвняння будемо мати, що
D(yν)(yν+1 − yν) = h
2
·
[
β(yν)− dν
]
(46)
або ж
yν+1 = yν − h
2
·D−1(yν)
[
β(yν)− dν
]
. (47)
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 79
Рiвняння (47) є основним рiвнянням для обчислення ньюто-
нiвських наближень при розв’язуваннi неявної схеми (39). Пара-
лельно до нього потрiбно робити обчислення векторiв dν . Щоб
отримати рекурентнi спiввiдношення для dν , виразимо dν+1 че-
рез dν
d
ν+1
= β(yν)− ∂
∂y
β(yν)(yν+1 − yν) =
= β(yν)− ∂
∂y
β(yν) · h
2
·D−1(yν)
[
β(yν)− dν
]
=
= β(yν) +D−1(yν)
[
β(yν)− dν
]
−D−1(yν)D−1(yν)
[
β(yν)− dν
]
=
= d
ν
+D−1(yν)
[
β(yν)− dν
]
(48)
Для обчислення компонент вектора d0 покладемо в (45) ν = 0.
Отримаємо
D(y0)(y1 − y0) = −(y0 − y0 −
h
2
· β(y0)),
звiдки випливає, що
y1 = y0 +
h
2
· (β(y0)− 0),
де 0 = (0, · · · , 0).
Порiвнюючи останню рiвнiсть iз (47), отримуємо, що
d
0
= (0, · · · , 0).
Таким чином, рiвняння (47), (48) — це рекурентнi спiввiдно-
шення для реалiзацiї методу Ньютона-Канторовича-Рафсона, за-
стосованого до чисельної схеми (39). Цi рiвняння, як вiдзначало-
ся ранiше, задають паралельний процес чисельної реалiзацiї рiв-
няння (45), яке є безпосередньою дискретизацiєю рiвняння (31).
Зупинимося на оцiнцi похибки чисельної схеми (39).
80 Я. П. Василенко
Згiдно з введеним ранiше позначенням числа yj , j = 0, n є
значеннями наближаючого многочлена y(n;x) в вузлах xj , якi є
результатом лiнiйної пересадки вузлiв ξj = − cos
jπ
n
iз вiдрiзка
[−1, 1] на вiдрiзок [x0, x0 + h], яка здiйснюється за формулою
xj = x0 +
h
2
· (ξj + 1).
Тому, чисельна схема (39) є дискретизацiєю у вузлах xj оператор-
ного рiвняння наступного виду (еквiвалентного рiвнянню (29))
y(n, x) = y0 +
n∑
i=0
f(xi, y(n, xi)) ·
x∫
x0
li(t) dt, (49)
де li(t) — iнтерполяцiйнi фундаментальнi полiноми Лагранжа,
пересадженi на вiдрiзок [x0, x0 + h] за формулою
x = x0 +
h
2
· (ξ + 1), ξ ∈ [−1, 1].
Далi будемо розглядати зсув аргумента x вiдносно x0, який
позначимо через τ , так що x = x0 + τ . При цьому многочлен
y(n;x) = y(n;x0 + τ) буде задовольняти рiвняння
y(n, x0 + τ) = y0 +
x0+τ∫
x0
n∑
i=0
f(x0 + τi, y(n;x0 + τi)) · li(σ) dσ =
= y0 +
x0+τ∫
x0
n∑
i=0
y′(n;x0 + τi) · li(σ) dσ, (50)
в якому τi =
h
2
· (ξi + 1), i = 0, n.
Введемо в розгляд оператор
Eτ (y(x0 + τ)) = y0 +
x0+τ∫
x0
n∑
i=0
y′(n;x0 + τi) · li(σ) dσ, (51)
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 81
Вiдомо, що розв’язок задачi Кошi (1) при вказаних вiдносно
функцiї f(x, y) умовах можна подати у виглядi
y(x0 + τ) = pk(τ) +
1
k!
x0+τ∫
x0
y(k+1)(s)(x0 + τ − s) ds =
= pk(τ) +
1
k!
∞∫
x0
y(k+1)(s)Uk(x0 + τ − s) ds,
де pk(τ) — полiном Тейлора для функцiї y(x0 + τ) k-го порядку,
побудований в точцi x0,
pk(τ) =
k∑
i=0
y(i)(x0)
τ i
i!
,
Uk(x0 + τ − s) =
{
(x0 + τ − s)k, s ≤ τ ;
0, s > τ .
Оскiльки y(n;x0 + τ) = Eτ (y(x0 + τ)) i АI-алгоритм є точним
на полiномах степеня не вище n+ 1, то при довiльних k ≤ n+ 1
будемо мати
Eτ (y(x0 + τ)) = pk(τ) +
1
k!
∞∫
x0
y(k+1)(s)Eτ (Uk(x0 + τ − s)) ds.
При цьому
y(x0 + τ)− y(n;x0 + τ) =
=
1
k!
∞∫
x0
y(k+1)(s)
[
Uk(x0 + τ − s)− Eτ (Uk(x0 + τ − s))
]
ds =
=
1
k!
x0+h∫
x0
y(k+1)(s)
[
Uk(x0 + τ − s)− Eτ (Uk(x0 + τ − s))
]
ds =
82 Я. П. Василенко
=
y(k+1)(sτ )
k!
x0+h∫
x0
[
Uk(x0 + τ − s)− Eτ (Uk(x0 + τ − s))
]
ds, (52)
де sτ — деяка точка iз сегмента x0, x0 + h. Дiя оператора Eτ на
функцiю Uk(x0 + τ − s) згiдно з (51) буде здiйснюватися насту-
пним чином:
Eτ (Uk(x0 + τ − s)) =
x0+τ−s∫
x0−s
n∑
i=0
∂
∂τ
Uk(x0 + τ − s)
∣∣∣∣∣
τ=τi
· li(σ) dσ =
=
n∑
i=0
k · Uk(x0 + τi − s)
x0+τ−s∫
x0−s
li(σ) dσ.
Пiсля замiни σ = x0−s+
h
2
·(θ+1) : [−1, 1]→ [x0−s, x0+h−s],
в силу якої при σ = x0 − τ − s
x0 − τ − s = x0 − s+
h
2
· (θ + 1)→ θ =
2τ
h
− 1,
з врахуванням того, що τj =
h
2
· (ξj + 1)→ θ = ξj , будемо мати
Eτ (Uk(x0 + τ − s)) = h
2
·
n∑
i=0
k · Uk(x0 + τi − s)
2τ
h
−1∫
−1
l∗i (σ) dσ.
Отже
x0+h∫
x0
Eτ (Uk(x0 + τ − s)) ds =
= k · h
2
·
n∑
i=0
[ 2τ
h
−1∫
−1
l∗i (σ) dσ ·
x0+τi∫
x0
Uk(x0 + τi − s) ds
]
=
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 83
= k · h
2
·
n∑
i=0
[ 2τ
h
−1∫
−1
l∗i (σ) dσ ·
1∫
−1
(
τi
2
)k
· (1− σ)k−1 dσ
]
=
=
(
h
2
)k+1
·
n∑
i=0
(ξj + 1)k ·
2τ
h
−1∫
−1
l∗i (σ) dσ. (53)
В останнiх перетвореннях врахованi спiввiдношення
s = x0 +
τ
2
· (σ + 1),
x0 + τi − s = x0 + τi − x0 −
τi
2
· (θ + 1) =
τi
2
· (θ + 1),
τi =
h
2
(ξi + 1).
Крiм того,
x0+h∫
x0
Uk(x0 + τ − s) ds =
x0+τ∫
x0
(x0 + τi − s)k ds =
=
(
τi
2
)k+1 1∫
−1
(1− σ)k dσ =
1
k + 1
· τk+1, (54)
(s = x0 +
τ
2
(σ + 1)).
Пiдставляючи (53) i (54) в (52), отримуємо
y(x0 + τj)− y(n;x0 + τj) =
y(k+1)(sτ )
k!
·
84 Я. П. Василенко
·
[
1
k + 1
(h
2
)k+1
(ξi + 1)k+1 −
(h
2
)k+1
n∑
i=0
ai,j · (ξi + 1)k
]
=
=
(h
2
)k+1
·
[
(ξi + 1)k+1
k + 1
−
n∑
i=0
ai,j · (ξi + 1)k
]
· y
(k+1)(sτ )
k!
.
При цьому, поклавши k = n+ 1, остаточно отримуємо
n∑
j=1
|y(x0 + τj)− y(n;x0 + τj)| ≤
max
s∈[x0,x0+h]
|y(n+2)(s)|
(n+ 1)!
·
=
(h
2
)n+2
·
n∑
j=1
∣∣∣(ξi + 1)n+2
n+ 2
−
n∑
i=0
ai,j · (ξi + 1)n+1
∣∣∣.
Остання нерiвнiсть в силу попереднiх позначень дає оцiнку
зверху для суми вiдхилень отриманих наближень yj у вузлах
xj , j = 1, n вiд їх точних значень, а саме:
n∑
j=1
|y(x0 + τj)− y(n;x0 + τj)| ≤
≤‖ y(n+2)(s) ‖C[x0,x0+h] ·
(h
2
)n+2 γn
(n+ 1)!
, (55)
де
γn =
n∑
j=1
∣∣∣(ξi + 1)n+2
n+ 2
−
n∑
i=0
ai,j · (ξi + 1)n+1
∣∣∣.
Наприкiнцi зазначимо, що даний АI-алгоритм без труднощiв
переноситься на системи звичайних диференцiальних рiвнянь (у
цьому випадку в нерiвностях (28), (37) i (55) з’являться додатковi
константи, якi залежать вiд кiлькостi рiвнянь).
Описаний алгоритм тестувався на рядi прикладiв (зокрема, на
прикладах Слоневського Р. В. [19]) i результати порiвнювалися
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 85
з чисельними розв’язками, отриманими за допомогою програми,
яка реалiзує добре вiдомий метод Гiра (див., наприклад, [6]).
Пiсля аналiзу результатiв з’ясувалось, що обидва методи ма-
ють невеликi вiдмiнностi за обчислювальними затратами, але АI-
метод володiє тiєю перевагою, що дає рiвномiрне наближення
шуканого розв’язку на всьому промiжку з можливiстю отриман-
ня наближаючих полiномiв в деякiй комплекснiй областi, тодi як
метод Гiра наближає шуканий розв’язок на дискретнiй множинi
точок. Крiм того, програма, складена за АI-алгоритмом, успiшно
працює на межi машинної точностi.
Цiкавою є перспектива замiни у даному пiдходi похiдної
Фреше рiзницями Ейткена-Стефенсена, що потребує проведен-
ня подальших дослiджень.
Лiтература
[1] Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференци-
альных и интегральных уравнений. – Киев: Наукова думка, 1988 –
304 с.
[2] Дзядык В. К. Аппроксимационно-итеративный метод прибли-
жения полиномами решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и
мат. физики. — 1986. — 26, № 3. — С. 357–372.
[3] Dzjadik V. Polynomial approximation to the solutions of the Cauchy
and Goursat problems with applications // Colloquia mathematica
societatis Janos Bolyai. —- Budapest (Hungary), 1980. — 35. Functi-
ons, series operators. —- P. 441–448.
[4] Дзядык В. К., Басов А. М. Об эффективном решении краевых за-
дач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. —
Киев, 1990. — 21 с. — (Препр./АН Украины. Институт математи-
ки; 90.29).
[5] Ракитский Ю. В., Устинов С. М. Численные методы решения
жестких задач. – Москва: Наука, 1978. – 208 с.
86 Я. П. Василенко
[6] Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: Наука,
1979. – 208 с.
[7] Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для
жестких нелинейных дифференциальных уравнений. – Москва:
Мир, 1988. – 384 с.
[8] Федоренко Р. П. О жестких системах обыкновенных дифференци-
альных уравнений // Численное решение обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. — Москва: Ин-т прикладной математики
АН СССР, 1988. — С. 17–52.
[9] Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. При-
ближенное решение операторных уравнений. – Москва: Наука,
1969. – 456 с.
[10] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – Мо-
сква: Наука, 1981. – 544 с.
[11] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и фун-
кционального анализа. – Москва: Наука, 1984. – 752 с.
[12] Канторович Л. В. О методе Ньютона // Тр. Матем. ин-та им.
В. А. Стеклова. — 1949. — 28. — С. 104–144.
[13] Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения метода
Ньютона // Вестник Ленинград. ун-та. — 1957. — №7. — С. 68–103.
[14] Захаров А. Ю., Турчанинов В. И. STIFF-программа решения жес-
тких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мо-
сква, 1977. — 43 с. — (Препр./АН СССР. Институт прикладной
математики).
[15] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная матема-
тика. – Москва: Мир, 1969.
[16] Dzjadik V. K., Ivanov V. V. On some asymptotics and estimates
for the uniform norms of the Lagrange interpolation polinomials
corresponding to the Chebyshev nodal points // Anal. Math. – 1983. –
9. – P. 85–97.
[17] Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилу-
чшее приближение непрерывных функций одной вещественной
Про використання iтерацiйного процесу Ньютона-Канторовича ... 87
переменной. Часть I. – Москва; Ленинград: Главная редакция об-
щетехнической литературы, 1937. – 203 с.
[18] Чуа Л. О., Лин Пен-Мин Машинный анализ электронных схем. –
Москва: Энергия, 1980. – 638 с.
[19] Слоневский Р. В. Явные дробно-рациональные и итерационные
методы решения жестких дифференциальных уравнений. — Ки-
ев, 1986. — 12 с. — Деп. в УкрНИИНТИ 19.04.1986, №644.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-252 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:20Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5f/1ba5621a6c96fcf08e066c88e621055f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2522018-01-23T09:13:23Z On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method Про використання ітераційного процесу Ньютона-Канторовича в апроксимаційно-ітеративному методі Vasylenko, Ya. P. Василенко, Я. П. In the paper, we design and prove a way to use approximately-iterative method to receive uniform approximations for solutions to stiff problems for ordinary differential equations based on the iterative Newton-Kantorovich process. We receive an estimate for the deviation of approximative polynomials from the exact solution in the uniform metric. У роботі розроблений і обґрунтований спосіб застосування апроксимаційно-ітеративного методу для отримання рівномірних наближень розв'язків жорстких задач для звичайних диференціальних рівнянь на базі ітераційного процесу Ньютона-Канторовича. Отримана оцінка відхилення наближаючих поліномів від точного розв'язку у рівномірній метриці. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/252 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 55-87 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 55-87 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 55-87 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/252/227 Авторське право (c) 2016 Я. П. Василенко |
| spellingShingle | Vasylenko, Ya. P. Василенко, Я. П. On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title | On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title_alt | Про використання ітераційного процесу Ньютона-Канторовича в апроксимаційно-ітеративному методі |
| title_full | On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title_fullStr | On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title_full_unstemmed | On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title_short | On application of iterative Newton-Kantorovich process in approximately-iterative method |
| title_sort | on application of iterative newton-kantorovich process in approximately-iterative method |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/252 |
| work_keys_str_mv | AT vasylenkoyap onapplicationofiterativenewtonkantorovichprocessinapproximatelyiterativemethod AT vasilenkoâp onapplicationofiterativenewtonkantorovichprocessinapproximatelyiterativemethod AT vasylenkoyap provikoristannâíteracíjnogoprocesunʹûtonakantorovičavaproksimacíjnoíterativnomumetodí AT vasilenkoâp provikoristannâíteracíjnogoprocesunʹûtonakantorovičavaproksimacíjnoíterativnomumetodí |