On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces
For a broad class of parameter-dependent boundary-value problems, we obtain a constructive criterion under which their solutions are continuous with respect to the parameter in an appropriate Sobolev space.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/255 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552753610358784 |
|---|---|
| author | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. |
| author_facet | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Є. В. Гнип",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. А. Михайлець",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. О. Мурач",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Hnyp, Ye. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T16:16:05Z |
| description | For a broad class of parameter-dependent boundary-value problems, we obtain a constructive criterion under which their solutions are continuous with respect to the parameter in an appropriate Sobolev space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 111–124
УДК 517.927
Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про критерiй неперервної залежностi
за параметром розв’язкiв тотальних
крайових задач щодо просторiв
Соболєва
evgeniyagnyp27@gmail.com, mikhailets@imath.kiev.ua,
murach@imath.kiev.ua
For a broad class of parameter-dependent boundary-value problems,
we obtain a constructive criterion under which their solutions are
continuous with respect to the parameter in an appropriate Sobolev
space.
Для широкого класу залежних вiд параметра крайових задач
отримано конструктивний критерiй неперервностi за параметром
їх розв’язкiв у вiдповiдному просторi Соболєва.
1. Вступ
Питання, пов’язанi iз обґрунтуванням граничного переходу у ди-
ференцiальних рiвняннях, залежних вiд параметра, виникають у
багатьох задачах. Найкраще такi питання дослiдженi для задач
Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого
c© Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач, 2016
112 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
порядку. I. I. Гiхман [1], М. А. Красносельський i С. Г. Крейн [9],
Я. Курцвейль i З. Ворел [10] отримали фундаментальнi резуль-
тати стосовно неперервної залежностi за параметром розв’язкiв
задач Кошi для нелiнiйних систем. Для лiнiйних систем цi ре-
зультати були уточненi й доповненi Левiним [11], Опялем [24],
Рейдом [25] та Нгуен Тхе Хоаном [15].
Крайовi задачi, що залежать вiд параметра, дослiджено зна-
чно гiрше, нiж задачi Кошi. I. Т. Кiгурадзе [4 – 6] та М. Ашордiа
[17] представили та дослiдили клас загальних лiнiйних крайових
задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку.
I. Т. Кiгурадзе та М. Ашордiа отримали умови, за яких розв’язки
задач з цього класу, що залежать вiд параметра, є неперервними
за параметром в C([a, b],Rm). Нещодавно цi результати було уто-
чнено i узагальнено для комплекснозначних функцiй та систем
диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв [8, 14, 22].
В [2, 13, 21] було представлено новий клас крайових задач
для систем звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв. В [2] ми дослiдили крайовi задачi з цього класу, що
залежать вiд параметра, та встановили конструктивнi достатнi
умови, за яких розв’язки таких задач є неперервними за параме-
тром у просторi Соболєва. I тепер, у данiй роботi, ми покажемо,
що встановленi ранiше умови є ще й необхiдними. Крiм того, ми
даємо двобiчну оцiнку швидкостi збiжностi розв’язкiв незбуреної
крайової задачi.
Зауважимо, що тотальнi крайовi задачi щодо просторiв C(n+r)
були представленi в [12, 16], де були встановленi достатнi умови
неперервної залежностi їх розв’язкiв за параметром. Цi резуль-
тати були застосованi до дослiдження багатоточкових крайових
задач [7], матриць Грiна [8, 22], та застосованi у спектральнiй
теорiї диференцiальних операторiв iз сингулярними коефiцiєн-
тами [3, 18, 19].
Пiдхiд, представлений у данiй роботi, може бути застосований
до дослiдження крайових задач тотальних щодо iнших функцiо-
нальних просторiв [23].
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 113
2. Постановка задачi i результати
Нехай заданi числа n,m, r ∈ N, p ∈ [1,∞) i скiнченний iнтервал
(a, b) ⊂ R. Через Wn
p := Wn
p ((a, b),C),
(
Wn
p
)m
:= Wn
p ((a, b),Cm),(
Wn
p
)m×m
:= Wn
p ((a, b),Cm×m) позначимо простори Соболєва
вiдповiдно функцiй, вектор-функцiй i матриць-функцiй на iнтер-
валi (a, b). Норма в банаховому просторi Wn
p задається рiвнiстю
‖x‖n,p :=
n−1∑
j=0
b∫
a
|x(j)(t)|pdt
1/p
, W 0
p := Lp.
Аналогiчно простори
(
Wn
p
)m и
(
Wn
p
)m×m будуть банаховими вiд-
носно норми ‖ · ‖n,p, яка визначається як сума норм вiдповiдних
норм компонент вектор-функцiї або матрицi-функцiї. З контекс-
ту завжди буде зрозумiло, якого простору (скалярних, вектор-
функцiй та матриць-функцiй) норма стосується.
Нехай ε0 > 0. Розглянемо параметризовану сiм’ю неоднорi-
дних крайових задач для систем m лiнiйних диференцiальних
рiвнянь порядку r
L(ε)y(t, ε) ≡ y(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Ar−j(t, ε)y
(r−j)(t, ε) = f(t, ε), (1)
B(ε)y(·, ε) = c(ε), (2)
де ε ∈ [0, ε0), невiдома вектор-функцiя y(·) ∈
(
Wn+r
p
)m, матрицi-
функцiї Ar−j ∈
(
Wn
p
)m×m, вектор-функцiї f(·) ∈
(
Wn
p
)m, вектор
c ∈ Cm, а лiнiйний неперервний оператор
B(ε) :
(
Wn+r
p
)m → Crm. (3)
Крайова умова (2) з неперервним оператором B(ε) є найбiльш
загальною для системи (1), бо коли її права частина f(·, ε) пробi-
гає весь простiр (Wn
p )m, то розв’язок y(·, ε) цiєї системи пробiгає
114 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
весь простiр (Wn+r
p )m. Така умова мiстить в собi як усi класичнi
типи крайових умов, такi, як початковi умови задачi Кошi, бага-
тоточковi й iнтегральнi крайовi умови, так i некласичнi умови,
якi мiстять похiднi шуканої функцiї y(k)(·, ε), де 1 ≤ k ≤ n + r.
Тому природно називати крайову задачу (1), (2) тотальною щодо
простору Wn+r
p .
Кожен з операторiв (3) допускає однозначне аналiтичне пред-
ставлення (див., наприклад, [20, §0.1] )
B(ε)y =
n+r∑
k=1
αk(ε)y(k−1)(a) +
b∫
a
Φ(t, ε)y(n+r)(t)dt, (4)
де αk(ε) — комплекснi прямокутнi матрицi з Crm×m, а матриця-
функцiя Φ(·, ε) ∈ (Lq)
rm×m з показником q ∈ (1,∞], який визна-
чається з рiвностi 1/p+ 1/q = 1.
Для кожного фiксованого ε крайова задача (1), (2) є фре-
дгольмовою з iндексом нуль.
Для крайової задачi (1), (2) розглянемо такi
Граничнi умови при ε→ 0+:
(I) Ar−j(·, ε)→ Ar−j(·, 0) в (Wn
p )m×m для кожного j ∈ {1 . . . r};
(II) B(ε)y → B(0)y в Crm для кожного y ∈ (Wn+r
p )m;
(III) f(·, ε)→ f(·, 0) в (Wn
p )m, c(ε)→ c(0) в Crm.
Розглядається також
Умова (0). Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)y(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Введемо
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 115
Означення 1. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (1), (2)
неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, якщо виконую-
ться такi двi умови:
(∗) Iснує додатне число ε1 < ε0 таке, що для довiльних
ε ∈ [0, ε1), функцiї f(·, ε) ∈ (Wn
p )m i вектора c(ε) ∈ Crm
ця задача має єдиний розв’язок y(·, ε) ∈ (Wn+r
p )m.
(∗∗) Граничнi умови (III) тягнуть за собою збiжнiсть
y(·, ε)→ y(·, 0) в (Wn+r
p )m при ε→ 0 + . (5)
Основним результатом роботи є
Теорема 1. Розв’язок крайової задачi (1), (2) неперервно зале-
жить вiд параметра ε при ε = 0 тодi i тiльки тодi, коли вона
задовольняє умову (0) та граничнi умови (I) i (II).
Цю теорему 1 доповнює такий результат.
Теорема 2. Нехай крайова задача (1), (2) задовольняє умову (0)
та граничнi умови (I) i (II). Тодi iснують додатнi числа ε2 < ε1
i γ1, γ2 такi, що для кожного ε ∈ (0, ε2) виконується двобiчна
оцiнка
γ1
(
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖n,p + ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Crm
)
≤ ‖y(·, 0)− y(·, ε)‖n+r,p
≤ γ2
(
‖L(ε)y(·, 0)− f(·, ε)‖n,p + ‖B(ε)y(·, 0)− c(ε)‖Crm
)
.
(6)
Тут числа ε2, γ1 i γ2 не залежать вiд y(·, 0), y(·, ε), f(·, ε) i c(ε).
Ми доведемо цi теореми у п. 3.
Зауваження 1. Зважаючи на представлення (4) та критерiй
слабкої збiжностi лiнiйних неперервних функцiоналiв (3) на про-
сторi Lp, умову (II) можна переписати у явнiй формi:
116 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
2a) для кожного k ∈ {1, 2, . . . , n+ r} αk(ε)→ αk(0);
2b) sup
ε∈[0,ε0)
‖Φ(·, ε)‖0,q <∞;
2c)
t∫
a
Φ(s, ε)ds→
t∫
a
Φ(s, 0)ds для кожного t ∈ (a, b].
При цьому умова ‖B(ε)−B(0)‖ → 0 рiвносильна умовi 2a) i бiльш
сильнiй, нiж умови 2b) i 2c), умовi
2d) ‖Φ(·, ε)− Φ(·, 0)‖0,q → 0.
Згiдно з теоремою 2 похибка i нев’язка розв’язку y(·, ε) кра-
йової задачi (1), (2) мають однаковий порядок.
3. Доведення
Доведення теореми 1. Достатнiсть умов (0), (I) i (II) для того,
щоб задача (1), (2) задовольняла означення 1 була доведена в [21,
теорема 1.1] для r = 1 i в [2, теорема 3] для r ≥ 2. Доведемо
необхiднiсть. Припускаємо, що ця задача задовольняє означення
1, тодi виконується умова (0). Залишається показати, що для цiєї
задачi виконуються умови (I) i (II). Роздiлимо це доведення на
три кроки.
Крок 1. Доведемо, що крайова задача (1), (2) задовольняє гра-
ничну умову (I).
Якщо r ≥ 2, то зведемо крайову задачу (1), (2) до крайової
задачi для системи диференцiальних рiвнянь першого порядку.
Для цього, як зазвичай, позначимо
x(·, ε) := col
(
y(·, ε), y′(·, ε), . . . , y(r−1)(·, ε)
)
∈ (Wn+1
p )rm,
f̃(·, ε) := col
(
0, f(·, ε)
)
∈ (Wn
p )rm
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 117
та
Ã(·, ε) :=
:=
Om Im Om . . . Om
Om Om Im . . . Om
...
...
...
. . .
...
Om Om Om . . . Im
A0(·, ε) A1(·, ε) A2(·, ε) . . . Ar−1(·, ε)
∈ (Wn
p )rm×rm,
де Om й Im позначають нульову та одиничну матрицi розмiрностi
(m × m) вiдповiдно. З огляду на представлення (4), ми також
позначимо
B̃(ε)x :=
:=
r−1∑
k=1
αk(ε)xk(a) +
n+r∑
k=r
αk(ε)x(k−r)r (a) +
b∫
a
Φ(t, ε)x(n+1)
r (t)
(7)
для довiльної вектор-функцiї x = col(x1, . . . , xr), де x1, . . . , xr ∈
(Wn+1
p )m. Лiнiйне вiдображення x 7→ B̃x дiє iз (Wn+1
p )rm в Crm.
Тодi отримаємо наступну крайову задачу
x′(t, ε) + Ã(t, ε)x(t, ε) = f̃(t, ε), t ∈ (a, b), (8)
B̃(ε)x(·, ε) = c̃(ε). (9)
У випадку r = 1, ми покладемо x(·, ε) := y(·, ε), f̃(·, ε) :=
f(·, ε), Ã(·, ε) := A0(·, ε) i B̃(ε) := B(ε), тому задача (1), (2) збi-
гається з задачею (8), (9).
Отже, мiж розв’язками задачi (1), (2) та (8), (9) iснує взаємно
однозначна вiдповiднiсть. Зокрема кожному розв’язку y(t, ε) ∈(
Wn+r
p
)m однорiдного рiвняння (1) вiдповiдає розв’язок x(t, ε) ∈(
Wn+1
p
)rm однорiдного рiвняння (8), i навпаки.
Гранична умова (I) еквiвалентна збiжностi Ã(·, ε) → Ã(·, 0) в
просторах (Wn
p )rm×rm при ε→ 0+. Доведемо цю збiжнiсть.
118 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
Спочатку зауважимо, що якщо f̃(·, ε) i c̃(ε) не залежать вiд
ε ∈ [0, ε1), то тодi y(·, ε) → y(·, 0) в (Wn+r
p )m при ε → 0+ за
умовою (∗∗) означення 1. Остання збiжнiсть еквiвалента тому,
що x(·, ε)→ x(·, 0) в (Wn+1
p )rm при ε→ 0+.
Розглянемо матричну крайову задачу
X ′(t, ε) + Ã(t, ε)X(t, ε) = 0rm, t ∈ [a, b], (10)
[B̃(ε)X(·, ε)] = Irm. (11)
де невiдома матриця-функцiя X(·, ε) := (xj,k(·, ε))mj,k=1 належить
простору (Wn+1
p )rm×rm, Irm — одинична rm× rm-матриця i
[B̃(ε)X(·, ε)] :=
B̃(ε)
x1,1(·, ε)
...
xrm,1(·, ε)
. . . B̃(ε)
x1,rm(·, ε)
...
xrm,rm(·, ε)
.
Крайова задача (10), (11) є сукупнiстю rm крайових задач
(8), (9), правi частини яких не залежать вiд ε. Тому, за при-
пущенням, вона має єдиний розв’язок X(·, ε) ∈ (Wn+1
p )rm×rm
i вiн задовольняє умову X(·, ε) → X(·, 0) в (Wn+1
p )rm×rm при
ε → 0+. Вiдмiтимо, що detX(t, ε) 6= 0 для кожного t ∈ [a, b], бо
iнакше функцiї стовпцi X(·, ε) будуть лiнiйно залежними, що су-
перечить (11). Оскiльки (Wn+1
p )rm×rm — банахова алгебра, тодi
(X(·, ε))−1 → (X(·, 0))−1 в (Wn+1
p )rm×rm при ε → 0+. I бiльше
того, X ′(·, ε) → X ′(·, 0) в (Wn
p )rm×rm при ε → 0+. Отже, з (10)
ми отримаємо наступну збiжнiсть
Ã(·, ε) = −X ′(·, ε)(X(·, ε))−1 → −X ′(·, 0)(X(·, 0))−1 = Ã(·, 0)
в просторах (Wn
p )rm×rm при ε → 0+. Тут ми використовуємо
той факт, що (Wn
p )rm×rm є банаховою алгеброю при n ≥ 1, i,
що (X(·, ε))−1 → (X(·, 0))−1 в C([a, b],Crm×rm) при n = 0. Тому
крайова задача (1), (2) задовольняє граничну умову (I). Крiм
того,
‖Ar−j(ε)‖n,p = O(1) при ε→ 0+
для кожного j ∈ {1, . . . , r}.
(12)
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 119
Крок 2. Доведемо, що ‖B(ε)‖ = O(1) при ε → 0+, де ‖ · ‖ є
норма обмеженого оператора (3). Припустимо супротивне: iснує
числова послiдовнiсть (ε(k))∞k=1 ⊂ (0, ε1) така, що ε(k) → 0 i
0 < ‖B(ε(k))‖ → ∞, ε→ 0 + .
Для кожного номера k виберемо функцiю wk ∈ (Wn+r
p )m таку,
що
‖wk‖n+r,p = 1 i ‖B(ε(k))wk‖Cm ≥ 1
2
‖B(ε(k))‖.
Покладемо y(·, ε(k)) := ‖B(ε(k))‖−1wk, f(·, ε(k)) :=
L(ε(k)) y(·, ε(k)) та c(ε(k)) := B(ε(k)) y(·, ε(k)). Оскiльки
y(·, ε(k))→ 0 у просторi (Wn+r
p )m при ε→ 0+, то f(·, ε(k))→ 0 в
(Wn
p )m, бо, за доведеним, A(·, ε) задовольняє умову (I). Оскiль-
ки 1/2 ≤ ‖c(ε(k))‖Cm ≤ 1, то, перейшовши до пiдпослiдовностi
чисел ε(k), можна вважати, що c(ε(k)) → c(0) при k → ∞, де
c(0) — деякий ненульовий вектор в Cm. Таким чином, для
кожного номера k вектор-функцiя y(·, ε(k)) ∈ (Wn+r
p )m є єдиним
розв’язком крайової задачi
L(ε(k)) y(t, ε(k)) = f(t, ε(k)), t ∈ [a, b],
B(ε(k)) y(·, ε(k)) = c(ε(k)).
Тут, нагадаємо, f(·, ε(k)) → 0 в (Wn+r
p )m i c(ε(k)) → c(0) 6= 0
при k → ∞. Тому на пiдставi умови (∗∗) означення 1 фун-
кцiя y(·, ε(k)) збiгається у просторi (Wn+r
p )m до єдиного розв’язку
y(·, 0) граничної крайової задачi, яка складається з диференцi-
ального рiвняння L(0)y(t, 0) = 0, t ∈ [a, b], i неоднорiдної крайо-
вої умови B(0)y(·, 0) = c(0). Але y(·, ε(k))→ 0 у тому ж просторi.
Отже, y(·, 0) ≡ 0, що суперечить крайовiй умовi. Тому зроблене
припущення є хибним, тобто ‖B(ε)‖ = O(1) при ε→ 0+.
Крок 3. Тепер можемо показати, що виконується умова (II).
За доведеним у попереднiх двох кроках, iснують числа γ′ > 0
i ε′ ∈ (0, ε1) такi, що ‖(L(ε), B(ε))‖ ≤ γ′ для усiх ε ∈ [0, ε′), де
120 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
‖·‖ є норма обмеженого оператора, що дiє з простору (Wn+r
p )m у
простiр (Wn
p )m×Cm. Виберемо функцiю y ∈ (Wn+r
p )m довiльним
чином та покладемо f(·, ε) := L(ε)y i c(ε) := B(ε)y для кожного
ε ∈ [0, ε0). Тодi при ε→ 0+ маємо∥∥B(ε)y −B(0)y
∥∥
Cm ≤
≤
∥∥(f(·, ε), c(ε))− (f(·, 0), c(0))
∥∥
(Wn
p )m×Cm ≤
≤ γ′
∥∥(L(ε), B(ε))−1
(
(f(·, ε), c(ε))− (f(·, 0), c(0))
)∥∥
n+r,p
=
= γ′
∥∥(L(0), B(0))−1(f(·, 0), c(0))−
−(L(ε), B(ε))−1(f(·, 0), c(0))
∥∥
n+r,p
→ 0
за умовою (∗∗) означення 1. Отже, крайова задача (1), (2) задо-
вольняє умову (II).
Теорема 1 доведена.
Доведення теореми 2. Спочатку доведемо лiву частину оцiн-
ки (6). Граничнi умови (I) i (II) тягнуть сильну збiжнiсть опе-
раторiв (L(ε), B(ε)) до (L(0), B(0)) при ε → 0+. Нагадаємо, що
оператор (L(ε), B(ε)), де 0 ≤ ε < ε0, є обмеженим
(L(ε), B(ε)) : (Wn+r
p )m → (Wn
p )m × Cm. (13)
Тому iснують числа γ′ > 0 i ε′ ∈ (0, ε1) такi, що норма опера-
тора ‖(L(ε), B(ε))‖ ≤ γ′ для кожного ε ∈ [0, ε′). Справдi, як-
би виконувалось зворотне, то iснувала б послiдовнiсть додатних
чисел (ε(k))∞k=1 така, що ε(k) → 0 та ‖(L(ε(k)), B(ε(k))‖ → ∞ при
k →∞, що з огляду на теорему Банаха-Штейнгайза суперечило
б попереднiй сильнiй збiжностi. Тепер ми бачимо, що лiва части-
на двобiчної оцiнки (6) виконується для кожного ε ∈ (0, ε′), де
γ1 := 1/γ′.
Доведемо тепер праву частину оцiнки. Вiдповiдно до теореми
1, крайова задача (1), (2) задовольняє означення 1. Тому опе-
ратор (13) є оборотним для кожного ε ∈ [0, ε1), i, бiльше то-
го, його обернений оператор (L(ε), B(ε))−1 збiгається сильно до
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 121
(L(0), B(0))−1 при ε → 0+. Справдi, для довiльних f ∈ (Wn
p )m i
c ∈ Cm, за умовою (∗∗) означення 1 маємо
(L(ε), B(ε))−1(f, c) =: y(·, ε)→ y(·, 0) := (L(0), B(0))−1(f, c)
в (Wn+r
p )m при ε→ 0+. Отже, iснують додатнi числа ε2 < ε′ i γ2
такi, що норма оберненого оператора ‖(L(ε), B(ε))−1‖ ≤ γ2 для
кожного ε ∈ [0, ε2). Це випливає iз теореми Банаха-Штейнгауза,
так само, як це було показано ранiше.
Теорема 2 доведена.
4. Прикiнцевi зауваження.
Легко перевiрити, що умови (∗) i (∗∗) означення 1 рiвносильнi
вiдповiдно умовам
(?) iснує додатне ε1 < ε0 таке, що для кожного ε ∈ [0, ε1) опе-
ратор (L(ε), B(ε)) є оборотним;
(??) оператор (L(ε), B(ε))−1 збiгається до оператора
(L(0), B(0))−1 в сильнiй операторнiй топологiї.
Можна також показати, що умови (I), (II) рiвносильнi такiй
умовi:
Гранична умова (IV). Оператор (L(ε), B(ε)) збiгається до опе-
ратора (L(0), B(0)) в сильнiй операторнiй топологiї.
Таким чином, з теореми 1 випливає, що за умови (0) ми маємо
еквiвалентнiсть граничної умови (IV) парi умов (?) i (??).
Це може здатися дещо несподiваним, бо якщо X i Y нескiн-
ченно вимiрнi банаховi простори з базисомШаудера, то множина
необоротних операторiв секвенцiально щiльна в L(X,Y ) в силь-
нiй топологiї. Крiм того, в цьому випадку задане на множинi
оборотних операторiв вiдображення Inv : T 7→ T−1 є скрiзь роз-
ривним в сильнiй операторнiй топологiї.
122 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
Лiтература
[1] Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр.
мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215–219.
[2] Гнып Е. В., Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Фредгольмовые крае-
вые задачи с параметром на пространствах Соболева // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 584–591.
[3] Горюнов А. С., Михайлец В. А. Регуляризация квазипроизво-
дными двучленных дифференциальных уравнений с сингуляр-
ным коэффициентом // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С.
1190–1205.
[4] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[5] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Совр.
пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ – 1987. –
30. – С. 3–103.
[6] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Дифференциальные уравне-
ния. – 2003. – 39, № 2. – С. 198–209.
[7] Кодлюк Т. И.Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доповiдi НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[8] Кодлюк Т. И., Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельные теоремы
для одномерных краевых задач // Укр. мат. журн. – 2013. – 65,
№ 1. – С. 70–81.
[9] Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в не-
линейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С.
147–153.
[10] Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от параметра // Czechoslovak
Math. J. – 1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
Про критерiй неперервної залежностi за параметром розв’язкiв... 123
[11] Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ =
An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доповiдi НАН Укра-
їни. – 2014. – № 7. – С. 24–28.
[13] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доповiдi НАН Украї-
ни. – 2008. – № 8. – С. 28–30.
[14] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о кор-
ректности линейных краевых задач // Доповiдi НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23–27.
[15] Нгуен Тхе Хоан. О зависимости от параметра решений линей-
ной системы дифференциальных уравнений // Дифференциаль-
ные уравнения. – 1993. – 29, № 6. – С. 970—975.
[16] Солдатов В. О. Про неперервнiсть за параметром розв’язкiв кра-
йових задач, тотальних щодо просторiв C(n+r)[a, b] // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5 – С. 692–700.
[17] M. Ashordia, Criteria of correctness of linear boundary value
problems for systems of generalized ordinary differential equations //
Czechoslovak Math. J. – 1996. – 46. – P. 385–404.
[18] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of
Sturm–Liouville operators with singular potentials // Math. Notes. –
2010. – 87, № 1–2. – P. 287–292.
[19] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-ajoint
quasi-differential operators and boundary-value problems // Electron.
J. Differential Equations. – 2013. – 2013, No. 101. – P. 1—16.
[20] A. D. Ioffe, V. M. Tihomirov. Theory of extremal problems. –
Amterdam: Noth-Holland, 1979.
[21] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
[22] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015. –
204, No. 3. – P. 333–342.
124 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач
[23] Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. Continuity in a
parameter of solutions to generic boundary-value problems //
Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. — 2016. (arXiv:1604.07029).
[24] Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of di-
fferential equations // J. Differential Equations. – 1967. – 3, No. 4. –
P. 571–579.
[25] Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems //
J. Differential Equations. – 1967. – 3, No. 3. – P. 423–439.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-255 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:27Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/97/5c572baf33a03066f115b8f2dba28a97.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2552018-01-29T16:16:05Z On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces Про критерій неперервної залежності за параметром розв'язків тотальних крайових задач щодо просторів Соболєва Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. For a broad class of parameter-dependent boundary-value problems, we obtain a constructive criterion under which their solutions are continuous with respect to the parameter in an appropriate Sobolev space. Для широкого класу залежних від параметра крайових задач отримано конструктивний критерій неперервності за параметром їх розв'язків у відповідному просторі Соболєва. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/255 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 111-124 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 111-124 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 111-124 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/255/230 Авторське право (c) 2016 Є. В. Гнип, В. А. Михайлець, О. О. Мурач |
| spellingShingle | Hnyp, Ye. V. Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Гнип, Є. В. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title | On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title_alt | Про критерій неперервної залежності за параметром розв'язків тотальних крайових задач щодо просторів Соболєва |
| title_full | On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title_fullStr | On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title_short | On criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title_sort | on criterion of continuous dependence on parameter of solutions of total boundary-value problems in sobolev spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/255 |
| work_keys_str_mv | AT hnypyev oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT mikhailetsva oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT murachaa oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT gnipêv oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT mihajlecʹva oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT muračoo oncriterionofcontinuousdependenceonparameterofsolutionsoftotalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT hnypyev prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva AT mikhailetsva prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva AT murachaa prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva AT gnipêv prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva AT mihajlecʹva prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva AT muračoo prokriteríjneperervnoízaležnostízaparametromrozv039âzkívtotalʹnihkrajovihzadačŝodoprostorívsobolêva |