Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces.
We find sufficient conditions under which solutions to multi-point boundary-value problems for systems of first order linear differential equations are continuous with respect to the parameter in the Slobodetsky space $W_p^{s+1}\left((a,b),\mathbb{C}^m\right)$.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/254 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552751589752832 |
|---|---|
| author | Hnyp, Ye. V. Гнип, Є. В. |
| author_facet | Hnyp, Ye. V. Гнип, Є. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Є. В. Гнип",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Hnyp, Ye. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T15:53:47Z |
| description | We find sufficient conditions under which solutions to multi-point boundary-value problems for systems of first order linear differential equations are continuous with respect to the parameter in the Slobodetsky space $W_p^{s+1}\left((a,b),\mathbb{C}^m\right)$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 101–110
УДК 517.927
Є. В. Гнип
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Неперервнiсть за параметром
розв’язкiв некласичних
багатоточкових крайових задач
у просторах Слободецького
evgeniyagnyp27@gmail.com
We find sufficient conditions under which solutions to multi-point
boundary-value problems for systems of first order linear differenti-
al equations are continuous with respect to the parameter in the
Slobodetsky space W s+1
p ((a, b),Cm).
Знайдено новi достатнi умови, за яких розв’язки багатоточкових
лiнiйних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь
першого порядку неперервнi за параметром у просторi Слободе-
цького W s+1
p ((a, b),Cm)
1. Вступ
Багатоточковi крайовi задачi є класичним об’єктом дослiджен-
ня теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь [1] – [5]. Неперерв-
нiсть за параметром їх розв’язкiв в рiвномiрнiй нормi ‖·‖∞ дослi-
джувалась, наприклад, у роботах [1, 6], а в [7, 8] неперервнiсть
c© Є. В. Гнип, 2016
102 Є. В. Гнип
вiдносно норми ‖ · ‖n,p просторiв Соболєва Wn
p , яка сильнiша,
нiж рiвномiрна норма простору (C)m. Цiкавими для вивчення є
некласичнi багатоточковi крайовi задачi, якi мiстять в собi по-
хiднi вищого порядку, нiж порядок диференцiального рiвняння.
Наприклад, в роботi [2], [9] встановлено умови неперервної зале-
жностi розв’язку y(·) вiд параметра лiнiйної неоднорiдної багато-
точкової крайової задачi для систем диференцiальних рiвнянь у
просторi C(n) всiх n раз неперервно диференцiйованих функцiй.
У цiй роботi дослiджується некласична багатоточкова лiнiй-
на крайова задача на вiдрiзку [a, b] для систем диференцiаль-
них рiвнянь першого порядку у просторах Слободецького. Мета
роботи — доповнити результати роботи [10], тобто, встановити
конструктивнi достатнi умови неперервностi розв’язкiв за малим
параметром даної задачi.
2. Постановка задачi
Нехай заданi числа p ∈ (1,∞), m ∈ N, s ∈ R+ \Z+, s := [s] + {s},
де [s] ∈ N, 0 ≤ {s} < 1 i скiнченний iнтервал (a, b) ⊂ R. Вве-
демо позначення: W s
p := W s
p ((a, b),C),
(
W s
p
)m
:= W s
p ((a, b),Cm),(
W s
p
)m×m
:= W s
p ((a, b),Cm×m) є простори Слободецького на iн-
тервалi (a, b) вiдповiдно комплекснозначних функцiй, вектор-
функцiй i матриць-функцiй.
Простiр Слободецького W s
p з нецiлим додатним s означає-
ться [11] (п.2.5.1, зауваж. 4) як простiр функцiй f , якi належать
простору Соболєва W [s]
p i задовольняють умову
‖f‖s,p := ‖f‖[s],p +
b∫
a
b∫
a
|f [s](x)− f [s](y)|p
|x− y|1+{s}p
dxdy
1/p
< +∞,
де ‖f‖[s],p норма в просторi СоболєваW
[s]
p . Тут, звiсно,W 0
p := Lp.
Функцiонал ‖f‖s,p є нормою на просторi W s
p .
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв... 103
Розглянемо на (a, b) неоднорiдну багатоточкову крайову за-
дачу для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого по-
рядку, яка залежить вiд параметра ε ∈ [0, ε0), де ε0 > 0
L(ε)y(t, ε) ≡ y′(t, ε) +A(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε), t ∈ [a, b], (1)
B(ε)y(·, ε) ≡
[s]+1∑
l=0
p∑
i=0
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε), ε) = c(ε), (2)
де матриця-функцiї A(·; ε) ∈
(
W s
p
)m×m, вектор-функцiї f(·; ε) ∈(
W s
p
)m, вектори c(ε) ∈ Cm, матрицi α(l)
i,j(ε) ∈ Cm×m, a точки
ti ∈ [a, b] мають вiдповiдну серiю точок ti,j , де i ∈ 0, p, j ∈
1, ki, ki ∈ N, l ∈ 0, [s] + 1.
Розв’язком цiєї крайової задачi є вектор-функцiя y(·) ∈
(W s+1
p )m, яка задовольняє рiвняння (1) в кожнiй точцi [a, b] (при
[s] = 0, майже скрiзь). Крiм того, y(·) повинна задовольняти рiв-
нiсть (2).
Використання у крайовiй умовi повторної суми за iндексами
i i j зумовлено подальшими припущеннями щодо поведiнки то-
чок ti,j(ε) при ε → 0+ у залежностi вiд значень параметра i.
Вимагатиметься, щоб для кожного фiксованого i ∈ 0, p усi точки
ti,j(ε) мали спiльну границю при ε→ 0+, а для точок t0,j(ε) така
вимога не висуватиметься.
З огляду на це, у граничному випадку ε = 0 розглядається
така крайова задача:
L(0)y(t; 0) = f(t, 0), t ∈ [a, b], (3)
B(0)y(·, 0) ≡
[s]+1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i (0)y(l)(ti(0); 0) = c(0), (4)
де матрицi α(l)
i (0) ∈ Cm×m, точки ti ∈ [a, b] та вектор c(0) ∈ Cm
є заданими.
104 Є. В. Гнип
Звiсно, для кожного ε ∈ [0, ε0) лiнiйне вiдображення y(·, ε) 7→
B(ε)y(·, ε) є обмеженим оператором
B(ε) :
(
W s+1
p
)m → Cm. (5)
Умова (2) є некласичною, бо мiстить в собi похiднi шуканої
вектор-функцiї до порядку [s]+1 включно, отже, вищого поряд-
ку, нiж порядок диференцiального рiвняння.
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параме-
тра ε ≥ 0, то закономiрно виникає питання про неперервнiсть
розв’язкiв y(·, ε) такої задачi за параметром ε в банаховому про-
сторi
(
W s+1
p
)m. Мета роботи полягає в тому, щоб знайти доста-
тнi умови iснування єдиного розв’язку та виконання граничного
спiввiдношення
‖y(·, ε)− y(·, 0)‖s+1,p → 0 при ε→ 0 + . (6)
3. Результати
Крайовiй задачi (1), (2) при кожному ε ∈ (0, ε0) вiдповiдає лiнiй-
ний обмежений оператор
(L(ε), B(ε)) :
(
W s+1
p
)m → (
W s
p
)m × Cm. (7)
Оскiльки дана задача є тотальною щодо простору
(
W s+1
p
)m,
то, як показано в [10], оператор (7) є фредгольмовим з iндексом
нуль для кожного ε ∈ [0, ε0).
Надалi вважатимемо, що виконується
Припущення 1. Однорiдна гранична крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, t ∈ [a, b], B(0)y(·, 0) = 0, (8)
має лише тривiальний розв’язок.
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв... 105
Звiдси випливає, що при ε = 0 фредгольмiв оператор (7) є
iзоморфiзмом
(L(0), B(0)) :
(
W s+1
p
)m → (
W s
p
)m × Cm.
Тому крайова задача (3),(4) має один i тiльки один розв’язок
y(t, 0) ∈
(
W s+1
p
)m для довiльно вибраних правих частин f(t, 0) ∈(
W s
p
)m i c(0) ∈ Cm.
Сформулюємо основний результат
Теорема 1. Нехай при ε→ 0+ виконуються умови:
1) ‖A(·; ε)−A(·; 0)‖s,p → 0;
2) ti,j(ε)→ ti для будь-яких i ∈ 1, p та j ∈ 1, ki;
3)
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)→ α
(l)
i для будь-яких l ∈ 0, [s] + 1 та i ∈ 1, p;
4) |α(l)
i,j(ε)| |ti,j(ε)−ti| → 0 та |α([s]+1)
i,j (ε)| = O(1) для будь-яких
l ∈ 0, [s], i ∈ 1, p та j ∈ 1, ki;
5) α(l)
0,j(ε)→ 0 для будь-яких l ∈ 0, [s] + 1 та j ∈ 1, k0.
Тодi для достатньо малих ε > 0 оператор (L(ε), B(ε)) оборо-
тний. Якщо, окрiм того,
6) ‖f(·; ε)− f(·; 0)‖n,p → 0 i c(ε)→ c(0) при ε→ 0+,
то єдиний розв’язок y(·; ε) задачi (1), (2) задовольняє граничне
спiввiдношення (6).
Таким чином встановленi конструктивнi достатнi умови не-
перервностi розв’язкiв за малим параметром задачi (1), (2). Це
досягається завдяки тому, що умови на коефiцiєнти при похiдних
шуканої функцiї у крайових операторах ставляться окремо для
цiлої серiї точок, якi залежать вiд параметра i мають спiльну
граничну точку.
106 Є. В. Гнип
4. Доведення
Позначимо M(W s
p ) := {ϕ : ϕf ∈ W s
p ,∀f ∈ W s
p } — простiр муль-
типлiкаторiв на класi W s
p . При s ∈ (0, 1p ] i p > 1 простiр W s
p
мiстить необмеженi функцiї, якi не будуть мультиплiкаторами в
W s
p . Тому для вказаних значень s i p простiр W s
p не є алгеброю
вiдносно множення. Тодi в роботi [10] було встановлено наступне
Твердження 1. Нехай p > 1, s ∈ (0, 1). Тодi W 1
p ⊂ M(W s
p ) i
виконується нерiвнiсть
‖ϕ‖M(W s
p )
≤ c‖ϕ‖1,p,
де c — деяка стала.
Оскiльки задача (1), (2) є тотальною щодо простору (W s+1
p )m,
то, як показано в [10], вона має наступну граничну властивiсть.
Твердження 2. Нехай при ε→ 0+ виконуються умови 1), 6) i
(∗) B(ε)y → B(0)y при ε → 0+ для кожної вектор-функцiї
y ∈
(
Wn+1
p
)m.
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (1), (2) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничну властивiсть (6).
Для доведення основної теореми достатньо показати, що умо-
ва (∗) є наслiдком умов 2) – 5) теореми. Це показано у наступних
двох лемах.
Лема 1. Нехай для задачi (1) – (2) виконуються при ε → +0
умови 1) – 4) теореми 1. Тодi для довiльної функцiї y ∈ (W s+1
p )m
i будь-яких чисел l ∈ 0, [s] + 1 та i ∈ 1, p виконується гранична
властивiсть
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))→ α
(l)
i y
(l)(ti) при ε→ 0 + .
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв... 107
Доведення. Довiльно виберемо y ∈ (W s+1
p )m, l ∈ 0, [s] + 1 та
i ∈ 1, p. Маємо:∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))− α(l)
i y
(l)(ti)
∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti)
∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti)− α(l)
i y
(l)(ti)
∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)
(
y(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)
)∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥( ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− αi
)
y(l)(ti)
∥∥∥∥ ≤
≤
ki∑
j=1
‖α(l)
i,j(ε)‖ · ‖y
(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)‖+
+‖
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− α
(l)
i ‖ · ‖y‖s+1,p.
Далi оцiнимо перший доданок. ∀ l ∈ 0, [s], ∃C > 0:
‖y(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)‖ ≤ C|ti,j(ε)− ti|.
Оскiльки y[s]+1(·) ∈W 1
p , можемо записати
‖y(l−1)(ti,j(ε))− y(l−1)(ti)‖ =
∣∣∣∣
ti,j(ε)∫
ti
y(l)(s)ds
∣∣∣∣ ≤
ti,j(ε)∫
ti
|y(l)(s)|ds ≤
108 Є. В. Гнип
≤
( ti,j(ε)∫
ti
|y(l)(s)|pds
)1/p
· |ti,j(ε)− ti|1/q = o(1) · |ti,j(ε)− ti|1/q
при ε → +0, де 1/p + 1/q = 1. Тодi з умови 3) для будь-якого
l ∈ 0, [s] + 1 випливає, що
ki∑
j=1
‖α(l)
i,j(ε)‖ · ‖y
(l)(ti,j(ε))− y(l)(ti)‖ → +0.
За умовою 2), у другому доданку ∀l ∈ 0, [s] + 1:∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)− α
(l)
i
∥∥∥∥ · ‖y‖s+1,p → +0 при ε→ 0 + .
Лема 1 доведена.
Лема 2. Нехай задача (1) – (2) задовольняє при ε→ +0 умову 5)
теореми 1. Тодi для довiльної функцiї y ∈ (W s+1
p )m i будь-яких
чисел l ∈ 0, [s] + 1 та i ∈ 1, p виконується гранична властивiсть
ki∑
j=1
α
(l)
0,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))→ 0 при ε→ +0.
Доведення. Виберемо довiльно y ∈ (W s+1
p )m, l ∈ 0, [s] + 1 та
j ∈ 1, ki. За умовою леми,∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
0,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))
∥∥∥∥ ≤ ki∑
j=1
‖α(l)
0,j(ε)‖ · ‖y‖s+1,p → 0. (9)
Запишемо
‖B(ε)y(·; ε)−B(0)y(·; 0)‖ ≤∥∥∥∥[s]+1∑
l=0
p∑
i=0
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
[s]+1∑
l=0
p∑
i=0
α
(l)
i y
(l)(ti)
∥∥∥∥ ≤
Неперервнiсть за параметром розв’язкiв... 109∥∥∥∥n+r−1∑
l=0
p∑
i=1
ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))−
[s]+1∑
l=0
p∑
i=1
α
(l)
i y
(l)(ti)
∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥[s]+1∑
l=0
ki∑
j=1
α
(l)
0,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))
∥∥∥∥ ≤
≤
[s]+1∑
l=0
p∑
i=1
∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
i,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))− α(l)
i y
(l)(ti)
∥∥∥∥+
+
[s]+1∑
l=0
∥∥∥∥ ki∑
j=1
α
(l)
0,j(ε)y
(l)(ti,j(ε))
∥∥∥∥→ 0 при ε→ 0+
на пiдставi формули (9), що i треба було довести.
Як уже зазначалося, теорема 1 є негайним наслiдком доведе-
них лем.
Авторка дякує В. А. Михайлецю за керiвництво роботою.
Лiтература
[1] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН
України. – Київ, 2009. – 148 с.
[2] Чеханова Г. А. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв однови-
мiрних крайових задач та їх похiдних: Дис. канд. фiз.-мат. наук /
Iн-т математики НАН України. – Київ, 2015. – 122 с.
[3] Кодлюк Т. I. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странстве Соболева // Доп. НАН України.– 2012.– № 11. – С. 15–
19.
[4] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питан-
ня аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –10,
№ 2. – С. 260–279.
110 Є. В. Гнип
[5] Чеханова Г. Непрерывность по параметру функций Грина много-
точечных краевых задач // Комплексний аналiз, теорiя потенцi-
алiв i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
[6] Левин А. Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина
многоточечной краевой задачи // Докл. АН СССР. – 1961. – 136,
№ 5. – С. 1022–1025.
[7] Кодлюк Т. I. Одновимiрнi крайовi задачi з параметром в просто-
рах Соболєва Дис. канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН
України. – Київ, 2013. – 155 с.
[8] Гнип Є. В., Кодлюк Т. I. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв
некласичних багатоточкових крайових задач на просторах Собо-
лєва // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С.
101–112.
[9] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
[10] Hnyp E. V. Continuity with respect to a parameter of solutions of
one-dimentional linear boundary value problem on the Slobodetsky
space // Ukrainian Math. J. – 2016. – № 6.
[11] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространс-
тва, дифференциальные операторы. – М.: Мир, 1980. – 664 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-254 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d2/ba4227d013b9b60244a2774d017c81d2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2542018-01-29T15:53:47Z Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. Неперервність за параметром розв'язків некласичних багатоточкових крайових задач у просторах Слободецького Hnyp, Ye. V. Гнип, Є. В. We find sufficient conditions under which solutions to multi-point boundary-value problems for systems of first order linear differential equations are continuous with respect to the parameter in the Slobodetsky space $W_p^{s+1}\left((a,b),\mathbb{C}^m\right)$. Знайдено нові достатні умови, за яких розв'язки багатоточкових лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь першого порядку неперервні за параметром у просторі Слободецького $W_p^{s+1}\left((a,b),\mathbb{C}^m\right)$. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/254 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 101-110 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 101-110 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 101-110 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/254/229 Авторське право (c) 2016 Є. В. Гнип |
| spellingShingle | Hnyp, Ye. V. Гнип, Є. В. Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title | Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title_alt | Неперервність за параметром розв'язків некласичних багатоточкових крайових задач у просторах Слободецького |
| title_full | Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title_fullStr | Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title_full_unstemmed | Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title_short | Continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in Slobodetsky spaces. |
| title_sort | continuity with respect to parameter of solutions to non-classical multi-point boundary-value problems in slobodetsky spaces. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/254 |
| work_keys_str_mv | AT hnypyev continuitywithrespecttoparameterofsolutionstononclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinslobodetskyspaces AT gnipêv continuitywithrespecttoparameterofsolutionstononclassicalmultipointboundaryvalueproblemsinslobodetskyspaces AT hnypyev neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačuprostorahslobodecʹkogo AT gnipêv neperervnístʹzaparametromrozv039âzkívneklasičnihbagatotočkovihkrajovihzadačuprostorahslobodecʹkogo |