On time reversibility of tachyon kinematics
In the present paper we analyze the violation of the principle of causality (i. e. the possibility of returning to the own past) in the currently known mathematically strict models of tachyon kinematics, associated with the generalized Lorentz-Poincare transformations in the sense of E.Recami, using...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/256 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552753511792640 |
|---|---|
| author | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_facet | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. І. Грушка",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Grushka, Ya. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | In the present paper we analyze the violation of the principle of causality (i. e. the possibility of returning to the own past) in the currently known mathematically strict models of tachyon kinematics, associated with the generalized Lorentz-Poincare transformations in the sense of E.Recami, using the recently developed mathematical apparatus of the theory of kinematic changeable sets. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 125–174
УДК 510.22 + 51-71 + 517.983
MSC 03E75; 83A05; 47B37
Я. I. Грушка
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Про часозворотнiсть тахiонових
кiнематик
grushka@imath.kiev.ua
In the present paper we analyze the violation of the principle of
causality (i. e. the possibility of returning to the own past) in the
currently known mathematically strict models of tachyon kinemati-
cs, associated with the generalized Lorentz-Poincare transformations
in the sense of E.Recami, using the recently developed mathematical
apparatus of the theory of kinematic changeable sets.
У данiй роботi, спираючись на розвинутий в останнi роки ма-
тематичний апарат теорiї кiнематичних мiнливих множин, про-
ведено аналiз порушення принципу причинностi (тобто наявно-
стi можливостi повернення у власне минуле) у вiдомих на даний
час математично строгих моделях тахiонових кiнематик, пов’яза-
них з узагальненими перетвореннями Лоренца-Пуанкаре в сенсi
E. Recami.
c© Я. I. Грушка, 2016
126 Я. I. Грушка
1. Вступ
Тематика побудови теорiї надсвiтлового руху була започаткована
в роботах [1, 2] понад 50 рокiв тому назад. I, незважаючи на те,
що тахiони (тобто об’єкти, якi рухаються зi швидкiстю, бiльшою
за швидкiсть свiтла) на сьогоднi експериментально не виявленi,
дана тематика залишається актуальною.
Загальновiдомо, що в середовищi фiзикiв поширена думка про
те, що гiпотеза про iснування тахiонiв веде до часових пара-
доксiв, пов’язаних з наявнiстю теоретичної можливостi змiнити
власне минуле. Умови виникнення подiбних часових парадоксiв
детально проаналiзованi в роботi [3]. На жаль, в роботi [3] до-
зволеним є лише надсвiтловий рух для частинок або сигналiв, а
надсвiтловий рух для систем вiдлiку — заборонений. Ця обста-
вина не дає можливостi прив’язати до тахiонової частинки вла-
сну систему вiдлiку i власний час, а отже, коректно визначити
справжнiй напрямок її руху. В роботi [4] для тахiонових частинок
аксiоматично вводяться власнi системи вiдлiку у випадку, коли
простiр геометричних змiнних є одновимiрним, а у випадку, бiль-
шої розмiрностi простору геометричних змiнних до тахiонових
частинок прив’язується лише власний час. Такий пiдхiд дозво-
ляє бiльш коректно визначити справжнiй напрямок руху тахiо-
нової частинки, а отже отримати бiльш точнi результати, зокре-
ма показати, що гiпотеза про iснування матерiальних об’єктiв,
що рухаються з надсвiтловими швидкостями, взагалi кажучи, не
приводить до можливостi повернення у власне минуле. Слiд за-
уважити, що в цiй роботi надсвiтловi системи вiдлiку вводяться
лише для випадку, коли простiр геометричних змiнних є одно-
вимiрним, в той час, як в роботах E. Recami (див. [5]), а пiзнiше
в роботi J. Hill та B. Cox [6] були отриманi узагальненi перетво-
рення Лоренца для систем вiдлiку, що рухаються iз швидкiстю,
бiльшою за швидкiсть свiтла, для випадку тривимiрного просто-
ру геометричних змiнних. В роботi [7] було показано, що зазна-
ченi вище узагальненi перетворення Лоренца в сенсi E. Recami
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 127
легко можна поширити на випадок довiльної (зокрема нескiнчен-
ної) розмiрностi простору геометричних змiнних, а в роботi [8],
базуючись на перетвореннях з [7], було побудовано математично
строгi моделi кiнематик, якi дозволяють надсвiтловий рух не ли-
ше для частинок, але i для iнерцiйних систем вiдлiку в гiльберто-
вому просторi довiльної розмiрностi. Отже, тахiоновi кiнематики
в сенсi E. Recami є цiлком математично строгими об’єктами. Але,
в силу сказаного вище, цi кiнематики неможливо проаналiзува-
ти на часонезворотнiсть (тобто вiдсутнiсть можливостi повер-
нення у власне минуле), використовуючи математичний апарат
роботи [4]. Саме тому в данiй роботi для розв’язання постав-
леної задачi побудовано бiльш загальний математичний апарат,
нiж у роботi [4], завдяки якому встановлено достатнi ознаки ча-
созворотностi для унiверсальних кiнематик. Використовуючи цi
ознаки, показано, що всi тахiоновi кiнематики, побудованi в ро-
ботi [8] є (умовно) часозворотними. З отриманих результатiв не
випливає вiдсутнiсть часонезворотних тахiонових розширень для
класичної спецiальної теорiї вiдносностi. Тому результати даної
роботи не суперечать результатам роботи [4], а лише показують,
що часонезворотнiсть тої чи iншої тахiонової кiнематики iстотно
залежить вiд структури перетворень координат цiєї кiнематики
для iнерцiйних систем вiдлiку у надсвiтловiй областi.
2. Елементарно-часовi стани i мiнливi си-
стеми чiтко видимих мiнливих та кiне-
матичних множин
Дана робота використовує математичний апарат теорiй мiнли-
вих множин, кiнематичних множин та унiверсальних кiнематик,
розвинених в роботах [9,10], [11], [8] та iн. В зазначених роботах
можна знайти означення понять та опис позначень, що будуть
використовуватись далi. Множину Z будемо називати об’єктом
типу чiтко видимої мiнливої множини (скорочено — чi-
128 Я. I. Грушка
тко видимим об’єктом , або чв-об’єктом), якщо Z є чiтко
видимою мiнливою множиною, або чiтко видимою кiнематичною
множиною, або унiверсальною кiнематикою.
Означення 1. Нехай, Z — довiльний чв-об’єкт, l ∈ Lk (Z) — до-
вiльна система вiдлiку 1 Z i ω ∈ Bs(l) — довiльний елементарно-
часовий стан в системi вiдлiку l. Множину:
ω{l,Z} = {(m, 〈! m← l〉ω) |m ∈ Lk (Z)}
(де (x, y) = {{x} , {x, y}} — упорядкована пара, складена з x
i y) будемо називати елементарно-часовим станом чв-
об’єкта Z, породженим ω у системi вiдлiку l.
Зауваження 1. У випадку, коли наперед вiдомо, про який чв-
об’єкт Z йде мова, замiсть позначення ω{l,Z} будемо використо-
вувати позначення ω{l}.
Твердження 1. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l,m ∈ Lk (Z).
Тодi для елементарно-часових станiв ω ∈ Bs(l), ω1 ∈ Bs(m) на-
ступнi твердження рiвносильнi:
1) ω{l} = ω
{m}
1 ;
2) ω1 = 〈! m← l〉ω.
Доведення. 1. Доведемо, що з твердження 2) випливає твер-
дження 1). Нехай ω ∈ Bs(l), ω1 ∈ Bs(m) i ω1 = 〈! m← l〉ω. Тодi,
використовуючи означення 1 та [12, властивiсть 5(3)] 2 отримує-
мо:
ω
{m}
1 = {(p, 〈! p←m〉ω1) | p ∈ Lk (Z)} =
= {(p, 〈! p←m〉 〈! m← l〉ω) | p ∈ Lk (Z)} =
= {(p, 〈! p← l〉ω) | p ∈ Lk (Z)} = ω{l}.
1 У випадку, коли Z є мiнливою множиною, в роботах [9, 10] та iнших
роботах, присвячених теорiї мiнливих множин, поряд з термiном “система
вiдлiку” вживається синонiмiчний термiн “область сприймання”.
2 Посилання на властивiсть 5(3) означає посилання на властивiсть 3 з
групи властивостей “властивостi 5”.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 129
2. Навпаки, нехай ω ∈ Bs(l), ω1 ∈ Bs(m) i ω{l} = ω
{m}
1 . Тодi, за
означенням 1:
{(p, 〈! p← l〉ω) | p ∈ Lk (Z)} =
= {(p, 〈! p←m〉ω1) | p ∈ Lk (Z)} . (1)
Згiдно з [12, властивiсть 5(1)], 〈! l← l〉ω = ω. От-
же, згiдно з (1), для елемента (l, ω) = (l, 〈! l← l〉ω) ∈
{(p, 〈! p← l〉ω) | p ∈ Lk (Z)} мусить виконуватись умова
(l, ω) ∈ {(p, 〈! p←m〉ω1) | p ∈ Lk (Z)}. Тому iснує система
вiдлiку p0 ∈ Lk (Z) така, що (l, ω) = (p0, 〈! p0←m〉ω1). Звiдси
отримуємо l = p0, а також, ω = 〈! p0←m〉ω1 = 〈! l←m〉ω1.
Тому, на основi [12, властивостi 5(1,3)], робимо висновок, що
ω1 = 〈! m←m〉ω1 = 〈! m← l〉 〈! l←m〉ω1 = 〈! m← l〉ω. �
З твердження 1 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Тодi для довiль-
них l,m ∈ Lk (Z) i ω ∈ Bs(l) справедлива рiвнiсть:
ω{l} = (〈! m← l〉ω){m} . (2)
Твердження 2. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Тодi множи-
на:
Bs [l,Z] =
{
ω{l,Z} | ω ∈ Bs(l)
}
(3)
не залежить вiд системи вiдлiку l ∈ Lk (Z) (тобто ∀l,m ∈
Lk (Z) Bs [l,Z] = Bs [m,Z]).
Доведення. Використовуючи наслiдок 1, отримуємо:
Bs [l,Z] =
{
ω{l} | ω ∈ Bs(l)
}
=
{
(〈! m← l〉ω){m} | ω ∈ Bs(l)
}
.
Отже, згiдно з [12, твердження 3], маємо:
Bs [l,Z] =
{
(〈! m← l〉ω){m} | ω ∈ Bs(l)
}
=
130 Я. I. Грушка
=
{
ω
{m}
1 | ω1 ∈ Bs(m)
}
= Bs [m,Z] .
�
Означення 2. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт.
1. Множину Bs(Z) = Bs [l,Z] (∀l ∈ Lk (Z)) будемо називати
множиною елементарно-часових станiв Z.
2. Будь-яку пiдмножину Â ⊆ Bs(Z) будемо називати (за-
гальною) мiнливою системою Z.
Твердження 3. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l ∈ Lk (Z).
Тодi для довiльного елемента ω̂ ∈ Bs(Z) iснує, причому єдиний
елемент ω0 ∈ Bs(l) такий, що ω̂ = ω
{l}
0
Доведення. Нехай l ∈ Lk (Z) i ω̂ ∈ Bs(Z). За означенням 2 i
твердженням 2 (формула (3)):
Bs(Z) = Bs [l,Z] =
{
ω{l} | ω ∈ Bs(l)
}
.
Отже, оскiльки ω̂ ∈ Bs(Z), то iснує елемент ω0 ∈ Bs(l) такий, що
виконується рiвнiсть:
ω̂ = ω
{l}
0 . (4)
Доведемо, що такий елемент ω0 — єдиний. Припустимо, що ω̂ =
ω
{l}
1 , де ω1 ∈ Bs(l). Тодi з рiвностi (4) маємо ω{l}0 = ω
{l}
1 . Отже, за
твердженням 1 i [12, властивiсть 5(1)], ω1 = 〈! l← l〉ω0 = ω0. �
Означення 3. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт ω̂ ∈ Bs(Z) i l ∈
Lk (Z). Елементарно-часовий стан ω ∈ Bs(l) будемо називати
образом елементарно-часового стану ω̂ в системi вiдлiку l,
якщо ω̂ = ω{l}.
Згiдно з твердженням 3, довiльний елементарно-часовий стан
ω̂ ∈ Bs(Z) в довiльнiй системi вiдлiку l ∈ Lk (Z) має, причому
лише один, образ. Образ елементарно-часового стану ω̂ ∈ Bs(Z)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 131
в системi вiдлiку l ∈ Lk (Z) будемо позначати через ω̂{l,Z} (або
через ω̂{l} у тих випадках, коли наперед вiдомо, про який чв-
об’єкт Z йде мова).
Таким чином, згiдно з означенням 3, для довiльного ω̂ ∈
Bs(Z) справедлива рiвнiсть:(
ω̂{l}
){l}
= ω̂. (5)
З iншої сторони, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (Z)
i довiльного елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l), поклавши
ω̂ := ω{l}, за означенням 3, маємо ω = ω̂{l}, тобто:(
ω{l}
)
{l}
= ω (∀l ∈ Lk (Z) ∀ω ∈ Bs(l)) . (6)
З рiвностей (5) i (6) отримуємо такий наслiдок:
Наслiдок 2. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Тодi для l ∈
Lk (Z) маємо:
1. Вiдображення (·){l} є бiєкцiєю з Bs(l) на Bs(Z).
2. Вiдображення (·){l} є бiєкцiєю з Bs(Z) на Bs(l).
3. Вiдображення (·){l} обернене до вiдображення (·){l}.
Твердження 4. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l,m ∈ Lk (Z)
— довiльнi системи вiдлiку Z. Тодi для довiльного ω̂ ∈ Bs(Z)
справедлива рiвнiсть:
ω̂{m} = 〈! m← l〉 ω̂{l}.
Доведення. Нехай ω̂ ∈ Bs(Z). Застосовуючи наслiдок 1 до
елементарно-часового стану ω̂{l} ∈ Bs(l) i використовуючи рiв-
нiсть (5), отримуємо:(
〈! m← l〉 ω̂{l}
){m}
=
(
ω̂{l}
){l}
= ω̂.
132 Я. I. Грушка
Звiдси, використовуючи рiвнiсть (6), маємо:
ω̂{m} =
((
〈! m← l〉 ω̂{l}
){m})
{m}
= 〈! m← l〉 ω̂{l}.
�
Твердження 5. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l,m ∈ Lk (Z)
— довiльнi системи вiдлiку Z. Тодi для довiльного ω ∈ Bs(l)
справедлива рiвнiсть:(
ω{l}
)
{m}
= 〈! m← l〉ω.
Доведення. Нехай ω ∈ Bs(l). Застосовуючи наслiдок 1 i вико-
ристовуючи рiвнiсть (6), отримуємо:(
ω{l}
)
{m}
=
(
(〈! m← l〉ω){m}
)
{m}
= 〈! m← l〉ω.
�
Означення 4. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Образом мiн-
ливої системи Â ⊆ Bs(Z) у системi вiдлiку l ∈ Lk (Z) бу-
демо називати множину, Â{l,Z} =
{
ω̂{l.Z} | ω̂ ∈ Â
}
. Зокрема
Â{l,Z} = ∅, якщо Â = ∅.
Будь-яка мiнлива система A ⊆ Bs(l) в системi вiдлiку
l ∈ Lk (Z) породжує (загальну) мiнливу систему, A{l,Z} :={
ω{l,Z} | ω ∈ A
}
. Зокрема A{l,Z} = ∅, якщо A = ∅.
Зауваження 2. У тих випадках, коли наперед вiдомо, про який
чв-об’єкт йде мова, замiсть позначень Â{l,Z} i A{l,Z} будемо ви-
користовувати позначення Â{l} i A{l}вiдповiдно.
Використовуючи рiвностi (5) i (6), для довiльного чв-об’єкта
Z отримуємо такi рiвностi:(
Â{l}
){l}
= Â.
(
∀l ∈ Lk (Z) ∀Â ⊆ Bs(Z)
)
; (7)(
A{l}
)
{l}
= A (∀l ∈ Lk (Z) ∀A ⊆ Bs(l)) . (8)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 133
3. Ланцюговi шляхи унiверсальних кiнема-
тик i означення часонезворотностi
Нагадаємо, що в роботi [13, означення 4] (див. також [9, стор.
28,29], [14, стор. 1209,1210]) для довiльної базової мiнливої мно-
жини B було введено множину Ll(B) всiх ланцюгiв на множинi
елементарно-часових станiв B, а також множину Ld(B) всiх лiнiй
долi B. Тому, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (Z) довiльного
чв-об’єкта Z можна покласти:
Ll (l) := Ll (lˆ) , Ld (l) = Ld (lˆ) .
де lˆ — базова мiнлива множина, пов’язана iз системою вiдлiку
l в сенсi [9, стор. 34], [10, стор. 209]. Враховуючи [13, означення
4], означення ланцюга i лiнiї долi в системi вiдлiку l ∈ Lk (Z)
можна переформулювати наступним чином:
Означення 5. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l ∈ Lk (Z). Не-
порожня пiдмножина N ⊆ Bs(l) називається транзитивною
в l, якщо для довiльних ω1, ω2, ω3 ∈ N з умов ω3←
l
ω2 i ω2←
l
ω1
випливає ω3←
l
ω1.
Транзитивна пiдмножина L ⊆ Bs(l) називається ланцюгом
в l, якщо для довiльних ω1, ω2 ∈ L має мiсце хоч одне iз спiввiд-
ношень ω2←
l
ω1 або ω1←
l
ω2. Множину всiх ланцюгiв l познача-
ємо через Ll (l):
Ll (l) = {L ⊆ Bs(l) | L є ланцюгом l} .
Ланцюг L ∈ Ll (l) називається лiнiєю долi l, якщо вiн є ма-
ксимальним ланцюгом, тобто якщо не iснує ланцюга L1 ∈ Ll (l)
такого, що L ⊂ L1, де символ “⊂” означає строге включення
множин. Множину всiх лiнiй долi l позначаємо через Ld (l):
Ld (l) = {L ∈ Ll (l) | L є лiнiєю долi l} .
134 Я. I. Грушка
Означення 6. Нехай, Z — довiльний чв-об’єкт. Мiнливу систе-
му Â ⊆ Bs(Z) будемо називати кусково-ланцюговою, якщо
iснують послiдовностi мiнливих систем Â1, · · · , Ân ⊆ Bs(Z) i
систем вiдлiку l1, · · · , ln ∈ Lk (Z) (n ∈ N) такi, що:
(а)
(
Âk
)
{lk}
∈ Ll (lk)
(
∀k ∈ 1, n
)
; 3
(б)
⋃n
k=1 Âk = Â;
i при цьому у випадку n ≥ 2 виконуються такi додатковi умови:
(в) Âk ∩ Âk+1 6= ∅
(
∀k ∈ 1, n− 1
)
;
(г) для довiльного k ∈ 1, n− 1 i для довiльних ω1 ∈(
Âk \ Âk+1
)
{lk}
i ω2 ∈
(
Âk ∩ Âk+1
)
{lk}
виконується не-
рiвнiсть tm (ω1) <lk tm (ω2);
(д) для довiльного k ∈ 2, n i для довiльних ω1 ∈
(
Âk−1 ∩ Âk
)
{lk}
i ω2 ∈
(
Âk \ Âk−1
)
{lk}
виконується нерiвнiсть tm (ω1) <lk
tm (ω2).
При цьому упорядкований набiр з n + 1 елементiв виду,
A =
(
Â,
(
Â1, l1
)
, · · ·
(
Ân, ln
))
будемо називати ланцюговим
шляхом чв-об’єкта Z.
Зауваження 3. Пiдкреслимо, що коли в умовах (г) або (д) озна-
чення 6 Âk \ Âk+1 = ∅ або Âk \ Âk−1 = ∅, то, користуючись
правилами формальної логiки, вiдповiдну умову будемо вважа-
ти виконаною.
Означення 7. Нехай C — довiльна кiнематична множина або
унiверсальна кiнематика.
3Надалi через m,n (m,n ∈ N, m ≤ n) будемо позначати множину, m,n =
{m, · · · , n}.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 135
(а) Мiнливу систему A ⊆ Bs(l) будемо називати
геометрично-стацiонарною в системi вiдлiку
l ∈ Lk (C), якщо A ∈ Ll(l) i для довiльних ω1, ω2 ∈ A
виконується рiвнiсть bs
(
Q〈l〉 (ω1)
)
= bs
(
Q〈l〉 (ω2)
)
.
(б) Множину всiх геометрично-стацiонарних мiнливих си-
стем у системi вiдлiку l будемо позначати через Lg(l,C).
У тих випадках, коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну
множину або унiверсальну кiнематику C йде мова, будемо
використовувати позначення Lg(l).
(в) Ланцюговий шлях A =
(
Â,
(
Â1, l1
)
, · · · ,
(
Ân, ln
))
в
C (n ∈ N) будемо називати кусково геометрично-
стацiонарним, якщо ∀k ∈ 1, n
(
Âk
)
{lk}
∈ Lg (lk).
З фiзичної точки зору кусково геометрично-стацiонарний
шлях можна трактувати як процес “мандрiв” спостерiгача (або
якоїсь матерiальної частинки), що рухається, “перескакуючи”
скiнченну кiлькiсть разiв з однiєї системи вiдлiку в iншу.
Означення 8. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i A =(
Â,
(
Â1, l1
)
, · · · ,
(
Ân, ln
))
довiльний ланцюговий шлях в Z.
1. Елемент ω̂s ∈ Bs(Z) будемо називати початковим еле-
ментом шляху A , якщо ω̂s ∈ Â1 i для довiльного ω̂ ∈ Â1
справедлива нерiвнiсть tm
(
(ω̂s){l1}
)
≤l1 tm
(
ω̂{l1}
)
.
2. Елемент ω̂f ∈ Bs(Z) будемо називати кiнцевим елемен-
том шляху A , якщо ω̂f ∈ Ân i для довiльного ω̂ ∈ Ân
справедлива нерiвнiсть tm
(
ω̂{ln}
)
≤ln tm
(
(ω̂f ){ln}
)
.
3. Ланцюговий шлях, що має (хоча б один) початковий i (хо-
ча б один) кiнцевий елемент, будемо називати замкну-
тим.
136 Я. I. Грушка
Твердження 6. Будь-який ланцюговий шлях A довiльного чв-
об’єкта Z може мати не бiльш, нiж один початковий i не
бiльш, нiж один кiнцевий елемент.
Доведення. (а) Нехай, ω̂s, ω̂x — два початкових елементи
ланцюгового шляху A =
(
Â,
(
Â1, l1
)
, · · · ,
(
Ân, ln
))
. Тодi, за
означенням 8, ω̂s, ω̂x ∈ Â1, tm
(
(ω̂s){l1}
)
≤l1 tm
(
(ω̂x){l1}
)
i
tm
(
(ω̂x){l1}
)
≤l1 tm
(
(ω̂s){l1}
)
. Отже:
tm
(
(ω̂s){l1}
)
= tm
(
(ω̂x){l1}
)
. (9)
Оскiльки ω̂s, ω̂x ∈ Â1, то (ω̂s){l1} , (ω̂x){l1} ∈
(
Â1
)
{l1}
, де, за
означенням 6 (пiдпункт (а)),
(
Â1
)
{l1}
∈ Ll (l1). Тобто, згiдно
з [14, твердження 3.5 (пункт 1)],
(
Â1
)
{l1}
є функцiєю з Tm (l1) в
Bs (l1). Тому, використовуючи рiвнiсть ω = (tm (ω) , bs (ω)) (ω ∈
Bs (l1)) i формулу (9), отримуємо:
bs
(
(ω̂s){l1}
)
=
(
Â1
)
{l1}
(
tm
(
(ω̂s){l1}
))
=
=
(
Â1
)
{l1}
(
tm
(
(ω̂x){l1}
))
= bs
(
(ω̂x){l1}
)
.
З останньої рiвностi i рiвностi (9) маємо:
(ω̂s){l1} =
(
tm
(
(ω̂s){l1}
)
, bs
(
(ω̂s){l1}
))
=
=
(
tm
(
(ω̂x){l1}
)
, bs
(
(ω̂x){l1}
))
= (ω̂x){l1} .
Отже, згiдно з формулою (5), маємо, ω̂s =
(
(ω̂s){l1}
){l1}
=(
(ω̂x){l1}
){l1}
= ω̂x.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 137
(б) Аналогiчно доводиться, що ланцюговий шлях A може ма-
ти не бiльш, нiж один кiнцевий елемент. �
Початковий елемент ланцюгового шляху A чв-об’єкта Z
(якщо вiн iснує) будемо позначати через po (A ,Z), або через
po (A ). Кiнцевий елемент ланцюгового шляху A будемо позна-
чати через ki (A ,Z), або через ki (A ). При цьому позначення
po (A ) i ki (A ) використовуються у випадках, коли це не викли-
кає непорозумiнь. Таким чином, для довiльного замкнутого лан-
цюгового шляху A завжди iснує po (A ) i ki (A ).
Означення 9. Замкнутий ланцюговий шлях A чiтко видимої
кiнематичної множини або унiверсальної кiнематики C будемо
називати геометрично-циклiчним вiдносно системи вiдлiку
l ∈ Lk (C), якщо bs
(
Q〈l〉
(
po (A ){l}
))
= bs
(
Q〈l〉
(
ki (A ){l}
))
.
Зауваження 4. Нехай C — кiнематична множина або унiверсаль-
на кiнематика. За означенням координат Мiнковського (див. [8,
формула (2)]), для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (C) i до-
вiльного елементарно-часового стану ω ∈ Bs(l) мають мiсце такi
рiвностi:
bs
(
Q〈l〉(ω)
)
= ql (bs (ω)) ;
tm
(
Q〈l〉(ω)
)
= tm (ω) . (10)
Звiдси випливає, що замкнутий ланцюговий шлях A чiтко ви-
димої кiнематичної множини або унiверсальної кiнематики C є
геометрично-циклiчним вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk (C) тодi
i тiльки тодi, коли:
ql
(
bs
(
po (A ){l}
))
= ql
(
bs
(
ki (A ){l}
))
.
Означення 10. Унiверсальну кiнематику F будемо назива-
ти часонезворотною, якщо для довiльної системи вiдлiку
l ∈ Lk (F) i для довiльного геометрично-циклiчного вiдносно l
138 Я. I. Грушка
кусково геометрично-стацiонарного в F ланцюгового шляху A
справедлива нерiвнiсть tm
(
po (A ){l}
)
≤l tm
(
ki (A ){l}
)
.
Унiверсальну кiнематику F будемо називати часозворо-
тною, якщо вона не є часонезворотною.
Фiзичний змiст поняття часонезворотної кiнематики полягає
в тому, що в таких кiнематиках реально вiдсутнi “часозворотнi”
об’єкти або процеси, що потрапляють у власне минуле, “мандру-
ючи” мiж системами вiдлiку. Навпаки, в часозворотних кiнема-
тиках “часозворотнi” об’єкти або процеси iснують.
Нагадаємо, що в роботi [15, означення 6] було введено понят-
тя еквiвалентних вiдносно перетворень координат унiверсальних
кiнематик F1 i F2 (F1 [≡]F2).
Означення 11. Будемо говорити, що унiверсальна кiнемати-
ка F є безумовно часонезворотною, якщо часонезворотною
є довiльна кiнематика F1 така, що F [≡]F1. В протилежно-
му випадку будемо говорити, що унiверсальна кiнематика F є
умовно часозворотною.
Оскiльки, згiдно з [15, твердження 3], для довiльної унiвер-
сальної кiнематики F справедливе спiввiдношення F [≡]F , то
отримуємо наступний наслiдок з означення 11:
Наслiдок 3. Будь-яка безумовно часонезворотна унiверсальна
кiнематика F є часонезворотною.
Можна довести, що твердження, обернене до наслiдку 3 —
не правильне, тобто iснують часонезворотнi унiверсальнi кiне-
матики, якi не є безумовно часонезворотними (тобто є умовно
часозворотними).
Фiзичний змiст поняття безумовно часонезворотної кiнемати-
ки полягає в тому, що в таких кiнематиках, в принципi, немо-
жливi “часовi парадокси”, що полягають в iснуваннi потенцiйної
можливостi вплинути на власне минуле. Навпаки, в умовно ча-
созворотних кiнематиках iснує потенцiйна можливiсть “прийти”
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 139
на початок власного шляху у минулому часi, а отже i змiнити
власне минуле, хоча, в часонезворотних, але умовно часозворо-
тних кiнематиках така можливiсть реально не реалiзована у тому
сценарiї еволюцiї, що дiє у вiдповiднiй кiнематицi.
4. Про напрямок часу мiж системами вiд-
лiку унiверсальних кiнематик
У цьому роздiлi будуть введенi певнi допомiжнi поняття, необхi-
днi для того, щоб сформулювати достатню ознаку умовної часо-
зворотностi для унiверсальних кiнематик.
Означення 12. Нехай F — унiверсальна кiнематика.
1. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk (F) є ча-
соневiд’ємною в F вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk (F)
(позначення m ⇑F l), якщо для довiльних w1,w2 ∈ Mk (l) з
умов bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) ≤l tm (w2) випливає нерiв-
нiсть: tm ([m← l] w1) ≤m tm ([m← l] w2).
2. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk (F) є часо-
додатною в F вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk (F) (по-
значення m ⇑+F l), якщо для довiльних w1,w2 ∈ Mk (l) з
умов bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) <l tm (w2) випливає нерiв-
нiсть tm ([m← l] w1) <m tm ([m← l] w2).
3. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk (F) є ча-
сонедодатною в F вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk (F)
(позначення m ⇓F l), якщо для довiльних w1,w2 ∈ Mk (l) з
умов bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) ≤l tm (w2) випливає нерiв-
нiсть: tm ([m← l] w1) ≥m tm ([m← l] w2).
4. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk (F) є часо-
вiд’ємною в F вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk (F) (по-
значення m ⇓−F l), якщо для довiльних w1,w2 ∈ Mk (l) з
140 Я. I. Грушка
умов bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) <l tm (w2) випливає нерiв-
нiсть tm ([m← l] w1) >m tm ([m← l] w2).
Твердження 7. Нехай F — унiверсальна кiнематика.
1) Якщо l,m ∈ Lk (F) i m ⇑+F l, то m ⇑F l.
2) Якщо l,m ∈ Lk (F) i m ⇓−F l, то m ⇓F l.
(Iншими словами, з часододатностi випливає часоневiд’єм-
нiсть, а з часовiд’ємностi — часонедодатнiсть).
Доведення.
1) Справдi, нехай l,m ∈ Lk (F) i m ⇑+F l. Тодi для довiльних
w1,w2 ∈ Mk (l) таких, що bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) ≤l tm (w2),
маємо:
(а) У випадку tm (w1) <l tm (w2), за означенням 12, пункт 2,
tm ([m← l] w1) <m tm ([m← l] w2).
(б) У випадку tm (w1) = tm (w2), з умови bs (w1) = bs (w2)
маємо w1 = w2, а отже tm ([m← l] w1) = tm ([m← l] w2).
2) Другий пункт твердження доводиться аналогiчно. �
5. Достатня ознака умовної часозворотно-
стi
Корисною для встановлення умовної часозворотностi тахiонових
кiнематик, пов’язаних з узагальненими перетвореннями Лоренца
в сенсi E. Recami, є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай в унiверсальнiй кiнематицi F iснують си-
стеми вiдлiку l0, l1, l2 ∈ Lk (F) i елементи w0 ∈Mk (l0)∩Mk (l1),
w1 ∈ Mk (l1) ∩Mk (l2), w2 ∈ Mk (l2), w′0 ∈ Mk (l0), що задоволь-
няють такi умови:
1. l0 ⇓−F l1 i l0 ⇓−F l2.
2. [l1← l0] w0 = w0; [l2← l1] w1 = w1; [l0← l2] w2 = w′0.
3. bs (w0) = bs (w1) = bs (w2) = bs (w′0).
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 141
4. tm (w0) ≤l1 tm (w1) ≤l2 tm (w2), i при цьому має мiсце
хоч одна iз (строгих) нерiвностей tm (w0) <l1 tm (w1) або
tm (w1) <l2 tm (w2).
Тодi унiверсальна кiнематика F є умовно часозворотною.
Доведення. Нехай виконуються умови теореми. Покладемо:
r1 := {[l0← l1] w | w ∈Mk (l1) , bs (w) = bs (w0) ,
tm (w0) ≤l1 tm (w) ≤l1 tm (w1)} ; (11)
r2 := {[l0← l2] w | w ∈Mk (l2) , bs (w) = bs (w1) ,
tm (w1) ≤l2 tm (w) ≤l2 tm (w2)} ; (12)
r := r1 ∪ r2. (13)
Для доведення теореми нижче буде встановлено деякi властиво-
стi множин r,r1 i r2
r10) r1, r2, r ⊆Mk (l0).
Справдi, дана властивiсть випливає з формул (11), (12), (13) та
означень унiверсальних кiнематик i унiверсальних перетворень
координат (див. [8]).
r20) r1 i r2 є абстрактними траєкторiями з Tm (l0) в Zk (l0)
(в сенсi [9, definition 6.1] або [14, означення 1.4]).
Справдi, нехай w′1,w
′
2 ∈ r1 i tm (w′1) = tm (w′2). Доведемо, що
w′1 = w′2. Припустимо супротивне, w′1 6= w′2. За означенням
r1 (див. (11)), iснують w∼1 ,w
∼
2 ∈ Mk (l1) такi, що bs (w∼1 ) =
bs (w∼2 ) = bs (w0) i [l0← l1] w∼i = w′i (i ∈ 1, 2). Оскiльки, за при-
пущенням, w′1 6= w′2 i, згiдно з [8, формули (6),(7)], вiдображення
[l0← l1] є бiєкцiєю з Mk (l1) на Mk (l0), то w∼1 6= w∼2 . I оскiльки
bs (w∼1 ) = bs (w∼2 ), то отримуємо tm (w∼1 ) 6= tm (w∼2 ). Отже, мо-
жливi лише два випадки: tm (w∼1 ) <l1 tm (w∼2 ) або tm (w∼2 ) <l1
tm (w∼1 ). Але, оскiльки l0 ⇓−F l1 i bs (w∼1 ) = bs (w∼2 ), то, за означе-
нням 12 (пункт 4), в обох випадках отримуємо спiввiдношення
142 Я. I. Грушка
tm ([l0← l1] w∼1 ) 6= tm ([l0← l1] w∼2 ), тобто tm (w′1) 6= tm (w′2), що
суперечить умовi tm (w′1) = tm (w′2), сформульованiй на поча-
тку доведення даної властивостi. Отже, припущення про те, що
w′1 6= w′2 — помилкове, тому для довiльних w′1,w
′
2 ∈ r1 з умо-
ви tm (w′1) = tm (w′2) випливає рiвнiсть w′1 = w′2. Таким чином,
враховуючи властивiсть r10), отримуємо, що r1 є функцiєю з мно-
жини D (r1) = {tm (w′) | w′ ∈ r1} ⊆ Tm (l0) в множину Zk (l0),
тобто абстрактною траєкторiєю з Tm (l0) в Zk (l0). Аналогiчно
доводиться, що r2 є траєкторiєю з Tm (l0) в Zk (l0).
r30) [l0← l1] w1 ∈ r1 ∩ r2.
З рiвностi (11) та умов 3 i 4 даної теореми випливає,
що [l0← l1] w1 ∈ r1. Використовуючи рiвнiсть (12), маємо
[l0← l2] w1 ∈ r2. Згiдно з [8, формула (7)], [l0← l2] w1 =
[l0← l1] [l1← l2] w1. Звiдси, використовуючи умову даної теоре-
ми (пункт 2) i [8, формули (6) та (7)], отримуємо: [l0← l2] w1 =
[l0← l1] [l1← l2] [l2← l1] w1 = [l0← l1] [l1← l1] w1 = [l0← l1] w1. Та-
ким чином,
[l0← l1] w1 = [l0← l2] w1 ∈ r2, (14)
що й необхiдно було довести.
r40) Для довiльного елемента u1 ∈ r1 справедлива нерiв-
нiсть tm (u1) ≥l0 tm ([l0← l1] w1). При цьому, якщо u1 6=
[l0← l1] w1, то виконується строга нерiвнiсть tm (u1) >l0
tm ([l0← l1] w1).
Нехай u1 ∈ r1. Тодi, згiдно з (11), iснує елемент u∼1 ∈ Mk (l1)
такий, що bs (u∼1 ) = bs (w0),
tm (u∼1 ) ≤l1 tm (w1) (15)
i u1 = [l0← l1] u∼1 . I, оскiльки за умовою теореми (пункти 3 i 1)
bs (u∼1 ) = bs (w0) = bs (w1) (16)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 143
i l0 ⇓−F l1, то, згiдно з твердженням 7 i означенням 12 (пункт 3),
з нерiвностi (15) отримуємо нерiвнiсть:
tm (u1) = tm ([l0← l1] u∼1 ) ≥l0 tm ([l0← l1] w1) . (17)
Якщо ж додатково u1 6= [l0← l1] w1, то нерiвнiсть (15) перетво-
рюється в строгу 4, i замiсть нерiвностi (17), використовуючи
означення 12 (пункт 4), отримаємо строгу нерiвнiсть tm (u1) >l0
tm ([l0← l1] w1), що й необхiдно було довести.
r50) Для довiльного елемента u2 ∈ r2 справедлива нерiв-
нiсть tm ([l0← l1] w1) ≥l0 tm (u2). При цьому, якщо
u2 6= [l0← l1] w1, то виконується строга нерiвнiсть
tm ([l0← l1] w1) >l0 tm (u2).
Нехай u2 ∈ r2. Тодi, згiдно з (12), iснує елемент u∼2 ∈ Mk (l2)
такий, що bs (u∼2 ) = bs (w1),
tm (w1) ≤l2 tm (u∼2 ) (18)
i u2 = [l0← l2] u∼2 . I оскiльки, за умовою теореми (пункт 1),
l0 ⇓−F l2, то, згiдно з твердженням 7 i означенням 12 (пункт
3), з нерiвностi (18) отримуємо нерiвнiсть tm ([l0← l2] w1) ≥l0
tm ([l0← l2] u∼2 ) = tm (u2). Звiдси, враховуючи (14), отримуємо
нерiвнiсть:
tm ([l0← l1] w1) ≥l0 tm (u2) . (19)
Якщо ж додатково u2 6= [l0← l1] w1, то нерiвнiсть (18) перетворю-
ється в строгу i, використовуючи означення 12 (пункт 4), замiсть
нерiвностi (19) отримаємо строгу нерiвнiсть tm ([l0← l1] w1) >l0
tm (u2), що й необхiдно було довести.
r60) r1 ∩ r2 = {[l0← l1] w1}.
4 Справдi, якщо припустити рiвнiсть tm (u∼1 ) = tm (w1), то з рiвностi (16)
отримаємо рiвнiсть u∼1 = w1, а отже i рiвнiсть u1 = [l0← l1] u
∼
1 = [l0← l1] w1.
144 Я. I. Грушка
Справдi, згiдно з властивiстю r30), {[l0← l1] w1} ⊆ r1 ∩ r2. Нехай
u ∈ r1 ∩ r2. Тодi, на основi властивостей r40) i r50), отримуємо
нерiвностi tm (u) ≥l0 tm ([l0← l1] w1) i tm ([l0← l1] w1) ≥l0 tm (u).
Отже, tm (u) = tm ([l0← l1] w1). Звiдси, на основi властивостi r20)
робимо висновок, що u = [l0← l1] w1.
r70) r є абстрактною траєкторiєю з Tm (l0) в Zk (l0).
Нехай u1,u2 ∈ r = r1 ∪ r2 i tm (u1) = tm (u2). У випадку, ко-
ли u1, u2 ∈ r1 або u1,u2 ∈ r2, згiдно з властивiстю r20) отри-
муємо u1 = u2. Отже, залишилось розглянути випадки u1 ∈
r1 \ r2, u2 ∈ r2 \ r1 i u2 ∈ r1 \ r2, u1 ∈ r2 \ r1. У випадку
u1 ∈ r1 \ r2, u2 ∈ r2 \ r1 маємо u1,u2 /∈ r1 ∩ r2, а отже, за
властивiстю r60), u1,u2 6= [l0← l1] w1. Тому, згiдно з властиво-
стями r40) i r50), маємо нерiвностi tm (u1) >l0 tm ([l0← l1] w1) i
tm ([l0← l1] w1) >l0 tm (u2). Отже, tm (u1) >l0 tm (u2), що супере-
чить умовi tm (u1) = tm (u2). Таким чином, випадок u1 ∈ r1 \ r2,
u2 ∈ r2 \ r1 — неможливий. Аналогiчно неможливим є випадок
u2 ∈ r1 \ r2, u1 ∈ r2 \ r1. Отже, у всiх можливих випадках iз
спiввiдношень u1,u2 ∈ r i tm (u1) = tm (u2) випливає рiвнiсть
u1 = u2. Це, враховуючи властивiсть r10), означає, що r є фун-
кцiєю з D (r) = {tm (w′) | w′ ∈ r} ⊆ Tm (l0) в множину Zk (l0),
тобто абстрактною траєкторiєю з Tm (l0) в Zk (l0).
r80) w0 ∈ r1; w′0 ∈ r2.
Використовуючи умову 2 теореми та [8, формули (6), (7)], отри-
муємо, [l0← l1] w0 = [l0← l1] [l1← l0] w0 = w0, де, згiдно з умо-
вою 4 даної теореми, tm (w0) ≤l1 tm (w1). Отже, згiдно з (11),
w0 ∈ r1. Далi, згiдно з умовами 2, 3, 4 даної теореми, маємо
[l0← l2] w2 = w′0, де bs (w2) = bs (w1) i tm (w1) ≤l2 tm (w2). Отже,
згiдно з (12), w′0 ∈ r2.
Таким чином, властивостi r10)–r80) доведено.
Оскiльки, згiдно з властивiстю r70), r є абстрактною траєкто-
рiєю з Tm (l0) в Zk (l0), то, згiдно з [16, лема 2], iснує еволю-
цiйно видима унiверсальна кiнематика F1 така, що F1 диз’юн-
ктна з F i траєкторiя r є траєкторiєю елементарного процесу
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 145
(тобто лiнiї долi) в системi вiдлiку l0 �F1 = lkind(l0) (F1). От-
же, ∃L ∈ Ld (l0 �F1)
(
r = trjl0�F1 [L,F1]
)
. За означенням лiнiї до-
лi (див. означення 5), L є мiнливою системою в системi вiдлiку
l0 �F1 , тобто L ⊆ Bs (l0 �F1). За означенням траєкторiї мiнливої
системи (див. [16, формула (2)]), маємо:
r = trjl0�F1 [L,F1] =
{
Q〈l0�F1〉 (ω;F1) | ω ∈ L
}
. (20)
Надалi для систем вiдлiку l,m ∈ Lk (F) будемо використовувати
скороченi позначення:
ω{l�F1} := ω{l�F1 ,F1} (ω ∈ Bs (l �F1)) ;
(ω̂){l�F1} := (ω̂){l�F1 ,F1} (ω̂ ∈ Bs (F1)) ;
〈m← l, � F1〉 := 〈m �F1 ← l �F1 , F1〉 ;
〈! m← l, � F1〉 := 〈! m �F1 ← l �F1 , F1〉 ;
Q〈l�F1〉 (ω) := Q〈l�F1〉 (ω;F1) (ω ∈ Bs (l �F1)) ;
[m← l, � F1] := [m �F1 ← l �F1 , F1] .
(21)
З урахуванням скорочених позначень (21) формула (20) набуває
вигляду:
r =
{
Q〈l0�F1〉 (ω) | ω ∈ L
}
. (22)
Покладемо:
L̂ := L{l0�F1}, (23)
де A{l0�F1} = A{l0�F1 ,F1} =
{
ω{l0�F1} | ω ∈ A
}
(A ⊆ Bs (l0 �F1)).
Розглянемо вiдображення f : L̂ 7→ Mk (l0 �F1), що дiє за фор-
мулою:
f (ω̂) := Q〈l0�F1〉
(
ω̂{l0�F1}
)
, ω ∈ L̂. (24)
Встановимо деякi властивостi вiдображення f .
f10) f є бiєкцiєю з L̂ на r.
146 Я. I. Грушка
Вiдображення f можна розкласти на композицiю двох вiдобра-
жень:
f (ω̂) = f2 (f1 (ω̂)) , ω ∈ L̂, де
f1 (ω̂) = ω̂{l0�F1}, ω ∈ L̂;
f2 (ω) = Q〈l0�F1〉 (ω) , ω ∈ L.
З формули (23), наслiдка 2 (пункт 2) та формули (8) випливає,
що f1 є бiєкцiєю з L̂ на L̂{l0�F1} =
(
L{l0�F1}
)
{l0�F1}
= L (тобто з
L̂ на L). Отже, для доведення твердження f10) досить показати,
що f2 бiєктивно вiдображає L на r. З формули (22) випливає, що
R (f2) = f2 (L) = r, де R (f2) — область значень вiдображення
f2. Отже, залишається довести, що вiдображення f2 — взаємно-
однозначне.
Нехай ω1, ω2 ∈ L i ω1 6= ω2. Оскiльки L ∈ Ld (Ld (l0 �F1)),
то, за означенням 5, L ∈ Ll (l0 �F1). Отже, за означенням
5, мусить виконуватись хоча б одна з умов ω2←−−−
l0�F1
ω1 або
ω1←−−−
l0�F1
ω2. Звiдси, оскiльки ω1 6= ω2, згiдно з [8, власти-
вiсть 2(1)], маємо, tm (ω1) <l0�F1
tm (ω2) або tm (ω2) <l0�F1
tm (ω1), тобто tm (ω1) 6= tm (ω2). Звiдси, згiдно з (10), маємо,
tm
(
Q〈l0�F1〉 (ω1)
)
6= tm
(
Q〈l0�F1〉 (ω2)
)
. Отже, Q〈l0�F1〉 (ω1) 6=
Q〈l0�F1〉 (ω2), тобто f2 (ω1) 6= f2 (ω2), що й треба було довести.
Для того, щоб сформулювати наступну властивiсть, введемо
додатковi позначення. Покладемо:
L̂1 :=
{
ω̂ ∈ L̂ | f (ω̂) ∈ r1
}
; (25)
L̂2 :=
{
ω̂ ∈ L̂ | f (ω̂) ∈ r2
}
.
Тодi, згiдно з (13), маємо:
L̂ = L̂1 ∪ L̂2, (26)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 147
а, згiдно з властивостями r60) i f10), отримуємо:
L̂1 ∩ L̂2 =
{
f [−1] ([l0← l1,F ] w1)
}
, (27)
де f [−1] — вiдображення, обернене до f . Оскiльки кiнематика F1
— диз’юнктна з F , то, згiдно з [15, означення 12], маємо:
F1 [≡]F . (28)
f20) Для довiльних ω̂1, ω̂2 ∈ L̂1 наступнi твердження рiвно-
сильнi:
(i1) (ω̂2){l1�F1}←−−−l1�F1
(ω̂1){l1�F1};
(i2) tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
≤l1�F1
tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
;
(i3) tm (f (ω̂2)) ≤l0 tm (f (ω̂1)).
Пiдкреслимо, що нерiвнiсть (i3) слiд розумiти в системi вiд-
лiку l0 кiнематики F .
(i1)⇒ (i2) Iмплiкацiя (i1)⇒ (i2) випливає з [8, властивiсть 2(1)].
(i2)⇒ (i3) Нехай ω̂1, ω̂2 ∈ L̂1 i
tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
≤l1�F1
tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
. (29)
Використовуючи твердження 4 та [8, формула (5)], для i ∈ 1, 2
отримуємо:
Q〈l1�F1〉
(
(ω̂i){l1�F1}
)
= Q〈l1�F1〉
(
〈! l1← l0, � F1〉 (ω̂i){l0�F1}
)
=
= [l1← l0, � F1]Q
〈l0�F1〉
(
(ω̂i){l0�F1}
)
=
= [l1← l0, � F1]f (ω̂i) .
148 Я. I. Грушка
Звiдси, враховуючи спiввiдношення (28) та [15, означення 6
(пункт 3)], маємо:
Q〈l1�F1〉
(
(ω̂i){l1�F1}
)
= [l1← l0,F ]f (ω̂i) , i ∈ 1, 2.
З останньої рiвностi, враховуючи формулу (10), отримуємо:
tm
(
(ω̂i){l1�F1}
)
= tm ([l1← l0,F ]f (ω̂i)) , i ∈ 1, 2. (30)
Згiдно з формулою (25), f (ω̂i) ∈ r1 (i ∈ 1, 2). Отже, за фор-
мулою (11), f (ω̂i) можна подати у виглядi:
f (ω̂i) = [l0← l1,F ] vi, де (31)
bs (vi) = bs (w0) , i ∈ 1, 2.
Отже, згiдно з [8, формули (6) i (7)], для i ∈ 1, 2 маємо:
[l1← l0,F ]f (ω̂i) = [l1← l0,F ] [l0← l1,F ] vi = vi. (32)
З формул (30) i (32) випливає, що tm
(
(ω̂i){l1�F1}
)
= tm (vi). От-
же, враховуючи (29), маємо tm (v1) ≤l1�F1
tm (v2). Звiдси, врахо-
вуючи спiввiдношення (28) та [15, означення 6 (пункт 2, фор-
мула (10))], отримуємо, tm (v1) ≤l1 tm (v2), де, згiдно з (31),
bs (v1) = bs (v2) = bs (w0). Тому, оскiльки за умовою теореми
l0 ⇓−F l1, використовуючи твердження 7 i означення 12 (пункт
3), маємо tm ([l0← l1,F ] v1) ≥l0 tm ([l0← l1,F ] v2). Звiдси, вико-
ристовуючи рiвнiсть (31), маємо tm (f (ω̂1)) ≥l0 tm (f (ω̂2)), що й
необхiдно було довести.
(i3)⇒ (i1) Нехай ω̂1, ω̂2 ∈ L̂1 i
tm (f (ω̂2)) ≤l0 tm (f (ω̂1)) . (33)
Розглянемо спочатку випадок tm (f (ω̂1)) = tm (f (ω̂2)). Оскiль-
ки, згiдно з властивiстю r70), r є абстрактною траєкторiєю з
Tm (l0) в Zk (l0) (тобто функцiєю з D(r) ⊆ Tm (l0) в Zk (l0)),
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 149
i, згiдно з властивiстю f10), f (ω̂1) ,f (ω̂2) ∈ r, то з умови
tm (f (ω̂1)) = tm (f (ω̂2)) випливає рiвнiсть f (ω̂1) = f (ω̂2). От-
же, за властивiстю f10), маємо, ω̂1 = ω̂2. Тому, (ω̂1){l1�F1} =
(ω̂2){l1�F1}. Звiдси, враховуючи [8, властивiсть 1(1)], отримуємо
бажане спiввiдношення (ω̂2){l1�F1}←−−−l1�F1
(ω̂1){l1�F1}.
Отже, надалi будемо вважати, що tm (f (ω̂1)) 6= tm (f (ω̂2)).
Тодi, згiдно з (33), маємо строгу нерiвнiсть:
tm (f (ω̂2)) <l0 tm (f (ω̂1)) . (34)
Звiдси, використовуючи доведену вище iмплiкацiю (i2) ⇒ (i3),
отримуємо нерiвнiсть:
tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
<l1�F1
tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
. (35)
(Справдi, в протилежному випадку, коли tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
≥l1�F1
tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
, користуючись iмплiкацiєю (i2) ⇒ (i3), ми б
отримали нерiвнiсть tm (f (ω̂1)) ≤l0 tm (f (ω̂2)), яка суперечить
нерiвностi (34)).
Оскiльки, за умовою ω̂1, ω̂2 ∈ L̂1, то, згiдно з (26), ω̂1, ω̂2 ∈ L̂.
Отже, враховуючи (23) та (8), маємо:
(ω̂1){l0�F1} , (ω̂2){l0�F1} ∈ L̂{l0�F1} = L.
Оскiльки L ∈ Ld (l0 �F1), то, за означенням 5, L ∈ Ll (l0 �F1).
Тому елементарно-часовi стани (ω̂1){l0�F1} , (ω̂2){l0�F1} ∈ L му-
сять бути об’єднанi долею в системi вiдлiку l0 �F1 (тобто ви-
конується хоча б одна з умов (ω̂2){l0�F1}←−−−l0�F1
(ω̂1){l0�F1} або
(ω̂1){l0�F1}←−−−l0�F1
(ω̂2){l0�F1}). Оскiльки кiнематика F1 — еволю-
цiйно видима i, згiдно з (35), tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
6= tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
,
то, згiдно з твердженням 4 та [15, твердження 23], елементарно-
часовi стани (ω̂1){l1�F1} = 〈! l1← l0, � F1〉 (ω̂1){l0�F1} i (ω̂2){l1�F1} =
150 Я. I. Грушка
〈! l1← l0, � F1〉 (ω̂2){l0�F1} мусять бути об’єднанi долею в системi
вiдлiку l1 �F1 . Тому повинне виконуватись хоча б одне iз спiввiд-
ношень:
(ω̂2){l1�F1}←−−−l1�F1
(ω̂1){l1�F1} або (36)
(ω̂1){l1�F1}←−−−l1�F1
(ω̂2){l1�F1} . (37)
Але, спiввiдношення (37) — неможливе, оскiльки в цьому випад-
ку, за доведеною вище iмплiкацiєю (i1) ⇒ (i3), ми б отримали
нерiвнiсть tm (f (ω̂1)) ≤l0 tm (f (ω̂2)), яка суперечить нерiвностi
(34). Отже, єдино можливим є спiввiдношення (36), що й треба
було довести.
Аналогiчно доводиться наступна властивiсть:
f30) Для довiльних ω̂1, ω̂2 ∈ L̂2 наступнi твердження рiвно-
сильнi:
(j1) (ω̂2){l2�F1}←−−−l2�F1
(ω̂1){l2�F1};
(j2) tm
(
(ω̂1){l2�F1}
)
≤l2�F1
tm
(
(ω̂2){l2�F1}
)
;
(j3) tm (f (ω̂2)) ≤l0 tm (f (ω̂1)).
Покладемо:
L =
(
L̂,
(
L̂1, l1 �F1
)
,
(
L̂2, l2 �F1
))
. (38)
Встановимо деякi властивостi упорядкованого набору L та його
компонентiв.
L 10)
(
L̂i
)
{li�F1}
∈ Ll (li �F1) (i ∈ 1, 2).
Розглянемо спочатку випадок i = 1. Для ω ∈
(
L̂1
)
{l1�F1}
покла-
демо:
g(ω) := tm
(
f
(
ω{l1�F1}
))
.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 151
З властивостi f20) (рiвносильнiсть (i1) ⇔ (i3)) та формули (6)
випливає, що для довiльних ω1, ω2 ∈
(
L̂1
)
{l1�F1}
має мiсце рiв-
носильнiсть:
ω2←−−−
l1�F1
ω1 ⇔ g (ω2) ≤l0 g (ω1) . (39)
Згiдно з [8, властивiсть 1(2)], вiдношення ≤l0 є транзитивним на
Tm (l0) i для довiльних t1, t2 ∈ Tm (l0) має мiсце хоч одна з умов
t1 ≤l0 t2 або t2 ≤l0 t1. Звiдси, використовуючи рiвносильнiсть
(39), отримуємо, що
(
L̂1
)
{l1�F1}
є ланцюгом в системi вiдлiку
l1 �F1 . Аналогiчно, з використанням властивостi f30) доводиться,
що
(
L̂2
)
{l2�F1}
є ланцюгом в системi вiдлiку l2 �F1 .
L 20) Якщо ω1 ∈
(
L̂1 \ L̂2
)
{l1�F1}
i ω2 ∈
(
L̂1 ∩ L̂2
)
{l1�F1}
, то
tm (ω1) <l1�F1
tm (ω2).
Нехай ω1 ∈
(
L̂1 \ L̂2
)
{l1�F1}
, ω2 ∈
(
L̂1 ∩ L̂2
)
{l1�F1}
. Тодi, за озна-
ченням 4, iснують ω̂1 ∈ L̂1 \ L̂2 i ω̂2 ∈ L̂1 ∩ L̂2 такi, що:
ωi = (ω̂i){l1�F1}
(
i ∈ 1, 2
)
. (40)
Iз спiввiдношення (27) випливає, що ω̂2 = f [−1] ([l0← l1,F ] w1),
крiм того, оскiльки ω̂1 ∈ L̂1 \ L̂2, то ω̂1 ∈ L̂1 i ω̂1 6=
f [−1] ([l0← l1,F ] w1). Отже, використовуючи властивiсть f10) i
формулу (25), маємо f (ω̂1) , f (ω̂2) ∈ r1, f (ω̂2) = [l0← l1,F ] w1,
f (ω̂1) 6= [l0← l1,F ] w1. Тому, згiдно з властивiстю r40):
tm (f (ω̂2)) = tm ([l0← l1,F ] w1) <l0 tm (f (ω̂1)) . (41)
Звiдси, враховуючи властивiсть f20) (рiвносильнiсть (i2) ⇔
(i3)), отримуємо:
tm
(
(ω̂1){l1�F1}
)
<l1�F1
tm
(
(ω̂2){l1�F1}
)
, (42)
152 Я. I. Грушка
оскiльки в протилежному випадку, згiдно з рiвносильнiстю
(i2) ⇔ (i3), ми б отримали нерiвнiсть tm (f (ω̂1)) ≤l0 tm (f (ω̂2)),
яка суперечить нерiвностi (41).
Враховуючи (40), нерiвнiсть (42) набуває бажаного вигляду
tm (ω1) <l1�F1
tm (ω2).
Аналогiчно з використанням властивостей r50) i f30) замiсть
r40) i f20) доводиться наступна властивiсть:
L 30) Для довiльних ω1 ∈
(
L̂1 ∩ L̂2
)
{l2�F1}
i ω2 ∈(
L̂2 \ L̂1
)
{l2�F1}
виконується нерiвнiсть tm (ω1) <l2�F1
tm (ω2).
З властивостi L 10), формул (26), (27), а також властивостей
L 20) та L 30) випливає, що всi пункти означення 6 для упо-
рядкованого набору L , що задається формулою (38), виконанi.
Отже, ми довели, що:
L 40) L є ланцюговим шляхом кiнематики F1.
Доведемо наступну властивiсть:
L 50) Ланцюговий шлях L є замкнутим, причому:
po (L ,F1) = f [−1] (w0) ;
ki (L ,F1) = f [−1] (w′0) .
Згiдно з властивiстю r80), w0 ∈ r1. Тому, згiдно з властивiстю
f10) та формулою (25), f [−1] (w0) ∈ L̂1. Нехай ω̂ ∈ L̂1. Тодi,
згiдно з (25), f (ω̂) ∈ r1. Отже, згiдно з (11), iснує елемент w ∈
Mk (l1) такий, що
bs (w) = bs (w0) ; tm (w0) ≤l1 tm (w) ; (43)
f (ω̂) = [l0← l1,F ] w. (44)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 153
Оскiльки (за умовою) l0 ⇓−F l1, то iз спiввiдношення (43),
враховуючи твердження 7 i означення 12 (пункт 3), отримує-
мо, tm ([l0← l1,F ] w0) ≥l0 tm ([l0← l1,F ] w). Звiдси, враховую-
чи умову 2 теореми i спiввiдношення (44), маємо, tm (w0) ≥l0
tm (f (ω̂)). Таким чином, враховуючи властивiсть f20) (рiвно-
сильнiсть (i2) ⇔ (i3)), отримуємо, що для довiльного ω̂ ∈ L̂1
справедлива нерiвнiсть:
tm
((
f [−1] (w0)
)
{l1�F1}
)
≤l1�F1
tm
(
ω̂{l1�F1}
)
.
Тому, за означенням 8 (пункт 1), f [−1] (w0) є початковим елемен-
том шляху L , тобто po (L ,F1) = f [−1] (w0). Аналогiчно доводи-
ться, що шлях L має кiнцевий елемент ki (L ,F1) = f [−1] (w′0).
L 60) Шлях L є геометрично циклiчним вiдносно системи вiд-
лiку l0 �F1 в кiнематицi F1.
Справдi, використовуючи (24) та властивiсть L 50), отримуємо:
Q〈l0�F1〉
(
po (L ,F1){l0�F1}
)
= f (po (L ,F1)) = w0;
Q〈l0�F1〉
(
ki (L ,F1){l0�F1}
)
= w′0.
При цьому, за умовою 3 теореми, bs (w0) = bs (w′0). Отже, за
означенням 9, шлях L є геометрично-циклiчним вiдносно l0 �F1
в кiнематицi F1.
L 70) Шлях L є кусково геометрично-стацiонарним в кiнема-
тицi F1.
Для того, щоб довести цю властивiсть необхiдно показати, що(
L̂k
)
{lk�F1}
∈ Lg (lk �F1 ,F1) (∀k ∈ 1, 2).
Для прикладу розглянемо випадок k = 1. Для довiльного ω =
ω̂{l1�F1} ∈
(
L̂1
)
{l1�F1}
, згiдно з твердженням 4 та [8, формула
154 Я. I. Грушка
(5)], маємо:
Q〈l1�F1〉(ω) = Q〈l1�F1〉
(
ω̂{l1�F1}
)
=
= Q〈l1�F1〉
(
〈! l1← l0, � F1〉 ω̂{l0�F1}
)
=
= [l1← l0, � F1]Q
〈l0�F1〉
(
ω̂{l0�F1}
)
=
= [l1← l0, � F1]f (ω̂) .
Оскiльки, згiдно з (28), F1 [≡]F , то, враховуючи [15, означення
6, пункт 3], з останньої рiвностi отримуємо рiвнiсть Q〈l1�F1〉(ω) =
[l1← l0,F ]f (ω̂), де, згiдно з (25), f (ω̂) ∈ r1. Тому, враховуючи
рiвнiсть (11) та [8, формули (6) та (7)], маємо:
bs
(
Q〈l1�F1〉(ω)
)
= bs ([l1← l0, F ]f (ω̂)) = bs (w0)
для довiльного ω ∈
(
L̂1
)
{l1�F1}
. Звiдси, враховуючи властивiсть
L 10), за означенням 7 маємо
(
L̂1
)
{l1�F1}
∈ Lg (l1 �F1 ,F1).
Аналогiчно доводиться, що
(
L̂2
)
{l2�F1}
∈ Lg (l2 �F1 ,F1).
Переходимо до завершення доведення теореми. Згiдно з вла-
стивiстю r80), маємо:
w0 ∈ r1; w′0 ∈ r2. (45)
При цьому з умови 4 даної теореми випливає, що tm (w0) <l1
tm (w1) або tm (w1) <l2 tm (w2), тобто що w0 6= w1 або w1 6= w2.
Звiдси, враховуючи [8, рiвностi (6),(7)], маємо [l0← l1,F ] w0 6=
[l0← l1,F ] w1 або [l0← l2,F ] w1 6= [l0← l2,F ] w2. Тому, враховую-
чи, що, згiдно з пунктом 2 умови даної теореми, [l1← l0,F ] w0 =
w0, [l0← l2,F ] w1 = [l0← l2,F ] [l2← l1,F ] w1 = [l0← l1,F ] w1,
[l0← l2,F ] w2 = w′0, маємо, що виконується хоча б одна з умов
w0 6= [l0← l1,F ] w1 або [l0← l1,F ] w1 6= w′0. Отже, враховуючи
(45) i властивостi r40), r50), маємо, що
tm (w0) ≥l0 tm ([l0← l1,F ] w1) ≥l0 tm
(
w′0
)
,
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 155
причому має мiсце хоча б одна iз строгих нерiвностей tm (w0) >l0
tm ([l0← l1,F ] w1) або tm ([l0← l1,F ] w1) >l0 tm (w′0). Таким чи-
ном, tm (w0) >l0 tm (w′0). Тому, враховуючи спiввiдношення (28)
i [15, означення 6 (формула (10))], маємо нерiвнiсть tm (w0) >l0�F1
tm (w′0). Звiдси, враховуючи (10), (24) та властивiсть L 50), має-
мо:
tm
(
po (L ,F1){l0�F1}
)
=
= tm
(
Q〈l0�F1〉
(
po (L ,F1){l0�F1}
))
=
= tm (f (po (L ,F1))) = tm
(
f
(
f [−1] (w0)
))
=
= tm (w0) >l0�F1
tm
(
w′0
)
= tm
(
ki (L ,F1){l0�F1}
)
. (46)
Отже, L є кусково геометрично стацiонарним i геометрично
циклiчним в системi вiдлiку l0 �F1 кiнематики F1 ланцюговим
шляхом, що задовольняє умову (46). Тому, за означенням 10,
кiнематика F1 є часозворотною. Оскiльки, згiдно з (28), F [≡]F1,
то кiнематика F є умовно часозворотною (за означенням 11). �
Означення 13. Будемо говорити, що система вiдлiку l ∈
Lk (F) є нерухомою вiдносно системи вiдлiку l0 ∈ Lk (F) в
унiверсальнiй кiнематицi F , якщо для довiльних w1,w2 ∈Mk(l)
з умови bs (w1) = bs (w2) випливає рiвнiсть bs ([l0← l] w1) =
bs ([l0← l] w2).
Наслiдок 4. Нехай в унiверсальнiй кiнематицi F iснують си-
стеми вiдлiку l0, l1 ∈ Lk (F) такi, що:
1. Система вiдлiку l1 нерухома вiдносно системи вiдлiку l0 в
кiнематицi F .
2. Iснує елемент w0 ∈ Mk (l0) ∩ Mk (l1) такий, що
[l1← l0] w0 = w0.
3. Iснує момент часу t1 ∈ Tm (l1) такий, що t1 >l1 tm (w0).
156 Я. I. Грушка
4. l0 ⇓−F l1.
Тодi кiнематика F є умовно часозворотною.
Доведення. Покладемо:
w1 := (t1, bs (w0)) ∈Mk (l1) ; l2 := l1;
w2 := w1; w′0 := [l0← l2] w2. (47)
Тодi будемо мати bs (w2) = bs (w1) = bs (w0). Отже, оскiльки си-
стема вiдлiку l1 є нерухомою вiдносно l0, використовуючи озна-
чення 13, другу умову наслiдку i [8, формули (6),(7)], маємо:
bs
(
w′0
)
= bs ([l0← l2] w2) = bs ([l0← l1] w2) =
= bs ([l0← l1] w0) = bs ([l0← l1] [l1← l0] w0) = bs (w0) .
Крiм того, згiдно з третьою умовою наслiдку, tm (w0) <l1
t1 = tm (w1). Оскiльки l2 = l1, то, згiдно з [8, формула (6)],
[l2← l1] w1 = [l1← l1] w1 = w1. Таким чином, системи вiдлiку
l0, l1, l2 i елементи w0,w1,w2,w
′
0 задовольняють всi умови тео-
реми 1. I, згiдно iз цiєю теоремою, унiверсальна кiнематика F є
умовно часозворотною. �
Зауваження 5. Умова 3 наслiдку 4 автоматично виконується у
випадку, якщо лiнiйно-упорядкована множина Tm (l1) є необме-
женою зверху, зокрема, якщо Tm (l1) = (R,≤), де ≤ — стандар-
тний порядок поля дiйсних чисел.
6. Часозворотнiсть i тахiоновi кiнематики
6.1. Кiнематики, пов’язанi з узагальненими пе-
ретвореннями Лоренца-Пуанкаре в сенсi
E. Recami
Нехай (H, ‖·‖ , 〈·, ·〉) — гiльбертовий простiр над полем дiйсних
чисел такий, що dim(H) ≥ 1 i L (H) — простiр лiнiйних (одно-
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 157
рiдних) неперервних операторiв над H. Зазначимо, що з умо-
ви dim(H) ≥ 1 слiд трактувати таким чином, що простiр H мо-
же бути i нескiнченновимiрним. Позначимо через L× (H) простiр
всiх операторiв афiнних перетворень простору H, тобто L× (H) ={
A[a] | A ∈ L (H) , a ∈ H
}
, де A[a]x = Ax + a, x ∈ H. Про-
стором Мiнковського над H називається гiльбертовий простiр
M (H) = R × H = {(t, x) | t ∈ R, x ∈ H}, оснащений скалярним
добутком та нормою: 〈w1,w2〉 = 〈w1,w2〉M(H) = t1t2 + 〈x1, x2〉,
‖w1‖ = ‖w1‖M(H) =
(
t21 + ‖x1‖2
)1/2
(де wi = (ti, xi) ∈ M (H) ,
i ∈ {1, 2}) ( [7]). В просторiM (H) видiлимо такi пiдпростори:
H0 := {(t,0) | t ∈ R} , H1 := {(0, x) |x ∈ H} ,
де 0 — нульовий вектор. ТодiM (H) = H0⊕H1, де ⊕ означає ор-
тогональну суму пiдпросторiв. Покладемо: e0 := (1,0) ∈ M (H).
Введемо ортопроектори на пiдпростори H1 та H0:
Xw = (0, x) ∈ H1; T̂w = (t,0) = T (w) e0 ∈ H0, (48)
де T (w) = t (w = (t, x) ∈M (H)) .
Довiльний вектор v ∈ H1 породжує наступнi пiдпростори в
просторi H1.
H1 [v] = span {v} ;
H1⊥ [v] = H1 H1 [v] = {x ∈ H1 | 〈x,v〉 = 0} ,
де spanM означає лiнiйну оболонку множини M ⊆ M (H). По-
значимо через X1 [v] та X⊥1 [v] ортопроектори в M (H) на пiд-
простори H1 [v] та H1⊥ [v]:
X1 [v] w =
{
〈v,w〉 ‖v‖−2 v, v 6= 0
0, v = 0
, w ∈M (H) ;
X⊥1 [v] = X−X1 [v] . (49)
158 Я. I. Грушка
Тодi для довiльного v ∈ H1 отримуємо рiвнiсть:
T̂ + X = T̂ + X1 [v] + X⊥1 [v] = IM(H), (50)
де IM(H) — тотожний (одиничний) оператор наM (H).
Позначимо через Pk (H) множину операторiв U ∈
L× (M (H)), що мають неперервний обернений оператор
U−1 ∈ L× (M (H)). 5 Оператори U ∈ Pk (H) будемо називати
операторами перетворення координат .
Нехай B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H i
Tm(B) = (R,≤), де ≤ — стандартний порядок на полi дiйсних
чисел R. Тодi Bs(B) ⊆ Tm(B) ×Bs(B) ⊆ R × H = M (H). До-
вiльна множина S ⊆ Pk (H), згiдно з [8, стор. 112], породжує
унiверсальну кiнематику виду Ku (S,B; H).
Використовуючи [8, властивостi 8], отримуємо наступнi вла-
стивостi унiверсальних кiнематик типу Ku (S,B; H):
Властивостi 1. Нехай F = Ku (S,B; H). Тодi:
1. Lk (F) = {(U ,U [B,Tm(B)]) |U ∈ S} =
{(U ,U [B]) |U ∈ S}.
2. Ind (F) = S.
3. Для довiльної системи вiдлiку l = (U ,U [B]) ∈ Lk (F)
справедливi рiвностi:
Bs(l) = U (Bs(B)) = {U(ω) | ω ∈ Bs(B)} ;
Bs(l) = {bs (U(ω)) | ω ∈ Bs(B)} ;
Tm(l) = Tm(B); Tm(l) = Tm(B).
5 В роботах [8, 10, 11], а також в попереднiх роздiлах даної роботи, вико-
ристовується позначення U [−1] для оберненого вiдображення до довiльного
оборотного вiдображення U (що не обов’язково є оператором над деяким
лiнiйним простором). У нашому випадку, коли U ∈ L× (M (H)), обидва по-
значення еквiвалентнi, тобто U−1 = U [−1].
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 159
4. Для довiльної системи вiдлiку l = (U ,U [B]) ∈ Lk (F)
справедливi рiвностi:
Zk(l;F) = H; (51)
Mk(l;F) = Tm(B)× H = R× H =M (H) ; (52)
Q〈l〉(ω;F) = U
(
IBs(B)
(
U−1(ω)
))
= ω (53)
(ω ∈ Bs(l)) ,
де IBs(B) — тотожне вiдображення на Bs(B). 6
5. Нехай l = (U ,U [B]) ∈ Lk (F), де U ∈ S. Якщо ω̃1, ω̃2 ∈
Bs(l) i tm (ω̃1) 6= tm (ω̃2), то ω̃1 i ω̃2 є об’єднанi долею в
l тодi i тiльки тодi, коли iснують об’єднанi долею в B
елементарно-часовi стани ω1, ω2 ∈ Bs(B) такi, що ω̃1 =
U (ω1), ω̃2 = U (ω2).
6. Для довiльних систем вiдлiку l = (U ,U [B]) ∈ Lk (F), m =
(V ,V [B]) ∈ Lk (F) (U ,V ∈ S) справедлива рiвнiсть:
〈! m← l, F〉ω = V
(
U−1(ω)
)
(ω ∈ Bs(l) = U (Bs(B))) .
7. Для довiльних систем вiдлiку l = (U ,U [B]) ∈ Lk (F), m =
(V ,V [B]) ∈ Lk (F) (U ,V ∈ S) справедлива рiвнiсть:
[m← l, F ] w = V
(
U−1(w)
)
(w ∈Mk(l;F) =M (H)) .
Нагадаємо, що оператор U ∈ L (H) називається унiтарним
на H, якщо iснує неперервний обернений оператор U−1 ∈ L (H) i
∀x ∈ H ‖Ux‖ = ‖x‖. Покладемо:
U (H1) := {U ∈ L (H1) | U − унiтарний на H1} ;
B1 (H1) := {x ∈ H1 | ‖x‖ = 1} .
6 Для отримання формули (53) крiм властивостей [8, властивостi 8], слiд
також скористатися [8, формула (35)].
160 Я. I. Грушка
Зафiксуємо будь-якi c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1},
J ∈ U (H1), n ∈ B1 (H1) i a ∈ M (H). Для довiльного вектора
w ∈M (H) покладемо:
Wλ,c [s,n, J ] w := (54)
(
sT (w)− λ
c2
〈n,w〉
)
√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ e0+
+J
λT (w)−s〈n,w〉√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ n + X⊥1 [n] w
, λ <∞, c <∞;
− 〈n,w〉c e0 + J
(
cT (w)n + X⊥1 [n] w
)
, λ =∞, c <∞;
sT (w)e0 + J
(
(λT (w)− s 〈n,w〉)n+
+X⊥1 [n] w
)
, λ <∞, c =∞,
Wλ,c [s,n, J ;a]w := Wλ,c [s,n, J ] (w + a). (55)
Зауважимо, що в формулах (54),(55) константа c ∈ (0,∞] має
фiзичний змiст швидкостi свiтла у вакуумi.
У випадку c <∞ оператори виду Wλ,c [s,n, J ] являють собою
узагальненi перетворення Лоренца, введенi в [7] (а також в робо-
тах [5, 6, 18], для випадку dim(H) = 3). При накладаннi додатко-
вих умов λ < c <∞, dim (H) = 3, s = 1 формула (54) еквiвален-
тна формулi (2.28б) з [19, ст. 37], тобто дає класичнi перетворен-
ня Лоренца для iнерцiйних систем вiдлiку в найбiльш загальнiй
формi запису, з довiльною орiєнтацiєю осей координат. Крiм то-
го, у випадку dim (H) = 3, c < ∞ клас операторiв O+ (H, c) =
{Wλ,c [s,n, J ] | s = 1, 0 ≤ λ < c, n ∈ B1 (H1) , J ∈ U (H1)} збiгає-
ться з повною групою Лоренца в сенсi [20] (бiльш детально про
це див. [10]). Оператори виду Wλ,∞ [s,n, J ] (λ <∞) являють со-
бою перетворення Галiлея (неважко довести, що Wλ,∞ [s,n, J ] =
limc→∞Wλ,c [s,n, J ], де границя iснує у рiвномiрнiй операторнiй
топологiї).
Твердження 8 ( [8]). Для довiльних c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞] \ {c},
s ∈ {−1, 1}, J ∈ U (H1), n ∈ B1 (H1) i a ∈ M (H) справедливе
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 161
спiввiдношення Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ Pk (H).
Позначення 1. Для 0 < c ≤ ∞ введемо наступнi класи опера-
торiв над просторомM (H):
PT (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] | s ∈ {−1, 1} , λ ∈ [0,∞] \ {c},
n ∈ B1 (H1) , J ∈ U (H1) , a ∈M (H)} ;
PT+ (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ PT (H, c) | s = 1} ;
P (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ PT (H, c) | λ < c} ;
P+ (H, c) := {Wλ,c [s,n, J ;a] ∈ P (H, c) | s = 1}
(очевидно, що PT (H,∞) = P (H,∞), PT+ (H,∞) = P+ (H,∞)).
Нехай B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H i
Tm(B) = (R,≤), де ≤ — стандартний порядок на полi дiйсних
чисел R.
Позначення 2. Використовуючи введенi класи операторiв, ви-
значимо такi унiверсальнi кiнематики:
UPT0 (H,B, c) := Ku (PT (H, c) ,B; H) ;
UPT (H,B, c) := Ku
(
PT+ (H, c) ,B; H
)
;
UP0 (H,B, c) := Ku (P (H, c) ,B; H) ;
UP (H,B, c) := Ku (P+ (H, c) ,B; H) .
Зауважимо, що визначенi вище унiверсальнi кiнематики було
введено в роботi [8, стор. 115]. У випадку dim(H) = 3, c < ∞
унiверсальна кiнематика UP (H,B, c) являє собою математично
строгу модель кiнематики спецiальної теорiї вiдносностi в iнер-
цiйних системах вiдлiку. Унiверсальна кiнематика UP0 (H,B, c)
побудована на основi загальної групи Лоренца-Пуанкаре i мi-
стить крiм звичайних систем вiдлiку “з додатним напрямком ча-
су”, якi мають зрозумiлу фiзичну iнтерпретацiю, також системи
вiдлiку з “вiд’ємним напрямком часу”. Унiверсальнi кiнемати-
ки UPT (H,B, c) i UPT0 (H,B, c) мiстять крiм стандартних (“тар-
дiонних”) систем вiдлiку також i “тахiоннi” системи вiдлiку, якi
162 Я. I. Грушка
рухаються вiдносно “тардiонних” систем вiдлiку зi швидкiстю,
бiльшою за швидкiсть свiтла c. У випадку dim(H) = 3, c = ∞
унiверсальна кiнематика UP (H,B,∞) = UPT (H,B,∞) являє со-
бою математично строгу модель класичної кiнематики Галiлея в
iнерцiйних системах вiдлiку.
Серед введених вище кiнематик тахiоновими (тобто такими,
що дозволяють надсвiтловий рух для систем вiдлiку) є кiнема-
тики UPT0 (H,B, c) та UPT (H,B, c) при c <∞.
6.2. Спецiальний пiдклас узагальнених перетво-
рень Лоренца-Пуанкаре
Нехай n ∈ B1 (H1), σ, µ ∈ {−1, 1}. Введемо позначення:
Iσ,µ [n] x := σX1 [n]x+ µX⊥1 [n]x, x ∈ H1. (56)
Неважко перевiрити, що Iσ,µ [n] ∈ U (H1) (для довiльних n ∈
B1 (H1) i σ, µ ∈ {−1, 1}). Введемо спецiальний пiдклас узагальне-
них перетворень Лоренца-Пуанкаре (54)–(55). Зафiксуємо будь-
якi c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1}, n ∈ B1 (H1), i
a ∈M (H). Для довiльного вектора w ∈M (H) покладемо:
E
[s,n]
λ,c w := Wλ,c [s,n, I−1,1 [n]] w = (57)
=
(
sT (w)− λ
c2
〈n,w〉
)
√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ e0 + s〈n,w〉−λT (w)√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣ n + X⊥1 [n] w,
λ <∞, c <∞;
− 〈n,w〉c e0 − cT (w)n + X⊥1 [n] w, λ =∞, c <∞;
sT (w)e0 + (s 〈n,w〉 − λT (w))n + X⊥1 [n] w,
λ <∞, c =∞,
E
[s,n;a]
λ,c w := E
[s,n]
λ,c (w + a) = Wλ,c [s,n, I−1,1 [n] ;a] w. (58)
Зауваження 6. Оскiльки Iσ,µ [n] ∈ U (H1), то, згiдно з позначен-
ням 1, враховуючи рiвнiсть E
[s,n]
λ,c = E
[s,n;0]
λ,c , маємо
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 163
E
[s,n;a]
λ,c ,E
[s,n]
λ,c ∈ PT (H, c)
i при λ < c E
[s,n;a]
λ,c ,E
[s,n]
λ,c ∈ P (H, c) .
(для довiльних c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞]\{c}, s ∈ {−1, 1}, n ∈ B1 (H1)
i a ∈M (H)). Крiм того, у випадку s = 1, отримуємо:
E
[1,n;a]
λ,c ,E
[1,n]
λ,c ∈ PT+ (H, c)
i при λ < c E
[1,n;a]
λ,c ,E
[1,n]
λ,c ∈ P+ (H, c) (59)
(c ∈ (0,∞], λ ∈ [0,∞] \ {c}, n ∈ B1 (H1), a ∈M (H)).
Для довiльного n ∈ B1 (H1), використовуючи (50), маємо:
E
[1,n]
0,c w = T (w)e0 + 〈n,w〉n + X⊥1 [n] w =
= T̂w + X1 [n] w + X⊥1 [n] w = w.
Отже, використовуючи зауваження 6, при довiльному n ∈
B1 (H1) отримуємо:
IM(H) = E
[1,n]
0,c ∈
∈ P+ (H, c) ∩P (H, c) ∩PT+ (H, c) ∩PT (H, c) . (60)
Знайдемо обернений оператор до оператора виду E
[s,n]
λ,c при
c <∞. Нехай 0 < c <∞, λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1}, J ∈ U (H1),
n ∈ B1 (H1). Тодi, згiдно з [7, ст. 143], оператор Wλ,c [s,n, J ]
можна подати у виглядi
Wλ,c [s,n, J ] = Uθ,c [s,n, J ] , де (61)
θ =
1− λ
c√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣
(
λ = c
1− θ |θ|
1 + θ |θ|
)
, −1 ≤ θ ≤ 1, θ 6= 0
(при цьому у випадку λ = ∞ слiд вважати, що θ = −1). Отже,
згiдно з [21, наслiдок 5.1], отримуємо:
(Wλ,c [s,n, J ])−1 = (Uθ,c [s,n, J ])−1
164 Я. I. Грушка
= Uθs,c
[
sθ, sθJn, J
−1] , де (62)
sθ = S(s, θ) =
{
1, s, θ > 0
−1, s < 0 або θ < 0.
При цьому для |θ| > 1 значення операторнозначної функцiї
Uθ,c [s,n, J ] визначено в [21, формула (4.11)].
У випадку s = 1 маємо, sθ = sign θ = sign
1−λ
c√∣∣∣1−λ2
c2
∣∣∣
=
sign (c−λ), де у випадку λ =∞ слiд вважати, що sign (c−λ) = −1.
Отже, використовуючи (62), в цьому випадку отримуємо:
(Wλ,c [s,n, J ])−1 = Uθ,c
[
sθ, sθJn, J
−1] =
= Wλ,c
[
sθ, sθJn, J
−1] =
= Wλ,c
[
sign (c− λ), sign (c− λ)Jn, J−1
]
(s = 1). (63)
Розглянемо тепер випадок s = −1 (θs = θ−1). Згiдно з (62)
i [21, формула (4.11)], в цьому випадку отримуємо:
(Wλ,c [s,n, J ])−1 = Uθ−1,c
[
sθ, sθJn, J
−1] =
= Uθ,c
[
sθsign θ,−sθ (sign θ) Jn, J−1
]
=
= Uθ,c
[
−sign θ, (sign θ) Jn, J−1
]
=
= Uθ,c
[
−sign (c− λ), sign (c− λ)Jn, J−1
]
=
= Wλ,c
[
−sign (c− λ), sign (c− λ)Jn, J−1
]
(s = −1). (64)
З формул (63) i (64) в обох випадках маємо:
(Wλ,c [s,n, J ])−1 =
= Wλ,c
[
s sign (c− λ), sign (c− λ)Jn, J−1
]
, (65)
0 < c < ∞, λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1}, J ∈ U (H1), n ∈ B1 (H1)
(де у випадку λ =∞ слiд вважати, що sign (c− λ) = −1).
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 165
Зокрема, використовуючи отриману рiвнiсть i формулу (57),
при 0 < c <∞, λ ∈ [0,∞] \ {c}, s ∈ {−1, 1}, n ∈ B1 (H1) отриму-
ємо:(
E
[s,n]
λ,c
)−1
= (Wλ,c [s,n, I−1,1 [n]])−1 =
= Wλ,c
[
s sign (c− λ), sign (c− λ)I−1,1 [n]n, (I−1,1 [n])−1
]
=
= Wλ,c [s sign (c− λ),−sign (c− λ)n, I−1,1 [n]] =
= E
[s sign (c−λ),−sign (c−λ)n]
λ,c . (66)
З формул (66) та (58), використовуючи нескладнi обчислення,
отримуємо:(
E
[s,n;a]
λ,c
)−1
w = E
[s sign (c−λ),−sign (c−λ)n]
λ,c w − a
(w,a ∈M (H)) . (67)
6.3. Про умовну часозворотнiсть тахiонових кiне-
матик типу UPT0 (H,B, c) та UPT (H,B, c)
Теорема 1 дає можливiсть встановити умовну часозворотнiсть
унiверсальних кiнематик типу UPT0 (H,B, c), UPT (H,B, c),
UP0 (H,B, c). Для отримання основних результатiв цього пiдроз-
дiлу (наслiдкiв з теореми 1) необхiдно ввести деякi позначення
i довести допомiжну лему. Всюди в даному пiдроздiлi, як i в
попередньому, B — довiльна базова мiнлива множина така, що
Bs(B) ⊆ H i Tm(B) = (R,≤), де ≤ — стандартний порядок на
полi дiйсних чисел R.
Покладемо:
l0,B :=
(
IM(H), IM(H) [B]
)
=
(
IM(H),B
)
, (68)
де рiвнiсть IM(H) [B] = B випливає з [8, зауваження 9]. Викори-
стовуючи властивiсть 1(1), спiввiдношення (60) та позначення 2,
отримуємо:
166 Я. I. Грушка
l0,B ∈ Lk (UP (H,B, c)) ∩ Lk (UP0 (H,B, c))∩
∩ Lk (UPT (H,B, c)) ∩ Lk (UPT0 (H,B, c)) .
Згiдно з властивiстю 1(1) i позначенням 2, Lk (UPT (H,B, c)) ={
(U ,U [B]) |U ∈ PT+ (H, c)
}
. Покладемо:
Lk (UPT (H,B, c))T,fin :=
{
(U ,U [B]) |
U = Wλ,c [1,n, J ;a] ∈ PT+ (H, c) ; c < λ <∞
}
. (69)
Легко бачити, що:
Lk (UPT (H,B, c))T,fin ⊆ Lk (UPT (H,B, c)) ⊆
⊆ Lk (UPT0 (H,B, c)) .
Лема 1. Для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk (UPT (H,B, c))T,fin
справедливе спiввiдношення:
l0,B ⇓−UPT(H,B,c) l.
Доведення. Нехай l ∈ Lk (UPT (H,B, c))T,fin. Тодi систему вiд-
лiку l, згiдно з (69) та позначенням 1, можна подати у виглядi:
l = (U ,U [B]) , де (70)
U = Wλ,c [1,n, J ;a] , ∞ > λ > c,
n ∈ B1 (H1) , J ∈ U (H1) , a ∈M (H) . (71)
З формул (68), (70), за властивостями 1(4, 7) отримуємо
Mk (l0,B) = Mk(l) =M (H), причому:
[l0,B← l] w = IM(H)U
−1w = U−1w, w ∈Mk (l) =M (H) .
Звiдси, використовуючи (71), (55) та (65), маємо:
[l0,B← l] w = (Wλ,c [1,n, J ;a])−1 w =
= (Wλ,c [1,n, J ])−1 w − a =
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 167
= Wλ,c
[
sign (c− λ), sign (c− λ)Jn, J−1
]
w − a =
= Wλ,c
[
−1,−Jn, J−1
]
w − a. (72)
Оскiльки для w ∈ M (H) справедливi рiвностi tm (w) = T (w),
bs (w) = Xw, то для довiльних w1,w2 ∈ M (H) таких, що
bs (w1) = bs (w2) i tm (w1) < tm (w2), використовуючи (72), отри-
муємо:
tm ([l0,B← l] w2)− tm ([l0,B← l] w1) =
= T ([l0,B← l] w2)− T ([l0,B← l] w1) =
= T
(
Wλ,c
[
−1,−Jn, J−1
]
(w2 − w1)
)
=
= T
(
Wλ,c
[
−1,−Jn, J−1
]
w̃
)
,
де w̃ = w2 − w1;
Xw̃ = Xw2 −Xw1 = bs (w2)− bs (w1) = 0 ;
T (w̃) = tm (w2)− tm (w1) > 0.
Звiдси, використовуючи (54), отримуємо:
tm ([l0,B← l] w2)− tm ([l0,B← l] w1) =
= T
−T (w̃)− λ
c2
〈−Jn, w̃〉√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ e0 +
+ J−1
−λT (w̃) + 〈−Jn, w̃〉√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ Jn + X⊥1 [−Jn] w̃
=
=
−T (w̃)− λ
c2
〈−Jn, w̃〉√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ =
−T (w̃) + λ
c2
〈XJn, w̃〉√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ =
=
−T (w̃) + λ
c2
〈Jn,Xw̃〉√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ = − T (w̃)√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ < 0.
168 Я. I. Грушка
Отже, для довiльних w1,w2 ∈ Mk(l) таких, що bs (w1) = bs (w2)
i tm (w1) < tm (w2), маємо tm ([l0,B← l] w1) > tm ([l0,B← l] w2). За
властивiстю 1(3), Tm(l) = Tm (l0,B) = Tm(B) = (R,≤). Отже,
часовий порядок в системах вiдлiку l0,B i l збiгається iз стан-
дартним порядком поля дiйсних чисел. Тому, за означенням 12
(пункт 4), маємо l0,B ⇓−UPT(H,B,c) l. �
Наслiдок 5. Довiльна унiверсальна кiнематика виду
UPT (H,B, c) (c <∞) є умовно часозворотною.
Доведення. Розглянемо довiльнi вектор n ∈ B1 (H1) i число
λ ∈ R таке, що λ > c. Покладемо:
l1 :=
(
E
[1,n]
λ,c ,E
[1,n]
λ,c [B]
)
;
l2 :=
(
E
[1,−n;a1]
λ,c ,E
[1,−n;a1]
λ,c [B]
)
, де a1 =
2λ√
λ2
c2
− 1
n.
Iз властивостi 1(1), спiввiдношення (59) i позначення 2 випливає,
що l1, l2 ∈ Lk (UPT (H,B, c)).
Покладемо:
w0 := 0; w1 := (1, 0) = e0;
w2 := 2e0; w′0 := − 2√
λ2
c2
−1
e0.
}
(73)
Доведемо, що системи вiдлiку l0,B, l1, l2 i елементи
w0,w1,w2,w
′
0 ∈ M (H) = Mk (l0,B) = Mk (l1) = Mk (l2) задоволь-
няють умови теореми 1 (для кiнематики F = UPT (H,B, c)).
1) Згiдно з лемою 1, l0,B ⇓−UPT(H,B,c) l1 i l0,B ⇓−UPT(H,B,c) l2.
2) Використовуючи властивiсть 1(7) i формули (57), (58), (66),
(67), отримуємо:
[l1← l0,B] w0 = E
[1,n]
λ,c I−1M(H)w0 =
= E
[1,n]
λ,c w0 = E
[1,n]
λ,c 0 = 0 = w0; (74)
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 169
[l2← l1] w1 = E
[1,−n;a1]
λ,c
(
E
[1,n]
λ,c
)−1
w1 =
= E
[1,−n;a1]
λ,c E
[−1,n]
λ,c e0 = E
[1,−n]
λ,c
(
E
[−1,n]
λ,c e0 + a1
)
=
= E
[1,−n]
λ,c
(
−1 · 1− λ
c2
· 0
)√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ e0 +
+
−1 · 0− λ · 1√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ n + 0 + a1
=
= E
[1,−n]
λ,c
− e0 + λn√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ +
2λ√
λ2
c2
− 1
n
=
=
1√
λ2
c2
− 1
E
[1,−n]
λ,c (−e0 + λn) =
=
1√
λ2
c2
− 1
(1 · (−1)− λ
c2
· (−λ)
)√
λ2
c2
− 1
e0 +
+
1 · (−λ)− λ · (−1)√
λ2
c2
− 1
(−n) + 0
=
=
1√
λ2
c2
− 1
λ2
c2
− 1√
λ2
c2
− 1
e0 = e0 = w1; (75)
[l0,B← l2] w2 = IM(H)
(
E
[1,−n;a1]
λ,c
)−1
(2e0) =
=
(
E
[1,−n;a1]
λ,c
)−1
(2e0) =
= 2E
[1·(−1),−(−1)(−n)]
λ,c e0 − a1 = 2E
[−1,−n]
λ,c e0 − a1 =
170 Я. I. Грушка
= 2
(
(−1) · 1− λ
c2
· 0
)√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ e0 +
+
(−1) · 0− λ · 1√∣∣∣1− λ2
c2
∣∣∣ (−n) + 0
− a1 =
= −2
e0 − λn√
λ2
c2
− 1
− 2λ√
λ2
c2
− 1
n =
= − 2√
λ2
c2
− 1
e0 = w′0. (76)
З рiвностей (74), (75), (76) випливає, що другий пункт умови
теореми 1 виконаний.
3) З рiвностей (73) випливає виконання третього пункту умо-
ви теореми 1 (тобто bs (w0) = bs (w1) = bs (w2) = bs (w′0)).
4) З рiвностей (73) маємо tm (w0) = 0 < 1 = tm (w1) <
2 = tm (w2). Згiдно з властивiстю 1(3) та умовою наслiдку,
Tm (l1) = Tm (l2) = Tm(B) = (R,≤). Отже, часовий порядок
в системах вiдлiку l1 i l2 спiвпадає iз стандартним порядком по-
ля дiйсних чисел. Тому четвертий пункт умови теореми 1 та-
кож виконується. Таким чином, згiдно iз теоремою 1, кiнематика
UPT (H,B, c) є умовно часозворотною. �
Аналогiчно до наслiдку 5, з допомогою теореми 1 доводиться
такий наслiдок:
Наслiдок 6. Довiльна унiверсальна кiнематика виду
UPT0 (H,B, c) (c <∞) є умовно часозворотною.
Наслiдок 7. Довiльна унiверсальна кiнематика виду
UP0 (H,B, c) (c <∞) є умовно часозворотною.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 171
Доведення. Згiдно з (60), IM(H) ∈ P (H, c). Оператор −IM(H)
також належить до P (H, c), згiдно з позначенням 1, оскiльки
−IM(H) = W0,c [−1,n, I−1,−1 [n]] (∀n ∈ B1 (H1)). Таким чином:
IM(H),−IM(H) ∈ P (H, c) . (77)
Нехай B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H i
Tm(B) = (R,≤). Покладемо:
l1 :=
(
−IM(H),
(
−IM(H)
)
[B]
)
.
Згiдно iз (77) i властивiстю 1(1), маємо l0,B, l1 ∈
Lk (UP0 (H,B, c)). Звiдси, використовуючи властивiсть 1(7),
отримуємо:
[l0,B← l1] = IM(H)
(
−IM(H)
)−1
= −IM(H).
З останньої рiвностi, за означенням 13, випливає, що система
вiдлiку l1 — нерухома вiдносно системи вiдлiку l0,B в кiнема-
тицi UP0 (H,B, c), а за означенням 12 (пункт 4) отримуємо, що
l0,B ⇓−UP0(H,B,c) l1. Крiм того, для елемента w0 = 0 ∈ M (H) =
Mk (l1), використовуючи властивiсть 1(7), маємо:
[l1← l0,B] w0 = −IM(H)I−1M(H)0 = 0 = w0.
Отже, враховуючи зауваження 5 i властивiсть 1(3), згiдно з якою
Tm (l1) = Tm(B) = (R,≤) є необмеженою зверху лiнiйно упо-
рядкованою множиною, бачимо, що системи вiдлiку l0 i l1 задо-
вольняють всi умови наслiдку 4 для унiверсальної кiнематики
UP0 (H,B, c).
Тому, згiдно з наслiдком 4, кiнематика UP0 (H,B, c) є умовно
часозворотною. �
Iз наслiдкiв 5 та 6 випливає, що кiнематики виду UPT (H,B, c)
та UPT0 (H,B, c), тобто всi тахiоновi кiнематики, побудованi в
роботi [8], якi допускають рух з надсвiтловою швидкiстю для си-
стем вiдлiку, є умовно часозворотними. У зв’язку з цим виникає
запитання:
172 Я. I. Грушка
Чи можна, базуючись на узагальнених перетвореннях
Лоренца-Пуанкаре в сенсi E. Recami побудувати безумовно часо-
незворотну унiверсальну кiнематику, яка допускає для систем
вiдлiку рух з довiльною швидкiстю, вiдмiнною вiд швидкостi
свiтла?
Виявляється, що, використовуючи теорему про неповернен-
ня для унiверсальних кiнематик, яку заплановано опублiкувати
в наступних роботах, можна отримати позитивну вiдповiдь на
поставлене запитання.
Лiтература
[1] Bilaniuk O.-M. P., Deshpande V. K., Sudarshan E. C. G. “Meta”
Relativity // American Journal of Physics. – 1962. – 30, N 10. –
P. 718-723.
[2] Bilaniuk O.-M. P., Sudarshan E. C. G. Particles beyond the Light
Barrier // Physics Today. – 1969. – 22, N 5. – P. 43-51.
[3] Iляшевич В. I., Медведєв С. Ю. Тахiоннi акаузальнi петлi // Нау-
ковий вiсник Ужгородського унiверситету. Серiя Фiзика. – 2010. –
2010, N 27. – С. 103–111.
[4] Andréka H., Madarász J. X., Németi I., Stannett M., Székely G.
Faster than light motion does not imply time travel // Classi-
cal and Quantum Grav. – 2014. – 31, N 9. – DOI: 10.1088/0264-
9381/31/9/095005.
[5] Recami E. Classical Tachyons and Possible Applications // Riv.
Nuovo Cim. – 1986. – 9, s. 3, N 6. – P. 1–178.
[6] Hill J. M. , Cox B. J. Einstein’s special relativity beyond the speed of
light // Proc. of the Royal Society A. – 2012. – 468, 2148. – P. 4174–
4192.
[7] Grushka Ya. I. Tachyon Generalization for Lorentz Transforms //
Methods of Functional Analysis and Topology. – 2013. – 20, N 2. –
P. 127–145.
Про часозворотнiсть тахiонових кiнематик 173
[8] Грушка Я. I. Кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсаль-
ним перетворенням координат // Працi Iн-ту математики НА-
НУ. – 2015. – 12, N 1. – С. 74–118.
[9] Grushka Ya. I. Abstract concept of changeable set. – Preprint:
arXiv:1207.3751v1 – 2012. – 54 p.
[10] Грушка Я. I. Мiнливi множини та їх застосування для побудови
кiнематики тахiонiв // Працi Iн-ту математики НАНУ. – 2014. –
11, N 1. – C. 192–227.
[11] Grushka Ya. I. Abstract Coordinate Transforms in Ki-
nematic Changeable Sets and their Properties. – Preprint:
arXiv:1504.02685v2. – 2015. – 31 p.
[12] Грушка Я. I. Критерiй iснування унiверсального перетворення ко-
ординат у кiнематичних мiнливих множинах // Буковинський ма-
тематичний журнал. – 2014 – 2, N 2–3. С. 59–71.
[13] Грушка Я. I. Еволюцiйнi розширення та аналоги операцiї об’єд-
нання для базових мiнливих множин // Працi Iн-ту математики
НАНУ. – 2014. – 11, N 2. – С. 66–99.
[14] Грушка Я. I. Базовi мiнливi множини та математичне моделю-
вання еволюцiї систем // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, N 9. –
С. 1198–1218.
[15] Грушка Я. I. Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин та
унiверсальних кiнематик // Працi Iн-ту математики НАНУ. –
2015. – 12, N 2. – С. 139–204.
[16] Грушка Я. I. Теорема про еволюцiйне розширення для унiверсаль-
них кiнематик // Буковинський математичний журнал. – 2015. –
3, N 3-4. – С. 67–77.
[17] Грушка Я. I.Видимiсть у мiнливих множинах // Працi Iн-ту ма-
тематики НАНУ. – 2012. – 9, N 2. – С. 122–145.
[18] Vieira R. S. An Introduction to the Theory of Tachyons // Rev.
Bras. Ensino Fis. – 2012. – 34, N 3. – P. 1–15 (доступно як
arXiv:1112.4187v2).
[19] Мёлер К. Теория Относительности. – М.: Атомиздат. – 1975. –
400 с.
174 Я. I. Грушка
[20] Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца //
УМН. – 1954. – IX, вып. 4 (62). – С. 19–93.
[21] Грушка Я. I. Алгебраїчнi властивостi тахiонних перетворень Ло-
ренца // Працi Iн-ту математики НАНУ. – 2013. – 10, N 2. –
С. 138–169.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-256 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:27Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/64/d6fb2701fa58371d389a34d968264764.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2562018-01-23T09:13:23Z On time reversibility of tachyon kinematics Про часозворотність тахіонових кінематик Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. In the present paper we analyze the violation of the principle of causality (i. e. the possibility of returning to the own past) in the currently known mathematically strict models of tachyon kinematics, associated with the generalized Lorentz-Poincare transformations in the sense of E.Recami, using the recently developed mathematical apparatus of the theory of kinematic changeable sets. У даній роботі, спираючись на розвинутий в останні роки математичний апарат теорії кінематичних мінливих множин, проведено аналіз порушення принципу причинності (тобто наявності можливості повернення у власне минуле) у відомих на даний час математично строгих моделях тахіонових кінематик, пов’язаних з узагальненими перетвореннями Лоренца-Пуанкаре в сенсі E. Recami. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/256 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 125-174 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 125-174 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 125-174 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/256/231 Авторське право (c) 2016 Я. І. Грушка |
| spellingShingle | Grushka, Ya. I. Грушка, Я. І. On time reversibility of tachyon kinematics |
| title | On time reversibility of tachyon kinematics |
| title_alt | Про часозворотність тахіонових кінематик |
| title_full | On time reversibility of tachyon kinematics |
| title_fullStr | On time reversibility of tachyon kinematics |
| title_full_unstemmed | On time reversibility of tachyon kinematics |
| title_short | On time reversibility of tachyon kinematics |
| title_sort | on time reversibility of tachyon kinematics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/256 |
| work_keys_str_mv | AT grushkayai ontimereversibilityoftachyonkinematics AT gruškaâí ontimereversibilityoftachyonkinematics AT grushkayai pročasozvorotnístʹtahíonovihkínematik AT gruškaâí pročasozvorotnístʹtahíonovihkínematik |