Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics
We obtain exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with an arbitrary choice of harmonics in the space $L_q $.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/253 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552751904325632 |
|---|---|
| author | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Власик",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Vlasyk, H. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T15:33:17Z |
| description | We obtain exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with an arbitrary choice of harmonics in the space $L_q $. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 88–100
УДК 517.956.223
Г. М. Власик
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Оцiнки норм узагальнених похiдних
ядер типу Дiрiхле з довiльним
вибором гармонiк
annawlasik@gmail.com
We obtain exact order estimates of the norms of generalized derivati-
ves of the Dirichlet type kernels with an arbitrary choice of harmonics
in the space Lq.
Отримано точнi за порядком оцiнки норм узагальнених похiдних
ядер типу Дiрiхле з довiльним вибором гармонiк у просторi Lq.
1. Вступ
У роботi дослiджуються можливостi тригонометричних полiно-
мiв з довiльним вибором гармонiк по вiдношенню до вiдомої про-
блеми Лiттлвуда, а саме: чи може ядро типу Дiрiхле з довiльним
вибором гармонiк мати кращi диференцiальнi властивостi, нiж
класичне ядро Дiрiхле? Бiльш детальнiше на цьому зупинимося
нижче, а спочатку наведемо необхiднi позначення та означення,
якi будуть нами використовуватися.
c© Г. М. Власик, 2016
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 89
Нехай Lq — простiр 2π–перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞), функцiй
f на вiдрiзку [−π, π]. Норма в цьому просторi визначається таким
чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈[−π,π]
|f(x)| , q =∞.
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(x)e−ikxdx — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Далi нехай ψ(τ) 6= 0, τ ∈ N, — довiльна функцiя натурального
аргументу, β — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
f̂(k)
ψ(|k|)
ei(kx+β π
2
signk)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи
О. I. Степанця [1, с. 25] (див. також [2, Т.I, с. 132]), назвемо
(ψ, β)–похiдною функцiї f i позначимо fψβ . Зауважимо, що якщо
ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z\{0}, то (ψ, β)–похiдна функцiї f спiв-
падає з її (r, β)–похiдною (позначення f rβ) в сенсi Вейля–Надя.
Через Ψ позначимо множину функцiй ψ(τ), τ ∈ N, що задо-
вольняють умови:
1) ψ(τ) — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(τ)
ψ(2τ)
≤ C.
90 Г. М. Власик
Зазначимо, що до множини Ψ належать, наприклад, функцiї
1
τr , r > 0; lnγ(τ+1)
τr , γ ∈ R, r > 0, τ ∈ N, та iн.
Надалi, для величин A i B запис A � B означає, що iснують
додатнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки
B ≤ C2A (B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A).
Зупинимося коротко на iсторiї дослiджуваного питання. У
1948 р. Дж. Лiттлвуд висловив гiпотезу [3]:
для будь-якого набору цiлих чисел j1, ..., jm справедлива нерiв-
нiсть ∥∥∥∥ m∑
n=1
eijnx
∥∥∥∥
1
� lnm.
Зазначимо, що для класичного ядра Дiрiхле добре вiдомо (див.,
наприклад, [4, с. 25]), що
‖Dm‖1 =
∥∥∥∥ m∑
k=−m
eikx
∥∥∥∥
1
� lnm.
Позитивний розв’язок гiпотези Лiттлвуда незалежно i майже
одночасно було одержано С. В. Конягiним [5] та Мак-Гi, Пiно i
Смiтом [6] у 1981 р. Згодом В. М. Тихомиров у оглядi [7] запро-
понував узагальнити задачу Лiттлвуда i дослiдити асимптотику
при m→∞ величини виду
Lm(r, q) = inf
jn∈Km
∥∥∥∥( m∑
n=1
eijnx
)r∥∥∥∥
q
, (1)
де Km — довiльний набiр рiзних цiлих чисел j1, ..., jm, а похiдна
порядку r ≥ 0 розумiється в сенсi Вейля.
Величину (1), наслiдуючи В. Є. Майорова, далi будемо на-
зивати константою Лебега–Лiттлвуда. Першi оцiнки величини
Lm(r, q) були отриманi В. Є. Майоровим [8]. Згодом Е. С. Бе-
лiнським [9] було доповнено результати з [8]. Також дослiджен-
ня величини (1) було поширено i на багатовимiрний випадок у
роботах [10,11].
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 91
Зауважимо, що ранiше порядковi оцiнки норм похiдних класи-
чного ядра Дiрiхле Dm у просторi Lq, 1 < q <∞, як в одновимiр-
ному, так i в багатовимiрному випадку було отримано Е. М. Га-
лєєвим [12].
Природно звернути увагу на порядковi оцiнки норм класично-
го ядра Дiрiхле та ядра типу Дiрiхле, гармонiки якого беруться
в довiльному порядку. Iз робiт [8] та [9] для ядра типу Дiрiхле
випливає, що
Lm(0, 1) � lnm;
Lm(0, q) � m1−1/q, 1 < q ≤ 2;
Lm(0, q) � m1/2, 2 < q <∞.
У той же час, для класичного ядра Дiхрiхле добре вiдомо (див.,
наприклад, [4, с. 25.]), що
‖Dm‖1 � lnm;
‖Dm‖q � m1−1/q, 1 < q <∞; (2)
‖Dm‖∞ � m.
Метою нашої роботи є встановлення порядкових оцiнок вели-
чини
Lm(ψ, β, q) = inf
jn∈Km
∥∥∥∥( m∑
n=1
eijnx
)ψ
β
∥∥∥∥
q
при 1 < q <∞ i певних умовах на послiдовнiсть ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N.
2. Допомiжнi твердження
У цьому пунктi сформулюємо декiлька вiдомих тверджень, якi
будуть нами використовуватися при доведеннi отриманих ре-
зультатiв.
92 Г. М. Власик
Нехай T (m) — множина полiномiв t виду
T (m) =
{
t : t(x) =
m∑
k=−m
cke
ikx
}
.
Тодi має мiсце твердження.
Твердження А [2, Т.II, с. 115]. Нехай 1 < q <∞, ψ(τ), τ ∈ N, —
довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел. Тодi для
довiльного полiнома t ∈ T (m) справедлива оцiнка
‖tψβ‖q � ψ−1(m)‖t‖q.
Нехай f ∈ Lq, 1 < q <∞. Для s ∈ Z+ розглянемо множину
ρ(s) =
{
k ∈ Z : [2s−1] ≤ |k| < 2s
}
i покладемо
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)eikx.
Теорема А (Лiттлвуда–Пелi) (див., наприклад, [4, с. 17]). Нехай
задано 1 < q <∞. Тодi iснують додатнi сталi C3(q), C4(q) такi,
що для кожної функцiї f ∈ Lq має мiсце оцiнка
C3(q)‖f‖q ≤
∥∥∥∥∥
∑
s∈Z+
|δs(f, ·)|2
1/2 ∥∥∥∥∥
q
≤ C4(q)‖f‖q.
Теорема Б (Хаусдорфа–Юнга) (див., наприклад, [4, с. 16]). Не-
хай 1 < q ≤ 2 i 1
q + 1
q′ = 1. Тодi для будь-якої функцiї f ∈ Lq
‖f‖q ≥
(∑
k∈Z
|f̂(k)|q′
)1/q′
.
Якщо послiдовнiсть {ck} є такою, що∑
k∈Z
|ck|q <∞,
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 93
то тодi iснує функцiя f ∈ Lq′ для якої f̂(k) = ck i
‖f‖q′ ≤
(∑
k∈Z
|f̂(k)|q
)1/q
.
3. Основнi результати
Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай ψ(τ), τ ∈ N, — додатня i незростаюча по-
слiдовнiсть, β ∈ R i 2 < q <∞. Тодi справедлива оцiнка
Lm(ψ, β, q)� ψ−1(m)m1−1/q. (3)
Якщо ж ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N, i, крiм того, iснує таке ε > 0, що
послiдовнiсть ψ(τ)τ1/q+ε не зростає, то
Lm(ψ, β, q) � ψ−1(m)m1−1/q.
Доведення. Доведемо оцiнку зверху в (3) у бiльш загальному
випадку, а саме для незростаючих функцiй ψ(τ), τ ∈ N, i 1 < q <
∞.
Розглянемо ядро Дiрiхле Dm(x) =
∑
|k|≤m
eikx й оцiнимо зверху
величину ‖(Dm)ψβ‖q. Оскiльки функцiя Dm(x) — тригонометри-
чний полiном iз множини T (m), то, скориставшись тверджен-
ням А, отримаємо
‖(Dm)ψβ‖q � ψ−1(m)‖Dm‖q.
Звiдси, згiдно зi спiввiдношенням (2), будемо мати
Lm(ψ, β, q)� ‖(Dm)ψβ‖q � ψ−1(m)m1−1/q.
Тепер встановимо вiдповiдну оцiнку знизу. Не змен-
шуючи загальностi, будемо вважати, що Km = {j1, ..., jm},
94 Г. М. Власик
0 < j1 < ... < jm, — довiльний набiр iз m натуральних чисел,
ms = |Km ∩ ρ(s)|, s ∈ Z+. Тодi, використовуючи теорему А та
нерiвнiсть(∑
l
|al|2
)1/2
≥
(∑
l
|al|q
)1/q
, 2 ≤ q <∞, (4)
отримаємо ∥∥∥∥( m∑
k=1
eijkx
)ψ
β
∥∥∥∥
q
≥
≥
( π∫
−π
∣∣∣∣ ∑
jk∈Km
ψ−1(jk)e
ijkx
∣∣∣∣qdx)1/q
�
�
( π∫
−π
( ∑
s∈Z+
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∣∣∣∣2)q/2dx)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
π∫
−π
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∣∣∣∣qdx)1/q
. (5)
Далi, покладемо
∆s = [π2−(s+3), π2−(s+2)]
i зауважимо, що оскiльки jks ∈ Km∩ρ(s) i x ∈ ∆s, то cos jksx ≥ 1
2 .
Тодi для спiввiдношення (5) маємо
Lm(ψ, β, q)�
�
( ∑
s∈Z+
π∫
−π
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks) cos(jksx)
∣∣∣∣qdx)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
∫
∆s
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks) cos jksx
∣∣∣∣qdx)1/q
�
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 95
�
( ∑
s∈Z+
|∆s|
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)
∣∣∣∣q)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(2s−1)2−smq
s
)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(2s)2−smq
s
)1/q
. (6)
Нехай
I1 = ψ−q(2s)2−smq
s, (7)
де ms ≤ 2s i ∑
s∈Z+
ms = m.
Виберемо µ > 0 так, щоб 2µ−1 ≤ m ≤ 2µ i∑
s≤µ
ms ≤
∑
s≤µ
2s ≤ C52µ ≤ m
2
.
У такому випадку повинно виконуватися спiввiдношення∑
s>µ
ms ≥ C6
m
2
. (8)
Крiм цього, безпосередньо з (7) випливає, що
ms = I
1/q
1 ψ(2s)2s/q (9)
i тому, згiдно з (8) i (9), оскiльки послiдовнiсть ψ(τ)τ1/q+ε, τ ∈ N,
не зростає, отримаємо
m�
∑
s>µ
ms = I
1/q
1
∑
s>µ
ψ(2s)2s/q =
= I
1/q
1
∑
s>µ
ψ(2s)2s/q2sε2−sε �
96 Г. М. Власик
� I
1/q
1 ψ(2µ)2µ/q2µε
∑
s>µ
2−sε �
� I
1/q
1 ψ(2µ)2µ/q2µε2−µε =
= I
1/q
1 ψ(2µ)2µ/q. (10)
З (10) знаходимо
I1 � ψ−q(2µ)2−µmq
або
I1 � ψ−q(m)m−1mq = ψ−q(m)mq−1. (11)
Таким чином, спiвставивши (6), (7) i (11), приходимо до шу-
каної оцiнки знизу:
Lm(ψ, β, q)�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(m)mq−1
)1/q
� ψ−1(m)m1−1/q.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ(τ), τ ∈ N, — додатня i незростаюча по-
слiдовнiсть, β ∈ R i 1 < q ≤ 2. Тодi справедлива оцiнка
Lm(ψ, β, q)� ψ−1(m)m1−1/q.
Якщо ж ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N, i, крiм того, iснує таке ε > 0, що
послiдовнiсть ψ(τ)τ ε не зростає, то
Lm(ψ, β, q) � ψ−1(m)m1−1/q.
Доведення. Оцiнка зверху встановлена при доведеннi попере-
дньої теореми в бiльш загальному випадку, а саме для 1 < q <∞.
Одержимо вiдповiдну оцiнку знизу. При цьому, як i при
доведеннi оцiнки знизу в теоремi 1, будемо вважати, що
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 97
Km = {j1, ..., jm}, 0 < j1 < ... < jm, — довiльний набiр iз m нату-
ральних чисел, ms = |Km ∩ ρ(s)|, s ∈ Z+. Тодi, використовуючи
теорему А та нерiвнiсть (4), отримаємо∥∥∥∥( m∑
k=1
eijkx
)ψ
β
∥∥∥∥
q
≥
≥
( π∫
−π
∣∣∣∣ ∑
jk∈Km
ψ−1(jk)e
ijkx
∣∣∣∣qdx)1/q
�
�
( π∫
−π
( ∑
s∈Z+
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∣∣∣∣2)q/2dx)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
π∫
−π
∣∣∣∣ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∣∣∣∣qdx)1/q
=
=
( ∑
s∈Z+
∥∥∥∥ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∥∥∥∥q
q
)1/q
. (12)
Далi, використовуючи теорему Б, з (12) отримаємо
Lm(ψ, β, q)�
�
( ∑
s∈Z+
∥∥∥∥ ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−1(jks)e
ijksx
∥∥∥∥q
q
)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
( ∑
jks∈Km∩ρ(s)
ψ−q
′
(jks)
)q/q′)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
(
ψ−q
′
(2s−1)ms
)q/q′)1/q
�
98 Г. М. Власик
�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(2s−1)mq/q′
s
)1/q
�
�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(2s)mq/q′
s
)1/q
. (13)
Нехай
I2 = ψ−q(2s)mq/q′
s , (14)
де ms ≤ 2s i ∑
s∈Z+
ms = m.
Виберемо µ > 0 так, щоб 2µ−1 ≤ m ≤ 2µ i∑
s≤µ
ms ≤
∑
s≤µ
2s ≤ C72µ ≤ m
2
.
У такому випадку повинне виконуватися спiввiдношення∑
s>µ
ms ≥ C8
m
2
. (15)
Крiм цього, безпосередньо з (14) випливає, що
ms = I
q′/q
2 ψq
′
(2s). (16)
i тому, згiдно з (15) i (16), оскiльки послiдовнiсть ψ(τ)τ ε, τ ∈ N,
не зростає, отримаємо
m�
∑
s>µ
ms = I
q′/q
2
∑
s>µ
ψq
′
(2s) =
= I
q′/q
2
∑
s>µ
ψq
′
(2s)2sε2−sε � I
q′/q
2 ψq
′
(2µ)2µε
∑
s>µ
2−sε �
� I
q′/q
2 ψq
′
(2µ)2µε2−µε = I
q′/q
2 ψq
′
(2µ). (17)
Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле... 99
З (17) знаходимо
I2 � ψ−q(2µ)mq/q′
або
I2 � ψ−q(m)mq/q′ . (18)
Таким чином, спiвставивши (13), (14) i (18), приходимо до
шуканої оцiнки знизу:
Lm(ψ, β, q)�
( ∑
s∈Z+
ψ−q(m)mq/q′
)1/q
� ψ−1(m)m1/q′ = ψ−1(m)m1−1/q.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. Якщо ψ(|k|) = |k|−r, β = 0, r > 1/q при
2 < q <∞ i r > 0 при 1 < q ≤ 2, то оцiнки вiдповiдних вели-
чин встановлено у роботi [8].
Зауваження 2. З одержаних результатiв у теоремах 1 – 2 випли-
ває, що норми (ψ, β)–похiдних у метрицi простору Lq, 1 < q <∞,
при вiдповiдних обмеженнях на ψ(τ), τ ∈ N, як для класичного
ядра Дiрiхле, так i для ядра типу Дiрiхле з довiльним вибором
гармонiк мають однаковi порядки.
Лiтература
[1] Степанец А. И. Классификация и приближение периодических
функций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
[2] Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — К.: Ин-т
математики НАН Украины, 2002. — 40. — Т. I. — 427 с.; Т. II. —
468 с.
[3] Hardy G. H., Littlewood J. A. A new proof of a theorem of
rearrangements // Jour. of the L. M. Soc. — 1948. — 23, no. 91. —
P. 163–168.
100 Г. М. Власик
[4] Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. — New York:
Nova Sci. Publ. Inc., 1993. — 419 p.
[5] Конягин С. В. О проблеме Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер.
мат. — 1981. — 45, № 2. — С. 243–265.
[6] McGehe O. C., Pigno L., Smith B. Hardy inequality and L1-norm of
exponential sums // Ann. Math. — 1981. — 113, № 3. — P. 613–618.
[7] Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные пробле-
мы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. —
1987. — 14. — С. 103–260.
[8] Майоров В. Е. Неравенства Бернштейна–Никольского и оценки
норм ядер Дирихле для тригонометрических полиномов по прои-
звольным гармоникам // Мат. заметки. — 1990. — 47, № 6. —
С. 55–61.
[9] Белинский Э. С. Две экстремальные задачи для тригонометриче-
ских полиномов с заданным числом гармоник // Мат. заметки. —
1991. — 49, № 1. — С. 12–18.
[10] Galeev E. M. Approximation of periodic functions of one and several
variables // Constructive theory of Functions’87. — Sofia. — 1988. —
P. 138 – 144.
[11] Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм сме-
шаных производных тригонометрических полиномов с заданным
числом гармоник // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., мех. — 1991. —
2. — С. 3–7.
[12] Галеев Э. М. Порядковые оценки производных периодического
многомерного α–ядра Дирихле в смешаной норме // Матем. сб. —
1982. — 117(159), № 1. — С. 32–43.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-253 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/21/df57b76a022c5a5d344264243b917321.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2532018-01-29T15:33:17Z Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics Оцінки норм узагальнених похідних ядер типу Діріхле з довільним вибором гармонік Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. We obtain exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with an arbitrary choice of harmonics in the space $L_q $. Отримано точні за порядком оцінки норм узагальнених похідних ядер типу Діріхле з довільним вибором гармонік у просторі $L_q $. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/253 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 88-100 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 88-100 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 88-100 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/253/228 Авторське право (c) 2016 Г. М. Власик |
| spellingShingle | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title | Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title_alt | Оцінки норм узагальнених похідних ядер типу Діріхле з довільним вибором гармонік |
| title_full | Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title_fullStr | Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title_full_unstemmed | Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title_short | Estimates of norms of generalized derivatives of the Dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| title_sort | estimates of norms of generalized derivatives of the dirichlet type kernels with arbitrary choice of harmonics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/253 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykhm estimatesofnormsofgeneralizedderivativesofthedirichlettypekernelswitharbitrarychoiceofharmonics AT vlasikgm estimatesofnormsofgeneralizedderivativesofthedirichlettypekernelswitharbitrarychoiceofharmonics AT vlasykhm ocínkinormuzagalʹnenihpohídnihâdertipudíríhlezdovílʹnimviboromgarmoník AT vlasikgm ocínkinormuzagalʹnenihpohídnihâdertipudíríhlezdovílʹnimviboromgarmoník |