Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical
Considering the initial-boundary value problem for the second order linear parabolic equation with the general boundary condition of first order, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belo...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/257 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552752162275328 |
|---|---|
| author | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los, V. M. Лось, В. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. М. Лось",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Los, V. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | Considering the initial-boundary value problem for the second order linear parabolic equation with the general boundary condition of first order, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides of the problem to certain $2$-anisotropic H\"ormander spaces. The classical solutions can be discontinuous on the junction of the lateral area and base of the cylinder in which the problem is considered. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 175–192
УДК 517.956.4
В. М. Лось
(Нацiональний технiчний унiверситет України “КПI”, Київ)
Умови класичностi розв’язкiв другої
крайової задачi для параболiчних
рiвнянь
v los@yahoo.com
Considering the initial-boundary value problem for the second order
linear parabolic equation with the general boundary condition of first
order, we obtain new sufficient conditions under which the generalized
solution to the problem is classical. These conditions are formulated
in terms of the belonging of the right-hand sides of the problem to
certain 2-anisotropic Hörmander spaces. The classical solutions can
be discontinuous on the junction of the lateral area and base of the
cylinder in which the problem is considered.
Знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених розв’яз-
кiв початково–крайової задачi для лiнiйного параболiчного рiв-
няння другого порядку iз загальною крайовою умовою першого
порядку. Умови сформульовано у термiнах приналежностi пра-
вих частин задачi деяким анiзотропним просторам Хермандера.
Класичнi розв’язки можуть мати розрив на стику бiчної поверхнi
i основи цилiндра, у якому розглядається задача.
c© В. М. Лось, 2016
176 В. М. Лось
1. Вступ
Загальнi параболiчнi початково–крайовi задачi достатньо пов-
но дослiдженi у класичних шкалах функцiональних просторiв
Гельдера–Зiгмунда та Соболєва [1 – 6]. Зокрема [2, 7 – 11], отри-
мано вiдповiдь на важливе питання, коли узагальнений розв’язок
такої задачi є класичним, тобто коли диференцiальнi оператори
застосовуються до розв’язкiв у термiнах класичних похiдних.
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було за-
пропоноване Л. Хермандером у [12]. Це просториHµ := B2,µ. Для
них показником регулярностi розподiлiв служить вагова функцiя
µ, залежна вiд кiлькох дуальних змiнних. Такi простори знайшли
рiзнi застосування в аналiзi i теорiї рiвнянь з частинними похi-
дними [12 – 21].
Недавно В. А. Михайлець i О. О. Мурач [19 – 27] побудува-
ли теорiю загальних елiптичних диференцiальних операторiв i
елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних
просторiв Хермандера.
В роботах [28 – 39] дослiджено мiшанi параболiчнi задачi у
гiльбертових просторах Хермандера. У [39] отримано достатнi
умови класичностi узагальнених розв’язкiв мiшаних задач для
лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь другого поряд-
ку. Цi умови, зокрема, гарантують неперервнiсть розв’язку у за-
мкнутому цилiндрi.
З точки зору застосувань (див., наприклад, [40, гл. 3, § 2, п. 3])
важливо розглянути класичнi розв’язки, якi не є неперервними
на лiнiї з’єднання бiчної поверхнi i основи цилiндра, у якому до-
слiджується задача. З огляду на це у [41] для мiшаної задачi для
лiнiйного параболiчного диференцiального рiвняння другого по-
рядку з крайовою умовою Дiрiхле встановлено достатнi умови
того, що узагальненi розв’язки є класичними у щойно зазначе-
ному сенсi. Цi умови сформульовано у термiнах приналежностi
правих частин задачi вiдповiдним просторам Хермандера. Їх за-
стосування дозволяє отримати бiльш тонкi достатнi умови, нiж
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 177
це можливо у межах класичних шкал функцiональних просторiв
Гельдера i Соболєва.
Ця робота є продовженням [41]. Мета цiєї роботи – поширити
результат [41] на випадок мiшаної задачi для лiнiйного параболi-
чного диференцiального рiвняння другого порядку iз загальною
крайовою умовою першого порядку.
Стаття складається з 6 пунктiв. Пункт 1. є вступом. Пункт 2.
мiстить постановку задачi, що дослiджується. У п. 3. введено не-
обхiднi гiльбертовi простори Хермандера. У п. 4. сформульовано
основний результат статтi. Вiн доведений у п. 5. Пункт 6. мiстить
висновки до статтi.
2. Постановка задачi
Нехай довiльно заданi цiле число n ≥ 2, дiйсне число τ > 0 i
обмежена область G ⊂ Rn з нескiнченно гладкою межею Γ :=
∂G. Позначимо Ω := G × (0, τ) — вiдкритий цилiндр в Rn+1,
S := Γ × (0, τ) — його бiчна поверхня. Тодi Ω := G × [0, τ ] i
S := Γ× [0, τ ] є замикання Ω i S вiдповiдно.
Для параболiчного рiвняння другого порядку, заданого в Ω,
розглянемо початково-крайову задачу iз загальною крайовою
умовою першого порядку:
Au ≡ ∂tu(x, t) +
∑
|α|≤2
aα(x, t)Dα
xu(x, t) = f(x, t) в Ω, (1)
u(x, 0) = h(x) для всiх x ∈ G, (2)
Bu
∣∣
S
≡
( n∑
j=1
bj(x, t)Dju(x, t) + b0(x, t)u(x, t)
)∣∣
S
= g(x, t)
для всiх x ∈ Γ, 0 < t < τ.
(3)
Всi коефiцiєнти диференцiальних виразiв A i B вважаємо не-
скiнченно гладкими комплекснозначними функцiями на Ω i S
178 В. М. Лось
вiдповiдно, тобто aα ∈ C∞(Ω) та b0, bj ∈ C∞(S). Використовує-
мо такi позначення для частинних похiдних Dα
x := Dα1
1 . . . Dαn
n ,
Dj := i ∂/∂xj , ∂t := ∂/∂t. Тут x = (x1, . . . , xn) є довiльною то-
чкою простору Rn, α = (α1, ..., αn) є мультиiндексом i |α| :=
α1 + ...+ αn. Пiдсумовування у (1) здiйснюється за цiлими iнде-
ксами α1, ..., αn ≥ 0, якi задовольняють умову, вказану пiд зна-
ком суми.
Припускаємо [1] (§ 9, п. 1), що рiвняння (1) є параболiчним
за Петровським у замкнутому цилiндрi Ω, а крайовий диферен-
цiальний оператор B накриває диференцiальний оператор A на
бiчнiй поверхнi S цього цилiндра. Це значить виконання таких
двох умов.
Умова 1. Для довiльних x ∈ G, t ∈ [0, τ ], ξ ∈ Rn та p ∈ C, де
Re p ≥ 0, правильно
A(0)(x, t, ξ, p) ≡ p+
∑
|α|=2
aα(x, t) ξα 6= 0 за умови |ξ|+ |p| 6= 0.
Для формулювання другої умови довiльно виберемо x ∈ Γ,
t ∈ [0, τ ], дотичний вектор η = (η1, . . . , ηn) ∈ Rn до межi Γ у
точцi x та число p ∈ C, де Re p ≥ 0, такi, що |η|+ |p| 6= 0. Нехай
ν(x) = (ν1(x), . . . , νn(x)) — орт внутрiшньої нормалi до межi Γ у
точцi x.
Умова 2. Для кожного такого вибору x, t, η та p виконуються
двi властивостi:
а)
n∑
j=1
bj(x, t)νj(x) 6= 0,
б) число ζ = −
( n∑
j=1
bj(x, t)ηj
)( n∑
j=1
bj(x, t)νj(x)
)−1 не є коре-
нем полiнома
A(0)(x, t, η + ζν(x), p) змiнної ζ ∈ C.
Вiдмiтимо, з умови 1 випливає, що коли всi коефiцiєнти
bj(x, t), де j = 1, . . . , n, є дiйсними, то частина б) в умовi 2 вико-
нується автоматично.
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 179
3. Функцiональнi простори
Основний результат роботи будемо формулювати у термiнах
приналежностi правих частин задачi гiльбертовим функцiональ-
ним просторам Hµ := B2,µ, що були введенi i дослiдженi Л. Хер-
мандером [12, п. 2.2]. Згодом цi простори дослiдили також
Л. Р. Волєвич i Б. П. Панеях [13, § 2, 3].
Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що утво-
рюють простiр Hµ(Rk), де цiле k ≥ 1, є вимiрна за Борелем
функцiя µ : Rk → (0,∞), яка задовольняє таку умову: iснують
додатнi числа c та l такi, що
µ(ξ)
µ(η)
≤ c (1 + |ξ − η|)l для довiльних ξ, η ∈ Rk.
За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hµ(Rk) скла-
дається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w ∈ S ′(Rk), пе-
ретворення Фур’є ŵ яких є локально iнтегровними за Лебегом
функцiями, що задовольняють умову
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
(У роботi усi функцiї та розподiли вважаються комплекснозна-
чними). Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми
‖w‖Hµ(Rk).
Нам знадобиться версiя простору Hµ(Rk) для довiльної вiд-
критої непорожньої множини V ⊂ Rk. Лiнiйний простiр Hµ(V )
складається, за означенням, iз звужень u = w �V всiх розподiлiв
w ∈ Hµ(Rk) на множину V . У цьому просторi задана норма за
формулою
‖u‖Hµ(V ) := inf
{
‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), u = w �V
}
.
Простiр Hµ(V ) є гiльбертовим вiдносно цiєї норми.
180 В. М. Лось
Для зручностi позначень приймемо γ := 1/2. Надалi будемо
використовувати показники регулярностi вигляду
µs;ϕ(ξ′, ξk) := µ(ξ′, ξk) :=(
1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ
)s/2
ϕ
(
(1 + |ξ′|2 + |ξk|2γ)1/2
)
,
(4)
де ξ′ ∈ Rk−1 та ξk ∈ R є аргументами функцiї µ. Тут числовий
параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр ϕ пробiгає
класM.
За означенням, клас M складається з усiх вимiрних за Бо-
релем функцiй ϕ : [1,∞) → (0,∞), якi задовольняють такi двi
умови:
а) обидвi функцiї ϕ та 1/ϕ обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b],
де 1 < b <∞;
б) функцiя ϕ повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiн-
ченностi, а саме: ϕ(λr)/ϕ(r)→ 1 при r →∞ для кожного λ > 0.
Теорiя повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викла-
дена, наприклад, у монографiї [42]. Їх важливим прикладом є
функцiї вигляду
ϕ(r) := (log r)q1 (log log r)q2 . . . ( log . . . log︸ ︷︷ ︸
k разiв
r )qk при r � 1,
де параметри k ∈ N та q1, q2, . . . , qk ∈ R є довiльними.
Нехай s ∈ R i ϕ ∈ M. Розв’язки u початково–крайової задачi
(1)–(3) та правi частини f рiвняння (1) будемо розглядати у анi-
зотропних гiльбертових функцiональних просторах Хермандера
Hs,sγ;ϕ(Ω) := Hµ(Ω), де показник µ визначений формулою (4), у
якiй k := n+ 1.
Якщо ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ;ϕ(Ω) стає анiзотропним гiльберто-
вим простором Соболєва порядку (s, sγ); позначимо його через
Hs,sγ(Ω). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
по просторовiй змiннiй x ∈ Ω, а sγ — показник регулярностi по
часовiй змiннiй t ∈ (0, τ). У загальному випадку, коли ϕ ∈ M є
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 181
довiльною, правильнi неперервнi i щiльнi вкладення
Hs1,s1γ(Ω) ↪→ Hs,sγ;ϕ(Ω) ↪→ Hs0,s0γ(Ω) при s0 < s < s1. (5)
У випадку, коли Ω ⊂ R3, нам будуть потрiбнi такi простори
Хермандера, де ϕ ∈ M є зростаючою (в нестрогому сенсi) фун-
кцiєю. У зв’язку з цим вiдмiтимо, що для довiльної зростаючої
(в нестрогому сенсi) функцiї ϕ ∈ M правильне неперервне та
щiльне вкладення Hs,sγ;ϕ(Ω) ↪→ Hs,sγ(Ω).
Нам знадобляться також анiзотропнi простори Хермандера,
заданi на бiчнiй поверхнi S = Γ × (0, τ) цилiндра Ω. До них
буде належати права частина g крайової умови (3). Означимо
цi простори, використовуючи спецiальнi локальнi карти на S
(див. [34, п. 1]). Нехай s > 0 i ϕ ∈ M. Попередньо для вiд-
критої смуги Π := Rn−1 × (0, τ) розглянемо гiльбертовi про-
стори Hs,sγ;ϕ(Π) := Hµ(Π), де показник µ визначений форму-
лою (4), у якiй k := n. Довiльно виберемо скiнченний атлас
iз C∞-структури на замкненому многовидi Γ. Нехай цей атлас
утворений локальними картами θj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . , λ.
Тут вiдкритi множини Γ1, . . . ,Γλ складають покриття много-
виду Γ. Окрiм цього, довiльно виберемо функцiї χj ∈ C∞(Γ),
j = 1, . . . , λ, такi, що suppχj ⊂ Γj i
∑λ
j=1 χj = 1 на Γ.
За означенням, лiнiйний простiр Hs,sγ;ϕ(S) складається з усiх
функцiй v ∈ L2(S) на многовидi S таких, що для кожного номера
j ∈ {1, . . . , λ} функцiя
vj(y, t) := χj(θj(y)) v(θj(y), t)
аргументiв y ∈ Rn−1 i t ∈ (0, τ) належить до Hs,sγ;ϕ(Π).
У просторi Hs,sγ;ϕ(S) задана норма за формулою
‖v‖Hs,sγ;ϕ(S) :=
( λ∑
j=1
‖vj‖2Hs,sγ;ϕ(Π)
)1/2
.
Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми i не зале-
жить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору локальних
карт i розбиття одиницi на Γ [34] (теорема 1).
182 В. М. Лось
Введемо простори, до яких належить права частина h поча-
ткової умови (2). Це iзотропнi гiльбертовi простори Хермандера
Hs;ϕ(G) := Hµ(G) з показником µ(ξ) := (1+|ξ|2)s/2ϕ((1+|ξ|2)1/2)
аргументу ξ ∈ Rn. Їх видiлили i систематично використовували
В. А. Михайлець та О. О. Мурач у теорiї елiптичних крайових
задач [19, 20].
Нарештi, для формулювання основного результату введемо
необхiднi локальнi аналоги просторiв Hs,sγ;ϕ(Ω), Hs,sγ;ϕ(S) i
Hs;ϕ(G).
Нехай U є вiдкритою множиною в Rn+1, такою, що U ∩Γ = ∅.
Нехай ω := U ∩ Ω 6= ∅, π1 := U ∩ ∂Ω, π2 := U ∩ S i π3 := U ∩G.
Позначимо через Hs,sγ;ϕ
loc (ω, π1) лiнiйний простiр усiх розподi-
лiв u в областi Ω таких, що χu ∈ Hs,sγ;ϕ(Ω) для кожної функцiї
χ ∈ C∞(Ω) iз suppχ ⊂ ω ∪ π1. Топологiя у цьому просторi зада-
ється напiвнормами
u 7→ ‖χu‖Hs,sγ;ϕ(Ω),
де χ – довiльна вище згадана функцiя. Подiбно до цього, по-
значимо через Hs,sγ;ϕ
loc (π2) лiнiйний простiр усiх розподiлiв v на
S таких, що χv ∈ Hs,sγ;ϕ(S) для кожної функцiї χ ∈ C∞(S) iз
suppχ ⊂ π2. Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
v 7→ ‖χv‖Hs,sγ;ϕ(S),
де χ – довiльна тiльки згадана функцiя. Нарештi, позначимо че-
рез Hs;ϕ
loc (π3) лiнiйний простiр усiх розподiлiв w на G таких, що
χw ∈ Hs;ϕ(G) для кожної функцiї χ ∈ C∞(G) iз suppχ ⊂ π3.
Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
w 7→ ‖χw‖Hs;ϕ(G),
де χ – довiльна тiльки згадана функцiя.
Якщо ϕ ≡ 1, то означенi вище простори стають соболєвськими
просторами (анiзотропними на Ω i S, або iзотропними на G).
У цьому випадку будемо опускати iндекс ϕ у позначеннях цих
просторiв.
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 183
4. Основний результат
Позначимо
H0,0
N := L2(Ω)⊕H1/2,1/4(S)⊕H1(G).
Iз результату М. С. Аграновiча та М. I. Вiшiка [1] (теоре-
ма 12.1) випливає, що для кожної вектор-функцiї (f, g, h) iз со-
болєвського простору H0,0
N задача (1)–(3) має єдиний розв’язок
u ∈ H2,1(Ω). Таку функцiю u називаємо узагальненим розв’яз-
ком цiєї задачi iз правою частиною (f, g, h) ∈ H0,0
N .
Дамо означення класичного розв’язку цiєї задачi.
Означення 1. Узагальнений розв’язок u ∈ H2,1(Ω) задачi
(1)–(3) назвемо класичним, якщо
u ∈ C2,1
x,t (Ω), u ∈ C(Ω ∪G)
u, ∂u/∂xj ∈ C(Ω ∪ S) для всiх j ∈ {1, . . . , n}.
Тут, як звичайно, C2,1
x,t (Ω) – множина функцiй, якi є неперервно
диференцiйовнi на Ω разом зi своїми частинними похiдними ∂tu
i Dα
xu, для яких |α| ≤ 2.
Зауважимо, що, на вiдмiну вiд означення класичного розв’яз-
ку задачi (1)–(3) у [39, означення 2], у цiй роботi в означеннi 1 не
вимагається неперервнiсть розв’язку у замкнутому цилiндрi Ω.
Сформулюємо основний результат роботи.
Теорема 1. Нехай функцiя u ∈ H2,1(Ω) є узагальненим
розв’язком задачi (1)–(3), правi частини якої задовольняють
умови
f ∈H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅)∩
H
n/2, n/4; ϕ2
loc (Ω, S)∩
H
−1+n/2, −1/2+n/4; ϕ3
loc (Ω, G),
(6)
g ∈ H1/2+n/2, 1/4+n/4; ϕ2
loc (S), (7)
h ∈ Hn/2; ϕ3
loc (G) (8)
184 В. М. Лось
з деякими функцiональними параметрами ϕ1, ϕ2 i ϕ3 ∈M та-
кими, що
∞∫
1
dr
rϕ2
j (r)
<∞ для всiх j ∈ {1, 2, 3}. (9)
При n = 2 додатково припускаємо, що ϕ3 є зростаючою (в не-
строгому сенсi) функцiєю. Тодi u(x, t) є класичним розв’язком
задачi (1)–(3).
Вiдмiтимо, для означення локальних просторiв на Ω ∪ S i на
S можна покласти, наприклад, U := Rn+1 \ (G ∪ Gτ ), де G i Gτ
вiдповiдно нижня i верхня основи цилiндра Ω.
Зауваження 1. Якщо сформулювати аналог теореми 1 для
соболєвської шкали (випадок ϕ1 ≡ ϕ2 ≡ ϕ3 ≡ 1), то доведеться
замiнити умови (6)–(8) цiєї теореми на бiльш сильнi: для правих
частин задачi виконуються включення
f ∈H1+n/2+ε1, 1/2+n/4+ε1/2
loc (Ω,∅)∩
H
n/2+ε2, n/4+ε2/2
loc (Ω, S)∩
H
−1+n/2+ε3, −1/2+n/4+ε3/2
loc (Ω, G),
g ∈H1/2+n/2+ε2, 1/4+n/4+ε2/2
loc (S),
h ∈Hn/2+ε3
loc (G)
для деяких ε1 > 0, ε2 > 0 i ε3 > 0.
5. Доведення
Доведення теореми 1 спирається на теорему про локальне пiд-
вищення регулярностi розв’язку задачi (1)–(3) та деяку модифi-
кацiю теореми вкладання Хермандера [12] (теорема 2.2.7). Для
зручностi сформулюємо необхiднi твердження.
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 185
Твердження 1 [38] (окремий випадок теореми 2). Нехай u ∈
H2,1(Ω) є узагальненим розв’язком параболiчної задачi (1)–(3) iз
правою частиною (f, g, h) ∈ H0,0
N . Припустимо, що
f ∈ Hs−2,(s−2)/2;ϕ
loc (ω, π1), (10)
g ∈ Hs−3/2,(s−3/2)/2;ϕ
loc (π2), (11)
h ∈ Hs−1;ϕ
loc (π3) (12)
для деяких s > 2 i ϕ ∈M. Тодi u ∈ Hs,s/2;ϕ
loc (ω, π1).
Твердження 2 [37] (окремий випадок леми 8.1). Нехай p ∈ Z,
p ≥ 0, s := p + 1 + n/2 та ϕ ∈ M. Тодi правильнi такi два
твердження:
(i) Якщо ϕ задовольняє умову
∞∫
1
dr
r ϕ2(r)
<∞, (13)
то кожна функцiя w ∈ Hs,s/2;ϕ(Rn+1) має таку власти-
вiсть: всi її узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t w(x, t) з
0 ≤ |α|+ 2β ≤ p є неперервними на Rn+1.
(ii) Нехай V є непорожня вiдкрита пiдмножина Rn+1, i нехай
цiле k таке, що 1 ≤ k ≤ n. Якщо кожна функцiя w ∈
Hs,s/2;ϕ(Rn+1) з suppw ⊂ V задовольняє умову ∂jw/∂xjk ∈
C(Rn+1) для кожного j ∈ Z з 0 ≤ j ≤ p, то ϕ задовольняє
умову (13).
Нам буде потрiбний такий наслiдок iз твердження 2.
Наслiдок 1. Твердження 3(i) зберiгає силу, якщо у ньому за-
мiнити Hs,s/2;ϕ(Rn+1) на Hs,s/2;ϕ(Ω) i Rn+1 на Ω.
Справдi, з означення простору Hs,s/2;ϕ(Ω) випливає, що для
кожної функцiї u ∈ Hs,s/2;ϕ(Ω) iснує така функцiя w ∈
Hs,s/2;ϕ(Rn+1), що u = w в Ω. Тому з твердження 3(i) випливає,
186 В. М. Лось
що всi узагальненi частиннi похiднi Dα
x∂
β
t u(x, t) з 0 ≤ |α|+2β ≤ p
є неперервними на Ω.
Доведення теореми 1. Спочатку покажемо, що твердження
1 є правильним у випадку, коли s = 2 i ϕ ∈ M є зростаючою (в
нестрогому сенсi) функцiєю. Цей факт потрiбний у випадку, коли
Ω ⊂ R3.
Нехай u ∈ H2,1(Ω). Виберемо довiльну функцiю χ ∈ C∞(Ω)
з suppχ ⊂ ω ∪ π1. Переставляючи кожний з диференцiальних
операторiв A i B з оператором множення на χ, можемо записати
Λ(χu) := (A(χu),B(χu)
∣∣
S
, χu
∣∣
t=0
)
= χ(f, g, h) + (A′u,B′u
∣∣
S
, 0),
(14)
де
A′u = u∂tχ+
∑
|α|≤1
aα1 (x, t)Dα
xu ∈ H1,1/2(Ω),
B′u
∣∣
S
= u
n∑
j=1
bj(x, t)Djχ
∣∣
S
∈ H3/2,3/4(S).
З (14), умов (10)–(12) для s = 2, лiвого вкладання (5) та його
аналогу для просторiв на S випливає включення
Λ(χu) ∈ H0,0;ϕ(Ω)⊕H1/2,1/4;ϕ(S)⊕H1;ϕ(G). (15)
З (15) (див.[36, теорема 2]) випливає потрiбне включення χu ∈
H2,1;ϕ(Ω). Врахувавши довiльнiсть вибору функцiї χ, маємо u ∈
H2,1;ϕ
loc (ω, π1).
Переходимо безпосередньо до доведення теореми 1. Спочатку
покажемо, що u ∈ C2,1
x,t (Ω). З умов (6)–(8) маємо включення
f ∈ H
1+n/2, 1/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅),
g ∈ D′(S) = H
3/2+n/2, 3/4+n/4; ϕ1
loc (∅),
h ∈ D′(G) = H
2+n/2; ϕ1
loc (∅).
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 187
З цих включень i твердження 1, де s := 3 + n/2, випливає, що
u ∈ H3+n/2, 3/2+n/4; ϕ1
loc (Ω,∅). (16)
Виберемо довiльну точку x0 з множини Ω. Знайдеться окiл O(x0)
цiєї точки, такий, що O(x0) ⊂ Ω i dist(O(x0),Γ) > 0. Тодi iснує
функцiя χ ∈ C∞(Ω), така, що suppχ ⊂ Ω i χ = 1 на множинi
O(x0). З (16) випливає включення χu ∈ H3+n/2, 3/2+n/4; ϕ1(Ω).
На пiдставi цього включення i наслiдку 1, де p := 2, маємо вклю-
чення
∂t(χu), Dα
x (χu) ∈ C(Ω) при |α| ≤ 2.
З останнiх включень випливає, що узагальненi частиннi похiднi
∂tu i Dα
xu з |α| ≤ 2 є неперервними в деякому околi точки x0.
Оскiльки x0 є довiльною точкою Ω, то u ∈ C2,1
x,t (Ω).
Подiбним чином покажемо, що функцiя u i всi її узагальненi
частиннi похiднi ∂u/∂xj , де j ∈ {1, . . . , n}, є неперервними на
Ω ∪ S. З умов (6)–(8) маємо включення
f ∈ H
n/2, n/4; ϕ2
loc (Ω, S),
g ∈ H1/2+n/2, 1/4+n/4; ϕ2
loc (S),
h ∈ D′(G) = H
1+n/2; ϕ2
loc (∅).
З цих включень i твердження 1, де s := 2 + n/2, випливає, що
u ∈ H2+n/2, 1+n/4; ϕ2
loc (Ω, S). (17)
Виберемо довiльну точку x0 з множини Ω ∪ S. У топологiї Ω
знайдеться окiл O(x0) цiєї точки, такий, що O(x0) ⊂ Ω ∪ S i
dist(O(x0),Γ) > 0. Тодi iснує функцiя χ ∈ C∞(Ω), така, що
suppχ ⊂ Ω ∪ S i χ = 1 на множинi O(x0). З (17) випливає вклю-
чення χu ∈ H2+n/2, 1+n/4; ϕ2(Ω). На пiдставi цього включення i
наслiдку 1, де p := 1, маємо включення
χu, ∂(χu)/∂xj ∈ C(Ω) для всiх j ∈ {1, . . . , n}.
188 В. М. Лось
З останнiх включень випливає, що функцiя u i всi її узагальненi
частиннi похiднi ∂u/∂xj , де j ∈ {1, . . . , n}, є неперервними в де-
якому околi точки x0. Оскiльки x0 є довiльною точкою Ω∪S, то
це правильно на всiй множинi Ω ∪ S.
Нарештi, покажемо, що u ∈ C(Ω∪G). Справдi, з умов (6)–(8)
маємо включення
f ∈ H
−1+n/2, −1/2+n/4; ϕ3
loc (Ω, G),
g ∈ D′(S) = H
−1/2+n/2, −1/4+n/4; ϕ3
loc (∅),
h ∈ Hn/2; ϕ3
loc (G).
З цих включень i твердження 1, де s := 1 + n/2, випливає, що
u ∈ H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ3
loc (Ω, G). (18)
Виберемо довiльну точку x0 з множини Ω ∪ G. У топологiї Ω
знайдеться окiл O(x0) цiєї точки, такий, що dist(O(x0),Γ) > 0.
Тодi iснує функцiя χ ∈ C∞(Ω), така, що suppχ ⊂ Ω ∪ G i
χ = 1 на множинi O(x0). З (18) випливає включення χu ∈
H1+n/2, 1/2+n/4; ϕ3(Ω). На пiдставi цього включення i наслiдку 1,
де p := 0, маємо включення χu ∈ C(Ω). З останнього включення
випливає, що функцiя u є неперервною в деякому околi точки
x0. Оскiльки x0 є довiльною точкою Ω ∪G, то u ∈ C(Ω ∪G).
Теорема 1 доведена.
6. Висновки
У роботi отримано новi достатнi умови того, що узагальнений
розв’язок параболiчної початково–крайової задачi (1) – (3) є кла-
сичним (теорема 1). В означеннi класичного розв’язку не вимага-
ється його неперервнiсть на лiнiї з’єднання бiчної поверхнi i осно-
ви цилiндра, у якому розглядається задача. Правi частини задачi
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 189
належать певним анiзотропним просторам Хермандера. Викори-
стання цих просторiв дає змогу отримати бiльш тонкi достатнi
умови, нiж це можливо у межах класичних шкал функцiональ-
них просторiв Гельдера i Соболєва.
Лiтература
[1] Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параме-
тром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. –
1964. – 19, № 3. – С. 53–161.
[2] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линей-
ные и квазилинейные уравнения параболического типа. – Москва:
Наука, 1967. – 736 с.
[3] Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems
and applications. – Vol. II. – Berlin: Springer, 1972. – xi+242 p.
[4] Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных за-
дач. – Киев: Выща школа, 1990. – 200 с.
[5] Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63.
Partial differential equations, VI. – Berlin: Springer, 1994. – P. 205–
316.
[6] Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value
problems. – Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
[7] Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболиче-
ского и параболического уравнений // Успехи мат. наук. – 1960. –
15, № 2. – С. 97–154.
[8] Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные урав-
нения второго порядка параболического типа // Успехи мат. на-
ук. – 1962. – 17, № 3. – С. 3–146.
[9] Фридман А. Уравнения с частными производными параболиче-
ского типа.– Москва: Мир, 1968. – 428 с.
[10] Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. О корректности задач Дири-
хле и Неймана для параболических уравнений второго порядка с
коэффициентами из классов Дини // Укр. мат. журн. – 1974. –
26,№ 3. – С. 328–337.
190 В. М. Лось
[11] Михайлов В. П. Смешанная и краевая задачи для параболиче-
ских уравнений и систем // Мат. энциклопедия. Т. 5 – Москва:
Советская энциклопедия, 1985. – 1248 с.
[12] Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer,
1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Линейные дифферен-
циальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.).
[13] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен-
ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. –
20, № 1. – С. 3–74.
[14] Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // В кн.:
Х. Трибель. Теория функциональных пространств. – Москва:
Мир, 1986. – С. 381–415.
[15] Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.–
Berlin: Wiley–VCH, 2000. – 348 p.
[16] Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäser, 2001. –
xii+425 p.
[17] Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of
generalized smoothness // Ann. Mat. Pura Appl. – 2006. – 185, № 1. –
P. 1–62.
[18] Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculas on Euclidean
spaces. – Basel: Birkhäser, 2010. – xi+306 p.
[19] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo-
lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6,
№ 2. – P. 211–281.
[20] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and
elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. – xiv+297 p.
[21] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between
Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67, № 1. – P. 135–152.
[22] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic
boundary-value problems. I // Ukrainian Math. J. – 2006. – 58, № 2. –
P. 244–262.
Умови класичностi розв’язкiв ... параболiчних рiвнянь 191
[23] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic
boundary-value problems. II // Ukrainian Math. J. – 2006. – 58,
№ 3. – P. 398–417.
[24] Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic
boundary-value problems. III // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 5. – P. 744–765.
[25] Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale
of spaces on a closed manifold // Ukrainian Math. J. – 2007. – 59,
№ 6. – P. 874–893.
[26] Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem
in a two-sided refined scale of spaces // Ukrainian Math. J. – 2008. –
60, № 4. – P. 574–597.
[27] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function
parameter and refined scale of spaces // Methods Funct. Anal.
Topology. – 2008. – 14, № 1. – P. 81–100.
[28] Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a
function parameter. – Methods Funct. Anal. Topology. – 2013. – 19,
№ 2. – P. 146–160.
[29] Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних
мiшаних задач // Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 2. – С. 219–234.
[30] Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в
пространствах обобщенной гладкости // Доп. НАН України. –
2014. – № 6. – С. 23–31.
[31] Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в
просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН України. – 2014. –
№ 10. – С. 24–32.
[32] Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi i 2b-
анiзотропнi простори Хермандера // Зб-к праць Iн-ту математики
НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 276–290.
[33] Los V. M.Mixed Problems for the Two-Dimensional Heat-Conduction
Equation in Anisotropic Hormander Spaces // Ukrainian Math. J. –
2015. – 67, № 5. – P. 735–747.
192 В. М. Лось
[34] Los V. M. Anisotropic Hörmander Spaces on the Lateral Surface of a
Cylinder // Journal of Mathematical Sciences. – 2016. – 217, № 4. –
С. 456–467.
[35] Лось В. М., Мурач О. О. Теореми про iзоморфiзми для деяких па-
раболiчних початково-крайових задач у просторах Хермандера //
arXiv:1510.06270.
[36] Лось В. М. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних
початково-крайових задач у просторах Хермандера: граничний
випадок // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6. – P. 786–799.
[37] Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem
for parabolic problems in Hörmander spaces and its applicati-
ons // Communications on Pure and Applied Analysis (to appear),
arXiv:1511.04688.
[38] Лось В. М., Михайлець В. А., Мурач О. О. Загальнi параболiчнi
початково-крайовi задачi у просторах Хермандера (у друцi).
[39] Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчних початково-крайових
задач i простори Хермандера // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 9.
[40] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-
зики: Учеб. пособие. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ,
1999. – 799 с.
[41] Лось В. М. Про достатнi умови класичностi узагальнених розв’яз-
кiв деяких мiшаних параболiчних задач // Зб-к праць Iн-ту ма-
тематики НАН України. – 2016. – 13, № 1. – С. 228–243.
[42] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука,
1985. – 144 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-257 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:25Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/38/81ae82b28d210fc34b99ad83dce54138.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2572018-01-23T09:13:23Z Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical Умови класичності розв'язків другої крайової задачі для параболічних рівнянь Los, V. M. Лось, В. М. Considering the initial-boundary value problem for the second order linear parabolic equation with the general boundary condition of first order, we obtain new sufficient conditions under which the generalized solution to the problem is classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides of the problem to certain $2$-anisotropic H\"ormander spaces. The classical solutions can be discontinuous on the junction of the lateral area and base of the cylinder in which the problem is considered. Знайдено нові достатні умови класичності узагальнених розв'язків початково--крайової задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку із загальною крайовою умовою першого порядку. Умови сформульовано у термінах приналежності правих частин задачі деяким анізотропним просторам Хермандера. Класичні розв'язки можуть мати розрив на стику бічної поверхні і основи циліндра, у якому розглядається задача. Інститут математики НАН України 2018-01-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/257 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 175-192 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 175-192 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 175-192 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/257/232 Авторське право (c) 2016 В. М. Лось |
| spellingShingle | Los, V. M. Лось, В. М. Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title | Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title_alt | Умови класичності розв'язків другої крайової задачі для параболічних рівнянь |
| title_full | Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title_fullStr | Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title_full_unstemmed | Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title_short | Conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| title_sort | conditions for solutions of the second boundary-value problem for parabolic equations to be classical |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/257 |
| work_keys_str_mv | AT losvm conditionsforsolutionsofthesecondboundaryvalueproblemforparabolicequationstobeclassical AT losʹvm conditionsforsolutionsofthesecondboundaryvalueproblemforparabolicequationstobeclassical AT losvm umoviklasičnostírozv039âzkívdrugoíkrajovoízadačídlâparabolíčnihrívnânʹ AT losʹvm umoviklasičnostírozv039âzkívdrugoíkrajovoízadačídlâparabolíčnihrívnânʹ |